Tema 2 - Leyes Financieras en la Práctica - PDF

Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Tema 2: Leyes financieras usadas en la práctica. A continuación, vamos a ver las funciones matemáticas concretas que suelen usarse para trasladar capitales, es deci...

Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Tema 2: Leyes financieras usadas en la práctica. A continuación, vamos a ver las funciones matemáticas concretas que suelen usarse para trasladar capitales, es decir, para conocer el valor monetario de un capital en cualquier momento del tiempo. Como ya hemos visto en el tema anterior, cualquier función matemática puede ser una ley financiera siempre que cumpla unos requisitos (positiva, homogénea respecto a la cuantía, reflexiva de la equivalencia de capitales, que subestime los capitales futuros y que sea continua). Sin embargo, existen unas funciones concretas que se usan con más asiduidad porque expresan una situación económica concreta y real. Las leyes de capitalización y descuento que vamos a ver se usan en cualquier empresa por pequeña que sea, incluida cualquier empresa en el sector de la moda, ya que son usadas a diario en la gestión de pedidos, planificación de la producción, pago a proveedores, realización de proyectos, financiación bancaria, reinversión de los beneficios, etc. A lo largo de la asignatura designaremos las leyes de capitalización con L y las de descuento con A, los tipos de interés con i y los de descuento con d, y t será nuestra unidad de tiempo. 2.1. Capitalización simple y compuesta. 2.1.1. Ley de capitalización simple Expresión general: 𝐿 (𝑡 ) = (1 + 𝑖 ∗ 𝑡 ) Es una ley sumativa y estacionaria. Estacionaria quiere decir que no necesitamos saber el origen y el final exactos del período que examinamos, si no que nos basta con saber el tiempo transcurrido. Por ejemplo, si queremos conocer el valor de un capital invertido desde 2024 hasta 2031, no necesitamos conocer la fecha de origen y vencimiento, solo que han transcurrido 7 años. Sumativa quiere decir que dados dos intervalos (𝑡; 𝑠) 𝑦 (𝑠; 𝑝) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 1 año) y la que normalmente se utiliza para rentas financieras, desde préstamos a cualquier inversión en la que el capital ganado (interés) se reinvierte constantemente junto al principal (p. ej. Acciones de empresas o un plazo fijo). De hecho, es la ley financiera más usada en general. Ahora este capital generado en t=1 SÍ generará nuevos capitales en t=2. ¿Y qué hacer con t e i si el período es inferior a 1 año? Opción 1: Modificamos i:  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Por un lado tenemos el TANTO ANUAL EFECTIVO (TAE): (1 + 𝑖 ) = (1 + 𝑖𝑚 )𝑚 𝑖 = (1 + 𝑖𝑚 )𝑚 − 1 1 𝑖𝑚 = (1 + 𝑖 )𝑚 − 1 Su proyección aritmética anual se llama TANTO NOMINAL (TIN): 𝑗𝑚 𝑗𝑚 = 𝑚 ∗ 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 𝑚 Ejemplo TAE y TIN: Nuestra entidad financiera nos ofrece una serie de tarjetas de crédito, para que las y los diseñadores puedan hacer frente a los gastos en dietas, transportes, así como para la compra e investigación de nuevos diseños. Dichas tarjetas tienen un TIN del 24% y se liquidan mensualmente. Sin embargo, otra entidad nos ofrece unas tarjetas idénticas al 25% TIN, pero que se liquidan semestralmente. Necesitamos valorar cuál es la mejor opción. Opción 1: 24% 𝑇𝐼𝑁1 = 24% → 𝑖12 = = 2% → 𝑇𝐴𝐸 = (1 + 2%)12 − 1 = 26,82% 12 Opción 2: 25% 𝑇𝐼𝑁2 = 25% → 𝑖2 = = 12,5% → 𝑇𝐴𝐸 = (1 + 12,5%)2 − 1 = 26,56% 2 En términos anuales, resulta más rentable utilizar las tarjetas de la segunda opción. Esto se debe a que, a pesar de que su interés nominal sea mayor, su devengo (semestral) compensa esa diferencia, ya que es mejor financieramente demorar su liquidación.  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Expresión gráfica: L(t)=(1+i)^t pte=variable 2.1.3. Comparativa simple y compuesta: Renombremos las dos leyes que acabamos de ver: 𝐿1 (𝑡) = 1 + 𝑖 ∗ 𝑡 𝐿2 (𝑡) = (1 + 𝑖 )𝑡 Si t es igual a 1 y/o 0, entonces 𝐿1 será exactamente igual a 𝐿2 , pero… 𝑆𝑖 0 < 𝑡 < 1 → 𝐿1 > 𝐿2 𝑆𝑖 𝑡 > 1 → 𝐿1 < 𝐿2 Por ejemplo, si i = 20%: Con t = 0,5: 𝐿1 = 1 + 0,2 ∗ 0,5 = 1,10 𝐿2 = (1 + 0,2)0,5 = 1,0954 Pero si t = 3,5: 𝐿1 = 1 + 0,2 ∗ 3,5 = 1,70 𝐿2 = (1 + 0,2)3,5 = 1,8929  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 L1(t) L2(t) Matemáticamente vale, pero… ¿qué sentido tiene esto? Si pusieramos un capital al 1% mensual en simple y compuesta: i 12 1% Simple: 1.000,00 € 1.010,00 € 1.020,00 € 1.030,00 € 1.040,00 € 1.050,00 € 1.060,00 € 1.070,00 € 1.080,00 € 1.090,00 € 1.100,00 € 1.110,00 € 1.120,00 € 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Compuesta: 1.000,00 € 1.010,00 € 1.020,10 € 1.030,30 € 1.040,60 € 1.051,01 € 1.061,52 € 1.072,14 € 1.082,86 € 1.093,69 € 1.104,62 € 1.115,67 € 1.126,83 € 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Está claro que ante un mismo i m preferiríamos siempre la capitalización compuesta Pero el problema está cuando queremos saber qué nos conviene escoger ante un mismo i o TAE: Simple: Compuesta: p(t1;t2) 12,00% 12,68% > Resulta que en compuesta es un interés del 12,68% anual, por lo que no es el mismo TAE que el de la simple. Si pusieramos un capital al 12% anual, pero que capitaliza mensualmente: i 12% Simple: i 12 1% 1.000,00 € 1.010,00 € 1.020,00 € 1.030,00 € 1.040,00 € 1.050,00 € 1.060,00 € 1.070,00 € 1.080,00 € 1.090,00 € 1.100,00 € 1.110,00 € 1.120,00 € 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Compuesta: i 12 0,9489% 1.000,00 € 1.009,49 € 1.019,07 € 1.028,74 € 1.038,50 € 1.048,35 € 1.058,30 € 1.068,34 € 1.078,48 € 1.088,71 € 1.099,04 € 1.109,47 € 1.120,00 € 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Al acumularse intereses, todo el período inferior al año tiene que ir a un ritmo inferior al 1% para que al llegar al mes 12 efectivamente se haya ganado un 12% y no más. Ejemplo capitalización simple y compuesta: Nuestra empresa de importación de telas indias ha tenido un excedente de 300.000 € este año, y podemos invertirlo durante los 4 años siguientes. Una primera opción es al 12% de interés simple en bonos del estado y la otra es al 8% compuesto en unos fondos indexados de renta variable. Tenemos que valorar qué opción resulta más atractiva. Opción 1:  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda 𝑉𝐹1 = 300.000 ∗ (1 + 12% ∗ 4) = 444.000 € Opción 2: 𝑉𝐹2 = 300.000 ∗ (1 + 8%)4 = 408.146,69 € Será mejor dejarlos invertidos en bonos del tesoro. Para que los fondos fueran más atractivos deberían ofrecernos más del 10,3% de interés compuesto: 1 (1 + 12% ∗ 4) = (1 + 𝑥 )4 → 1,484 − 1 = 𝑥 → 𝑥 = 10,3% Esto es un despeje para obtener una equivalencia de capitales. Con que nos ofrezcan un 10,31% en compuesta ya compensará cambiar a la inversión 2. 2.2. Descuento comercial y racional. 2.2.1. Ley de descuento comercial: Expresión general: A(𝑧) = 1 − 𝑑 ∗ 𝑧 De nuevo, es una ley sumativa y estacionaria. La expresión sumativa en descuentos puede resultar algo más compleja que cuando capitalizamos. Dados dos intervalos (𝑡; 𝑠) 𝑦 (𝑠; 𝑝) 𝑐𝑜𝑛 𝑡 < 𝑠 < 𝑝 se verifica que la suma de los descuentos de 𝑡 𝑎 𝑠 y de 𝑠 𝑎 𝑝 es igual que la de 𝑡 𝑎 𝑝. Esto quiere decir que en el descuento comercial siempre se descuenta sobre el importe nominal, no importa en que período nos encontremos. Por ejemplo, si tenemos que descontar un cheque de 3.000 € al 10%, para un período serán 300 € en intereses y para 2 períodos serán 600 €, lo que quiere decir que a pesar de retroceder un período extra siguen quitándonos el 10% de 3.000 €. Es por excelencia la ley que usan los bancos para el corto plazo. Y además suelen utilizarla usando el año comercial (360 días). ¡Cuidado! Es la única ley que veremos que es limitada. Esto quiere decir que tiene un rango definido, precisamente por ser sumativa. Siguiendo con el ejemplo anterior, si me aplican un descuento del 10%, ¿cuál es el período máximo que podré descontar? Menos de 10 años. Al descontar sobre el nominal, si me aplican un 10% cada año, si quiero descontar un valor de 10 años obtendré exactamente 0 euros, por lo que ya no tiene sentido realizar el descuento. Es por ello por lo que solo se utiliza en el corto plazo: 𝑉𝐷 = 300.000 ∗ (1 − 10% ∗ 10) = 0 €  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Para calcular el valor descontado de un capital en períodos inferiores al año, la ley de descuento comercial es análoga a la de capitalización simple. Es decir, solo tendremos que dividir el d entre 𝑑 el número de períodos requerido: 𝑑𝑚 =. 𝑚 Expresión gráfica: A(t) = 1 - d*t pte = -d Ejemplo descuento comercial: Tenemos un factoring con nuestro banco que nos ayuda a descontar las facturas de los clientes. Actualmente tenemos una factura de Modas Rubio S.L. de 50.000 € y otra de Tempe por valor de 420.000 €. La primera con vencimiento en 1,5 meses y las segunda en 3,2 meses. Si el banco nos aplica un descuento del 9%, tenemos que determinar si podremos hacer frente a los proveedores a los que debemos 450.000 € y cuánto nos costará. 1,5 𝑉𝐷1 = 50.000 ∗ (1 − 9% ∗ ) = 49.437,50 € 12 3,2 𝑉𝐷2 = 420.000 ∗ (1 − 9% ∗ ) = 409.920 € 12 𝑆 = 49.437,50 + 409.920 = 459.357,50 € Podremos pagar a los proveedores y aún nos sobrarán 9.357,50 €. 𝐷 = 50.000 + 420.000 − 459.357,50 = 10.642,50 Nos ha costado 10.642,50 € (lo que supone un 2,26% de las facturas), que ha ingresado el banco en concepto de intereses. 2.2.2. Ley de descuento racional: Expresión general:  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda 1 A(𝑡) = 1+𝑖∗𝑡 Prestando atención, nos damos cuenta de que es la inversa de la ley de capitalización simple, obtendríamos el mismo valor si intentáramos descontar con ella. La suma de las dos es lo que denominamos una ley completa (que sirve tanto para descontar como para capitalizar). Es la única ley que no es ni sumativa ni multiplicativa, pero sí estacionaria. Es también usada en el corto plazo, sobre todo como inversa de la simple. Al contrario que el descuento comercial, al ser la inversa de la ley de capitalización simple, siempre aplica el descuento sobre el tramo inferior del intervalo a descontar, así que va siendo variable a lo largo de todo su recorrido. Sin embargo, precisamente por descontar siempre sobre un valor móvil (y cada vez menor) esta ley no es limitada, es decir, aunque descontemos hasta el infinito siempre nos devolverá un valor positivo. Las equivalencias para períodos inferiores al año son exactamente igual que con la capitalización simple. Expresión gráfica: A(t) = 1/(1+i*t) = pte Esto es una asíntota, se acercará, pero nunca llegará a tocar el 0. 2.2.3. Comparativa comercial y racional: Pongamos que 𝑑 = 𝑖. Entonces… 1 𝐴1 (𝑡) = 1 − 𝑖 ∗ 𝑡 → 𝐴2 (𝑡) = (1 + 𝑖 ∗ 𝑡) 1 𝑖2 ∗ 𝑡2 𝐴2 − 𝐴1 = ( ) − 1−𝑖∗𝑡 = >0 (1 + 𝑖 ∗ 𝑡 ) (1 + 𝑖 ∗ 𝑡 )  Pedro L. Angosto Fernández Gestión Financiera de la Empresa de Moda Esto quiere decir que el VD de un descuento racional siempre será mayor que el de uno comercial, y, por tanto, los descuentos que produce el descuento comercial siempre serán mayores a los del racional (lógico, uno descuenta siempre sobre el nominal (más alto) y otro va cambiando cuánto más descontamos (más pequeño)). Por eso, los bancos usan el descuento comercial. Leyes de descuento simple 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R C Ejemplo descuentos simples: Tenemos un pagaré a 2 meses de Pikolinos de 3 millones de euros. ¿Cuál es su valor descontado por ambas leyes si nos descuentan al 12%? ¿Qué ocurriría si faltaran 9 meses? 2 𝑉𝐷1 = 3.000.000 ∗ (1 − 12% ∗ ) = 2.940.000 € 12 3.000.000 𝑉𝐷2 = = 2.941.176,47 € 2 (1 + 12% ∗ ) 12 9 𝑉𝐷1′ = 3.000.000 ∗ (1 − 12% ∗ ) = 2.730.000 € 12 3.000.000 𝑉𝐷2′ = = 2.752.293,58 € 9 (1 + 12% ∗ ) 12 Obviamente, desde el punto de vista del gestor siempre escogeríamos el descuento racional, y a medida que el período a descontar es más grande la preferencia se hace más evidente. Desde el punto de vista de la entidad financiera, escogeríamos siempre el descuento comercial. ¿Y qué ocurre con el descuento a largo plazo? Con períodos superiores al año no hay duda porque en la mayoría de los casos se usa el descuento compuesto, que no es más que la inversa de la capitalización compuesta: 𝐴 (𝑡) = (1 + 𝑖 )−𝑡. Tendríamos otra ley completa.