UE2 - Value - #1 - Introduction to Value and Risk - 24 Oct 2023 PDF

#2 – VALEUR ET RISQUE I. Introduction La notion de risque est très polysémique. Appliquée à la finance, le risque se définit comme la volatilité du rendement d’un actif. Cela signifie que l’on distingue deux types d’actifs : - Les actifs dits sans risque, qui apportent un rendement positif à leu...

#2 – VALEUR ET RISQUE I. Introduction La notion de risque est très polysémique. Appliquée à la finance, le risque se définit comme la volatilité du rendement d’un actif. Cela signifie que l’on distingue deux types d’actifs : - Les actifs dits sans risque, qui apportent un rendement positif à leur propriétaire, avec une probabilité de 100% (ex : des bons du Trésor, un Livret A, etc.) - Les actifs risqués, qui apportent des rendements à leur propriétaire selon une certaine probabilité (ex : les actions, produits dérivés, etc.). L’enjeu de cette fiche est de comprendre le mécanisme général qui relie le rendement attendu d’un actif et le risque qu’il présente, en décomposant le risque en plusieurs composantes distinctes. II. Les principaux indicateurs utilisés a) La valeur Le rendement d’un actif permet de comparer, de manière générale, les gains réalisés par son propriétaire grâce à sa détention et son coût d’acquisition. Une règle générale prévaut sur les marchés : un actif vaut pour ce qu’il va rapporter. Ainsi en théorie un actif n’a pas de valeur du fait de ses gains passés mais par l’espoir de gains futurs. L’analyse détaillée de la valeur et ses méthodes de calcul sont vues dans la fiche N°3 « Valeur et Performance » b) Le risque / La variance -1- La variance constitue la principale mesure du risque d’un actif, avec l’écart-type qui s’obtient à partir de la racine carrée de la variance. Il faut distinguer : - La variance systémique : il s’agit de la variance du marché en lui-même, de l’instabilité de l’environnement au sein duquel l’actif évolue ; - La variance spécifique : il s’agit du risque représenté par l’actif lui-même, sans rapport avec l’environnement ; - La variance totale Les trois variances sont reliées par la relation suivante : 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 2 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝜎𝑀 + 𝜖𝑖2 Un actif peut donc présenter une volatilité élevée, donc un risque élevé, tout en étant un titre défensif par rapport au marché sur lequel il opère. c) Le bêta Définition : le bêta d’un actif présente la volatilité relative d’un actif par rapport au marché considéré. L’interprétation de la valeur du bêta On distinguera : - Les actifs défensifs, dont le bêta a une valeur absolue inférieure à 1 : cela signifie que leur rendement varie moins que le marché sur lequel ils prennent place - Les actifs offensifs, dont le bêta présente une valeur absolue supérieure à 1. Dans ce cas ils varient davantage que le marché, ce qui permet d’obtenir des rendements supérieurs mais entraîne également des pertes potentielles plus élevées. Par ailleurs, on peut distinguer les actifs : - Dont le bêta est positif : dans ce cas le rendement de l’actif varie globalement dans le même sens que le marché -2- - Dont le bêta est négatif : dans ce cas le rendement de l’actif varie en sens contraire au marché. Méthode 1 de calcul du bêta de l’actif économique – méthode ModiglianiMiller Le bêta de l’actif économique représente le bêta des fonds propres sans effet de levier. Calcul du bêta des fonds propres pour les sociétés cotées Le bêta d’un actif se calcule de la manière suivante : 𝛽𝑖 = 𝜎𝑖𝑀 2 𝜎𝑀 2 Avec 𝜎𝑖𝑀 la covariance de l’actif i par rapport au marché et 𝜎𝑀 la variance du marché. Remarque : un actif dont le bêta est proche de 0 n’est pas nécessairement un actif sans risque. En effet cela signifie simplement qu’il varie de manière non corrélée à son marché ; ni positivement ni négativement. Pour autant il peut présenter une variance élevée. Cas des sociétés non cotées : la conversion du Bêta avec et sans dette Le bêta d’un actif varie selon le niveau d’endettement lié au financement d’un actif. En effet, la dette conduit à deux éléments : - Un effet de levier, qui permet à l’entité qui possède l’actif de démultiplier ses capacités d’endettement et augmenter son taux de rentabilité économique, qui intéresse les apporteurs de capitaux (les actionnaires). -3- - Un risque plus élevé, car l’emprunt suppose le remboursement et des intérêts fixes que l’entité va devoir rembourser quel que soit son bénéfice, contrairement à des dividendes qui ne sont versés qu’en cas de bénéfice positif. Lorsqu’une entreprise n’est pas cotée en bourse, il n’est pas possible d’estimer son bêta par observation de la volatilité de son rendement par rapport au marché. Dans ce cas, il faut procéder par une approche via des comparables. Le principe est alors : - De sélectionner un certain nombre d’entités cotées appartenant au même marché, qui lui sont relativement similaires ; - De calculer leur bêta ; - Puis de déterminer pour chacune le bêta sans dette (ou bêta de l’actif économique), en appliquant la formule suivante : 𝛽𝐿 𝛽𝑢 = 𝑉 (1 + (1 − 𝑇𝐼𝑆 ) 𝑉 𝐷 ) 𝐹𝑃 Avec 𝛽𝑢 le bêta sans dette (bêta de l’actif économique) 𝛽𝐿 le bêta des capitaux propres avec effet de levier (ou bêta des capitaux propres endetté) 𝑇𝐼𝑆 le taux d’impôt sur les sociétés 𝑉𝐹𝑃 la valeur de marché des fonds propres 𝑉𝐷 la valeur de marché de la dette Remarque : La détermination de la valeur de marché de la dette et des fonds propres sera analysée en détail dans la fiche N°5. - Ceci fait, on calcule la moyenne des bêtas sans dette obtenus ; - Puis il faut estimer le bêta de la société non cotée en repartant de la formule précédente et en l’inversant, et en tenant compte du ratio 𝑉𝐷 𝑉𝐹𝑃 de la société non cotée. On obtient alors son bêta moyen. Cette approche, décrite par Modigliani et Miller, repose sur l’hypothèse très forte selon laquelle l’entité peut se financer au taux sans risque. -4- Exemple Soit un marché composé de 5 entreprises, pour lesquelles on connaît les données suivantes : Entreprise Gearing Beta des capitaux propres Entreprise 1 35% 1,06 Entreprise 2 72% 1,91 Entreprise 3 43% 1,7 Entreprise 4 30% 1,01 Entreprise 5 88% ? On ne connaît pas le bêta des fonds propres de l’entreprise 5, qui est non cotée. • 𝑉 Le gearing correspond au ratio 𝑉 𝐷 . 𝐹𝑃 • Le taux OAT est de 2.5% • Le taux moyen d’IS est de 25%. Objectif : on cherche à calculer le bêta des fonds propres de l’entité. On commence par calculer le bêta sans dette de chaque entreprise, en utilisant la formule de conversion du bêta. On obtient les résultats suivants : Entreprise Gearing Beta des Beta sans capitaux dette propres Entreprise 1 35% 1,06 0,84* Entreprise 2 72% 1,91 1,24 Entreprise 3 43% 1,7 1,29 Entreprise 4 30% 1,01 0,82 -5- 0.84 = 1.06 1 + (1 − 25%) ∗ 35% On calcule le bêta sans dette moyen des 4 entreprises on obtient 1.05. On considère, par hypothèse de la méthode des comparables, que le bêta sans dette de l’entreprise 5 est égal à celui obtenu. Il reste à calculer le bêta des fonds propres de l’entreprise 5 : 𝑉𝐷 ) 𝛽𝐹𝑃5 = 𝐵𝑢 ∗ (1 + (1 − 𝑇𝐼𝑆 ) ∗ 𝑉𝐹𝑃 𝛽𝐹𝑃5 = 1.05 ∗ (1 + (1 − 25%) ∗ 88%) ≅ 1.74 Méthode 2 de calcul du bêta de l’actif économique – Méthode du Vernimmen Selon le Vernimmen, le bêta moyen d’un actif d’une société cotée peut être décomposé entre : - Le bêta des capitaux propres (bêta des fonds propres), lié à la volatilité du rendement de l’actif par rapport au marché auquel il appartient (tel que nous avons appris plus haut à le mesurer) ; - Le bêta de la dette, lié à la capacité de l’actif à rembourser ses créanciers. Calcul du bêta de la dette pour les sociétés cotées Le bêta de la dette se calcule de la manière suivante : 𝑖 ∗ (1 − 𝑇𝐼𝑆 ) − 𝑅𝑓 𝛽𝑑𝑒𝑡𝑡𝑒 = 𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑅𝑓 En théorie le bêta moyen de l’actif est une moyenne pondérée des deux bêtas, en fonction de la structure du capital : 𝑉𝐹𝑃 𝑉𝐷 𝛽𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 é𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 = ∗ 𝛽𝐹𝑃 + ∗ 𝛽𝐷 𝑉𝐹𝑃 + 𝑉𝐷 𝑉𝐹𝑃 + 𝑉𝐷 Avec 𝛽𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 é𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 le bêta moyen de l’actif -6- 𝛽𝐹𝑃 le bêta des fonds propres (avec dette) 𝛽𝐷 le bêta de la dette 𝐹𝑃 la valeur de marché des fonds propres 𝐷 la valeur de marché de la dette Remarques : - Le taux d’impôt n’est plus un paramètre entrant en ligne de compte, car les analystes du Vernimmen considèrent que l’endettement ne permet pas en luimême, de créer de la valeur - Il s’agit ici de la dette nette, c’est-à-dire la dette financière moins la trésorerie disponible. - A défaut de connaître la valeur de marché des capitaux propres et de la dette, on pourra utiliser la valeur comptable de l’un et de l’autre. Dans ce cas, on utilisera plutôt la dette nette (dette brute – trésorerie disponible). Mais dans le cadre d’une analyse par les comparables (cf. fiche 7), on pourra utiliser la dette brute selon les informations disponibles). d) Le ratio Sharpe Le ratio de Sharpe représente le lien théorique entre le rendement d’un actif (ou d’un marché) et son niveau de volatilité (risque). Le ratio de Sharpe se calcule de la manière suivante : 𝑆𝑅 = 𝐸(𝑟𝑀 ) − 𝑟𝑓 𝜎𝑀 Plus les actifs considérés présentent un ratio de Sharpe élevé mieux ils sont perçus de la part des investisseurs. -7- III. Les modèles d’évaluation des actifs Nous avons vu comment il est possible de déterminer de manière générale et empirique la valeur brute ou nette d’un actif. Il existe cependant différents modèles permettant d’estimer ce que devrait être le rendement exigé par les propriétaires potentiels d’un actif, étant donné ses caractéristiques et l’environnement au sein duquel il se situe. Nous étudierons les principaux modèles couramment utilisés en finance de marché. a) Le MEDAF A1 – Principe général Le MEDAF, ou Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers, est l’un des principaux modèles d’évaluation utilisés pour déterminer la valeur d’un actif financier, à partir de deux caractéristiques fondamentales : son rendement et son risque. Le MEDAF repose sur plusieurs hypothèses fondamentales : - Un actif sera d’autant plus risqué que son rendement est élevé. - Les marchés sont à l’équilibre, ce qui signifie une absence d’opportunité d’arbitrage. Le MEDAF est utilisé pour deux raisons en particulier : - Déterminer le rendement exigible par les actionnaires pour un actif concerné, étant donné le niveau de risque qu’il présente. Ce rendement sera ensuite intégré au calcul plus général du taux d’actualisation utilisé pour déterminer le rendement d’un investissement. - Déterminer le portefeuille de marché, c’est-à-dire un portefeuille composé d’actifs risqués et d’actif sans risque de manière à présenter le meilleur couple rendement/risque. -8- A2 – Utilisation et conclusion principales Le modèle part des rendements observés des différents actifs d’un marché. ➢ Etape 1 : calculer la moyenne des rendements de chaque actif du marché : Soit l’actif i présentant le rendement 𝑅𝑗𝑖 à la période j : 𝑛 1 𝐸(𝑅𝑖 ) = ∑ 𝑅𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 ➢ Etape 2 : calculer la moyenne des rendements du marché : On calcule d’abord le rendement moyen de la période j, en faisant la moyenne des rendements des k actifs du marché : 𝑘 1 𝐸(𝑅𝑀𝑗 ) = ∑ 𝑅𝑖𝑗 𝑘 𝑖=1 Remarque : nous n’en tiendrons pas compte ici, mais dans les faits il faudrait pondérer la moyenne de chaque actif du marché par son importance relative au sein du marché ; certains actifs « pèsent » en effet plus que d’autres du fait par exemple des différences de valorisation boursières des sociétés cotées sur un marché. Puis on calcule la moyenne des rendements moyens de chaque période : 𝑛 1 𝐸(𝑅𝑀 ) = ∑ 𝐸(𝑅𝑀𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 ➢ Etape 3 : calculer la variance de chaque actif : Pour rappel, les variances se calculent comme la moyenne des écarts à la moyenne au carré : 𝑛 𝜎𝑖2 2 1 = ∑ (𝑅𝑖𝑗 − 𝐸(𝑅𝑖 )) 𝑛 𝑗=1 ➢ Etape 4 : calculer la variance du marché : -9- 𝑛 𝜎𝑀2 2 1 = ∑ (𝑅𝑀𝑗 − 𝐸(𝑅𝑀 )) 𝑛 𝑗=1 ➢ Etape 5 : calculer la covariance de l’actif i et du marché : De manière générale, la covariance exprime l’’ampleur de la variation relative entre deux actifs. C’est surtout son signe qui est important : une covariance positive signifie que les deux actifs ont tendance à varier dans le même sens (lorsque l’actif i prend de la valeur, l’actif j aussi) et inversement si la covariance est négative. La covariance se calcule comme la moyenne du produit des écarts à la moyenne entre deux actifs ou entre un actif et son marché. Nous traitons ici le cas de la covariance entre l’actif i et son marché M. 𝑛 𝜎𝑖𝑀 1 = ∑ [(𝑅𝑖𝑗 − 𝐸(𝑅𝑖 )) (𝑅𝑀𝑖 − 𝐸(𝑅𝑀 ))] 𝑛 𝑗=1 ➢ Etape 6 : calculer le coefficient de corrélation entre l’actif i et le marché : Le coefficient de corrélation de deux actifs ou entre un actif et son marché, mesure la force de la liaison des éléments concernés. En effet deux éléments sont importants à analyser : - Le signe du coefficient de corrélation : celui s’interprète comme le signe de la covariance. S’il est positif, les deux actifs varient dans le même sens. Sinon ils varient en sens contraire l’un de l’autre ; - La valeur absolue : celle-ci est comprise entre 0 (aucun lien entre les actifs) et 1 (parfaite corrélation entre les actifs). Il se calcule de la manière suivante : 𝜌𝑖𝑀 = 𝜎𝑖𝑀 𝜎𝑖 𝜎𝑀 ➢ Etape 7 : calculer le bêta de l’actif : Comme vu dans la première partie de cette fiche, le bêta d’un actif par rapport au marché se calcule de la manière suivante : - 10 - 𝛽𝑖 = 𝜎𝑖𝑀 2 𝜎𝑀 A partir de là, deux branches se séparent selon l’objectif recherché : calculer le rendement exigible par les actionnaires, afin de déterminer le rendement d’un investissement, ou déterminer le portefeuille de marché. Cas 1 : déterminer le rendement exigible par un investisseur Le MEDAF relie le rendement exigible et le risque présenté par un actif de la manière suivante : 𝐸(𝑟𝑖 ) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖 (𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑟𝑓 ) Avec - 𝑟𝑓 le taux sans risque - 𝛽𝑖 le bêta de l’actif i - 𝐸(𝑅𝑀 ) le rendement moyen du marché Le rendement exigé par un investisseur potentiel correspond donc au minimum au taux sans risque, augmenté d’une prime de risque du marché plus ou moins grande selon la volatilité de l’actif i par rapport à son marché, telle que mesurée par le bêta. Le rendement exigible obtenu, il reste ensuite à l’incorporer au calcul du cout moyen pondéré du capital, dont la formule est rappelée ici : 𝐶𝑀𝑃𝐶 = 𝐸(𝑟𝑖 ) ∗ 𝐶𝑃 𝐷 + 𝑟 ∗ (1 − 𝑡𝐼𝑆 ) ∗ 𝐶𝑃 + 𝐷 𝐶𝑃 + 𝐷 - 11 - Avec CP le montant des fonds propres apportés pour financier l’investissement, D le montant de dette, r le taux d’intérêt de la dette et 𝑡𝐼𝑆 le taux d’impôt sur les sociétés. Le CMPC se comprend donc comme la moyenne pondérée du coût du capital apporté par les actionnaires et le capital apporté par les prêteurs (Banques, etc.), net d’impôt. Le CMPC correspond au taux d’actualisation qui sera utilisé pour déterminer la rentabilité d’un investissement. 𝐶𝑀𝑃𝐶 ≡ 𝑡 Cas 2 : déterminer l’équation de la CML Ce cas nécessite, pour être bien compris, de donner davantage d’explications sur ce qui est attendu. Il s’agit ici de montrer que l’adage « ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier » prend ici tout son sens. En effet, nous allons montrer qu’en diversifiant son portefeuille, c’est-à-dire en investissant dans des titres différents, un investisseur parvient à réduire dans une certaine mesure le risque global qu’il supporte, tant que les actifs du portefeuille ne sont pas parfaitement corrélés, ce qui n’est jamais le cas. Cela vaut y compris si les actifs appartiennent au même marché. L’idée est qu’en faisant de son portefeuille un mix de plusieurs actifs, l’investisseur parvient à rattraper une partie de ses pertes potentielles liées à la baisse de valeur d’un actif A grâce au gain potentiel réalisé sur un actif B. Pour comprendre supposons qu’un investisseur réfléchisse à composer un portefeuille composé de deux actifs A et B présents sur le même marché. Son objectif est de composer le portefeuille optimal, dit « portefeuille de marché, qui soit la meilleure combinaison possible des actifs. Ceci nécessite de réaliser une succession d’étapes. - 12 - ➢ Etape 1 : calculer le rendement moyen de chacun des actifs A La fin de cette étape on obtient 𝐸(𝑅𝐴 ) et 𝐸(𝑅𝐵 ) en appliquant les formules vues précédemment. ➢ Etape 2 : on calcule la variance et l’écart-type de chaque actif A la fin de cette étape on obtient 𝜎𝐴2 𝑒𝑡 𝜎𝐵2 et les écarts-types 𝜎𝐴 𝑒𝑡 𝜎𝐵 . ➢ Etape 3 : on calcule la covariance des actifs A la fin de cette étape on obtient 𝜎𝐴𝐵 . ➢ Etape 4 : déterminer la frontière de Markowitz La frontière de Markowitz correspond à l’ensemble des portefeuilles efficients composés d’actifs A et B selon des proportions variables. On qualifie d’efficient un portefeuille qui permet de supprimer le risque spécifique, afin que sa variance corresponde à celle du marché. Ceci nécessite de calculer une série de portefeuilles, composés différemment d’actifs A et B mais telle que la somme de leur proportion soit égale à 100%. Pour chacun de ces portefeuilles, on va déterminer l’espérance et la variance (ou l’écart-type). Le rendement moyen du portefeuille est simplement la moyenne des rendements des actifs qui le constituent, pondérés par la part de chaque actif dans le portefeuille : 𝐸(𝑟𝑃 ) = 𝑥𝐴 ∗ 𝐸(𝑟𝐴 ) + 𝑥𝐵 ∗ 𝐸(𝑟𝐵 ) Avec 𝑥𝐴 la part d’actif A et 𝑥𝐵 la part d’actif B. On a nécessairement 𝑥𝐵 = 1 − 𝑥𝐴 . L’écart-type du portefeuille se calcule de la manière suivante, plus complexe : 𝜎𝑃 = [𝑥𝐴2 𝜎𝐴2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝜎𝐴𝐵 + 𝑥𝐵2 𝜎𝐵2 ]0.5 - 13 - On remplace 𝑥𝐵 par 1 − 𝑥𝐴 : 𝜎𝑃 = [𝑥𝐴2 𝜎𝐴2 + 2𝑥𝐴 (1 − 𝑥𝐴 )𝜎𝐴𝐵 + (1 − 𝑥𝐴 )2 𝜎𝐵2 ]0.5 En remplaçant les valeurs 𝑥𝐴 et 𝑥𝐵 par des valeurs comprises entre 0% et 100% (mais toujours de manière à conserver 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 100%, on obtient une série de portefeuille que l’on peut relier entre eux. La forme de la frontière de Markowitz dépend du coefficient de corrélation des deux actifs : Figure 1: frontière de Markowitz On remarque que la frontière est d’autant plus courbée que le coefficient de corrélation tend vers -1. Cas particuliers : - Si le coefficient de corrélation est égal à 1 (droite bleue) il est impossible de réduire le risque. Celui-ci sera simplement une moyenne des risques des deux actifs. - Si le coefficient de corrélation est égal à -1 (deux demi-droites orange) alors il est théoriquement possible d’obtenir un portefeuille avec un rendement positif mais sans aucun risque. - 14 - Entre ces deux situations toutes les frontières intermédiaires sont possibles. Dans tous les cas, les extrémités de la frontière sont représentées par les deux actifs. Elles correspondent aux situations où le portefeuille n’est composé que d’actif A ou que d’actif B. Ces deux portefeuilles reproduisent donc logiquement les caractéristiques respectives de ces actifs ; - Un portefeuille composé à 100% d’actif A aura un rendement égal à celui de l’actif A, idem pour la variance ; - Un portefeuille composé d’actif B uniquement aura un rendement égal à celui de l’actif B, idem pour la variance. On remarque par ailleurs qu’il existe dans tous les cas (sauf coefficient de corrélation est égal à 1) un portefeuille dit « portefeuille de variance minimale », c’est-à-dire conduisant au risque le plus petit possible étant donné les caractéristiques des actifs A et B. Il ne s’agira pas nécessairement du portefeuille choisi, mais simplement d’un portefeuille « remarquable ». Ce portefeuille se calcule de la manière suivante. Il faut repartir de l’équation de la variance du portefeuille : 𝜎𝑃 = [𝑥𝐴2 𝜎𝐴2 + 2𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝜎𝐴𝐵 + 𝑥𝐵2 𝜎𝐵2 ]0.5 Puis on dérive cette fonction par rapport à 𝑥𝐴 , en n’oubliant pas d’abord de remplacer 𝑥𝐵 par 1 − 𝑥𝐴 : 𝜕𝜎𝑃 = 0 → 2𝑥𝐴 𝜎𝐴2 + 2𝜎𝐴𝐵 − 4𝑥𝐴 𝜎𝐴𝐵 − 2(1 − 𝑥𝐴 )𝜎𝐵2 = 0 𝜕𝑥𝐴 𝑥𝐴 (2𝜎𝐴2 − 4𝑥𝐴 𝜎𝐴𝐵 + 2𝜎𝐵2 ) + 2𝜎𝐴𝐵 − 2𝜎𝐵2 = 0 𝜎𝐵2 − 𝜎𝐴𝐵 𝑥𝐴Min = 2 𝜎𝐴 + 𝜎𝐵2 − 2𝜎𝐴𝐵 La valeur obtenue correspond au pourcentage d’actif A qui compose ce portefeuille spécial. On en déduit facilement le pourcentage d’actif B : 𝑥𝐵𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑥𝐴Min Nous avons dit que la frontière de Markowitz est composée de l’ensemble portefeuilles potentiellement efficients. Il n’est cependant pas tout à fait vrai de dire que l’ensemble de la frontière représente des portefeuilles efficients. En effet le bon sens nous conduit à éliminer tous les portefeuilles situés endessous de la droite horizontale d’ordonnée égale au rendement du portefeuille de variance minimale (en violet sur le graphique suivant). Ceci s’explique par le - 15 - fait qu’un portefeuille situé en-dessous de cette droite donnerait, pour un certain niveau de risque, un rendement moyen inférieur à celui donné par un autre portefeuille de même niveau de risque. Figure 2 : Frontière de Markowitz rectifiée Nous n’avons pas encore déterminé « LE » portefeuille de marché. Pour cela il nous faut introduire un nouvel actif, l’actif sans risque, caractérisé par une variance nulle et un rendement noté 𝑅𝑓 . L’existence de cet actif va permettre à l’investisseur de composer un nouveau portefeuille, mélange d’actif sans risque et de portefeuille risqué, ce dernier composé d’actifs A et B et situé quelque part sur la frontière de Markowitz. Sans le démontrer ici, le portefeuille de marché sera déterminé géométriquement par tangence entre la frontière de Markowitz et une droite appelée « Capital Market Line », droite affine dont l’équation est la suivante : 𝐸(𝑟𝐸 ) = 𝑟𝑓 + 𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑟𝑓 ∗ 𝜎𝐸 𝜎𝑀 - 16 - Avec 𝐸(𝑟𝐸 ) le rendement du portefeuille efficient, 𝜎𝐸 son écart-type et 𝜎𝑀 l’écarttype moyen du marché. Ici, il s’agit bien d’une fonction affine avec 𝜎𝐸 la variable en abscisses et 𝐸(𝑟𝐸 ) la variable en ordonnées. Pour déterminer cette équation il est donc nécessaire de connaître le taux sans risque, le rendement moyen du marché ainsi que sa variance. Pour tracer la courbe il suffit de prendre deux valeurs de 𝜎𝐸 , par exemple 0 et 1, de remplacer les paramètres par leur valeur telle que fournie ou calculée précédemment, et de calculer les valeurs 𝐸(𝑟𝐸 ) respectives. On obtient une droite dont l’ordonnée à l’origine est le taux sans risque et qui sera, si les calculs sont exacts, tangente à la frontière de Markowitz : Figure 3 : la CML et le portefeuille de marché Ce portefeuille tangent correspond au meilleur portefeuille possible étant donné l’existence de cet actif sans risque. Il est tel que la diversification est parfaitement efficace, dans le sens où elle élimine complètement le risque spécifique. Un dernier élément intéressant est la SML (Security Market Line). En supposant les marchés équilibrés, les relations vues jusqu’à présent conduisent à - 17 - déterminer un lien entre l’espérance de rendement d’un actif exigé par les actionnaires et le risque qu’il présente, selon l’équation suivante : 𝐸(𝑟𝑖 ) = R f + 𝛽𝑖 (𝐸(𝑅𝑀 ) − R f )) En théorie, tous les actifs doivent donc se situer sur cette droite. Un actif situé en-dessous de cette droite présente un rendement plus faible qu’attendu étant donné son risque : on dira qu’il est surcoté car son prix est trop élevé. Logiquement, ses détenteurs sont incités à le revendre, ce qui fera baisser son prix. Cette baisse de prix augmente mécaniquement son rendement ce qui le fait converger vers la CML. Inversement un actif sous-coté se situera au-dessus de la SML, car son rendement est plus élevé que prévu. Son prix est trop bas, ce qui incite les investisseurs à en acheter. Ceci fait remonter son prix et baisser son rendement, jusqu’à l’équilibre. A3 - Limites du MEDAF Bien que très utilisé en pratique, le MEDAF, comme tout modèle, souffre d’un certain nombre de limites. En particulier : - Il suppose un certain équilibre statique, alors que les rendements de tous les actifs du marché évoluent constamment ce qui suppose de recomposer indéfiniment son portefeuille ; - Le risque est essentiellement matérialisé par le coefficient bêta, alors que la notion de risque regroupe un ensemble vaste d’éléments distincts ; - Il suppose que les marchés sont rationnels et fonctionnent parfaitement, ce qui conduit à un équilibre. Or il n’en est rien : certaines rigidités et imperfections empêchent son fonctionnement optimal (asymétries d’information, fiscalité, irrationalité partielle des choix, etc.) ; - La détermination du périmètre même du marché n’est pas évidente : fautil utiliser des indices (comme le CAC 40), qui supposent une sélection arbitraire des valeurs qui le composent ? Ou regrouper des sociétés de même catégorie, en sachant que certaines sont cotées et d’autres non ? - 18 - A4 – Exemple d’utilisation (DSCG 2018) A l’aide de l’annexe 1 et de vos connaissances : Annexe 1 : cours boursier de LVMH et rentabilité du marché en N Rentabilité Date Cours du titre mensuelle du en euros marché Mois 13 124,50 1,496% Mois 12 117,45 7,217% Mois 11 113,40 -2,395% Mois 10 107,50 3,534% Mois 9 92,00 9,353% Mois 8 93,92 -3,688% Mois 7 88,73 8,016% Mois 6 85,59 -3,220% Mois 5 86,17 -9,818% Mois 4 87,10 -0,018% Mois 3 80,00 6,186% Mois 2 78,03 1,107% Mois 1 78,61 1. Calculez la rentabilité moyenne du titre et la rentabilité moyenne du marché. On commence par calculer la rentabilité du titre, mois par mois. Il suffit de calculer le taux d’évolution de la valeur du titre de mois en mois. On obtient le tableau suivant : Date Cours du Rentabilité titre en mensuelle euros de l'actif Mois 13 124,5 6,003% Mois 12 117,45 3,571% Mois 11 113,4 5,488% Mois 10 107,5 16,848% - 19 - Mois 9 92 -2,044% Mois 8 93,92 5,849% Mois 7 88,73 3,669% Mois 6 85,59 -0,673% Mois 5 86,17 -1,068% Mois 4 87,1 8,875% Mois 3 80 2,525% Mois 2 78,03 -0,738% Mois 1 78,61 Exemple : −0.738% = 78.03−78.61 78.61 On calcule ensuite la rentabilité moyenne du tire LVMH : 1 (−0.736%+. . +6.003%) = 4.03% 𝐸(𝑅𝐿𝑉𝑀𝐻 ) = 12 On fait de même pour le marché : 1 (1.107%+. . +1.496%) = 1.48% 𝐸(𝑅𝑀 ) = 12 2. Calculez la variance du titre et la variance du marché, en déduire les écarttypes. Pour calculer la variance, on procède par étapes (ou on utilise une calculatrice programmable…). D’abord on calcule, pour chaque actif et chaque période, l’écart à la moyenne : Remarque : les calculs sont ici tous effectués en valeurs exactes ; il est possible de trouver des résultats légèrement différents en cas d’arrondis. Date Rentabilité Rentabilité mensuelle mensuelle moyenne de moyenne du de l'actif l'actif marché du marché Ecart à la Ecart à la Mois 13 1,50% 6,003% 1,977% 0,015% Mois 12 7,22% 3,571% -0,454% 5,736% Mois 11 -2,40% 5,488% 1,463% -3,876% Mois 10 3,53% 16,848% 12,822% 2,053% Mois 9 9,35% -2,044% -6,070% 7,872% - 20 - Mois 8 -3,69% 5,849% 1,824% -5,169% Mois 7 8,02% 3,669% -0,357% 6,535% Mois 6 -3,22% -0,673% -4,698% -4,701% Mois 5 -9,82% -1,068% -5,093% -11,299% Mois 4 -0,02% 8,875% 4,850% -1,499% Mois 3 6,19% 2,525% -1,501% 4,705% Mois 2 1,11% -0,738% -4,763% -0,374% Exemple : 1.977% = 6.003% − 4.03% 0.015% = 1.50% − 1.48% On calcule ensuite le carré de ces écarts : Date Ecart à la Ecart à la Ecart à la Ecart à la moyenne de moyenne au moyenne moyenne l'actif au carré carré de du marché l'actif du marché Mois 13 1,977% 0,039% 0,015% 0,000% Mois 12 -0,454% 0,002% 5,736% 0,329% Mois 11 1,463% 0,021% -3,876% 0,150% Mois 10 12,822% 1,644% 2,053% 0,042% Mois 9 -6,070% 0,368% 7,872% 0,620% Mois 8 1,824% 0,033% -5,169% 0,267% Mois 7 -0,357% 0,001% 6,535% 0,427% Mois 6 -4,698% 0,221% -4,701% 0,221% Mois 5 -5,093% 0,259% -11,299% 1,277% Mois 4 4,850% 0,235% -1,499% 0,022% Mois 3 -1,501% 0,023% 4,705% 0,221% Mois 2 -4,763% 0,227% -0,374% 0,001% Exemple : 0.039% = 1.977%2 Il faut ensuite en calculer la moyenne pour chaque actif : Pour l’actif LVMH : - 21 - 1 ∗ (0.227%+. . +0.039%) = 0.002562 12 1 2 𝜎𝑀 = ∗ (0.001%+. . +0.000%) = 0.002982 12 2 𝜎𝐿𝑉𝑀ℎ = 3. Sachant que la covariance entre la rentabilité du titre et celle du marché est de 25,05, calculez le coefficient béta. Remarque : attention ici, la covariance indiquée n’est pas la covariance que l’on obtiendrait par le calcul. Par ailleurs, il arrive que les calculs soient effectués sans tenir compte des pourcentages (5% -> 5). Ceci donne les bons résultats à un facteur 10.000 près. Cela signifie qu’une covariance de 25.05 correspond en réalité à une covariance de 0.002505. La vraie covariance est plus petite, égale à 0.0002136. Nous traiterons ici les calculs avec la covariance telle que donnée par l’énoncé, mais en utilisant 0.002505. Ceci donne un bêta de : 𝛽𝐿𝑉𝑀𝐻 = 0.002505 = 0.84 0.002982 4. Analysez le couple rentabilité-risque de ce titre au prisme des différents indicateurs calculés dans les questions précédentes. Le titre LVMH semble être un titre relativement défensif par rapport au marché puisque son bêta est inférieur à 1. Cependant le titre assure un rendement significativement plus élevé que le marché, et gagne près de 48% en 12 mois, soit environ 4% par mois en moyenne, alors que sa variance est très similaire à celle du marché. 5. Décomposez la variance du titre en risque spécifique et en risque systématique: - 22 - On rappelle que la variance totale d’un titre est la somme de la variance systémique (celle liée à la volatilité du marché) et la variance spécifique de l’actif : 0.002562 = 0.84² ∗ 0.002982 + 𝜎𝐸2 La variance systémique s’élève donc à 0.84² ∗ 0.002982 = 0.002104 On en déduit par différence la variance spécifique : 𝜎𝐸2 = 0.002562 − 0.002104 = 0.000458 Cela montre que l’essentiel de la volatilité de l’action LVMH est due avant tout à la volatilité du marché, et non à celle spécifiquement liée à l’entreprise LVMH. 6.1. Que se passe-t-il quand un investisseur décide d’acheter des titres d’une entreprise concurrente du même secteur d’activité ? Lorsqu’un investisseur acquiert un actif du même marché, il parvient à réduire le risque global de son portefeuille grâce à la technique de diversification. Au minimum, le risque généré par le portefeuille correspondra au risque du marché lui-même. 6.2. Calculez la rentabilité et le risque d’un portefeuille composé, dans une proportion équivalente, de titres LVMH et de titres de l’entreprise (Y) sachant que la rentabilité moyenne de ces derniers est de 3,5%, que leur écart-type est de 4,34% et que le coefficient de corrélation entre les deux titres est de 0,9 ? b) Les autres modèles d’évaluation de la valeur B1 – Le modèle Apt (Arbitrage Princing Theory) Le modèle APT constitue en quelque sorte une généralisation du MEDAF, en supposant que la rentabilité de l’actif ne dépend pas d’un seul facteur (son risque par rapport au marché, mesuré par son bêta), mais d’un ensemble de risques, chacun associé à une prime de risque plus ou moins élevée. - 23 - Le modèle se construit en trois étapes : - Identifier les déterminants du risque de l’actif : il s’agit de procéder à une analyse économique et financière de l’actif afin de comprendre sur le plan conceptuel quelles variables peuvent influencer son rendement ; - Mesurer l’ampleur de ces risques sur le rendement de l’actif : ceci s’effectue à l’aide d’une régression linéaire multifactorielle, qui permettra de déterminer la valeur de l’ensemble des paramètres bêta de manière empirique (par l’observation et l’analyse statistique) ; - Estimer la prime de risque liée à chacun des facteurs de risque : cette prime de risque correspond à l’écart entre le rendement apporté par le facteur à l'actif dans le modèle et le rendement de l'actif sans risque. Le rendement espéré du modèle prend alors la forme suivante : 𝐸(𝑅𝑖 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝜋1 +. . +𝛽𝑛 𝜋𝑛 + 𝜀 Avec 𝛽0 la constante de régression, qui regroupe toutes les inconnues du modèle (les éléments non identifiés mais qui ont une influence probable sur l’actif) 𝛽𝑖 les différents bêtas liés à chaque prime de risque, estimés par régression linéaire 𝜋𝑖 les différentes primes de risque Limites du modèle : - Contrairement au MEDAF qui fonctionne de la même manière pour tous les actifs, le modèle APT suppose que c’est à l’analyste lui-même de déterminer les facteurs de risque pour chaque actif, ce qui nécessite une longue analyse, parfois complexe ; - Comme dans le MEDAF, rien n’indique que les valeurs du modèle (des bêtas en particulier) soit stable au cours du temps, ce qui nécessite un recalibrage permanent ; B2 - Le modèle de FAMA et French Fama et French repartent du MEDAF et effectuent des tests empiriques pour la valider ou l’invalider. Ils découvrent un certain nombre « d’anomalies », c’est-àdire d’observations non conformes au modèle. - 24 - Ils décident alors de « l’augmenter » de plusieurs ajouts, et en particulier : - Tenir compte de la plus ou moins grande liquidité des titres (capacité à être achetés et vendus rapidement et à faible coût), en prenant en considération les différences de capitalisation, boursière des sociétés ; - Tenir compte de l’écart entre la valeur comptable d’une société et sa valeur boursière. Ils identifient en effet sur le marché américain que le ratio VC/VM est un facteur explicatif important des rentabilités : les entreprises avec un ratio VC/VM élevée sont associées des rentabilités espérées élevées. On qualifie le modèle de Fama et French de « modèle à trois facteurs », car celuici fait appel aux éléments suivants : 𝐸(𝑅𝑖 ) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑖 (𝐸(𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 ) + 𝑠𝑖 𝐸(𝑆𝑀𝐵𝑖 ) + ℎ𝑖 𝐸(𝐻𝑀𝐿𝑖 ) On retrouve donc comme base le MEDAF, agrémenté de plusieurs éléments nouveaux : - 𝑠𝑖 : un facteur de prime de risque, qui pondère plus ou moins fortement l’espérance SBM - ℎ𝑖 : un facteur de prime de risque qui pondère plus ou moins fortement l’espérance HML - 𝐸(𝑆𝑀𝐵𝑖 ) : l’espérance de rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres de petite capitalisation boursière et la rentabilité des titres de capitalisation boursière importante (SMB =Small minus big) ; - 𝐸(𝐻𝑀𝐿𝑖 ), l’espérance de rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres avec un ratio valeur comptable sur valeur de marché élevé et la rentabilité des titres avec un ratio valeur comptable sur valeur de marché faible (HML = high minus low). Construction pratique ➢ Etape 1 : Calculer les rentabilités des trois groupes de sociétés de la variable SMB : - 25 - 𝑆𝑀𝐵 = 1 (𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 + 𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎𝑙 + 𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙 𝐺𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ) 3 1 − (𝐵𝑖𝑔 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 + 𝐵𝑖𝑔 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎𝑙 + 𝐵𝑖𝑔 𝐺𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ) 3 ➢ Etape 2 : calculer les écarts de rentabilité moyenne des deux groupes de sociétés de la variable HML : On commence donc par distinguer deux groupes : - Les sociétés à ratio valeur comptable / valeur de marché fortes ; - Les sociétés à ratio VC/VM faible. On procède ensuite au calcul de la valeur HML : 1 1 𝐻𝑀𝐿 = (𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒 + 𝐵𝑖𝑔 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑒) − (𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙 𝐺𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ + 𝐵𝑖𝑔 𝐺𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ). 2 2 Limites du modèle : - Le modèle a été complété par d’autres facteurs (on peut évoquer les modèles à 4, voire 6 facteurs), afin de tenir compte de davantage de variables potentiellement explicatives de la valeur des titres ; - Comme tout modèle, celui de FAMA et FRENCH s’appuie sur les observations pour tenter de déterminer l’évolution future des titres. Or il arrive fréquemment que le passé ne renseigne… que sur le passé. L’avenir n’étant pas écrit, certains titres bien qu’intéressants pour les investisseurs d’après mes modèles, connaissent une évolution chaotique du fait d’informations nouvelles déstabilisatrices. IV. De l’utilisation et la mesure des primes de risque Au-delà de l’aspect conceptuel portant sur l’intégration ou non d’une prime de risque dans le calcul du coût du capital, la question se pose de savoir comment concrètement (et, pratiquement, dans le cadre de divers exercices), la prime de risque peut être mesurée. a) Le calcul de la prime de risque marché Pour rappel, la prime de risque marché correspond, dans le MEDAF, à la différence entre le rendement moyen du marché et le taux sans risque. Ce taux - 26 - sans risque correspond généralement aux taux OAT (Obligations Assimilables au Trésor), qui correspondent aux taux d’intérêt portant sur des obligations d’Etats considérés sans risque (souvent les bons du Trésor US). Dans les faits, les primes de risque peuvent aussi être obtenues par sondages, qui interrogent directement les opérateurs de marché. b) La prime de risque liée au calcul du bêta de la dette Nous avons vu précédemment dans cette fiche que le bêta d’un actif peut se décomposer entre le bêta des capitaux propres et le bêta de la dette. Le bêta de la dette s’obtient en intégrant une prime de risque, différence entre le taux d’intérêt lié au financement de l’actif et le taux sans risque. Là encore on pourra utiliser les taux OAT. c) Les autres primes de risques utilisées en pratique Il existe un grand nombre de primes de risque possibles. En pratique on peut citer : - La prime de risque pays, qui mesure la probabilité des propriétaires d’un actif d’être expropriés par l’Etat au sein duquel est exploité l’actif ; - La prime de risque liée à la taille de l’actif : en règle générale, les entités de petite taille (en moyenne plus jeunes) sont plus sujettes au risque de faillite que les entités de grande taille, qui ont atteint une masse critique permettant une certaine résistance aux chocs - Une prime de risque liées à la nature de l’entité ou du projet concerné, qui mesure le degré d’incertitude liée à la réussite du projet, de par sa nature (comme un projet reposant sur la R&D par exemple). Le détail des calculs de ces primes de risque n’est pas présenté ici, car ne sont en pratique pas demandés dans le cadre du DSCG. - 27 -