Funciones de Varias Variables

<p>El conjunto de puntos que forma una circunferencia. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>𝑥 + 𝑦 &gt; 100. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Es solo un punto en el origen. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Representa los puntos donde la función toma un valor específico. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Es una superficie que se puede ver como un techo inclinado. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>L (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Criterio del sándwich (B)</p> Signup and view all the answers

<p>0 (C)</p> Signup and view all the answers

<p>L + M (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Si $g(x, y) ightarrow L$ y $h(x, y) ightarrow L$ (C)</p> Signup and view all the answers

<p>lim$(x, y)$ → (a, b) = k (C)</p> Signup and view all the answers

<p>LM (D)</p> Signup and view all the answers

<p>El cuadrado simbólico que incluye incrementos y derivadas (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Los límites de funciones de varias variables siempre son constantes. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>La continuidad de las derivadas parciales segundas (C)</p> Signup and view all the answers

<p>$d f = (dx + dy)^2$ (C)</p> Signup and view all the answers

<p>$d^2 f = rac{ ext{d}^2f}{ ext{d}x^2} + 2 rac{ ext{d}^2f}{ ext{d}x ext{d}y} + rac{ ext{d}^2f}{ ext{d}y^2}$ (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Para indicar una relación entre incrementos y derivadas (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Solo es aplicable en un entorno del punto dado. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Para permitir la aplicación del teorema de la función implícita. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Una condición bajo la cual se aplica el teorema. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Es única solo cerca del punto considerado. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Se obtienen las derivadas parciales de la función implícita. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>La ecuación define implícitamente a una variable como función de las demás. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Como una combinación de las derivadas parciales. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Donde se cumplen ciertas condiciones de continuidad. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>El cambio en el valor de f cuando (x, y) cambia a (a + ∆x, b + ∆y). (A)</p> Signup and view all the answers

<p>f(a, b) + Df(a, b)(x - a) + Df(a, b)(y - b) (A)</p> Signup and view all the answers

<p>∆𝑧 debe poder expresarse en términos de ∆𝑥 y ∆𝑦 con ∈ tendiendo a cero. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>f(x, y) = f(a, b) + Df(a, b)(x - a) + Df(a, b)(y - b) (A)</p> Signup and view all the answers

<p>El incremento de f se vuelven irrelevantes al aproximarse a (a, b). (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Implica que la aproximación lineal tiene un margen de error pequeño. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Las derivadas parciales de f en el punto (a, b). (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Que la función sea continua y sus derivadas existan. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Tienden a cero. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Existen derivadas parciales continuas en (𝑎, 𝑏) (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Cambio total de la función f en (𝑎, 𝑏) (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La función debe ser diferenciable en (𝑎, 𝑏) (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La función f es continua en (𝑎, 𝑏) (C)</p> Signup and view all the answers

<p>𝑑𝑧 = 𝑓 (x,y)𝑑x + 𝑓 (x,y)𝑑y (A)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite de 𝑓(𝑥, 𝑦) al acercarse a (1,0) es 0 (D)</p> Signup and view all the answers

<p>La función es diferenciable en (𝑎, 𝑏) (B)</p> Signup and view all the answers

<p>El cambio en la altura de la recta tangente cuando x varía (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Obtener una expresión sencilla de ∆𝑧 (B)</p> Signup and view all the answers

<p>El conjunto de todos los puntos donde la función está bien definida. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Es la variable que depende de las otras variables independientes. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Es el conjunto de valores que toma la función al evaluar el dominio. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Indica la relación entre dos variables independientes y su resultado. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>1 (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Que solo un resultado real está asociado a cada entrada. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Son las variables cuyas modificaciones afectan directamente el resultado. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La función no tiene un valor real definido. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>El conjunto de todos los valores que puede tomar la función. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>5 (D)</p> Signup and view all the answers

<p>El conjunto de todos los puntos cuya función es igual a k. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Todos los números reales. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Un único punto en el origen. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Las superficies de nivel pueden ser curvas cerradas. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Esferas con centro en el origen. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Puntos que están a una distancia menor que 𝛿 de (𝑎, 𝑏). (A)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite es indeterminado. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Usar una curva que pase por el origen. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Los valores de la función f(x,y) se acercan a cero. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite de f(x,y) también debe ser L. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite puede ser diferente de 0. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite puede tener diferentes valores. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Reducir la función a una de una sola variable. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite por el eje Y puede no ser 0. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Que el límite de f en (x, y) es igual a f(x, y). (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Que f no tiene límite en (x, y). (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Utilizar la definición de límite. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La suma de dos funciones continuas es continua. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Que la función puede ser discontinua en (x, y). (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Analizar la continuidad de la función en el punto. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>El límite no se aproxima al valor de la función en ese punto. (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Que exista un límite en ese punto. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>La variación de 𝑓 en función de cambios en 𝑥 y 𝑦. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Las derivadas parciales existen y son continuas en el punto. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La función $f$ es diferenciable en (𝑎, 𝑏). (B)</p> Signup and view all the answers

<p>∆𝑧 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏). (D)</p> Signup and view all the answers

<p>Se puede aproximar mediante una función lineal cerca de (𝑎, 𝑏). (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Un término de error que va a cero. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>∆𝑧, derivados parciales y sus límites. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>Que la función se puede aproximar a una lineal en el intervalo. (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Se aísla el término de error. (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La relación entre cambios en las variables y la función. (A)</p> Signup and view all the answers

<p>{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑦 ≥ 𝑥} (D)</p> Signup and view all the answers

<p>[0, +∞) (D)</p> Signup and view all the answers

<p>{𝑐} (B)</p> Signup and view all the answers

<p>𝑥 + 𝑦 ≠ 0 (A)</p> Signup and view all the answers

<p>Función lineal (C)</p> Signup and view all the answers

<p>La función es indeterminada en (0,0). (D)</p> Signup and view all the answers

<p>{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 𝑦 ≠ 0} (B)</p> Signup and view all the answers

<p>Cualquier número real (C)</p> Signup and view all the answers

Conjunto de puntos (x, y) en el dominio de una función f(x, y) donde f(x, y) es igual a una constante k.

Una función que relaciona dos variables independientes (x, y) con una variable dependiente (z).

El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los cuales la función f(x, y) está definida.

El conjunto de todos los posibles valores de f(x, y) cuando (x, y) está en el dominio.

El conjunto de todos los puntos (x, y) en el dominio de f para los que f(x, y) = k, donde k es una constante.

Una representación tridimensional de la función f(x, y) en el espacio xyz.

Un plano paralelo al plano xy que está a una altura constante z = c.

La representación visual de una función de dos variables en el espacio tridimensional.

El valor al que se aproxima una función cuando las variables independientes se aproximan a un punto específico.

Si hay dos funciones que encierran a una tercera y sus límites a un punto son iguales, entonces el límite de la función encerrada también es igual.

El límite de una constante (cualquier número) es la propia constante.

El valor al que se aproxima una función de una sola variable cuando la variable se aproxima a un punto específico.

El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.

El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.

La función se acerca a un valor específico cuando x e y se acercan a valores específicos.

Una función de dos variables, f(x, y), es diferenciable en un punto (a, b) si su incremento ∆z puede expresarse en la forma ∆z = ∂f(a,b)/∂x * ∆x + ∂f(a,b)/∂y * ∆y + ε₁∆x + ε₂∆y, donde ε₁ y ε₂ tienden a 0 cuando (∆x, ∆y) tiende a (0, 0).

El cambio en el valor de una función f(x, y) cuando (x, y) cambia de (a, b) a (a + ∆x, b + ∆y). Representado por ∆z = f(a + ∆x, b + ∆y) - f(a, b).

La mejor aproximación lineal de una función f(x, y) cerca de un punto (a, b) se expresa como f(a, b) + ∂f(a,b)/∂x * (x - a) + ∂f(a,b)/∂y * (y - b) , dónde ∂f(a,b)/∂x y ∂f(a,b)/∂y son las derivadas parciales en (a,b).

Son las derivadas de una función de varias variables con respecto a una variable, manteniendo las otras constantes.

Representa las derivadas parciales de la función en el punto (a,b), y es crucial para la representación de una aproximación lineal de la función.

Representa la parte residual del error en la aproximación lineal de una función. Tiende a 0 cuando los cambios en las variables (∆x, ∆y) se acercan a cero.

Una función es diferenciable en un punto si se ajusta perfectamente mediante un ajuste lineal, y el error (ε) en el ajuste disminuye a medida que se aproximan los puntos.

Un punto específico en el dominio de la función alrededor del cual se evalúa la diferenciabilidad y la aproximación lineal.

Es la derivada segunda de una función de dos variables, representada por d²f, y se calcula aplicando la derivada segunda a la función.

Son las derivadas de una función de dos variables con respecto a las diferentes variables, por ejemplo, ∂²f/∂x∂y y ∂²f/∂y∂x.

Es la mejor aproximación local de una función diferenciable en un punto específico (a, b).

En funciones que cumplen ciertas condiciones de continuidad, las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son iguales; ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.

Representa el cambio en las variables x e y respectivamente. Necesarios para analizar el cambio en la función f.

Se puede expresar d²f como la suma de las derivadas segundas parciales multiplicadas por los diferenciales al cuadrado (dx² y dy²) y el doble producto cruzado de las derivadas cruzadas (2(∂²f/∂x∂y)dxdy).

Se utiliza una expresión simbólica para representar d²f como un cuadrado simbólico, donde las derivadas indican el orden y los diferenciales indican las potencias efectivas: (∂/∂x + ∂/∂y)²f.

Es la mejor aproximación lineal a una función de dos variables en un punto.

Es la expresión que representa el cambio infinitesimal en la función z=f(x,y) en función de los cambios infinitesimales en x e y. Representa el cambio en el plano tangente.

Condiciones necesarias para que una función sea diferenciable. Si las derivadas parciales son continuas en un punto, la función es diferenciable en ese punto.

Variable independiente, puede recibir cualquier valor real.

Variable independiente, puede recibir cualquier valor real.

Cambios pequeños en x e y. Aproximaciones a los cambios infinitesimales.

El teorema solo funciona en una vecindad pequeña del punto específico. Puede no aplicarse a otros puntos.

En el teorema particular de la función implícita, U y V representan las vecindades del punto. Deben elegirse lo suficientemente pequeñas para que el teorema funcione.

La necesidad de vecindades pequeñas (U y V) para aplicar el teorema de la función implícita. Una función puede ser única cerca de un punto, pero no globalmente.

Si una ecuación define implícitamente una función z = f(x, y), puedes usar la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales de z.

Derivando w (la función) respecto a x (manteniendo y constante) y luego derivando w respecto a y (manteniendo x constante)

Si las derivadas parciales de la función son continuas en un entorno del punto, la ecuación define implícitamente a z como función de x e y en un entorno del punto. Es similar al caso de dos variables.

El plano tangente a la superficie dada por la ecuación z=f(x, y) en (a, b) es la mejor aproximación lineal a la función en ese punto.

Se puede representar una superficie como gráfica de una función diferenciable cerca de los puntos donde la ecuación define implícitamente a z como función de x e y.

El conjunto de todos los puntos (x, y) para los cuales la función f(x, y) está definida.

La variable cuyo valor depende de los valores de otras variables.

Las variables que pueden tomar cualquier valor dentro del dominio de la función.

El conjunto de todos los valores que la función 𝑓 puede tomar.

Una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 para todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) en su dominio.

Una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘, donde 𝑘 es una constante.

Una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son constantes.

El conjunto de todos los puntos en el dominio de una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) donde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 (constante).

Un conjunto de puntos en el plano que están a menos de una cierta distancia de un punto central dado.

Cuando la distancia entre 𝑥 y 𝑥 es menor que una cantidad pequeña 𝛿.

El valor al que se acerca la función cuando la variable o las variables independientes se acercan a un valor específico.

Una función que siempre devuelve el valor 0, independientemente de los valores de entrada.

Una función que siempre devuelve el mismo valor, una constante, para cualquier entrada.

El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los cuales la función está definida.

El conjunto de todos los valores posibles que la función puede tomar cuando se evalúa en su dominio.

Una función que es el cociente de dos polinomios en x e y.

Una función que se expresa como una constante elevada a una expresión que involucra las variables x e y.

Una función que se expresa como el logaritmo de una expresión que involucra las variables x e y.

Cuando al evaluar un límite, se obtiene una expresión como 0/0 o ∞/∞, no se puede determinar el valor del límite directamente.

Para hallar el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b), podemos aproximar a (a, b) a través de diferentes caminos dados por curvas que pasan por el punto límite.

Si existe el límite lim(x, y)→(a, b) f(x, y) = L, el límite a lo largo de cualquier camino también debe ser L. Si los límites a lo largo de diferentes caminos son distintos, el límite no existe.

Encontrar el límite de una función cuando (x, y) se aproxima a (0, 0) a lo largo del eje x, es decir, cuando y = 0.

Encontrar el límite de una función cuando (x, y) se aproxima a (0, 0) a lo largo del eje y, es decir, cuando x = 0.

Si el límite de una función es distinto al aproximarse a un punto a lo largo de caminos distintos, entonces el límite no existe.

Las ideas que se utilizaron para calcular límites de funciones de una variable en Análisis Matemático I se pueden aplicar a límites de dos variables.

La función está definida para todos los pares ordenados (x, y) en el plano real, excepto para el punto (0, 0).

Una función de dos variables es continua en un punto si su límite en ese punto es igual al valor de la función en ese punto.

Puedes intentar determinar el límite en un punto usando diferentes caminos hacia este punto, si el límite es el mismo para todos los caminos, entonces existe el límite, de lo contrario la función no tiene límite.

Puedes convertir el límite en términos de coordenadas polares (r, θ) para facilitar el cálculo, especialmente cuando el dominio de la función es radial.

Simplificar una expresión significa manipularla algebraicamente para obtener una forma más simple que se pueda evaluar directamente en un punto (x, y).

Una función es discontinua en un punto si no es continua en ese punto, es decir, si no se cumplen las condiciones de continuidad.

Puedes redefinir una función para hacerla continua en un punto donde originalmente era discontinua. Esto se hace dando a la función un nuevo valor en ese punto.

Una función de dos variables, f(x, y), es diferenciable en un punto (a, b) si su incremento ∆z puede expresarse en la forma ∆z = ∂f(a,b)/∂x * ∆x + ∂f(a,b)/∂y * ∆y + ε₁∆x + ε₂∆y, donde ε₁ y ε₂ tienden a 0 cuando (∆x, ∆y) tiende a (0, 0).

El cambio en el valor de una función f(x, y) cuando (x, y) cambia de (a, b) a (a + ∆x, b + ∆y). Representado por ∆z = f(a + ∆x, b + ∆y) - f(a, b).

Si las derivadas parciales 𝑓 𝑦 𝑓 existen cerca de (𝑎, 𝑏) y son continuas en (𝑎, 𝑏) entonces f es diferenciable en (𝑎, 𝑏).

Se utiliza para demostrar la diferenciabilidad de una función de dos variables, aplicándolo a funciones de una variable definidas en intervalos relacionados con las derivadas parciales.

Representan la parte residual del error en la aproximación lineal de la función. Tiende a 0 cuando los cambios en las variables (∆x, ∆y) se acercan a cero.

La mejor aproximación lineal de una función f(x, y) cerca de un punto (a, b) se expresa como f(a, b) + ∂f(a,b)/∂x * (x - a) + ∂f(a,b)/∂y * (y - b) , dónde ∂f(a,b)/∂x y ∂f(a,b)/∂y son las derivadas parciales en (a,b).

Son las derivadas de una función de varias variables con respecto a una variable, manteniendo las otras constantes.

Una función es diferenciable en un punto si se ajusta perfectamente mediante un ajuste lineal, y el error (ε) en el ajuste disminuye a medida que se aproximan los puntos.