Diseño de Elementos de Hormigón Armado TEORICO EH PDF

2) DISEÑO DE ELEMENTOS DE HORMIGON ARMADO: 2.1) DEFINICIONES: El diseño de un elemento estructural se hace para obtener una pieza con resistencia mayor o igual a la requerida. 1. RESISTENCIA REQUERIDA A FLEXIÓN ó MOMENTO ULTIMO (Mu): FORMULAS DE ESTABILIDAD. Es el momento que resulta d...

2) DISEÑO DE ELEMENTOS DE HORMIGON ARMADO: 2.1) DEFINICIONES: El diseño de un elemento estructural se hace para obtener una pieza con resistencia mayor o igual a la requerida. 1. RESISTENCIA REQUERIDA A FLEXIÓN ó MOMENTO ULTIMO (Mu): FORMULAS DE ESTABILIDAD. Es el momento que resulta de combinar los momentos producidos por las acciones que solicitan a la pieza estructural, previamente multiplicados por los “factores de carga”. 𝑴𝑼 = 𝟏, 𝟒 𝑴𝑫 Y 𝑴𝑼 = 𝟏, 𝟐 𝑴𝑫 +𝟏, 𝟔 𝑴𝑳 Los MD (por cargas permanentes) y ML (por sobrecargas) son producidos por cargas de servicio, que al multiplicarlos por los factores de cargas se vuelven “momentos mayorados”. 𝑀𝑈 es una “resistencia”, por lo tanto, es un “momento último”, o “límite”, o “en el instante de la rotura”. Por lo tanto, ese Mu sale de aumentar los momentos producidos por cargas de servicios por el simple hecho que ocurra algo inesperado que supere esos momentos como sismos, nieve, personas o muebles de más, etc. 2. RESISTENCIA NOMINAL (Mn): Mn=Mu/ϕ. -------- Con una formula propongo b y saco d. (Losa y viga=0,9). 3. RESISTENCIA A FLEXIÓN: Es el valor del momento flector capaz de producir la rotura del elemento, es decir, es “el momento máximo que resiste la pieza” (Mn*= (b.d2)/kd2). Para que una estructura no se caiga el Mn* (lo que resiste la pieza) debe ser MAYOR al Mu (momento al que esta sometida la pieza). 4. RESISTENCIA DE DISEÑO ó UTILIZABLE: Es igual al momento nominal de un elemento estructural por un factor de reducción de resistencia menor que la unidad “Mn.ϕ”. Ej: yo se que resiste 1200 pero a la gente le digo 1000 para que no se pasen por seguridad. Los ϕ (coeficiente de seguridad) de los momentos flectores son así porque a mayor importancia estructural mas se reduce ese coeficiente para aumentar más el Mn (Mn = Mu/ϕ). Y de esta manera, tener mas rango de resistencia. 5. CONDICION BASICA: Se debe verificar el método por resistencia ultima donde Resistencia de diseño ≥ Resistencia ultima requerida (ϕ.Mn ≥ Mu). La resistencia de diseño debe resistir más que lo que esta aplicado. 2.2) HIPOTESIS PARA CALCULO DE RESISTENCIA NOMINAL: Para el método de resistencia ultima se basará en 8 hipótesis: 1. Se cumplirá la condición de equilibrio estático en Y y la compatibilidad de las deformaciones (como dije anterior mente se usa la barra nervurada para que el °H y el °A se deformen igualmente). 2. Las 𝜺 del °H y del °A son ∝ a sus distancias al E.N. (ósea igual C). 3. Se cumple Bernoulli, es decir que las secciones planas antes de la deformación permanecen planas hasta el instante de la rotura. (un cuadrado nunca será rombo). 4. El °H solo resiste tensiones de compresión. 5. El °A resiste todas las tracciones, pero a su vez colabora con el °H absorbiendo tensiones de compresión. 6. Diagrama Tensión – Deformación (f ; ε) del ACERO. (Módulo de Elasticidad “Es”). - “𝑓𝑦” es la tensión de fluencia del °A. - El máximo alargamiento del °A a usar en los cálculos: 𝜀𝑡 = 0,005. - El módulo de elasticidad adoptado por el Reglamento: Es = 200000 MPa, es decir que Es ≅ 2040000 kg cm2. Y es la tangente trigonométrica del ángulo “𝛼” 𝐸𝑠 = 𝑡𝑔 𝛼. - La tensión en el acero ADN – 420 (4,2 tn/cm2), para cualquier deformación, se calculará así: 𝑓𝑡 = 𝐸𝑠. 𝜀𝑡 ⇔ 𝜀𝑡 < 2 ‰ 𝑓𝑡 = 𝑓𝑦 ⇔ 2 ‰ ≤ 𝜀𝑡 ≤ 5 ‰. En el practico usamos un 𝜀𝑡=5% porque queremos trabajar al limite de la resistencia del °A para lograr una sección subarmada. Ejemplo de lectura de lo que significa Єc = 0,5 % = 0,5 x 1000 = es decir, que NO resiste esfuerzo a tracción un alargamiento del °A de + de cinco milímetros por metro. 7. Diagrama Tensión - Deformación (𝑓 ′ ; 𝜀) del HORMIGÓN. - “𝑓𝑐′ ” es la tensión de rotura a la compresión del °H. - El máximo acortamiento del °H que se puede usar en los cálculos: εc = 0,003. - El módulo de elasticidad adoptado por el Reglamento CIRSOC 201- año 2005, se calcula con la siguiente fórmula: 𝐸𝑐 = 4700. √𝑓𝑐 ′ , en la que 𝑓𝑐 ′ es la medida de la tensión de rotura del hormigón a compresión, con respecto a 1 𝑀𝑃𝑎 (𝐸𝑐 = ⋯ 𝑀𝑃𝑎). 𝐸𝑐 ≅ 15000.√𝑓𝑐 ′ (𝐸𝑐 = ⋯ 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ). - Para definirlo se calculó la tangente trigonométrica del ángulo “𝛽” indicado en la figura: 𝐸𝑐 = 𝑡𝑔 𝛽. 8. Diagrama Rectangular de Tensiones: Se adopta para los cálculos un diagrama equivalente al de la figura anterior, con tensión de compresión constante desde la fibra más comprimida hasta una distancia “𝑎” de esa fibra, calculada así: 𝑎 = 𝛽1. 𝑐, siendo “𝑐” la distancia al eje neutro y 𝛽1 es un factor que debe cumplir las siguientes condiciones: - Para 𝑓𝑐 ′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎 : 𝛽1 = 0,85 - Para 𝑓𝑐 ′ > 30 𝑀𝑃𝑎 : 𝛽1 = 0,85 − 0,05 ∙ (𝑓𝑐 ′−30)/7 (𝛽1 ≥ 0,65). En el tema “Estados de Deformaciones y Tensiones” se mencionan tres tipos de rotura en el Estado III: 1) ROTURA BALANCEADA: Cuando la °A traccionada alcanza la 𝜀 a su fy (𝜀𝑡 = 2 ‰) en el = instante que el °H comprimido llega al aplastamiento (𝜀𝑐 = 3 ‰.). Es decir que, simultáneamente: 𝜀𝑡 = 2 ‰ y 𝜀𝑐 = 3 ‰. (Rompe el H° y A° solo se deforma.) 2) ROTURA DUCTIL: Se expresa que una sección está “controlada por tracción” si el °A de la armadura traccionada llega a la rotura (𝜀𝑡 = 5 ‰) antes que se rompa el °H comprimido (𝜀𝑐 < 3 ‰). 𝜀𝑡 = 5 ‰ y 𝜀𝑐 < 3 ‰. (Rompe °A y °H solo se deforma) - (nosotros buscamos que sea una rotura dúctil, porque es con aviso previo). 3) ROTURA FRAGIL: Una sección está “controlada por compresión” cuando la 𝜀 del °A traccionado es < que la fy en el momento en que el °H comprimido se rompe: 𝜀𝑡 < 2 ‰ y 𝜀𝑐 = 3 ‰. (Rompe °H y °A no se deforma) - este es el que hay que evitar, porque es sin aviso previo). 2.3) COEFICIENTE REDUCCION RESISTENCIA ϕ: - Las losas (rotura dúctil) solo resisten esfuerzos producidos por cargas de servicios (permanentes y sobrecargas), por eso usan un ϕ=0,90. - Las vigas (rotura dúctil) resisten los esfuerzos a los que están solicitadas las losas + su propio peso por eso usa un ϕ=0,90. - Las columnas (rotura frágil) resisten todo lo que deben soportar las losas y vigas, y además su propio peso por eso usan un ϕ=0,65. Además, están solicitadas a esfuerzos normales. (en columna es rotura frágil porque se busca que no se rompe el A° sino el °H). Por lo tanto, a medida que aumenta su importancia estructural, disminuye su ϕ, para que según la formula nos dé un > Mn. 2.4) CUANTIAS DE ACERO MAXIMAS Y MINIMA: El “Método por Resistencias Últimas” se basa en el comportamiento de los elementos estructurales en el instante de la rotura y se exige que haya suficiente aviso de esa rotura con la aparición de fisuras, es decir que se produzca una ROTURA DÚCTIL. Se quiere que el °A rompa antes que el °H para que aparezcan grietas antes de que se rompa asi hay tiempo a desalojo, por eso no se pueden poner °A en exceso, pero, tampoco se puede poner muy poco porque la estructura no resiste a tracción y colapsa estructuralmente. Y sucede a veces que, por necesidades del diseño arquitectónico o funcional, algún elemento estructural tenga dimensiones < o > que las exigidas por su resistencia. 𝑨𝒔 - Cuantía es la relación entre las superf. de la sección de °A y de la sección útil del elem. estructural: 𝝆 = 𝒃.𝒅 𝟏𝟒 - Cuantía mínima: relación entre f’c y fy. (usa el > f’c (300) para que quede el > valor). 𝝆𝒎𝒊𝒏 = 𝒇𝒚 ≥ 𝟎, 𝟑𝟑 % 𝒇′𝒄 - Cuantía máxima: usa 𝜀𝑡 = 5 ‰ y 𝜀𝑐 = 3 ‰. C = T → (0,85. B1. kc). f’c. d. b = As. fy 𝝆𝒎𝒂𝒙 = (𝟎, 𝟐𝟕). 𝒇𝒚  PARA AUMENTAR LA RESISTENCIA NECESARIA DE UN ELEMENTO ESTRUCTURAL DEBO: - Aumentar la calidad del hormigón (que en esta problemática no sería el caso). - Aumentar sección útil de la pieza, respetando lados mínimos de “b” (ancho) y “d” (altura útil). - Aumentar la deformación del hormigón (Єc) usando como máximo 3%. - Aumentar armadura a tracción, siempre y cuando respete la cuantía permitida. Ó en dicho caso colocar armadura a compresión. Pero el Єc en apoyo uso 3% y en tramo 2%. - Ya que si elijo 3% la h es , por lo tanto, nos da reservas de solicitaciones que no se tuvo en cuenta cuando se lleno el elem. estructural, como vacíos, charcos, granular + fino. Y el est. de prueba puede dar mal. 3) DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXION SIMPLE: 3.1) FORMULAS PARA DIMENSIONAMIENTO DE SECCION RECTANGULAR CON °A A TRACCION: - “Fy” tensión del acero. - “Fc’ “ tensión de hormigón. - “b” ancho de la pieza estructural. - “h” altura de la pieza estructural. - “d” altura útil. -“d’ ” recubrimiento va desde 2 a 5 cm. - “As” sección de acero traccionado. - “a” es la alt. comprimida de la pieza. - “c” es la distancia entre la fibra más comprimida y el eje neutro. - “0,85*fc’ “ representación de la tensión que comprime, cuando pasa de parábola a rectángulo. 2 - “Z” es el brazo plástico, distancia de la cupla entre resultante de compresión (C) y tracción (T). 𝑧 = 3. ℎ - “C” fuerza interna de compresión que produce la pieza antes de la rotura. - “T” fuerza interna de tracción que produce la pieza antes de la rotura. - “Mn” es el momento solicitante a flexión de la pieza. o Distancia del Borde Comprimido al Eje Neutro (𝒄): Del diagrama (2) y por semejanza de triángulos, resulta: 𝑐 𝑑 𝜀𝑐 = → 𝑐=.𝑑 𝜀𝑐 𝜀𝑐+𝜀𝑡 𝜀𝑐+𝜀𝑡 - Al coeficiente de “c/d” se le llama 𝑘𝑐 : 𝜀𝑐 / 𝜀𝑐+𝜀𝑡 = 𝑘𝑐 - Entonces: 𝒄 = 𝒌𝒄 ∙ 𝒅 y Kc = c/d − “c” es la distancia entre la fibra más comprimida y el eje neutro. - Kc: coeficiente adimensional, dado por la relación de modulo de elasticidad de los materiales. Sirve para determinar el área comprimida. o Brazo Plástico Interno (𝒛): “𝑧” es la distancia entre las fuerzas de la cupla reactiva 𝐶 y 𝑇. Del diagrama (3): Al > b1, que > con la < de H-n°, el “a” es >, esto se debe a que a menor calidad del °H, va a comprimir más. Kz = z/d Kz: coeficiente ADIMENSIONAL p/ determinar brazo plástico. Dado por relac. entre b1 y kc. o Fuerza Interna de Compresión (𝑪): Ver el diagrama (3): 𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝑭𝒄′. 𝜷𝟏. 𝑲𝒄. 𝒅. 𝒃 o Fuerza Interna de Tracción (𝑻): [Diagramas (1) y (3)]: 𝑻 = 𝑨𝒔. 𝒇𝒚 (Fuerza = Área * Tensión) o Ecuaciones de Equilibrio - Hipótesis: 1 - C = T → 0,85. f’c. B1. kc. d. b = As. fy (Condicion estatica F int compresión = F int Tracción) 2 - Mn = C.z ; Mn = 0,85. f’c. B1. Kc. d. b. z pero z = kz. d Mn = 0,85. f’c. B1. Kc. d2. b. kz (Mn = cupla interna compresion) 3 - Mn = T.z ; Mn = As. fy. Kz. d (Mn = cupla interna traccion) o Fórmulas para el Cálculo: De la 2, se puede escribir que: Eso es Kd2, porque al ser 𝒃.𝒅𝟐 ctes se tabula en la tabla. Y llamando 𝑘𝑑2 al divisor de la fracción principal: 𝑴𝒏 = 𝑲𝒅𝟐 Kd: adimensional, relación variables tabuladas que sirve para determinar momento nominal de la pieza, depende principalmente de la calidad del H°. 𝑴𝒏 De la fórmula anterior se puede despejar “𝑑” (altura util): 𝒅 = 𝑲𝒅. √ 𝒃 𝑴𝒏 Y de la ecuación (3) se despeja 𝐴𝑆 , que es la sección necesaria de acero: Mn=As.fy.Kz.d --- 𝑨𝒔 = 𝒇𝒚.𝑲𝒛.𝒅 Para la verificación de distintos usos de una habitación, es decir, que pase de dormitorio a deposito, se compara los Mf sacados por las nuevas cargas futuras y el Mn de la pieza (mom. Max resistente a flexión), en b y d uso los valores existentes, y en Kd uso la peor calidad del hormigón, y se pica una parte para ver cantidad de Fe y Diámetros. Y de allí Verifico As = Mn / (d. fy. Kz). Puede que uno funcione y otro no, entonces se las refuerza con elemento metálico. Mn se pone a la izquierda (externa) para dimensionamiento y a la derecha (interna) para verificacion. 3.2) FORMULAS P/ DIMENSIONAM. DE SECC. RECTANGULAR C/ °A A TRACCION Y COMPRESION: En el caso de resultar que las dimensiones de la sección son insuficientes para resistir el momento 𝑀𝑛 y no es posible aumentarlas, se puede recurrir a la colocación de armadura de acero también en la zona comprimida y una armadura adicional en la zona traccionada, proveyendo así a la sección de un par de fuerzas (𝐶’ y 𝑇’) cuyo momento se sume al momento 𝑀𝑛 ∗, que es el momento de la cupla (𝐶*; 𝑇*). Ese momento adicional ∆𝑀𝑛 - deberá ser tal que se verifique la siguiente igualdad:(1) 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛 ∗ + ∆𝑀𝑛 Además deberán verificarse las condiciones de equilibrio que siguen: (2) 𝑀𝑛 ∗ = 𝐶 ∗. 𝑧 (4) ∆𝑀𝑛 = 𝐶 ′. (𝑑 − 𝑑 ′) (3) 𝑀𝑛 ∗ = 𝑇 ∗. 𝑧 (5) ∆𝑀𝑛 = 𝑇 ’. (𝑑 − 𝑑 ′) 1) Para la armadura traccionada: Es necesaria una sección total de acero que provea la fuerza de tracción suficiente para resistir el 𝑀𝑛 solicitante. Y esa sección de °A es la suma de las secciones necesarias para resistir 𝑀𝑛 ∗ (As1) y de la que resistirá ∆𝑀𝑛 (As2), según surge de la ecuación (1): (6) 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2. 𝑴𝒏∗ 𝑀𝑛∗ = 𝑇 ∗. 𝑍 𝑠𝑖 𝑇 ∗ = 𝐴𝑠1. 𝑓𝑦 𝑦 𝑍 = 𝐾𝑧. 𝑑 ∴ 𝑀𝑛∗ = 𝐴𝑠1. 𝑓𝑦. 𝐾𝑧. 𝑑 ↔ 𝑨𝒔𝟏 = 𝒇𝒚. 𝑲𝒛. 𝒅 ∆𝑴𝒏 ∆𝐌𝐧 = 𝐓 ’. (𝐝 − 𝐝 ′) 𝑠𝑖 𝑇 ′ = 𝐴𝑠2. 𝑓𝑦 ∴ ∆𝑀𝑛 = 𝐴𝑠2. 𝑓𝑦. (𝑑 − 𝑑′ ) ↔ 𝑨𝒔𝟐 = 𝒇𝒚. (𝒅 − 𝒅′) 𝑴𝒏∗ ∆𝑴𝒏 Y reemp. en (6) a 𝐴𝑠1 y 𝐴𝑠2, se obtiene la sección total de la A° traccionada: 𝑨𝒔 = 𝒇𝒚.𝑲𝒛.𝒅 + 𝒇𝒚.(𝒅−𝒅′) 2) Para la armadura comprimida: ∆𝑴𝒏 ∆𝑀𝑛 = 𝐶 ′ (𝑑 − 𝑑 ′) si 𝐶 ′ = 𝐴𝑠 ′. 𝑓s’ ∴ ∆𝑀𝑛 = 𝐴𝑠 ′. 𝑓𝑠 ′. (𝑑 − 𝑑 ′ ) ↔ 𝑨′ 𝒔 = 𝒇′ 𝒔.(𝒅−𝒅′) 𝐴𝑠 ′ es la sección de la armadura comprimida y 𝑓𝑠 ′ es la tensión del acero de esa armadura. La tensión de compresión 𝑓𝑠 ′ puede ser o no igual a la tensión de tracción del acero fy; y debiendo ser compatibles las 𝜀 del °H y del °A, el valor 𝑓𝑠 ′ dependerá de la 𝜀 específica del acero comprimido, 𝜀𝑠 ′: 𝒅′ 𝑲𝒄− Y dividiendo numerador y denominador por “𝑑”: 𝜺′ 𝒔 = 𝒅. 𝜺𝒄 𝑲𝒄 Observación: La deformación que corresponde a la fluencia del Acero ADN- 420 es: 𝜀𝑠 = 2 ‰ y sabiendo que ese valor es el mismo para la fluencia por tracción o por compresión: se puede simbolizar así: 𝜀𝑠 ′ < 0,002 ⇒ 𝑓𝑠 ′ = 𝐸𝑠. 𝜀𝑠 ′ 𝜀𝑠 ′ ≥ 0,002 ⇒ 𝑓𝑠 ′ = 𝑓y 4) VIGA PLACA: Solo uso A° a compresión excepcionalmente y si me deja hf. Sino, NO SE DEBE USAR. - La vigueta no se vincula monolíticamente, ya que entre vigueta y vigueta hay separaciones por ladrillos (no colaboran en nada). 4.1) CONDICIONES REGALAMENTARIAS: “s o A" es la separación entre dos vigas consecutivas. “𝑙" es la luz de la viga. (longitud de viga, es decir, ese de columna a columna). “be” es el ancho de alas. “bw” es el ancho del nervio. “hf” es el espesor de la losa. “b” es el ancho de la losa que colabora. Mn: Momento nominal a la que esta solicitada la pieza. Mnn: Momento nominal del nervio. Mnp: Momento nominal de las alas. “a”: altura de la zona comprimida. A < Zona compresión > d por eso se elije la menor zona comprimida para dimensionar porque nos da mayor reserva. Ya que la solicitación es en Tn.m, la misma °F en menor área da >°P. o Cuando el ala queda hacia arriba, donde menor comprime es en el apoyo, ya que, es donde comprime rectangularmente. o Cuando el ala queda hacia abajo, donde menor comprime es en el tramo, ya que, es donde comprime rectangularmente. A < superficie comprimida, > espesor de losa (hf) y < cantidad acero (As y ρ). 4.2) CASOS DE DIMENSIONADO: a = β1. Kc. D (β1 depende de la calidad del H° (H-n°)) 𝐌𝐧𝐩 b-bw= 𝐡𝐟 𝟎,𝟖𝟓.𝐟𝐜′.𝐡𝐟.(𝐝 − ) 𝟐 o Si el Mnp nos da NEGATIVO (quiere decir que trabaja solo el nervio sin las alas), uso la forma como si termina siendo rectangular, pero en la cuantia cambio el b por bw. 4.3) CUANTIA: Cuantia minima = pmin (0,33). b. d El cálculo de la cuantía, cuando resulta 𝑎 ≤ ℎ𝑓, se realizará con la misma expresión que la utilizada en secciones rectangulares, es decir: 𝜌 = 𝐴𝑠/𝑏.𝑑. En cambio, si ocurre que 𝑎 > ℎ𝑓, el cálculo de la cuantía requiere de algunas definiciones previas: a) Cuantía Balanceada (𝜌𝑏) de una sección rectangular: (SOLO CONTRACCION DEL NERVIO). Se la define mediante la misma fórmula usada para calcular la cuantía máxima, pero adoptando εc = 3 ‰ y εt = 2 ‰ , que son las deformaciones corresponden a la “rotura balanceada” para acero ADN- 420. b) Cuantía Parcial Correspondiente a las Alas Laterales de la Placa: (SOLO CONTRAC. DE ALAS). c) Cuantía Total de Acero Traccionado: (CONTRAC. DE ALAS Y NERVIO EN CONJUNTO). d) Cuantía Máxima Permitida para la Viga T:  𝑴𝒏𝒏 - Mn= Mnn+Mnp - Mnn=Asn.Fy.Zn - Asn= 𝒂 𝒇𝒚.(𝒅− ) - Mnn=Cn.Zn - Mnp=Asp.Fy.Zp 𝟐 - Mnn=Tn.Zn - Zn=d-(a/2) - Asp= 𝑴𝒏𝒑 𝒉𝒇 Mn=b.d2/kd2 - Mnp=Cp.Zp - Zp=d-(hf/2) 𝒇𝒚.(𝒅− 𝟐 ) - Mnp=Tp.Zp 𝑨𝒔𝒑 - Asn=Asn+Asp - ρp= - Tn=Asn.Fy 𝒃.𝒅 - Tp=Asp.Fy 𝑨𝒔 - ρw= 𝒇𝒄′ 𝒃.𝒅 - ρb=𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓. 𝒇𝒚 4.4) MOMENTO DE INERSIA DE UNA SECCION DE VIGA PLACA: Para calcular la flecha de una viga placa y también su rigidez es necesario el cálculo del momento de inercia de su sección. Cualquiera sea el valor de “b” que colabora, para calcular el momento de inercia se debe adoptar: Tabla 2. La tabla da los valores de 𝑛. La flecha es el pandeo de la viga dado por la luz, porque siempre asienta. Si no tenes “a”, puedo calcular kd, luego kc de tabla y luego a. Recubrim. min de 2 cm. Mn es cte porque es exterior al sistema. Mn = fuerza. distancia = F. h = C. Z (compresion), si < Ec, > h, es decir, > mi área (b.h), por lo tanto para mantener Mn cte, < “C”. 5) DIMENSIONADO PARA RESISTIR LOS ESFUERZOS DE CORTE El dimensionamiento de la sección de la viga se realiza en dos etapas: 1- A flexión: con Mf max + Y -. 2- A corte: con los > valores de los esfuerzos de corte. Por último, se elige la sección que satisfaga simultáneam. las condiciones de R a flexión y corte. (el > “d”). 5.1) FALLA POR CORTE Es una rotura brusca a 1er manifestación de fisura sin aviso previo. Por lo tanto, se hacen buenas dimensiones de °A en corte para que la pieza rompa 1ro por flexión (hacer reservas). Su ϕ = 0,75, es decir, menor que 0,90 para mayor reserva. En la figura se observa un ensayo de una viga bajo cargas concentradas en los tercios de la luz sin refuerzo al corte. La falla se presentó después de la formación de una grieta en la ZONA DE ALTO CORTE. Falla a corte de una viga de concreto reforzado: (a) vista global; (b) detalle cercano del apoyo derecho. El diseño al corte no está relacionado con las tensiones de corte producto del corte puro, sino más bien, con las tensiones principales ó de tracción diagonal (combinación de las tensiones de corte y de las tensiones de flexión longitudinal). 5.2) LAS TENSIONES DE CORTE EN EL ESTADO I (Hormigón sin fisuras): PROFE NO IMPOR. DESARROLLO. Las figuras muestran una viga cargada transversalmente y los diagramas de 𝑀1 y 𝑄1 son las solicitaciones en la sección 1-1. El momento 𝑀1 es equilibrado por un par de fuerzas, una de compresión y otra de tracción. El esfuerzo de corte 𝑄1 tendrá que ser equilibrado por las tensiones de corte existentes en la sección 1-1. Se estudió en Resistencia de Materiales que las tensiones de corte que actúan en dos caras perpendiculares de un elemento de la viga, son iguales: 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 y que su distribuc. es uniforme en el ancho “𝑏𝑤” de la viga. Demostración: Los momentos con respecto a 𝑚𝑛 ̅̅̅̅ deben ser iguales: ̅̅̅̅ y a 𝑙𝑚 M=F.d// - Vert ---- MN=(Txy.bw.dy).dx (Txy: T en plano perpendicular al dx en dirección al dy). - Horz ---- LM=(Tyx.bw.dx).dy (Tyx: T en plano perpendicular al dy en dirección al dx). 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 𝜎𝐼/𝐼𝐼 = ± √( ) + 𝜏𝑥𝑦 2 2 Fig 1: FUERZAS HORIZONTALES – LM: Las tensiones que actúan en planos // al plano neutro se pueden observar en una viga simplemente apoyada, con dos barras prismáticas iguales, una sobre la otra y sometida esa viga a la acción de una carga transversal. (Fig. 1). Fir 2: Si ∄ rozamiento entre las dos barras, flexionarian en forma independ. y habría un deslizamiento en las superf. de contacto. En el caso de una única barra de altura igual a “2ℎ”, existirían en el plano neutro tensiones de corte que evitarían aquel deslizamiento y se obtendría una viga más rígida y más resistente a flexión. Fig 3: Esas tensiones de corte horizontales se pueden calcular estudiando el equilibrio de un elemento de viga de longitud “𝑑𝑥”. Y de ese estudio resulta la siguiente expresión, conocida como fórmula de JOURAVSKI: 𝜏 = 𝑄.𝑆 / (𝑏𝑤.j) (1) En esta fórmula: - “𝜏" es el valor numérico común a “𝜏𝑥𝑦” y a “𝜏𝑦𝑥”; y varía en forma parabólica en la altura de la sección, como se demostrará más adelante. - “𝑄” es el esfuerzo de corte en la sección de ancho “𝑏𝑤" y altura “ℎ”. - “𝑆” es el momento estático de la parte rayada de la sección con resp. al Eje Neutro (E.N.). (bw y (h/2)-y). - “𝐽” es el momento de inercia de la sección con respecto al Eje Neutro. Variación de la Tensión de Corte en la Altura de la Sección Rectangular y su Valor Máximo: Se hace notar que en la fórmula (1) son constantes: “𝑄”, “𝑏𝑤” y “𝐽”; y es variable el momento estático “𝑆”, que depende de la distancia “𝑦” desde la fibra considerada hasta el eje neutro. S=Área rayada * Distancia al centroide del área. - “y” es la distancia de la fibra considerada al eje neutro – es la variable independiente. 𝒃𝒘.𝒉𝟐 El valor máximo de “S” se obtiene para y = 0: 𝑺= 𝟖 (2) 𝒃𝒘.𝒉𝟑 El momento de inercia con respecto al eje neutro: 𝑱 = 𝟏𝟐 (3) 𝑄 𝐽 𝑏𝑤.ℎ 3 8 2 𝑸 Reemplazando (2) y (3) en (1): 𝜏= 𝐽 y =. =.ℎ =𝑍 ∴ 𝝉= (4) 𝑏𝑤. 𝑆 12 𝑏𝑤.ℎ 2 3 𝒃𝒘.𝒁 𝑆 Ese valor coincide con el brazo mecánico de las fuerzas internas (Z). Entonces, reemplazando en la ecuación (4), la MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE (se produce en las fibras del E.N.) en una sección rectangular de una viga de material homogéneo o de hormigón armado en el Estado I - 𝑸 hormigón sin fisuras - vale: 𝝉𝟎 = 𝒃𝒘.𝒁 J/S es = a Z si esta comprimido la totalidad de la mitad de arriba o de debajo de la pieza. 5.3) VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO SIN ARMADURA PARA EL CORTE: Los esfuerzos de corte > ∝ con las Q, en consecuencia, se producen tensiones principales donde el esfuerzo de corte es grande, o sea, cerca de los apoyos. ES DECIR, DIMENSIONAR °A PARA CORTES EN APOYOS. Estas tensiones >>> como p/ producir fisuras, en dirección ⊥ a su dirección que se conocen como fisuras diagonales ≠ las fisuras verticales debido a la flexión. 1.3.1. Fisuras Diagonales: No puede calcularse a partir de la ec. de Jouravski xq esta ec. no tiene en cuenta la influencia de la °A longitudinal y xq el °H no es un mat. elástico homogéneo. 𝜏 = 𝑄.𝑆 / (𝑏𝑤.j) 1) > CORTE Y < FLEXION LA FISURA SE DA EN E.N. (fisura en alma debido al corte) - P/ una sección con >>> corte 𝑉 y un FLEXION LA FISURA EN E.N. (fisura en alma x corte y flexión – en la práctica). Al verse superada la resistencia de tracción en el H° por flexión se presentan fisuras verticales de longitud y ancho pequeño que tenderán a inclinarse a 45°, incrementar su longitud y ancho una vez superada la resistencia a tracción por corte cuando la 𝝈𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄 (tensión corte máxima) este en el E.N. 1.3.2. Mecanismo de Resistencia – Contribución del Hormigón 𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝑉𝑐𝑧 + 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖𝑦 (5) -Vi: F interface (x la fisura no hay transmis. F de ← a →). - Vd: F pasador (x recub. la b long no desp. ↓). - Vcz: F actuante en zona de °H no fisurada. Analizando a la izquierda de la fisura diagonal ∃ una F de corte ext hacia ↑. R1:Reacc apoyo. 𝑉𝑒𝑥𝑡 = 𝑅1−𝑃1. - No se puede transmitir sobre la fisura ninguna F de tracc. en direcc. ⊥ a la misma. - Pero si la fisura es delgada se puede transmitir la F en = 𝝅 x la rugosidad de la sup. - Por equilibrio, Vint = Vext, la parte del corte que R la secc. de °H no fisurada, es: 𝑉𝑐𝑧 = 𝑉𝑒𝑥𝑡 − 𝑉𝑑 – 𝑉𝑖y - La °P de aplastamiento ejercida por 𝑉𝑑, produce tensiones verticales que fisuran al °H a lo largo de las barras esto reduce la fuerza 𝑉𝑑 y permite que la fisura diagonal se ensanche, reduciendo la fuerza 𝑉𝑖, concluyendo con la falla inmediata. (Al > los esfuerzos, > compresión inf y eso hace que x aplastam. tienda a romper el recubrim. que es lo que evita el desplazam vertical de °A a tracción que es la fuerza Vd (pasador) y por ende se ensancha la grieta y por ende < Vi). - La otra condición de equilibrio se plantea tomando M con respecto al pto 𝑎: 𝑀𝑒𝑥𝑡,𝑎 = 𝑅1. 𝑥𝑎 − 𝑃1 (𝑥𝑎 − 𝑥1) - Y el momento interno, resulta: 𝑀𝑖𝑛𝑡,𝑎 = 𝑇𝑏. 𝑧 + 𝑉𝑑. 𝑝 − 𝑉𝑖. 𝑚 - “𝑝” es la proyección horizontal de la fisura. - “𝑚” el brazo de palanca de la fuerza 𝑉𝑖 con respecto al punto 𝑎. - “𝑇𝑏”es la F en el acero se ejerce en el pto 𝑏 en vez de hacerlo verticalmente por debajo del pto 𝑎. - El equilibrio, 𝑀𝑖𝑛𝑡,𝑎 = 𝑀𝑒𝑥𝑡,𝑎, de modo que la F de tracción longitudinal en el acero, en el punto 𝑏, resulta: 𝑇𝑏 = (𝑀𝑒𝑥𝑡,𝑎 − 𝑉𝑑. 𝑝 + 𝑉𝑖. m) / z. Despreciando las fuerzas 𝑉𝑑 y 𝑉𝑖, las cuales disminuyen con el aumento en el ancho de las fisuras, se tiene, con un margen de error muy pequeño, que: 𝑇𝑏 = (𝑀𝑒𝑥𝑡,𝑎) / z. La última expresión nos muestra que, como consecuencia de la fisura diagonal, la tensión en el acero en el punto 𝑏, es generada por el momento flector que actúa en el punto 𝑎, que es evidentemente mayor que el actuante en 𝑏. Esta situación es considerada x el reglamento en la longitud de anclaje de la °A longitudinal. Tb: Fuerza de esa parte, sirve para determ. el largo del anclaje, es decir, FE desde columna hacia la viga. 5.4) VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO CON ARMADURA PARA EL CORTE: Si las estructuras están sobrecargadas, no deben fallar de manera súbita (fallas por corte), sino que debe ser una rotura dúctil (x flexion). ჻ se debe usar una °A para el corte que permita > la resistencia de la viga. 5.4.1. Tipos de Armaduras para el Corte ESTRIBOS: - La °A en el alma se suministra en forma de estribos verticales con separaciones que pueden ser uniformes a lo largo del eje de la viga o variable por tramos (más cerca a los apoyos donde el esfuerzo de corte es mayor). Esta varía entre 7 cm a 40 cm. Tener en cuenta que a > Φ < separac. - Pueden ser abiertos o cerrados y las barras que se utilizan, son de diámetro 6, 8 y 10 mm. - Los más comunes son de dos ramas, aunque si bw > 40 cm se utilizan estribos dobles (4 ramas). - Se coloquen a 90º con inclinación 60º <  < 90º respecto al eje longitudinal de la viga. Los elementos premoldeados pueden llevar estribos a 60°. Esto es mejor, porque las fisuras se presentan de manera inclinada y este elemento realiza la función de costura. Si Vse (R de estribos) da NEGATIVO, indica que no se necesitan estribos, sin embargo, se deben poner una cantidad mínima, que es por reglamento, por las fisuras. BARRA DOBLADA: - Se usa estribo p/ corte y < 50% de BD p/ absorber el los Mf (-) x conflictos de requ. de las R a corte y flexión. LAS BD SON COMPLEMENTOS CON LOS ESTRIBOS, NO SUSTITUTOS. - En las BD se hace porque, en el medio la solicitación a flexión es mucho mayor que en los extremos. Por lo tanto, la °A en los extremos estaría sobredim. ∴ para aprovechar la A° sobrante se dobla hacia ↑ para soportar corte y MF (-), la cual se hace a 45° para evitar fisuras en zona de mayor corte en forma de costura. - La Long. de db es = ∑ 𝒅𝒊𝒔𝒕. 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒂𝒑 𝒂 𝒑𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙. + 𝟒𝟎. 𝒅𝒃 y los gancho son de 12.db (ext ↑ e int ↓). Percha (2Φ10): Se usa barra longitudinal de tracción que se coloca en la parte superior de los estribos solo como soporte durante la construcción, es decir, para dar rigidez a la pieza (sostienen en posición a los estribos) y poder caminar encima. °A lateral (2Φ8): Se usa cuando la h de secc. supera 45 cm, p/ evitar formación de fisura entre estribos por contracción de fraguado. - En este caso los estribos son de 6Φ c/ 25cm. - Dos Fe x control de fisuras x contrac. de Φ8. - Dos Fe de Φ10 solo p/ dar rigidez. - Dos Fe de Φ20 p/ Mf +. - Una Bd de 16Φ p/ absorber Mf (-). --- ( la R al corte de la viga de cuatro maneras diferentes: 1. Las barras que atraviesan la fisura diagonal resisten parte de la fuerza de corte. 2. Las misma restringen el crecimiento de las fisuras diagonales y reduce su penetración en la zona de compresión. Esto permite > °H no fisurado en la cabeza de la fisura para resistir la acción combinada del corte y de la compresión. (reduce fisura a prenetrac. Compr. - la fisura no se alarga). 3. Los estribos también contrarrestan el ensanchamiento de las fisuras, logrando que las dos caras de la fisura permanezcan en contacto. Esto produce una fuerza de interface 𝑉𝑖 significativa y confiable. (Resiste una parte especifica del corte y limita ancho y longitud de fisura el Viy - la fisura no se ensancha). 4. Los estribos sostienen la °A longitudinal al resto de la sección de °H, logrando una restricción a la fractura del recubrimiento a lo largo de dicha °A lo que se traduce en un incremento de la fuerza de corte 𝑉𝑑. (Sostiene °A inf p/ que no haga °P sobre recubrimiento - evita movimiento vertical y con esto la fractura de recubrimiento). Después de lo indicado, resulta obvio que la falla se producirá cuando los estribos comiencen a fluir, permitiendo un ensanchamiento en las fisuras con la consecuente reducción de los efectos benéficos indicados en los puntos 2 a 4. De todo lo descripto, queda claro que el comportamiento de la pieza, una vez que se forma la fisura, resulta bastante complejo y depende de la configuración de las fisuras (longitud, inclinación y localización de la fisura principal). De (5) (𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝑉𝑐𝑧 + 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖𝑦) se le + una F de la colaboración de la °A (𝑉𝑠): 𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝑉𝑐𝑧 + 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖𝑦 + 𝑉𝑠 (6) - Contribución del °H a la resistencia total al corte (𝑉𝑐): 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐𝑧 + 𝑉𝑑 + 𝑉𝑖𝑦 (7) En la falla, cuando, 𝑉𝑖𝑛𝑡 = 𝑉𝑛, las ecuaciones (6) y (7), nos dan la resistencia nominal al corte (𝑉𝑛) que será la suma de dos resistencias, la generada por el °H y el °A: 𝑽𝒏 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔 5.4.3. Resistencia Generada por el Acero La °A p/ el corte, puede estar formada por estribos o por una combinación de estribos y barras dobladas. Estas últimas son las barras de la °A longitudinal dobladas en las proxim. de los apoyos, generalmente a 45°. Siendo la F en estribo. 𝐴𝑣. 𝑓𝑦 ; la componente vertical de todas las Fs que actúan en las barras que atraviesan 𝑽𝒔 𝑌 𝑌 la fisura resulta: 𝑺𝒆𝒏 𝜶 = 𝒏.𝑨𝒗.𝒇𝒚 ∴ 𝑉𝑠 = 𝑛. 𝐴𝑣. 𝑓𝑦. 𝑠𝑒𝑛 α ; 𝑇𝑔 𝜃 = 𝑋1 𝑦 𝑇𝑔 𝛼 = 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋1 1 1 𝑋1 + 𝑋2 𝑆 = 𝑦 = ; + = ; 𝑌= 𝑇𝑔 𝜃 𝑌 𝑇𝑔 𝛼 𝑌 𝑇𝑔 𝜃 𝑇𝑔 𝛼 𝑌 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝛼 𝑆 𝑃 𝑖 𝑑 𝑌 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃.(𝐶𝑜𝑡𝑔 𝜃+𝐶𝑜𝑡𝑔 𝛼) ; 𝑖 = cos 𝜃 ; 𝑛 = 𝑎 ; 𝑃 = 𝑡𝑔 𝜃 -n: n° de barra q’ atraviesa la fisura. -Av: °A de una barra. 𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑃 𝑛=.. (𝐶𝑜𝑡𝑔 𝜃 + 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝛼) =. (1 + 𝑡𝑔 𝜃. 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝛼) -a: Separacion entre fisuras. 𝑆 cos 𝜃 𝑆 -S o Se: Separación de estribos. 𝒅 -P: Proyección long de fisura o Y. 𝑽𝒔 = 𝑨𝒗. 𝒇𝒚. 𝑺𝒆. (𝑺𝒆𝒏 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔 𝜶) (tg 45° = 1) -Vs: esfuerzo corte real. -i: longitud de la fisura. -Ase: N° de barra. Seccion nominal. - Avb: Secc. de todas las bd de una capa.  Resistencia Generada por los Estribos (𝑉𝑠𝑒): Cuando la °A transversal está formada por estribos normales; 𝛼 = 90°, se obtiene: 𝑽𝒔𝒆 = (𝑨𝒗𝒆. 𝒇𝒚. (𝒅/𝒔𝒆).(1+0) Sen 90=1 y Cos 90=0 y 𝑽𝒔𝒆 = (𝑨𝒗𝒆. 𝒇𝒚. 𝒅) / 𝒔𝒆 -𝐴𝑣𝑒 : el producto del número de “ramas” por la sección de un estribo. - 𝑑/𝑠𝑒 : la cantidad de estribos existentes en la longitud “𝑑”. Condiciones reglamentarias - Para la separación de los estribos: 𝑠𝑒 ≤ 𝑑/2 ; 𝑠𝑒 ≤ 40 𝑐𝑚 - Para la armadura de estribos : 𝑨𝒗𝒆 ≥ 𝟑, 𝟑 · (𝒃𝒘.𝒔𝒆)/𝒇𝒚 Nota: Si 𝑑/𝑠𝑒 es la cantidad de estribos en la distancia “𝑑” y la separación máxima de éstos, 𝑠𝑒 = 𝑑/2 ; entonces 𝑑/𝑠𝑒 = 2 es la menor cantidad de estribos que deben atravesar la primer fisura cercana al apoyo. Resistencia Generada por Barras Dobladas (𝑉𝑠𝑏): La R al corte de bd con un 𝛼 = 45°, con resp. al eje de la viga y a dist. ≠ del ap: 𝑽𝒔𝒃 = (𝑨𝑣𝑏.𝒇𝒚.(2).( √ 𝟐/2) Cuando la °A de corte está constituida por solo una barra doblada, o un grupo de barras, todas dobladas con ángulo “𝛼" a la misma distancia del apoyo, debe ser: 𝑉𝑠𝑏 = 𝐴𝑣𝑏. 𝑓𝑦. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 para 𝛼 = 45°, 𝑽𝒔𝒃 = (√𝟐/𝟐).𝑨𝒗𝒃. 𝒇𝒚. Debiéndose cumplir: 𝑽𝒔𝒃 ≤ 𝟎, 𝟖 √𝒇𝒄 ´. 𝒃𝒘. 𝒅 (para que sea ductil). Condiciones reglamentarias - Para la separación de las barras dobladas: 𝑠𝑏 ≤ 𝑑 Las separaciones máximas exigidas, tanto para los estribos como para las barras dobladas, deben reducirse a la mitad si resulta que la resistencia nominal al corte proporcionada por la °A, es decir, “𝑉𝑠 ”, verifica la siguiente desigualdad: 𝑽𝒔 > 1,05. √𝒇𝒄 ´. 𝒃𝒘.d Para barras Sb ≤ d/2 y para estribos Se ≤ d/4. Resistencia Generada por Estribos y Barras Dobladas (𝑉𝑠): Al diseñar la °A que resistirá los esfuerzos de corte, usando simultáneamente estribos y barras dobladas, la resistencia nominal al corte, provista por el °A se calculará sumando dos resistencias: 𝑽𝒔 = 𝑽𝒔𝒆 + 𝑽𝒔𝒃 Debiéndose cumplir que: 𝑽𝒔 ≤ 𝟐, 𝟏. √𝒇𝒄 ´. 𝒃𝒘.𝒅 Armadura Mínima de Corte. (Leer artículo 11.5.5 del Reglamento): Se debe colocar una °A mínima de corte cuando el esfuerzo de corte mayorado (𝑉𝑢) es mayor que la mitad de la resistencia de diseño aportada por el hormigón (𝜑.𝑉𝑐): 𝑽𝒖  (𝝋.𝑽𝒄)/𝟐 Lo anterior es aplicable a todo elemento de hormigón armado, pretensado y no pretensado, solicitado a flexión, excepto en el caso de: a) Losas macizas y zapatas b) Losas nervuradas c) Vigas cuya altura total 𝒉 sea ≤ al máximo valor de: {25 𝑐𝑚; 2,5 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑎; 0,5 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑚a). 5.4.4. Resistencia Generada por el Hormigón La expresión básica para el cálculo de la resistencia nominal al corte, proporcionada por el °H, se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Con la condición: 𝑉𝑐 ≤ 0,3. √𝑓𝑐 ′. 𝑏𝑤. 𝑑 , y con los siguientes significados: - 𝑓𝑐 ′ [MPa]: Valor de la resistencia a compresión del hormigón. - 𝜌𝑤: Cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada (𝜌𝑤 = 𝐴𝑠 / (𝑏𝑤. 𝑑)) - 𝑉𝑢 [N]: Esfuerzo de corte mayorado en la sección. - 𝑀𝑢 [𝑁. 𝑚𝑚]: Momento flector mayorado en la sección. - 𝑏𝑤[𝑚𝑚]: Ancho de la sección. - 𝑑[𝑚𝑚]: Altura útil de la sección. Método simplificado. (Art. 11.3.1.1 y “Ejemplos CIRSOC”) En el método simplificado que se utilizará en este apunte se supone que el segundo término de la fórmula 11.5 del Reglamento vale aproximadamente 0,02. √𝑓𝑐 ′ : Al expresar los factores de la última fórmula en unidades equivalentes del Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA), resulta la fórmula a usar: 𝑽𝒄 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟕. √𝒇𝒄′. 𝒃𝒘. 𝒅 5.5) DISPOSICIONES DEL REGLAMENTO PARA EL DISEÑO AL CORTE Las definiciones de R dadas al estudiar la flexión son válidas sólo cambiar “M flector” x “esfuerzo de corte”. - “Resistencia requerida” al corte es el esfuerzo de corte que resulta de combinar los esfuerzos de corte producidos por las acciones que actúan sobre la pieza estructural multiplicados previamente por los “factores de carga”. Condición Básica: La condición básica que se debe verificar en el cálculo para resistir el corte es la misma que la dada al estudiar la flexión: Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Última Requerida (𝝋.𝑽𝒏 ≥ 𝑽𝒖). Siendo “𝑉𝑛” la R nominal al corte; “𝑉𝑢” la R requerida y “𝜑” el factor de reducción de resistencia. Para Corte el CIRSOC 201 (art. 9.3.2.3), 𝝋 = 𝟎, 𝟕𝟓. La resistencia nominal 𝑉𝑛, se obtiene sumando dos resistencias: - La generada por el hormigón (𝑉𝑐 ) - la generada por la armadura de corte (𝑉𝑠 ): 𝑽𝒏 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔 En corte, el valor de “𝜑", es más conservador que el valor de 0,90 para la flexión, esto refleja tanto la naturaleza súbita de la falla a tensión diagonal, como la amplia dispersión de los resultados de ensayos. Ubicaciones de 𝑽𝒖 - Apoyos de una Viga La primera fisura por corte - la más cercana al apoyo - comienza en el borde del apoyo y se prolonga hacia arriba a 45° alcanzando las primeras fibras comprimidas a una distancia igual a “𝑑”. - Las cargas aplicadas sobre la parte de la viga indicada en la figura 2-a se transmiten directamente al apoyo por compresión en el trozo de viga que está arriba de la fisura. - La otra parte de la carga, la indicada en la figura 2-b es la que trata de “cortar” la viga, según se observa en las figuras. (Se hace notar que se trata de “apoyo directo”). Por eso es que el CIRSOC 201-2005 autoriza a diseñar al corte la sección de la viga tomando como máximo esfuerzo de corte el que se produce a la distancia “𝑑” del borde del apoyo. Apoyo directo: Cuando viga apoya sobre columna. (la fisura es hasta la distancia “d” del borde de columna). Porque es la ubicación del corte máximo Vu. Apoyo indirecto: Cuando viga apoya lateralmente sobre otra viga. (en el borde de la columna). Porque es la ubicación (c/2) del corte máximo Vu. y en la 2-d un apoyo directo, pero con una carga concentrada muy cercana a la columna, a una distancia de su borde menor que “𝑑”. 5.6) CONTROL DE LAS DIMENSIONES DE LA SECCIÓN Se deducirá ahora una fórmula que permita determinar si las dimensiones de la sección rectangular de una viga de °H°A son suficientes para resistir los esfuerzos de corte a que estará sometida. 𝑽𝒖 ≤ 𝟏, 𝟗𝟕. √𝒇𝒄′ 𝒃𝒘.𝒅 El primer miembro es la “tensión de corte” en la “sección critica”; es decir, a la distancia “𝑑” del borde del apoyo, si es apoyo directo; sino en la cara interna del apoyo. Si esta última expresión se verifica, la sección de ancho “𝑏𝑤" y altura útil “𝑑”, con la °A de acero permitida, tiene suficiente capacidad para resistir el corte. En el caso contrario, las dimensiones deberán AUMENTARSE. 6) COLUMNAS: Las columnas se definen como elementos que soportan, principalmente, cargas a compresión, aunque también están solicitados a Mf con respecto a uno o a los dos ejes de la sección transversal, pudiendo producir F de tensión sobre una parte de la sección transversal. Los casos más frecuentes, es el de flexión compuesta con pequeña excentricidad. - Las losas son diafragmas, la excentricidad sale diagramas ∆ o bi-∆ y donde esta traccionada. - Soportan carga a compresión, pero también a flector a 1 o 2 direcciones. Se utilizan, en general, tres tipos de elementos a compresión: Los tipos a) y b) son los más comunes. a) Elementos reforzados con barras longitudinales y estribos transversales. b) Elementos reforzados con barras longitudinales y espirales continuos (zunchadas). c)Elementos compuestos reforzados longitudinalmente con perfiles estructurales de acero con o sin barras longitudinales, además de diferentes tipos de refuerzo transversal. (p/ < secc. pieza, c/ PNI o PNC). La misión fundamental de las °A es aportar ductilidad y colaborar con trabajo resistente. Las armaduras longitudinales son paralelas al eje de la pieza, y siempre aportan a la resistencia dado que, por adherencia, se deforman simultáneamente con el °H. - Una columna sin °A sometida a una carga de compresión pura, rompe para una ε ≅ 1,5 ‰. - La misma columna con °A longitudinal colapsa para una ε ≅ del 2 ‰. Evitan, también, que la pieza se desintegre en pedazos y se pierda la vinculación con otros elementos. Las armaduras transversales, llamadas estribos (o zunchos), tienen por función evitar el pandeo de las °A longitudinales y evitar la disgregación. Las armaduras longitudinales tienen una gran esbeltez y si estuviesen solas, pandearían bajo cargas muy pequeñas. Las columnas pueden ser divididas en dos categorías: a) Columnas cortas: La R depende solo de la R de los materiales y de la geometría de la sección transversal. b) Columnas esbeltas: La R puede reducirse significativamente por las deflexiones laterales (inestabilidad del equilibrio y efectos de 2° orden). (que las Є laterales no sean lo sufic. >> p/ colapso). 7.1) DIMENSIONADO PARA RESISTIR ESFUERZOS DE COMPRESIÓN En la práctica pocas veces se presentan solicitaciones de compresión axial en columnas debido a la existencia de excentricidades, es decir, diferencias entre el centro de gravedad de la sección y el punto de aplicación de la carga. Esas excentricidades pueden tener, entre otras, las siguientes causas: Deficiencias constructivas, tales como imperfecta verticalidad o curvatura del eje de la columna. (por sacar antes la madera-fraguado). Las vigas que apoyan sobre la columna tienen distintas longitudes o ≠ cargas. Vigas interiores que apoyan sobre columnas laterales. Vigas que apoyan sobre columnas esquineras. Variac. de la secc. de la columna en la h del edif. s/ mantener la posic. de su eje. Dilataciones de la estructura por aumentos de temperatura. Distribución no uniforme de las cargas permanentes o de las sobrecargas útiles. Fuerzas dinámicas producidas por el viento o por sismo. Hubert Rüsch dice: “Por esto es mejor no hablar de un esfuerzo de compresión axial, sino de un esfuerzo de compresión sin excentricidad comprobada”. 7.1.1. Resistencia Nominal de una Columna con Carga Axial Para columnas de poca esbeltez (sin peligro de pandeo), se puede expresar que la F que produce la rotura de la columna, Pn, es = a la + de dos fuerzas: la que produce la rotura del °H y la que produce la rotura del °A. Es decir que: (Pn es una carga axial que produce rotura de la columna). 𝑃𝑛 = 𝐹 𝑑𝑒𝑙 °𝐻 + 𝐹 𝑑𝑒𝑙 °𝐴 = 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛. 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 0,85. 𝑓𝑐 ′. (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡) + 𝑓𝑦. 𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑠𝑡 𝑃𝑛 = 𝐴𝑔. (0,85. 𝑓𝑐 ′ + ( ). (𝑓𝑦 − 0,85. 𝑓𝑐′) 𝐴𝑔 - Pn: Resistencia nominal a la compresión. - Fc’: Tensión característica de compresión del hormigón. - Ag: Superficie total o bruta de la sección normal de la columna. - Fy : Tensión de fluencia del acero. - Ast: Superficie total de la armadura longitudinal (barras, alambres o perfiles de acero). 𝐴𝑠𝑡 La cuantia de °A comprimido es 𝜇 = 𝐴𝑔 ; Reemplaz. Pn=Ag.(𝟎, 𝟖𝟓. 𝒇𝒄′ + 𝝁. (𝒇𝒚 − 𝟎, 𝟖𝟓. 𝒇𝒄′) (1) 7.1.2. Resistencia de Diseño. - De igual manera que en la flexión se debe cumplir que: ϕ.Pn ≥ Pu, es decir, la resistencia de diseño es mayor o igual que la requerida, pero en la compresión ϕ=0,65 y no 0,90 como en la flexión. (Art. 9.3.5). - En general la falla de una viga afecta sólo a una parte de la estructura, mientras que la falla de una columna puede ocasionar el colapso de la estructura completa. - Con el fin de compensar excentricidades de cargas no tenidas en cuenta en el análisis, se limita la resistencia de diseño de las columnas con los siguientes coeficientes: SOLO CUANDO ACTUA UNA FUERZA PN. a) Columnas con estribos simples, corresponde: 0,80.ϕ.Pn. b) Columnas zunchadas, corresponde: 0,85.ϕ.Pn. 7.1.3. Cálculo de la Sección de una Columna. 𝑷𝒏 De la ecuación (2) se puede despejar “Ag”: 𝑨𝒈 = (𝟎,𝟖𝟓.𝒇𝒄′ +𝝁.(𝒇𝒚−𝟎,𝟖𝟓.𝒇𝒄′) (3) Esta fórmula permite calcular la secc. total de una columna conociendo la carga axial actuante, las resistencias especificadas (o “tensiones características”) del °H y del °A y, además, la cuantía de acero. - Cuantía de acero. (Art. 10.9.1) La cuantía “μ” se elige dentro de los valores límites que fija el Reglamento: 𝑨𝒔𝒕 μ va desde el 1% al 8%, ya que en el 1% es para R al Mf y < da un acortamiento o 𝝁= 𝑨𝒈 0,01 ≤ μ ≤ 0,08 pandeo. Pero > a 8% no es económico y desinfica mucho la °A en zonas de empalmes. Observación: En la fórmula (3) figura 0,85.fc’ como tensión última del °H comprimido; y esa tensión se alcanza p/ Ec entre el 2 ‰ y el 3 ‰. En ese intervalo de deformaciones el acero ADN - 420 ya está en fluencia; es decir que se produce la falla de la columna por rotura simultánea de los dos materiales y para acortamientos de ambos comprendidos entre él 2‰ y 3‰. - Algunas condiciones reglamentarias. Secciones circulares: - El diámetro mínimo de una columna armada con zunchos debe ser de 30 cm. - El diámetro de los zunchos debe ser d ≥ 10 mm. - Cantidad mínima de barras longitudinales: 6.  Secciones rectangulares: (Art. 10.8.). - La mínima dimensión de la secc. de una columna es de 20 cm. - El diámetro mínimo de las barras longitudinales de acero es de 12 mm. (db 12 mm). - La cantidad mínima de barras: cuatro. (Art. 7.10.5.2). Separación "Se " de los estribos: - Se ≤ 16 db - Se ≤ 48 x el diámetro de un estribo. - Se ≤ menor lado de la sección de la columna. Elementos comprimidos de sección circular equivalente: Para el diseño de elementos comprimidos de sección transversal cuadrada, octogonal o de otra forma geométrica, se permite utilizar una sección circular equivalente con diámetro igual a la menor dimensión lateral de la sección real (en lugar del área bruta). 7.1.4. Efectos de la Esbeltez en Columnas. - Aunque es posible el cálculo de columnas de mediana y de gran esbeltez en las cuales se reduce la R por efecto de las deformaciones laterales producidas por pandeo, es práctica corriente diseñarlas de tal forma que no haya peligro de pandeo, salvo en casos especiales en los que se necesitan columnas muy esbeltas. - En general se acepta que no hay peligro de pandeo si la esbeltez mecánica de la columna es menor o igual a 45, en un sistema estructural arriostrado contra desplazamiento lateral. La esbeltez mecánica (λ) es igual al cociente entre la longitud de pandeo (Ip) y el radio de giro mínimo (imin) de la sección: 7.1.5. Arriostramiento Lateral P/ vincular todas las columnas y que estas trabajen sobre = eje, asi no varia "e". El arriostramiento que limita los desplazamientos laterales de una estructura puede estar formado por muros de mampostería que rigidizan pórticos; tabiques de °H°A en cajas de ascensores o escaleras; tabiques aislados; etc.; es decir, elementos verticales con mucha > R a los desplazam. que las columnas de un pórtico. La estructura de un edificio puede considerarse suficientemente arriostrada lateralmente si se cumplen las sig. condiciones, según el CIRSOC 201-1982: Relaciona h edificio, riguidez, etc. (la expresión es ADIMENSIONAL). - H: Altura del edificio sobre el nivel de empotramiento de los elementos arriostrantes. - Eb.J: La suma de las rigideces a flexión de las secciones de todos los elementos arriostrantes verticales en Estado I de deformaciones, de acuerdo con la teoría de la elasticidad. - N ∶ La suma de todas las cargas verticales del edificio. - n: El número de pisos. Nota: Todo lo expresado hasta aquí, incluyendo las condiciones reglamentarias, se puede extender - por lo general - a otras formas de la sección de una columna tales como circular, hexagonal y octogonal. Cuando la distancia de h de una viga es > a 35 cm, se póne una rama entre medio (esto determina forma de poner Fe). 7.2. DIMENSIONAMIENTO PARA RESISTIR ESFUERZOS DE COMPRESIÓN Y DE FLEXIÓN SIMULTÁNEOS FLEXIÓN SIMULTÁNEOS Se expresó ya que es muy raro encontrar elementos sometidos a compresión axial sino que casi siempre se presentan esfuerzos de flexión actuando al mismo tiempo que los de compresión. Se estudiará aquí el dimensionado de una columna prismática de sección rectangular que debe resistir una carga centrada y un momento flector actuando simultáneamente, como lo indica la figura (1). Por lo general se reemplaza este sistema por una fuerza de igual valor, con una excentricidad (e=M/P) , según figura (2). Los dos sistemas de cargas son equivalentes, según se estudió en “Estática”. Es necesario que se cumplan las siguientes condiciones, ya mencionadas al estudiar “Flexión” y “Compresión”: En Flexión φ = 0,90 y en Compresión φ = 0,65. 7.1.1. Diagrama de Deformaciones y Tensiones. (a) columna cargada con Pn; ① - ① es una sección cualquiera. (b) diagrama de deformaciones en la sección ① - ①. (c) diagrama de tensiones en la misma sección. Al igual que para flexión simple se hacen las siguientes hipótesis: 1) Las secciones planas permanecen planas después de la deformación. 2) Se adopta un diagrama rectangular de tensiones, de espesor a=β1.c. Las tensiones, constantes, valen 0,85.fc’. - C’=c/2, siendo C en la mitad de la pieza, en el baricentro. -Es: E traccion del A° mas alejado de la carga aplicada. - Ec: H° - d’: Distancia de fibra mas comprimida a tracción mas cercana. -La excentricidad (que es la distancia entre el centroide o eje neutro y punto de aplicación de Pn). - A medida que se va acercando pasa de a ya que en el medio comprime. - ES UN DIAGRAMA BITRIANGULAR (fuera del centro e>>>0), - TRIANGULAR (se acerca más pero sigue afuera e>>0) - TRAPESOIDAL (en la pieza pero fuera del centro e>0) - Y POR ULTIMO RECTANGULAR (justo en el centro e=0). 7.3. Tipos de Rotura en una Columna. (importante) - Para excentricidades “e” >> habrá tracción en una parte de la sección. Al cargar la columna hasta la rotura, ésta se producirá al fluir el acero traccionado antes que se rompa la zona comprimida. Al estar tan alejada la carga, el Mf generara tensiones de tracción en la zona mas alejada y compresión en la mas cerca, llevando la fluencia del °A antes que el aplastamiento del °H. (Rotura balanceada - 𝜀𝑡 = 2 ‰ y 𝜀𝑐 = 3 ‰ - Rompe °H y °A solo se deforma). - También se puede producir, en la combinación de carga axial y momento flector. (Rotura balanceada - 𝜀𝑡 = 2 ‰ y 𝜀𝑐 = 3 ‰ - Rompe °H y °A solo se deforma). 7.3.1. Ecuaciones de Equilibrio. (las incógnitas son As y As’). a) La suma de las proyecciones verticales de las fuerzas activas y reactivas debe ser igual a cero. (acción de compresión). -Pn: pasiva (+). -C, C’,T: reactivas (-). - C: Es la resultante de las compresiones en el °H. - C’ : Es la fuerza de compresión en la °A de acero más cercana a la fuerza activa Pn - T: Es la fuerza de tracción provista por las barras de acero más alejadas de Pn. - As: Acero traccionado. -As’: Acero comprimido. - F=Tension.Area=(0,85.fc’).(a.b) Es Fs en vez de Fy porque no sabemos la Ec, puede ser < o > a 2%. - Valor de cada fuerza reactiva: C = 0,85.fc’.a.b C’ = As’.fs’ T = As.fs C + C’ – T – Pn =0 Pn = 0,85.fc’.a.b + As’.fs’ - As.fs (2) b) La suma de los momentos de todas las fuerzas del sistema, con respecto al punto medio de la sección, “m”, debe ser nula. (momento que produce la acción de compresión). Horario + y antihorario -. 𝒉 𝒂 𝒉 𝒉 𝑷𝒏. 𝒆 − 𝑪. (𝟐 − 𝟐) − 𝑪′. (𝟐 − 𝒅′) − 𝑻. (𝒅 − 𝟐) = 𝟎 Despejando Pn.e y reemp. C, C’ y T: 𝒉 𝒂 𝒉 𝒉 𝑷𝒏. 𝒆 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝐟𝐜’. 𝐚. 𝐛. ( − ) + 𝐀𝐬’. 𝐟𝐬’. ( − 𝒅′) + 𝐀𝐬. 𝐟𝐬. (𝒅 − ) (𝟒) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 De Ag saco Pn, lueho Ag= b.h y luego d=Kd. 5aíz(Mn/b) y tomo el >. 7.3.2. Cálculo de Columnas de Sección Rectangular Sometidas a Flexo - Compresión. El cálculo se puede realizar a partir de las ecuaciones (2) y (4) expresando “fs”; “fs’ ” y “a” en función de “c”, es decir, de la posición del eje neutro. Además, adoptando ec = 3‰ y usando el diagrama tensión-deformación del acero (habrá que calcular las deformaciones del acero comprimido y traccionado para determinar sus tensiones). Ese proceso de cálculo resulta muy laborioso en la práctica. Para hacerlo más sencillo se han construido, usando las mismas ecuaciones (2) y (4), diagramas de interacción (o ábacos de interacción). Para usar uno de esos diagramas se deben conocer: - La carga nominal Pn - El momento flector nominal Mn = Pn.e - La clase de hormigón y el tipo de acero, que implican conocer fc’ y fy. - Las dimensiones de la sección “b” y “ℎ”. (Ag=b.h) - El sistema de cargas Pn y Mn se obtiene del cálculo del pórtico al que pertenece la columna. - La clase de hormigón y el tipo de acero, se eligen. - Las dimensiones de la sección se determinan aproximadamente calculando la sección de la columna, 1°) Solamente a flexión y 2°) solo a compresión. De las dos secciones obtenidas, se elegirá la >. 𝑷𝒏 𝑴𝒏 Se calculan después: 𝒏 = 𝒇𝒄′.𝑨𝒈 𝒎 = 𝒇𝒄′.𝑨𝒈.𝒉 -n: esfuerzo normal reducido y Averiguar si Ag=b.d ó b.h. -Dimensionar pieza con Mu >. -db/2 porque es al eje de la barra. - En Pn no tengo en cuenta lo del 0,8 o 0,85 porque Predimensionado. - Elijo “d” > entre flexo y compresion. Del diagrama (o ábaco) elegido según “fc’”; “fy” y “γ” se extrae el valor de la cuantía total de acero “ρg”. Si me da un μ < a 0,01, uso 0,01 porque menos no le puedo poner. Pero si me es > a 0,08, como no le puedo poner menos que lo que me pide, debo > Ag para < ρg. Y asi disminuir el μ porque μ=Ast/Ag. Para el abaco, necesito H°-n, °A y gama (γ). ----------- γ.h= distancia entre ejes de armaduras. La superficie de la sección total de acero: As=ρg.Ag ("As" incluye la armadura comprimida y a la traccionada) Nota: Lo expresado al estudiar la compresión axial sobre Pandeo; Cuantías y Algunas Condiciones Reglamentarias, es válido en este tema. Otras condiciones: 1) La separación entre ramas de estribos no debe superar los 35 cm (aproximadamente). 2) La separación entre las barras longitudinales de una misma capa debe ser menor o igual a 15 cm. Los Fe del medio son de Φ12 porque es el mínimo. Los estribos están condicionados por el corte o por reglamento mínimo p/ que no se pandee.