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# Matrizen ## Einführung Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema (oder eine Tabelle) von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. **Beispiel:** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ist eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten. Wir sagen, dass A eine $2 \times 3$ Ma...

# Matrizen ## Einführung Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema (oder eine Tabelle) von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. **Beispiel:** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ist eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten. Wir sagen, dass A eine $2 \times 3$ Matrix ist. * Die Zahlen in der Matrix werden als Elemente bezeichnet. * Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte wird mit $a_{ij}$ bezeichnet. Im obigen Beispiel ist $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{13} = 3$, $a_{21} = 4$, $a_{22} = 5$, $a_{23} = 6$. ## Matrixaddition und Skalarmultiplikation Wenn A und B Matrizen derselben Größe sind, dann ist ihre Summe A + B die Matrix, die durch Addieren der entsprechenden Elemente von A und B erhalten wird. **Beispiel:** $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$ Wenn A eine Matrix und c ein Skalar ist, dann ist das Skalarprodukt cA die Matrix, die durch Multiplizieren jedes Elements von A mit c erhalten wird. **Beispiel:** $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \\ 2\cdot3 & 2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ ## Matrixmultiplikation Wenn A eine $m \times n$ Matrix und B eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist ihr Produkt AB die $m \times p$ Matrix, deren (i, j)-tes Element wie folgt berechnet wird: Multipliziere die Elemente der i-ten Zeile von A mit den entsprechenden Elementen der j-ten Spalte von B und addiere die Ergebnisse. **Beispiel:** $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ **Beachte:** Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen ist $AB \neq BA$. ## Transponierte einer Matrix Die Transponierte einer Matrix A, bezeichnet mit $A^T$, ist die Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhalten wird. **Beispiel:** Wenn $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$, dann ist $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. ## Spezielle Matrizen * Eine **quadratische Matrix** ist eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten. * Eine **Diagonalmatrix** ist eine quadratische Matrix, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonale alle Null sind. * Eine **Einheitsmatrix** (oder Identitätsmatrix), bezeichnet mit I, ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale alle 1 sind. **Beispiel:** $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist die $2 \times 2$ Einheitsmatrix. ## Inverse einer Matrix Wenn A eine quadratische Matrix ist, dann ist ihre Inverse, bezeichnet mit $A^{-1}$, die Matrix, für die gilt: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ wobei I die Einheitsmatrix ist. Nicht alle Matrizen haben eine Inverse. Eine Matrix, die eine Inverse hat, wird als invertierbar oder regulär bezeichnet. ## Determinante einer Matrix Die Determinante einer quadratischen Matrix A, bezeichnet mit det(A) oder |A|, ist eine Zahl, die bestimmte Eigenschaften der Matrix beschreibt. Für eine $2 \times 2$ Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist die Determinante wie folgt definiert: $det(A) = ad - bc$ Eine Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. ## Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten) von A. Der Rang einer Matrix kann mit verschiedenen Methoden berechnet werden, z.B. durch Reduktion auf Zeilenstufenform.