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## Algèbre linéaire ### Définitions de base #### Définition 1 : Espace vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations : - **Addition vectorielle** : $E \times E \rightarrow E$, notée $(u, v) \mapsto u +...

## Algèbre linéaire ### Définitions de base #### Définition 1 : Espace vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations : - **Addition vectorielle** : $E \times E \rightarrow E$, notée $(u, v) \mapsto u + v$ - **Multiplication scalaire** : $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, notée $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ Ces opérations doivent satisfaire les propriétés suivantes : 1. Associativité de l'addition : $(u + v) + w = u + (v + w)$ pour tous $u, v, w \in E$. 2. Commutativité de l'addition : $u + v = v + u$ pour tous $u, v \in E$. 3. Existence d'un élément neutre pour l'addition : il existe un élément $0 \in E$ tel que $u + 0 = u$ pour tout $u \in E$. 4. Existence d'un inverse additif : pour tout $u \in E$, il existe un élément $-u \in E$ tel que $u + (-u) = 0$. 5. Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication dans $\mathbb{K}$ : $\lambda(\mu u) = (\lambda \mu)u$ pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ et $u \in E$. 6. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle : $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et $u, v \in E$. 7. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition dans $\mathbb{K}$ : $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$ pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ et $u \in E$. 8. Élément neutre pour la multiplication scalaire : $1u = u$ pour tout $u \in E$. #### Définition 2 : Sous-espace vectoriel Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si : 1. $F$ est non vide. 2. Pour tous $u, v \in F$, $u + v \in F$. 3. Pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $u \in F$, $\lambda u \in F$. #### Définition 3 : Combinaison linéaire Étant donné un ensemble de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ dans un espace vectoriel $E$, une combinaison linéaire de ces vecteurs est une expression de la forme: $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 +... + \lambda_nv_n$ où $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$. #### Définition 4 : Espace engendré L'espace engendré par un ensemble de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ dans un espace vectoriel $E$, noté $Vect(v_1, v_2,..., v_n)$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces vecteurs. #### Définition 5 : Indépendance linéaire Un ensemble de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ dans un espace vectoriel $E$ est linéairement indépendant si la seule solution à l'équation $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 +... + \lambda_nv_n = 0$ est $\lambda_1 = \lambda_2 =... = \lambda_n = 0$. #### Définition 6 : Base Une base d'un espace vectoriel $E$ est un ensemble de vecteurs qui est à la fois linéairement indépendant et générateur de $E$. #### Définition 7 : Dimension La dimension d'un espace vectoriel $E$, notée $dim(E)$, est le nombre de vecteurs dans une base de $E$. ### Applications linéaires #### Définition 8 : Application linéaire Une application $f : E \rightarrow F$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ sur le même corps $\mathbb{K}$ est linéaire si : 1. $f(u + v) = f(u) + f(v)$ pour tous $u, v \in E$. 2. $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $u \in E$. #### Définition 9 : Noyau Le noyau d'une application linéaire $f : E \rightarrow F$, noté $Ker(f)$, est l'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont envoyés sur le vecteur nul de $F$ : $Ker(f) = \{u \in E \mid f(u) = 0\}$ #### Définition 10: Image L'image d'une application linéaire $f : E \rightarrow F$, notée $Im(f)$, est l'ensemble des vecteurs de $F$ qui sont l'image d'au moins un vecteur de $E$ : $Im(f) = \{v \in F \mid \exists u \in E, f(u) = v\}$ #### Théorème du rang Pour une application linéaire $f : E \rightarrow F$ où $E$ est de dimension finie, on a : $dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))$ ### Matrices #### Définition 11: Matrice Une matrice est un tableau de nombres, appelés coefficients, disposés en lignes et en colonnes. Une matrice avec $m$ lignes et $n$ colonnes est une matrice $m \times n$. #### Définition 12 : Opérations sur les matrices - **Addition de matrices** : Si A et B sont deux matrices de même dimension $m \times n$, leur somme $A + B$ est une matrice $m \times n$ dont les coefficients sont la somme des coefficients correspondants de A et B. - **Multiplication par un scalaire** : Si A est une matrice $m \times n$ et $\lambda$ est un scalaire, le produit $\lambda A$ est une matrice $m \times n$ dont les coefficients sont les coefficients de A multipliés par $\lambda$. - **Multiplication de matrices** : Si A est une matrice $m \times p$ et B est une matrice $p \times n$, leur produit $AB$ est une matrice $m \times n$ dont les coefficients sont définis par : $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik}B_{kj}$ #### Définition 13 : Matrice inverse Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice B telle que $AB = BA = I$, où I est la matrice identité. La matrice B est appelée l'inverse de A, notée $A^{-1}$. #### Définition 14 : Déterminant Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire qui peut être calculé à partir des coefficients de la matrice. Le déterminant est utile pour déterminer si une matrice est inversible (si le déterminant est non nul). #### Définition 15 : Valeurs propres et vecteurs propres Pour une matrice carrée A, un vecteur non nul $v$ est un vecteur propre de A si $Av = \lambda v$ pour un scalaire $\lambda$, appelé valeur propre de A associée à $v$. ### Produit scalaire et espaces euclidiens #### Définition 16 : Produit scalaire Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel $E$ est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ qui satisfait les propriétés suivantes : 1. Symétrie : $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$ pour tous $u, v \in E$. 2. Linéarité à gauche : $\langle \lambda u + \mu v, w \rangle = \lambda \langle u, w \rangle + \mu \langle v, w \rangle$ pour tous $u, v, w \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. 3. Définie positive : $\langle u, u \rangle \geq 0$ pour tout $u \in E$, et $\langle u, u \rangle = 0$ si et seulement si $u = 0$. #### Définition 17 : Espace euclidien Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. #### Définition 18 : Orthogonalité Deux vecteurs $u$ et $v$ dans un espace euclidien sont orthogonaux si $\langle u, v \rangle = 0$. #### Définition 19 : Base orthonormale Une base orthonormale d'un espace euclidien est une base formée de vecteurs unitaires (de norme 1) et orthogonaux deux à deux. ### Espace vectoriel normé #### Définition 20 : Norme Une norme sur un espace vectoriel $E$ est une application $\| \cdot \| : E \rightarrow \mathbb{R}$ qui satisfait les propriétés suivantes : 1. $\|u\| \geq 0$ pour tout $u \in E$, et $\|u\| = 0$ si et seulement si $u = 0$. 2. $\|\lambda u\| = |\lambda| \|u\|$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $u \in E$. 3. $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$ pour tous $u, v \in E$ (inégalité triangulaire). #### Définition 21 : Espace vectoriel normé Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme. ### Produit vectoriel (en dimension 3) #### Définition 22 : Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs $u$ et $v$ dans $\mathbb{R}^3$, noté $u \times v$, est un vecteur orthogonal à la fois à $u$ et à $v$, dont la direction est donnée par la règle de la main droite, et dont la norme est égale à l'aire du parallélogramme formé par $u$ et $v$: $\|u \times v\| = \|u\| \|v\| sin(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $u$ et $v$.