Skript zur Vorlesung PDF: Einführung in die Finite-Elemente-Methode

Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen Univ.-Prof. Dr.-Ing. Tim Ricken Einführung in die Finite-Elemente-Methode Skript zur Vorlesung Tim Ricken, Maximilian Brodbeck 14. Oktober 2023 Inhaltsverzeichnis Symbole und Abkürzungen 4 Abkürzungen................................... 4 Griechische Symbole............................... 4 Lateinische Symbole............................... 5 1 Einführung Tensorrechnung 7 1.1 Indexnotation und Summenkonvention.................. 7 1.2 Vektoren................................... 8 1.2.1 Basisdarstellung von Vektoren................... 8 1.2.2 Inneres Produkt und Norm eines Vektors............. 9 1.2.3 Kreuz- und Spatprodukt...................... 10 1.3 Tensoren................................... 11 1.3.1 Tensoren zweiter Stufe....................... 11 1.3.2 Tensoren höherer Stufe....................... 14 1.4 Tensoranalysis in kartesischen Koordinaten................ 15 1.4.1 Ableitung nach dem Ortsvektor.................. 16 1.4.2 Ableitung nach Tensoren der Stufe 2............... 17 1.4.3 Richtungsableitung und Linearisierung.............. 18 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik 19 2.1 Kontinua, materieller Punkt und Körper................. 19 2.2 Kinematik.................................. 20 2.2.1 Bezugssysteme........................... 21 2.2.2 Deformationsgradient und Gebietstransformation........ 21 2.2.3 Deformations- und Verzerrungstensoren.............. 24 2.3 Spannungstensoren............................. 27 2.4 Bilanzgleichungen.............................. 28 2.4.1 Transporttheoreme......................... 29 2.4.2 Erhaltung der Masse........................ 30 2.4.3 Erhaltung des Impulses....................... 31 2.4.4 Das Anfangsrandwertproblem der Mechanik........... 33 2.5 Konstitutivtheorie.............................. 34 2.5.1 Hyperelastische Materialien.................... 35 2.5.2 Lineare Elastizität......................... 38 Inhaltsverzeichnis EFEM 3 Grundlagen der Finite-Elemente-Methode 41 3.1 Vektorräume................................. 41 3.1.1 Innere Produkte und Normen................... 42 3.2 Die Poisson-Gleichung........................... 42 3.2.1 Vektor-Matrix-Form des schwachen Problems.......... 45 3.2.2 Das Galerkin-Verfahren....................... 46 3.3 Ansatzräume der Finite-Elemente-Methode................ 48 3.3.1 Lagrange’sche Ansatzfunktionen.................. 50 3.3.2 Das isoparametrische Konzept................... 55 3.4 Quadratur.................................. 57 3.4.1 Quadratur und isoparametrisches Konzept............ 58 4 Finite-Elemente-Methode für die lineare Elastizität 62 4.1 Beschreibende Gleichungen und schwache Form............. 62 4.2 Energieprinzip für elastische Probleme.................. 64 4.2.1 Funktionale und ihre Variation.................. 65 4.2.2 Energie und Gleichgewicht eines mechanische Systems...... 65 4.3 Diskretisierung............................... 66 4.3.1 Approximation von Feldgrößen und Gradienten......... 67 4.3.2 Lokale Tangenten.......................... 69 4.3.3 Assemblierung des linearen Gleichungssystems.......... 71 4.3.4 Dirichlet-Randbedingungen.................... 74 4.4 Ablauf einer linearen FEM-Berechnung.................. 74 Literatur 76 14. Oktober 2023 3 Symbole und Abkürzungen Abkürzungen ARWP Anfangsrandwertproblem DGL Differentialgleichung FEM Finite-Elemente-Methode PDGL partielle Differentialgleichung Griechische Symbole Symbol Einheit Beschreibung α – Wichtfaktor Quadraturregel ε – linearisierter Green-Lagrange-Verzerrungstensor σ N m−2 linearisierte Piola-Kirchhoff Spannung θ K Temperatur λ N m−2 erster Lamé-Parameter η – isoparametrische Koordinaten µ N m−2 zweiter Lamé-Parameter Π J potentielle Energie ρ kg m−3 Dichte ρ0 kg m−3 Dichte in Referenzkonfiguration φ(X, t) – Bewegungsfunktion φX (t) – Bahnkurve ϕ – Ansatzfunktion χ−1 – Inverse der Konfiguration Lateinische Symbole EFEM Symbol Einheit Beschreibung χ – Konfiguration Ψ J freie Helmholtzenergie Ω0 – Referenzkonfiguration ∂Ω0 – Oberfläche Referenzkonfiguration ∂Ω0,D – Dirichlet-Rand Referenzkonfiguration ∂Ω0,vN – Neumann-Rand Referenzkonfiguration Ωt – Momentankonfiguration ∂Ωt – Oberfläche Momentankonfiguration ∂Ωt,D – Dirichlet-Rand Momentankonfiguration ∂Ωt,vN – Neumann-Rand Momentankonfiguration Lateinische Symbole Symbol Einheit Beschreibung b – linker Cauchy-Green Tensor C – rechter Cauchy-Green Tensor C N m−2 Materialtensor E – Green-Lagrange Verzerrungstensor Eint J innere Energie e – Almansi Verzerrungstensor F – Deformationsgradient I – Einheitstensor zweiter Stufe I – Einheitstensor vierter Stufe J – Jacobi-Matrix J – Determinate des Deformationsgradienten K N m−1 Steifigkeitsmatrix Ke N m−1 Elementsteifigkeitsmatrix L N Lastvektor Le N Elementlastvektor N – Flächennormale Referenzkonfiguration Ne – Interpolationsmatrix n – Flächennormale Momentankonfiguration P N m−2 erster Piola-Kirchhoff Spannungstensor 14. Oktober 2023 5 Lateinische Symbole EFEM Symbol Einheit Beschreibung P – materieller Punkt R – Rotationstensor S N m−2 zweiter Piola-Kirchhoff Spannungstensor s J K−1 volumenspezifische Entropie T N m−2 Cauchy Spannungstensor t N m−2 Spannungsvektor (Momentankonfiguration) t s Zeit U – rechter Strecktensor Uh,e m Element-Freiwertvektor u m Verschiebung V – linker Strecktensor Vh,e – Element-Testvektor v m s−1 Geschwindigkeit V3 – Euklidischer Vektorraum X m materielle Koordinate x m Raumpunkt 14. Oktober 2023 6 1 Einführung Tensorrechnung Vektor- und Tensorrechnung bilden eine wichtige Grundlage zur Formalisierung der Kontimuumsmechanik sowie der Finite-Elemente-Methode (FEM). Vektoren bzw. Ten- soren sind Konstrukte reeler Zahlen, welche gewisse Eigenschaften erfüllen. Da sowohl für Vektoren als auch für Tensoren die Verknüpfung mit einem Koordinatensystem grundlegend ist, werden alle folgenden Darstellungen auf den dreidimensionalen Raum der physikalischen Anschauung, also auf den Euklidischen Vektorraum V 3 , bezogen. Das vorliegende Kapitel basiert teilweise auf den Darstellungen nach Ehlers. Zur weiteren Vertiefung kann z.B. Schade und Neemann herangezogen werden. 1.1 Indexnotation und Summenkonvention Bevor mit der eigentlichen Definition von Tensoren begonnen wird, muss deren Darstel- lung definiert werden. Hierbei haben sich Indexnotation sowie Einsteinsche Summen- konvention durchgesetzt. Den formalen Einführungen des Vektor- bzw. Tensorbegriffes vorgreifend, seien u, v ∈ V 3 Vektoren, sowie A ∈ V 3 ⊗ V 3 ein Tensor zweiter Stufe. A wird umgangssprachlich oft auch als Matrix bezeichnet. Seien i, j ∈ [1, 2, 3] zwei Indizes, so bezeichnen ui bzw. Aij die Koordinaten des Vektors bzw. des Tensors. So steht ui exemplarisch für u1 , u2 und u3 , während Aij alle neun Unabhängigen eines Tensors A11 , A12 , A13 ,..., A33 repräsentiert. Taucht ein Index doppelt auf, spricht man von einem sogenannten stummen Index, über den summiert wird. Dies wird auch als Einsteinsche Summenkonvention bezeichnet. So ließe sich z.B. das Skalarprodukt zweier Vektoren u · v gemäß 3 X ui vi = ui vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 j ausdrücken, oder das Produkt eines Vektors mit einer Matrix A · u gemäß   3 X A11 u1 + A12 u2 + A13 u3 Aij uj = Aij vj = A21 u1 + A22 u2 + A23 u3 .   j A31 u1 + A32 u2 + A33 u3 1 Einführung Tensorrechnung EFEM 1.2 Vektoren Bezugnehmend auf den euklidischen Vektorraum V 3 ist ein Vektor die räumliche Verbin- dung zweier Punkte. Seien im Folgenden u, w, q ∈ V 3 sowie α, β ∈ R, so gelten folgende Eigenschaften bezüglich Addition bzw. Multiplikation mit einem Skalar. Definition 1.1 1) Geschlossenheit des Raums bei Multiplikation mit Skalar: α u ∈ V 3 2) Geschlossenheit des Raums bei Addition zweier Elemente: u + w ∈ V 3 3) Kommutativität: u + w = w + u 4) Additive Assoziativität: (u + w) + q = u + (w + q) 5) Multiplikative Assoziativität: α (β u) = (αβ) u 6) Distributivität skalarer Summen: (α + β) u = α u + β u 7) Distributivität vektorieller Summen: α (u + w) = α u + α w 8) Identisches Element (Addition): ∃ 0 ∈ V 3 : u + 0 = u 9) Identisches Element (Multiplikation): 1 u = u Folglich sind Vektorräume lediglich über ihre Eigenschaften bezüglich Addition und Multiplikation mit Skalaren definiert. Produkte zwischen Vektoren – so relevant diese in der Anwendung sind – sind keine definierenden Eigenschaft eines Vektorraums. Dennoch sollen auch diese definiert werden. 1.2.1 Basisdarstellung von Vektoren Basierend auf der Geschlossenheit eines Vektorraums unter Addition und Multiplikation mit einem Skalar lassen sich sogenannte Basen eines Vektorraums definieren. Wie bereits bekannt sein dürfte, lässt sich ein n-dimensionaler Vektorraum aus n linear unabhängigen Vektoren vi aufspannen ∀x ∈ V 3 , ∃xi ∈ R : x = X xi v i. (1.1) i Es existiert also ein minimaler Satz von (Basis-) Vektoren vi , sodass sich ein beliebiger Vektor x ∈ V 3 als Linearkombination darstellen lässt. xi bezeichnet dabei die sogenann- ten Koordinaten eines Vektors. Basierend auf diesen Koordinaten lässt sich nun die Indexnotion anwenden x = xi v i = xi. (1.2) 14. Oktober 2023 8 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Die erste Umformung von Gl. (1.2) ist hier nur der Vollständigkeit halber angegeben. Basisvektoren werden i.A. nicht ausgeschrieben, da gemäß der Einsteinsche Summenkon- vention über doppelte Indizes summiert wird wohingegen einfache Indizes basisbehaftet sind. 1.2.2 Inneres Produkt und Norm eines Vektors Seien u, w ∈ V 3 zwei Vektoren, so definiert man das innere Produkt, auch Skalarprodukt genannt, als Abbildung der beiden Vektoren auf einen einzelnen skalaren Wert: ⟨u, v⟩ = u · w = ui vi · wj vj = ui wj vi · vj = ui wj gij. (1.3) Besondere Bedeutung kommt dabei dem sogenannten Metrik-Tensor gij zu, der Lage und Länge der Basisvektoren zueinander berücksichtigt. Eine allgemeine Darstellung einer ortonormalen- bzw. einer allgemeinen Basis findet sich in Abbildung 1.1. Im Fall einer orthonormalen Basis vi = ei lässt sich die Metrik durch das sogenannte Kronecker-Delta  1, i = j δij =  (1.4) 0, i ̸= j ersetzen. Mittels des Kronecker-Deltas können Basen überschoben werden. Für gij = δij lässt Gl. (1.3) umstellen: ⟨u, v⟩ = ui wj δij = ui wi (1.5) Ob nun in allgemeiner oder orthonormaler Basis gelten für das innere Produkt die e3 g3 e2 g2 (a) (b) e1 g1 Abbildung 1.1: Basissysteme aus (a) drei orthonormalen Vektoren und (b) drei gene- rellen Vektoren. nachfolgenden Eigenschaften. u, w, q ∈ V 3 seien dabei drei beliebige Vektoren, α, β ∈ R zwei beliebige, reelle Zahlen. 14. Oktober 2023 9 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Definition 1.2 1) Kommutativität: ⟨u, w⟩ = ⟨w, u⟩ 2) Distributivität: ⟨u, w + q⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨u, q⟩ 3) Bilinearität: ⟨α; u + β; w, q⟩ = α ⟨u, q⟩ + β ⟨w, w⟩ 4) Positivität: ⟨u, u⟩ ≥ 0 und ⟨u, u⟩ = 0 iff u = 0 Abschließend soll in diesem Kapitel noch die Norm eines Vektors oder auch seine Länge im Raum definiert werden. Sei u ∈ V 3 , so gilt |u| ≥ 0 wobei die Norm die Quadratwurzel des inneren Produkts des Vektors mit sich selbst ist: q |u| = ⟨u, u⟩ (1.6) 1.2.3 Kreuz- und Spatprodukt Das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, bildet zwei Vektoren auf einen Vektor ab, der orthogonal auf den beiden anderen steht. Seien u, w, q ∈ V 3 , gilt q = u × w mit q ⊥ u, w. (1.7) Um das Kreuzprodukt in Indexnotation auszudrücken, wird das sogenannte Levi-Civita- Symbol definiert:  1 ijk geht aus 2n Permutationen von 1, 2, 3 hervor   εijk = −1 ijk geht aus 2n + 1 Permutationen von 1, 2, 3 hervor (1.8)    0 ijk ist keine Permutationen von 1, 2, 3 hervor Damit folgt für das Kreuzprodukt Gl. (1.7) q = −u · ε · w ↔ qi = εijk uj wk. (1.9) Berechnet man die Norm des orthogonalen Vektors q, ergibt sich die Fläche des Paralle- logramms, welches die Vektoren u und w aufspannen. Definiert man einen zusätzlichen Vektor p ∈ V 3 ,lässt sich – basierend auf dem Kreuzprodukt – das Volumen V des Spats, welchen diese drei Vektoren aufspannen, berechnen: V = ⟨u × w, p⟩ (1.10) 14. Oktober 2023 10 1 Einführung Tensorrechnung EFEM 1.3 Tensoren 1.3.1 Tensoren zweiter Stufe Tensoren zweiter Stufe sind über die lineare Abbildung eines Vektors u ∈ V 3 auf einen zweiten Vektor w ∈ V 3 definiert w=A·u. (1.11) Der Tensor A wird dabei in einem sog. dyadischen Produktraum V 3 ⊗ V 3 definiert A = Aij vi ⊗ vj , (1.12) wobei v einen beliebigen Satz linear unabhängiger Basisfunktionen darstellt. Das dya- dische Produkt zweier Vektoren (hier exemplarisch a und b) ergibt – anders als das innere Produkt, welches die Dimension zweier Tensoren reduziert – einen Tensor höherer Stufe:   a1 b 1 a1 b 2 a1 b 3 a ⊗ b = ai bj = a2 b1 a2 b2 a2 b3 . (1.13)   a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3 Betrachtet man nun nochmals die Definition des zweistufigen Tensors (Gl. (1.11)), so muss hierfür das Produkt aus Tensor und Vektor näher betrachtet werden. Unter Annahme eines orthonormalen Basensystems ei gilt wi ei = Aij (ei ⊗ ej ) · uk ek = Aij uk δjk ei = Aij uj ei. (1.14) Ähnlich wie für Vektorräume lassen sich grundlegende Eigenschaften für die Multiplika- tion eines Tensors zweiter Stufe mit einem Skalar bzw. einem Vektor ableiten. Diese werden an dieser Stelle nicht angegeben. Der interessierte Leser sei an dieser Stelle auf die Darstellung in Ehlers verwiesen. Der Einheitstensor zweite Stufe Der Einheitstensor I ∈ V 3 ⊗ V 3 stellt das sogenannte identische Element der linearen Abbildung zwischen zwei Vektoren (Tensoren erster Stufe) dar. Sei u ∈ V 3 gilt I·u=u. (1.15) Basierend auf dem bereits bekannten Kronecker-Delta gilt für den Einheitstensor I = δij ei ⊗ ej. (1.16) 14. Oktober 2023 11 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Skalarprodukt zweier Tensoren Bisher wurden Tensoren zweiter Stufe über die lineare Abbildung eines Vektors auf einen anderen Vektor definiert. Wenn auch dabei schon die Überschiebung einer Basis stattfindet, lassen sich in ähnlicher Weise auch die Abbildung zweier Tensoren zweiter Stufe auf ein Skalar definieren. Der Einfachheit halber beschränkt sich die nachfolgende Darstellung wieder auf Tensoren mit orthonormaler Basis. Seien A, B ∈ V 3 ⊗ V 3 sowie α ∈ R, gilt α = ⟨A, B⟩ = Aij (ei ⊗ ej ) · Bkm (ek ⊗ em ) = Aij Bkm δik δjm = Aij Bij. (1.17) In der Literatur wird diese Skalarprodukt auch häufig als Frobenius-Skalarprodukt bezeichnet, wobei die Notation von der hier angegebenen abweichen kann. Für das Skalarprodukt können – wie schon im vektoriellen Fall (vergl. Abschnitt 1.2.2) – Kom- mutativität, Distributivität, Bilinearität sowie Positivität gezeigt werden. Produkte zweier Tensoren Bisher wurden Tensorprodukte eingeführt, welche entweder die Ordnung eines Tensors reduzieren (innere Produkte) oder erhöhen (dyadische Produkte). Für Tensoren der zweiten Stufe lassen sich zudem dimensionserhaltende Produkte definieren. Seien A, B ∈ V 3 ⊗ V 3 , gilt für deren Produkt A B = Aij (ei ⊗ ej ) Bkm (ek ⊗ em ) = Aij Bkm δjk (ei ⊗ em ) = Aij Bjm. (1.18) Transponierte Tensoren Die Transponierte AT eines Tensors A ∈ V 3 ⊗ V 3 – also ein Tensor, bei dem Zeilen und Spalten vertauscht sind – ist allgemein über folgende Abbildung zwischen zwei Vektoren u, w ∈ V 3 definiert: w · (A · u) = (AT · w) · u (1.19) In Indexnotation ergeben sich für A bzw. AT A = Aij (ei ⊗ ej ) ↔ AT = Aji (ei ⊗ ej ). (1.20) Für Summen bzw. Produkte zweier Tensoren A, B ∈ V 3 ⊗ V 3 gilt unter Transposition (A + B)T = AT + BT bzw. (A B)T = BT AT. (1.21) 14. Oktober 2023 12 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Symmetrie bei Tensoren zweiter Stufe Basierend auf der Transposition eines Tensors zweiter Stufe A ∈ V 3 ⊗ V 3 , heißt dieser Tensor symmetrisch, wenn AT = A (1.22) gilt. Ein Tensor heißt dagegen schiefsymmetrisch, sofern AT = −A (1.23) gilt. Sei ein Tensor B ∈ V 3 ⊗ V 3 nun weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch, lässt er sich additiv in einen symmetrischen- sowie schiefsymetrischen Anteil aufspalten. Erster wird dabei auch als sym (B), zweiterer als skw (B) bezeichnet. Die Anteile ergeben sich dabei gemäß nachfolgenden Definitionen: 1 1 sym (B) = B + BT bzw. skw (B) = B − BT. (1.24) 2 2 Inverse eines Tensors Existiert die Inverse A−1 eines Tensors A ∈ V 3 ⊗ V 3 , so ist eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektoren u, w ∈ V 3 umkehrbar: w=A·u ↔ u = A−1 · w (1.25) Die Inverse eines Tensors existiert, wenn seine Determinante det(A) = εij...n A1i A2j...AN n (1.26) ungleich null ist. Grundlegend gilt für das Produkt eines Tensors mit seiner Inversen A A−1 = I. (1.27) Weiter gilt, dass Inversion und Transposition eines Tensors vertauschbar sind −1 T AT = A−1 , (1.28) bzw. für die Inverse eines Tensorprodukts (A B)−1 = B−1 A−1. (1.29) 14. Oktober 2023 13 1 Einführung Tensorrechnung EFEM 1.3.2 Tensoren höherer Stufe Tensoren höherer Ordnung lassen sich wie schon Tensoren zweiter Stufe über lineare Abbildungen einführen, wobei ein Tensor n-ter Stufe A einen Tensor s-ter Stufe B auf einen dritten Tensor der Stufe n-s C abbildet: AB=C. (1.30) Auf eine formalere Definition soll an dieser Stelle verzichtet werden, es soll vielmehr ein Beispiel aus der linearen Elastizität gegeben werden. Aus der Technischen Mechanik sollten bereits der Spannungstensor σ ∈ V 3 ⊗ V 3 sowie der Dehnungstesnor ε ∈ V 3 ⊗ V 3 bekannt sein. Wie später in Kapitel 2.5 gezeigt wird, lässt sich der sogenannte Materialtensor C ∈ V 3 ⊗ V 3 ⊗ V 3 ⊗ V 3 definieren, welcher die Dehnung auf die Spannung abbildet: σ=C·ε (1.31) In Indexnotation – Gl. (1.31) erfordert einen geeignete Überschiebung von Basisvektoren – ergibt sich unter Annahme eines orthonormalen Koordinatensystems C · ε = Cijkm (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) · εop (eo ⊗ ep ) = Cijkm εop δko δmp (ei ⊗ ej ) (1.32) = Cijkm εkm. Bei der Multiplikation zweier Tensoren verschiedener Stufe werden Basen immer von außen nach innen überschoben. Fundamentaltensoren vierter Stufe Basierend auf dem Einheitstensor zweiter Stufe lassen sich mittels des dyadischen Produkts drei unabhängige Tensoren vierter Stufe konstruieren. Der grundlegende Tensor ergibt sich als dyadisches Produkt zweier Einheitstensoren zweiter Stufe: I ⊗ I = δij δkm (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) (1.33) Sei A ∈ V 3 ⊗ V 3 ein Tensor zweiter Stufe, wird dieser damit auf ein Vielfaches des Einheitstensors zweiter Stufe abgebildet: (I ⊗ I) · A = tr (A) I (1.34) Ausgedrückt in Indexnotation gilt (I ⊗ I) · A = δij δkm (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) · Aop (eo ⊗ ep ) = δij δkm Aop δko δmp (ei ⊗ ej ) (1.35) = δij δop Aop (ei ⊗ ej ) = Aoo δij. 14. Oktober 2023 14 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Durch Transposition von I ⊗ I ergeben sich zwei weitere Abbildungen, welche von Relevanz sind. Bezeichnet man op ( ) T (1.36) als Transposition, wobei die o-te und p-te Basis vertauscht werden, gilt 23 24 (I ⊗ I) T · A = I · A = A und (I ⊗ I) T · A = AT. (1.37) In Indexnotation gilt für die beiden Transponierten des dyadischen Produkts Gl. (1.33): I · A = δik δjm (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) · Aop (eo ⊗ ep ) = δik δjm Aop δko δmp (ei ⊗ ej ) (1.38) = δio δjp Aop (ei ⊗ ej ) = Aij 24 (I ⊗ I) T · A = δim δkj (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) · Aop (eo ⊗ ep ) = δim δkj Aop δko δmp (ei ⊗ ej ) (1.39) = δip δoj Aop (ei ⊗ ej ) = Aji 23 An dieser Stelle ist offensichtlich, warum (I ⊗ I) T auch als Einheitstensor vierter Stufe I bezeichnet wird. Dieser Tensor bildet einen Tensor zweiter Stufe auf sich selbst ab. Skalarprodukt zweier Tensoren Wie schon für Tensoren zweiter Stufe, existiert auch für Tensoren n-ter Stufe eine Abbildung zweier Tensoren auf ein Skalar. Seien im folgenden A, B ∈ V 3 ⊗... ⊗ V 3 , sowie α ∈ R, gilt α = A · B = Ai...n Bi...n. (1.40) 1.4 Tensoranalysis in kartesischen Koordinaten Wie auch für Funktionen in Abhängigkeit skalarwertiger Variablen, lassen sich Funk- tionen in Abhängigkeit von Tensoren n-ter Stufe definieren und ableiten. Sind die Veränderlichen einer Funktion nicht skalar, so erhöht sich bei Ableitung die tensorielle Stufe des Ergebnisses. 14. Oktober 2023 15 1 Einführung Tensorrechnung EFEM 1.4.1 Ableitung nach dem Ortsvektor Sei ϕ(x) eine skalarwertige-, u(x) eine vektorwertige- und A(x) einen tensorwertige Funktion (zweiten Grades) des Raumes. Man bezeichnet die Raumableitung ∂( ) grad( ) = ∇x (( )) = (1.41) ∂x als Gradienten einer Funktion. Dieser Gradient beschreibt die Änderung einer Funktion bzw. einer Koordinate (bei vektor- bzw. tensorwertigen Funktionen) in Richtung der Ortsvektoren ei. Wie bereits erwähnt hat der Gradient einer Tensorfunktion n-ter Stufe die Stufe n + 1. In Indexnotation ergeben sich die Ableitungen der drei eingeführten Funktionen zu: ∂ϕ grad(ϕ) = ∇x (ϕ) = ei = ϕ,i ei (1.42) ∂xi ∂ui grad(u) = ∇x (u) = (ei ⊗ ej ) = ui,j (ei ⊗ ej ) (1.43) ∂xj ∂Aij grad(A) = ∇x (A) = (ei ⊗ ej ⊗ ek ) = Aij,k (ei ⊗ ej ⊗ ek ) (1.44) ∂xk Aus dem Gradienten einer Funktion lässt sich durch Kontraktion mit dem Einheitstensor zweiter Stufe die Divergenz bilden: div( ) = ∇x · (( )) = ∇x (( )) · I (1.45) Dabei wird die tensorielle Ordnung um 1 reduziert. Die Divergenz ist lediglich für Tensoren mit n ≥ 1 definiert. Bildet man die Divergenz einer vektor- bzw. tensorwertigen Funktion, ergeben sich folgende Ausdrücke: ∇x · (u) = ∇x (u) · I ∂ui = (ei ⊗ ej ) · δkm (ek ⊗ em ) ∂xj (1.46) = ui,j δkm δik δjm = ui,j δij = ui,i ∇x · (A) = ∇x (A) · I ∂Aij = (ei ⊗ ej ⊗ ek ) · δmo (em ⊗ eo ) ∂xk (1.47) = Aij,k δmo δjm δko = Aij,k δjk = Aij,j 14. Oktober 2023 16 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Basierend auf diesen beiden grundlegenden Operationen lässt sich zusätzlich der so- genannte Laplace-Operator ∆x ( ) definieren. Dabei werden Gradient und Divergenz hintereinander ausgeführt: ∆x ( ) = div (grad( )) = ∇x · (∇x ( )) (1.48) Für skalar-, vektor- bzw. tensorwertige Funktionen gilt folglich: ∆x (ϕ) = ∇x (∇x (ϕ)) · I ∂ 2ϕ = (ei ⊗ ej ) · δkm (ek ⊗ em ) ∂xi ∂xj (1.49) = ϕ,ij δkm δik δjm = ϕ,ij δij = ϕ,ii ∆x (u) = ∇x (∇x (u)) · I ∂ 2 ui = (ei ⊗ ej ⊗ ek ) · δmo (em ⊗ eo ) ∂xj ∂xk (1.50) = ui,jk δmo δjm δko ei = ui,jk δjk ei = ui,jj ei ∆x (A) = ∇x (∇x (A)) · I ∂ 2 Aij = (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) · δop (eo ⊗ ep ) (ei ⊗ ej ) ∂xk ∂xm (1.51) = Aij,km δop δko δmp (ei ⊗ ej ) = Aij,km δkm (ei ⊗ ej ) = Aij,kk (ei ⊗ ej ) 1.4.2 Ableitung nach Tensoren der Stufe 2 Neben den bereits diskutierten Ortsableitungen sind auch Ableitungen nach tensoriellen Variablen möglich. Im Bereich der Kontinnuumsmechanik bzw. der FEM spielen dabei vor allem Ableitungen bezüglich Tensoren zweiter Ordnung eine Rolle. Seien ϕ(A) eine skalarwertige, u(A) eine vektorwertige und B(A) eine tensorwertige Funktion eines Tensors zweiter Stufe, gelten für die Ableitungen: ∂ϕ ∂ϕ = (ei ⊗ ej ) (1.52) ∂A ∂Aij ∂u ∂ui = (ei ⊗ ej ⊗ ek ) (1.53) ∂A ∂Ajk ∂B ∂Bij = (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ). (1.54) ∂A ∂Akm 14. Oktober 2023 17 1 Einführung Tensorrechnung EFEM Um tensorielle Ausdrücke abzuleiten, übersetzt man die Funktion in Indexnotation und leitet dann, unter Beachtung der üblichen Regeln, ab. Neu ist an dieser Stelle die Ableitung eines Tensors nach sich selbst: ∂A ∂Aij = (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) ∂A ∂Akm (1.55) = δik δjm (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ em ) =I Basierend auf dieser Definition lassen sich nun die meisten tensorwertigen Funktionen ableiten. Um realistische Tensorfunktionen, wie sie z.B. in der Kontinuumsmechanik auftreten, ableiten zu können, sind verschiedene Standardableitungen von Nutzen. Eine Übersicht findet sich z.B. in Ehlers. 1.4.3 Richtungsableitung und Linearisierung Im Verlauf späterer Kapitel wird es erforderlich sein, tensorielle Funktionen zu linea- risieren. Sei folglich ϕ(X) eine Funktion in Abhängigkeit entweder eines Vektors oder eines Tensors, so gilt für deren Linearisierung bezüglich eines Punktes X0 LIN [ϕ(X)] = ϕ(X0 ) + DX [ϕ(X)]. (1.56) Der zweite Term in Gl. (1.56), die Gâteaux- oder Richtungsableitung d DX [ϕ(X)] = [ϕ(X + ϵ ∆X)] , (1.57) dϵ ϵ=0 definiert die Ableitung in eine Richtung ∆X. Sei X ein Tensor erster Stufe, gilt ∂ϕ(Xi ) DX [ϕ(X)] = ∆Xj , (1.58) ∂Xj ist X dagegen ein Tensor zweiter Stufe, gilt ∂ϕ(Xij ) DX [ϕ(X)] = ∆Xkm. (1.59) ∂Xkm 14. Oktober 2023 18 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik Ziel der Kontinuumsmechanik ist es, die Physik eines Mediums zu beschreiben. Während Kinematik und Bilanzgleichungen unabhängig vom betrachteten Medium sind, sind Materialmodellierung, auch Konstitutivtheorie genannt, auf ein bestimmtes Medium beschränkt. Wie schon im vorangegangenen Kapitel handelt es sich hier nur um eine kurze Einführung in ein breites Themenfeld. Umfänglichere Darstellungen finden sich z.B. in Altenbach , Holzapfel oder Parisch. 2.1 Kontinua, materieller Punkt und Körper Betrachtet man einen Körper im Rahmen der Kontinuumsmechanik, so gelten folgende Annahmen (vergleiche Parisch ): 1) Jeder Teilkörper weist das gleiche Materialverhalten auf, wie es an einer makrosko- pischen Probe gemessen wird. 2) Physikalischen Größen (Feldgrößen) sind Funktionen von Ort und Zeit und sind beliebig oft differenzierbar. Kommt man an dieser Stelle auf die Definition eines Körpers Ω zurück, so ist ein Körper eine kompakte Menge von Punkten im Euklidschen Raum V 3. Das Gebiet, welches ein Körper abdeckt, sei zusammenhängend und beschränkt. Jeder Punkt des Raumes, auch als Raumpunkt bezeichnet, wird zum materiellen Punkt, wenn diesem materielle Eigenschaften zuordnet werden. In jedem materiellen Punkt sind alle Feldgrößen eines Problems definiert. Betrachtete man exemplarisch ein mechanisches Problem, so liegen dort Verschiebung, Dehnung, Spannung und der sogenannte Materialtensor vor. Für die Beschreibung eines Körpers sind nun noch zwei Eigenschaften relevant, Ho- mogenität und Isotropie. Man bezeichnet einen Körper als homogen, wenn dessen Eigenschaften ortsunabhängig sind, also alle materiellen Punkte unter identischen Bedin- gungen gleiche Eigenschaften besitzen. Isotropie bezeichnet die Richtungsunabhängigkeit der Eigenschaften. Sowohl die Annahme des Kontinuums als auch der Homogenität und Isotropie sind generell auf der Mikroebene eines Werkstoffs nicht gegeben. 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Es zeigt sich dennoch, dass trotz dieser Annahmen das makroskopische Verhalten eines Körpers hinreichend genau beschrieben werden kann. 2.2 Kinematik Für die Definition der Kinematik eines Körpers muss zwischen materiellen Punkten P und räumlichen Punkten x unterschieden werden. Diese Unterscheidung ist insofern relevant, als nicht jedem räumlichen Punkt zu jedem Zeitpunkt ein materieller Punkt zugeordnet ist. Sei nun B ein Körper, so lässt sich allen materiellen Punkten P ∈ B zu jedem Zeitpunkt t ein Raumpunkt x zuweisen. Die Abbildung n χ(P, t) : B → Ωt ⊂ V 3 : P 7→ x (2.1) wird auch Konfiguration genannt. Definiert man einen initialen Zeitpunkt t0 , zu dem der Körper undeformiert und spannungsfrei ist, nennt man diese Menge Referenz- konfiguration Ω0 , eine beliebige Lage des Körpers zu einem späteren Zeitpunkt t > t0 Momentankonfiguration Ωt. Die Ursprungspositionen der materiellen Punkte im Raum X werden als materielle Koordinaten bezeichnet. Eine grafische Darstellung der Kinematik ist in Abbildung 2.1 gegeben. B P χ(P, t0 ) χ(P, t) Ωt φ(X, t) Ω0 x X φX (t) Abbildung 2.1: Kinematik eines Körpers B ausgedrückt über die Konfiguration χ(P, t). Basierend auf der Konfiguration eines Körpers lassen sich nun die sogenannte Bewe- gungsfunktion sowie die Bahnkurve eines materiellen Punktes bestimmen. 14. Oktober 2023 20 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Sei χ−1 (P, t) die Umkehrfunktion der Konfiguration, erhält man die Bewegungsfunktion – also die Abbildung der materiellen Koordinaten X auf die räumlichen Koordinaten x eines materiellen Punktes P – durch folgende Verkettung: φ(X, t) : Ω0 → Ωt : X 7→ x = χ χ−1 (X, t0 ), t (2.2) Wertet man diese Funktion für einen einzelnen materiellen Punkt aus, ergibt sich dessen Bahnkurve φX (t) in Abhängigkeit der Zeit. 2.2.1 Bezugssysteme Abhängig vom Bezugssystem lassen sich zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen motivieren. Diese werden allgemein als Eulersche bzw. Lagrangesche Betrachtungsweise bezeichnet. Lagrangesche Betrachtung Seien Φ die Eigenschaften (z.B. Materialparameter, Verschiebung, Spannung...), welche einem materiellen Punkt zugeordnet werden können. Im Fall der Lagrange’schen Betrach- tungsweise werden diese in Abhängigkeit der materiellen Koordinaten X betrachtet: Φ = f (X, t) Folglich wird die zeitliche Evolution eines markierten materiellen Punktes betrachtet. Eulersche Betrachtung Im Unterschied dazu ist die Euler’sche Betrachtung motiviert. Hierbei werden die Eigenschaften Φ an einem festen, räumlichen Punkt x betrachtet: Φ = f (x, t) Bedingt dadurch ändert sich der Bezugspunkt der Betrachtung nicht, wohl aber der eigentliche materielle Punkt, der zu einem bestimmten Zeitpunkt beobachtet wird. 2.2.2 Deformationsgradient und Gebietstransformation Basierend auf den Darstellungen in Abschnitt 2.2 lässt sich die aktuelle Position x eines materiellen Punktes P in Abhängigkeit seiner materiellen Koordinate X mittels der Bewegungsfunktion ausdrücken. Werden alle Konfigurationen eines Körpers in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben (vergl. Abb. 2.2), lässt sich die Verschiebung u=x−X (2.3) definieren. Da es allgemein nützlich ist, das Verhalten eines Körpers bezogen auf die bekannte Referenzkonfiguration eines Körpers zu beschreiben, wird eine allgemeingültige 14. Oktober 2023 21 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM X(1) Ωt Ω0 u(1) dX X(2) x(1)dx x(2) e2 e1 Abbildung 2.2: Verschiebung eines materiellen Punktes P zwischen Momentan- und Referenzkonfiguaration sowie Definition eines Linieninkrements dX resp. dx. Transformation zwischen unterschiedlichen Konfigurationen benötigt. Dabei spielt der Deformationsgradient F ∂x F= = ∇X (x)1 = Grad (x) (2.4) ∂X einen zentrale Rolle. Dieser bildet ein Linieninkrement in Referenzkonfiguration dX auf das zugehörige Element dx in Momentankonfiguration ab: dx = F · dX. (2.5) Setzt man die Definition der Verschiebung (Gl. (2.3)) in die Definition des Deformati- onsgradienten Gl. (2.4) ein, erhält man F = I + ∇X (u). (2.6) Damit lassen sich nun sogenannte pull-back bzw. push-forward Operationen definieren. Erstere ziehen dabei eine Größe (z.B. einen Tensor, eine Fläche oder ein Volumen) aus der Momentankonfiguration Ωt in die Referenzkonfiguration Ω0 zurück, wobei zweitere gerade umgekehrt definiert sind. Im Rahmen der weiteren Betrachtungen werden Transformationen für Volumen- und Flächenelemente benötigt. 1 ∇X ( ) bezeichnet den Gradienten bezogen auf die Referenzkonfiguration 14. Oktober 2023 22 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Um diese herzuleiten, definiert man drei Linieninkremente ausgehend von einem mate- riellen Punkt P. Deren Darstellung dX, dY, dZ in Referenzkonfiguartion werde auf dx, dy, dz in Momentankonfiguration abgebildet. Gemäß Abschnitt 1.2.3, gilt mittels des Kreuzprodukt für ein Flächeninkrement da da = dx × dy ↔ dai = εijk dxj dyk (2.7) bzw. mittels des Spaatprodukts für ein Volumeninkrement dv dv = ⟨dx × dy, dz⟩ = εijk dxj dyk dzi. (2.8) Mittels des Deformationsgradienten (vergl. Gl. (2.5)) lassen sich diese Zusammenhänge über die Linieninkremente in Referenzkonfiguration ausdrücken. Beschränkt man sich zuerst auf das Volumeninkrement, gilt dv = εijk F jm dXm F ko dYo F ip dZp. (2.9) Es werden nun folgende Hilfstensoren O1 und O2 definiert:   dZ1 dX1 dY1 1 O = dZ2 dX2 dY2  (2.10)   dZ3 dX3 dY3   F 1i dZi F 1i dXi F 1i dYi 2 1 O = F O = F 2i dZi F 2i dXi F 2i dYi    (2.11) F 3i dZi F 3i dXi F 3i dYi Nutzt man die Definition der Determinante – in Indexnotation gilt unter Verwen- dung des Levi-Civita-Symbols Gl. (1.8) det(A) = εijk Ai1 Aj2 Ak3 – lässt sich das Volumeninkrement dv auch als Determinante des Hilfstensors O2 ausdrücken: dv = det(O2 ) 2 2 2 = εijk Oi1 Oj2 Ok3 (2.12) = εijk F im dZm F jo dXo F kp dYp Mittels der Indentität det(AB) = det(A) det(B) gilt somit dv = det(F) det(O1 ) = J dV. (2.13) Um nun die push-forward Operation eines Flächeninkrements herzuleiten, wird der Zusammenhang zwischen Flächen- und Volumeninkrement verwendet: dv = da · dz (2.14) In Indexnotation ergibt sich somit dai dzi = J εijk dXj dYk dZi (2.15) = J εijk dXj dYk F −1 im dzm , 14. Oktober 2023 23 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM nutzt man dA = dX × dY, dam = J dAi F −1 im. (2.16) Überträgt man diese Beziehung in absolute Schreibweise, gilt für die push-forward Operation eines Flächeninkrements da = J F−T · dA. (2.17) 2.2.3 Deformations- und Verzerrungstensoren Eine allgemeine Bewegung eines Körpers setzt sich aus Starrkörpertranslation, Starr- körperrotation sowie Verzerrung zusammen. Da der Deformationsgradienten durch die Ableitung der Verschiebung – diese ist im Fall der Starrkörperrotation konstant – definiert ist, wird diese im Deformationsgradient nicht berücksichtigt. Mittels polarer Zerlegung lässt sich jedoch zeigen, dass sowohl Starrkörperrotation als auch Verzerrung Einfluss auf den Deformationsgradienten haben. Sei U der rechte und V der linke Strecktensor, so lässt sich zeigen, dass sich der Deformationsgradient multiplikativ zerlegen lässt: √ √ F = V R = R U mit U = FT F und V = F FT (2.18) Während U bzw. V symmetrisch und positiv definit sind, ist R ein orthonormaler Tensor. R stellt somit eine Rotation (bezogen auf ein lokales Linienelement) dar. Eine geometrische Interpretation dieser Zerlegung bezogen auf ein Volumeninkrement ist in Abb. 2.3 gegeben. Will man ein Bewegungsmaß definieren, welches invariant gegenüber U R F R V Abbildung 2.3: Grafische Interpretation der Zerlegung des Deformationsgradienten gemäß Gl. (2.18) bezogen auf ein inkrementelles Volumenelement nach Parisch. Starrkörperbewegung ist, erscheint es logisch, dies auf Basis der Strecktensoren zu tun. Man definiert dabei den rechten Cauchy-Green Tensor C = U U = FT F (2.19) 14. Oktober 2023 24 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM sowie den linken Cauchy-Green Tensor b = V V = F FT. (2.20) Es lässt sich relativ leicht zeigen, dass der rechte Cauchy-Green Tensor das Quadrat eines Linieninkrements in Referenz- auf Momentankofiguration abbildet dx · dx = dX · C · dX , (2.21) während die Inverse des linken Cauchy-Green Tensors dies zwischen Momentan- und Referenzkonfiguration tut: dX · dX = dx · b−1 · dx (2.22) Basierend auf diesen sogenannten Deformationstensoren lassen sich nun Verzerrungs- tensoren definieren, welche für u = 0 bzw. im Fall von Starrkörperrotation null sind. In der Literatur finden sich eine Vielzahl solcher Tensoren, hier sollen lediglich der Green-Lagrange Verzerrungstensor E sowie der Almansi Verzerrungstensor e eingeführt werden: 1 1 E = (C − I) , e= I − b−1 (2.23) 2 2 Beiden Tensoren bilden dabei die Länge eines Linieninkrements auf die Längenänderung zwischen Momentan- und Referenzkonfiguration dx·dx−dX·dX ab. Der Green-Lagrange Verzerrungstensor nutzt dabei die Länge in Referenzkonfiguration dx · dx − dX · dX = 2 dX · E · dX , (2.24) während der Almansi Tensor dies aus der Momentankonfiguration heraus tut: dx · dx − dX · dX = 2 dx · e · dx (2.25) Abschließend soll hier noch die lineare Dehnung ε betrachtet werden. Diese entsteht durch Linearisierung der Green-Lagrange Verzerrung um die Referenzkonfiguration. In Indexnotation ergibt sich 1 1 E ij = (C ij − δij ) = (ui,j + uj,i + uk,i uk,j ). 2 2 Leitet man nun nach dem Gradienten der Verschiebung ab und nutzt, dass LIN [∇X (u)] = ∇X (∆u) gilt, ergibt sich ∂E ij LIN [E ij ] = E ij + ∆um,o u=0 ∂um,o 1 = (δim δjo + δjm δio + δkm δio uk,j + uk,i δkm δjo ) ∆um,o 2 u=0 1 = (∆ui,j + ∆uj,i ). 2 Fasst man dies in absolute Schreibweise zusammen und substituiert ∆u = u, erhält man 1 LIN [E] = ε = ∇X (u) + ∇T X (u). (2.26) 2 14. Oktober 2023 25 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Vergleich der Verzerrungsmaße am 1D-Kontinuum Zur besseren Veranschaulichung des Einflusses verschiedener Verzerrungstensoren, soll an dieser Stelle ein 1D-Kontinuum untersucht werden. Für Verschiebung und Deforma- tionsgradient gelten x = (λ − 1) X ↔ F = λ. Wertet man damit den Green-Lagrange Verzerrungstensor E, den Almansi Verzerrungs- tensor e sowie die lineare Dehnung ε aus, erhält man 1 2 E= λ −1 2 1 e= 1 − λ−2 2 ε=λ. Ein grafischer Vergleich der Verzerrungsmaße findet sich in Abbildung 2.4. 2 E(λ) e(λ) ε(λ) 1 Verzerrung 0 −1 −2 0 0.5 1 1.5 2 λ Abbildung 2.4: Vergleich verschiedener Verzerrungsmaße im Fall eines 1D-Kontinuums unter Deformation λ. 14. Oktober 2023 26 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Es zeigt sich, dass die Definition der Verzerrung im Bereich kleiner Verformungen (λ ≈ 1) keinen nennenswerten Unterschied hervorruft, je größer die Verformung jedoch wird, die Unterschiede deutlich zunehmen. Weiter ist ersichtlich, dass die nichtlinearen Verzerrungsmaße unter Zug (λ > 1) und Druck (λ < 1) jeweils nicht identisch sind. Ein Material – nimmt man vorerst an, die Spannung sei lediglich eine Funktion der Verzerrung – wird sich also unter Zug und Druck unterschiedlich verhalten. Solche Effekte können mittels der linearisierten Dehnung ε nicht dargestellt werden. 2.3 Spannungstensoren Im Folgenden soll ein beliebiger Körper betrachtet werden, der durch äußere Lasten zu einem Zeitpunk t eine Gleichgewichtslage Ωt einnimmt. Auf einer glatten aber ansonsten beliebigen Schnittfläche (Flächeninkrement da, Flächennormale n) resultiert gemäß dem Schnittprinzip eine resultierende Kraft ∆f S. Gemäß dem Cauchyschen Spannungstheorem existiert ein Grenzwert ∆f S t = lim , (2.27) da→0 da welcher sich als lineare Abbildung der lokalen Flächennormalen n ergibt. Die Abbildungs- vorschrift ist folglich ein Tensor zweiter Stufe (vergl. Abschnitt 1.3.1), der allgemein auch Cauchy-Spannung T (in der Literatur häufig auch σ) genannt wird: t=T·n. (2.28) Wie in der folgenden Ableitung der Bilanzgleichungen ersichtlich wird, sind neben der Cauchy-Spannung noch die sogenannten Piola-Kirchhoff Spannungen relevant. Es ergeben sich zwei Spannungen, da Spannungen zwei Richtungsinformationen enthal- ten, die Richtung des Schnittkraftvektors, sowie die Orientierung der Flächennormale. Abbildung 2.5 veranschaulicht diese relevanten Größen in Abhängigkeit der jeweiligen Konfiguration. Berechnet man den Schnittkraftvektor in Momentankonfiguration aus der Flächendefi- nition in Referenzkonfiguration, ergibt sich der erste Piola-Kirchhoff Spannungstensor P. Grundsätzlich liefern die Definitionen des Schnittkraftvektors Gl. (2.27) sowie der Cauchy-Spannung Gl. (2.28): ∆f S = T · n da (2.29) Mittels der pull-back Operation für Flächeninkremente Gl. (2.17) lässt sich dies mittels des Deformationsgradienten auf die Flächendefinition in Ausgangslage beziehen ∆f S = T · J F−T N dA. (2.30) 14. Oktober 2023 27 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM ∆fS Ωt φ(X, t) N ∆FS n Ω0 X x da dA Abbildung 2.5: Inkrementeller Kraftvektor, Flächennormale sowie Flächenelement in verschiedenen Konfigurationen. Die erste Piola-Kirchhoff Spannung ist folglich gemäß ∆f S = P · N dA mit P = J T F−T (2.31) definiert. Bis zu diesem Punkt, wurde der Kraftvektor immer in seiner momentanen Orientierung betrachtet. Mittels der Definition der Deformationsgradienten lässt sich ein Vektor in Momentankonfiguration aus der Referenzkonfiguration heraus abbilden: ∆f S = F · ∆FS ↔ ∆FS = F−1 · ∆f S (2.32) Bildet man das Kraftinkrement in Momentankonfiguration in die Referenzkonfiguration ab, ergibt sich der zweite Piola-Kirchhoff Spannungstensor S: ∆FS = F−1 P · N dA mit S = J F−1 T F−T (2.33) Wie bereits bekannt sein dürfte, lässt sich aus dem Momentengleichgewicht an einem Volumeninkrement zeigen, dass der Cauchy Spannungstensor symmetrisch ist: T = TT (2.34) Da der Deformationsgradient allgemein symmetrische und antimetrische Anteile enthält, ist die erste Piola-Kirchhoff Spannung ebenfalls nicht-symmetrisch, während Symmetrie für die zweite Piola-Kirchhoff Spannung bewiesen werden kann. 2.4 Bilanzgleichungen Nachdem eine formale Definition der Kinematik eines Körpers sowie einer Betrachtung wirkender Kräfte abgeschlossen sind, soll nun der letzte materialunabhängige Schritt der Kontinuumsmechanik betrachtet werden: Die Ableitung von Bilanzgleichungen. Diese repräsentieren allgemeingültige Prinzipien bzw. universelle Naturgesetzte. 14. Oktober 2023 28 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM In der Anwendung auf ein rein mechanisches Problem sind die Erhaltung von Masse, Impuls und Drehimpuls von Bedeutung. Generell werden die Bilanzgleichungen im Folgenden in integraler Form abgeleitet. Dazu wird ein Volumenelement aus der Momentankonfiguration eines Körper geschnitten, Primärgrößen und wirkende Flüsse bilanziert und diese dann mittels Integration über den gesamten Körper ausgewertet. Geht man von hinreichend glatten Feldgrößen aus, lassen sich die so abgeleiteten integralen Bilanzgleichungen in ihre lokalen Formen überführen. 2.4.1 Transporttheoreme Bei der Ableitung von Bilanzgleichungen wird allgemein zwischen Eulerscher- und Lagrangescher Betrachtungsweise unterschieden. Speziell die Definition von Zeitableitun- gen in den unterschiedlichen Systemen erfordert eine geeignete Transformation. Grund hierfür sind die unterschiedlichen Bezugsgrößen. In beiden Fällen ist einen Feldgröße Φ eine Funktion der Zeit. Der relevante Unterschied ist der räumliche Bezug. Während im Lagrange’schen Fall ein materieller Punkt gewählt wird – dieser Punkt bleibt zu allen beobachteten Zeitpunkten identisch – wird der räumliche Bezug im Euler’schen Fall über die räumliche Position x hergestellt. Berücksichtigt man, dass im Fall der Lagran- ge’schen Betrachtungsweise ein Punkt zu verschieden Zeitpunkten an unterschiedlichen Positionen x sein wird, wird deutlich, dass Zeitableitungen je nach Betrachtungsweise differieren. Betrachtet man die materielle Zeitableitung einer Größe Φ(X, t) in Eulerscher Betrach- tungsweise, gilt für die Zeitableitung DΦ(X, t) Φ(X, t)′ = Dt ∂Φ(x, t) ∂Φ(x, t) ∂x = + (2.35) ∂t ∂x ∂t ∂Φ(x, t) = + ∇x (Φ(x, t)) · v(x, t). ∂t Es zeigt sich also, dass zusätzlich zur partiellen Ableitung nach der Zeit an einem räumlichen Punkt ein zweiter Teil, welcher die Bewegung des materiellen Punktes an sich beschreibt, berücksichtigt werden muss. Da im Folgenden Bilanzgleichungen in integraler Form hergeleitet werden sollen, lohnt es sich, vorbereitend den Blick auf die Zeitableitung integraler Größen zu werfen. Definiert man Z Y (t) = Φ dv , (2.36) Ωt muss bei der Bildung der materiellen Zeitableitung (Y )′ darauf geachtet werden, dass das Integrationsgebiet selbst (die Momentankonfiguration Ωt ) eine Funktion der Zeit 14. Oktober 2023 29 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM ist. Integration und Differentiation können also nicht einfach vertauscht werden. Um diese Vertauschbarkeit wieder zu gewähleisten, zieht man Gl. (2.36) mittels Gl. (2.13) in die Referenzkonfiguration zurück: ′ D Z D Z Y = Φ dv = J Φ dV (2.37) Dt Ωt Dt Ω0 Da ein Körper in Referenzkonfiguration zeitlich konstant ist, können nun Integration und Differentiation vertauscht werden, es gilt also ′ Z DΦ DJ Y = J + Φ dV. (2.38) Ω0 Dt Dt Die materielle Zeitableitung der Determinante des Deformationsgradienten ergibt sich gemäß der Kettenregel zu DJ ∂J DF = ·. (2.39) Dt ∂F Dt Nutzt man ∂J = J F−T , (2.40) ∂F sowie die Definition des Geschwindigkeitsgradienten bzw. von dessen Spur L = ∇x (x′ ) = F′ F−1 ↔ tr (L) = F ′ik F −1 ′ ki = x i,i , (2.41) erhält man aus Gl. (2.39) DJ = J F −1 ′ −1 ′ ′ ji F km δik δjm = J F ji F ij = J x i,i. (2.42) Dt Somit gilt für die materielle Zeitableitung von Y Z Z ′ ′ ′ Y = J (Φ + Φ ∇x · (x )) dV = Φ′ + Φ ∇x · (x′ ) dv. (2.43) Ω0 Ωt 2.4.2 Erhaltung der Masse Betrachtet man einen Körper, über dessen Oberfläche keine Masse aus- bzw. eintritt und der über keine Quellen oder Senken verfügt, bleibt die Masse über den gesamten Beobachtungszeitraum konstant. Definiert man ρ(x, t), die Dichte, sowie ρ0 (X), die Dichte in Referenzkonfiguration, gilt für die Masse m Z Z m= ρ(x, t) dv = ρ0 (X) dV. (2.44) Ωt Ω0 Zieht man die Massendefinition in Momenankonfiguration mittels Gl. (2.13) in die Ausgangslage zurück, erhält die zeitlich variierende, momentane Dichte aus der zeitlich konstanten initialen Dichte: Z Z 1 ρ(x, t) dv = J ρ(x, t) dV ↔ ρ(x, t) = ρ0 (X) (2.45) Ωt Ω0 J 14. Oktober 2023 30 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Alternativ lässt sich die Massenbilanz auch als Erhaltungsgleichung ausdrücken. Unter Ausnutzung des Reynolds’schen Transporttheorems Gl. (2.43) ergibt sich für Φ = ρ(x, t) Dm D Z Z = ρ(x, t) dv = ρ′ (x, t) + ρ(x, t) ∇x · (x′ ) dv. (2.46) Dt Dt Ωt Ωt Unter Annahme ausreichend glatter Felder ergibt sich die lokale Massenbilanz in Mo- mentankonfiguration zu ρ′ (x, t) + ρ(x, t) ∇x · (x′ ). (2.47) 2.4.3 Erhaltung des Impulses Die Herleitung der Impulsbilanz basiert auf Newtons zweitem Axiom, wonach die zeitliche Änderung des Impulses I der Summe aller wirkenden Kräfte F entspricht: I′ = F (2.48) Der Impuls eines Körpers – Impuls ist das Produkt aus Masse und Dichte – ergibt sich durch Integration von Dichte und Geschwindigkeit über das Volumen: Z Z ′ I= ρ(x, t) x dv = ρ0 (X) x′ dV (2.49) Ωt Ω0 Hier wurde die Definition des Impulses bereits auf Referenzkonfiguration zurückgezogen (vergl. Gl. (2.13)) und der Zusammenhang zwischen Dichte, Referenzdichte und Deter- minante des Deformationsgradienten Gl. (2.45) ausgenutzt. Die materielle Zeitableitung des Impulses ergibt sich somit zu ′ D Z ′ Z I = ρ0 (X) x dV = ρ0 (X) x′′ dV , (2.50) Dt Ω0 Ω0 da die Referenzdichte zeitlich konstant ist. Mittels einer push-forward Operation ergibt sich somit in Momentankonfiguration ′ Z 1 ′′ Z I = ρ0 (X) x dv = ρ(x, t) x′′ dv. (2.51) Ωt J Ωt Nachdem die Zeitableitung des Impulses bekannt ist, müssen die wirkenden Kräfte bestimmt werden. Unter der Annahme, dass lediglich eine (massenspezifische) Gewichts- kraft b sowie äußere Kräfte auf dem Rand des Körpers wirken, gilt Z Z F= ρ(x, t) b dv + t da. (2.52) Ωt ∂Ωt Da die Oberflächenspannung auf dem Rand allgemein unbekannt ist, muss der zweite Term Gl. (2.52) umgeschrieben werden. Mittels der Definition des Spannungsvektors t gilt Z Z t da = T · n da , (2.53) ∂Ωt ∂Ωt 14. Oktober 2023 31 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM was sich mittels des Gaußschen Divergenztheorems in ein Volumenintegral umformen lässt Z Z T · n da = ∇x · (T) dv. (2.54) ∂Ωt Ωt Um die Impulsbilanz sowohl in Momentan- als auch in Referenzkonfiguration formulieren zu können, muss diese Kräftedefinition in die Referenzkonfiguration zurückgezogen wer- den. Nutzt man die Kräftedefinition nach Gl. (2.52, 2.53) sowie die pull-back Operationen Gl. (2.17, 2.13) ergibt sich Z Z F= J ρ(x, t) b dv + J T F−T · N dA. (2.55) Ω0 ∂Ω0 An dieser Stelle wird deutlich, wofür die erste Piola-Kirchhoff Spannung benötigt wird. Sie definiert die Oberflächenkräfte, werden diese aus der Momentan- in die Referenzkonfiguration zurückgezogen. Wendet man nun das Divergenztheorem an, ergibt sich Z F= ρ0 (X) b + ∇X · (P) dV (2.56) Ω0 Fasst man nun zusammen, ergibt sich die Impulserhaltung im Momentankonfiguration zu Z Z ρ(x, t) x′′ dv = ρ(x, t) b + ∇x · (T) dv , (2.57) Ωt Ωt wobei in Referenzkonfiguration Z Z ′′ ρ0 (X) x dV = ρ0 (X) b + ∇X · (P) dV. (2.58) Ω0 Ω0 gilt. Die lokalen Formen der Impulsbilanz ergeben sich – wie schon aus der Herleitung der Massenbilanz bekannt – bei ausreichend glatten Feldgrößen zu ρ(x, t) x′′ = ρ(x, t) b + ∇x · (T) , (2.59) ρ0 (X) x′′ = ρ0 (X) b + ∇X · (P). (2.60) Ähnlich zur Erhaltung des Impulses könnte nun die Erhaltung des Drehimpulses – dies entspricht im stationären Fall dem Momenten-Gleichgewicht – herleitet werden. Auch wenn im vorliegenden Rahmen darauf verzichtet wird, soll das Ergebnis, die Symmetrie der Cauchy-Spannung T = TT (2.61) hier der Vollständigkeit halber aufgeführt werden. 14. Oktober 2023 32 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM 2.4.4 Das Anfangsrandwertproblem der Mechanik Führt man nun Kinematik und Bilanzrelationen zusammen, lässt sich das Anfangsrand- wertproblem (ARWP) der Mechanik formulieren. Abb. 2.6 zeigt einen Körper unter mechanischer Belastung. Es werde dabei angenommen, dass Belastungen auf Flächenkräf- te auf den sogenannten Neumann-Rand ∂Ωt,vN oder konservative, volumetrische Lasten beschränkt bleiben. Neben Kräften können auf dem sogenannten Dirichlet-Rand ∂Ωt,D auch Verschiebungen vorgeschrieben werden. Es sei zu beachten, dass sich Dirichlet- und Neumann-Rand nicht überschneiden: ∂Ωt = {∂Ωt,D ∪ ∂Ωt,vN | ∂Ωt,D ∩ ∂Ωt,vN = ∅} (2.62) ∂Ωt,D b ∂Ωt,vN t Abbildung 2.6: Das mechanische ARWP unter Berücksichtigung von Kraft- Randbedingungen auf dem Neumann-Rand ∂Ωt,vN , Verschiebungs- Randbedingungen auf dem Dirichlet-Rand ∂Ωt,D sowie konservativen volumetrischen Lasten b. Zur Bestimmung der unbekannten Feldgrößen, der Dichte ρ, der Verschiebung u sowie der Spannung T stehen die Massenbilanz Gl. (2.45), die Impulsbilanz Gl. (2.59) sowie die Symmetrie der Cauchy-Spannung (Drehimpulsbilanz) zur Verfügung: 1 ρ(x, t) = ρ0 (X) in Ωt J ρ(x, t) x′′ = ρ(x, t) b + ∇x · (T) in Ωt T = TT in Ωt (2.63) u = uD auf ∂Ωt,D T · n = tvN auf ∂Ωt,vN 14. Oktober 2023 33 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Wählt man als Bezug nun nicht die Momentankonfiguration, ergibt sich durch Zurück- ziehen der Impulsbilanz 1 ρ(x, t) = ρ0 (X) in Ω0 J ρ0 (X) x′′ = ρ0 (X) b + ∇X · (P) in Ω0 T = TT in Ω0. (2.64) u = uD auf ∂Ω0,D P · N = t0,vN auf ∂Ω0,vN Durch einfach Abzählen von Gleichung bzw. Unbekannten stellt man fest, dass obi- ge Gleichungssystem ((2.63), (2.64)) nicht geschlossen sind. Für die 13 unbekannten Feldgrößen (Dichte: 1, Verschiebung: 3, Spannung: 9) stehen nur sieben Gleichungen zur Verfügung (Masse: 1, Impuls: 3, Drehimpuls: 3). Es werden also sechs zusätzliche Gleichungen benötigt, um das mechanische ARWP zu schließen. Das grundsätzliche Vorgehen zur Bestimmung dieser Gleichungen wird im nächsten Kapitel beschrieben. 2.5 Konstitutivtheorie Wie im letzten Abschnitt gezeigt, ist das ARWP der Mechanik ohne Modell für das Materialverhalten eines Werkstoffs nicht lösbar. Im Rahmen der Konstitutivtheorie wird deshalb versucht, dieses Materialverhalten – im Rahmen eines rein mechanischen Problems der Zusammenhang zwischen Verzerrung und Spannung – zu modellieren. Der allgemeine Zusammenhang zwischen Kräften bzw. Spannungen und Verschiebungen bzw. Deformation ist im Tonti-Diagramm Abb. 2.7 dargestellt. Ausgangspunkt für die Modellierung der Spannung ist der zweite Hauptsatz der Thermo- dynamik, nach dem die Entropie nicht abnehmen darf. Die Entropie ist dabei – bezieht man sich auf rein mechanische Probleme – ein Maß für die Energie, welche, bedingt durch irreversible Prozesse, in Wärme dissipiert wird und somit das System verlässt. Zur weiteren Auswertung der Entropieungleichung wird die innere Energie Eint des Systems benötigt. Diese lässt sich in Entropie θs sowie einen freien Anteil, die freie Helmholtzenergie Ψ, aufteilen: Eint = Ψ + θs (2.65) Da letztlich diese freie Helmholtznenergie das Potential der elastischen Deformation ist, muss diese in Abhängigkeit des Deformationszustandes modelliert werden. Basierend auf der Definition der inneren Energie Gl. (2.65) sowie der Entropieungleichung lässt sich dann die Spannung definieren. Ohne Herleitung – für eine vollständige Herleitung dieser Sachverhalte sei an dieser Stelle auf die Masterveranstaltungen des Instituts verwiesen – gilt für die Cauchy-Spannung ∂W T T = 2J −1 F F mit W = ρ0 Ψ. (2.66) ∂C 14. Oktober 2023 34 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM äußere Kraft Verschiebung u t auf ∂Ωt,vN , b in Ωt Feldgleichung: Kinematik: Gl. (2.45, 2.59, 2.61) F = ∇X (x) Materialgleichung T E T = T(E) Abbildung 2.7: Tonti-Diagramm zur Visualisierung des Zusammenhangs zwischen Kraft bzw. Spannung und Verschiebung bzw. Verzerrung. Unter Ausnutzung der Transformation zwischen Cauchy und zweiter Piola-Kirchhoff Spannung gilt entsprechend ∂W S=2 mit W = ρ0 Ψ. (2.67) ∂C 2.5.1 Hyperelastische Materialien Ein Material, dessen Spannungszustand allein vom momentanen Deformationszustand abhängt, wird als elastisch bezeichnet. Lässt sich das Materialverhalten eines Be- und Entlastungsprozesses unabhängig vom gewählten Weg beschreiben, existiert ein Potential für die Energie, welches im Material aufgrund der Deformation gespeichert ist. Im Zusammenhang der Elastizität spricht man von sogenannten hyperelastischen Materialien. Es finden sich ganze Klassen verschiedener Ansätze, wie diese Energie – die freie Helmholtzenergie Ψ – beschrieben werden kann. Für die folgende Betrachtung soll exemplarisch die Helmholtzenergie eines kompressiblen, hyperelastischen Materials des sogenannten Neo-Hook-Typs untersucht werden: ! µ λ λ ρ0 Ψ(C) = (I1 (C) − 3) + (J 2 − 1) − +µ ln J (2.68) |2 {z } |4 {z 2 } ρ0 ΨISO ρ0 ΨV OL 14. Oktober 2023 35 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Eine Herleitung der Helmholtzenergie liegt außerhalb dieser Vorlesung. Interessierte Leser finden ausführliche Darstellungen in der einleitend erwähnten Literatur zur Kontinuumsmechanik. Es soll hier lediglich eine Beziehung für die Spannung sowie den sogenannten Materialtensor abgeleitet werden. Aus der Definition der zweiten Piola-Kirchhoff Spannung Gl. (2.67) sowie der Helmholtzenergie Gl. (2.68) ergibt sich ! µ ∂ tr (C) λ ∂J λ 1 ∂J S=2 +2 J −2 +µ. (2.69) 2 ∂C 2 ∂C 2 J ∂C ∂ tr(C) Die Ableitung ∂C ergibt sich zu ∂ tr (C) ∂C kk = (ei ⊗ ej ) ∂C ∂C ij = δki δkj (ei ⊗ ej ) = δij (ei ⊗ ej ) =I. ∂J Für ∂C ist eine alternative Darstellung der Determinante des Deformationsgrdienten notwenig: q det(C) = det(FT F) = det(F)2 ↔ J = det(C) , Damit ergibt sich für die erforderliche Ableitung q ∂J ∂ det(C) = ∂C ∂C 1 1 ∂ det(C) = q 2 det(C) ∂C 1 = det(C) C−T 2J J C−1 = , 2 was letztlich zu nachfolgender Definition der zweiten Piola-Kirchhoff Spannung führt λ 2 S= J − 1 C−1 + µ (I − C−1 ). (2.70) 2 An dieser Stelle soll der sogenannte Materialtensor ∂S C= (2.71) ∂C abgeleitet werden. Dieser bildet – für einen gegebenen Deformationszustand C – die Deformation auf die zweite Piola-Kirchhoff Spannung ab S=C·C. (2.72) 14. Oktober 2023 36 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Unter Ausnutzung geltender Produktregeln ergibt sich ∂J λ 2 ∂C−1 ∂C−1 C = λ J C−T ⊗ + J −1 −µ. (2.73) ∂C 2 ∂C ∂C Nutzt man für die Ableitung der Inversen eines Tensors nach sich selbst (vergl. Ehlers ) ∂C−1 23 −T T −1 =− C ⊗C , ∂C ergibt sich für den Materialtensor 23 ! λ J 2 −1 −1 λ (J 2 − 1) −1 −1 T C= C ⊗C − −µ C ⊗C. (2.74) 2 2 Dabei wurde bereits ausgenutzt, dass die Inverse des rechten Cauchy-Green Tensors, wie der Tensor selbst, symmetrisch und damit gleich seiner Transponierten ist. Voigt-Notation von Spannung, Verzerrung und Materialtensor Tensoren höher Stufe (n > 2) können Symmetrien aufweisen. Im Fall eines zweistufigen Tensors spricht man von Symmetrie, wenn A = AT gilt. Sei A ∈ V 3 ⊗ V 3 bedeutet dies, dass lediglich sechs der neun Koordinaten eines Tensors unabhängig sind. Anhängliches lässt sich z.B. für Tensoren vierter Stufe beobach- ten. Der Materialtensor eines hyperleastischen Materials hat allgemein 81 unabhängige Koordinaten. Geht man von einem symmetrischen Spannungs- sowie Deformationsmaß aus – sei z.B. die zweite Piola-Kirchhofspannung S eine Funktion des rechten Cauchy- Green Tensors C oder die linearisierte Piola-Kichhoff Spannung σ eine Funktion des linearisierten Green-Lagrange Verzerrungstensors ε – sind davon nur 36 Komponenten unabhängig. Definiert man Spannung, Deformation und Materialtensor in sogenannter Voigt-Notation ässt sich der Spannungs-Deformations Zusammenhang Gl. (2.72) als Produkt aus Tensoren erster und zweiter Stufe darstellen:       S 11 C1111 C1122 C1133 C1112 C1123 C1131 C 11 S 22  C2211 C2222 C2233 C2212 C2223 C2231   C 22        S 33   C 33         = C3311 C3322 C3333 C3312 C3323 C3331    · . (2.75)  2C 12  S  C C1222 C1233 C1212 C1223 C1231     12   1211 S 23  C2331  2C 23        C2311 C2322 C2333 C2312 C2323 S 13 C1311 C1322 C1333 C1312 C1323 C1331 2C 13 | {z } | {z } | {z } V V V [S] [ C] [ C] 14. Oktober 2023 37 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM 2.5.2 Lineare Elastizität Bis zu diesem Punkt wurde eine thermodynamisch-konsistente Beschreibung hyperelasti- scher Materialien unter finiter Deformation präsentiert. Die resultierenden Gleichungen sind i.A. stark nichtlinear, analytisch überhaupt nicht und numerisch nur unter bedeu- tendem Aufwand zu lösen. Für viele praktische Problemstellungen reicht eine Lösung im Rahmen kleiner Deformationen aus. Die Theorie der linearen Elastizität lässt durch Linearisierung der Spannungsdefinition (2.70) sowie dem mechanischen ARWP Gl. (2.64) um die Referenzkonfiguration (u = 0) herleiten. Unter Ausnutzung einer Taylor-Reihe mit Abbruch nach dem linearen Term ergibt sich für die linearisierte zweite Piola-Kirchhoff Spannung ∂S σ = LIN [S] = LIN [P] = LIN [S] + · ∆C. (2.76) u=0 ∂C u=0 Auswertung der Materialtangente Gl. (2.74) in Refrenzkonfiguration – es gilt F = I – liefert 23 ∂S λ =C = (I ⊗ I) + µ (I ⊗ I) T. (2.77) ∂C u=0 u=0 2 ∆C, die Linearisierung des rechten Cauchy-Green Tensors, ergibt sich analog zur Linearisierung der Green-Lagrange Verzerrung Gl. (2.26): ∆C = 2 ε (2.78) Somit gilt für die linearisierte Piola-Kirchhoff Spannung σ = 2µ ε + λ tr (ε) I (2.79) = 2µ ε + λ ∇X · (u) I. Lineare Elastizität in Voigt-Notation Wie schon im Fall finiter Deformationen lässt sich das Materialgesetz eines linear- elastischen Materials ebenfalls in Voigt-Notation darstellen. Da der Zusammenhang zwischen Spannung und Verschiebung linear ist – der Materialtensor ist somit unabhängig vom Deformationszustand – lässt sich die Spannung σ zu jedem Zeitpunkt gemäß σ =C·ε (2.80) 14. Oktober 2023 38 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM ausdrücken. In Voigt-Notation gilt unter Ausnutzung des linear-elastischen Materialten- sors Gl. (2.77)       σ 11 λ + 2µ λ λ 0 0 0 ε11 σ 22     λ  λ + 2µ λ 0 0 0   ε22     σ 33   λ λ λ + 2µ 0 0 0   ε33          σ  =  0    · . (2.81)  12   0 0 µ 0 0 2ε12    σ 23   0 0 0 0 µ 0  2ε23        σ 13 0 0 0 0 0 µ 2ε13 | {z } | {z } | {z } [ σ ]V [C] V [ ε] V Zweidimensionale Spannungszustände Will man Elastizitätsprobleme in lediglich zwei Raumdimensionen betrachten, müssen Annahmen über das Verhalten in der dritten Richtung betroffen werden. Die beiden gängigsten Annahmen sind dabei der sogenannte ebene Spannungs- sowie der ebene Verzerrungszustand. Für den ebenen Spannungszustand wird angenommen, dass die Spannungskomponenten σ 33 , σ 23 und σ 13 null sind. Eine solche Annahme erweist sich vor allem für sehr dünne Körper als zutreffend. Im linear-elastischen Fall lässt sich der Materialtensor für diesen ebenen Spannungszustand explizit angeben. Gemäß Gl. (2.81) folgt aus σ 23 = σ 13 = 0 direkt ε23 = ε13 = 0. Mittels σ 33 = 0 lässt sich für die Hauptdehnung in Dickenrichtung eine Funktion in Abhängigkeit der beiden anderen Hauptdehnungen angeben: λ ε33 = − (ε11 + ε22 ) (2.82) λ + 2µ Einsetzen in Gl. (2.81) ergibt somit ein reduziertes Materialgesetz, welches nur zwei unabhängige Verschiebungen aufweist: λ⋆ + 2µ λ⋆       σ 11 0 ε11 2λµ σ 22  =  λ ⋆ ⋆ λ + 2µ 0  ·  ε22  mit λ⋆ = (2.83)      λ + 2µ  σ 12 0 0 µ 2ε12 | {z } | {z } | {z } [ σ ]V [ C] V [ ε ]V Im Fall sehr dicker Strukturen deren Belastung sich in Dickenrichtung nicht ändert, ist der ebene Verzerrungszustand relevant. Dabei wird angenommen, dass die Dehnungen ε33 , ε23 und ε13 null sind. Das reduzierte Materialgesetz ergibt sich in diesem Fall durch simples Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten in Gl. (2.81):       σ 11 λ + 2µ λ 0 ε11 σ 22  =  λ    λ + 2µ 0  ·  ε22     (2.84) σ 12 0 0 µ 2ε12 | {z } | {z } | {z } [ σ ]V [ C] V [ ε ]V 14. Oktober 2023 39 2 Einführung in die Kontinuumsmechanik EFEM Es ergibt sich aber einen Spannung in Dickenrichtung, welche sich au den Hauptdeh- nungen ε11 und ε22 ergibt: σ 33 = λ (ε11 + ε22 ) (2.85) Lameé-Navier-Gleichung Einsetzten der Spannungsdefinition eines linear-elastischen Materials Gl. (2.79) sowie der linearisierten Green-Lagrange Dehnung Gl. (2.26) in das mechanische ARWP Gl. (2.64), liefert eine partielle Differentialgleichung (PDGL) für die Verschiebung: ρ0 (X) x′′ = ρ0 (X) b + ∇X · µ ∇X (u) + ∇T X (u) + λ ∇X · (u) I. (2.86) Betrachtet man nachfolgenden Term in Indexnotation etwas genauer ∇X · µ ∇T X (u) + λ ∇X · (u) I = µ uj,ij + λ uk,ki ergibt sich aufgrund der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen µ uj,ji + λ uj,ji = ∇X (∇X · (u)). Zusammengefasst ergibt sich nachfolgendes ARWP, welches auch als Lameé-Navier- PDGL bezeichnet wird: ρ(x, t) = (1 − ∇X · (u)) ρ0 (X) in Ω0 ρ0 (X) (x′′ − b) = µ ∇X · (∇X (u)) + (λ + µ) ∇X (∇X · (u)) in Ω0 (2.87) u = uD on ∂Ω0,D LIN [P] · N = t0,vN on ∂Ω0,vN 14. Oktober 2023 40 3 Grundlagen der Finite-Elemente-Methode Nachdem nun eine Beschreibung des mechanischen ARWP vorliegt, müssen Verfahren zu dessen Lösung entwickelt werden. Für elliptische Probleme bietet sich hierfür die FEM an. Deren Grundlagen sollen in diesem Kapitel von einem mathematischen Standpunkt beleuchtet werden. Dies erfordert einige Grundlagen der Analysis sowie die Einführung der Begriffe des Vektorraums bzw. des Unterraums, ermöglichst aber einen Blick auf „das große Ganze“. Das nachfolgende Kapitel erhebt in keiner Weise den Anspruch, vollständig oder theoretisch exakt zu sein. Solche Darstellungen finden sich u.a. in Brenner und Scott oder Braess , sind aber für den normalen Ingenieur nur mit großem Aufwand zu verstehen. Ziel ist viel mehr, die wichtigsten Aspekte der FEM an der elliptischen Grundgleichung aufzuzeigen und so Ansatzpunkte für spätere Vertiefungen zu geben. 3.1 Vektorräume In den Grundlagen der Tensorrechnung wurde der euklidsche Vektorraum basierend auf Eigenschaften bezüglich Addition und Multiplikation (allerdings nur mit einem Skalar!) definiert (vergl. Definition 1.1, Abschnitt 1.2). Im Folgenden soll ein Raum – vereinfacht eine Gruppe mit Eigenschaften – Vektorraum V heißen, wenn die oben referenzierten Eigenschaften erfüllt sind. Somit sind neben dem bereits bekannten euklidischen Raum V 3 der Vektorraum Rn , aber auch der Raum der n-fach stetig- differenzierbarer Funktionen auf einen Gebiet Ω (C n (Ω)), ein Vektorraum. Nimmt man eine Gruppe S aus einem Vektorraum heraus – S ⊂ V – so ist diese Gruppe ein sogenannter Subraum S ⊂ V, wenn diese Gruppe unter Addition bzw. Multiplikation mit einem Skalar geschlossen ist. Geschlossen bedeutet, dass das Resultat einer solchen Operation wieder Teil der Untergruppe S und damit des Vektorraums S ist. Für die Herleitung der FEM werden Vektorräume, welche auf Funktionen basieren, die Grundlage sein. Zudem müssen diese normiert sein, oder anders ausgedrückt, es sollen nur Funktionen berücksichtigt werden, deren Produkte gewisse Eigenschaften aufweisen. 3 Grundlagen der Finite-Elemente-Methode EFEM 3.1.1 Innere Produkte und Normen Ein inneres Produkt bildet zwei Elemente eines Vektorraums V auf ein Skalar ab: n ⟨ , ⟩ : V×V→R (3.1) Für Vektoren des Rn lässt sich für das innere Produkt allgemein die Definition Gl. (1.3) anwenden. Betrachtet man einen Raum aus Funktionen, es gelte f, g ∈ V, so erfüllt das Integral Z ⟨f, g⟩L2 = f · g dv (3.2) Ω alle Eigenschaften nach Definition 1.2, Abschnitt 1.2.2. Existiert ein solches Produkt für alle Elemente eines Raums und nimmt finite Werte an, so handelt es sich um einen normierten Raum. Ist nun ein Vektorraum mit innerem Produkt vollständig bezüglich seiner Norm q | | = ⟨ , ⟩ , (3.3) so heißt dieser Raum Hilbert-Raum H. Eine formale Definition der Vollständigkeit liegt weite außerhalb des Rahmens des vorliegenden Skripts. Auch wenn die Vollständigkeit zentral für Beweise in diesen Räumen ist, ist sie für das weitere grundlegende Verständnis irrelevant. Abschließend sollen hier einige gängige Funktionsräume benannt werden. Es sei Ω ⊂ Rn ein Gebiet und f, g ∈ V(Ω) Funktionen/Abbildungen von

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