Определение и виды треугольников PDF

***ОПРЕДЕЛЕНИЕ*** [Треугольник] -- это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками АВ, ВС, АС -- стороны Точки А, В, С -- вершины ***ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ*** **треугольники** **Разно-сторонние** **Равно-бедренные**...

***ОПРЕДЕЛЕНИЕ*** [Треугольник] -- это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками АВ, ВС, АС -- стороны Точки А, В, С -- вершины ***ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ*** **треугольники** **Разно-сторонние** **Равно-бедренные** **Равно-сторонние** ------------------ --------------------- --------------------- --------------------- Остро-угольные Тупо-угольные Прямо-угольные ***[Периметр]*** треугольника -- сумма длин всех сторон **[\ ]** **[Медиана]** треугольника -- это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны **[Свойства медиан треугольника]** 1. Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. 2. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. 3. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. 4. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. **[\ ]** **[Биссектриса]** треугольника -- это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны **Свойство биссектрисы треугольника** 1. Биссектриса  делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам \ [\$\$\\frac{\\text{BL}}{\\text{AB}} = \\frac{\\text{LC}}{\\text{AC}}\$\$]{.math.display}\ 2. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и являются центром вписанной в нее окружности **[Высота]** треугольника -- это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону **[Серединный перпендикуляр]** -- это прямая, проходящая через середину отрезка (сторона треугольника) и перпендикулярно к нему Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном -- вне треугольника; в прямоугольном -- на середине гипотенузы. **Свойства срединных перпендикуляров треугольника**: 1. Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны. 2. Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней. 3. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника***\ *** ***РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК*** Равнобедренный треугольник -- это треугольник, у которого две стороны равны **Свойства равнобедренного треугольника** 1\. углы при основании равны (∟А = ∟С) 2\. биссектриса, проведенная из вершины к основанию является медианой и высотой\ (BD -- медиана, биссектриса, высота) ***ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК*** Прямоугольный треугольник -- это треугольник, у которого один угол равен 90⁰ **[Свойства прямоугольного треугольника]** 1\. сумма острых углов равна 90⁰ 2\. катет, лежащий напротив угла 30⁰ равен половине гипотенузы 3\. медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы **ТЕОРЕМА ПИФАГОРА** Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов \ [*с*^2^ = *a*^2^ + *b*^2^]{.math.display}\ **\ ** **СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ *СТОРОНАМИ* И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА** 1\. *∟*A +∟B+∟C=180⁰ 2\. ∟A \< ∟B \< ∟C, следовательно, BC \< AC \< AB 3\. AB \< AC + BC, AC \< AB + BC 4\. ∟3 = ∟1 + ∟2 ***ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | По двум сторонам и углу между | | | ними | | +===================================+===================================+ | По стороне | | | | | | и двум прилежащим к ней углам | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | По трем сторонам | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **Практическое применение признаков равенства треугольников** **[План рассуждений]** 1. При решении задач на доказательство с помощью *[первого признака]* равенства треугольников Рассмотрим ∆... и ∆... 1\. *сторона*... = *стороне*..., так как... 2\. *сторона*...= *стороне*..., так как... 3\. ∟...=∟..., так как... Значит, ∆...= ∆... по двум сторонам и углу между ними 2. При решении задач на доказательство с помощью *[второго признака]* равенства треугольников Рассмотрим ∆... и ∆... 1\. *сторона*... = *стороне*..., так как... 2\. ∟...=∟..., так как... 3\. ∟...=∟..., так как... Значит, ∆...= ∆... по стороне и двум прилежащим к ней углам 3. При решении задач на доказательство с помощью *[третьего признака]* равенства треугольников Рассмотрим ∆... и ∆... 1\. *сторона*... = *стороне*..., так как... 2\. *сторона*...= *стороне*..., так как... 3\. *сторона*...= *стороне*..., так как... Значит, ∆...= ∆... по трем сторонам **[\ ]** **[Карточка -- подсказка]** Для каждой задачи помимо элементов, отмеченных на чертеже, нужно использовать прием (приемы), с помощью которых нужно будет найти недостающие равные элементы для доказательства равенства треугольников. Основные приемы поиска недостающих равных элементов для доказательства равенства треугольников 1. Общая сторона 2. Вертикальные углы 3. Смежные углы 4. Сумму равных отрезков (углов) 5. Разность равных отрезков (углов) 6. Общий угол 7. Цепочка равных треугольников. ***ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ*** По двум катетам --------------------------------------------- -- По катету и прилежащему к нему острому углу По гипотенузе и острому углу По гипотенузе и катету ***ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА***  ***ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ*** *Определение* [*ΔАВС* ≈ *ΔА*~1~*В*~1~*С*~1~]{.math.inline}, если \ [\$\$\\frac{АВ}{А\_{1}В\_{1}} = \\frac{ВС}{В\_{1}С\_{1}} = \\frac{АС}{А\_{1}С\_{1}}\$\$]{.math.display}\ ∟А=∟А~1~ , ∟В=∟В~1~, ∟С=∟С~1~ \ [\$\$\\frac{Р\_{АВС}}{Р\_{А1В1С1}} = \\frac{АВ}{А\_{1}В\_{1}} = К\$\$]{.math.display}\ \ [\$\$\\frac{S\_{АВС}}{S\_{А\_{1}В\_{1}С\_{1}}} = \\frac{{АВ}\^{2}}{А\_{1}В\_{1}\^{2}} = К\^{2}\$\$]{.math.display}\ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Если ∟А=∟А~1~ , ∟В=∟В~1~, то ΔАВС | | | подобен ΔА~1~В~1~С~1~ | | +===================================+===================================+ | Если [\$\\frac{АВ}{А\_{1}В\_{1}} | | | = \\frac{АС}{А\_{1}С\_{1}} = | | | к\$]{.math.inline}, | | | | | | ∟А= ∟А~1~, | | | | | | То ΔАВС подобен ΔА~1~В~1~С~1~ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Если [\$\\frac{АВ}{А\_{1}В\_{1}} | | | = \\frac{ВС}{В\_{1}С\_{1}} = | | | \\frac{АС}{А\_{1}С\_{1}} = | | | к\$]{.math.inline}, | | | | | | то ΔАВС подобен ΔА~1~В~1~С~1~ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ +-----------------------------------+-----------------------------------+ | MN -- средняя линия треугольника | | | | | | MN\|\|AC, MN=0,5 AC | | +===================================+===================================+ | \ | | | [\$\$BD = \\sqrt{AD \\bullet | | | DC}\$\$]{.math.display}\ | | | | | | \ | | | [\$\$\\text{AB} = \\sqrt{AD | | | \\bullet AC}\$\$]{.math | | |.display}\ | | | | | | \ | | | [\$\$\\text{BC} = \\sqrt{CD | | | \\bullet AC}\$\$]{.math | | |.display}\ | | | | | | ΔABD ΔBCD ΔACB | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | AN∩BK∩CN=O | | | | | | \ | | | [\$\$\\frac{\\text{AO}}{\\text{NO | | | }} | | | = \\frac{\\text{BO}}{\\text{KO}} | | | = \\frac{\\text{CO}}{\\text{MO}} | | | = \\frac{2}{1}\$\$]{.math | | |.display}\ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Если АВ││СD, то [\$\\frac{АО}{ОВ} | | | = \\frac{АС}{\\text{BD}}\$]{.math | | |.inline} | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Соотношение между сторонами и углами sin α = [\$\\frac{ВС}{АВ}\$]{.math.inline} cos α= [\$\\frac{АС}{АВ}\$]{.math.inline} tg α= [\$\\frac{BС}{АC}\$]{.math.inline} tg α = [\$\\frac{\\sin a}{\\cos a}\\ \$]{.math.inline} sin^2^α + cos^2^α = 1 http://900igr.net/up/datas/225778/027.jpg