SoSe2022_Kapitel5_01062022 (3) PDF - Statistik - HSE Esslingen

Statistik Kapitel 5: Schließende Statistik Prof. Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Aleg Vilinski M.Sc., Christian Beck B.Sc....

Statistik Kapitel 5: Schließende Statistik Prof. Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko, Aleg Vilinski M.Sc., Christian Beck B.Sc. Stand: 24. Mai 2022 FAKULT ÄT G RUNDLAGEN , H OCHSCHULE E SSLINGEN Link zur Fachgruppe Statistik HSE – Nah an Mensch und Technik  Gliederung I 1 Punktschätzer 2 Hypothesentests 3 Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle 4 Literatur Schließende Statistik 2/122  Wiederholung - SoSe 14 A4 Eine Abfüllanlage für Nudeln ist so eingestellt, dass das Füllgewicht X einer zufällig ausgewählten Tüte normalverteilt mit Erwartungswert 1 kg und Standardabweichung σ = 20 g ist. Es wird eine Stichprobe von n = 10 Tüten untersucht. (a) Welche Normalverteilung hat das durchschnittliche Füllgewicht X einer Stichprobe von 10 Tüten? Benutzen Sie für die folgende(n) Frage(n) diese Verteilung. Falls Sie a) nicht lösen konnten, verwenden Sie X ∼ N (1002; 35). Hinweis: das ist nicht die Lösung von a). (b) In welchem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert µ = 1 kg kann das durchschnittliche Füllgewicht der Nudeltüten in der Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erwartet werden? (c) Wie verändert sich das Intervall unter b), (1) wenn die Wahrscheinlichkeit auf über 95% erhöht wird? (2) wenn der Stichprobenumfang n erhöht wird? Für die Antwort ist keine Begründung notwendig. (d) In einer Stichprobe vom Umfang 10 wurde ein arithmetisches Mittel von x = 1020 g festgestellt. Welche Schlussfolgerung ziehen Sie? (Begründung) Schließende Statistik 3/122  Wiederholung - SoSe 14 A4 Sei X = Füllgewicht einer zufällig ausgewählten Nudelpackung, dann X ∼ N (1000; 400). σX2 400 (a) Mit µX = µX = 1000 und σX2 = n = 10 = 40 folgt X ∼ N (1000; 40). (b) “Symmetrischer Bereich“ ⇒ Zweiseitiger ZSB für X gesucht: [µ − z1− α2 σ; µ + z1− α2 σ] = [µ − z0.975 σ; µ + z0.975 σ] | {z } ≈1.96 ≈ [987.6039; 1012.3961]. (c) c1) Intervall wird größer c2) Intervall wird kleiner (d) Verschiedene Schlussfolgerungen möglich, z.B. das x = 1020 ∈ / ZSB und man deshalb davon ausgehen muss, dass das mittlere Füllgewicht > 1000 g ist. Schließende Statistik 4/122  Wiederholung - WiSe17/18 A2 Für einen bestimmten Computertyp ist die Laufzeit des Akkus, also die Länge der Betriebszeit zwischen einem vollständigen Aufladevorgang des Akkus und der folgenden vollständigen Entladung, normalverteilt mit Erwartungswert 50 Stunden und einer Standardabweichung von 6 Stunden. Sie besitzen einen solchen Computer. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Laufzeit des Akkus unter 45 Stunden liegt? (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit bis zum Wiederaufladen zwischen 60 und 65 Stunden liegt. (c) Wie lange hält Ihr Computer in 95% der Fälle mindestens durch? (D.h. Sie müssen Ihren Akku nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% vor dieser Zeit aufladen.) (d) Sie kaufen einen Ersatzakku, der die gleichen Eigenschaften wie der Originalakku besitzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit beiden Akkus zusammen eine Laufzeit von über 110 Stunden erreichen? Schließende Statistik 5/122  Wiederholung - WiSe17/18 A2 Sei X = Laufzeit des Akkus, dann X ∼ N(50; 62 ) = N(50; 36). (a)   45 − 50 P(X < 45) = Φ = Φ(−0.83) 6 Tabelle = 1 − Φ(0.83) ≈ 1 − 0.7967 = 0.2033 Alternativ im TR: [MODE][4:DIST][2:Normal √ CD] mit Lower z.B. = −10000, Upper = 45, σ = 36 und µ = 50 → P(X < 45) ≈ 0.2023. (b)     65 − 50 60 − 50 P(60 ≤ X ≤ 65) = Φ −Φ = Φ(2.50) − Φ(1.67) 6 6 Tabelle ≈ 0.9938 − 0.9525 = 0.0413 Alternativ im TR: √ [MODE][4:DIST][2:Normal CD] mit Lower = 60, Upper = 65, σ = 36 und µ = 50 → P(60 ≤ X ≤ 65) ≈ 0.0416. Schließende Statistik 6/122  Wiederholung - WiSe17/18 A2 (c) Mindestens ⇒ Einseitig nach unten beschränkter ZSB , d.h. mit p = 0.95, bzw. α = 1 − p = 0.05 folgt durch z0.95 ≈ 1.645: [q0.05 ; ∞) = [µ − z0.95 · σ; ∞) ≈ [50 − 1.645 · 6; ∞) = [40.13; ∞) ⇒ Mindestens 40.13 Stunden. (d) Sei Y = Laufzeit zweier Akkus = X1 + X2 , dann Y ∼ N (µ1 + µ2 = 100; σ12 + σ22 = 72). Somit gilt:   110 − 100 P(Y > 110) = 1 − P(Y ≤ 110) = 1 − Φ √ 72 Tabelle = 1 − Φ(1.18) ≈ 1 − 0.8810 = 0.1190 Alternativ im TR: [MODE][4:DIST][2:Normal √ CD] mit Lower = 110, Upper z.B. = 10000, σ = 72 und µ = 100 → P(Y > 110) ≈ 0.1193. Schließende Statistik 7/122  Schließende Statistik - Beispiel 1 Beispiel (Quelle: Übungsblatt 2) Lebensdauer (in Jahren) von 25 Kühlaggregaten gemessen und dabei x = 3.6816 und s ≈ 3.1478 bestimmt. Jede andere Stichprobe vom gleichen Umfang würde sicher nicht die exakt gleichen Werte liefern. Somit sind x und s also nur Näherungen für Erwartungswert µ und Standardabweichung σ der entsprechenden Grundgesamtheit. Frage: Wie gut sind diese Näherungen? Bzw. wie erhält man Aussagen über die Güte dieser Näherungen? Dieses Beispiel führt auf das Problem der Parameterschätzung (Punktschätzung) und der Konfidenzintervalle (Vertrauensintervalle). Schließende Statistik 8/122  Schließende Statistik - Beispiel 2 Beispiel () Zur Überprüfung der Symmetrie eines Würfels wird der Würfel 6.000 Mal geworfen. Das Ergebnis dieser Würfeltests wird in einer Häufigkeitstabelle zusammengefasst: xi 1 2 3 4 5 6 n(xi ) 1076 1008 992 1059 923 942 Man sieht: hohe Augenzahlen 5 und 6 treten seltener als niedrige Augenzahlen 1 und 2 auf =⇒ Mittelwert: x = 3.4285. Wie ist diese Asymmetrie und die Abweichung des Mittelwerts vom Erwartungswert µ = 3.5 zu erklären? Handelt es sich um eine zufällige Abweichung bei einem idealen Würfel oder besteht auf Grund der beobachteten Häufigkeiten Anlass zu einem Zweifel an der Symmetrie des Würfels? Dieses Beispiel ist typisch für das Testen von Hypothesen. Schließende Statistik 9/122  Schließende Statistik - Vorbemerkungen Diese beiden Beispiele verdeutlichen das Grundproblem der beurteilenden Statistik: Welche Schlüsse kann man von einer Stichprobe auf die zugehörige Grundgesamtheit ziehen und wie zuverlässig sind derartige Schlüsse? Grundgesamtheit (z.B. Gesamtbevölkerung Deutschlands) ↓ ↑ Ziehen einer Stichprobe Rückschluss auf Grundgesamtheit ↓ ↑ Stichprobe (z.B. 1000 zufällig ausgewählte Personen) Beispiel () Suppe versalzen: Es reicht ein Löffel, also Stichprobe, um zu sagen, dass sie versalzen ist. Schließende Statistik 10/122  Schließende Statistik - Vorbemerkungen Oft ist der Typ der Verteilung bekannt, aber die entsprechenden Parameter nicht. Beispiele: zu schätzende Zufallsvariable Verteilung Parameter Produktionsfehler, Normalverteilung µ, σ Messfehler,... Bernoulli-Schema Binomialverteilung p (bzw. µ = n · p) (Erfolg – Misserfolg) seltene Ereignisse Poisson-Verteilung λ (bzw. λ = µ) Wie lässt sich Teil-Information über die unbekannten Parameter gewinnen? ⇒ Punktschätzer! Schließende Statistik 11/122  Punktschätzung Vorbemerkung: Wie zuvor auf Folie 8 gezeigt, können fehlende Parameter aus einer Stichprobe geschätzt werden. Berechnet man für die unbekannte Größe aus der Stichprobe einen Zahlenwert als Näherung, so spricht man von einer Punktschätzung. Zu schätzender Parameter Punktschätzer für den Parameter p̂ = kn Wahrscheinlichkeit p (relative Häufigkeit) µ̂ = x Erwartungswert µ (arithmetischer Mittelwert) σ̂ 2 = s2 Varianz σ 2 (empirische Varianz) σ̂ = s Standardabweichung σ (empirische Standardabweichung) Dabei steht das “∧“ für “geschätzt“. Punktschätzer Schließende Statistik 12/122  Punktschätzung Frage: Wie “gut“ sind diese Schätzungen? Kann man dadurch auch z.B. Werte ausschließen? Antwort: Auf solche Fragen gibt es keine sinnvollen Antworten, die mit 100-prozentiger Sicherheit richtig sind. Als Daumenregel gilt das Gesetz der großen Zahlen, d.h. bei einer großen Stichprobe x ≈ µ und σ ≈ s, aber: Was heißt groß? Man kann zwar bei einer kleinen Stichprobe von deutlich größeren Abweichungen ausgehen, aber in beiden Fällen kann man eine kleine Differenz nicht ausschließen. Es gibt aber Verfahren, die mit großer WK richtige Antworten liefern: 1. Die Durchführung eines Hypothesentests, um bestimmte Werte für µ, σ oder p mit einer bestimmten WK auszuschließen. 2. Die Bildung von Vertrauensbereichen/Konfidenzintervallen, d. h. ein Intervall, in dem µ, σ oder p mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegen. Punktschätzer Schließende Statistik 13/122  Hypothesentests - Definition Definition Ein statistischer Test, auch Hypothesentest genannt, wird in der schließenden Statistik eingesetzt, um bestimmte Hypothesen, anhand von Beobachtungen, über einen unbekannten Parameter zu bestätigen oder auszuschließen. Hypothesentests Schließende Statistik 14/122  Generelles Vorgehen beim Testen von Hypothesen Beispiel () Ein Hersteller von Glühbirnen behauptet, dass höchstens 7% der Glühbirnen eine Lebensdauer von weniger als 100 Stunden haben und λ = µ = σ 2 = 1500 (vgl Übungsblatt 8). Ein Kunde möchte das überprüfen. Alle Glühbirnen zu testen ergibt keinen Sinn. Deshalb überprüft er eine Stichprobe von 143 Glühbirnen. Sollten die 7% stimmen, so sollten höchstens 10 Glühlampen eine Lebensdauer < 100h haben, aber er findet 12. Ist die Behauptung also falsch? Hypothesentests Schließende Statistik 15/122  Generelles Vorgehen beim Testen von Hypothesen Beispiel (Fortsetzung) 1. Nullhypothese aufstellen: Wir gehen davon aus, dass die Angabe stimmt und arbeiten mit der sogenannten Nullhypothese H0 (die zu widerlegende These). Die Alternativhypothese H1 beinhaltet den zu bestätigenden Wert. Hier: H0 : p ≤ 0.07 = p0 H1 : p > 0.07. 2. Signifikanzniveau α (Irrtums-Wahrscheinlichkeit) festlegen, z.B. α = 5% = 0.05, α = 1% = 0.01,... Hier: α = 0.01. Hypothesentests Schließende Statistik 16/122  Generelles Vorgehen beim Testen von Hypothesen Beispiel (Fortsetzung) 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 35) bestimmen. √ p0 (1−p0 ) [0; p0 + z1−α · √ n + 0.5 n ] mit α ⇒ z1−α = z0.99 ≈ 2.326 √ 0.0651 0.5 ⇒ ZSB = [0; 0.07 + 2.326 √ + ] 143 143 = [0; 0.086] Wenn H0 zutrifft, dann liegt der zu testende Wert (Teststatistik) mit großer Wahrscheinlichkeit (also mit Wahrscheinlichkeit 1 − α) im entsprechenden ZSB. Hypothesentests Schließende Statistik 17/122  Generelles Vorgehen beim Testen von Hypothesen Beispiel (Fortsetzung) 4. Berechnung der Testgröße (Teststatistik aus der Stichprobe) (je nach gesuchten Parameter x oder x − y bzw. p̂ = h = kn. Hier: p̂. Mit k = b gesuchtes Ereignis “Glühbirne Lebensdauer < 100“ aufgetreten. 12 ⇒ k = 12 ⇒ p̂ = h = 143 ≈ 0.084 5. Testentscheidung: Testgröße/Teststatistik ∈ ZSB? H0 beibehalten, sonst verwerfen! Hier: p̂ ∈ ZSB, somit können wir H0 nicht verwerfen. 6. Antwortsatz, d.h. Übersetzen“ der Testentscheidung aus 5. in das ” konkrete Anwendungsproblem. Hier: Da die relative Häufigkeit p̂ = h im ZSB liegt, können wir bei 12 gefundenen Glühbirnen nicht bestätigen, dass mehr als 7% der Glühbirnen eine Lebensdauer von höchstens 100 Stunden haben. Hypothesentests Schließende Statistik 18/122  Hypothesentests - Bemerkungen Falls die Stichprobendaten der Nullhypothese nicht widersprechen, braucht man den Zufallsstreubereich nicht zu berechnen. Am Beispiel: Wenn der Kunde weniger als 10 Glühbirnen gefunden hätte und somit H0 ≤ 0.07 bereits erfüllt gewesen wäre. Wird die Nullhypothese H0 , die den für den unbekannten Parameter auszuschließenden Wert (bzw. die auszuschließenden Werte) beinhaltet, verworfen, so greift die Alternativhypothese H1 , das “Gegenteil“ von H0. Beispiele für Signalwörter im Text:... gleich...... ungleich / weicht ab,... = ̸=... höchstens / nicht mehr als...... größer / mehr als,... ≤ >... mindestens / nicht weniger als...... kleiner / weniger als,... ≥ < H0 H1 Hypothesentests Schließende Statistik 19/122  Hypothesentests - Bemerkungen Frage: Wenn es eine Irrtums-WK gibt, kann es nicht passieren, dass man H0 irrtümlich ablehnt, bzw. beibehält? Antwort: Richtig, wenn H0 irrtümlich abgelehnt wird, obwohl H0 wahr ist, so spricht man von einem Fehler 1. Art (oder α-Fehler). Die WK für einen Fehler 1. Art wird zu Beginn des Hypothesentests durch Vorgabe von α nach oben beschränkt. Dieser Fehler ist somit unter Kontrolle. Wird H0 irrtümlich beibehalten, obwohl H0 falsch ist, so spricht man von einem Fehler 2. Art (oder β-Fehler). Da das nicht ausgeschlossen werden kann, ist die Wk β für einen Fehler 2. Art in der Regel nicht vorgegeben/bekannt. Somit kann über die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese gilt, keine Aussage getroffen werden. Hypothesentests Schließende Statistik 20/122  Hypothesentests - Bemerkungen Falls H0 verworfen wird, gilt H1 als statistisch nachgewiesen und gilt mit Wahrscheinlichkeit 1 − α. Man sagt auch, H1 sei signifikant“ bei Signifikanzniveau α. ” Im Allgemeinen liefert nur das Verwerfen von H0 eine statistisch abgesicherte Aussage. Kann H0 nicht verworfen werden, so können die in H0 aufgeführten Möglichkeiten nicht ausgeschlossen werden, d.h. H1 ist nicht nachgewiesen. Hypothesentests Schließende Statistik 21/122  Tabellen für statistische Tests - Bemerkung Allgemeiner Hinweis zu den Tabellen für statistische Tests: Bei den zweiseitigen Tests ist das 1 − α2 -Quantil der
Normalverteilung (bzw. t-Verteilung) zu benutzen. Sonst das 1 − α-Quantil. Ist zum Beispiel α = 5% = 0.05, so muss bei der Normalverteilung das Quantil z1− α2 = z0.975 = 1.9600 benutzt werden. Annahme: Die Messwerte/Stichproben sind Realisierungen von n unabhängigen N (µ; σ 2 )-verteilten ZV. Wir betrachten die folgenden statistischen Tests: ▶ Gauß-Test ▶ t-Test ▶ Zweistichproben-t-Test ▶ Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p Hypothesentests Schließende Statistik 22/122  Gauß-Test von Hypothesen für Erwartungswerte - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ bekannt und es wird ein Test für µ zum Signifikanzniveau α durchgeführt, so spricht man auch vom Gauß-Test. Dabei stellt man eine Nullhypothese über den unbekannten Erwartungswert µ auf und untersucht eine gegebene Stichprobe x1 ,... , xn. Für den ZSB gilt dabei: H0 H1 ZSB falls H0 zutrifft H0 verwerfen, falls... [µ0 − △µ; µ0 + △µ], µ = µ0 µ ̸= µ0 mit △µ = z1− α2 · √σn x∈ / ZSB   σ µ ≥ µ0 µ < µ0 µ0 − z1−α · √ ; +∞ x∈ / ZSB  n  σ µ ≤ µ0 µ > µ0 −∞; µ0 + z1−α · √ x∈ / ZSB n Hypothesentests Schließende Statistik 23/122  Gauß-Test von Hypothesen für Erwartungswerte - Beispiel Beispiel () Die Füllmenge von 0.33 Liter Bierdosen ist normalverteilt. Eine Stichprobe von 25 Dosen ergab x = 0.3L und σ 2 = 0.1. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ = µ0 = 0.33, H1 ̸= 0.33. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle bestimmen:   σ σ  ZSB = µ0 − z1− α2 · √ ; µ0 + z1− α2 · √   | {z } n n =z0.975 ≈1.96 = [0.206; 0.454]. Hypothesentests Schließende Statistik 24/122  Gauß-Test von Hypothesen für Erwartungswerte - Beispiel Beispiel (Fortsetzung) 4. Teststatistik bestimmen: Der arithmetische Mittelwert wurde bereits ermittelt als x = 0.3L. 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Somit kann mit der ermittelten Stichprobe nicht ausgeschlossen werden, dass die Füllmenge von Bierdosen im Mittel tatsächlich den angegebenen 0.33L entspricht. Hypothesentests Schließende Statistik 25/122  t-Test - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ unbekannt und es wird ein Test für µ zum Signifikanzniveau α durchgeführt, so spricht man auch vom t-Test. Dabei stellt man eine Nullhypothese über den unbekannten Erwartungswert µ auf und untersucht eine gegebene Stichprobe x1 ,... , xn. Da sowohl µ als auch σ unbekannt sind, verwendet man die Quantile der t-Verteilung und die empirische Standardabweichung s der Stichprobe. Für den ZSB gilt dabei: H0 H1 ZSB falls H0 zutrifft H0 verwerfen, falls... [µ0 − △µ; µ0 + △µ], µ = µ0 µ ̸= µ0 mit △µ = t(n−1; 1− α ) · √sn x∈ / ZSB  2  s µ ≥ µ0 µ < µ0 µ0 − t(n−1; 1−α) · √ ; +∞ x∈ / ZSB  n  s µ ≤ µ0 µ > µ0 −∞; µ0 + t(n−1; 1−α) · √ x∈ / ZSB n Hypothesentests Schließende Statistik 26/122  Einschub: t-Verteilung Die t-Verteilung (auch: Student-t-Verteilung) t(n) mit n Freiheitsgraden bei einer Stichprobe √ vom Umfang n wird durch die stetige ZV T = x−µ s · n beschrieben. Dabei entspricht die Dichtefunktion der t-Verteilung einer symmetrischen Glockenkurve zum Erwartungswert µ = 0. Somit ähnelt sie der Standardnormalverteilung, aber: Aufgrund von σ > 1 ist die Dichte der t-Verteilung flacher als die Dichte der Standardnormalverteilung, d.h. geringere Höhe und größere Streuung. Für n → +∞ konvergiert die Dichte der t-Verteilung gegen die Dichte der Standardnormalverteilung. Faustregel: t(n) ≈ N(0; 1) für n ≥ 30. Quantile der t-Verteilung =⇒ s. Tabelle im Skript. Hypothesentests Schließende Statistik 27/122  t-Test - Beispiel Beispiel () Eine Maschine fertigt Stahlrohre. Die Länge ist normalverteilt, wobei die mittlere Länge 400mm betragen soll. Stichprobe: 400.6 399.8 401.2 401.0 400.4 400.3 400.8 400.0 400.6 399.7 Überprüfen Sie, ob die Stichprobe bei einem Signifikanzniveau von 5% eine signifikante Abweichung der mittleren Länge der gefertigten Rohre vom Sollwert anzeigt. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ = µ0 = 400, H1 : µ ̸= 400. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. Hypothesentests Schließende Statistik 28/122  t-Test - Beispiel Beispiel (Fortsetzung) 3. ZSB aus Tabelle bestimmen:    s s  µ0 − t(n−1; 1− α2 ) · √n ; µ0 + t(n−1; 1− α2 ) · √n  ZSB =   | {z } =t9;0.975 ≈2.262 = [399.64; 400.36]. 1 P10 4. Teststatistik bestimmen: x = 10 i=1 xi = 400.44. 5. Testentscheidung: Da x ∈ / ZSB muss die Nullhypothese H0 zu Gunsten von H1 verworfen werden. 6. Antwortsatz: Die Daten bestätigen mit einer Irrtums-WK von 5%, dass die mittlere Länge der Rohre vom Sollwert µ = 400 abweichen. Hypothesentests Schließende Statistik 29/122  Zweistichproben-t-Test - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ zweier Grundgesamtheiten unbekannt, aber gleich und es wird ein Test über die Differenz zweier Erwartungswerte µX − µY zum Signifikanzniveau α durchgeführt, so spricht man auch vom Zweistichproben-t-Test. Dabei stellt man eine Nullhypothese über die Differenz der Erwartungswerte auf und untersucht zwei Stichproben x1 ,... , xm einer ZV X ∼ N (µX ; σ 2 ) und y1 ,... , yn einer ZV Y ∼ N (µY ; σ 2 ) vom Umfang m und n mit den arithmetischen Mitteln µX = x und µY = y und mit den empirischen Standardabweichungen sX und sY. Da sowohl µ als auch σ unbekannt sind, verwendet man die Quantile der t-Verteilung und zusätzlich eine Hilfsgröße sd : r m+n q 2 2 sd = (m − 1) · (sX ) + (n − 1) · (sY ) ·. m · n · (m + n − 2) Hypothesentests Schließende Statistik 30/122  Zweistichproben-t-Test - Definition Definition Für den ZSB gilt dabei: H0 verwerfen H0 H1 ZSB falls H0 zutrifft falls... [−t(m+n−2; 1− α ) · sd ; µX − µY = 0 µX − µY ̸= 0 2 x −y ∈ / ZSB t(m+n−2; 1− α ) · sd ] 2 
µX − µY ≥ 0 µ X − µY < 0 −t(m+n−2; 1−α) · sd ; +∞ x −y ∈ / ZSB  µX − µY ≤ 0 µ X − µY > 0 −∞; t(m+n−2; 1−α) · sd x −y ∈ / ZSB Hypothesentests Schließende Statistik 31/122  Zweistichproben-t-Test - Beispiel Beispiel () Bei einer Befragung der Schuhgrößen der beiden Studierendengruppen X und Y ergaben sich folgende Ergebnisse: Studentengruppe X (m = 27) aj 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 mj 1 0 0 1 1 0 4 6 4 0 5 4 0 1 Studentengruppe Y (n = 15) aj 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 nj 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 3 5 1 0 Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass die Studentengruppe Y im Mittel eine größere Schuhgröße hat als die Studentengruppe X ? Hypothesentests Schließende Statistik 32/122  Zweistichproben-t-Test - Beispiel Beispiel (Fortsetzung) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µX − µY ≤ 0, H1 : µX − µY > 0. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle bestimmen: r m+n s 2 2 sd = (m − 1) · ( sX ) + (n − 1) · ( sY ) · |{z} |{z} m · n · (m + n − 2) ≈2.8244 ≈1.8465 sd ≈ 0.50735,   ZSB = −∞; t(m+n−2;1−α) ·sd  ≈ (−∞; 0.8544].   | {z } =t40;0.95 ≈1.684 Hypothesentests Schließende Statistik 33/122  Zweistichproben-t-Test - Beispiel Beispiel (Fortsetzung) 1 P27 4. Teststatistik bestimmen: x = 27 i=1 xi ≈ 42.85, 1 P15 y = 15 i=1 yi ≈ 44.47. ⇒ x − y = −1.62. 5. Testentscheidung: Da x − y ∈ ZSB kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Somit kann mit den ermittelten Stichproben nicht ausgeschlossen werden, dass die Gruppe Y im Mittel eine größere Schugröße hat als Gruppe X. Hypothesentests Schließende Statistik 34/122  Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p - Definition Definition Wird ein Test für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit/einen unbekannten Anteil p einer Grundgesamtheit zum Signifikanzniveau α durchgeführt, so wird eine Stichprobe x1 ,... , xn benötigt. Außerdem sei das gesuchte Ereignis k-mal eingetreten. Für den ZSB gilt dabei: H0 verwerfen, H0 H1 ZSB falls H0 zutrifft falls... [p0 − △p; p√ 0 + △p], p = p0 p ̸= p0 mit △p = z1− 2 · α p0 ·(1−p0 ) √ + 0.5 p̂ ∈ / ZSB n n  √ p0 ·(1−p0 ) 0.5 p ≥ p0 p < p0 p0 − z1−α · √ n − n ; 1 p̂ ∈ / ZSB  √  p0 ·(1−p0 ) 0.5 p ≤ p0 p > p0 0; p0 + z1−α · √ n + n p̂ ∈ / ZSB Mit p̂ = kn : Anteil/relative Häufigkeit in einer Stichprobe vom Umfang n, wenn das gesuchte Ereignis k -mal aufgetreten ist. Hypothesentests Schließende Statistik 35/122  Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p - Beispiel Beispiel Siehe Beispiel auf Folie 15 mit Glühbirnen, wo H0 : p ≤ 0.07. Hypothesentests Schließende Statistik 36/122  Übungsblatt Nr. 10 Lernziel-Kontrolle Sie sollten ▶ Begriffe wie Punktschätzer, Signifikanzniveau erklären können. ▶ die behandelten Hypothesentest beschreiben können. ▶ Hypothesen je nach Aufgabenstellung aufstellen sowie die zugehörigen Zufallsbereiche bestimmen können. Hypothesentests Schließende Statistik 37/122  Übungsblatt 10 (88) (Punktschätzer) Bei der Herstellung von Schokoladentafeln interessiert (a) das durchschnittliche Abfüllgewicht einer Tafel Schokolade. (b) die Varianz des Gewichtes einer Schokoladentafel. (c) der Anteil der Schokoladentafeln unter 100 g. Aus diesem Grund wird aus der laufenden Produktion die folgende Stichprobe für Abfüllgewichte gezogen: 100, 97, 101, 96, 98, 102, 96, 100, 101, 98 Berechnen Sie einen Schätzer für die gefragten Größen aus der Stichprobe. Hypothesentests Schließende Statistik 38/122  Übungsblatt 10 (88) Sei X = Abfüllgewicht. Dann ist X ∼ N (µ̂; σ̂ 2 ). 100+97+...+98 (a) Punktschätzer µ̂ = x = 10 = 98.9g. (b) Punktschätzer σ̂ 2 = s2 = 4.76. (c) Hier dient die relative Häufigkeit p̂ = kn = 10 5 = 12 als Punktschätzer für den Anteil der Schokoladentafeln mit einem Gewicht unter 100g. Hypothesentests Schließende Statistik 39/122  Übungsblatt 10 (89) Bei der Herstellung von Schokoladentafeln sei X das Verpackungsgewicht normalverteilt mit Standardabweichung σ = 2 g. Der Sollwert der Tafeln liegt bei 100g. Der Hersteller möchte weder haben, dass X < 100g, noch dass X > 100g. Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergibt ein arithmetisches Mittel von x = 98.9g. (a) In einem ersten Schritt soll davon ausgegangen werden, dass der unbekannte Erwartungswert gleich dem Sollwert 100 g ist. Welche Hypothesen müssen aufgestellt werden? (b) Legen Sie unter der Annahme, dass die Hypothese H0 zutrifft, einen symmetrischen Zufallsstreubereich um µ = 100 g fest, in dem x mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt. (c) Kann die Hypothese µ = 100 g bei der vorgegebenen Stichprobe verworfen werden? (d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Hypothese µ = 100 g zu verwerfen, obwohl sie tatsächlich zutrifft? (e) Wie lauten Nullhypothese H0 , Alternativhypothese H1 , 95%-Zufallsstreubereich und Ablehnungsbereich, wenn der Hersteller überprüfen will, ob der Erwartungswert der Schokoladentafeln größer oder gleich 100 g ist? (f) Kann an der Nullhypothese µ ≥ 100 g bei der vorliegenden Stichprobe festgehalten werden? Hypothesentests Schließende Statistik 40/122  Übungsblatt 10 (89) (a) H0 : µ = 100g, H1 : µ ̸= 100 g. (b) X = ist arithmetisches Mittel der Stichprobe vom Umfang n = 10.   4 =⇒ X ∼ N 100; = N (100; 0.4). 10 Für das gegebene p = 0.95 ist Signifikanzniveau α = 1 − p = 0.05. Nach Folie 23 und mit z0.975 ≈ 1.96 ergibt sich folgender symmetrischer (d.h. zweiseitiger) 95%-Zufallsstreubereich:   σ σ µ − z1− 2 · √ ; µ + z1− 2 · √ α α n n   2 2 = 100 − z0.975 · √ ; 100 + z0.975 · √ ≈ [98.76; 101.24]. 10 10 Hypothesentests Schließende Statistik 41/122  Übungsblatt 10 (c) Da x = 98.9 ∈ ZSB kann die Nullhypothese H0 nicht verworfen werden. (d) Die WK für den Fehler 1. Art (also die WK, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie zutrifft) ist gleich dem Signifikanzniveau α = 100% − 95% = 5%. (e) H0 : µ ≥ 100g, H1 : µ < 100g. Der 95%-ZSB ist einseitig und nach unten beschränkt:   σ µ − z1−α · √ ; +∞   | {z } n =z0.95 ≈1.645 ≈ [98.96; +∞). =⇒ Ablehnungsbereich (Gegenteil vom ZSB) ist (−∞; 98.96). (f) Da nun x = 98.9 ∈ / ZSB, muss bei der vorliegenden Stichprobe H0 ≥ 100g verworfen werden. Hypothesentests Schließende Statistik 42/122  Übungsblatt 10 (90) Bei der Fertigung eines bestimmten Typs von Wellen ist die Länge einer Welle (in mm) normalverteilt mit Varianz σ 2 = 0.02. Die Längenmessung bei 20 Wellen ergab folgende Werte: 1-mal 239.65 1-mal 239.85 3-mal 239.90 6-mal 240.00 3-mal 240.10 2-mal 240.15 1-mal 240.20 1-mal 240.25 2-mal 240.30 Lässt sich bei Signifikanzniveau α = 0.05 eine Abweichung vom Sollwert 240 mm nachweisen? Hypothesentests Schließende Statistik 43/122  Übungsblatt 10 (90) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ = µ0 = 240mm, H1 : µ ̸= 240 mm. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen:  √ √  240 − z0.975 · √0.02 ; 240 + z0.975 · √0.02  ≈ [239.94; 240.06]. | {z } 20 20 ≈1.96 4. Teststatistik bestimmen: x ≈ 240.043 (TR). 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB, wird H0 nicht verworfen. 6. Antwortsatz: Eine Abweichung vom Sollwert lässt sich mit der vorliegenden Stichprobe, bei Signifikanzniveau α = 0.05, nicht nachweisen. Hypothesentests Schließende Statistik 44/122  Übungsblatt 10 (91) Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt mit Varianz σ 2 = 0.26 ist. Eine Stichprobe von 500 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von x = 54.03 mm. Testen Sie mit diesen Daten die Nullhypothese µ = 55 auf dem Signifikanzniveau α = 0.01. Hypothesentests Schließende Statistik 45/122  Übungsblatt 10 (91) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ = µ0 = 55mm, H1 : µ ̸= 55 mm. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen:  √ √  55 − z0.995 · √0.26 ; 55 + z0.995 · √0.26  ≈ [54.94; 55.06]. | {z } 500 500 ≈2.576 4. Teststatistik bestimmen: x ≈ 54.03mm (gegeben). 5. Testentscheidung: Da x ∈ / ZSB wird H0 verworfen. 6. Antwortsatz: Die Daten bestätigen auf dem Signifikanzniveau α = 1%, dass µ von 55 mm abweicht. Hypothesentests Schließende Statistik 46/122  Übungsblatt 10 (92) In einem chemischen Prozess wird über eine Dosiervorrichtung ein bestimmter Stoff zugeführt. Die Stoffmenge war dabei in der Vergangenheit normalverteilt mit Erwartungswert 100g und Standardabweichung 2g. Der Produktionsleiter meint, dass die Maschine neu adjustiert werden muss, da sie in jüngster Zeit im Mittel zu große Mengen zuführt. Er lässt 10-mal die zugeführten Stoffmengen nachwiegen und erhält die folgenden Werte (in g) gemeldet: 99.7 102.6 99.3 100.4 100.5 102.2 105.5 98.2 102.6 102.7 (a) Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 5%. (Gehen Sie dabei davon aus, dass sich die Standardabweichung nicht geändert hat.) (b) Wie wäre die Testentscheidung ausgefallen, wenn das Signifikanzniveau 1% betragen hätte? Hypothesentests Schließende Statistik 47/122  Übungsblatt 10 (92) (a) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≤ 100 = µ0 , H1 : µ > 100. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen:   2 −∞; 100 + z0.95 · √  ≈ (−∞; 101.04]. |{z} 10 ≈1.645 4. Teststatistik bestimmen: x = 101.37 (TR). 5. Testentscheidung: Da x ∈ / ZSB, wird H0 verworfen. 6. Antwortsatz: Die Behauptung des Produktionsleiters lässt sich bei Signifikanzniveau 5% bestätigen. Hypothesentests Schließende Statistik 48/122  Übungsblatt 10 (b) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≤ 100 = µ0 , H1 : µ > 100. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen:   −∞; 100 + z0.99 · √2  ≈ (−∞; 101.47]. |{z} 10 ≈2.326 4. Teststatistik bestimmen: x = 101.37 (TR). 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB, wird H0 nicht verworfen. 6. Antwortsatz: Die Behauptung des Produktionsleiters lässt sich mit den vorliegenden Daten, bei Signifikanzniveau 1%, nicht bestätigen. Hypothesentests Schließende Statistik 49/122  Übungsblatt 10 (93) (a) Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Die Füllmengen seien normalverteilt. Die Maschinengenauigkeit betrage σ 2 = 15. Eine konkrete Stichprobe ergab folgende 15 Messwerte (in g): 997 991 1004 999 1000 998 999 1000 996 999 999 993 999 999 1000 Weicht der Erwartungswert der Füllmengen der Maschine signifikant von 1000 g ab? (Signifikanzniveau α = 0.05.) (b) Bei einer anderen Zuckerabfüllmaschine ergab sich bei einer Stichprobe vom Umfang 100 ein arithmetischer Mittelwert x = 1000.11g. Auch hier seien die Füllmengen normalverteilt mit Varianz σ 2 = 15. Auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 ist zu überprüfen, ob die mittlere Füllmenge größer als 1000 g ist. Hypothesentests Schließende Statistik 50/122  Übungsblatt 10 (93) (a) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ = 1000g = µ0 , H1 : µ ̸= 1000g. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen: √ √   15 15 1000 − z0.975 · √ ; 1000 + z0.975 · √  ≈ [998.04; 1001.96]. | {z } 15 15 ≈1.96 4. Teststatistik bestimmen: x = 998.2 (TR). 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB, wird H0 nicht verworfen. 6. Antwortsatz: Somit lässt sich mit den vorliegenden Daten, bei Signifikanzniveau 5%, nicht bestätigen, dass die Füllmenge der Maschine von 1000g abweicht. Hypothesentests Schließende Statistik 51/122  Übungsblatt 10 (b) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≤ 1000g = µ0 , H1 : µ > 1.000 g. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 23) bestimmen:  √  −∞; 1000 + z0.95 · √ 15  ≈ (−∞; 1000.64]. |{z} 100 ≈1.645 4. Teststatistik bestimmen: x = 1000.11 (gegeben). 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB, wird H0 nicht verworfen. 6. Antwortsatz: Somit lässt sich mit den vorliegenden Daten, bei Signifikanzniveau 5%, nicht bestätigen, dass die Füllmenge der Maschine größer als 1000g ist. Hypothesentests Schließende Statistik 52/122  Übungsblatt 10 (94) Eine Maschine füllt Limonade in 0.33-Liter-Dosen ab. Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab folgende Füllmengen (in ml): 327 327 325 328 333 324 329 329 331 320 Lässt sich auf Basis dieser Stichprobe zum Signifikanzniveau 1% ein Unterschreiten der Sollfüllmenge bestätigen? Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Füllmengen unabhängig normalverteilt sind. Hypothesentests Schließende Statistik 53/122  Übungsblatt 10 (94) Da in der Aufgabenstellung σ nicht gegeben ist und ein Test für den Erwartungswert µ durchgeführt wird, erkennt man den t-Test. Wir sind also gezwungen nun mit den Quantilen der t-Verteilung und der Standardabweichung s ≈ 3.6833 der Stichprobe zu arbeiten. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≥ 330 = µ0 , H1 : µ < 330. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 26) bestimmen:   s 330 − t(9; 0.99) · √ ; +∞ ≈ [326.71; +∞).   | {z } n ≈2.821 4. Teststatistik bestimmen: x = 327.3 (TR). 5. Testentscheidung: Da x ∈ ZSB, wird H0 nicht verworfen. 6. Antwortsatz: Somit lässt sich mit den vorliegenden Daten, bei Signifikanzniveau 1%, nicht bestätigen, dass die Sollfüllmenge unterschritten wird. Hypothesentests Schließende Statistik 54/122  Übungsblatt 10 (95) Die Zugfestigkeit [in N] der Drähte zweier Hersteller soll verglichen werden. Es wurden daher die Zugfestigkeitswerte von je 8 Drahtstücken gemessen. Folgende Werte ergaben sich: Hersteller A: 250 243 247 254 246 241 243 249 Hersteller B: 240 239 243 245 237 244 240 241 Sind die Drähte der beiden Hersteller gleich zugfest? Führen Sie einen geeigneten Signifikanztest zum Signifikanzniveau 5% durch unter der Annahme, dass die Zugfestigkeit beider Hersteller normalverteilt ist mit gleicher Standardabweichung σ. Hypothesentests Schließende Statistik 55/122  Übungsblatt 10 (95) Da in der Aufgabenstellung σ nicht gegeben ist und ein Test für den Vergleich zweier Stichproben durchgeführt wird, erkennt man den Zweistichproben-t-Test. Sei X = Zugfestigkeit der Drähte von Hersteller A und Y = Zugfestigkeit der Drähte von Hersteller B. Dann X ∼ N (µX ; σ 2 ) und Y ∼ N (µY ; σ 2 ). 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µX = µY und H1 : µX ̸= µY. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 31) bestimmen: r 8+8 s 2 2 sd = (8 − 1) · (sX ) + (8 − 1) · (sY ) · | {z } | {z } 8 · 8 · 14 ≈18.554 ≈7.268 p 1 ≈ 7 · (18.554 + 7.268) · √ ≈ 1.7966. 56 Hypothesentests Schließende Statistik 56/122  Übungsblatt 10   ZSB = − t(14; 0.975) ·sd ; t(14; 0.975) · sd    | {z } ≈2.145 ≈ [−2.145 · 1.7966; 2.145 · 1.7966] ≈ [−3.854; 3.854]. 4. Teststatistik bestimmen: x = 246.625, y = 241.125. ⇒ x − y = 5.5. 5. Testentscheidung: Da x − y ∈ / ZSB wird die Nullhypothese zu Gunsten von H1 verworfen. 6. Antwortsatz: Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wurde gezeigt, dass die Zugfestigkeit der beiden Hersteller unterschiedlich ist. Hypothesentests Schließende Statistik 57/122  Übungsblatt 10 (96) Bei der Analyse zweier Produktvarianten ergaben sich über 8 Wochen hinweg die folgenden Verkaufszahlen. Variante A: 917 750 845 908 799 878 885 876 Variante B: 820 834 900 780 848 813 852 792 Die Verkaufszahlen werden als normalverteilt angenommen. Bedeutet das, dass die Variante A signifikant höhere wöchentliche Verkaufszahlen aufweist oder liegen die Unterschiede noch in dem vom Zufall bedingten Rahmen? Wählen Sie als Signifikanzniveau 5%. Hypothesentests Schließende Statistik 58/122  Übungsblatt 10 (96) Begründung für Zweistichproben-t-Test wie in Aufgabe zuvor. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µA − µB ≤ 0, H1 : µA − µB > 0. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 31) bestimmen: v  2  2 u u u 1 sd = t(8 − 1) ·  sX  + (8 − 1) ·  sY  · √ |{z} |{z} 56 ≈57.0006 ≈37.9038 ≈ 24.2017.   ZSB = −∞; t(14; 0.95) ·sd  ≈ (−∞; 42.62]. | {z } ≈1.761 4. Teststatistik bestimmen: x = 857.25, y = 829.875. ⇒ x − y = 27.375. 5. Testentscheidung: Da x − y ∈ ZSB kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Es ist nicht nachzuweisen, dass sich Variante A bei Signifikanzniveau 5% signifikant besser als B verkauft. Hypothesentests Schließende Statistik 59/122  Übungsblatt 10 (97) In einer Gemeinde hatte eine Partei in der Vergangenheit einen Stimmenanteil von 30%. Bei der letzten Umfrage haben sich allerdings nur 32 von 120 befragten Personen für diese Partei ausgesprochen. Spricht das (bei Signifikanzniveau α = 0.01) für eine Änderung des Stimmenanteils? Hypothesentests Schließende Statistik 60/122  Übungsblatt 10 (97) Da wir den Wähleranteil bestimmen wollen, müssen wir einen Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p durchführen. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : p = p0 = 0.3, H1 : p ̸= 0.3. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 35) bestimmen: p 0.3 · (1 − 0.3) 0.5 △p = z0.995 · √ + ≈ 0.1119. | {z } 120 120 ≈2.576 ZSB = [0.3 − △p; 0.3 + △p] = [0.1881; 0.4119]. 4. 32 Teststatistik bestimmen: p̂ = kn = 120 = 0.26. 5. Testentscheidung: Da p̂ ∈ ZSB kann H0 nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Die Stichprobe spricht also bei Signifikanzniveau 1% nicht für eine Änderung des Stimmenanteils. Hypothesentests Schließende Statistik 61/122  Übungsblatt 10 (98) Der Benzinverbrauch eines neuen Kraftfahrzeuges soll getestet werden. Für 8 untersuchte Fahrzeuge ergeben sich folgende Messwerte in Liter pro 100 km: 3.8 3.4 3.5 4.1 3.7 4.0 3.5 3.7 (a) Untersuchen Sie mit einem geeigneten statistischen Test, ob behauptet werden kann, der Verbrauch liege unter 4.2 Liter pro 100 km. (b) Unter welcher zusätzlichen Annahme haben Sie den Test durchgeführt? Hypothesentests Schließende Statistik 62/122  Übungsblatt 10 (98) Da in der Aufgabenstellung σ nicht gegeben ist und ein Test für den Erwartungswert µ durchgeführt wird, erkennt man den t-Test. Wir sind also gezwungen nun mit den Quantilen der t-Verteilung und der Standardabweichung s ≈ 0.2475 der Stichprobe zu arbeiten. (a) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≥ 4.2 = µ0 , H1 : µ < 4.2. 2. Signifikanzniveau festlegen: α1 = 0.05, α2 = 0.01 und α3 = 0.001. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 26) bestimmen:   0.2475 4.2 − t(7; 1−α ) · √ ; +∞ ≈ [4.03; +∞). | {z 1} 8 ≈1.895   0.2475 4.2 − t(7; 1−α ) · √ ; +∞ ≈ [3.94; +∞). | {z 2} 8 ≈2.998   0.2475 4.2 − t(7; 1−α ) · √ ; +∞ ≈ [3.78; +∞). | {z 3} 8 ≈4.785 Hypothesentests Schließende Statistik 63/122  Übungsblatt 10 4. Teststatistik bestimmen: x = 3.7125 (TR). 5. Testentscheidung: Bei allen drei untersuchten Signifikanzniveaus liegt x nicht im ZSB, somit würde man bei allen drei H0 verwerfen. 6. Antwortsatz: Die Daten bestätigen somit, bei einem der oben genannten Werte α, die Behauptung eines Verbrauchs unter 4.2 Liter pro 100 km. (b) Normalverteilung und Unabhängigkeit. Hypothesentests Schließende Statistik 64/122  Übungsblatt 10 (99) An einer Hochschule wurde in zwei Kursen die gleiche Klausur geschrieben. Es ergaben sich folgende Werte: Anzahl der Teilnehmer m = 39 arithmetischer Mittelwert x = 39.6667 Kurs A: der erzielten Punktzahlen empirische Standardabweichung sx = 8.4809 der erzielten Punktzahlen Anzahl der Teilnehmer n = 33 arithmetischer Mittelwert y = 34.2222 Kurs B: der erzielten Punktzahlen empirische Standardabweichung sy = 10.1386 der erzielten Punktzahlen (a) Kann man mit diesen Daten nachweisen, dass die mittlere Punktzahl in Kurs A größer ist als in Kurs B? Führen Sie zur Beantwortung dieser Frage einen geeigneten Test zum Signifikanzniveau α = 5% durch. (b) Welche statistischen Annahmen liegen dem von Ihnen durchgeführten Test zugrunde? Hypothesentests Schließende Statistik 65/122  Übungsblatt 10 (99) Da σ nicht gegeben ist und ein Test für den Vergleich zweier Stichproben durchgeführt wird: Zweistichproben-t-Test. (a) 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µA − µB ≤ 0, H1 : µA − µB > 0. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 31) bestimmen: v  2  2 u u u 72 sd = t38 ·  sX  + 32 ·  sY  · √ |{z} |{z} 90090 ≈8.4809 ≈10.1386 ≈ 2.1939,   ZSB = −∞; t(70; 0.95) ·sd  ≈ (−∞; 3.6572]. | {z } ≈1.667 4. Teststatistik bestimmen: x − y = 5.4445. 5. Testentscheidung: Da x − y ∈ / ZSB, wird H0 verworfen. 6. Antwortsatz: Die Daten bestätigen (bei Signifikanzniveau 5%), dass in Kurs A die mittlere Punktzahl höher ist. (b) Die Punktzahlen sind unabhängig normalverteilt mit unbekannten Erwartungswerten und gleicher unbekannter Varianz. Hypothesentests Schließende Statistik 66/122  Übungsblatt 10 (100) Bei der Massenproduktion eines Artikels treten immer wieder unbrauchbare Stücke auf. Der Produzent versichert, dass ihr Anteil p nicht mehr als 2% beträgt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 5.000 ergab 120 unbrauchbare Artikel. Formulieren Sie H0 und H1. Kann man H0 zum Niveau α = 0.05 ablehnen? Zum Niveau α = 0.01? Hypothesentests Schließende Statistik 67/122  Übungsblatt 10 (100) Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : p ≤ 0.02 = p0 , H1 : p > 0.02. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 35) bestimmen:  p  0.02 · (1 − 0.02) 0.5 ZSB = 0; 0.02 + z0.95 · √ +  |{z} 5000 5000 ≈1.645 ≈ [0; 0.02336]. 4. 120 Teststatistik bestimmen: p̂ = kn = 5000 = 0.024. 5. Testentscheidung: Da p̂ ∈/ ZSB, muss H0 zugunsten von H1 verworfen werden. 6. Antwortsatz: Die Aussage des Produzenten ist deshalb mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% widerlegt. Hypothesentests Schließende Statistik 68/122  Übungsblatt 10 Jetzt mit Signifikanzniveau α = 0.01: 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : p ≤ 0.02 = p0 , H1 : p > 0.02. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 35) bestimmen:  p  0.02 · (1 − 0.02) 0.5 ZSB = 0; 0.02 + z0.99 · √ +  |{z} 5000 5000 ≈2.326 ≈ [0; 0.0247]. 4. Teststatistik bestimmen: p̂ = kn = 5000 120 = 0.024. 5. Testentscheidung: Da p̂ = 0.024 ∈ ZSB, kann H0 nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Die Aussage des Produzenten lässt sich deshalb bei einem Signifikanzniveau von 1% nicht widerlegen. Hypothesentests Schließende Statistik 69/122  Übungsblatt 10 (101) Dem Hersteller eines Waschmittels wird von einer Verbraucherorganisation vorgeworfen, 3-kg Packungen in den Handel zu bringen, deren Inhalt wesentlich unter dem Nenngewicht liegt. Der Hersteller bestreitet dies. Zur Überprüfung kauft die Verbraucherorganisation 25 Packungen und stellt jeweils deren Nettogewicht fest. Dabei ergibt sich ein arithmetisches Mittel von x = 2.96kg und eine empirische Varianz von s2 = 0.01kg2. Welchen Stichprobentest sollte die Verbraucherorganisation bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% aufstellen? Wie lautet das Testergebnis? Hypothesentests Schließende Statistik 70/122  Übungsblatt 10 (101) Da in der Aufgabenstellung die Standardabweichung σ nicht bekannt ist und ein Test für den Erwartungswert durchgeführt werden soll, erkennt man den t-Test. 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≥ 3kg, H1 : µ < 3kg. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.01. 3. ZSB aus Tabelle (vgl. Folie 26) bestimmen:   √ 0.01 3 − t(24; 0.99) · √ ; +∞ ≈ [2.95; +∞)   | {z } 25 ≈2.492 4. Teststatistik bestimmen: x = 2.96 (gegeben). 5. Testentscheidung: Da x = 2.96 ∈ ZSB, kann H0 nicht verworfen werden. 6. Antwortsatz: Damit kann der Verdacht der Verbraucherorganisation bei einem Signifikanzniveau von 1% nicht bestätigt werden. Hypothesentests Schließende Statistik 71/122  Wiederholung - SoSe17 A6 Die Hochschule Esslingen verschickt regelmäßig Broschüren über das Studium in Esslingen. Das Gewicht der Broschüren soll verringert werden, daher wurden die Metallklammern der Broschüren durch eine leichtere Variante aus Kunststoff ersetzt. Um zu überprüfen, ob die Broschüren tatsächlich leichter geworden sind, wird eine Stichprobe von 10 Broschüren entnommen, bei der folgende Gewichte gemessen wurden (in g): 65.28 65.84 64.47 63.82 66.64 62.55 65.74 64.90 65.87 65.29 Mit Metallklammer hatten die Broschüren früher ein durchschnittliches Gewicht von 65.86g. Testen Sie zum Signifikanzniveau von 5% auf Basis der Stichprobe, ob die Broschüren jetzt leichter sind. Gehen Sie davon aus, dass es sich beim Gewicht der Broschüre um eine normalverteilte Zufallsvariable handelt. Hypothesentests Schließende Statistik 72/122  Wiederholung - SoSe17 A6 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≥ 65.86g, H1 : µ < 65.86g. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle bestimmen:   1.18 65.86 − t9;0.95 · √ ; ∞ ≈ [65.1760; ∞). | {z } 10 ≈1.833 4. Teststatistik bestimmen: x = 65.04. 5. Da x ∈ / ZSB wird H0 zugunsten von H1 verworfen. 6. Antwortsatz: Die Broschüren sind, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, signifikant leichter geworden. Hypothesentests Schließende Statistik 73/122  Wiederholung - WiSe17/18 A6 Gurkengläser sollen in einer Fabrik mit einem Abtropfgewicht von 545g abgefüllt werden. Das Abfüllgewicht wird dabei als normalverteilt angenommen mit Standardabweichung 7g. Der Produktionsleiter meint,dass die Maschine im Mittel zu große Mengen zuführt. Er lässt 10 Gläser nachwiegen und die folgenden Werte (in g) werden gemeldet: 541 567 547 549 551 543 553 548 549 542 Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 5%. Bestätigt der Test die Vermutung des Produktionsleiters? Hypothesentests Schließende Statistik 74/122  Wiederholung - WiSe17/18 A6 1. Nullhypothese aufstellen: H0 : µ ≤ 545g, H1 : µ > 545g. 2. Signifikanzniveau festlegen: α = 0.05. 3. ZSB aus Tabelle bestimmen:   −∞; 545 + z0.95 · √7  ≈ (−∞; 548.6414]. |{z} 10 ≈1.645 4. Teststatistik bestimmen: x = 549. 5. Da x ∈ / ZSB wird H0 zugunsten von H1 verworfen. 6. Antwortsatz: Die Maschine füllt, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% im Mittel zu große Mengen ab. Hypothesentests Schließende Statistik 75/122  Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle - Definition Definition Ein Konfidenzintervall, auch Vertrauensbereich (VB) genannt, besitzt das Konfidenzniveau γ, falls durchschnittlich in γ Prozent der Fälle der wahre Wert eines zu schätzenden Parameters tatsächlich im Konfidenzintervall liegt. Dabei bezeichnet man α = 1 − γ als Signifikanzniveau. Für...... γ = 0.95, bezeichnet man das Konfidenzniveau als signifikant,... γ = 0.99, bezeichnet man das Konfidenzniveau als sehr signifikant,... γ = 0.999, bezeichnet man das Konfidenzniveau als hoch signifikant. Die Voraussetzungen sind die gleichen wie beim Hypothesentest, nur sind Konfidenzintervalle Intervallschätzer für die unbekannten Parameter µ, σ 2 oder p. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen 3 Typen von Konfidenzintervallen: 1. nach unten begrenzt, 2. nach oben begrenzt und 3. zweiseitig begrenzt. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 76/122  Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle- Beispiel Beispiel () Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 77/122  Zufallsstreubereich vs. Vertrauensbereich Beispiel () Sei eine Normalverteilung gegeben,mit bekannter Varianz σ 2 = 20. Zusätzlich sei 1. µ = 1.000 bekannt. In welchem Intervall liegt das arithmetische Mittel x einer Stichprobe vom Umfang 10 mit Wahrscheinlichkeit 95%? Bei dieser Fragestellung geht es um den ZSB für x. 2. µ ist nicht bekannt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab sich x = 998.74. In welchem Intervall könnte µ, mit einem Konfidenzniveau von 95%, liegen? Bei dieser Fragestellung geht es um den VB für µ. → Bei 1. gilt also aus µ folgere x, bei 2. aus x folgere µ. → Der ZSB bei (1.) und der VB bei (2.) haben zwar unterschiedliche Mittelpunkte, nämlich µ = 1.000 bei (1.) und x = 998.74 bei (2.), aber deren zweiseitige Länge ist die gleiche,nämlich 2 · z0.975 · √σ10 ≈ 2 · 2.77 = 5.54. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 78/122  Tabellen für Vertrauensbereiche zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 − α Vorbemerkung: Die Voraussetzungen sind die gleichen wie bei den statistischen Tests (Normalverteilung, unabhängig). Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 79/122  Tabelle für VB von µ bei bekanntem σ - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ bekannt, so kann man ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ, zum Vertrauensniveau 1 − α, wie folgt bestimmen: Art des Vertrauensbereichs Vertrauensbereich für µ h i zweiseitig x − z1− α2 · √σn ; x + z1− α2 · σ √ n h  einseitig nach unten begrenzt x − z1−α · √σn ; +∞  i einseitig nach oben begrenzt −∞; x + z1−α · √σn Dabei ist x der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe x1 ,... , xn. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 80/122  Tabelle für VB von µ bei bekanntem σ - Beispiel 1 Beispiel () Abfüllanlage mit dem Sollwert 1000mL. Die Füllmenge einer Flasche sei normalverteilt mit N (µ; 9). Für eine Stichprobe mit Umfang n = 50 wurde der arithmetische Mittelwert x = 999mL ermittelt werden. Frage: Wie lautet das Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei einem Signifikanzniveau von 5%? Antwort: Wir suchen einen zweiseitigen VB, somit gilt mit der Tabelle aus Folie 80:   σ σ  x − z1− α2 · √ ; x + z1− α2 · √  ≈ [998.17; 999.83].  | {z } n n z0.975 ≈1.96 Da der Sollwert von 1000mL nicht im Konfidenzintervall enthalten ist, bzw. dieser sogar drunter liegt, füllt die Maschine wohl (ausgehend von der entnommenen Stichprobe) systematisch zu wenig ab. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 81/122  Tabelle für VB von µ bei bekanntem σ - Beispiel 2 Beispiel () Abfüllanlage mit dem Sollwert 1000mL. Die Füllmenge einer Flasche sei normalverteilt mit N (µ; 9). Frage: Wie viele Flaschen müssen bei einer Stichprobe mindestens untersucht werden, damit bei einem Signifikanzniveau von 5% eine Abweichung von maximal ±1 vom arithmetischen Mittelwert erreicht wird? Antwort: Wir suchen einen h zweiseitigen VB, für diesen i gilt laut der σ σ Tabelle aus Folie 80: x − z1− α2 · √n ; x + z1− α2 · √n. Somit muss √ z1− α2 · √σn ≤ 1 gelten. Mit z1− α2 = z0.975 ≈ 1.96 und σ = 9 = 3 folgt: 5.88 √ ≤ 1 ⇒ n ≥ 5.882 ≈ 34.57. n Es müssen also mindestens 35 Flaschen untersucht werden. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 82/122  Tabelle für VB von µ bei unbekanntem σ - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ unbekannt, so kann man ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert µ, zum Vertrauensniveau 1 − α, wie folgt bestimmen: Art des Vertrauensbereichs Vertrauensbereich für µ h i zweiseitig x − t(n−1; 1− α ) · √sn ; x + t(n−1; 1− α ) · √s n h 2 2 einseitig nach unten begrenzt x − t(n−1; 1−α) · √sn ; +∞  i einseitig nach oben begrenzt −∞; x + t(n−1; 1−α) · √sn Dabei ist x der arithmetische Mittelwert und s die empirische Standardabweichung einer Stichprobe x1 ,... , xn. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 83/122  Tabelle für VB von µ bei unbekanntem σ - Beispiel Beispiel () Abfüllanlage mit Sollwert 1000mL. Eine Stichprobe bei 50 Flaschen ergibt den arithmetischen Mittelwert x = 999mL und die empirische Standardabweichung s = 3.1. Frage: Wie lautet das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Flaschenfüllungen bei einem Signifikanzniveau von 5%? Antwort: Wir kennen nun nicht die Standardabweichung und suchen einen zweiseitigen VB, somit gilt mit der Tabelle aus Folie 83:    s s  (n−1; 1− α2 ) · √n ; x + t(n−1; 1− α2 ) · √n  ≈ [998.12; 999.88]. x − t   | {z } t49;0.975 ≈2.01 Ähnliches Konfidenzintervall wie im Beispiel auf Folie 81, obwohl die “richtige“ Standardabweichung unbekannt war. Das liegt daran, dass mit n = 50 bereits ein relativ großer Stichprobenumfang vorhanden ist (Daumenregel: n ≥ 30). Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 84/122  Tabelle für VB von µX − µY bei unbekanntem σ - Definition Definition Ist die Standardabweichung σ unbekannt, so kann man ein Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte µX − µY , zum Vertrauensniveau 1 − α, wie folgt bestimmen: Art des Vertrauensbereichs Vertrauensbereich für µX − µY [x − y − t(m+n−2; 1− α ) · sd ; zweiseitig 2 x − y + t(m+n−2; 1− α ) · sd ]  2
einseitig nach unten begrenzt x − y − t(m+n−2; 1−α) · sd ; +∞  einseitig nach oben begrenzt −∞; x − y + t(m+n−2; 1−α) · sd Dabei sind x und y die arithmetischen Mittelwerte und sX und sY die empirischen Standardabweichungen zweier Stichproben x1 ,... , xm und y1 ,... , yn. Mit Hilfsgröße r m+n q 2 2 sd = (m − 1) · (sX ) + (n − 1) · (sY ) ·. m · n · (m + n − 2) Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 85/122  Tabelle für VB von µX − µY bei unbekanntem σ - Beispiel Beispiel () Pharmaunternehmen behauptet, dass ein Medikament den Blutdruck senkt. In einer Gruppe mit 50 Testpersonen, die das Medikament eingenommen haben, wurde ein arithmetischer Mittelwert für den Blutdruck von 115 ermittelt. Zur Überprüfung der Behauptung soll bei einer Kontrollgruppe mit ebenfalls 50 Personen, die das Medikament nicht eingenommen haben, auch der Blutdruck gemessen werden. Frage: Wie hoch sollte der arithmetische Mittelwert des Blutdrucks in der Kontrollgruppe mindestens sein, damit das Medikament eine signifikante (5%) Wirkung zeigt? Nehmen Sie sX = sY = 10 an. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 86/122  Tabelle für VB von µX − µY bei unbekanntem σ - Beispiel Beispiel (Fortsetzung) Antwort: Sei X = Blutdruck der Testgruppe und Y = Blutdruck der Kontrollgruppe. Dann gilt x = 115 und y ist zu bestimmen. Mit sX = sY = 10 und m = qn = 50 folgt für die Hilfsgröße √ 50+50 sd = 49 · 102 + 49 · 102 50·50·(50+50−2) = 2. Damit lässt sich nun mit Hilfe der Tabelle auf Folie 85 das nach oben beschränkte Konfidenzintervall bestimmen:   −∞; x − y + t(m+n−2; 1−α) ·sd  ≈ (−∞; 115 − y + 1.66 · 2].   | {z } t98;0.95 ≈1.66 Damit das Medikament Wirkung zeigt muss der VB nur negative Zahlen enthalten, da dann µX − µY < 0 angenommen werden kann. → 115 − y + 3.32 < 0 ⇒ y > 118.32, damit das Medikament Wirkung zeigt. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 87/122  Tabelle für VB von p - Definition Definition Ist die Wahrscheinlichkeit/ Anteil p einer Grundgesamtheit unbekannt, so kann man mit Hilfe des Punktschätzers (vgl. Folie 12) p̂ = kn ein Konfidenzintervall für die WK/Anteil p eines Ereignisses A, zum Vertrauensniveau 1 − α, wie folgt bestimmen: Art des Vertrauensbereichs Vertrauensbereich für p q [p̂ − z1− α2 · p̂·(1− p̂) − 0.5 ; zweiseitig q n n p̂·(1−p̂) 0.5 p̂ + z1− α2 · n + n ]  q  p̂·(1−p̂) 0.5 einseitig nach unten begrenzt p̂ − z1−α · n − n ; 1  q  einseitig nach oben begrenzt 0; p̂ + z1−α · p̂·(1− n p̂) + 0.5 n Dabei tritt bei einer Stichprobe vom Umfang n das gesuchte Ereignis k-mal auf. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 88/122  Tabelle für VB von p - Beispiel Beispiel () Umfrage mit 200 Teilnehmern ergibt, dass 63 Personen ein bestimmtes Produkt kennen. Frage: Wie groß ist die Bekanntheit des Produkts bei einem Konfidenzniveau von 99% höchstens? Antwort: Aufgrund des Signalwortes “höchstens“ suchen wir den einseitig nach oben beschränkten VB, somit gilt mit der Tabelle aus Folie 88:   r  p̂ · (1 − p̂) 0.5  0; p̂ + z 1−α · +  ≈ [0; 0.3939].  |{z} | {z } n n  k 63 = 200 =0.315 z0.99 ≈2.326 n Somit beträgt, bei einem Vertrauensniveau von 99%, die Bekanntheit des Produkts höchstens 39.39%. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 89/122  Übungsblatt Nr. 11 Lernziel-Kontrolle Sie sollten ▶ den Unterschied zwischen Zufallsstreubereich und Vertrauensbereich erklären können. ▶ die Vertrauensbereiche je nach Aufgabenstellung klassifizieren können (4 Klassen, siehe Tabellen). ▶ konkrete Vertrauensbereiche berechnen können. Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 90/122  Übungsblatt 11 (102) Es sei X ∼ N (µ; σ 2 = 20). Es sollen zweiseitige (d.h. nach oben und unten beschränkte) Intervalle berechnet werden. (a) Es ist µ = 1000 bekannt. In welchem Intervall liegt das arithmetische Mittel x einer Stichprobe vom Umfang 10 mit Wahrscheinlichkeit 95%? (b) µ ist nicht bekannt. Aber angenommen, es wäre µ = 1000 (Nullhypothese H0 ), in welchem Intervall liegen dann die Mittelwerte x aus Stichproben vom Umfang n = 10 mit Wahrscheinlichkeit 95%? (c) µ ist nicht bekannt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 10 ergab sich x = 998.74. In welchem Intervall könnte µ liegen? Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 91/122  Übungsblatt 11 (102) (a) Gefragt ist nach dem zweiseitigen 95%-ZSB für x. Mit µ = 1000, n = 10 und dem z1− 0.05 -Quantil ergibt sich 2 der ZSB:   σ σ µ − z1− α2 · √ ; µ + z1− α2 · √ ≈ [997.23; 1002.77]. n n (b) Nun ist der zweiseitige ZSB für x bei einem Gauß-Test (vgl. Folie 23 mit der Nullhypothese H0 : µ = 1000 und dem Signifikanzniveau α = 0.05 durchzuführen. Mit µ = 1000, n = 10 und z1− 0.05 -Quantil ergibt sich 2 derselbe ZSB wie in (a), da der Schätzwert µ0 = 1000 gleich dem Erwartungswert µ ist:   σ σ µ0 − z1− 2 · α √ ; µ0 + z1− 2 · α √ ≈ [997.23; 1002.77]. n n Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 92/122  Übungsblatt 11 (c) Gefragt ist nach einem Vertrauensbereich für µ zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 − α, bei bekannter Standardabweichung σ. Damit folgt mit der Tabelle auf Folie 80:   σ σ x − z1− 2 · α √ ; x + z1− 2 · α √ n n " √ √ # 20 20 = 998.74 − 1.96 · √ ; 998.74 + 1.96 · √ ≈ [995.97; 1001.51]. 10 10 Vertrauensbereiche oder Konfidenzintervalle Schließende Statistik 93/122  Übungsblatt 11 (103) Ein Hersteller von Kühlschränken hofft, durch eine technische Verbesserung den Energieverbrauch reduziert zu haben. Bei einer Stichprobe von 10 Geräten der alten Technik wurde folgender Energieverbrauch gemessen (jeweils in kWh/Jahr): 172 178 173 177 174 177 170 174 170 175. Bei einer Stichprobe von 8 Geräten mit der verbesserten Technik wurden folgende Werte gemessen: 166 152 160 164 171 163 163 169 (a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 0.05, ob die technische Verbesserung tatsächlich den Energieverbrauch verringert hat. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Messwerte Realisierungen unabhängiger Normalverteilungen sind und dass sich die Varianz der Normalverteilung durch die technische Verbesserung nicht geändert hat. (b) Kann man auf Basis dieser Daten bei Signifik