Introduction aux Probabilités - Séance 5
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Questions and Answers

Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 'pile' lors des n premiers lancers d'une pièce ?

  • P(A) = 1 − p n
  • P(A) = 1 − (1 − p)n (correct)
  • P(A) = p n
  • P(A) = (1 − p)n

Quelle caractéristique des épreuves dans cette expérience est essentielle pour appliquer la loi binomiale ?

  • Les épreuves doivent être indépendantes. (correct)
  • Les épreuves doivent avoir une probabilité de succès égale à 0,5.
  • Les épreuves doivent être dépendantes.
  • Les épreuves doivent être toutes réussies.

Dans l'expérience de lancer d'une pièce, si p = 0,3, quelle est la probabilité de ne pas obtenir 'pile' après 5 lancers ?

  • 0,00225
  • 0,00243
  • 0,46329
  • 0,16807 (correct)

Quelle formule représente la probabilité que toutes les n épreuves donnent 'face' ?

<p>P(A) = (1 − p)n (A)</p> Signup and view all the answers

Si la probabilité de succès est p = 0,8 pour un lancer, quel événement est représenté par A ?

<p>A représente l'événement où il y a au moins un succès. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle loi décrit une variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs, 0 et 1?

<p>Loi de Bernoulli (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la notation pour une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli avec un paramètre p?

<p>X ~ B(p) (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le symbole pour la fonction indicatrice d'un événement A avec probabilité p?

<p>1A (C)</p> Signup and view all the answers

Quelles valeurs possibles une variable aléatoire suivant une loi binomiale peut prendre?

<p>Des valeurs entre 0 et n (D)</p> Signup and view all the answers

Comment est notée une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p?

<p>X ~ B(n, p) (B)</p> Signup and view all the answers

Dans une loi binomiale, que représente le paramètre p?

<p>La probabilité de succès (C)</p> Signup and view all the answers

Dans quel cas la variable aléatoire Sn suit-elle une loi binomiale B(n, p)?

<p>Lorsque les événements sont identiques et indépendants (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle formule représente la probabilité qu'une variable aléatoire suivant une loi binomiale prenne la valeur k?

<p>$P(X = k) = {n race k} p^k (1 - p)^{n-k}$ (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle affirmation sur une variable aléatoire entière est correcte ?

<p>Elle prend des valeurs dans les entiers naturels ou les entiers. (D)</p> Signup and view all the answers

Que représente l'événement Ax pour une valeur x dans E ?

<p>L'ensemble des éléments de Ω pour lesquels la variable prend la valeur x. (B)</p> Signup and view all the answers

Comment calcule-t-on la probabilité P(X ∈ F) pour un événement F ⊆ E ?

<p>En utilisant P(X = x) pour chaque x dans F. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité pS(7) lorsqu'on jette deux dés ?

<p>6/36 (A)</p> Signup and view all the answers

Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire S dans l'exemple des dés ?

<p>Des valeurs dans l'intervalle [2, 12]. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition doit être vraie pour que deux variables aléatoires soient considérées comme égales ?

<p>Elles doivent être égales pour chaque élément de l'espace des échantillons. (A)</p> Signup and view all the answers

Quel type de variable aléatoire est une variable qui prend un nombre fini de valeurs ?

<p>Variable aléatoire discrète. (B)</p> Signup and view all the answers

Comment s'exprime la condition d'indépendance entre n variables aléatoires ?

<p>P(X1 = x1, ..., Xn = xn) = P(X1 = x1) * ... * P(Xn = xn) (A)</p> Signup and view all the answers

À quoi correspond pX(x) dans le contexte des variables aléatoires ?

<p>C'est la probabilité que X prenne précisément la valeur x. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle loi de probabilité est spécifiquement mentionnée comme ayant un lien avec la loi binomiale ?

<p>Loi de Poisson (B)</p> Signup and view all the answers

Dans quel cas une variable aléatoire est-elle considérée comme à valeur discrète ?

<p>Lorsqu'elle prend des valeurs dans un ensemble dénombrable. (C)</p> Signup and view all the answers

Pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur un ensemble {x1, ..., xn}, quelle est la probabilité pour chaque valeur ?

<p>1/n pour chaque k dans {1,..., n}. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la valeur de P(X ≠ Y) si P(X = Y) = 1/6 ?

<p>5/6 (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle définition convient à une variable aléatoire mutuellement indépendante ?

<p>Les résultats d'une variable n'affectent pas les résultats des autres. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle loi n'est pas considérée comme une loi de probabilité usuelle dans le contexte donné ?

<p>Loi de Pareto (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle affirmation est correcte concernant la loi d'une variable aléatoire ?

<p>Une variable aléatoire doit avoir une loi définie. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement k piles parmi les n premiers lancers?

<p>$P(B) = inom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n-k}$ (C)</p> Signup and view all the answers

Que signifie l'indépendance mutuelle des événements Ri dans le contexte de l'expérience?

<p>La survenue de l'un ne change pas la probabilité des autres. (A)</p> Signup and view all the answers

Pourquoi la probabilité de l'événement C, 'toujours pile', est-elle considérée nulle?

<p>Parce que l'univers des lancers a une quantité infinie. (A)</p> Signup and view all the answers

Comment est calculée la probabilité pour une variable aléatoire sur un espace de probabilité fini?

<p>Elle dépend de la définition de l'espace de probabilité. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que les événements hiérarchiques soient disjoints?

<p>Il ne doit pas y avoir de résultats communs parmi eux. (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le cardinal de l'ensemble des choix possibles pour obtenir k piles parmi n lancers?

<p>$inom{n}{k}$ (B)</p> Signup and view all the answers

Comment se définit une variable aléatoire dans le cadre d'une application sur un espace de probabilité?

<p>Elle est aperçue comme une fonction définie sur l'espace. (B)</p> Signup and view all the answers

En faisant tendre n vers l'infini pour P(C), quelle conclusion peut-on tirer?

<p>P(C) diminue vers 0. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité de l'événement S ≤ 5 dans l'exemple donné ?

<p>$\frac{10}{36}$ (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'une variable aléatoire X dans ce contexte ?

<p>Une fonction mesurable sur un espace probabilisé (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le symbole utilisé pour représenter la loi de la variable aléatoire X ?

<p>PX(B) (A)</p> Signup and view all the answers

Comment peut-on noter la loi de la variable aléatoire X de manière alternative ?

<p>P(X ∈ B) (B)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est vrai concernant deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ?

<p>Elles peuvent avoir la même loi sans être identiques (B)</p> Signup and view all the answers

Dans l'exemple des dés, quelle est la probabilité de chaque issue pour les variables X et Y ?

<p>$\frac{1}{6}$ (C)</p> Signup and view all the answers

Pourquoi X et Y ne sont-ils pas identiques dans le cas des deux dés ?

<p>Ils proviennent de dés de couleurs différentes (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer PX(B) ?

<p>$\sum_{x \in B} P(X = x)$ (A)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Épreuves indépendantes

Une suite d’épreuves indépendantes signifie que l’issue d’une épreuve n’influence pas l’issue des autres épreuves.

Probabilité d'un événement

La probabilité d’un événement est la mesure de sa possibilité de se produire.

Loi binomiale

La loi binomiale est un modèle de probabilité qui décrit le nombre de succès dans une série d’épreuves indépendantes avec deux issues possibles.

Évènement contraire

L’événement contraire d’un événement A est l’événement qui ne se produit pas si A se produit.

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Probabilité de l'événement contraire

P(A) = 1 - P(A) est la formule pour calculer la probabilité de l'événement contraire.

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Loi d'une variable aléatoire (v.a.)

La probabilité qu'une variable aléatoire X prenne une valeur dans un ensemble B est donnée par la somme des probabilités de chaque valeur de X appartenant à B.

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Deux v.a. peuvent avoir la même loi sans être égales

Deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé peuvent avoir la même loi sans être égales. Cela signifie qu'elles ont les mêmes probabilités pour chaque valeur, mais ne prennent pas nécessairement les mêmes valeurs lors d'une seule réalisation.

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Loi d'une v.a. : mesure de probabilité

La loi d'une variable aléatoire est une mesure de probabilité sur l'ensemble des valeurs possibles de la variable. Elle décrit la probabilité de chaque valeur ou de chaque intervalle de valeurs.

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Loi d'une v.a. discrète

La loi d'une variable aléatoire discrète est définie par la probabilité de chaque valeur que la variable peut prendre. La somme des probabilités de toutes les valeurs doit être égale à 1.

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Variable aléatoire (v.a.)

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque élément de l'espace échantillonnal une valeur numérique.

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Espace de probabilité

Un espace de probabilité est un ensemble d'événements possibles avec une mesure de la probabilité pour chacun d'eux.

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Loi de probabilité d'une v.a.

La loi de probabilité d'une variable aléatoire décrit la probabilité que la variable prenne chaque valeur possible.

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Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète ne prend qu'un nombre fini de valeurs ou un nombre infini dénombrable de valeurs.

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Variable aléatoire entière

Une variable aléatoire entière est une variable aléatoire qui prend des valeurs entières.

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Événement

Un événement est un sous-ensemble de l'espace échantillonnal.

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Équiprobabilité

L'équiprobabilité signifie que chaque événement élémentaire a la même probabilité.

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L'événement B : « Exactement k piles parmi les n premiers lancers »

Un événement qui est la réunion d'événements disjoints (mutuellement exclusifs), chaque événement représentant une combinaison possible d'exactement k « piles » parmi les n premiers lancers d'une pièce de monnaie.

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Nombre de combinaisons possibles de k « piles » parmi n lancers

Le nombre total de combinaisons possibles de k « piles » parmi n lancers.

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Probabilité d'une combinaison de k « piles » parmi n lancers

La probabilité de chaque combinaison possible de k « piles » parmi n lancers, en supposant que chaque lancer est indépendant.

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Probabilité de l'événement B : P(B)

La probabilité de l'événement B, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir exactement k « piles » parmi n lancers. C'est la somme des probabilités de chaque combinaison possible.

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Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné. La valeur de la variable peut être un nombre réel.

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Probabilité de l'événement C : « toujours pile »

La probabilité de l'événement C : « toujours pile » dans une suite infinie de lancers de pièces. Cette probabilité est nulle car la probabilité de n « piles » consécutifs tend vers zéro à mesure que n tend vers l'infini.

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Égalité de variables aléatoires

Deux variables aléatoires sont égales si et seulement si elles prennent la même valeur pour chaque issue possible de l'espace échantillonnal.

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Indépendance de variables aléatoires

Deux variables aléatoires sont dites (mutuellement) indépendantes si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités marginales.

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Loi uniforme

La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur un ensemble de réels {x1, ..., xn} si la probabilité de chaque valeur est identique.

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Loi géométrique

Une variable aléatoire qui représente le nombre de succès avant le premier échec dans une série d'épreuves indépendantes avec deux issues possibles.

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Loi de Poisson

Une variable aléatoire qui représente le nombre d'événements qui se produisent dans un intervalle de temps ou un lieu donné.

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Lien entre loi binomiale et loi de Poisson

La loi de Poisson peut être utilisée comme une approximation de la loi binomiale lorsque le nombre d'épreuves est grand et la probabilité de succès est faible.

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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire de Bernoulli ?

Une variable aléatoire qui prend la valeur 1 avec une probabilité p et la valeur 0 avec une probabilité 1-p.

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À quoi sert la loi de Bernoulli ?

La loi de Bernoulli sert à modéliser la probabilité de succès d'un événement unique avec deux résultats possibles. Elle est souvent utilisée pour représenter la probabilité d'obtenir un '1' ou un '0' lors d'un tirage aléatoire.

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Qu'est-ce qu'une fonction indicatrice ?

La fonction indicatrice d'un événement A prend la valeur 1 si l'événement A se produit et 0 sinon. Elle suit une loi de Bernoulli avec un paramètre p qui représente la probabilité de l'événement A.

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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ?

Une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est une variable qui compte le nombre de succès dans une série de n essais indépendants et identiques, avec une probabilité de succès p à chaque essai.

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À quoi sert la loi binomiale ?

La loi binomiale est souvent utilisée pour modéliser des événements aléatoires qui suivent une distribution de probabilité à deux résultats possibles : succès ou échec.

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Comment est utilisé la loi binomiale ?

La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès dans une série de n essais.

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Study Notes

Introduction aux Probabilités - Séance 5

  • Indépendance: Concepts related to independent events and random variables are discussed.
  • Variables aléatoires: Defined as applications defined on a sample space.
  • Lois discrètes usuelles: Common discrete probability distributions are introduced.
  • Loi binomiale et indépendance: Discusses a sequence of independent trials (like coin tosses). Shows how to calculate the probability of observing at least one head in a series of coin flips.
  • Explications: Detailing calculations involving sequences of coin flips, showing how independence is used to find probabilities.
  • Expérience plus générale: Calculating the probability of exactly k heads in n coin flips. This involves subsets and complements.
  • Pile toujours: Discusses the probability of 'always heads' in an infinitely long series of coin flips demonstrating that an event can't have zero probability, yet can still have a null probability.
  • Définition (Variable aléatoire): Clarifies the definition of a variable that can take values from a set (like N or Z).
  • Exemple de variable aléatoire entière: Examples of how random variables can take integer values (like the number of heads in a series of coin tosses or the total of two dice).
  • Loi de probabilité d'une variable aléatoire: Describes how to find probabilities for certain events related to the random variable using the probability distribution.
  • Exemple: Demonstrates calculating probabilities for a random variable (sum of two dice) without listing individual results, only providing the probability distribution.
  • Attention! (Deux variables aléatoires): Emphasizes that two random variables with the same distribution may not be the same variable.
  • Egalité de v. a.: Explains that to be equal, random variables must have the same value for every possible outcome.
  • Indépendance de variables aléatoires: Discusses the definition of independence between random variables, showing mathematically how to determine if random variables are independent
  • Lois de variables aléatoires usuelles: Describes common types of discrete random variables: Uniform, Bernoulli, Binomial, Geometric, Poisson, and the connection between binomial and Poisson distributions.
  • Loi uniforme: Defines a uniform distribution where each value in a finite set has the same probability of occurring. Provides an example with rolling a fair die.
  • Lois de Bernoulli: Describes a Bernoulli random variable which models an event (success or failure) with a given probability (parameter p).
  • Loi de Bernoulli comme fonction indicatrice: Illustrates how a function can represent an event and how it relates to a Bernoulli distribution.
  • Lois binomiales: Defines a binomial distribution used to count successes in a fixed number of independent trials where each trial has the same probability of success.

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Description

Cette séance aborde les concepts d'indépendance des événements et des variables aléatoires. Elle introduit également les distributions de probabilité discrètes courantes comme la loi binomiale, ainsi que des calculs de probabilités liés aux séries de lancers de pièces. L'expérience générale de calculer la probabilité d'obtenir exactement k faces parmi n lancers est également discutée.

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