Podcast Beta
Questions and Answers
Wat is de modulus van een complex getal z = a + b j?
Hoe bereken je de som van twee complexe getallen z1 = a + b j en z2 = c + d j?
Wat is het complex toegevoegde van een complex getal z = a + b j?
Wat is de voorwaarde voor de gelijkheid van twee complexe getallen a + b j en c + d j?
Signup and view all the answers
Wat is de uitkomst van het product van de complexe getallen (a + b j) en (a - b j)?
Signup and view all the answers
Wat is het imaginaire deel van het complexe getal z = 3 + 4j?
Signup and view all the answers
Wat is de goniometrische vorm van het complexe getal z = 1 + j√3?
Signup and view all the answers
Welke waarde geeft $e^{jπ}$ volgens de formule van Euler?
Signup and view all the answers
Wat is het resultaat van de uitdrukking $(2 + 3j) imes (2 - 3j)$?
Signup and view all the answers
Wat omvat de verzameling van alle complexe getallen?
Signup and view all the answers
Welke uitspraak is correct over het complex toegevoegde van z = 5 + 2j?
Signup and view all the answers
Wat geeft de gelijkheid aan voor twee complexe getallen a + bj en c + dj?
Signup and view all the answers
Hoe kun je de modulus $|z|$ van een complex getal z = 3 + 4j berekenen?
Signup and view all the answers
Wat is de formule voor de sinus van een hoek ϑ in termen van exponentiële functies?
Signup and view all the answers
Wat is de relatie tussen de modulus van twee complexe getallen z1 en z2?
Signup and view all the answers
Welke vorm is het eenvoudigst voor het vermenigvuldigen van complexe getallen?
Signup and view all the answers
Wat komt overeen met de realistische weergave van een complexe sinusgolf?
Signup and view all the answers
Wat is de exponentiële vorm van een complex getal z gegeven de modulus r en hoek θ?
Signup and view all the answers
Wat is de uitdrukking voor de tangent van een hoek θ in termen van de coördinaten x en y?
Signup and view all the answers
Welke van de volgende stellingen is juist over de eigenschappen van de modulus van een complex getal?
Signup and view all the answers
Wat is de juiste representatie van harmonische trillingen met complexe getallen?
Signup and view all the answers
Wat is de formule voor de n-de macht van een complex getal z = r e^{j heta}?
Signup and view all the answers
Hoeveel verschillende n-de machtswortels heeft een complex getal z?
Signup and view all the answers
Welke formule beschrijft de relatie tussen de modulus ρ van de n-de machtswortel en de modulus r van het oorspronkelijke complex getal z?
Signup and view all the answers
Wat is de formule voor de hoek φ van een n-de machtswortel van een complex getal z?
Signup and view all the answers
Wat beschrijft de geometrische plaats van de n-de machtswortels in het complexe vlak?
Signup and view all the answers
Wat is de bekendste vorm voor de n-de macht volgens de formule van de Moivre?
Signup and view all the answers
Wat zijn de voorwaarden voor de n-de machtswortels van een complex getal w = ρ e^{jφ}?
Signup and view all the answers
Wat is de uitdrukking voor het k-de n-de machtswortel van een complex getal?
Signup and view all the answers
Study Notes
Complexe Getallen
- Een complex getal heeft de vorm z = a + b j, waarbij a en b reële getallen zijn en j de imaginaire eenheid is. j2 = -1
- a wordt het reële deel (Re(z)) genoemd en b wordt het imaginaire deel (Im(z)) genoemd.
- De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met C.
- Twee complexe getallen zijn gelijk als hun reële en imaginaire delen respectievelijk gelijk zijn.
- De som van twee complexe getallen wordt gevonden door hun reële en imaginaire delen afzonderlijk op te tellen.
- Het product van twee complexe getallen wordt gevonden door de distributieve eigenschap te gebruiken en te onthouden dat j2 = -1.
- Het complex toegevoegde van z = a + b j is z = a - b j.
- Het product van een complex getal en zijn toegevoegde is altijd een reëel getal: (a + b j) · (a - b j) = a2 + b2.
- Een complex getal kan ook in poolcoördinaten worden geschreven in de vorm z = r(cos θ + j sin θ).
- r = √(a2 + b2) wordt de modulus van z genoemd en wordt ook geschreven als |z|.
Complexe Getallen
- Een complex getal is van de vorm z = a + bj, waarbij a en b reële getallen zijn.
- j is de imaginaire eenheid, waarbij j² = -1.
- a is het reële deel van het complex getal, aangeduid als Re(z).
- b is het imaginaire deel van het complex getal, aangeduid als Im(z).
- De verzameling van alle complexe getallen wordt C genoemd.
Bewerkingen met Complexe Getallen
- Getallen zijn gelijk als Re(z₁) = Re(z₂) en Im(z₁) = Im(z₂).
- De som wordt berekend door de reële en imaginaire delen afzonderlijk op te tellen: (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j.
- Het product wordt berekend door de distributieve wet toe te passen: (a + bj) · (c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j.
- De complexe toegevoegde van z = a + bj is z = a - bj.
- Het product van een complex getal met zijn complexe toegevoegde resulteert in een reëel getal: (a + bj) · (a - bj) = a² + b².
Representatie van Complexe Getallen
-
Cartesische Vorm:
- Een complex getal z = a + bj kan worden voorgesteld in een cartesisch vlak met coördinaten (a, b).
-
Goniometrische Vorm:
- Als (r, ϑ) de poolcoördinaten zijn van het punt (a, b), dan is z = a + bj = r(cos ϑ + j sin ϑ).
- r is de modulus van z, berekend als √(a² + b²) en genoteerd als |z|.
- ϑ is het argument van z, de hoek tussen de voerstraal en de poolas, aangeduid als arg(z).
Exponentiële Vorm
- Formule van Euler: cos ϑ + j sin ϑ = e^(jϑ)
- Gebruik makend van deze formule, kan z worden uitgedrukt in exponentiële vorm: z = a + bj = r(cos ϑ + j sin ϑ) = r e^(jϑ).
- Uit e^(jπ) = cos π + j sin π = -1 volgt de belangrijke identiteit e^(jπ) + 1 = 0.
- cos ϑ kan geschreven worden als (e^(jϑ) + e^(-jϑ))/2 en sin ϑ als (e^(jϑ) - e^(-jϑ))/(2j).
Omzettingsformules
- De omzetting tussen cartesische en goniometrische / exponentiële vorm gebeurt met de volgende formules:
- x = r cos θ
- y = r sin θ
- tg θ = y/x
- r = √(x² + y²)
- θ ∈ [0, 2π[ of ]-π, π[
- Het Gauss-vlak is het vlak waarin complexe getallen worden voorgesteld.
Eigenschappen van de Modulus
- |z₁| = |z₁|
- z z = |z|²
- |z₁z₂| = |z₁| |z₂|
- |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|
Bewerkingen in C
- Optellen en aftrekken zijn het eenvoudigst in cartesische vorm.
- Vermenigvuldigen en delen zijn het eenvoudigst in goniometrische of exponentiële vorm.
- Als z₁ = r e^(jθ) en z₂ = s e^(jϕ), dan is:
- z₁z₂ = r e^(jθ) · s e^(jϕ) = rs e^(j(θ+ϕ))
- z₁/z₂ = (r e^(jθ)) / (s e^(jϕ)) = (r/s) e^(j(θ-ϕ))
Harmonische Trillingen
- Trillingen kunnen worden beschreven met vergelijkingen van de vorm y = A sin(ωt + φ) of y = A cos(ωt + φ).
- Deze vergelijkingen kunnen worden uitgedrukt met complexe getallen:
- y = A sin(ωt + φ) = Im(A e^(j(ωt+φ)))
- y = A cos(ωt + φ) = Re(A e^(j(ωt+φ)))
- Samenstellende trillingen kunnen worden berekend met behulp van de rekenregels van complexe getallen.
Coördinatentransformaties / Rotatie
-
Transformaties in een vlak kunnen worden beschreven met matrices:
x = x' cos φ - y' sin φ y = x' sin φ + y' cos φ-
x' = x cos φ + y sin φ y' = -x sin φ + y cos φ
-
Machtsverheffing
- De nde macht van z = r e^(jϑ) is:
- z^n = (r e^(jϑ))^n = r^n e^(jnϑ) = r^n (cos nϑ + j sin nϑ), waarbij n ∈ Z.
- De formule van de Moivre is een speciaal geval met r = 1:
- (cos ϑ + j sin ϑ)^n = cos nϑ + j sin nϑ
nde Machtswortels
- Een complex getal w = ρ e^(jφ) is een nde machtswortel van z = r e^(jϑ) als:
- (ρ e^(jφ))^n = r e^(jϑ)
- ρ^n = r, wat leidt tot ρ = √(n)r
- nφ = ϑ + 2kπ, wat leidt tot φ = (1/n)(ϑ + 2kπ)
- Een complex getal heeft n verschillende nde machtswortels:
- w_k = √(n)r e^(j(ϑ + 2kπ)/n) = √(n)r (cos ((ϑ + 2kπ)/n) + j sin ((ϑ + 2kπ)/n)) waarbij k ∈ {0, 1, ..., n-1}.
- In het Gauss-vlak vormen de beeldpunten van de nde machtswortels een regelmatige n-hoek, ingeschreven in een cirkel met straal √(n)r.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Test je kennis over complexe getallen met deze quiz. Leer de basisprincipes van complexe nummers, inclusief hun reële en imaginaire delen, som en product. Ontdek ook hoe je complexe getallen kunt weergeven in poolcoördinaten.
