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MESTRADO EN ENXEÑARÍA NAVAL E OCEÁNICA ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS Fundamentos teóricos del MEF ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL MÉTODO DE ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS DESDE LA PERSPECTIVA DE USUARIO La formulación matemática del modelo de elemento...

MESTRADO EN ENXEÑARÍA NAVAL E OCEÁNICA ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS Fundamentos teóricos del MEF ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL MÉTODO DE ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS DESDE LA PERSPECTIVA DE USUARIO La formulación matemática del modelo de elementos finitos se puede plantear desde tres perspectivas diferentes: 1. Métodos Directos 2. Métodos Variacionales 3. Métodos de Residuos Ponderados (MRP) Permiten trasladar la formulación fuerte (diferencial) de un problema de contorno y valor inicial (PDE) a su equivalente discreto El Método 1 es habitual encontrarlo en referencias ingenieriles, dado que permite la formulación desde una perspectiva intuitiva (equilibrio mecánico) El Método 2 goza de mayor generalidad, y está supeditado a que el problema en cuestión admita la existencia de un potencial (funcional), el cual debe ser minimizado El Método 3 es el más popular, de mayor generalidad, a costa de un enfoque matemático más complejo/abstracto. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL MÉTODO DE ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS DESDE LA PERSPECTIVA DE USUARIO El MRP permite abordar de forma robusta la formulación discreta de multitud de problemas con física diferente, pero que responden a una forma común de PDE. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL MÉTODO DE ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS DESDE LA PERSPECTIVA DE USUARIO El propósito de esta asignatura no busca el desarrollo matemático subyacente al MEF, basta con conocer que la aplicación de estas metodologías, en el contexto de un análisis elástico genérico, conduciría a la obtención de la siguiente ecuación de equilibrio. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Desde un punto de vista práctico, es fundamental comprender la tipología genérica de elementos por medio de los cuales se puede afrontar un análisis de elementos finitos dado que esto condiciona el desarrollo del modelo. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS En sentido estricto, todos los problemas son tridimensionales. Sin embargo, el planteamiento de un modelo exactamente igual a la realidad conduce a procesos costosos en términos computaciones e irrelevantes para el propósito del resultado. Es necesario una “reducción del orden del modelo” ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS La “reducción del orden del modelo” permite eliminar (no modelar) determinadas dimensiones físicas del modelo sobre la base de una serie de hipótesis de cálculo. Se podría optar por … ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS La “reducción del orden del modelo” permite eliminar (no modelar) determinadas dimensiones físicas del modelo sobre la base de una serie de hipótesis de cálculo. O bien por … ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS La “reducción del orden del modelo” depende de varios factores: 1. ¿Qué es lo que se espera analizar con el modelo FEM? (resolución del resultado) 2. Predominancia de unas dimensiones respecto a otras 1. ¿Largo y ancho predomina sobre espesor? 1. 2. Modelo FEM con elemento tipo placa s/Teoría de Kirchoff o o Reissner-Mindling Una dimensión predomina sobre otra? 1. Modelo FEM con elemento tipo línea s/Teoría Euler-Benoulli o Timoshenko 3. Predominancia de detalles estructurales sobre la totalidad del modelo que no afecten al resultado que se busca Son preguntas que debe hacerse siempre el analista para poder seleccionar la tipología de elemento a emplear y el tipo de modelo a desarrollar. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS La “reducción del orden del modelo” implica la toma de decisiones sobre determinados aspectos (detalles) de la geometría. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS En general, el conjunto de elementos disponibles para el análisis se resumen a continuación, cada uno de ellos con diferente matriz de rigidez K. FAMILIA 1D ELEMENTO TIPO ORDEN NUDOS/ELEMENTO GDL/NUDO ORDEN K BARRA LINEAL LINEAL 2 2 4x4 VIGA LINEAL LINEAL 2 6 12x12 LINEAL 3 2 6x6 CUADRATICO 6 2 12x12 LINEAL 4 2 8x8 CUADRATICO 8 2 16x16 LINEAL 3 5 15x15 CUADRATICO 6 5 30x30 LINEAL 4 5 20x20 CUADRATICO 8 5 40x40 LINEAL 4 3 12x12 CUADRATICO 10 3 30x30 LINEAL 8 3 24x24 CUADRATICO 20 3 60x60 TRIANGULAR MEMBRANA CUADRILATERO 2D TRIANGULAR PLACA CUADRILATERO TETRAEDRO 3D SOLIDO HEXAEDRO ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Las distintas tipologías de elementos se asocian con una serie de GDL por nudo … FAMILIA GDL BARRA 1 traslación (u) 1 rotación (θx) VIGA 3 traslaciones (u,v,w) 3 rotaciones (θx θy θz ) PLACA 3 traslaciones (u,v,w) 2 rotaciones (θx θy) SOLIDO 3 traslaciones (u,v,w) … así como con unas determinadas hipótesis que condicionan el desarrollo de la matriz de rigidez del elemento. En los softwares comerciales existe lo que se conoce como librería de elementos, la cual permite seleccionar el elemento más adecuado al problema a resolver (a criterio del analista) ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Atendiendo al comportamiento que queramos representar a través de un elemento en concreto deberemos tener presente que: 1. Elementos lineales (1D) 1. 2. 2. Elementos superficiales (2D) 1. 2. 3. 3. Tipo barra (TRUSS). Únicamente aportan rigidez axial y en ocasiones (depende de la formulación del elemento) también rigidez a la torsión. Tipo viga (BEAM). Aportan tanto rigidez axial como a la cortante (en dos ejes) y a tres momentos (dos flectores y uno torsor) Tipo membrana (MEMBRANE). Admite cargas en el plano del elemento. Los desplazamientos en el plano, tensiones y deformaciones son uniformes a lo largo del espesor. Tipo placa (PLATE). Admite únicamente cargas perpendiculares al elemento (induce únicamente flexión de la placa) Tipo lámina (SHELL). Combina los dos efectos anteriores (membrana + placa) Elementos tridimensionales 1. Para todos aquellos casos donde los elementos anteriores no sean adecuados. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF EL ELEMENTO COMO ASPECTO CLAVE DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Adicionalmente a los elementos anteriores, existen también elementos especiales que dependiendo del software, en general se pueden clasificar en las siguientes voces: 1. 2. 3. 4. Elementos tipo muelle Elementos tipo amortiguador Elementos de contacto Elementos de masa (0D) En la mayoría de los casos se emplean en análisis más complejos que los correspondientes a un curso inicial, introductorio a la materia. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Dicotomía elemento triangular versus elemento rectangular Las mallas de elementos finitos en 2D pueden generarse por medio de elementos rectangulares o triangulares. Alternativamente, pueden emplearse mallados mixtos, con presencia de elementos triangulares o rectangulares. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Dicotomía elemento triangular versus elemento rectangular Recordando la formulación de cálculo asociada a cada elemento, y más en concreto las funciones de forma de los mismos, se tiene lo siguiente: Elementos triangulares Los elementos lineales completos (1,x,y) generan deformaciones constantes y en consecuencia tensión constante. Elementos rectangulares Los elementos lineales completos (1,x,y,xy) generan deformaciones lineales y en consecuencia tensión lineal ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Dicotomía elemento triangular versus elemento rectangular Los elementos triangulares tienen la ventaja de su gran facilidad de adaptarse a geometrías complejas, a diferencia de los rectangulares, pero sin embargo la variación de la tensión en el mismo es constante, por lo que no son aptos para zonas de altos gradientes de tensión, por no ser capaces de reflejar adecuadamente el rápido cambio en tensión a lo largo del elemento. Para paliar lo anterior, es necesario realizar mallas más finas con elementos triangulares que con rectangulares, en consecuencia, penalizando computacionalmente al modelo (mayor número de grados de libertad). En líneas generales es recomendable realizar mallas en 2D con elementos rectangulares en la medida de lo posible. El concepto es análogo en 3D para tetraedros y hexaedros. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Bloqueo por cortante (Shear Locking) Ante una flexión pura (únicamente aplicación de momento flector) se esperaría el siguiente comportamiento: Para poder replicar este comportamiento, el elemento ha de ser capaz de representar la forma deformada prevista. Los elementos lineales (primer orden) que empleen un esquema de integración de Gauss completo no podrán representar esta situación. En consecuencia, este tipo de elementos ante cargas de flexión presentarán una rigidez adicional que no se corresponde con la realidad. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Bloqueo por cortante (Shear Locking) Comportamiento numérico en el caso de elementos susceptibles al bloque por cortante: La rigidez adicional que supone este comportamiento implica que el elemento desarrollará menos deformaciones (sobrerigidez). Este tipo de elementos generarán resultados incorrectos tanto en deformaciones, tensiones y frecuencias propias de vibración. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Bloqueo por cortante (Shear Locking) Como posible solución al problema de bloque por cortante, se identifican las siguientes: 1-Empleo de elementos cuadráticos con integración completa (son capaces de representar contornos curvas por su formulación implícita) 2- Empleo de elementos lineales con integración reducida, dado que produce una matriz de rigidez menos rígida que la alternativa de cálculo con integración completa  Tiene la contrapartida del fenómeno hourglassing. 3- Refinamiento de la malla a lo largo del espesor del elemento ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Hourglassing Es un efecto numérico que resulta de un modo de deformación del elemento que no requiere energía para alcanzarlo. Ocurre cuando se hace uso de esquemas de integración reducida en elementos lineales, situación en la que la tensión normal y cortante es nula en el punto de integración de Gauss (cero energía de deformación). Es una respuesta ficticia que produce resultados incorrectos. Se evita empleando esquemas de integración completos o refinando la malla en el sentido del espesor. ANALISIS NUMERICO DE ESTRUCTURAS TEMA II – Fundamentos teóricos del MEF ALGUNAS PRECAUCIONES A LA HORA DE SELECCIONAR ELEMENTOS Hourglassing Se puede apreciar visualmente en la malla en estado deformado. Con presencia de hourglassing Sin presencia de hourglassing