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# Teorema de Bayes Na teoria da probabilidade e na estatística, o teorema de Bayes (alternativamente lei de Bayes ou regra de Bayes) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas com o evento. Formalmente, o teorema de Bayes é expres...

# Teorema de Bayes Na teoria da probabilidade e na estatística, o teorema de Bayes (alternativamente lei de Bayes ou regra de Bayes) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas com o evento. Formalmente, o teorema de Bayes é expresso como: $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ Onde: * $P(A|B)$ é a probabilidade *a posteriori* de A, dado B é verdadeiro. * $P(B|A)$ é a probabilidade de B, dado que A é verdadeiro. * $P(A)$ é a probabilidade *a priori* de A. * $P(B)$ é a probabilidade *a priori* de B. ## Derivação O teorema de Bayes pode ser derivado da probabilidade condicional: $$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) $$ Assim: $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ Onde $P(B)$ pode ser calculado por: $$ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) $$ ## Exemplo Considere que um determinado teste para detectar o uso de drogas tem 99% de sensibilidade e 99% de especificidade. Ou seja, o teste produzirá um resultado positivo em 99% das vezes que um usuário de drogas é testado e um resultado negativo em 99% das vezes que um não-usuário é testado. Suponha que 0,5% das pessoas são usuárias de drogas. Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente que testa positivo realmente ser um usuário de drogas? $$ \begin{aligned} P(\text{Usuário } | \text{ Positivo}) &= \frac{P(\text{Positivo } | \text{ Usuário})P(\text{Usuário})}{P(\text{Positivo})} \\ &= \frac{P(\text{Positivo } | \text{ Usuário})P(\text{Usuário})}{P(\text{Positivo } | \text{ Usuário})P(\text{Usuário}) + P(\text{Positivo } | \text{ Não Usuário})P(\text{Não Usuário})} \\ &= \frac{0,99 \times 0,005}{0,99 \times 0,005 + 0,01 \times 0,995} \\ &\approx 0,332 \text{ ou } 33,2\% \end{aligned} $$ Apesar da alta sensibilidade e especificidade do teste, apenas aproximadamente 33,2% das pessoas que testam positivo são realmente usuários de drogas. Isso ocorre porque a prevalência do uso de drogas é baixa (0,5%). Este exemplo ilustra como o teorema de Bayes pode ser usado para interpretar os resultados de testes diagnósticos, levando em consideração a probabilidade *a priori* da condição que está sendo testada.