Stat C Lesson 10 PDF

‫סטטיסטיקה ג'‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫סטטיסטיקה ג'‬ ‫רגרסיה מרובה‬ ‫מודל הרגרסיה הליניארית‬ ‫עם מספר משתנים בלתי‪-‬תלויים (ב"ת)‬  ‫סטטיסטיקה ג'‬...

‫סטטיסטיקה ג'‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫סטטיסטיקה ג'‬ ‫רגרסיה מרובה‬ ‫מודל הרגרסיה הליניארית‬ ‫עם מספר משתנים בלתי‪-‬תלויים (ב"ת)‬  ‫סטטיסטיקה ג'‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫נושאי המצגת‬ ‫מטרת השיעור‬ ‫ ‬ ‫נתוני המדגם‬ ‫ ‬ ‫משוואת הרגרסיה המרובה‬ ‫ ‬ ‫הסקה מקו ניבוי מדגמי לקו ניבוי באוכלוסייה‬ ‫ ‬ ‫מודל הרגרסיה המרובה במונחים של ניתוח שונות‬ ‫ ‬  ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬מטרת השיעור‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫מטרת השיעור‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫בשיעורים ‪ 6‬עד ‪ 9‬למדנו כי מודל הרגרסיה הליניארית מתאים יותר מניתוח שונות‬ ‫(חד‪/‬דו‪-‬כיווני) כאשר שני המשתנים (התלוי‪/‬מנובא והב"ת‪/‬מנבא) כמותיים ומשקפים‬ ‫קשר ליניארי (‪.)r‬‬ ‫מקרה זה‪ ,‬בו אנו מנבאים משתנה תלוי (למשל‪ - Y ,‬ממוצע שנה א') באמצעות‬ ‫ציוני קשר ליניארי (‪r‬‬ ‫~)‬ ‫ע"פ על‬ ‫ומתבססים‬ ‫משתנה ב"ת אחד (למשל‪ - x ,‬ציון פסיכומטרי)‬ ‫קו הרגרסיה‬ ‫‪z y r z x‬‬ ‫ביניהם ‪ -‬מכונה רגרסיה פשוטה‪.‬‬ ‫תקן‬ ‫~‬ ‫קו הרגרסיה ע"פ ציוני‬ ‫‪Y b xi  a‬‬ ‫גלם‬ ‫וטיב הניבוי ניתן להמחיש‬ ‫הקשר‬ ‫תלוי‬ ‫אתמשתנה‬‫‪Y‬‬ ‫באמצעות האיורים הבאים‪:‬‬‫(מנובא)‬ ‫שטח העיגול הכחול‬ ‫‪Y‬‬ ‫משקף את‬ ‫‪Y‬‬ ‫הפיזור‪/‬שונות של ‪Y‬‬ ‫שטח חופף‬ ‫‪r‬‬ ‫שטח חופף‬ ‫(שונות כללית של ‪.)Y‬‬ ‫משקף את טיב הקשר‬ ‫משקף את טיב הקשר‬ ‫‪r‬‬ ‫הליניארי (‪ r‬או ‪,)r2‬‬ ‫הליניארי (‪ r‬או ‪,)r2‬‬ ‫או את שונות הניבויים‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫או את שונות הניבויים‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ X‬משתנה ב"ת‬ ‫דוגמה זו משקפת‬ ‫דוגמה זו משקפת‬ ‫(מנבא)‬ ‫קשר בינוני‪/‬חזק‬ ‫קשר בינוני‪/‬חלש‬ ‫שטח העיגול הירוק‬ ‫(שטח יחסית גדול‬ ‫(שטח יחסית קטן‬ ‫משקף את הפיזור‪/‬שונות‬ ‫מתוך ‪.)Y‬‬ ‫מתוך ‪.)Y‬‬ ‫של ‪X‬‬  ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬מטרת השיעור‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫בשיעור הנוכחי נבחן סיטואציות בהן יש יותר ממשתנה ב"ת (מנבא) אחד‪.‬מצב בו יש‬ ‫שני משתנים ב"ת או יותר (למשל‪ )x1, x2, x3,… xn ,‬לניבוי המשתנה התלוי (למשל‪)Y ,‬‬ ‫~‬ ‫והניבוי מתבסס על קשרים ליניאריים בין המשתנים – מכונה רגרסיה מרובה‪.‬‬ ‫‪Y b1 x1  b2 x2  b3 x3 ...  bn xn  a‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫נניח כי אנו מנבאים את ממוצע שנה א' (משתנה תלוי‪/‬מנובא ‪ )Y -‬ע"פ שני משתנים‬ ‫ב"ת (מנבאים) ציון פסיכומטרי (‪ )x1‬וממוצע בגרות (‪.)x2‬את מקרה זה ניתן להציג‬ ‫~‬ ‫בנוסחה הבאה של הרגרסיה המרובה‬ ‫‪Y b1 x1  b2 x2  a‬‬ ‫ממוצע שנה א' (‪ )Y‬משתנה תלוי‬ ‫(מנובא)‬ ‫או להמחיש באיור‬ ‫שטח העיגול הכחול משקף את‬ ‫שטח חופף (‪ Y‬עם ‪)x2‬‬ ‫הפיזור‪/‬שונות של ‪( Y‬שונות כללית של ‪.)Y‬‬ ‫משקף את טיב הקשר הליניארי ) ‪r(Yx2‬‬ ‫שטח חופף (‪ Y‬עם ‪)x1‬‬ ‫בין המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת ‪.x2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫משקף את טיב הקשר הליניארי )‪r(Yx1‬‬ ‫) ‪r(Yx 2‬‬ ‫בין המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת ‪.x1‬‬ ‫)‪r(Yx1‬‬ ‫בגרות (‪ - )x2‬משתנה ב"ת‬ ‫פסיכומטרי (‪ - )x1‬משתנה ב"ת‬ ‫‪x2‬‬ ‫(מנבא)‬ ‫שטח העיגול הזהוב משקף את‬ ‫‪x1‬‬ ‫(מנבא)‬ ‫שטח העיגול הירוק משקף את‬ ‫הפיזור‪/‬שונות של ‪x2‬‬ ‫הפיזור‪/‬שונות של ‪x1‬‬  ‫‪ -‬תיאור נתוני המדגם‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫נתוני המדגם‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫ראשית‪ ,‬נתבונן בנתונים תיאוריים של שלושת המשתנים הלקוחים ממדגם של ‪67‬‬ ‫תלמידי שנה ב' במחלקה מסוימת‪ ,‬אליהם נתייחס כמדגם מקרי של תלמידי המחלקה‪.‬‬ ‫‪x1 545‬‬ ‫‪x2 76‬‬ ‫‪sx1 45.2‬‬ ‫‪sx2 6.7‬‬ ‫ציון בפסיכומטרי‬ ‫ציון שנה א' (‪)Y‬‬ ‫‪y 85‬‬ ‫(‪)x1‬‬ ‫(ממוצע וס"ת)‬ ‫‪s y 5‬‬ ‫(ממוצע וס"ת)‬ ‫ציון בבגרות‬ ‫(‪)x2‬‬ ‫(ממוצע וס"ת)‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫‪r(Yx1) r(Y 1) 0.206‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫‪.x1‬‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫‪r(Yx 2 ) r(Y 2 ) 0.304‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫‪.x2‬‬ ‫הקשר הליניארי בין שני‬ ‫‪r( x1 x 2 ) r(12 ) 0.133‬‬ ‫המשתנים הב"ת ‪ x1‬ו‪.x2 -‬‬  ‫‪ -‬תיאור נתוני המדגם‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫ניתן להמחיש באיורים‪.‬‬ ‫‪r(Y 2 ) 0.304‬‬ ‫‪r(Y 1) 0.206‬‬ ‫‪r(12 ) 0.133‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪r(Y 2‬‬ ‫)‪r(Y 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫) ‪r(12‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫הקשר הליניארי בין שני‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫המשתנים הב"ת ‪ x1‬ו‪.x2 -‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫‪.x2‬‬ ‫‪.x1‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪r(Y 2‬‬ ‫)‪r(Y 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫) ‪r(12‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬תיאור נתוני המדגם‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫ניתן להציג את דיאגרמת הפיזור (באמצעות ‪ )SPSS‬של הקשר בין המשנה‬ ‫המנובא‪/‬תלוי (‪ )Y‬עם כל אחד מהמשתנים המנבאים‪/‬ב"ת בנפרד (‪.)ry2, ry1‬‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫‪.x2‬‬ ‫‪.x1‬‬ ‫‪r(Y 2 ) 0.304‬‬ ‫‪r(Y 1) 0.206‬‬ ‫ממוצע שנה א'‬ ‫ממוצע שנה א'‬ ‫( ‪)Y‬‬ ‫( ‪)Y‬‬ ‫בגרות (‪)x2‬‬ ‫פסיכומטרי (‪)x1‬‬  ‫‪ -‬תיאור נתוני המדגם‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫הצורה של דיאגרמת הפיזור בין ציוני הפסיכומטרי והבגרות ביחד להצלחה בשנה א'‬ ‫היא תלת ממדית‬ ‫ממוצע שנה א'‬ ‫( ‪)Y‬‬ ‫( ‪)x‬‬ ‫ות ‪2‬‬ ‫ר‬‫ט‬‫מ‬ ‫פסיכו‬ ‫בגר‬ ‫י‬ ‫(‪)x 1‬‬  ‫‪ -‬משוואת הרגרסיה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫משוואת הרגרסיה המרובה‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫קיום שני משתנים ב"ת מכתיב ניבוי שאינו באמצעות קו רגרסיה מדגמי‪ ,‬אלא‬ ‫באמצעות משטח רגרסיה מדגמי שיוגדר ע"י שני החזאים‪/‬מנבאים (פסיכומטרי ‪x1‬‬ ‫ובגרות ‪.)x2‬‬ ‫~‬ ‫‪Y b1 x1  b2 x2  a‬‬ ‫~‬ ‫‪Y 0.019 x1  0.21 x2  58.64‬‬  ‫‪ -‬משוואת הרגרסיה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫~‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪Y 0.019 x1  0.21 x2  58.64‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫מהו ציון המנובא לממוצע שנה א' (‪ )y‬עבור סטודנט שציון הפסיכומטרי שלו הוא ‪545‬‬ ‫שלו‪x2  x‬‬ ‫הוא ‪ ,x2=76( 76‬זהה לציון‬ ‫‪2‬‬ ‫) וציון הבגרות‬ ‫‪x1  x, x‬‬ ‫זהה לציון הממוצע‬ ‫(‪1 =545‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)?‬ ‫הממוצע‬ ‫‪x1 545‬‬ ‫~‬ ‫~‬ ‫‪x2 76‬‬ ‫‪Y 0.019 545  0.21 76  58.64 Y 85‬‬ ‫ציון מנובא ‪ -‬עבור סטודנט עם פסיכומטרי ‪ 545‬ובגרות ‪ 76‬ננבא ממוצע שנה א'‬ ‫‪.85‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לתלמיד עם ציונים ממוצעים בשני החזאים ננבא את הציון הממוצע‬ ‫במשתנה התלוי‪.‬‬ ‫ממוצעי המדגם מופיעים בשקופית ‪.5‬‬  ‫‪ -‬משוואת הרגרסיה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫מה המשמעות של שני מקדמי הרגרסיה במשוואת הניבוי במדגם?‬ ‫מקדם הרגרסיה במשוואת ניבוי חד משתנית (רגרסיה פשוטה) מציג את השינוי הצפוי‬ ‫במשתנה התלוי כאשר המשתנה הבלתי תלוי עולה ביחידה אחת (השיפוע של הקו)‪.‬‬ ‫במשוואת הניבוי המרובה כל אחד ממקדמי הרגרסיה קובע את השינוי הצפוי במשתנה‬ ‫התלוי – כל מקדם של חזאי (משתנה מנבא) מייצג את השינוי הצפוי במשתנה התלוי‬ ‫כאשר החזאים האחרים מוחזקים קבועים‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬אם ציון הפסיכומטרי (‪ )x1‬יוחזק קבוע (למשל‪ ,)545 ,‬וציון הבגרות (‪ )x2‬עולה‬ ‫ביחידה אחת (למשל‪ ,‬מ‪ 76-‬ל‪ )77-‬ממוצע שנה א' יגדל ב‪ 0.21-‬נקודות‪.‬בדומה‪ ,‬אם‬ ‫ציון הבגרות (‪ )x2‬יוחזק קבוע (למשל‪ ,)76 ,‬וציון הפסיכומטרי (‪ )x1‬עולה ביחידה אחת‬ ‫(למשל‪ ,‬מ‪ 545-‬ל‪ )546-‬ממוצע שנה א' יגדל ב‪ 0.019-‬נקודות‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬מקדמי השיפוע במשוואת הניבוי נותנים מדד לקשר הייחודי שיש לכל אחד‬ ‫הקשר הליניארי הייחודי בין‬ ‫‪Y‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫המשתנהביןהתלוי‪.‬‬ ‫הליניארי הייחודי‬ ‫הקשר‬ ‫מהחזאים עם‬ ‫‪.x2‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫‪.x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫הסקה מקו רגרסיה מדגמי לקו הרגרסיה באוכלוסייה‬ ‫בדיקת השערות‬ ‫בבדיקת השערות דו‪-‬צדדית נבדוק את ההשערה שאין תרומה ייחודית לניבוי המשתנה‬ ‫התלוי באוכלוסייה באמצעות כל אחד משני המשתנים הבלתי תלויים‪ ,‬כאשר המשתנה‬ ‫השני מוחזק קבוע‪.‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬השערת האפס הדו‪-‬צדדית טוענת שאין למשתנה מסוים תרומה‬ ‫מובהקת בניבוי המשתנה התלוי מעבר לתרומתו של המשתנה השני‪.‬‬ ‫השערה חד‪-‬צדדית תטען למקדמי רגרסיה באוכלוסייה הקטנים או שווים ל‪( 0 -‬או‬ ‫בכיוון ההפוך) והיא רלוונטית יותר בהקשר שלנו (שכן ההנחה היא שציון גבוה יותר‬ ‫בפסיכומטרי ו‪/‬או בבגרות קשור להצלחה גבוהה יותר בשנה א')‪.‬‬ ‫השערות חד‪-‬צדדיות‬ ‫סטטיסטי המבחן‬ ‫‪b  B1‬‬ ‫‪b  B1‬‬ ‫‪H 0 : B1 0‬‬ ‫(‪)df=n-1-J‬‬ ‫) ‪t( n  1 J‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ t( n  3)  1‬‬ ‫‪ˆ b1‬‬ ‫‪ˆ b1‬‬ ‫‪=J‬מס' משתנים ב"ת‬ ‫‪H1 : B1  0‬‬ ‫סטטיסטי המבחן‬ ‫‪b2  B2‬‬ ‫‪b  B2‬‬ ‫‪H 0 : B2 0‬‬ ‫(‪)df=n-1-J‬‬ ‫‪t( n  1 J ) ‬‬ ‫‪ t( n  3)  2‬‬ ‫‪=J‬מס' משתנים ב"ת‬ ‫‪ˆ b2‬‬ ‫‪ˆ b2‬‬ ‫‪H1 : B2  0‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫~‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪Y 0.019 x1  0.21 x2  58.64‬‬ ‫דוחים את השערת‬ ‫לא דוחים את השערת‬ ‫האפס‬ ‫האפס‬ ‫‪Sig=0.02/2=0.01‬‬ ‫‪Sig=0.16/2=0.08‬‬ ‫פלט התוצאות של ‪ SPSS‬מורה שכאשר מחזיקים את ציון הבגרות קבוע‪ ,‬אין לציון הפסיכומטרי‬ ‫תרומה מובהקת בניבוי ההצלחה בלימודים (‪;)sig=0.16/2=0.08‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬כאשר מחזיקים את ציון הפסיכומטרי קבוע‪ ,‬יש לציון הבגרות תרומה מובהקת‬ ‫בניבוי ההצלחה בלימודים (‪.)sig=0.02/2=0.01‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫על מנת לעמוד על גודלם היחסי של התרומות הייחודיות שיש לכל אחד משני החזאים בניבוי‬ ‫המשתנה התלוי ניתן להיעזר במקדם הרגרסיה החלקי המתוקנן (שמופיע בפלט ה ‪ SPSS‬תחת‬ ‫הכותרת ‪.)Beta‬‬ ‫שני המקדמים החלקיים המתוקננים אינם מושפעים מיחידת המדידה‪ ,‬הם על אותו סולם‬ ‫מדידה של ציוני תקן‪ ,‬ניתן לעמוד על התרומה הייחודית של כל חזאי בניבוי המשתנה התלוי‬ ‫כאשר החזאי האחר מוחזק קבוע‪.‬ה ‪ Beta‬היא למעשה המתאם החלקי‪.‬‬ ‫‪Beta1 rYx1. x 2 0.168‬‬ ‫‪Beta 2 rYx 2. x1 0.282‬‬ ‫הקשר הליניארי הייחודי (‪ )beta‬בין‬ ‫‪Y‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת ‪x1‬‬ ‫הקשר הליניארי הייחודי (‪ )beta‬בין‬ ‫(פסיכומטרי)‪.‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת ‪x2‬‬ ‫(בגרות)‪.‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫המתאם החלקי הוא המתאם בין כל משתנה בלתי תלוי לבין המשתנה התלוי‪ ,‬כאשר המשתנה‬ ‫הבלתי תלוי השני מוחזק קבוע‪.‬ניתן להשוות את שני המתאמים החלקיים למתאמים הפשוטים‬ ‫ולראות שהם נמוכים יותר מהם בערכם המוחלט‪.‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫| ‪| Beta1 rYx1. x 2 0.168 || r(Yx1) 0.206‬‬ ‫| ‪| Beta2 rYx 2. x1 0.282 || r(Yx 2 ) 0.304‬‬ ‫הערה‪ :‬הרצת רגרסיה מרובה ב ‪ SPSS‬זהה לשלבים שנלמדו למעט שלב הגדרת המשתנים‬ ‫הבלתי תלויים – בו יש להגדיר במקום משתנה בלתי תלוי אחד שני משתנים בלתי תלויים (או‬ ‫יותר)‪.‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪) 0.206‬‬ ‫בלימודים‪r(Y(, x1‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬ניתן לראות כי המתאם בין הציון הפסיכומטרי לבין ההצלחה‬ ‫) הוא מובהק ‪.‬כלומר‪ ,‬ניתן להסיק כי באוכלוסייה עלייה בציון הפסיכומטרי תהיה מלווה‬ ‫בעלייה בהצלחה בלימודים‪.‬לעומת זאת‪ ,‬כאשר מחזיקים את ממוצע הבגרות קבוע‪ ,‬לא‬ ‫‪ Beta‬באוכלוסייה‪,‬‬ ‫ניתן לקבוע כי עלייה בציון הפסיכומטרי תהיה מלווה בעלייה ‪0.168‬‬ ‫בהצלחה‪1 rYx1. x 2‬‬ ‫בלימודים‬ ‫) אינו מובהק‪.‬‬ ‫כלומר המתאם החלקי (‬ ‫מתאם בין‬ ‫‪Y‬‬ ‫פסיכומטרי לממוצע‬ ‫‪1) 0.206‬‬ ‫א'‪r(Yx‬‬ ‫שנה‬ ‫מובהק‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪Sig=0.095/2=0.0475‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫מתאם חלקי בין‬ ‫פסיכומטרי לממוצע שנה‬ ‫‪1. x 2 ) 0.168‬‬ ‫א'‪Beta1 r(Yx‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫אינו מובהק‬ ‫‪Sig=0.16/2=0.08‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫המתאם החלקי בריבוע‪ :‬מציג את היחס בין שונות הניבויים הייחודית של המנבא לבין‬ ‫שונות כללית‬ ‫השונות הכללית‪2.‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫~‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑦 2.1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑦 2.1‬‬ ‫𝑌‬ ‫𝑟‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑆‬ ‫𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫~‬ ‫𝑆‬ ‫‪ = 𝑦 1.2‬שונות הניבויים הייחודית‬ ‫= שונות הניבויים הייחודית‬ ‫𝑆‬ ‫‪~𝑦 2.1‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫𝑆‬ ‫~ ‪𝑦 2.1‬‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫של המנבא ‪X1‬‬ ‫של המנבא ‪X2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪~𝑦 1.2‬‬‫𝑟=‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫𝑆∙‬ ‫𝑦‬ ‫𝑆‬ ‫𝑟=‬ ‫‪~𝑦 1.2‬‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫𝑆∙‬ ‫𝑦‬  ‫‪ -‬הסקה ממדגם לאוכלוסייה‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫שונות כללית‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫𝑆‬ ‫~‬ ‫‪𝑦 2.1‬‬ ‫𝑆‬ ‫𝑌‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫=‬ ‫~‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫‪𝑦 2.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦‬ ‫𝑆‬ ‫𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪ = ~𝑦 1.2‬שונות הניבויים הייחודית‬ ‫= שונות הניבויים הייחודית‬ ‫𝑆‬ ‫‪~𝑦 2.1‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫𝑆‬ ‫~ ‪𝑦 2.1‬‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫של המנבא ‪X1‬‬ ‫של המנבא ‪X2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪~𝑦 2.1‬‬‫𝑟=‬ ‫‪𝑦 2.1‬‬ ‫𝑆∙‬ ‫𝑦‬ ‫𝑆‬ ‫‪~𝑦 1.2‬‬ ‫𝑟=‬ ‫‪𝑦 1.2‬‬ ‫𝑆∙‬ ‫𝑦‬ ‫‪2‬‬ ‫~𝑆‬ ‫~𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪𝑟 2𝑦 1‬‬ ‫‪𝑦1‬‬ ‫= ‪𝑟 2𝑦 2‬‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫𝑦𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆 ∙ 𝑟= 𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫𝑆‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫‪𝑦1‬‬ ‫𝑆 ∙ 𝑟= 𝑆‬ ‫~‬ ‫‪𝑦1‬‬ ‫‪𝑦1‬‬ ‫𝑦‬ ‫~‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫רגרסיה מרובה במונחים של ניתוחי שונות‬ ‫בשיעור ‪ 8‬למדנו לנסח את מודל הרגרסיה הפשוטה במונחים של ניתוחי שונות‪.‬ראינו‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) של המשתנה התלוי‪/‬מנובא (‪ )Y‬מורכבת משני) ‪S( ~y‬‬ ‫מרכיבים‬ ‫(‬ ‫כי‪SY‬השונות הכללית‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫שונותושונות הטעויות (‬ ‫)‬ ‫אדיטיביים‪ S:‬שונות הניבויים (‬ ‫) ‪(e‬‬ ‫הניבויים‬ ‫שונות כללית‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫של ‪Y‬‬ ‫‪S S‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫~(‬ ‫)‪y‬‬ ‫‪S‬‬ ‫)‪(e‬‬ ‫שונות‬ ‫הטעויות‬ ‫‪ Y‬משתנה תלוי (מנובא)‬ ‫השטח הנותר‬ ‫‪SY2‬‬ ‫שטח העיגול הכחול משקף את‬ ‫הפיזור‪/‬שונות של ‪( Y‬שונות ‪2‬כללית של ‪- Y‬‬ ‫משקף את שונות הטעויות) ‪S(e(2‬‬ ‫‪SY‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫)‬ ‫) ‪S(e2‬‬ ‫) ‪S(2~y‬‬ ‫שטח חופף‬ ‫‪S ~y2‬‬ ‫‪SSRe g‬‬ ‫אחוז השונות‬ ‫משקף את טיב הקשר הליניארי (‪,)r2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 100 r 2‬‬ ‫או את שונות הניבויים) ‪.) S((~y‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪SST‬‬ ‫המנובאת‬ ‫כמו כן‪ ,‬למדנו כי מתאם פירסון בריבוע ( ‪ )r‬משקף את טיב מודל הניבוי ‪ -‬ככל שמדד‬‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫הקשר מתרחק יותר מכיוון ה‪ ,0-‬טיב הניבוי גדל‪ ,‬ולהיפך‪.‬ניתן להבחין בשני מקרי‬ ‫קיצון‪ )1 :‬מצב של קשר מלא (‪ )r2=1‬בו הניבוי מדויק ‪ -‬שונות הטעויות שווה לאפס (‬ ‫) ‪SY2 S(2~y‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ושונות הניבויים שווה לשונות‪S( e ) 0‬‬ ‫הכללית (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הניבויים ) ‪~y‬שווה‬ ‫(‬ ‫‪ )2‬מצב בו אין קשר ליניארי (‪ )r2=0‬ואין יכולות ניבוי ליניארית ‪ -‬שונות‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪S‬‬‫‪Y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הטעויות שווה לשונות הכללית (‬ ‫(‬ ‫)‪e‬‬ ‫) ושונות‬ ‫לאפס (‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪SY‬‬ ‫המשתנה התלוי (‬ ‫במצב בו ישנם שני משתנים ב"ת (או יותר)‪ ,‬השונות הכללית של‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ואת שונות‬ ‫הניבויים‪( S‬‬ ‫) ‪(e‬‬ ‫) ‪S( ~y‬‬ ‫להגדיר את שונות‬ ‫מתחלקת למספר רכיבים מהם ניתן‬ ‫הקשר הליניארי בין המשתנה‬ ‫השטח הנותר‬ ‫)‪.‬‬ ‫הטעויות (‬ ‫התלוי (‪ )Y‬לב"ת ‪x1‬‬ ‫(פסיכומטרי)‪.‬‬ ‫משקף את שונות הטעויות) ‪S(e(2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY2‬‬ ‫‪1 r‬‬ ‫) ‪( Y. x1 x 2‬‬ ‫) ‪S(e2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫או‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪SY2 S(2Y~. x1 x 2 )  S(2e‬‬ ‫) ‪S(2~y‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫שטח חופף‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משקף את שונות הניבויים (‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫) ‪( ~y‬‬ ‫) ‪S(Y~. x1 x 2‬‬ ‫)‬ ‫הקשר הליניארי בין‬ ‫בריבוע‪r(2Y. x(1x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫או את המתאם המרובה‬ ‫) ‪S(2Y~. x1x 2‬‬ ‫‪SSRe g‬‬ ‫המשתנה התלוי (‪ )Y‬לב"ת‬ ‫)‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪( Y. x1 x 2‬‬ ‫‪( x2‬בגרות)‪.‬‬ ‫‪SY2‬‬ ‫‪SST‬‬ ‫ניתוח השונות בודק את השאלה האם שני המשתנים הבלתי תלויים גם יחד – הפסיכומטרי‬ ‫והבגרות – מנבאים את ההצלחה בלימודים באופן מובהק; כלומר‪( ,‬האם משטח הרגרסיה‬ ‫מקביל לציר ‪ ? X‬או האם המתאם באוכלוסייה בין ההצלחה בלימודים לבין שני החזאים גם יחד‬ ‫גדול מ‪ ?0 -‬מתאם זה מכונה מתאם מרובה‪ ,‬והוא המתאם בין ההצלחה בלימודים לבין שני‬ ‫החזאים גם יחד (סימונו ‪( )rY.x1x2‬סימנו של המתאם המרובה יהיה תמיד חיובי)‪.‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫דוגמה ‪ – 2‬מתאם מרובה (פלט ‪)SPSS‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫המתאם המרובה – המתאם בין‬ ‫המשתנה התלוי‪ /‬מנובא (‪ - Y‬ממוצע‬ ‫שנה א') לבין שני המשתנים‬ ‫‪r(Y. x1 x 2 ) r(Y.12 ) 0.347‬‬ ‫) ‪r(Y2.12‬‬ ‫ב"ת‪/‬מנבאים‬ ‫(‪ – x1‬פסיכומטרי‪ ,‬ו‪ - x2-‬בגרות)‪.‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫ריבוע המתאם‬ ‫‪r(2Y. x1x 2 ) 0.3472 0.120‬‬ ‫המרובה‬ ‫המתאם המרובה שווה ‪ 0.347‬והוא גבוה יותר מכל אחד מהמתאמים הפשוטים של כל‬ ‫חזאי עם ההצלחה בלימודים (‪ 0.304‬עם הבגרות ו‪ 0.206 -‬עם הפסיכומטרי)‪.‬לפיכך‪,‬‬ ‫המתאם המרובה יהיה לפחות גבוה כמו המתאם הפשוט הגבוה מבין שני המתאמים‬ ‫הפשוטים של שני החזאים עם המ"ת‪ ,‬וערכו המרבי של המתאם המרובה הוא פונקציה‬ ‫של שני המתאמים הפשוטים (כאשר המתאם בין שני החזאים – המב"ת – הוא ‪,0‬‬ ‫לסכום ריבועי שני המתאמים הפשוטים)‪r( x1 x 2 ) r(12 ) 0.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שווה‬ ‫‪Y‬‬ ‫המרובה‬ ‫המתאם‬ ‫‪2‬‬ ‫ריבוע‬ ‫‪r‬‬‫‪(Y‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫) ‪(Y 2‬‬ ‫המתאם‬ ‫) ‪r(2Y. x1 x 2 ) r(2Y.12 ) r(2Y 1)  r(2Y 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫המרובה‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫דוגמה ‪ – 3‬ניתוח שונות (פלט ‪)SPSS‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪SSRe s‬‬ ‫‪SSRe g‬‬ ‫‪SSRe g‬‬ ‫‪196.647‬‬ ‫‪MS Re g ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪98.324‬‬ ‫‪df Re g‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪MS Re g‬‬ ‫‪98.324‬‬ ‫סטטיסטי‬ ‫‪F( k ,n  1 k ) ‬‬ ‫) ‪ F( 2,64‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫המבחן‬ ‫‪=k‬מס' מנבאים‬ ‫‪MS Re s‬‬ ‫‪22.445‬‬ ‫‪SS Re s 1436.481‬‬ ‫‪MS Re s ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22.445‬‬ ‫‪df Re s‬‬ ‫‪64‬‬ ‫דרגות החופש של הרגרסיה הן ‪ – 2‬כמספר המשתנים הבלתי תלויים‪.‬‬ ‫הבדיקה מורה כי המתאם המרובה באוכלוסייה בין שני החזאים לבין הצלחה בלימודים‬ ‫גבוה מ‪.)sig=0.016( 0 -‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬כי ההשערה חייבת להיות דו‪-‬צדדית (לא ניתן לחלק את ה‪ sig-‬ב‪ ,)2-‬שכן למונה יש ‪2‬‬ ‫דרגות חופש ואינו מקיים את הקשר ‪ - t2=F‬אשר מצריך דרגת חופש אחת בלבד במונה‪.‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫דוגמה ‪ – 4‬ניתוח שונות (באמצעות המתאם המרובה ‪)rY.12‬‬ ‫‪SST SSRe g  SSRe s‬‬ ‫ריבוע המתאם המרובה‬ ‫‪SS Re g‬‬ ‫משקף את היחס בין‬ ‫‪r(2Y.12 ) 0.3472 0.120  r(2Y.12 ) ‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫שונות הניבויים לשונות‬ ‫‪SST‬‬ ‫‪SSRe s‬‬ ‫הכללית‪.‬‬ ‫‪SSRe g‬‬ ‫‪MS Re g‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪F( k ,n  1 k ) ‬‬ ‫‪ F( k ,n  1 k ) ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪MS Re s‬‬ ‫) ‪(1  r‬‬ ‫) ‪(n  1  k‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪0.12‬‬ ‫תוצאה דומה לסטטיסטי מבחן‬ ‫‪F( k ,n  1 k ) ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪ F( 2,64‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫)‪(1  0.12‬‬ ‫ה‪ F-‬שחושב בשקופית‬ ‫) ‪(1  r 2‬‬ ‫הקודמת‪.‬‬ ‫) ‪(n  1  k‬‬ ‫‪64‬‬ ‫ניתוח שונות זה מקביל לזה שנלמד לגבי רגרסיה פשוטה וניתוחי שונות – שיעור ‪8‬‬ ‫(שקופיות ‪.)21-22‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫) של המשתנה התלוי במדגם (‪ )Y‬ניתן לחלק ל‪ 4 -‬מרכיבים‪:‬‬ ‫‪SY2‬‬ ‫הכללית (‬ ‫את השונות‬ ‫) ‪D S(e2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪B S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫‪D‬‬ ‫) ‪A S(2Y~x1. x 2‬‬ ‫)‪(Y x 2. x1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ )1‬השונות במשתנה התלוי המנובאת על ידי הציון הפסיכומטרי אך אינה מנובאת על ידי‬ ‫ממוצע הבגרות – ‪A‬‬ ‫‪ )2‬השונות במשתנה התלוי המנובאת על ידי ממוצע הבגרות אך אינה מנובאת על ידי הציון‬ ‫הפסיכומטרי ‪B -‬‬ ‫‪ )3‬השונות במשתנה התלוי המנובאת גם על ידי הציון הפסיכומטרי וגם על ידי ממוצע‬ ‫הבגרות ‪C -‬‬ ‫‪ )4‬שונות הטעות (השארית) במשתנה התלוי שאינה מנובאת על ידי הציון הפסיכומטרי ולא‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫השונות הכללית‬ ‫באמצעות ארבעת רכיבים אלו ניתן להגדיר מספר חלקים מתוך ‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫שונות כללית של‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪SY2 55 25‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ריבוע המתאם‬ ‫‪r(2Y. x1x 2 ) 0.3472 0.120‬‬ ‫‪C‬‬ ‫המרובה‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪ )1‬השונות שונות הציונים המנובאים על ידי הפסיכומטרי או הבגרות או שניהם היא בתרשים‬ ‫‪ A+B+C‬והיא תהיה שווה לשונות הכללית כפול פרופורציה של שונות מנובאת על ידי שני‬ ‫החזאים (מתאם מרובה בריבוע)‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪A  B  C  S(2Y~. x1 x 2 ) r(2Y. x1 x 2 ) SY2‬‬ ‫) ‪S(2Y~. x1 x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪S(2Y~. x1x 2 ) 0.3472 25 3‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫ניתן לחשב שונות ) ‪S(e2‬‬ ‫הניבויים~‪S(2~y ) S(2Y‬‬ ‫) ‪. x1 x 2‬‬ ‫‪ )2‬כעת שאנו יודעים מהי שונות ‪3‬‬ ‫(שארית ‪)D2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הטעויות‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪SY S( ~y )  S( e‬‬ ‫‪D‬‬ ‫שכן‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪D  S(2e ) SY2  S(2~y ) S(2e ) 25  3 S(2e ) 22‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫מכאן‪,‬‬ ‫ניתן גם לחשב כך‪,‬‬ ‫‪D  S(2e ) (1  r(2Y. x1 x 2 ) ) SY2‬‬ ‫‪S(e2 ) Y‬‬ ‫) ‪S(2Y~. x1 x 2‬‬ ‫‪S(2e ) (1  0.3472 ) 25 22‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪ )3‬שונות הציונים המנובאים על ידי הפסיכומטרי היא בתרשים ‪ ,A+C‬והיא תהיה שווה‬ ‫לשונות הכללית כפול פרופורציה של שונות מנובאת על ידי הפסיכומטרי (‪:)1X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫שונות כללית של‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪SY2 55 25‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫ריבוע המתאם בין‬ ‫פסיכומטרי (‪ )x1‬לממוצע שנה‬ ‫‪r(2Yx1) 0.2062 0.042‬‬ ‫א' (‪)Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪A  C  S(2Y~x1) r(2Yx1) SY2‬‬ ‫)‪S(2Y~x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪S(2Y~x1) 0.2062 25 1‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪ )4‬שונות הציונים המנובאים על ידי הבגרות היא בתרשים ‪ ,B+C‬והיא תהיה שווה‬ ‫לשונות הכללית כפול פרופורציה של שונות מנובאת על ידי הבגרות (‪:) X‬‬ ‫‪Y2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫שונות כללית של‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪SY2 55 25‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫ריבוע המתאם בין‬ ‫הבגרות (‪ )x2‬לממוצע שנה א'‬ ‫‪r(2Yx 2 ) 0.3042 0.092‬‬ ‫( ‪)Y‬‬ ‫‪B  C  S(2Y~x 2 ) r(2Yx 2 ) SY2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫) ‪S(2Y~x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪S(2Y~x 2 ) 0.3042 25 2.3‬‬ ‫‪x1‬‬  ‫‪ -‬במונחים של ניתוח שונות‬ ‫סטטיסטיקה ג' ‪ -‬רגרסיה מרובה‬ ‫שיעור ‪10‬‬ ‫ד“ר גבריאל צור‬ ‫‪ )5‬השונות במשתנה התלוי המנובאת על ידי שני המנבאים גם יחד היא ‪ C‬והיא תהיה‬ ‫‪Y‬‬ ‫שווה לסכום תוצאות משוואות ‪ 3‬ו ‪ 4‬פחות התוצאה ‪Y‬של משוואה ‪:1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪C ( A  C )  ( B  C )  ( A  B  C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪C 1  2.3  3 0.3‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫ולכן פלחי השונות המנובאים באופן ייחודי על ידי שני החזאים הם‪:‬‬ ‫‪ - A )6‬ע"י הפסיכומטרי (‪)x1‬‬ ‫‪A ( A  C )  C A 1  0.3 0.7‬‬ ‫‪ - B )7‬ע"י הבגרות (‪)x2‬‬ ‫‪B ( B  C )  C B 2.3  0.3 2‬‬ ‫ואכן תוצאה זו תואמת את העובדה שקיבלנו תרומה ייחודית מובהקת בניבוי הבגרות‬ ‫כאשר ציון הפסיכומטרי מוחזק קבוע ולעומת זאת לא קיבלנו תרומה ייחודית מובהקת‬ ‫לציון פסיכומטרי כאשר ציון הבגרות מוחזק קבוע‪.‬‬