Introduction Aux Probabilités - Séance 5 PDF

Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Introduction aux Probabilités Séance 5 Éric Paturel Faculté des Sciences et des Techniques Nantes Université...

Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Introduction aux Probabilités Séance 5 Éric Paturel Faculté des Sciences et des Techniques Nantes Université 15 octobre 2024 1 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Loi binomiale et Indépendance Lois discrètes usuelles Loi binomiale et indépendance L’expérience On réalise une suite d’épreuves indépendantes : lancer d’une pièce qui donne pile avec probabilité p ∈ [0, 1], face avec proba. 1 − p. Quelle est la probabilité de l’évènement : A : "Au moins un pile parmi les n premiers lancers" A) P(A) = (1 − p)n B) P(A) = 1 − (1 − p)n C) P(A) = p n D) P(A) = 1 − p n 2 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Loi binomiale et Indépendance Lois discrètes usuelles Explications On travaille avec l’univers des suites de pile et face de longueur n. S Ri = {pile à l’épreuve On note numéro i}. A = ni=1 Ri. Donc A = ni=1 Ri. T Par indépendance mutuelle des Ri on a : n \ n Y P( Ri ) = P(Ri ) = (1 − p)n i=1 i=1 donc : P(A) = 1 − P(A) = 1 − (1 − p)n. 3 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Loi binomiale et Indépendance Lois discrètes usuelles Expérience plus générale Quelle est la probabilité de l’évènement : B : "Exactement k piles parmi les n premiers lancers" \ \ B est la réunion des événements disjoints BI = Ri ∩ Rj , i∈I j∈J  de cardinal k dans {1,... , n}, J son complémentaire. avec Ipartie n Il y a choix possibles de parties I. k Par indépendance mutuelle des Ri , on a \ \ P( Ri ∩ Rj ) = p k (1 − p)n−k i∈I j∈J   X n k P(B) = P(le nombre de "pile" = k) = P(BI )= p (1 − p)n−k. k I 4 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Loi binomiale et Indépendance Lois discrètes usuelles Pile toujours Concluons par un exemple d’univers infini. Quelle est la probabilité de l’évènement : C : "toujours pile" On change l’univers pour l’ensemble des suites de pile, face. Cn = {piles aux n premiers tirages}. C ⊂ Cn , donc 0 ≤ P(C ) ≤ P(Cn ) = p n. En faisant tendre n vers l’infini : P(C ) = 0. Événement non vide, mais de probabilité nulle. 5 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Définition Pour un espace de probabilité fini (Ω, P), on appelle variable aléatoire (abrégé en v.a.) toute application définie sur Ω. X : Ω→E ω 7→ X (ω) Pour Ω fini, une v. a. sur Ω ne prend qu’un nombre fini de valeurs. On dit qu’une v.a. X est entière si X prend ses valeurs dans N ou Z. Exemples de v. a. entière pour deux tirages à pile ou face Ω = {P, F}2 , X : Ω → N. Le nombre total de tirage P sur les deux tirages La valeur du deuxième tirage (1 pour P, 0 pour F) 6 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Loi de probabilité d’une variable aléatoire (Ω, P) espace de probabilité fini X : Ω → E v.a. à valeurs dans un ensemble E On considère, pour chaque valeur x dans E , l’événement Ax = {ω ∈ Ω, X (ω) = x}. Par ce procédé, on transporte sur E la probabilité P : à chaque x de E , on donne le poids : pX (x) = P(Ax ), que l’on note P(X = x) la probabilité que la v. a. X prenne la valeur x. Avec ces poids, on calcule,sans plus s’occuper de l’univers Ω, la probabilité de tout événement "ne dépendant que de la v.a. X " : si F ⊂ E , notant ”X ∈ F ” l’évènement X −1 (F ) = {ω ∈ Ω, X (ω) ∈ F }, X P(X ∈ F ) = pX (x). x∈F 7 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Exemple La v.a. S est la somme des points obtenus en jetant 2 dés. Après choix d’un univers muni de l’équiprobabilité, un dénombrement des cas possibles donne : 1 2 6 pS (2) = pS (12) = , pS (3) = pS (11) = ,... , pS (7) =. 36 36 36 La v.a. S prend ses valeurs dans l’intervalle entier [2, 12] (ou dans un ensemble plus grand si on préfère, comme N). On a aussi : 10 P(S ≤ 5) = pS (2) + pS (3) + pS (4) + pS (5) = , 36 sans avoir à dénombrer les issues favorables de S ≤ 5. 8 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles On considère maintenant des v. a. X réelles. Définition Soit X une v.a. réelle sur (Ω, P), Ω fini ou dénombrable, et soient xk , k ∈ N, les valeurs prises par X. Poser, pour chaque partie B de R, X PX (B) := P(X = xk ) xk ∈B définit une probabilité sur R, que on l’appelle loi de la variable PX. On note aussi PX (B) par P(X ∈ B), et rarement P(X −1 (B)). 9 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Attention ! Deux v.a. définies sur le même espace probabilisé (Ω, P) peuvent avoir la même loi sans être égales ! Exemple Jet de deux dés (un rouge, un bleu), X le score du dé rouge, Y celui du dé bleu. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 , avec probabilité uniforme. X (Ω) = Y (Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et 1 ∀k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P(X = k) = P(Y = k) = 6 X et Y ont même loi. Mais X et Y ne sont pas identiques : cela signifierait qu’on obtient un double à coup sûr ! 10 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Egalité de v.a. Deux v.a. sont égales ssi elles sont égales partout : ∀ω ∈ Ω, X (ω) = Y (ω) , ce qui implique : P(X 6= Y ) = 0. Dans l’exemple, ce n’est pas le cas : X ((1, 2)) 6= Y ((1, 2)). On peut calculer 6 [ 6 1 P(X = Y ) = P( {(X , Y ) = (k, k)}) = = , 36 6 k=1 et donc P(X 6= Y ) = 5/6. 11 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Loi d’une v. a. Variable aléatoire Indépendance Lois discrètes usuelles Indépendance de variables aléatoires Définition Soit (Ω, P) un espace de probabilité au plus dénombrable, n v.a. X1 ,... , Xn sont dites (mutuellement) indépendantes si n Y P(X1 = x1 ,... , Xn = xn ) = P(Xi = xi ) i=1 Plus digeste qu’avec des événements ! 12 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Lois de variables aléatoires usuelles 1 Loi uniforme 2 Lois de Bernoulli 3 Lois binomiales 4 Lois géométriques 5 Lois de Poisson 6 Lien entre loi binomiale et loi de Poisson 13 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Loi uniforme Définition La v.a. X suit la loi uniforme sur l’ensemble de réels {x1 ,... , xn } si 1 ∀k ∈ {1,... , n}, P(X = xk ) =. n Exemple : score d’un dé équilibré. 14 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Lois de Bernoulli Il s’agit de Jacob Bernoulli. Définition La v.a. X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1] si elle ne prend que 2 valeurs 0 et 1 avec P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p On note X ∼ B(p). la loi B(p) modélise l’obtention d’un bit avec probabilité p. 15 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Loi de Bernoulli comme fonction indicatrice C’est un point technique bien utile en pratique. Si A est un événement de probabilité p, la fonction indicatrice X = 1A , soit  1 si ω ∈ A 1A (ω) = 0 si ω 6∈ A suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Réciproquement, toute v.a. de Bernoulli X s’écrit 1A avec A = {ω ∈ Ω, X (ω) = 1}. 16 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités  Indépendance Variable aléatoire Lois discrètes usuelles Lois binomiales Définition La v.a. X suit la loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1] si l’ensemble des valeurs possibles est X (Ω) = {0, 1,... , n} et   n k ∀k ∈ {1,... , n}, P(X = k) = p (1 − p)n−k. k Notation X ∼ B(n, p). C’est la loi du nombre de succès pour une suite de n expériences identiques et indépendantes avec probabilité de succès p (tirages avec remise par exemple). Si les (Ai )1≤i≤n sont mutuellement indépendants, et de même probabilité p, la v.a. Sn = ni=1 1Ai suit la loi binomiale B(n, p). P 17 / 17 Éric Paturel Introduction aux Probabilités