Fenómenos Interferenciales PDF

OF – TEMA – 2 FENÓMENOS INTERFERENCIALES Rev. 2024  OF – TEMA – 2 FENÓMENOS INTERFERENCIALES  Condiciones de interferencia  Interferencia de dos ondas:  Doble rendija de Young  Interferómetro de Michelson  Interferencia de múltiples ondas CONDICIONES DE INT...

OF – TEMA – 2 FENÓMENOS INTERFERENCIALES Rev. 2024  OF – TEMA – 2 FENÓMENOS INTERFERENCIALES  Condiciones de interferencia  Interferencia de dos ondas:  Doble rendija de Young  Interferómetro de Michelson  Interferencia de múltiples ondas CONDICIONES DE INTERFERENCIA PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN  Principio de superposición Cuando dos ondas de luz se superponen, sus campos se suman … Pero ¡cuidado! : Se suman vectores. Después, con el campo resultante, se calcula la irradiancia (intensidad),  2 haciendo el promedio temporal I = ncε 0 | E | (n=1 casi siempre). T Tengo que tener en cuenta la frecuencia de la luz (~1014 s-1 en el rango óptico) → Por eso la irradiancia es un promedio temporal. Uno esperaría que la suma de dos haces de intensidad I1 e I2 fuese, simplemente: IT = I1 + I2 , es decir, la suma de las dos irradiancias. - Esto es cierto casi siempre, excepto cuando los dos haces se superponen en unas condiciones especiales (COHERENCIA), para las que IT ≠ I1 + I2. - Se tiene entonces una distribución espacial de valores de irradiancia mayores y menores que la suma I1 + I2 , produciéndose figuras que llamamos “interferencias” (también decimos patrón de interferencia).  Hecht Sec. 9.1 Principio de superposición Superposición de ondas de igual frecuencia con campos paralelos: 𝐸𝐸1 = 𝐴𝐴⃗1 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ − 𝜑𝜑1 𝐴𝐴⃗1 || 𝐴𝐴⃗2 𝑘𝑘1 = 𝑘𝑘2 𝐸𝐸2 = 𝐴𝐴⃗2 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝜑𝜑2 (misma frecuencia) Sumamos escalarmente y hacemos el promedio temporal del cuadrado: 𝐼𝐼 = 𝑐𝑐𝜀𝜀20 𝐴𝐴12 + 𝐴𝐴22 + 2 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝛿𝛿 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 2 𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 cos 𝛿𝛿 término de interferencia El desfase δ en la práctica es 2𝜋𝜋⁄𝜆𝜆 Δ, siendo Δ la diferencia de “camino óptico” que han recorrido los dos haces (camino geométrico multiplicado por el índice n): 2𝜋𝜋 𝛿𝛿 = 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑2 − 𝜑𝜑1 = Δ 𝜆𝜆 λ es la del vacío, n=1 Diferencia de fase Diferencia de camino óptico  Término interferencial Máximos y mínimos interferenciales: Máximos: δ =(2m)π → Imáx= A12 + A22 + 2A1A2 ∆ =mλ Mínimos: δ =(2m+1)π → Imín= A12 + A22 - 2A1A2 ∆ =(m+1/2)λ Visibilidad: Parámetro que mide el contraste. 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑉𝑉 = 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ¿Y si los dos haces son igual de intensos I1=I2?: Máximos: Imáx = A2 + A2 + 2AA = 4A2 = 2(I1+I2) V=1 Mínimos: Imín = A2 + A2 - 2AA = 0 Interferencia óptima ¿Y cuando no estamos en máximo ni mínimo? Depende del valor que tome 𝛿𝛿 = 2𝜋𝜋⁄𝜆𝜆 Δ.  Condiciones de interferencia Además de superponerse (coincidir en el espacio y en el tiempo) y además de tener la misma ω, ¿qué es necesario para que dos haces produzcan una interferencia estable (observable)? Veamos algunos casos: 1.- ¿Qué ocurre si los campos que se superponen son ortogonales? R: No habrá interferencia. Siempre hace falta que los campos tengan una proyección no nula para que haya algún efecto interferencial. 𝐴𝐴⃗1 ⊥ 𝐴𝐴⃗2 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 2.- ¿Es necesario que la dirección de propagación sea la misma? R: No es necesario. Son los campos los que se suman, y podemos sumar campos paralelos aunque las direcciones de propagación no lo sean.  Condiciones de interferencia 3.- ¿Qué ocurre si las ondas proceden de fuentes diferentes? R: No hay interferencia observable. Hace falta que el parámetro δ se mantenga estable en el tiempo para cada punto y, a efectos prácticos, eso sólo ocurre si ambos haces provienen de la misma fuente. 𝛿𝛿(𝑟𝑟, ⃗ 𝑡𝑡) = 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑2 (𝑡𝑡) − 𝜑𝜑1 (𝑡𝑡) - Misma fuente: 𝜑𝜑2 𝑡𝑡 − 𝜑𝜑1 𝑡𝑡 = 𝜑𝜑 constante o "casi" (COHERENCIA) 1 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 𝑇𝑇 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑 interferencia 2 - Fuentes diferentes: 𝜑𝜑2 𝑡𝑡 − 𝜑𝜑1 𝑡𝑡 = 𝜑𝜑 𝑡𝑡 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 𝑇𝑇 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴 cos 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑(𝑡𝑡) =0 2 1 2 𝑇𝑇 no hay interferencia INTERFERENCIAS CON DOS ONDAS: EXPERIMENTO DE LA DOBLE RENDIJA - YOUNG -  Franjas de Young Lámpara espectral de sodio 589 nm Láser de Nd:YVO4 532 nm Ref.: “Young y Fresnel sin lámpara de sodio”, Sebastián Jarabo, Optica Pura y Aplicada 48(3):243, 2015.  Geometría del experimento Una rendija fuente ilumina dos rendijas separadas una distancia “d”. Ambas iluminan una pantalla que dista “D”. Se dan las condiciones para una interferencia estable. d D  Tipler | Mosca Sec. 33.3 Geometría del experimento ¿Cuál es el estado interferencial en la posición “y” de la pantalla? Depende del desfase δ → Es decir, de la dif. de camino óptico ∆: δ =(2π /λ)∆ n = 1 en aire 𝑦𝑦 ∆= 𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 𝐷𝐷 Diferencia de camino óptico 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 Diferencia de camino geométrico 𝛿𝛿(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦 𝜆𝜆 𝐷𝐷 Diferencia de fase  δ ( y)  2 I 0 {1 + cos [δ ( y ) ]} = I ( y) = 4 I 0 cos 2   2  𝛿𝛿  Máximos y mínimos Sobre ∆, o sobre δ, podemos establecer condiciones de Máx y Mín: ∆= mλ Máximos  ym= m λ (D/d) Máximo de “orden m” δ = 2m π ∆= (2m+1)(λ /2) (intercalados entre Mínimos (nulos)  δ = (2m+1) π los máximos) Interfranja (separación entre máximos (mínimos) consecutivos): 𝜆𝜆𝐷𝐷 𝑦𝑦𝑚𝑚+1 − 𝑦𝑦𝑚𝑚 = young_ub.jar 𝑑𝑑 En el centro de la pantalla vemos el máximo de orden 0. Al alejarnos del centro, la diferencia de camino aumenta, siendo un múltiplo m-ésimo de la λ empleada, al cruzar la franja brillante número m, que es el “orden interferencial”.  Franjas de Young 1655 : Grimaldi intenta el experimento y no lo consigue. 1801-7 : Young lo consigue utilizando una rendija fuente. Variantes: 1961 : El experimento se realiza con e- (dualidad onda-corpúsculo). INTERFERENCIAS CON DOS ONDAS: INTERFERÓMETRO DE MICHELSON Albert Abraham Michelson 1852 - 1931  Geometría del interferómetro de Michelson Elementos: Divisor de haz (beam splitter) (al 50%), Fuente extensa (o láser con una lente), Espejos con alineamiento/posición controlables. BS ≡ Divisor de haz Pantalla Pantalla Espejos 𝐼𝐼0 DL ≡ Lente Diferencia de fase Diferencia de camino geométrico (2d) 2π 2π 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 2 𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 cos 𝛿𝛿 , 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼0 /4 =δ = ∆ , n 1 en aire n ∆L= λ λ I0 δ  1 + cos (δ )  = Diferencia de camino óptico I ( y) = I 0 cos 2   2 2  Geometría del interferómetro de Michelson Elementos: Divisor de haz (al 50%). Fuente extensa (o láser con una lente). Espejos, con alineamiento/posición controlables. 2π δ = ∆L λ ∆L = 2(Lm - L f )  Geometría del interferómetro de Michelson Situación de partida: - Distancias de la lámina divisora a los espejos iguales en los dos brazos. - Se dan todas las condiciones de interferencia: cada rayo interfiere con “su homólogo”. - No hay diferencia de camino, δ=0 y la interferencia es constructiva.  Geometría del interferómetro de Michelson Desplazamos longitudinalmente un espejo: (L1-L2) = d - La diferencia de camino óptico ∆ es fácil de ver para el rayo central: ∆ = 2 n (L1-L2) = 2 n d L2 θ L1 Rayo central Rayo oblicuo (θ ) - La diferencia de camino ∆ para un rayo oblicuo no es tan fácil de obtener: ∆ = 2 n d cos θ - Sobre ∆, o sobre δ=(2π /λ)∆ impondremos la condición de máximo.  Condición de máximo en un Michelson Máximo: ∆ = mλ (m entero) ⇒ 2 n d cosθ = m λ Figura interferencial: La condición es la misma para un mismo θ → ANILLOS m=1015 θ =4.5º m=1016 θ =3.7º m=1017 θ =2.7º n =1 λ = 589.3 nm d = 0.3 mm michelson_ub.jar  Condición de máximo en un Michelson Máximo: ∆ = mλ (m entero) ⇒ 2 n d cosθ = m λ Figura interferencial: La condición es la misma para un θ → ANILLOS Análisis: 1) d y λ fijos: θ ↑ ⇒ cosθ ↓ ⇒ m ↓ [El orden interferencial disminuye “hacia fuera”] 2) Centro del campo (θ=0°) y λ fijo: d ↑ ⇒ m ↑ [Los anillos “brotan”] d ↓ ⇒ m ↓ [Los anillos “entran”] 3) ¿Cuántos anillos son visibles hasta un campo angular θmáx ? (Ejerc): Nº Anillos = mcentro− m(θmáx) = (2d/λ) (1-cosθmáx) 4) Si d es la diferencia de las distancias de la lámina a los espejos… (Ejerc): ¿Cómo saber cuál es el espejo más lejano? Y otras… Interferómetro Michelson con luz blanca (1915-2015) LIGO: Laser Interferometer Gravitational- Wave Observatory  INTERFERENCIAS POR SUPERPOSICIÓN DE MUCHAS ONDAS  Efectos interferenciales en láminas delgadas Un haz incidente sobre una lámina delgada puede experimentar muchas reflexiones que se superponen, al reflejarse y al transmitirse. d Esos múltiples haces provienen del Serán capaces de mismo haz original interferir La dif. de camino entre haces sucesivos la determina el espesor d. Esta situación da lugar a los siguientes fenómenos y dispositivos: - Interferómetro de Fabry-Perot. - Fabricación de capas antirreflejantes para óptica. - Franjas de Fizeau, Anillos de Newton. - Coloración de láminas delgadas (pompas, aceite). Tipler | Mosca Sec. 33.2  O.F. – 2 FENÓMENOS INTERFERENCIALES  Aparición del término interferencial -Suma de dos campos paralelos de la misma frecuencia: 𝐸𝐸1 = 𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ 𝐸𝐸2 = 𝐴𝐴2 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝜑𝜑 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑2 − 𝜑𝜑1 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 → 𝐸𝐸 2 = 𝐸𝐸12 + 𝐸𝐸22 + 2𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 -La irradiancia será (n=1): 𝐼𝐼 = 𝑐𝑐𝜖𝜖0 𝐸𝐸12 + 𝐸𝐸22 + 2𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 T 1 -Usamos la fórmula trigonométrica: cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 = 2 cos 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + cos 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 = 𝐴𝐴1 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ 𝐴𝐴2 cos 𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝜑𝜑 1 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 2𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝜑𝜑 + cos 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑 2 -El promedio temporal de las funciones cos 2 (𝜔𝜔𝑡𝑡) = 1⁄2 y cos (2𝜔𝜔𝑡𝑡) = 0. 1 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 𝑇𝑇 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑 2  Aparición del término interferencial 1 1 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝑘𝑘2 𝑟𝑟⃗ − 𝑘𝑘1 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ 2 2  δ (r ) desfase -La irradiancia resultante será: 𝐼𝐼 = 𝑐𝑐𝜖𝜖0 𝐸𝐸12 + 𝐸𝐸22 + 2 𝐸𝐸1 𝐸𝐸2 1 𝐼𝐼 𝑟𝑟⃗ = 𝑐𝑐𝜀𝜀0 2 𝐴𝐴12 + 12 𝐴𝐴22 + 2 12 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 cos 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ 𝐼𝐼 𝑟𝑟⃗ = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 2 𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 cos 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ -En el caso particular de irradiancias iguales I1=I2=I0: 2 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ 𝐼𝐼 𝑟𝑟⃗ = 2𝐼𝐼0 1 + cos 𝛿𝛿 𝑟𝑟⃗ = 4𝐼𝐼0 cos 2  Interferómetros similares al de Young En el Biprisma de Fresnel un doble prisma desvía el haz que proviene de la fuente S generando “dos fuentes” cuyas ondas interfieren (S1 y S2 son virtuales). El espejo de Lloyd (S es real y S´ es virtual). Es un espejo dieléctrico. Tiene de particular que en el centro hay un mínimo, en vez de máximo, por el desfase π en la reflexión. ESPEJO  Interferómetros similares al de Young El doble espejo de Fresnel: En este caso la luz directa de la fuente no se utiliza, y sí la que proviene de sendas reflexiones en dos espejos. S1 y S2 son virtuales. Se puede comprobar que en P es donde los caminos ópticos de los P dos haces son iguales y donde tenemos por tanto el máximo central. En cualquier otro punto la irradiancia se calcula igual que en el experimento de Young, con S1 y S2 como fuentes.  A.A. Michelson - Albert Abraham Michelson nació en 1852 en Polonia. La familia emigró a USA en 1854. Se graduó en la Naval Academy en 1873. Fue a estudiar a Berlín, Heidelberg y París durante 2 años. Enseñó en varias universidades y desde 1892 hasta 1931 fue jefe del Departamento de Física de la Univ. de Chicago. -El trabajo de Michelson se centra en la luz y en la construcción de interferómetros muy precisos. Aún muy joven, diseñó un sistema de dos espejos, uno fijo y otro móvil, con los que midió la velocidad de la luz con precisión no alcanzada hasta entonces. -Artículo original de la medida de la velocidad de la luz -Michelson realizó su famoso experimento en Cleveland en colaboración con el químico Edward W. Morley. Se pensaba que la luz consistía en ondas que se propagaban en el éter, una sustancia que llenaba todo el espacio. Si la fuente emisora de luz se movía, la velocidad sería diferente según fuese la dirección de emisión. En el experimento de Michelson- Morley dos haces de luz se enviaban en ángulo recto y volvían por su camino tardando el mismo tiempo. Esto descartaba la noción de éter. -Dispositivo original utilizado en el experimento de Michelson y Morley  A.A. Michelson - A pesar de la relevancia de sus trabajos, Michelson no comprendió la profundidad de los cambios que estaban ocurriendo. Era un brillantísimo experimentador, que pensaba que el único progreso que esperaba a la Física era el de alcanzar mejores instrumentos y mayor precisión. - Michelson desarrolló el primer espectroscopio con suficiente resolución para poner en evidencia los movimientos moleculares. Estableció un nuevo estándar internacional para el metro, basado el la longitud de onda de una línea de emisión del cadmio. Fue el primero en medir el diámetro de una estrella, para lo cual usó su interferómetro estelar. Recibió el premio nobel en 1907, siendo el primer americano que lo conseguía. Murió mientras trabajaba en una medida aún más fina de la velocidad de la luz. Referencia: Bernard Jaffe, Michelson and the Speed of Light (1960) Diferencia de camino, ∆ , en el interferómetro de Michelson - E´1 es la imagen de E1 por la lámina L. - d es la diferencia de distancias de L a E1 y E2. - Σ´´1 es la imagen de Σ (la fuente) dada por E1 y L. - Σ´´2 es la imagen de Σ dada por L y E2. Como Σ´´1 y Σ´´2 son imágenes virtuales de Σ, cada par de puntos P y Q emite los mismos trenes de ondas en cada momento. Para el rayo que va por el centro tenemos: ∆centro= n 2d ya que la distancia que uno de los rayos recorre “de más” respecto del otro es d a la ida y d a la vuelta. Hemos supuesto índice n para el medio. Para los rayos que parten con una inclinación θ la diferencia de camino no es difícil de calcular: ∆ = QS n = 2 d n cosθ  Interpretación de la condición de máximo del Michelson Manejo de la expresión: 2 n d cosθ = mλ - Si nos fijamos en un anillo, tomamos m constante (orden). - Si nos fijamos en un punto de observación, tomamos θ cte. - Si nos fijamos en una posición de los espejos, tomamos d cte. m=1015 θ=4.5º Aspecto de los anillos m=1016 θ=3.7º m=1017 (calculados) para dos θ=2.7º longitudes de onda y d variable:  Cuestiones de manejo del Michelson P: Si la diferencia de distancias de los espejos a la lámina es d ¿Da lo mismo que sea el espejo E1 o el E2 el que diste más de la lámina? R: En cuanto al aspecto de los anillos, es indistinguible. -Pero, si al acercar E1 a la lámina entran anillos, entonces E1 era el más lejano porque disminuimos la diferencia de distancias d. P: Contando anillos, ¿puedo medir λ? R: Sí, cada vez que muevas un espejo λ/2, pasará un anillo por el centro. La lectura del micrómetro (x2) te da el valor de la λ de la luz empleada. -En la práctica los desplazamientos tan pequeños dan problemas, por lo que se cuentan muchos anillos y no uno. Además, el micrómetro lleva una reducción mecánica que hace que los desplazamientos del espejo sean 10 ó 20 veces menores que los del micrómetro. Ambas cosas añaden precisión y permiten buenas medidas de λ. micrómetro P: Contando anillos, ¿puedo medir índices de refracción? R: Sí, ya que el n afecta al camino recorrido y por tanto a los anillos. -En la práctica es sencillo para gases, ya que podemos pasar de vacío al gas poco a poco, y contar anillos. Con un vidrio no podemos hacer eso: O tenemos una lámina de vidrio o no la tenemos, y no hay nada que contar. Este problema se soluciona mediante un método que va rotando la lámina y variando el camino, pero el cálculo no es sencillo.  Interferómetro de Fabry-Perot Tomemos una lámina plano-paralela de aire utilizando dos láminas enfrentadas: - Se trata de utilizar la reflexión en las caras internas, que serán de R ↑↑. - Se recoge la luz en el foco de una lente. ε - La condición de máximo para la ε intensidad transmitida IT es: f’ d 2 d cosε = mλ - Esa expresión gobierna las interferencias en este dispositivo (Fabry-Perot). - Con R ↑↑ se observan anillos muy estrechos. - Un anillo para cada orden interferencial m. - Doblete del Na visto con un Fabry-Perot.  Capas antirreflejantes Inc 1 2 3... La amplitud del campo reflejado es la suma de los haces 1, 2, 3, etc. Podemos imponer como condición que la interferencia de todos ellos Aire produzca una amplitud reflejada nula: IR(λo)=0. n Obtenemos: n = (nv)1/2 d d = λο/(4n) En esas condiciones la capa de índice n funciona nv como una capa antirreflejante para la luz con longitud de onda λo (“Monocapa”). (Vidrio) En la realidad se utiliza un número de capas mayor (multicapa) para conseguir la condición antirreflejante para un rango de λs.  Franjas de Fizeau Espesor d variable  “láminas de espesor variable” - El valor de d es el que determina el desfase δ  Intensidad es f(d). - Variación de espesor entre dos máximos sucesivos: ∆d = λo/(2n) - Los máximos interferenciales dibujan “curvas de nivel” sobre la lámina. EJEMPLO: Cuña de ángulo α : - Franjas paralelas a la arista: Franjas de Fizeau. - En una cuña, si mido x  α ≅ ∆d/x = λo/(2nx) α x - Cada franja supone una variación de espesor de λ/2. - Midiendo con las franjas de Fizeau:  Anillos de Newton Supongamos dos superficies de curvatura ligeramente diferente y en contacto. d rm 2𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜆𝜆 - Los puntos de igual d forman un círculo alrededor del punto de contacto. - Esos círculos son los llamados Anillos de Newton. - Se utiliza para control de calidad de curvaturas de lentes mediante calibres. 𝑟𝑟 2 ≅ 2𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚 − 1 𝜆𝜆𝑅𝑅 𝑚𝑚 = 2, 3, …  Coloración en láminas delgadas En una lámina delgada de espesor variable iluminada con luz blanca, en cada punto se cumplirá la condición de máximo para una λ distinta. Capas delgadas de aceite o hidrocarburo (gasoil) sobre un charco. Círculos de colores sobre las pompas (burbujas de agua con jabón). En una pompa el líquido fluye hacia abajo por su peso. El mínimo espesor necesario para formar un color es λ/2. Al llegar a 200nm (aprox), ya ni siquiera el violeta puede formar un máximo, y se ve oscuro por la parte de arriba. Poco después el espesor es tan pequeño que la burbuja explota.