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# Algèbre linéaire et géométrie analytique ## Chapitre 1. Vecteurs dans le plan et dans l'espace ### 1.1 Introduction Ce chapitre présente les notions de base de l'algèbre linéaire, notamment les vecteurs, les opérations sur les vecteurs et les systèmes de coordonnées. Ces notions seront utilisée...

# Algèbre linéaire et géométrie analytique ## Chapitre 1. Vecteurs dans le plan et dans l'espace ### 1.1 Introduction Ce chapitre présente les notions de base de l'algèbre linéaire, notamment les vecteurs, les opérations sur les vecteurs et les systèmes de coordonnées. Ces notions seront utilisées tout au long du cours. ### 1.2 Vecteurs géométriques Un vecteur géométrique est un objet mathématique défini par sa direction, son sens et sa magnitude. Il est représenté par une flèche qui pointe dans la direction du vecteur et dont la longueur est proportionnelle à sa magnitude. **Exemple:** Un vecteur de déplacement représente le déplacement d'un point dans l'espace. ### 1.3 Composantes d'un vecteur Dans un système de coordonnées cartésiennes, tout vecteur peut être décomposé en une somme de vecteurs parallèles aux axes de coordonnées. Ces vecteurs sont appelés les composantes du vecteur. **Exemple:** Dans un système de coordonnées à deux dimensions, un vecteur $\overrightarrow{v}$ peut être décomposé en deux composantes, $\overrightarrow{v_x}$ et $\overrightarrow{v_y}$, qui sont parallèles aux axes x et y, respectivement. ### 1.4 Opérations sur les vecteurs Les vecteurs peuvent être additionnés, soustraits et multipliés par des scalaires. #### 1.4.1 Addition de vecteurs La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ dont la direction et la magnitude sont obtenues en plaçant l'origine de $\overrightarrow{v}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{u}$. Le vecteur résultant est alors le vecteur qui va de l'origine de $\overrightarrow{u}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{v}$. **Règle du parallélogramme:** L'addition de deux vecteurs peut également être effectuée en construisant un parallélogramme dont les côtés sont les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. La diagonale du parallélogramme qui part de l'origine commune de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est alors le vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$. #### 1.4.2 Soustraction de vecteurs La différence de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ qui est obtenu en additionnant $\overrightarrow{u}$ avec l'opposé de $\overrightarrow{v}$, c'est-à-dire $-\overrightarrow{v}$. #### 1.4.3 Multiplication par un scalaire Le produit d'un vecteur $\overrightarrow{v}$ par un scalaire $k$ est un vecteur $k\overrightarrow{v}$ dont la direction est la même que celle de $\overrightarrow{v}$ et dont la magnitude est $|k|$ fois la magnitude de $\overrightarrow{v}$. Si $k$ est positif, alors $k\overrightarrow{v}$ a le même sens que $\overrightarrow{v}$. Si $k$ est négatif, alors $k\overrightarrow{v}$ a le sens opposé à celui de $\overrightarrow{v}$. ### 1.5 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, est un scalaire défini par: $\qquad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot \cos(\theta)$ où $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ sont les magnitudes de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, respectivement, et $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. **Propriétés du produit scalaire:** * $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ * $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ * $(k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$ * $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = ||\overrightarrow{u}||^2$ ### 1.6 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$, est un vecteur dont la direction est perpendiculaire au plan contenant $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, dont le sens est donné par la règle de la main droite, et dont la magnitude est: $\qquad ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|| = ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot \sin(\theta)$ où $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ sont les magnitudes de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, respectivement, et $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. **Propriétés du produit vectoriel:** * $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}$ * $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w}$ * $(k\overrightarrow{u}) \times \overrightarrow{v} = k(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})$ * $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ ### 1.7 Applications Les vecteurs sont utilisés dans de nombreuses applications en physique, en ingénierie et en informatique. Par exemple, ils peuvent être utilisés pour représenter des forces, des vitesses, des accélérations et des champs électriques. Ils sont également utilisés dans les graphiques informatiques, la robotique et l'intelligence artificielle. ### 1.8 Résumé Ce chapitre a présenté les notions de base de l'algèbre linéaire, notamment les vecteurs, les opérations sur les vecteurs et les systèmes de coordonnées. Ces notions seront utilisées tout au long du cours.