Elementos Básicos de Geometría PDF

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Matías Arce, Gema Galbarte, Ana Maroto 1. PUNTO, RECTA Y PLANO................................................................................ 1 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.............

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Matías Arce, Gema Galbarte, Ana Maroto 1. PUNTO, RECTA Y PLANO................................................................................ 1 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.................................................. 2 3. OTRAS DEFINICIONES BÁSICAS................................................................... 3 4. DEFINICIONES ANGULARES BÁSICAS......................................................... 5 5. DIFERENTES CLASIFICACIONES DE ÁNGULOS........................................... 6 6. ÁNGULOS DEFINIDOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE............... 8 7. POLIGONALES................................................................................................. 9 1. PUNTO, RECTA Y PLANO Con este capítulo comienza el estudio (enseñanza y aprendizaje) de la geometría sintética en la que los elementos básicos son el punto, la recta y el plano. Durante siglos se han realizado importantes esfuerzos para intentar definir estos tres elementos, pero es prácticamente imposible hacerlo sin recurrir a otros términos no definidos previamente (por lo que realmente son pseudo-definiciones), o sin caer en definiciones circulares. Algunos ejemplos: Un punto es aquello que no tiene partes (Euclides, en Los Elementos). Una recta es el camino más corto entre dos puntos (Legendre, 1752-1833). Una recta es una línea homogénea, es decir, cuyas partes, tomadas indiferentemente, son semejantes entre sí y no difieren más que en su longitud (Delboeuf, 1831-1896). Plano es una superficie sin aristas ni ondulaciones (Díaz Velázquez, 1979). No existe una definición precisa de ninguno de estos elementos básicos, considerándose como elementos primitivos a partir de los cuales generar los demás elementos geométricos. Se admite que el conocimiento del punto, la recta y el plano comienza de forma intuitiva y a través de la experiencia del individuo en su entorno. Poco a poco, a lo largo de la escolaridad del estudiante, estos conceptos se van formalizando. Algunas experiencias y referencias que promueven una comprensión y abstracción progresiva de estos elementos se detallan a continuación: Referencias físicas a los elementos: Punto: Mota de polvo, grano de arena, punta de un lápiz afilado, … 1 de 10  Recta: rayo de luz, rayo láser, hilo tenso (infinito en ambos sentidos), lugar donde se juntan la pared y el techo en una habitación con forma de prisma, … Plano: Tela extendida, lago en calma, pared (infinita en todas las direcciones), … Según la dimensión: El punto no tiene dimensiones, sólo tiene posición. La recta tiene una dimensión: longitud. El plano tiene dos dimensiones: longitud y anchura. Los objetos en el espacio pueden tener tres dimensiones (longitud, anchura y altura o grosor). Por medio de intersecciones: Si consideramos al plano como el concepto más primitivo o concepto de partida, se puede definir recta como la intersección de dos planos y punto como la intersección de dos rectas. Mediante movimiento (Definición de Aristóteles): La línea con su movimiento genera la superficie, así como la línea viene engendrada por el movimiento de un punto. Normalmente, los puntos en geometría suelen denominarse con letras latinas mayúsculas (A, B, …), las rectas con letras latinas minúsculas (r, s, …) y los planos con letras griegas (α, β, …). La regla es el instrumento que se utiliza para trazar rectas (mejor dicho, porciones finitas de rectas, ya que una recta es infinita). 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dos rectas en el plano o se cortan o son paralelas. Rectas secantes: Son aquellas que se cortan en un punto. Rectas perpendiculares: Son aquellas que se cortan dividiendo al plano en cuatro regiones iguales (cuadrantes), es decir, regiones tales que al superponerlas coinciden. Esta superposición puede observarse utilizando papiroflexia. Las rectas perpendiculares juegan un papel importante en la medición de distancias. Por ejemplo, la distancia de un punto, A, a una recta, r, se mide a través de la perpendicular a la recta r a través del punto A. Rectas paralelas: Enunciamos tres definiciones posibles: Son aquellas que, estando en un mismo plano, no tienen ningún punto común. Dos rectas son paralelas si son equidistantes, es decir, siempre guardan la misma distancia entre ellas. Dos rectas son paralelas si toda perpendicular a una de ellas lo es también a la otra, siendo las tres coplanarias (es decir, estando en el mismo plano). 2 de 10 Un ejemplo de situación real con rectas paralelas son las vías del tren en un camino recto, aunque visualmente nos dé la sensación de que esas dos vías (rectas paralelas) se terminan cortando en el horizonte. Esto es debido a nuestra visión en perspectiva, que sigue las reglas de una geometría no euclídea (la geometría proyectiva). La siguiente página web recoge varias construcciones geométricas básicas con regla y compás, entre ellas el trazado de una perpendicular y una paralela a una recta por un punto exterior a ella. https://jorgefernandezherce.es/proyectos/angulo/temas/temaab/index.html El trazado de paralelas y perpendiculares a una recta también puede realizarse utilizando escuadra y cartabón: Paralelas: Ajustar y desplazar Perpendiculares: Ajustar, girar y desplazar 3. OTRAS DEFINICIONES BÁSICAS Haz de rectas: Conjunto de rectas contenidas en un plano que pasan por un punto. A este punto se le llama centro o vértice del haz. Conviene notar que un haz de rectas contiene todas las direcciones del plano. Haz de rectas paralelas: Conjunto de rectas paralelas a una dada. Todas estas rectas tienen la misma dirección. 3 de 10 Semirrecta: Cada una de las dos partes en que es dividida la recta por uno de sus puntos es una semirrecta. A este punto se le denomina origen de la semirrecta. Ambas semirrectas son ilimitadas. Para la determinación de una semirrecta se necesita, además del origen, otro punto de la semirrecta, o bien la dirección y el sentido de la misma. Segmento (rectilíneo): Parte de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Al primero de ellos, A, se le denomina origen y al segundo, B, extremo. En ese caso, el segmento se invoca como “segmento AB”. La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une. Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Justamente se utiliza esta propiedad para dibujarla con la regla y el compás (ver cuadro inferior izquierda). Suma de segmentos: Es otro segmento cuya longitud es la suma de las longitudes de los segmentos que se suman. Se suman colocándolos a todos correlativamente sobre la misma recta, trasladando sus longitudes utilizando el compás (ver cuadro inferior derecha). Tarea 1. La figura superior izquierda representa la construcción de la mediatriz de un segmento. Explica cómo se ha trazado. Circunferencia: Curva cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de uno fijo llamado centro. El segmento que une el centro con cualquiera de sus puntos es el radio. La circunferencia se dibuja con el compás, pinchando en el centro y abriendo el mismo una longitud igual a la del radio. La conservación de esa longitud en el compás a 4 de 10 través de su abertura es la que permite utilizar este instrumento para transportar distancias, como se muestra en el ejemplo de construcción de la suma de segmentos. 4. DEFINICIONES ANGULARES BÁSICAS Ángulo: Región de plano limitada por dos semirrectas con origen común, denominado vértice. Las semirrectas se llaman lados. Cada una de las 4 regiones en que queda dividido el plano al cortarse dos rectas es un ángulo. En el caso de que las dos rectas sean perpendiculares, cada uno de los cuatro ángulos determinados se denomina ángulo recto. Se puede construir un ángulo girando una semirrecta alrededor de su origen una amplitud determinada. Los ángulos se representan con un arco que tiene su centro en el vértice, comienza en la primera semirrecta y termina en la segunda. Los ángulos tienen sentido de recorrido: sentido positivo si recorremos el arco en contra del movimiento de las agujas del reloj (sentido antihorario), y sentido negativo en caso contrario (sentido horario). La unidad usual de medida de los ángulos es el grado. Un grado (1º) es la amplitud de cada uno de los ángulos que resultan de dividir un ángulo recto en 90 ángulos iguales. Bisectriz de un ángulo. Es la semirrecta contenida en el ángulo y con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo (cualquier punto de la bisectriz está a igual distancia de los dos lados). Tarea 2. La figura de la derecha representa la construcción de la bisectriz de un ángulo. Describe y explica cómo se ha trazado. Amplitud de un ángulo: Es la menor o mayor separación de las semirrectas que lo determinan. Esa amplitud se mide mediante el arco de circunferencia con centro en el vértice que abarca el ángulo. La amplitud tiene signo positivo o negativo según el sentido de recorrido. Ángulos congruentes: Son aquellos cuyas semirrectas que los definen tienen la misma abertura (separación), es decir, son los que tienen la misma amplitud. Esto ocurre cuando al trazar sendos arcos entre las semirrectas con centro en el vértice y con el mismo radio, ambos tienen la misma longitud (en ese caso, también la longitud de la cuerda que determinan es la misma). 5 de 10 Suma de ángulos: Es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los ángulos que se suman. El ángulo suma se obtiene poniendo uno a continuación de otro de manera que coincidan los vértices de ambos y uno de los lados. La amplitud de cada uno se traslada trazando arcos de un mismo radio en el ángulo original y el ángulo que va a ser el trasladado, abriendo con el compás una longitud igual a la distancia entre los dos extremos del arco contenido en el ángulo original, y llevando esa distancia al nuevo arco desde el extremo conocido. La suma de ángulos tiene las propiedades asociativa y conmutativa. 5. DIFERENTES CLASIFICACIONES DE ÁNGULOS Dos semirrectas con origen común determinan dos ángulos de diferente tipo: uno convexo y otro cóncavo. Convexo: Aquel en el que el segmento que une dos puntos cualesquiera del ángulo queda completamente contenido en el ángulo. Un ángulo convexo mide menos de 180º. Cóncavo: En este ángulo, no todos los segmentos que unen dos puntos cualesquiera del mismo quedan completamente contenidos en la región. Un ángulo cóncavo mide más de 180º. Tarea 3. Traza un segmento que una dos puntos del ángulo cóncavo y que no esté totalmente contenido en dicho ángulo, y otro que sí que lo esté. Según la medida de los ángulos, estos pueden ser: agudo (si su amplitud es menor que la de un ángulo recto), recto, obtuso (si es mayor que un ángulo recto y menor que dos rectos) y llano (si es igual a dos rectos). El ángulo llano también es aquel que forman las dos semirrectas en que un punto divide a una recta. Ángulo agudo Ángulo recto 6 de 10  Ángulo obtuso Ángulo llano Según su suma, existen dos nombres especiales para un conjunto de ángulos cuando su suma es igual a una determinada amplitud. Dos o más ángulos son complementarios cuando su suma es igual a un ángulo recto. Cuando la suma es igual a un ángulo llano (o dos rectos), reciben el nombre de suplementarios. Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Según la posición de los lados de dos ángulos, éstos también reciben nombres particulares en algunos casos. Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común y el mismo vértice. Dos ángulos son adyacentes cuando, además de ser consecutivos, son suplementarios. Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el mismo vértice y las semirrectas de uno de ellos son las prolongaciones de las semirrectas del otro. Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice 7 de 10 Relaciones de igualdad: Dos ángulos son congruentes cuando las semirrectas que los definen tienen la misma abertura (separación). En ese caso, se dice que los ángulos son iguales, puesto que las regiones angulares coinciden al superponerlas. Teorema 1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Demostración: d+e=e+c (al ser la suma de cada pareja igual a un ángulo llano), y, por tanto, d=c. 6. ÁNGULOS DEFINIDOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE Cuando una recta secante corta a otras dos rectas paralelas, r 1 y r 2 , se forman ocho ángulos. Los ocho ángulos que se forman al cortar a dos rectas paralelas por una secante o son rectos o son cuatro agudos iguales entre sí y otros cuatro obtusos también iguales entre sí. Es decir, se verifican las igualdades siguientes: r=t, p=k, q=h y s=c 1 por ser ángulos comprendidos entre rectas paralelas (razonando por reducción al absurdo a partir del quinto postulado de Euclides: si los ángulos fueran distintos, las rectas se cortarían y no serían paralelas, que es la condición de partida, por lo que llegaríamos a una contradicción). r=s, p=q, k=h y t=c 1 por ser opuestos por el vértice. Por tanto, a partir de las igualdades anteriores, p=h, s=t, k=q y r=c 1. A los ángulos q y h, r y t, p y k y s y c 1 se les llama correspondientes (la misma posición respecto a la secante y a la paralela). Así, los ángulos correspondientes son iguales. A los ángulos k y q, y r y c 1 se les llama alternos (a distintos lados de la secante) externos (fuera de la banda que delimitan las paralelas). Los ángulos alternos externos son iguales (igualdades anteriores). A los ángulos h y p, y t y s se les llama alternos (a distintos lados de la secante) internos (dentro de la banda que delimitan las paralelas). También se cumple que los ángulos alternos internos son iguales. 8 de 10 Tarea 4. Calcula, de forma razonada, la medida de los ángulos nombrados con letras en las siguientes figuras, sabiendo que r y s son rectas paralelas en la figura de la izquierda, y que u y w, y t y v son rectas perpendiculares en la figura de la derecha. 72º 90º Â G v w C B H I B t K J L C 81º Q A 63º T D E R E r S D F N F u 30º G s M O P 7. POLIGONALES Poligonal: Una poligonal es una línea formada por un número finito de segmentos tal que el extremo de uno de ellos es el origen del siguiente. Polígono: Es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada, es decir, tal que el origen del primer segmento coincide con el extremo del último segmento. Línea poligonal Polígono A los segmentos de la poligonal cerrada se les llama lados del polígono. Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Diagonales son los segmentos que unen vértices no consecutivos. Ángulos interiores en un polígono son los formados en el interior del polígono a partir de las semirrectas que contienen a dos lados consecutivos y con vértice en el punto de corte de ambos lados. Los ángulos exteriores en un polígono son los suplementarios de cada uno de los ángulos interiores. Polígonos convexos: Son aquellos tales que al prolongar los lados del polígono, dichos lados no pasan por la región interior de la poligonal. Equivalentemente, el segmento que une dos puntos arbitrarios del polígono está totalmente contenido en la región que delimita. 9 de 10 Polígonos cóncavos: Son aquellos tales que al prolongar los lados del polígono, éstos pasan por la región interior de la poligonal. Equivalentemente, hay pares de puntos tales que el segmento que determinan no está contenido en la región poligonal. Los polígonos reciben nombres distintos según el número de lados que tengan: Triángulo, 3 lados; cuadrilátero, 4 lados; pentágono, 5 lados; hexágono o exágono (en desuso), 6 lados; heptágono, 7 lados; octógono, 8 lados; nonágono o eneágono, 9 lados; decágono, 10 lados; undecágono, 11 lados; dodecágono, 12 lados; pentadecágono, 15 lados. Para el resto de los polígonos se dice expresamente el número de lados, por ejemplo, polígono de 19 lados. Teorema 2. El ángulo exterior, δ, de un triángulo cualquiera es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes, α y β. Demostración: Considerado un lado del triángulo, se traza una recta paralela a ese lado por el vértice restante. La prueba se basa en aplicar las igualdades existentes entre los ángulos obtenidos al cortar dos paralelas por una secante: α=α 1 por ser correspondientes y β=β 1 por ser alternos internos. Por tanto, α+β=α 1 +β 1 =δ. Teorema 3. La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es un ángulo llano (180º). Demostración: De la figura anterior, también se deduce que ε+δ es llano y, por tanto, ε+α 1 +β 1 también es llano y, en consecuencia, α+β+ε es llano. 10 de 10