Calcolo Differenziale Pre-Esame PDF 1 Novembre 2024

Calcolo differenziale — Compito di pre-esonero 1 Novembre 2024 — Compito n. 00027 Istruzioni: le prime due caselle (V / F) Nome: permettono di selezionare la risposta vero/falso. La casella “C” serve a correggere eventuali errori...

Calcolo differenziale — Compito di pre-esonero 1 Novembre 2024 — Compito n. 00027 Istruzioni: le prime due caselle (V / F) Nome: permettono di selezionare la risposta vero/falso. La casella “C” serve a correggere eventuali errori Cognome: invertendo la risposta data. Per selezionare una casella, annerirla completa- mente: (non o ). Matricola: 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D 6A 6B 6C 6D 7A 7B 7C 7D 8A 8B 8C 8D V F C 3) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o 1) Sia false. E = {x ∈ R : |x − 3| < 8}. 3A) dom(5x2 − 4x + 6) ̸= R. 3B) 1A) L’insieme E non è un intervallo.  x−8  1B) L’insieme E è limitato. dom = R \ {16}. x − 16 1C) Esiste il massimo di E. 3C) 1D) Non esiste il minimo di E. p dom( |x − 6|) = [6, +∞). 3D) 2) Sia E = dom(f ), dove dom(log(x − 7)) = (7, +∞). r x − 15 4) Siano f (x) =. E = {x ∈ R : |x − 2| ≤ 5} , x−5 n1 o F = {x2 , x ∈ E} , G = , x∈E. x 2A) L’insieme E è un intervallo. 2B) L’insieme E è limitato. 4A) L’insieme F non è un intervallo. 2C) Esiste il massimo di E. 4B) L’insieme F è limitato. 2D) Se F = E ∩ [10, +∞), esiste il minimo di F. 4C) L’insieme G non è un intervallo. 4D) L’insieme G è limitato. Docente Aiello [A, L] Orsina [M, Z] 5) Sia A in R e 7) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. n+A 7A) an = , n ∈ N. n+4 6 + n3 3 lim 7 = 4. 5A) Se A = 3, si ha an > 0 per ogni n in N. n→+∞ 8 + n2 5B) Se A = 6, la successione an tende a 1. 7B) 7 5C) Se A = 0, la successione an è decrescente. en − 1 5D) Se A = 8, la successione an è crescente. lim
= +∞. n→+∞ sin n5 6) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 7C) 8 n2 + 4 6A) lim = 0. 7n + 4 n→+∞ 3 n3 + 7 lim = 0. 7D) n→+∞ n! + 5 sin(7 n) 6B) lim = 0. n→+∞ 6n + 4 8 n3 + (−1)n n lim = 0. n→+∞ 3n 8) Data una successione {an }, sia 6C) E = {an , n ∈ N}. (n + 6) 5n lim = 0. n→+∞ nn 8A) Se an = 7, l’insieme E non è limitato. 6D) 8B) Se an = (−1)n , l’insieme E è limitato.  5 n2 8C) Se an = (−1)n n, l’insieme E non è limitato. lim 1+ = e25. n n→+∞ n2 8D) Se an = 8n! , l’insieme E è limitato.  Soluzioni del compito 00027 1) Sia E = {x ∈ R : |x − 3| < 8}. Risolvendo la disequazione che definisce E si ha, ricordando che |x − a| < b ⇐⇒ −b < x − a < b ⇐⇒ a − b < x < a + b, si ha (ponendo a = 3 e b = 8) |x − 3| < 8 ⇐⇒ 3−8 7, si ha dom(log(x − 7)) = (7, +∞). 4) Siano E = {x ∈ R : |x − 2| ≤ 5} , n1 o F = {x2 , x ∈ E} , G = , x∈E. x Risolvendo la disequazione che definisce E, si ha |x − 2| ≤ 5 ⇐⇒ 2 − 5 ≤ x ≤ 2 + 5, da cui segue che E = {x ∈ R : 3 ≤ x ≤ 7}. Dato che se 3 ≤ x ≤ 7 si ha 9 ≤ x2 ≤ 49 , si ha che (1) F = [9, 49]. Dato che, inoltre, se 3 ≤ x ≤ 7 si ha 1 1 1 ≤ ≤ , 7 x 3 si ha che h1 1i (2) G= ,. 7 3 4A) L’insieme F non è un intervallo. Falso: Dalla (1) segue che F è un intervallo. 4B) L’insieme F è limitato. Vero: Dalla (1) segue che F è limitato. 4C) L’insieme G non è un intervallo. Falso: Dalla (2) segue che G è un intervallo. 4D) L’insieme G è limitato. Vero: Dalla (2) segue che G è limitato. 5) Sia A in R e n+A an = , n ∈ N. n+4 Osserviamo che si ha n+A n + 4 + (A − 4) A−4 an = = =1+. n+4 n+4 n+4 1 Dal momento che la successione bn = n+4 è decrescente, e che si ha an = 1 + (A − 4) bn , si può affermare che (1) la successione an è decrescente se e solo se A > 4. 5A) Se A = 3, si ha an > 0 per ogni n in N. Vero: Se A = 3, la successione diventa n+3 an =. n+4 Dato che sia il numeratore che il denominatore sono positivi (ricordiamo che n è un numero naturale), si ha an > 0 per ogni n in N. 5B) Se A = 6, la successione an tende a 1. Vero: Se A = 6, la successione diventa n+6 1·n+6 an = =. n+4 1·n+4 Dato che an è il rapporto di due polinomi di grado 1, si ha 1·n+6 1 lim an = lim = = 1. n→+∞ n→+∞ 1 · n + 4 1 5C) Se A = 0, la successione an è decrescente. Falso: Dato che se A = 0 si ha A < 4, per la (1) la successione non è decrescente, e quindi è crescente. 5D) Se A = 8, la successione an è crescente. Falso: Dato che se A = 8 si ha A > 4, per la (1) la successione è decrescente. 6) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Ricordiamo la gerarchia degli infiniti: se A > 1 e α > 0 si ha (1) nn n! An nα. 6A) 7n + 4 lim = 0. n→+∞ n! + 5 Vero: Mettendo in evidenza al numeratore ed al denominatore i termini che divergono, si ha 7n + 4 7n 1 + 74n = 5. n! + 5 n! 1 + n! Ricordando la (1), ed i teoremi sui limiti, si ha 7n + 4 7n 1 + 74n 1+0 lim = lim =0· = 0. n→+∞ n! + 5 n→+∞ n! 1 + 5 1+0 n! 6B) 8 n3 + (−1)n n lim = 0. n→+∞ 3n Vero: Mettendo in evidenza i termini che divergono più velocemente, si ha 8 n3 + (−1)n n n3 h (−1)n i = 8 + , 3n 3n n2 n da cui segue, ricordando la (1), osservando che (−1) n2 tende a zero (essendo il prodotto di una successione limitata per una che tende a zero) ed usando i teoremi sui limiti, che 8 n3 + (−1)n n n3 h (−1)n i lim = lim 8 + = 0 · [8 + 0] = 0. n→+∞ 3n n→+∞ 3n n2 6C) (n + 6) 5n lim = 0. n→+∞ nn Vero: Riscrivendo la frazione, si ha (n + 6) 5n n + 6 5n−1 = 5 , nn n nn−1 da cui segue, ricordando la (1) ed i teoremi sui limiti, che (n + 6) 5n n + 6 5n−1 lim = lim 5 = 5 · 1 · 0 = 0. n→+∞ nn n→+∞ n nn−1 6D)  5 n 2 lim 1+ = e25. n→+∞ n2 Falso: Ricordiamo che se an è una successione che tende a più infinito, e se A è un numero reale, si ha  A an lim 1+ = eA. n→+∞ an Pertanto, ponendo an = n2 ,  5 n2 lim 1+ 2 = e5 ̸= e25. n→+∞ n 7) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. 7A) 6 + n3 3 lim 7 = 4. n→+∞ 8 + n2 Vero: Dato che 3 7 lim = 0 = lim , n→+∞ n n→+∞ n2 si ha, per i teoremi sui limiti, 6 + n3 6+0 3 lim 7 = 8+0 = 4. n→+∞ 8 + n2 7B) 7 en − 1 lim
= +∞. n→+∞ sin n5 Falso: Ricordando che se an e bn sono due successioni che tendono a zero si ha ean − 1 sin(bn ) lim = 1 = lim , n→+∞ an n→+∞ bn 7 si ha, ponendo an = n e bn = n5 , che 7 5
en − 1 sin n lim 7 = 1 = lim 5. n→+∞ n→+∞ n n Dato che 7 7 7 7 5 5 en − 1 en − 1 n n 7 en − 1 n
5 = 7 5 = , sin n5 7 sin n5

sin n n n 5 n si ha, per i teoremi sui limiti, 7 5 7 en − 1 7 en − 1 n
7 1 7 lim 5
= lim 7 5 = · 1 · = ̸= +∞. n→+∞ sin n n→+∞ 5 sin n 5 1 5 n 7C) 8 n2 + 4 lim = 0. n→+∞ 3 n3 + 7 Vero: Si tratta di calcolare il limite del rapporto di due polinomi. Dato che il grado del denominatore (che è 3) è maggiore del grado del numeratore (che è 2), si ha 8 n2 + 4 lim = 0. n→+∞ 3 n3 + 7 7D) sin(7 n) lim = 0. n→+∞ 6n + 4 Vero: La successione bn = sin(7 n) è limitata (dato che −1 ≤ sin(x) ≤ 1 per ogni x), mentre la 1 successione cn = 6 n+4 tende a zero. Ricordando che il prodotto tra una successione limitata ed una che tende a zero ha come limite zero, si ha sin(7 n) lim = 0. n→+∞ 6 n + 4 8) Data una successione {an }, sia E = {an , n ∈ N}. 8A) Se an = 7, l’insieme E non è limitato. Falso: Se an = 7 si ha E = {7}. Più limitato di cosı̀... 8B) Se an = (−1)n , l’insieme E è limitato. Vero: Se an = (−1)n , si ha E = {−1, 1}, che è un insieme limitato. 8C) Se an = (−1)n n, l’insieme E non è limitato. Vero: Se an = (−1)n n, si ha E = {0, −1, 2, −3, 4, −5, 6,... , 2k, −(2k + 1),...} , che è un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente. 8n 8D) Se an = n! , l’insieme E è limitato. Vero: Ricordando che n! 8n , si ha 8n lim= 0. n→+∞ n! Dato che la successione an è convergente, l’insieme dei suoi valori E è limitato.