Complexe Getallen - Hoofdstuk 1

Complexe Getallen

• Een complex getal heeft de vorm z = a + b j, waarbij a en b reële getallen zijn en j de imaginaire eenheid is. j² = -1
• a wordt het reële deel (Re(z)) genoemd en b wordt het imaginaire deel (Im(z)) genoemd.
• De verzameling van alle complexe getallen wordt aangegeven met C.
• Twee complexe getallen zijn gelijk als hun reële en imaginaire delen respectievelijk gelijk zijn.
• De som van twee complexe getallen wordt gevonden door hun reële en imaginaire delen afzonderlijk op te tellen.
• Het product van twee complexe getallen wordt gevonden door de distributieve eigenschap te gebruiken en te onthouden dat j² = -1.
• Het complex toegevoegde van z = a + b j is z = a - b j.
• Het product van een complex getal en zijn toegevoegde is altijd een reëel getal: (a + b j) · (a - b j) = a² + b².
• Een complex getal kan ook in poolcoördinaten worden geschreven in de vorm z = r(cos θ + j sin θ).
• r = √(a² + b²) wordt de modulus van z genoemd en wordt ook geschreven als |z|.

Complexe Getallen

• Een complex getal is van de vorm z = a + bj, waarbij a en b reële getallen zijn.
• j is de imaginaire eenheid, waarbij j² = -1.
• a is het reële deel van het complex getal, aangeduid als Re(z).
• b is het imaginaire deel van het complex getal, aangeduid als Im(z).
• De verzameling van alle complexe getallen wordt C genoemd.

Bewerkingen met Complexe Getallen

• Getallen zijn gelijk als Re(z₁) = Re(z₂) en Im(z₁) = Im(z₂).
• De som wordt berekend door de reële en imaginaire delen afzonderlijk op te tellen: (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j.
• Het product wordt berekend door de distributieve wet toe te passen: (a + bj) · (c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j.
• De complexe toegevoegde van z = a + bj is z = a - bj.
• Het product van een complex getal met zijn complexe toegevoegde resulteert in een reëel getal: (a + bj) · (a - bj) = a² + b².

Representatie van Complexe Getallen

• Cartesische Vorm:
  • Een complex getal z = a + bj kan worden voorgesteld in een cartesisch vlak met coördinaten (a, b).
• Goniometrische Vorm:
  • Als (r, ϑ) de poolcoördinaten zijn van het punt (a, b), dan is z = a + bj = r(cos ϑ + j sin ϑ).
  • r is de modulus van z, berekend als √(a² + b²) en genoteerd als |z|.
  • ϑ is het argument van z, de hoek tussen de voerstraal en de poolas, aangeduid als arg(z).

Exponentiële Vorm

• Formule van Euler: cos ϑ + j sin ϑ = e^(jϑ)
• Gebruik makend van deze formule, kan z worden uitgedrukt in exponentiële vorm: z = a + bj = r(cos ϑ + j sin ϑ) = r e^(jϑ).
• Uit e^(jπ) = cos π + j sin π = -1 volgt de belangrijke identiteit e^(jπ) + 1 = 0.
• cos ϑ kan geschreven worden als (e^(jϑ) + e^(-jϑ))/2 en sin ϑ als (e^(jϑ) - e^(-jϑ))/(2j).

Omzettingsformules

• De omzetting tussen cartesische en goniometrische / exponentiële vorm gebeurt met de volgende formules:
  • x = r cos θ
  • y = r sin θ
  • tg θ = y/x
  • r = √(x² + y²)
  • θ ∈ [0, 2π[ of ]-π, π[
• Het Gauss-vlak is het vlak waarin complexe getallen worden voorgesteld.

Eigenschappen van de Modulus

• |z₁| = |z₁|
• z z = |z|²
• |z₁z₂| = |z₁| |z₂|
• |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

Bewerkingen in C

• Optellen en aftrekken zijn het eenvoudigst in cartesische vorm.
• Vermenigvuldigen en delen zijn het eenvoudigst in goniometrische of exponentiële vorm.
• Als z₁ = r e^(jθ) en z₂ = s e^(jϕ), dan is:
  • z₁z₂ = r e^(jθ) · s e^(jϕ) = rs e^(j(θ+ϕ))
  • z₁/z₂ = (r e^(jθ)) / (s e^(jϕ)) = (r/s) e^(j(θ-ϕ))

Harmonische Trillingen

• Trillingen kunnen worden beschreven met vergelijkingen van de vorm y = A sin(ωt + φ) of y = A cos(ωt + φ).
• Deze vergelijkingen kunnen worden uitgedrukt met complexe getallen:
  • y = A sin(ωt + φ) = Im(A e^(j(ωt+φ)))
  • y = A cos(ωt + φ) = Re(A e^(j(ωt+φ)))
• Samenstellende trillingen kunnen worden berekend met behulp van de rekenregels van complexe getallen.

Coördinatentransformaties / Rotatie

• Transformaties in een vlak kunnen worden beschreven met matrices:

       x = x' cos φ - y' sin φ
       y = x' sin φ + y' cos φ
  

  •  x' = x cos φ + y sin φ
     y' = -x sin φ + y cos φ
    

Machtsverheffing

• De nde macht van z = r e^(jϑ) is:
  • z^n = (r e^(jϑ))^n = r^n e^(jnϑ) = r^n (cos nϑ + j sin nϑ), waarbij n ∈ Z.
• De formule van de Moivre is een speciaal geval met r = 1:
  • (cos ϑ + j sin ϑ)^n = cos nϑ + j sin nϑ

nde Machtswortels

• Een complex getal w = ρ e^(jφ) is een nde machtswortel van z = r e^(jϑ) als:
  • (ρ e^(jφ))^n = r e^(jϑ)
  • ρ^n = r, wat leidt tot ρ = √(n)r
  • nφ = ϑ + 2kπ, wat leidt tot φ = (1/n)(ϑ + 2kπ)
• Een complex getal heeft n verschillende nde machtswortels:
  • w_k = √(n)r e^(j(ϑ + 2kπ)/n) = √(n)r (cos ((ϑ + 2kπ)/n) + j sin ((ϑ + 2kπ)/n)) waarbij k ∈ {0, 1, ..., n-1}.
• In het Gauss-vlak vormen de beeldpunten van de nde machtswortels een regelmatige n-hoek, ingeschreven in een cirkel met straal √(n)r.