Mechanika Klasyczna PDF

MECHANIKA KLASYCZNA Przypomnienie i uzupełnienie Opis ruchu tor ruchu - linia zakreślana przez poruszający się punkt równanie toru: postać jawna: z = f (x, y), uwikłana ϕ(x, y, z) = 0 parametryczna: x = x(t), y = y(t), z = z(t) położenie r (t) ⃗ = [x(t), y(t), z(t)] prędkość v(t)...

MECHANIKA KLASYCZNA Przypomnienie i uzupełnienie Opis ruchu tor ruchu - linia zakreślana przez poruszający się punkt równanie toru: postać jawna: z = f (x, y), uwikłana ϕ(x, y, z) = 0 parametryczna: x = x(t), y = y(t), z = z(t) położenie r (t) ⃗ = [x(t), y(t), z(t)] prędkość v(t) ⃗ = dr ⃗ dt = r˙⃗ t2 droga s = ∫ v(t)dt t1 przyspieszenie a(t) 2 dv ⃗ d r⃗ ⃗ = = ˙⃗ = r = v ¨⃗ 2 dt dt składowa styczna: a⃗ = t dv dt i t⃗ składowa normalna: a⃗ 2 v = ⃗ in n ρ ρ - promień krzywizny Rodzaje układów współrzędnych. układ kartezjański układ walcowy / biegunowy układ sferyczny Układ kartezjański położenie: ⃗ + yi ⃗ + zi ⃗ r ⃗ = [x, y, z] = xi x y z prędkość: ⃗ + v i ⃗ + v i ⃗ = ẋi ⃗ + ẏ i ⃗ + ż i ⃗ v ⃗ = vx i x y y z z x y z przyspieszenie: ⃗ + a i ⃗ + a i ⃗ = ẍi ⃗ + ÿ i ⃗ + z̈ i ⃗ a⃗ = ax i x y y z z x y z Układ walcowy (cylindryczny) walcowy → kartezjański x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z kartezjański → walcowy −−−−−− 2 2 ρ = √x + y y φ = arctan( ) x z = z Układ biegunowy (walcowy w 2D) położenie: r ⃗ = ⃗ ri r prędkość: v ⃗ = r˙⃗ składowa radialna prędkości: v = ṙ r składowa transwersalna prędkości: v = rφ̇ φ składowa radialna przyspieszenia: a = r̈ − φ̇ r r 2 składowa transwersalna przyspieszenia: a = φ̈r + 2ṙ φ̇ φ  v vφ vr r ir iφ φ Układ sferyczny sferyczny → kartezjański x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ kartezjański → sferyczny −−−−−−−−−− 2 2 2 r = √x + y + z y φ = arctan( ) x z θ = arccos( ) 2 2 2 √ x +y +z Zasady dynamiki Newtona I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają na nie żadne siły zewnętrzne, lub działające siły się równoważą. II (równanie ruchu) Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły. dp ⃗ F ⃗ = ma⃗ = dt Dla ruchu obrotowego: dL⃗ M⃗ = I ε ⃗ = dt III (zasada akcji i reakcji) Względem każdego działania (akcji) siły istnieje równe co do wartości i przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie (reakcja) siły. Układ nieinercjalny układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki, nazywa się układem nieinercjalnym (np. poruszający się z przyspieszeniem względem dowolnego układu inercjalnego). W układach nieinercjalnych nie jest również spełniona II zasada dynamiki, ponieważ występują w nich siły pozorne, których nie można przypisać oddziaływaniu określonych ciał. ł si a d'Alemberta ł (bezw adno ci)ś ł si a Coriolisa   ′ 2 ′ ′ ′ ma ⃗ = ma ⃗ − ⃗ ma 0 + mω r ⃗ − 2m(ω⃗ × v ⃗ ) − m(ε ⃗ × r ⃗ )   ł ś si a od rodkowa ł si a Eulera ⃗ a0 - przyspieszenie układu nieinercjalnego względem inercjalnego ω⃗ , ε ⃗ - prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu nieinercjalnego względem inercjalnego a⃗ - przyspieszenie ciała w układzie inercjalnym r ⃗ , v ⃗ , a ⃗ - położenie, prędkość i przyspieszenie ciała w układzie nieinercjalnym ′ ′ ′ Zasady zachowania Zasada zachowania pędu dp ⃗ ⃗ F = 0 ⇒ = 0 ⇒ p ⃗ = const dt Zasada zachowania momentu pędu ⃗ ⃗ dL ⃗ M = 0 ⇒ = 0 ⇒ L = const dt Zasada zachowania energii Dla układu izolowanego całkowita energia jest zachowana. Zmiana energii układu równa jest pracy wykonywanej przez siły działające na układ. ⃗ ΔE = ∫ F ⋅ ds ⃗ L Energia mechaniczna jest zachowana, jeśli na układ działają wyłącznie siły zachowawcze (potencjalne). ⃗ F = −∇U U - potencjał (energia potencjalna) Speaker notes DRGANIA HARMONICZNE Drgania swobodne oscylatora harmonicznego Energia potencjalna sprężystości Drgania tłumione oscylatora harmonicznego Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego Rezonans amplitudowy Drgania swobodne oscylatora harmonicznego m - masa, k - stała sprężystości sprężyny Prawo Hooke'a F (x) = −kx Równanie ruchu 2 d x m 2 = −kx dt 2 ẍ + ω0 x = 0 −− Częstość własna ω 0 = √ k m Rozwiązanie ogólne x(t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t) v(t) = ẋ = ω0 A cos(ω0 t) − ω0 B sin(ω0 t) Stałe wyznaczamy z warunków początkowych. Np. x(0) = 0, v(0) = v 0 A = v0 ω0 ,B=0 v0 x(t) = sin(ω0 t) ω0 Przykład: wahadło matematyczne P ⃗ = mg ⃗ M⃗ P = l ⃗ × P ⃗ ⇒ MP = lmg sin θ ⃗ ⃗ L⃗ = l × p ⃗ = l × mv ⃗ 2 2 dθ v = ωl ⇒ L = ml ω = ml dt dL⃗ dL = M⃗ P ⇒ = −lmg sin θ dt dt 2 ml θ̈ = −lmg sin θ Dla małych wychyleń: sin θ ≈ θ ⇒ θ̈ + g l θ = 0 2 θ̈ + ω0 θ = 0 − − g ω0 = √ l − − 2π l ω0 = ⇒ T = 2π√ T g Energia potencjalna sprężystości Niech x(0) , = 0 v(0) = v0 ⇒ v0 x(t) = sin(ω0 t) ω0 v(t) = v0 cos(ω0 t) Energia kinetyczna 2 mv 1 2 2 Ek (t) = = mv 0 cos ω0 t 2 2 położenie równowagi x = 0 → energia kinetyczna maksymalna, E = 0 p maksymalne wychylenie x = v /ω → energia potencjalna maksymalna, E 0 0 k = 0  2 1 1 v0 1 2 2 2 2 Ek,max = mv 0 = mω0 ( ) = mω0 A 2 2 ω0 2 Stąd energia potencjalna: 1 2 2 1 2 Ep (t) = mω0 x = kx 2 2 1 2 2 Ep (t) = mv 0 sin ω0 t 2 1 2 ⇒ Ep + Ek = mv 0 = const 2 Siła harmoniczna jest siłą potencjalną, zatem: dE p F = −kx = − dx Drgania tłumione oscylatora harmonicznego Siła tłumiąca F = −γvt Równanie ruchu mẍ = −kx − γv −− Oznaczenia: 2α = γ m ,ω 0 = √ k m 2 ẍ + 2αẋ + ω0 x = 0 Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re ima software that is creative, equitab accessible to all. In the next few m we are releasing the newest versi Processing, p5.js, and the p5.js Edit Processing Foundation relies on donations to help us make creative accessible to everyone. We'd be grateful if you'd join the hundre users that support us financially. 100% of your donation will directl software development, supportin dedicated contributors who tirelessly to keep our software date, reliable, and accessible resources help millions of stu  2 ẍ + 2αẋ + ω0 x = 0 równanie charakterystyczne 2 2 λ + 2αλ + ω = 0 0 −−−−−− 2 2 λ1 = −α − √α − ω 0 −−−−−− 2 2 λ2 = −α + √α − ω 0 Rozwiązanie ogólne λ1 t λ2 t x(t) = Ae + Be tłumienie duże: α 2 2 2 2 > > ω ω 0 0 pierwiastki λ , λ są rzeczywiste i ujemne 1 2 wykładniczy powrót do położenia równowagi, brak drgań. tłumienie krytyczne: α 22 = = ω ω 2 2 0 0 −αt x(t) = (A + Bt)e minimalna wartość tłumienia, przy której ruch staje się aperiodyczny (nieokresowy) tłumienie słabe: α 22 < < ω ω 2 2 0 0 pierwiastki λ , λ są zespolone 1 2 −−−−− − ozn: ω = √ω − α 2 0 2 , λ1 = α − iω λ2 = α + iω Tłumienie słabe rozwiązania przyjmują postać: −αt iωt x1 (t) = A1 e e −αt −iωt x2 (t) = A2 e e Czynnik e ±iωt odpowiada za drgania. ±iωt e = cos(ωt) ± i sin(ωt) Czynnik e −αt odpowiada za wykładnicze malenie amplitudy. Rozwiązanie ogólne −αt −−−−−−− 2 2 x(t) = Ae sin(√ω0 − α t + φ) Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego Siła wymuszająca F zewn (t) = F0 sin ωt Równanie ruchu mẍ = −kx − γv + F0 sin ωt −− Oznaczenia: 2α = γ m ,ω 0 = √ k m ,f 0 = F0 m 2 ẍ + 2αẋ + ω0 x = f0 sin ωt Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re ima software that is creative, equitab accessible to all. In the next few m we are releasing the newest versi Processing, p5.js, and the p5.js Edit Processing Foundation relies on donations to help us make creative accessible to everyone. We'd be grateful if you'd join the hundre users that support us financially. 100% of your donation will directl software development, supportin dedicated contributors who tirelessly to keep our software date, reliable, and accessible resources help millions of stu  artists, designers, educators all ov 2 iωt ẍ + 2αẋ + ω0 x = f0 e oczekujemy rozwiązania postaci: i(ωt+φ) x = Ae Różniczkujemy... i(ωt+φ) ẋ = iωAe 2 i(ωt+φ) ẍ = −ω Ae... i podstawiamy: 2 i(ωt+φ) i(ωt+φ) −ω Ae + 2αiωAe + 2 i(ωt+φ) iωt +ω0 Ae = f0 e Dzielimy przez e iωt : Ae iφ 2 (ω 0 − ω 2 (⋆) + 2iαω) = f0 Rozbijamy na część rzeczywistą i urojoną: Re: A cos φ(ω − ω ) − A2αω sin φ = 2 0 2 f0 Im: A sin φ(ω 2 0 2 − ω ) + A2αω cos φ = 0 Z Im otrzymujemy równanie na przesunięcie fazy drgań względem siły wymuszającej: sin φ 2αω tan φ = = − cos φ 2 2 ω −ω 0 Z modułu równania (⋆) otrzymujemy amplitudę drgań: f 0 A(ω) = 2 2 2 2 √ (ω −ω ) +(2αω) 0 Rozwiązanie: f0 2α x(t) = sin(ωt + arctan ) 2 2 2 2 2 2 ω −ω √ (ω −ω ) +(2αω) 0 0 Własności rozwiązania Rozwiązanie dla stanu ustalonego (dla t → ∞ ) ma postać x(t) = A(ω) sin(ωt + φ) Układ wykonuje drgania o częstości równej częstości siły wymuszającej, amplitudzie A, przesunietych w fazie o φ względem siły wymuszającej. Rozwiązanie nie zawiera zależności od warunków początkowych (w szczególności A , φ nie zależą od warunków początkowych, tylko od parametrów oscylatora). Dla małych t w układzie występują drgania nieustalone, których postać zależy od warunków początkowych (ang. transient). Amplituda drgań nieustalonych maleje wykładniczo z czasem i przy t → ∞ pozostają tylko drgania ustalone, niezależne od warunków początkowych. Przykład: drgania w obwodzie RLC z wymuszeniem R L C U(t) U(t) ~ U (t) = U0 sin ωt II prawo Kirchoffa U (t) + UR + UL + UC = 0 dq UR = −RI = −R dt  2 dI d q UL = −L = −L 2 dt dt q UC = − C R 1 U0 ¨ + q ˙ + q q = sin ωt L LC L 2 ẍ + 2αẋ + ω0 x = f0 sin ωt ,ω ,f R 1 U0 2α = 0 = 0 = L √ LC L I - natężenie prądu q - ładunek na kondensatorze Speaker notes FALE Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się zaburzenie (odkształcenie) w przestrzeni. Fale mechaniczne mogą rozprzestrzeniać się w ośrodkach ciągłych jak woda, powietrze, metal, drewno lub też ośrodkach dyskretnych jak układ sprzężonych oscylatorów (np. wahadeł). Cząsteczki ośrodka wykonują drgania wokół położeń równowagi, ale bez transportu masy. Fala poprzeczna: drgania ośrodka zachodzą prostopadle do kierunku propagacji fali; takie fale są odkształceniami postaci. Przykład: fala elektromagnetyczna Fala podłużna: drgania zachodzą w kierunku równoległym do propagacji; rozchodzą się odkształcenia objętości. Przykład: fale akustyczne Fala poprzeczna (a) i podłużna (b) Przykład: falownica pionowa 0:00 / 2:36 Przykład: falownica pionowa Każde wahadło torsyjne w falownicy połączone jest sprężyście z wahadłem poprzedzającym i następnym. Rozważmy fazę ϕ n -tego wahadła torsyjnego. I - moment bezwładności wahadła, np. I = 2ml , k - parametr określający 2 sprężystość połączeń pomiędzy wahadłami. ¨ Iϕ = k(ϕn−1 − ϕn ) + k(ϕn+1 − ϕn ) n ¨ I ϕn = k(ϕn−1 − 2ϕn + ϕn+1 ) ∂ϕ ϕ(x+Δx)−ϕ(x) ≈ ∂x Δx 2 ∂ ϕ ϕ(x−Δx)−2ϕ(x)+ϕ(x+Δx) ≈ 2 2 ∂x (Δx) Dla ośrodka ciągłego: ϕ n , → ϕ(x) m → ρΔx , odległość pomiędzy wahadłami Δx → 0 2 2 ∂ ϕ ∂ ϕ 2 = v 2 2 ∂t ∂x v = const - prędkość propagacji fali Równanie falowe w jednym wymiarze 2 2 ∂ Ψ(x,t) ∂ Ψ(x,t) 1 − = 0 2 2 2 ∂x v ∂t W szczególności rozwiązaniem jest fala harmoniczna biegnąca w kierunku x: Ψ(x, t) = A cos(ωt − kx + φ 0 ) Rozwiązanie można również zapisać w postaci zespolonej: i(ωt−kx+φ ) Ψ(x, t) = Ae 0 Aby Ψ(x, t) było rozwiązaniem równania falowego, musi być spełniona relacja dyspersji: ω = vk A - amplituda fali, ϕ = ωt − kx + φ 0 - faza, ω = 2π T - częstość, T - okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2π , k = 2π λ - wektor falowy (liczba falowa), λ - długość fali - najmniejsza odległość miedzy dwoma punktami o jednakowej fazie (z dokładnością do 2π ), v = λ T = ω k - prędkość fazowa - prędkość przemieszczania się stałej fazy Zasada superpozycji Zaburzenie falowe ośrodka, pochodzące od wielu źródeł, równe jest sumie (wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł. Równanie falowe jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań jest również jego rozwiązaniem. Przykład: fala stojąca - superpozycja dwóch fal biegnących w kierunkach x i −x: Ψ(x, t) = cos(ωt − kx) + cos(ωt + kx) Po zastosowaniu wzoru na sumę cosinusów: α±β α∓β cos(α) ± cos(β) = 2 cos( ) cos( ) 2 2 Ψ(x, t) = 2 cos(ωt) cos(kx)  Fala stojąca an You Chip In? One-time  rocessing Foundation, we’re imagining ware that is creative, equitable, and $5 $ essible to all. In the next few months, are releasing the newest versions of $25 $ essing, p5.js, and the p5.js Editor. The essing Foundation relies on online $500 O ations to help us make creative coding essible to everyone. We'd be deeply eful if you'd join the hundreds of Procee s that support us financially. don % of your donation will directly fund ware development, supporting the Where does m cated contributors who work essly to keep our software up-to- e, reliable, and accessible. Our h l illi f d Przykład: prędkość grupowa Prędkość grupowa - prędkość przemieszczania się obwiedni = predkości przepływu informacji dω vgr = dk Ψ1 (x, t) = A sin(ωt − kx) Ψ2 (x, t) = A sin((ω + dω)t − (k + dk)x) dω dk dω Ψ(x, t) = Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t) = 2A cos( t − x) sin((ω + )t − (k + 2 2 2 Prędkość grupowa dodatnia ↓ zerowa → ujemna ↘ Równanie falowe w trzech wymiarach Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych. Każda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe. r ⃗ = [x, y, z] Ψ⃗ = [Ψx , Ψy , Ψz ] Ψi = Ψi (r ) ⃗ = Ψi (x, y, z) i = x, y, z 2 2 2 2 ∂ Ψi ∂ Ψi ∂ Ψi 1 ∂ Ψi 2 + 2 + 2 = 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t Operator Laplace’a (laplasjan) 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∇ ≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z Równanie falowe w trzech wymiarach  2 2 1 ∂ Ψi ∇ Ψi = 2 2 v ∂t Przykład: fala płaska ⃗ Ψi = Ai cos(k ⋅ r ⃗ − ωt) ⃗ 2π k = [k x , k y , k z ] = [0, 0, ] λ Ψi = Ai cos(kz − ωt) Przykład: polaryzacja fal płaskich Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuż jednej osi. ⃗ Ψ = [Ψx , 0, 0] = [A cos(kz − ωt), 0, 0] Superpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z = const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę. Ψ1 = [Ψx , 0, 0] = [A1 cos(kz − ωt), 0, 0] Ψ2 = [0, Ψy , 0] = [0, A2 cos(kz − ωt + φ), 0] ⃗ ⃗ ⃗ Ψ = Ψ1 + Ψ2  ⃗ z = 0 => Ψ = [A1 cos(ωt), A2 cos(ωt − φ), 0] Przykład: fala sferyczna (kulista) A Ψi (r) = cos(ωt − kr) r Natężenie fali sferycznej: energia, przepływająca przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu 2 A I = 2 r Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali sferycznej, nie zależy od odległości 2 2 E = 4πr I = 4πA = const Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Zasada Huygensa każdy punkt, do którego dociera zaburzenie, staje się źródłem nowej fali sferycznej zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal sferycznych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka Przykład: wiele źródeł fal sferycznych leżących na prostej Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Interferencja powstawania przestrzennego rozkładu amplitudy fali w postaci wzmocnień i wygaszeń w wyniku superpozycji wielu fal wzmocnienia (maksima interferencyjne) są wynikiem nałożenia się zaburzeń o tej samej fazie. minima interferencyjne są wynikiem nałożenia się zanurzeń o fazie przeciwnej. Przykład: interferencja fal sferycznych Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Interferencja Przykład: interferencja fal sferycznych 2π d ≈ λ = k d = nπ 2 2 d sin θ n,max = nλ Minima interferencyjne kd sin θ kd sin θ π cos( ) = 0 => = + nπ 2 2 2 1 d sin θ n,min = (n + )λ 2 n = 0, ±1, ±2, … Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie obraz dyfrakcyjny - wynik interferencji fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest różna, a różnice są rzędu długości fali Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na przeszkodzie Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Efekt Dopplera Gdy źródło i/lub obserwator poruszają się względem ośrodka, to częstotliwość f fali mierzonej przez obserwatora ulega zmianie według: v±v r f = f0 v±v s gdzie f jest częstotliwością faktycznie emitowaną przez źródło, v jest prędkością 0 fal w ośrodku a v , v jest prędkością ruchu źródła i odbiornika w ośrodku. Znak s r ujemny odnosi się do ruchu w kierunku obserwatora. W wyniku efektu Dopplera zmienia się efektywna długość fali, co obserwujemy jako zmianę częstości zgodnie z zależnością λ =. v f Przykłady zastosowań: kosmologia, diagnostyka medyczna. Efekt Dopplera Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please Spróbuj powoli przesuwać kursor ze stałą prędkością po powierzchni. Paczka falowa Paczka falowa (pakiet falowy) - grupa fal z wąskiego zakresu częstości, którą można przedstawić jako superpozycję fal harmonicznych o odpowiednich fazach i częstościach. k0 +Δk ϕ(x, t) = ∫ A(k) cos(ωt − kx)dk k0 −Δk zakres wektora falowego Δk jest mały, A(k) opisane jest rozkładem Gaussa (rozkład normalny). maksimum paczki porusza się z prędkością grupową: v = g dω dk gdy prędkości v ≠ v , to poszczególne fale tworzące paczkę będą poruszać się z g f prędkościami fazowymi innymi niż maksimum paczki. Prowadzi to do zmiany jej kształtu (,,rozmycia''). Dyspersja ("rozmycie") paczki falowej Falownica pozioma. Równanie Kleina-Gordona. ciąg połączonych elastycznie wahadeł matematycznych −− − l - długość nici, ω = √g/l - częstość własna pojedynczego wahadła, κ - siła 0 elastycznego połączenia (wartość sprzężenia). g ¨ ϕn = − ϕn − κ(ϕn − ϕn−1 ) − κ(ϕn − ϕn+1 ) l ¨ 2 ϕn = −ω ϕn + κ(ϕn−1 − 2ϕn + ϕn+1 ) 0 2 2 ∂ ϕ ∂ ϕ 2 2 = −ω ϕ + v 2 0 2 ∂t ∂x Jest to równanie Kleina-Gordona. Załóżmy, że rozwiązaniem jest fala harmoniczna: ϕ(x, t) = Ae i(ωt−kx+φ ) 0 Po podstawieniu: ω = ω + v k (relacja dyspersji). 2 2 0 2 2 Dla falownicy poziomej fale harmoniczne mają ograniczony zakres częstości: −− −−−−−−−− 2 2 2 2 ω ∈ [√ω , √ω + v k ] 0 0 Falownica pozioma jest mechanicznym filtrem środkowoprzepustowym dla fal harmonicznych. Równanie sinusa-Gordona. Solitony. Równanie to jest nieliniową wersją równania Kleina-Gordona. 2 2 ∂ ϕ ∂ ϕ − + sin ϕ = 0 2 2 ∂t ∂x Równanie to ma rozwiązania solitonowe. solitony - zlokalizowane fale (podobnie jak paczka falowa), ale zachowują swój kształt (nie ulegają rozmyciu). Jest to efektem kompensacji dyspersji ośrodka przez jego nieliniowość. ponieważ równania ruchu są nieliniowe, zasada superpozycji nie obowiązuje, złożenia są bardziej skomplikowane. Mimo to po zderzeniu oba solitony zachowują swój kształt (zachowują się jak wirtualne cząstki). solitony mają zastosowanie w telekomunikacji światłowodowej. Przykładem solitonu jest fala tsunami. Zderzenie dwóch solitonów Speaker notes Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne ϕ = ϕ(x, y, z) Pole wektorowe ~ = Ax (x, y, z)i~x + Ay (x, y, z)i~y + Az (x, y, z)i~z A Gradient ∂ϕ ~ ∂ϕ ~ ∂ϕ ~ grad ϕ = ix + iy + iz ∂x ∂y ∂z Jeśli przemieścimy się o odcinek d~l = i~x dx + i~y dy + i~z dz nastąpi przyrost funkcji ϕ o: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Przykład: siła i energia potencjalna F~ = − grad U gdzie U jest potencjałem (miarą energii potencjalnej). Operator nabla (operator Hamiltona) Wprowadźmy wektorowy operator różniczkowy: nabla ∂ ∂ ∂ ∇ = i~x + i~y + i~z ∂x ∂y ∂z Gradient pola skalarnego możemy zapisać jako działanie operatora nabla na funkcję: grad ϕ(x, y, z) ≡ ∇ϕ(x, y, z) Przyrost pola przy przesunięciu o d~l: dϕ = ∇ϕ · d~l Strumień wektora Rozważmy pole wektorowe opisujące prędkość przepływu nieściśliwej cieczy. W czasie ∆t przez element powierzchni ∆S przepływa objętość cieczy równa: ∆V = ∆S cos α · v∆t Strumień opisuje objętość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez element powierzchni: ∆Φ = ∆V /∆t = ∆Sv cos α Przechodząc do różniczek: dΦ = v cos α · dS Strumień pola Wprowadzając wektor normalny do powierzchni ~n możemy zapisać element powierzchni jako wektor: ~ = dS · ~n dS Wtedy element strumienia zapiszemy jako iloczyn skalarny: ~ dΦ = ~v · dS Całkowity strumień przez powierzchnię S otrzymamy sumując elementy ∆Φ: Z Φv = ~v · dS ~ S Strumień pola Znak strumienia zależy od wyboru zwrotu wektora normalnego. W przypadku powierzchni zamkniętych przyjmuje się obliczanie strumienia wypływającego z objętości ograniczonej powierzchnią (wektor ~n skierowany za zewnątrz powierzchni). Interpretacja geometryczna strumienia: jeśli przedstawimy pole przez układ linii, których gęstość odpowiada wartości bezwzględnej wektora w danym punkcie pola, strumień pola można interpretować jako różnicę linii pola wychodzących i wchodzących przez powierzchnię. Dywergencja Jeśli strumień pola przez zamkniętą powierzchnię nie jest zerowy, oznacza to, że wewnątrz otoczonej powierzchni znajdują się „źródła” lub „dreny”. Średnią moc źródeł zawartych w objętości opisuje stosunek Φ/V. W granicy otrzymujemy dywergencję: Φv div ~v = lim V →0 V Dla dowolnego wektora ~a: 1 I div ~a = lim ~ ~a · dS V →0 V Dywergencja, źródłowość, rozbieżność źródło - punkt w którym linie pola mają początek (dywergencja dodatnia) dren (zlew, ściek) - linie mają swój koniec (dywergencja ujemna) W układzie kartezjańskim: ∂ax ∂ay ∂az div ~a = + + ∂x ∂y ∂z div ~a ≡ ∇ · ~a Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa I Z ~= ~a · dS div ~a · dV S V Strumień pola a przez zamkniętą powierzchnię S równy jest sumie źródeł pola, zawartych w objętości V ograniczonej powierzchnią. Z Φa = ∇~a · dV V Cyrkulacja (krążenie) Rozważmy cienki kanalik wzdłuż konturu Γ. Rozważmy przepływ wyłącznie w tym kanaliku. Cyrkulacja jest miarą tego przepływu (iloczyn prędkości cieczy i długości konturu). Dla pola wektorowego ~a cyrkulacja wzdłuż konturu Γ wynosi: I C= ~a · d~l Γ Cyrkulacja. Przykłady. Linie pola nie muszą być zamknięte, by cyrkulacja była niezerowa. Przykład: laminarny przepływ cieczy. Cyrkulacja jest wielkością addytywną. Rotacja (wirowość) Rotacja - stosunek cyrkulacji C do powierzchni S „obmywanej” przez cyrkulację. Ca 1 I | rot ~a| = lim = lim ~a · d~l S→0 S S→0 S Γ Rotacja jest wektorem. Kierunek rotacji jest taki, dla jakiego jej wartość jest maksymalna. Interpretacja: w miejscach, gdzie rotacja jest niezerowa, wiatraczek obraca się. Rotacja W układzie kartezjańskim: i~x i~y i~z ∂ ∂ ∂ rot ~a = ∂x ∂y ∂z = ax ay az ∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂ax       = i~x − + i~y − + i~z − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Wykorzystując operator nabla: rot ~a ≡ ∇ × ~a Twierdzenie Stokesa Dla dowolnej powierzchni S rozpostartej na dowolnym konturze Γ I Z ~a · d~l = ~ rot ~a · dS Γ S Przykład: siła zachowawcza. Praca siły zachowawczej F po zamkniętym konturze Γ: I W = F~ · d~l = 0 ⇐⇒ ∇ × F~ = 0 Γ Pole zachowawcze jest polem bezwirowym. Laplasjan (Operator Laplace’a) ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = ∇ · ∇ = 2 + 2+ 2 ∂x ∂y ∂z ∇2 ϕ = ∇ · ∇ϕ = div grad ϕ - dywergencja gradientu ϕ Przykład: równanie falowe 1 ∂2Ψ ∇2 Ψ = v 2 ∂t2 Tożsamości Pole wirowe jest polem bezźródłowym: ~ =0 ∇ · (∇ × A) Pole potencjalne jest polem bezwirowym: ∇ × ∇ϕ = 0 Rotacja rotacji: ~ = ∇(∇ · A) ∇ × (∇ × A) ~ − ∇2 A ~ POLE ELEKTRYCZNE prawo Coulomba prawo Gaussa dipol elektryczny pole elektryczne w dielektrykach prawo Gaussa w dielektrykach polaryzacja elektryczna potencjał pola elektrycznego bezwirowość pola elektrycznego prawo Gaussa w postaci różniczkowej równanie Poissona i Laplace'a przewodnik w polu elektrycznym pojemność elektryczna gęstość energii pola elektrycznego prąd elektryczny Ładunki elektryczne Zasada zachowania ładunku Istnieją dwa rodzaje ładunków elektrycznych, dodatnie i ujemne. Elektryzowanie ciał prowadzi do zmiany podziału ładunku między elektryzowane ciała, bez zmiany jego wartości: ∑ q = const. i i Kwantyzacja ładunku Ładunek elektryczny jest skwantowany. Całkowity ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego e. elektron ładunek q = −e = −1.602 × 10 C e −19 masa m = 9.109 × 10 kg e −31 proton ładunek q = e = 1.602 × 10 p −19 C masa m = 1.672 × 10 kg p −27 neutron ładunek q = 0 n masa m = 1.675 × 10 kg n −27 Prawo Coulomba 1 q q ⃗ = Fc 1 2 ⃗ ir 2 4πε 0 r stała elektryczna ε 0 −12 ≈ 8.85 × 10 F /m Ładunki elektryczne oddziałują ze sobą siłą Coulomba. Ładunki tego samego rodzaju (znaku) odpychają się, różnego rodzaju - przyciągają. Natężenie pola elektrycznego Do opisu oddziaływań między ładunkami wprowadzamy koncepcję pola wektorowego i ładunku próbnego.  ⃗ F E⃗ = qpr Dla ładunku punktowego Q: 1 Q E⃗ = 2 ⃗ ir 4πε 0 r Linie pola elektrycznego Konwencja: pole elektryczne skierowane jest od ładunków dodatnich (źródła pola) i do ładunków ujemnych (dreny). Pole w dowolnym punkcie jest superpozycją pól wytwarzanych przez wszystkie ładunki w przestrzeni. Can You Chip In? At Processing Foundation, we’re imagining software that is creative, equitable, and accessible to all. In the next few months, we are releasing the newest versions of Processing, p5.js, and the p5.js Editor. The Processing Foundation relies on online donations to help us make creative coding accessible to everyone. We'd be deeply grateful if you'd join the hundreds of users that support us financially. 100% of your donation will directly fund software development, supporting the W dedicated contributors who work tirelessly to keep our software up-to- date, reliable, and accessible. Our resources help millions of students, artists, designers, educators all over the world—so if you want to support technology accessibility for all, please pitch in. Donate I l d d d Indukcja elektryczna Elektryzowanie przez indukcję Pole elektryczne powoduje rozsunięcie ładunków w stykających się przewodzących płytkach. Po rozsunięciu płytki są przeciwnie naładowane. Wektor indukcji elektrycznej gęstość powierzchniowa ładunku: σ Q = S Wektor indukcji elektrycznej ⃗ |D | = σ Prawo Gaussa Strumień wektora D ⃗ ΦD = ∫ D⃗ ⋅ dS S Prawo Gaussa w postaci całkowej ∮ D⃗ ⋅ dS ⃗ = ∫ ρ dV = Q S V S - dowolna zamknięta powierzchnia V - objętość otoczona powierzchnią S ρ - gęstość ładunku elektrycznego Q - całkowity ładunek otoczony powierzchnią S Prawo Gaussa dla próżni D⃗ = ε0 E ⃗ ⇒ ε 0 ∮ E ⃗ ⋅ dS ⃗ = Q S Przykład: ładunek punktowy ⃗ ⃗ ε 0 ∮ E ⋅ dS = q S ⃗ E ∥d S ⃗ ⇒ E ⃗ ⋅ dS ⃗ = E dS ε0 ∮ E dS = q S E = E(r) ⇒ E = const ε0 E ∮ dS = q S ε0 ES = q  2 ε0 E 4πr = q q E = 2 4πε 0 r Dipol elektryczny Moment dipolowy: p ⃗ = ql ⃗ 2 2 q q q r − r − + E = − = = 2 2 2 2 4πε 0 r+ 4πε 0 r− 4πε 0 r− r+ q (r− − r+ )(r− + r+ ) = 2 2 4πε 0 r− r+  p r− − r+ = l, l ≪ r+ ⇒ r− ≈ r+ ≡ r ⇒ E = 3 2πε0 r Energia dipola w polu zewnętrznym Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu elektrycznym E ⃗ : ⃗ ⃗ M = Eql sin α ⇒ M = p ⃗ × E Praca obrotu dipola wykonana przez pole E ⃗ : dW = M dα = Ep sin αdα ⃗ W = Ep ∫ sin αdα = −pE cos α = −p ⃗ ⋅ E Praca obrotu dipola wykonana przez pole E ⃗ jest miarą energii potencjalnej. ⃗ V = −p ⃗ ⋅ E α = π ⇒ V → max α = 0 ⇒ V → min = −pE Dielektryki Substancje, w których po umieszczeniu w zewnętrznym polu elektrycznym, indukuje się moment dipolowy, lub istniejący moment orientuje się zgodnie z polem. polarne Uporządkowanie istniejących momentów dipolowych cząsteczek. niepolarne Mikroskopowa separacja ładunku wewnątrz cząsteczek. W obu przypadkach wytwarza się pole E ⃗ , zwrócone przeciwnie do pola ′ zewnętrznego, tak że efektywne pole wewnątrz dielektryka jest mniejsze niż w próżni. Prawo Gaussa w dielektrykach  +++++++++++++++++ −−−−−−−−−−−−−−−−− +++++++++++++++++ −−−−−−−−−−−−−−−−− qsw – ładunek swobodny wewnątrz pow. S q ′ – ładunek związany wewnątrz pow. S  ′ q q ⃗ ⃗ ′ sw ε 0 ∮ E ⋅ dS = qtot = qsw − q ⇒ E = − ε0 A ε0 A S Natężenie w kondensatorze próżniowym: E q sw 0 = ε0 A Założenie: E = ε E 0 r ε = const - stała dielektryczna r E0 q sw E = = εr ε0 εr A q ′ 1 ⃗ ⃗ 1 sw q = (1 − ) qsw ⇒ ε 0 ∮ E ⋅ dS = qsw − (1 − ) qsw = εr εr εr S ⃗ ⃗ ε 0 ε r ∮ E ⋅ dS = qsw S Wektor indukcji elektrycznej: D⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ≡ ε 0 ε r E ⇒ ∮ D ⋅ dS = qsw S Wektory indukcji D D i polaryzacji P ⃗⃗ P ⃗⃗ Prawo Gaussa dla indukcji elektrycznej: ⃗ ⃗ ∮ D ⋅ dS = qsw S ⃗ ⃗ D ≡ ε0 εr E Prawo Gaussa w dielektrykach, napisane dla wektora indukcji elektrycznej, uwzględnia tylko wpływ ładunków swobodnych. Wpływ ładunków związanych uwzględnia względna przenikalność elektryczna ε. r ⃗ ⃗ ′ 1 ε 0 ∮ E ⋅ dS = qtot = q ⇒ εr −1 S ⃗ ⃗ ′ ∮ ε 0 (ε r − 1)E ⋅ dS = q S Prawo Gaussa dla polaryzacji: ⃗ ⃗ ′ ∮ P ⋅ dS = q S  ⃗ ⃗ P ≡ ε 0 (ε r − 1)E Wektor polaryzacji jest związany z ładunkami związanymi w dielektryku. Trzy wektory elektryczne E ⃗ - natężenie pola elektrycznego D - indukcja elektryczna ⃗ P - polaryzacja ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ D = ε0 εr E = ε0 E + P Podatność elektryczna χ ≡ εr − 1 ⃗ ⃗ P = ε 0 χE Podatność określa zdolność dielektryka do polaryzacji pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. UWAGA: w ośrodkach anizotropowych wielkości ε i χ są r tensorami. Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest zachowawcze (potencjalne). Praca pola elektrycznego nie zależy od drogi, więc praca na drodze zamkniętej wynosi zero. B B B ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ W AB = ∫ dW = ∫ F ⋅ dl = − ∫ E q ⋅ dl A A A ⃗ ⃗ ∮ dW = 0 ⇒ ∮ E ⋅ dl = 0 ABA ABA  ⃗ E ⋅ dl ⃗ musi być różniczką pewnej funkcji skalarnej φ. dφ ⃗ ⃗ ⃗ ⇒ E ⋅ dl = −dφ ⇒ E = − ⃗ dl Pochodną kierunkową można zapisać w postaci gradientu: ∂φ ∂φ ∂φ ⃗ E = −∇φ = − [ , , ] ∂x ∂y ∂z Bezwirowość pola elektrostatycznego  ⃗ ⃗ Γ = ∮ E ⋅ dl = ∂ Ey = Ex Δx + (Ey + Δx) Δy− ∂x ∂ Ex − (Ex + Δy) Δx − Ey Δy = ∂y ∂ Ey ∂ Ex = ( − ) ΔxΔy ∂x ∂y - rotacja (składowa w płaszczyźnie ∂E y ∂E x Γ ⃗ − = lim ≡ (∇ × E )z ∂x ∂y ΔxΔy ΔxΔy→0 xy ) Rotacja pola elektrostatycznego ∂E z ∂E y ∂E x ∂E z ∂E y ∂E x ⃗ ∇ × E = [ − , − , − ] ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym. ⃗ Γ = 0 ⇒ ∇ × E = 0 Ogólnie, dla dowolnego pola skalarnego: ∇ × ∇φ = 0 Dywergencja pola elektrycznego Strumień pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię S w kształcie prostopadłościanu: Φ = Φx + Φy + Φz ∂E x ∂E x Φx = (Ex + Δx − Ex ) ΔyΔz = ΔxΔyΔz ∂x ∂x , ∂E y ∂E z Φy = ΔxΔyΔz Φz = ΔxΔyΔz ∂y ∂z ∂E x ∂E y ∂E z ⇒ Φ = ( + + ) ΔxΔyΔz → ∂x ∂y ∂z ∂E x ∂E y ∂E z → Φ = ∮ ( + + ) dxdydz ∂x ∂y ∂z V Prawo Gaussa w postaci różniczkowej ∂E x ∂E y ∂E z Φ = ∮ ( + + ) dxdydz ∂x ∂y ∂z V Ładunek w objętości V Q = ∮ ρdxdydz V Na mocy prawa Gaussa: ∂E x ∂E y ∂E z ε0 ∮ ( + + ) dxdydz = ∮ ρdxdydz ∂x ∂y ∂z V V Dywergencja: ∂E x ∂E y ∂E z ⃗ ∇ ⋅ E = + + ∂x ∂y ∂z Różniczkowa postać prawa Gaussa:  ρ ⃗ ∇ ⋅ E = ε0 Równania różniczkowe opisujące pole elektryczne ⃗ E = −∇φ - związek między natężeniem pola elektrycznego, a potencjałem - prawo Gaussa ρ ⃗ ∇ ⋅ E = ε0 ⃗ ∇ × E = 0 - bezwirowość pola elektrostatycznego Równania Poissona i Laplace'a ρ ⃗ 2 ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ (−∇φ) = −∇ φ = ε0 - równanie Poissona ρ 2 −∇ φ = ε0 2 ∇ φ = 0 - równanie Laplace'a (w przestrzeni bez ładunków elektrycznych) PRZEWODNIKI przewodnik elektryczny - materiał, w którym elektrony walencyjne nie są związane z żadnym z atomów elektrony te tworzą tzw. gaz elektronowy swobodne elektrony są nośnikami prądu elektrycznego oprócz przewodników metalicznych występują również przewodniki jonowe i elektrolityczne mechanizm powstawania gazu elektronowego opisuje mechanika kwantowa. Własności przewodników występują swobodne elektrony ⇒ w stanie równowagi swobodne elektrony są wyłącznie na powierzchni przewodnika ⇒ natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest zerowe ⇒ wektor E na powierzchni jest normalny do powierzchni ⃗ ⇒ potencjał elektryczny na powierzchni przewodnika jest stały (powierzchnia ekwipotencjalna) ⇒ gęstość ładunku elektrycznego zależy od promienia krzywizny powierzchni (największa na ostrzach, najmniejsza na płaskich powierzchniach) Pojemność elektryczna Ponieważ równanie Poissona jest liniowe, zmiana ładunku na powierzchni spowoduje proporcjonalną zmianę potencjału elektrycznego. const⋅ρ 2 2 ∇ (const ⋅ φ) = const ⋅ ∇ φ = ε0 Stosunek zgromadzonego ładunku do potencjału jest więc stały i zwany pojemnością elektryczną. Pojemność elektryczna przewodnika: q C = φ Kondensator układ dwóch przewodników oddzielonych izolatorem pozwala zgromadzić energię pola elektrycznego pojemność: C = , gdzie Q - ładunek elektryczny, U - napięcie (różnica Q U potencjałów) między okładkami Energia pola elektrycznego kondensatora Wprowadzenie na okładki kondensatora ładunku dq związane jest z przyrostem napięcia między okładkami o dU i wymaga pracy dW. dq = C dU q dW = U dq = dq C Q 2 q Q W = ∫ dq = C 2C 0 Energia pola elektrycznego kondensatora równa jest pracy wprowadzenia ładunku Q na okładki. 2 2 Q QU CU E = W = = = 2C 2 2 Przykład: kondensator kulisty r < R1 , r > R2 ⇒ E = 0 1 q R1 < r < R2 ⇒ E = 2 4πε0 r 1 q φ(r) = − ∫ Edr = 4πε0 r q 1 1 U = φ(R 1 ) − φ(R 2 ) = ( − ) = 4πε0 R1 R2 q R 2 −R 1 = ( ) 4πε0 R1 R2 q 4πε0 R 1 R 2 C = = U R 2 −R 1 Jak zmieni się pojemność kondensatora, gdy przestrzeń między okładkami będzie wypełniona dielektrykiem o stałej ε ? r Gęstość energii pola elektrycznego - pole elektryczne pochodzące od ładunku elektrycznego q, 1 q E(r) = 4πε0 2 r rozłożonego równomiernie na powierzchni sfery o promieniu R. φ(r → ∞) → 0 ⇒ q φ(r) = − ∫ Edr = ⇒ 4πε0 r - potencjał na powierzchni sfery q φ(R) = 4πε0 R Praca potrzebna na sprowadzenie na powierzchnię sfery ładunku dq z nieskończoności: 1 dW = [φ(R) − φ(∞)] dq = qdq 4πε0 R Aby zgromadzić na powierzchni sfery ładunek Q , należy wykonać pracę W , która zostanie zmagazynowana w postaci energii pola elektrycznego E. p  Q Q 2 1 Q W = ∫ dW = ∫ qdq = = Ep 4πε0 R 8πε0 R 0 0 Gęstość energii pola elektrycznego dE p dW dW dR w = = = − dV dV dR dV 4 3 dV 2 V = πR ⇒ = 4πR 3 dR 2 dW Q = − 2 dR 8πε0 R 2 2 Q 1 1 Q 1 2 w = = ε0 = ε 0 (E(R)) 2 2 2 2 8πε0 R 4πR 2 2 (4πε0 R ) Gęstość energii pola elektrycznego:  1 2 1 ⃗ ⃗ w(x, y, z) = ε0 E (x, y, z) = E ⋅ D 2 2 Prąd elektryczny Wektor gęstości prądu (definicja mikroskopowa): ⃗ j = nev ⃗ n - koncentracja nośników nv ⃗ - strumień nośników Natężenie prądu elektrycznego: I dq ⃗ ⃗ = ∫ j ⋅ dS = dt S Prawo Ohma Pod wpływem siły zewnętrznej (pola elektrycznego) w przewodniku ustala się prędkość nośników ładunku proporcjonalna do siły (jak w ośrodku lepkim). ⃗ ⃗ j = σE σ = const - przewodność właściwa Równanie ciągłości Rozpatrzmy zamkniętą powierzchnię S , wewnątrz której znajduje się w chwili t ładunek q. q = ∫ ρdV V ρ - gęstość ładunku - natężenie prądu elektrycznego wypływającego z powierzchni S. dq I = − dt ∂ρ ⃗ ⃗ I = −∫ dV = ∫ j ⋅ dS ∂t V S Twierdzenia Gaussa: ⃗ ⃗ ⃗ ∫ j ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ j dV S V ∂ρ ⃗ ∫ ∇ ⋅ j dV = − ∫ dV ∂t V V Równanie ciągłości:  ∂ρ ⃗ ∇ ⋅ j = − ∂t Speaker notes  POLE MAGNETYCZNE Siła Lorentza i elektrodynamiczna Dipol magnetyczny Wektor indukcji magnetycznej, prawo Ampere’a Potencjał wektorowy pola magnetycznego Prawo Biota-Savarta Wektor natęŜenia pola magnetycznego, magnetyzacja  POLE MAGNETYCZNE Siła Lorentza r r r Działa na ładunek q, poruszający się z prędkością v w F = qv × B polu magnetycznym o indukcji B Siła elektrodynamiczna Wskutek działania siły Lorentza na poruszające się z prędkością v ładunki, tworzące płynący w przewodniku prąd elektryczny, na element długości przewodnika dl, umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B, działa siła r r r dF = dqv × B = I (v dt × B ) r r I r r r dl dF = Idl × B B dF  DIPOL MAGNETYCZNY F Zamknięty obwód z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym a r F = BIa B S=ab b b M F = 2 BIa sin α = Iab sin α = ISB sin α 2 I r r Moment magnetyczny µ = ISn r r F MF = µ × B F Energia potencjalna dipola magnetycznego w polu magnetycznym jest równa pracy, którą n naleŜy wykonać, by obrócić ramkę od kąta π/2 do α. α α I α B Ep = ∫π M2 F dα = ∫ µB sin αdα = − µB cos α π 2 r r E p = −µ ⋅ B F  PRAWO AMPERE’A N r r r r Bi lim ∑ Bi ⋅ ∆li ≡ ∫ B ⋅ dl = µ 0 I N →∞ i =1 L ∆ li r r r r j ∫ B ⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS r L S przenikalność magnetyczna próŜni JeŜeli pole B ma stałą wartość i jest styczne do konturu r r ∫ B ⋅ dl całkowania w kaŜdym punkcie, to L = BL = µ 0 I L Postać róŜniczkowa prawa Ampere’a Pole od przewodnika r r r r r r prostoliniowego z prądem lim ∫ B ⋅ dl = µ 0 lim ∫∫ j ⋅ dS = µ 0 j ⋅ S B 2πrB = µ 0 I S →0 L S →0 S I r µ0 I 1 r r r B = B(r ) = lim ∫ B ⋅ dl = (rotB )z = µ 0 j z 2πr S →0 S L PoniewaŜ nie istnieją swobodne r r Pole magnetyczne jest ładunki magnetyczne, z prawa Gaussa rotB = µ 0 j polem wirowym wynika, Ŝe r divB = 0  POTENCJAŁ WEKTOROWY POLA MAGNETYCZNEGO PoniewaŜ pole B jest wirowe, tj. jego rotacja nie jest toŜsamościowo równa zeru, nie jest ono gradientem Ŝadnego pola skalarnego (gdyŜ rotacja gradientu jest toŜsamościowo równa zeru), więc B nie jest polem potencjalnym (zachowawczym). MoŜna jednak wprowadzić potencjał wektorowy A r r r B = rotA, z cechowaniem divA = 0 r r Uwaga: ∀ur div(rotu ) = 0 ⇒ divB = div (rotA) = 0 r Równanie Poissona dla potencjału wektorowego ( ) r r r rotB = rot rotA = µ 0 j ( ) ( ) r r r r ∇ × ∇ × A = ∇ ⋅ A ∇ − (∇ ⋅ ∇ )A = −∇ A 2 12r3 123 = divA = 0 =∇ 2 r r ∇ A = − µ 0 j ⇒ ∇ 2 Ax = − µ0 j x , ∇ 2 Ay = − µ0 j y , ∇ 2 Az = − µ 0 j z 2 Potencjał wektorowy pola magnetycznego, pochodzący od elementu przewodnika dl. I Równanie Poissona ma rozwiązanie dl analogiczne jak równanie Poissona dla r potencjału elektrycznego ładunku punktowego r r µ 0 I dl dB=rot(dA) dA = 4π r  PRAWO BIOTA-SAVARTA Pole w punkcie (x,y,z) pochodzące od elementu dl długości przewodnika, zaczepionego w punkcie (x’,y’,z’) dl I r  µ 0 I dl  ( ) r r r (x’,y’,z’) r dB = rot dA = rot  , dl = [dx′, dy ′, dz ′]   4π r  dB(x,y,z) r= (x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2 PoniewaŜ  = ( ) ∂  1  d r −1 ∂r 1 x − x′ =− 2 rx = − 2 ,K to ∂x  r  dr ∂x r r r  ry rz   − dz ′ 3 + dy′ 3  r r r r r r ex ey ez r r  ex e y ez r µ0 I ∂ ∂ ∂ µI  r r µI dB = = 0  − dx′ z3 + dz′ x3  = 0 3 dx′ dy′ dz ′ 4π ∂x ∂y ∂z 4π  r r  4πr dx ′ dy ′ dz ′  rx ry  rx ry rz − dy′ 3 + dx′ 3  r r r  r r  r µ0 I r r r ⇒ dB = dl × r , r = [x − x′, y − y′, z − z ′] 4πr 3  POLE MAGNETYCZNE W MAGNETYKACH B Ośrodki magnetyczne wykazują istnienie wewnętrznego momentu magnetycznego, zaleŜnego od indukcji magnetycznej w ośrodku. Moment ten powoduje wzrost indukcji B w porównaniu do tej, jaką miałaby w nieobecności ośrodka. r r r ∫ B ⋅ dl = 2πrB = µ0 I = N 0 (I 0 + I M ) L L Ilość zwojów cewki Rzeczywisty prąd RównowaŜna wartość natęŜenia prądu, opisująca w kaŜdym zwoju wpływ zaindukowanego momentu magnetycznego Niech moment magnetyczny Magnetyzacja - ośrodka w objętości V wynosi µ moment magnetyczny I0 r r dl jednostki objętości Cewka toroidalna z rdzeniem magnetycznym µ ≡ I M ndl S r rr r µ µ dl gęstość zwojów cewki S V M= = r = I M n r V S dl dl r r r dl r NatęŜenie pola ∫L M ⋅ d l = I M ∫ n L d r l ⋅ dl = I M ∫ n L dl = 2π r I M n = I M N 0 magnetycznego r r v B r r r r r  B r r H≡ −M ⇒ ∫ B ⋅ dl = µ 0 I 0 N 0 + µ 0 ∫ M ⋅ dl ⇒ ∫  − M  ⋅ dl = I 0 N 0 µ0 L L L 0 µ   TRZY WEKTORY MAGNETYCZNE r r ∫ H ⋅ dl = N 0 I 0 L Prawo Ampere’a w magnetykach, napisane dla wektora natęŜenia pola magnetycznego, uwzględnia tylko wpływ prądów rzeczywistych, płynących w ośrodku. Wpływ zaindukowanych momentów magnetycznych uwzględnia względna przenikalność magnetyczna. Dla materiałów paramagnetycznych i diamagnetycznych zakładamy r r B = µ r µ 0 H , µ r = const względna przenikalność magnetyczna r ( ) r B r r 1 r r 1 r H= −M ⇒ M = B − µ0 H = (µ r − 1)µ0 H µ0 µ0 µ0 r r r M = (µ r − 1)H = χ m H , χ m ≡ µ r − 1 = const podatność magnetyczna Dla paramagnetyków χm >0 => M równoległe do H Dla diamagnetyków χm M antyrównoległe do H Związki między wektorami magnetycznymi r r B = µ r µ0 H r r B r H= −M µ0 r r M = χm H INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Zjawisko indukcji elektromagnetycznej, SEM indukcji Prawo Faradaya Samoindukcja, współczynnik samoindukcji Energia i gęstość energii pola magnetycznego Prawa elektrodynamiki w ośrodkach materialnych  INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Element powierzchni „zyskany” L dl x v v w ciągu czasu dt B r r r dl dS = v dt × dl dS r r r dS kierunek obiegu ⇒ dl × v = − konturu vdt dt r r r Na ładunek q, znajdujący się na elemencie dl, działa siła F = qv × B Praca tej siły przy przesunięciu ładunku q o dl r r r r r r r r  dS  r d∆Φ B dW = F ⋅ dl = q(v × B ) ⋅ dl = q (dl × v ) ⋅ B = q − r  ⋅ B = −q  dt  dt r r r r Strumień indukcji magnetycznej ∆Φ B ≡ B ⋅ dS ⇒ Φ B ≡ ∫∫ B ⋅ dS S Całkowita praca, wykonana przez pole magnetyczne r r r dΦ B B nad ładunkiem q podczas przesuwania go wokół W = q ∫ (dl × v ) ⋅ B = −q krzywej zamkniętej L L dt Z punktu widzenia obserwatora, związanego z obwodem, przepływ ładunku wywołany jest przyłoŜeniem róŜnicy potencjałów dΦ B W = E p (L ) − E p (0 ) = q∆U = −q dt Prawo Faradaya dΦ B Siła elektromotoryczna indukcji ma wartość =− dt Reguła Lenza. Siła elektromotoryczna indukcji ma taki zwrot, Ŝe wywołany przez nią przepływ prądu w obwoadzie zamkniętym wytwarza strumień indukcji magnetycznej, przeciwdziałający zmianie strumienia indukcji magnetycznej, obejmowanego przez obwód. Postać róŜniczkowa prawa Faradaya r r ∂ r r = ∫ E ⋅ dl = − ∫∫ B ⋅ dS L ∂t S r r r r ∂ r r ∂ r r lim ∫ E ⋅ dl = S ⋅ rotE = − lim ∫∫ B ⋅ dS = − B ⋅ S S →0 S → 0 ∂t ∂t L S r r ∂B ⇒ rotE = − ∂t  SAMOINDUKCJA Zmianom strumienia indukcji magnetycznej obejmowanego przez obwód zawsze towarzyszy powstanie siły elektromotorycznej. Dotyczy to równieŜ strumienia, wytwarzanego przez prąd, płynący w samym obwodzie. r r r µ 0 I dl × r 4π ∫L r 3 B= w kaŜdym punkcie obwodu dl S r r r Φ B = ∫∫ B ⋅ dS dB współczynnik samoindukcji I S r  µ0  dl × rr  r  Φ B =  ∫∫  ∫ 3  ⋅ dS  I = LI  4π S  L r   L 1444 424444 3 ≡L KaŜdej zmianie natęŜenia prądu towarzyszy pojawienie się siły elektromotorycznej samoindukcji ∂Φ B dI =− = −L ∂t dt  B Przykład: współczynnik samoindukcji dla kabla koncentrycznego xR⇒B=0 dx B r r R µ0 I µ 0 Il R Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = ∫ ldx = ln I I S r 2πx 2π r l µ 0l R ⇒L= ln 2π r R S r x  ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO ZałóŜmy, Ŝe w obwodzie, przez przyłoŜenie zewnętrznej siły elektromotorycznej, dI zmieniamy natęŜenie prądu. Wówczas w obwodzie indukuje się SEM samoindukcji = −L dt Zewnętrzna SEM w celu przesunięcia ładunku dq w tym dI obwodzie musi wykonać pracę dW = Udq = L Idt = LIdI dt Praca potrzebna do wytworzenia w obwodzie prądu I zostaje I 1 zmagazynowana w postaci energii pola magnetycznego W = E p = ∫ Lidi = LI 2 0 2 Gęstość energii pola magnetycznego (energia na jednostkę objętości) Rozpatrzmy ponownie kabel koncentryczny i zwiększmy promień kabla wewnętrznego o dr. Spowoduje to likwidację pola w obszarze dV i zmianę energii pola o dW dV = 2πrldr dW 1 2 dL 1 2 dL 1 µ0lI 2 = I ⇒ dW = I dr = − dr dr 2 dr 2 dr 2 2πr Gęstość energii pola magnetycznego 2 dW 1  µ0 I  1 w=− =   = (B(r ))2 dV 2µ 0  2πr  2µ0 B2 Ogólnie w= 2µ0 PRAWA ELEKTRODYNAMIKI W OSRODKACH MATERIALNYCH (dotychczas poznane; nie jest to jeszcze pełny układ równań Maxwella) r r r Prawo Gaussa ∫∫ D ⋅ dS = q ⇔ divD = ρ S r r r ∂Φ B r ∂B Prawo Faradaya ∫L E ⋅ dl = − ∂t ⇔ rot E = − ∂t r r r ∫∫ B ⋅ dS = 0 ⇔ divB = 0 S r r r r Prawo Ampere’a ∫ H ⋅ dl = I ⇔ rotH = j L Równania materiałowe r r D = ε rε 0 E r r B = µr µ0 H r r j = σE Gęstość energii pola elektromagnetycznego 1 r r 1 r r w = E⋅D+ H ⋅B 2 2  RÓWNANIA MAXWELLA Prąd przesunięcia Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne Płaskie fale elektromagnetyczne Wektor Pointinga Warunki brzegowe dla równań Maxwella  PRĄD PRZESUNIĘCIA Prawo Ampere’a jest niepełne, poniewaŜ pozostaje w sprzeczności z zasadą zachowania ładunku Przykład 1 σ=D r r r r ∫ B ⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS = µ0 I ≠ 0 L S1 I r r r r ∫ L B ⋅ d l = µ 0 ∫∫ j ⋅ dS = 0 S2 sprzeczność L dq d ( Aσ ) d S1 A =I= = ( AD ) S2 dt dt dt r r dΦ D Wprowadzamy pojęcie prądu przesunięcia Φ D ≡ ∫∫ D ⋅ dS ⇒ I p ≡ S dt Strumień wektora indukcji magnetycznej Przykład 2 r Dla dowolnego wektora w div(rotw) = 0 ⇒ div(rotH ) = 0 r r r r Z prawa Ampere’a rotH = j ⇒ divj = 0 Gęstość prądu j spełnia r ∂ρ r W ogólności więc div j nie równanie ciągłości, gdzie divj + = 0 ⇒ divj ≠ 0 znika i znów pojawia się ∂t sprzeczność ρ - gęstość ładunku  Równanie ciągłości r r r ∂ r  r ∂D  Z prawa Gaussa ρ = divD ⇒ divj + (divD ) = div j + =0 ∂t  ∂t  r r r ∂D r r r ∂D gęstość pradu ⇒ j+ = j + j p = const , j p ≡ ∂t ∂t przesunięcia Suma prądu przewodzenia i prądu przesunięcia pozostaje stała Ponadto prawo Ampere’a i prawo Faradaya są niesymetryczne r r ∂B rotE = − Pole elektryczne jest indukowane przez zmienne pole magnetyczne ∂t r r Pole magnetyczne jest indukowane przez przepływ prądu elektrycznego, a rotB = µ 0 j powinno być równieŜ indukowane przez zmienne pole elektryczne Wniosek: w prawie Ampere’a naleŜy dokonać zamiany r r r r r ∂D j → j + jp = j + ∂t  RÓWNANIA MAXWELLA Równania Maxwella opisują całą elektrodynamikę klasyczną. Jest to pierwsza w fizyce kompletna teoria pola i pierwsza unifikacja oddziaływań (elektrycznych i magnetycznych) r r r ∫∫ D ⋅ dS = q ⇔ ∇ ⋅ D = ρ S Prawo Gaussa r r r ∂Φ B r ∂B ∫L E ⋅ dl = − ∂t ⇔ ∇ × E = − ∂t Prawo Faradaya r r r ∫∫ B ⋅ dS = 0 ⇔ ∇ ⋅ B = 0 S r Prawo Ampere’a uwzględniające r r ∂Φ D r r ∂D ∫L H ⋅ dl = I + ∂t ⇔ ∇ × H = j + ∂t prąd przesunięcia Równania materiałowe r r r r D = ε rε 0 E = ε 0 E + P r r r r B = µ r µ0 H = µ0 H + M r r j = σE  FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Rozpatrujemy przestrzeń bez ładunków, prądów, materiałów magnetycznych, dielektryków itp. r r 2 r r r ∂H ∂E ∂ H ∇⋅E = 0 ∇ × E = −µr µ0 ⇒ ∇× = −µ r µ0 2  Równania Maxwella ∂t r r ∂t ∂t  ⇒ dla próŜni r r ∂E ∂E 1 r  ∇⋅H = 0 ∇ × H = ε rε 0 ⇒ = ∇× H  ∂t ∂t ε r ε 0  2 r r ∂ H ⇒ ∇ × (∇ × H ) = − µ r µ 0ε r ε 0 2 ∂t r r r 2 r ∇ × (∇ × H ) = ∇ ⋅ (∇ ⋅ H ) − (∇ ⋅ ∇ )H = −∇ H 123 123 =0 =∇ 2 2 r r ∂ H ⇒ −∇ H = − µ r µ 0ε r ε 0 2 2 (oraz analogiczne równanie dla ∂t wektora E) Równanie r  2 r 1 ∂2H falowe dla − ∇ H + v 2 ∂t 2 = 0 1 fal ⇒ 2 r v= elektroma- r  − ∇2E + 1 ∂ E µ r µ 0ε r ε 0 =0 gnetycznych   v ∂t 2 2 Z równań Maxwella wynika równanie falowe dla fal elektromagnetycznych  PŁASKIE FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Rozpatrujemy płaskie fale elektromagnetyczne, rozchodzące się wzdłuŜ osi Ox r r r i (ωt −kx ) r r r r E = E ( x , t ) = E0 e  ∂E ∂E ∂H ∂H r r r i (ωt −kx )  ⇒ = = = =0 H = H ( x, t ) = H 0 e  ∂y ∂z ∂y ∂z r ∂E x r ∂H x divE = 0 ⇒ = 0, divH = 0 ⇒ =0 ∂x ∂x     r r r  ∂H z ∂H y  r  ∂H x ∂H z  r  ∂H y ∂H x  ∂E ∇ × H = ex  −  + e y  − +  x e  −  = ε ε r 0 1∂4 y 4244 ∂z  3 {∂z ∂x   ∂x ∂ { y ∂t =0  =0   =0  ∂E x ∂H z ∂E y ∂H y ∂E ⇒ 0 = ε rε 0 , − = ε rε 0 , = ε rε 0 z ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t r r ∂H ∂H x ∂E z ∂H y ∂E y ∂H z ∇ × E = −µ r µ0 ⇒ 0 = −µ r µ0 , − = −µ r µ , = −µr µ ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t  ∂E x  ∂E x   ∂t = 0  ∧ = 0  ⇒ E x = const = 0 Wniosek: płaskie fale ⇒  ∂x  elektromagnetyczne są falami  ∂H x = 0  ∧ ∂H x = 0  ⇒ H x = const = 0 poprzecznymi  ∂t  ∂x   E ∂E z ∂E z Przyjmijmy Hy = 0. Wówczas = = const = 0 ∂x ∂t otrzymujemy rozwiązanie w H z = H z ( x, t ) = H 0, z ei (ωt −kx ) k=E x H postaci E y = E y ( x, t ) = E0, y ei (ωt −kx ) H Jest to szczególne rozwiązanie układu równań falowych, opisujące falę płaską, spolaryzowaną liniowo, rozprzestrzeniającą się wzdłuŜ osi Ox z prędkością 1 1 v= , w próŜni v=c= ≈ 3 ⋅ 108 m s ε 0ε r µ 0 µ r ε 0 µ0 ∂H z ∂E y Po wstawieniu powyŜszych rozwiązań do równania − = ε rε 0 ∂x ∂t otrzymujemy ikH z = iωε r ε 0 E y Ey k T 1 1 1 µr µ0 ⇒ = = = = Hz ωε r ε 0 λ ε rε 0 v ε rε 0 ε rε 0 µr µ0 Z≡ Impedancja falowa ośrodka (zaleŜna tylko od właściwości ε rε 0 ośrodka)  r WEKTOR POINTINGA r r ∂D r ∇× H = j + ⋅ − E r r r r ∂B r r r r ∂D r r ∂rt + ⇒ H ⋅ (∇ × E ) + H ⋅ − E ⋅ (∇ × H ) + E ⋅ = −j ⋅E r ∂B r  ∂t ∂t ∇× E = − ⋅H  ∂t  Korzystamy z toŜsamości  r r r r r r  r ( ) r ( ) ( H ⋅ ∇× E − E ⋅ ∇× H = ∇⋅ E × H )  ∇ ⋅ ( r r r r E × H )+ j ⋅ E = r ∂D r ∂E 1 ∂ r r ∂  ε r ε 0 E  2 E⋅ = D⋅ = (E ⋅ D ) =   ⇒ ∂  ε rε 0 E 2 = −  + B2   ∂t ∂t 2 ∂t ∂t  2  r r ∂t  2 2µ r µ0  r ∂B r ∂H 1 ∂ r r ∂  B  2 H⋅ = B⋅ = (H ⋅ B ) =   ∂t ∂t 2 ∂t ∂t  2 ?