Multivariate Statistik - Sitzung 2 (7.10.2024)

Multivariate Statistik Sitzung 2: Multivariate Statistiken 7. 10. 2024 Prof. Heiko Schütt  Datum Thema 27.09.2024 Sitzung 1: Einführung & Wiederholung 7.10.2024 Sitzung 2: Multivariate Statistiken 18.10.2024 Sitzun...

Multivariate Statistik Sitzung 2: Multivariate Statistiken 7. 10. 2024 Prof. Heiko Schütt  Datum Thema 27.09.2024 Sitzung 1: Einführung & Wiederholung 7.10.2024 Sitzung 2: Multivariate Statistiken 18.10.2024 Sitzung 3: Multiple lineare Regression 25.10.2024 Sitzung 4: Modellvergleiche & Korrelierte Prediktoren 29.10.2024 Sitzung 5: Dummy Codierung & Moderation 8.11.2024 Sitzung 6: Logistische Regression & GLM 15.11.2024 Sitzung 7: Multivariate ANOVA 22.11.2024 Sitzung 8: Explorative Faktorenanalyse 29.11.2024 Sitzung 9: Diskriminanzanalyse 6.12.2024 Sitzung 10: Lebens- & Klausurvorbereitung  Beispiele Abschlussnoten Performance Evaluation Blutwerte Persönlichkeitstests AI generated, Copilot https:// www.3pillarglobal.com/ wp-content/uploads/ 2021/12/How-to- measure-performance-of- software-developers.png https://images.drlogy.com/assets/ https://de.wikipedia.org/wiki/ uploads/lab/image/cbc-test-report- Big_Five_(Psychologie)#/media/ format-example-sample-template- Datei:Fuenfaktorenmodell.svg drlogy-lab-report.webp  Überblick Multivariate Statistiken Erwartungswerte Varianzen Covarianzen Rechenregeln -> Lineare Gewichtung Multivariate Normalverteilung Schätzung von Mittelwert und Covarianz Matrix  Multivariate Statistik Behandelt Situationen in denen: Mehrere Variablen gemessen werden Separate Verarbeitung nicht ausreicht Beispiele: Mehrere Variablen beein ussen unsere Ergebnisse z.B. Therapieform, Persönlichkeit und Umwelt beein ussen Therapieerfolg Mehrere abhängige Variablen z.B. Sprachintervention beein usst Deutsch, Französisch & Mathematik Noten fl fl  Zufallsvektoren Erweiterung der Zufallsvariable auf mehrere Dimensionen Mehrere Variablen die zusammen erhoben werden Eine Stichprobe ist also eine Liste von Vektoren Wir erlauben zusammenhänge zwischen gemeinsam erhobenen Variablen, nehmen aber an das Beobachtungen unabhängig sind Beobachtung V1 V2 V3 V4 V5 V6 Eine Sample 1 1.01 2 110 5 12 3 Sample 2 1.2 3 115 2 12 1 Sample 3 1.23 2 93 10 11 3  Depression Kognitive ID Score Fähigkeit Kognitive Fähigkeit 1 19 3 2 3 4 Depression Score  Depression Kognitive ID Score Fähigkeit Kognitive Fähigkeit 1 19 3 2 15 2 3 2 4 4 10 1 Depression Score  Depression Kognitive ID Score Fähigkeit Kognitive Fähigkeit 1 19 3 2 15 2 3 2 4 4 10 1 … Depression Score Wie für Univariate Verteilungen: Wir nehmen an das unserer Stichprobe eine Population zu Kognitive Fähigkeit Grunde liegt Jetzt müssen wir jeder Kombination von Variablen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen Hier: Diskreter Fall, 1/2 Schritte in Kognitiver Fähigkeit 1er Schritte für Depression Score Depression Score  Multivariate Verteilungen Unser Modell der Population Komplett analog zu Univariaten Verteilungen Technisch: Gegeben eine Sigma Algebra von Teilmengen des Multivariaten Ergebnisraums, weisen wir jeder Teilmenge eine Wahrscheinlichkeit zu Fast immer: Wir übernehmen die sigma Algebra von den 1D Verteilungen, und müssen dann für jede Kombination aus jeder Teilmenge eine Wahrscheinlichkeit de nieren Gibt es dann eine Dichte, so dass die Wahrscheinlichkeit das Integral über diese Funktion ist fi  Marginalverteilung Marginal- oder Randverteilungen sind die Verteilungen für die einzelnen Dimensionen einer Multivariaten Verteilung Marginalverteilungen können analysiert werden wie sie es im 2. Semester kennengelernt haben  Statistiken Analog zu Statistiken für Univariate Verteilungen Eine Funktion der Stichprobe zur Zusammenfassung der Verteilung Ausgewählt, so dass sie eine passende Eigenschaft der Verteilung oder Population schätzt  µ = E(x) 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 Erwartungswerte 1 XN m = µ̂ = xi N i=1 Als erste und einfachste Zusammenfassung einer Multivariaten Verteilung verwenden wir den Mittelwert oder Erwartungswert der Verteilung Für eine Multivariate Verteilung ist das ein Vektor mit dem Erwartungswert für jede Dimension Für unser Beispiel also der mittlere Depression Score und die mittlere Kognitive Fähigkeit Komplett analog zu der separaten Beschreibung, enthält keine zusätzliche Information  2 = E(x2 ) E2 (x) 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 Varianzen 1 N X 0 N 1 X A 12 s2 = ˆ 2 = @xi xj N 1 i=1 N j=1 Die Varianzen der einzelnen Dimensionen sind ebenfalls beliebte Statistiken Das ist auch ein Vektor mit einem Antrag pro Dimension Wie Erwartungswerte keine Zusatzinformation gegenüber Univariater Analyse Typischerweise als diagonale Matrix repräsentiert (siehe nächste Slide) Dies ist keine vollständige Beschreibung der Variabilität der Verteilung!  Kovarianzen & Korrelationen CoV(x, y) = E [(x 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 µx )(y µy )] N X ˆ 1 CoV(x, y) = [(x mx )(y my )] N 1 i=1 Paarweise Statistiken -> Für ein Paar von Dimensionen Charakterisieren den Zusammenhang zwischen den beiden Dimensionen Positive Werte -> positiver Zusammenhang = je höher die eine Dimension desto höher auch die andere Dimension Negative Werte -> negativer Zusammenhang = je höher die eine Dimension desto niedriger die andere Dimension  Kovarianzen & Korrelationen Alle paarweisen Statistiken zusammen ergeben dann jeweils eine Matrix CoV X Y Z Corr X Y Z X 9.37 1.01 -0.50 X 1 0.11 -0.05 Y 1.01 8.60 -1.64 Y 0.11 1 -0.18 Z -0.50 -1.64 9.72 Z -0.05 -0.18 1 Varianzen  Lineare Gewichtung xneu = w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 +... AAACFnicbZDLSsNAFIYn9VbrLerSzWARBLEkrVQ3QtGNywr2Am0Ik+mkHTqZhJmJtoQ+hRtfxY0LRdyKO9/GaZqFtv5w4OM/5zBzfi9iVCrL+jZyS8srq2v59cLG5tb2jrm715RhLDBp4JCFou0hSRjlpKGoYqQdCYICj5GWN7ye9lv3REga8js1jogToD6nPsVIacs1T0duwkk8gZfwwbXhSNeJprKmckoVTRVN3V6opGsWrZKVCi6CnUERZKq75pfew3FAuMIMSdmxrUg5CRKKYkYmhW4sSYTwEPVJRyNHAZFOkp41gUfa6UE/FLq4gqn7eyNBgZTjwNOTAVIDOd+bmv/1OrHyL5yE8ihWhOPZQ37MoArhNCPYo4JgxcYaEBZU/xXiARIIK51kQYdgz5+8CM1yya6WqrdnxdpVFkceHIBDcAxscA5q4AbUQQNg8AiewSt4M56MF+Pd+JiN5oxsZx/8kfH5A7YQm/Y= Für lineare Funktionen können wir Erwartungswerte und Varianzen berechnen Der Erwartungswert ist einfach die gleiche Gewichtung der Erwartungswerte der einzelnen Variablen: E(xneu ) = wT E(x) AAACGXicbVDLSsNAFJ34rPUVdelmsAjtpiQi1Y1QFMFlhb6gjWUynbRDJ5MwM1FLyG+48VfcuFDEpa78GydtFrX1wMDhnHOZe48bMiqVZf0YS8srq2vruY385tb2zq65t9+UQSQwaeCABaLtIkkY5aShqGKkHQqCfJeRlju6Sv3WPRGSBryuxiFxfDTg1KMYKS31TKvrIzV03fg6KT72Yk6ipAQv4FT14ofkrg5nI6WeWbDK1gRwkdgZKYAMtZ751e0HOPIJV5ghKTu2FSonRkJRzEiS70aShAiP0IB0NOXIJ9KJJ5cl8FgrfegFQj+u4ESdnYiRL+XYd3UyXVLOe6n4n9eJlHfuxJSHkSIcTz/yIgZVANOaYJ8KghUba4KwoHpXiIdIIKx0mXldgj1/8iJpnpTtSrlye1qoXmZ15MAhOAJFYIMzUAU3oAYaAIMn8ALewLvxbLwaH8bnNLpkZDMH4A+M718grqBh Die Varianz ist das äußere Produkt der Gewichte mit der Covarianzmatrix Var(xneu ) = wT ⌃w 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  Lineare Gewichtung Beispiele Summe von zwei Variablen E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) AAAB/HicbVDLSsNAFL2pr1pf0S7dDBbBhZREpLoRim5cVrAPSEOZTCft0MmDmYkSQv0VNy4UceuHuPNvnLRZaOuBgcM593LPHC/mTCrL+jZKK6tr6xvlzcrW9s7unrl/0JFRIghtk4hHoudhSTkLaVsxxWkvFhQHHqddb3KT+90HKiSLwnuVxtQN8ChkPiNYaWlgVvsBVmPPzx6n6Ao59imy3YFZs+rWDGiZ2AWpQYHWwPzqDyOSBDRUhGMpHduKlZthoRjhdFrpJ5LGmEzwiDqahjig0s1m4afoWCtD5EdCv1Chmfp7I8OBlGng6ck8qlz0cvE/z0mUf+lmLIwTRUMyP+QnHKkI5U2gIROUKJ5qgolgOisiYywwUbqvii7BXvzyMumc1e1GvXF3XmteF3WU4RCO4ARsuIAm3EIL2kAghWd4hTfjyXgx3o2P+WjJKHaq8AfG5w/NzJOU AAACGXicbVBdSwJBFJ21L7OvrR57GZJAEWQ3wnoJpAh6NEhd0UVmx1EHZ2eXmdlAFv9GL/2VXnooosd66t80qwuZdmDgzDn3cu89XsioVJb1bWRWVtfWN7Kbua3tnd09c/+gIYNIYFLHAQuE4yFJGOWkrqhixAkFQb7HSNMbXSd+84EISQN+r8YhcX004LRPMVJa6ppWx0dq6HnxzQQWnFKrCC/hr1RwirA0/28Vu2beKltTwGVipyQPUtS65menF+DIJ1xhhqRs21ao3BgJRTEjk1wnkiREeIQGpK0pRz6Rbjy9bAJPtNKD/UDoxxWcqvMdMfKlHPuerkyWlIteIv7ntSPVv3BjysNIEY5ng/oRgyqASUywRwXBio01QVhQvSvEQyQQVjrMnA7BXjx5mTROy3alXLk7y1ev0jiy4AgcgwKwwTmogltQA3WAwSN4Bq/gzXgyXox342NWmjHSnkPwB8bXD545njM= AAACTXicbVHNSwJBHJ21D82+rI5dhiRQDNmVsC6B5KWjQa6KisyOszY4O7PMzAay+A92Cbr1X3TpUEQ0qx5KfTDweO/3+M288UJGlbbtNyu1sbm1nc7sZHf39g8Oc0fHrhKRxKSJBROy7SFFGOWkqalmpB1KggKPkZY3rid+64lIRQV/0JOQ9AM04tSnGGkjDXLDngiJRFpIjgISu0hOC+1Spwhv4DqnCEvr9E6iV5acunBN4gJ2ioNc3i7bM8BV4ixIHizQGORee0OBo4BwjRlSquvYoe7HSGqKGZlme5EiIcJjNCJdQ5N1qh/P2pjCc6MMoS+kOVzDmfo3EaNAqUngmckA6Ue17CXiOq8baf+6H1MeRppwPF/kRwxqAZNq4ZBKgjWbGIKwpOauED8iibA2H5A1JTjLT14lbqXsVMvV+8t87XZRRwacgjNQAA64AjVwBxqgCTB4Bu/gE3xZL9aH9W39zEdT1iJzAv4hlf4F+S2zGQ== w = [1, 1] Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 CoV(X, Y ) Mittelwert aller Variablen 1 1 1 1 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 E( X1 + X2 +... ) = E(X1 ) + E(X2 ) +... AAACB3icbVDLSsNAFJ3UV62vqEtBBovgQmoiUt0IRTcuK9gHpKFMJpN26GQSZiZKCd258VfcuFDErb/gzr9xkmahrRdmOJxzD/fe48WMSmVZ30ZpYXFpeaW8Wllb39jcMrd32jJKBCYtHLFIdD0kCaOctBRVjHRjQVDoMdLxRteZ3rknQtKI36lxTNwQDTgNKEZKU31zvxciNfSC9GECL6Fjn/jHMP96fqSk2zerVs3KC84DuwBVUFSzb35pI05CwhVmSErHtmLlpkgoihmZVHqJJDHCIzQgjoYchUS6aX7HBB5qxodBJPTjCubsb0eKQinHoac7s63lrJaR/2lOooILN6U8ThTheDooSBhUEcxCgT4VBCs21gBhQfWuEA+RQFjp6Co6BHv25HnQPq3Z9Vr99qzauCriKIM9cACOgA3OQQPcgCZoAQwewTN4BW/Gk/FivBsf09aSUXh2wZ8yPn8AFEuXig== w = [1/d, 1/d,... ] d d d d N N 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 1 1 1 XX Var( X1 + X2 +... ) = 2 CoV (Xi , Xj ) d d d i=1 j=1 Di erenz zwischen zwei Variablen E(X Y ) = E(X) E(Y ) AAAB/XicbVDLSsNAFL2pr1pf8bFzM1gEF1oSkepGKLpxWcE+IA1lMp20QycPZiZKDcVfceNCEbf+hzv/xkmbhbYeGDiccy/3zPFizqSyrG+jsLC4tLxSXC2trW9sbpnbO00ZJYLQBol4JNoelpSzkDYUU5y2Y0Fx4HHa8obXmd+6p0KyKLxTo5i6Ae6HzGcEKy11zb1OgNXA89OHMbpEjn2MTmy3a5atijUBmid2TsqQo941vzq9iCQBDRXhWErHtmLlplgoRjgdlzqJpDEmQ9ynjqYhDqh000n6MTrUSg/5kdAvVGii/t5IcSDlKPD0ZJZVznqZ+J/nJMq/cFMWxomiIZke8hOOVISyKlCPCUoUH2mCiWA6KyIDLDBRurCSLsGe/fI8aZ5W7GqlentWrl3ldRRhHw7gCGw4hxrcQB0aQOARnuEV3own48V4Nz6mowUj39mFPzA+fwA9IpPL AAACGXicbVBdSwJBFJ21L7OvrR57GZJAH5TdCOslkCLo0SB1RReZHUcdnJ1dZmYDWfwbvfRXeumhiB7rqX/TrC5k2oGBM+fcy733eCGjUlnWt5FZWV1b38hu5ra2d3b3zP2DhgwigUkdBywQjockYZSTuqKKEScUBPkeI01vdJ34zQciJA34vRqHxPXRgNM+xUhpqWtaHR+poefFNxNYcEqtIryEv1LBKcLS/L9V7Jp5q2xNAZeJnZI8SFHrmp+dXoAjn3CFGZKybVuhcmMkFMWMTHKdSJIQ4REakLamHPlEuvH0sgk80UoP9gOhH1dwqs53xMiXcux7ujJZUi56ifif145U/8KNKQ8jRTieDepHDKoAJjHBHhUEKzbWBGFB9a4QD5FAWOkwczoEe/HkZdI4LduVcuXuLF+9SuPIgiNwDArABuegCm5BDdQBBo/gGbyCN+PJeDHejY9ZacZIew7BHxhfP6Spnjc= AAACTXicbVFNSwJBGJ61D82+rI5dhiRQStmVsC6B5KWjQa6KLjI7O+rg7M4yMxvI4h/sEnTrX3TpUEQ06h5KfWHg4fngnXnGDRmVyjTfjNTG5tZ2OrOT3d3bPzjMHR3bkkcCkybmjIu2iyRhNCBNRRUj7VAQ5LuMtNxxfaa3noiQlAePahISx0fDgA4oRkpT/ZzX4yERSHERIJ/ENhLTQrvUKcJbuE4pwot1vPaXYGVJqXNbJy5hp9jP5c2yOR+4CqwE5EEyjX7utedxHPkkUJghKbuWGSonRkJRzMg024skCREeoyHpajhbJ5143sYUnmvGgwMu9AkUnLN/EzHypZz4rnb6SI3ksjYj12ndSA1unJgGYaRIgBeLBhGDisNZtdCjgmDFJhogLKi+K8QjJBBW+gOyugRr+cmrwK6UrWq5+nCVr90ldWTAKTgDBWCBa1AD96ABmgCDZ/AOPsGX8WJ8GN/Gz8KaMpLMCfg3qfQvACCzHQ== w = [1, 1] Var(X Y ) = Var(X) + Var(Y ) 2 CoV(X, Y ) ff Multivariate Normalverteilung  Multivariate Normalverteilung 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 ✓ 1 ◆ k/2 1/2 1 (2⇡) det(⌃) exp (x µ)T ⌃ (x µ) 2 Die häu gst verwendete multivariate Verteilung Unimodal mit identischem Mittelwert, Maximum und Median Beliebige Kovarianzmatrix Zwei Parameter: Mittelwert μ : Ein Vektor der Erwartungswerte für jede Dimension Covarianzmatrix Σ : Positiv de nite symmetrische Matrix mit einer Zeile und Spalte für jede Dimension Jede lineare Gewichtung ist eine univariate Normalverteilung Den Mittelwert und die Varianz können wir mit den Formeln oben berechnen fi fi  Schätzung von Mittelwerten Der Mittelwert der Stichprobe ist der o ensichtliche und einzige normale Schätzer für den Mittelwert der Verteilung Das ist identisch zum Mittelwert pro Dimension Der Mittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer, der Erwartungswert des Mittelwerts der Stichprobe ist also der Erwartungswert der Verteilung Die Kovarianz des Mittelwerts ist ein vielfaches der Kovarianz der Verteilung ff  Schätzung der Kovarianz Der einfachste Schätzer hier ist die Kovarianz der Stichprobe 1 Wie auch für univariate (Ko-)Varianzen wird n − 1 vorgezogen Unter Annahme einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 folgen Stichproben-Kovarianzen einer Wishartverteilung, dem Multivariaten Equivalent der χ 2 Verteilung Es gibt viele weitere Methoden Kovarianzen zu schätzen, insbesondere für hochdimensionale Verteilungen (>>100, z.B. Voxel eines Hirnareals, alle Aktienkurse, Proteinkonzentrationen in Zellen, etc.)  Praxis Berechnen von Mittelwerten & Covarianzen Beispiel-Bericht Korrelationsmatrix  Beispiel Korrelationsmatrix This document is copyrighted by the American Psychological Association or one of its allied publishers. This article is intended solely for the personal use of the individual user and is not to be disseminated broadly. Table 1 Means, Standard Deviations, and Correlations of Manifest Big Five Traits and Self-Esteem Var. M SD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1. T1 E 4.45 0.96 — 2. T1 A 4.68 0.74.21* — 3. T1 C 4.43 0.96.23*.24* — 4. T1 N 4.03 1.00 −.35* −.15* −.28* — 5. T1 O 4.82 0.93.27*.17*.14* −.06* — 6. T1 SE 4.47 1.51.43*.21*.27* −.67*.08* — 7. T2 E 4.47 0.96.83*.19*.24* −.35*.19*.43* — 8. T2 A 4.63 0.78.13*.69*.16* −.10*.05.06.21* — 9. T2 C 4.41 0.99.20*.15*.80* −.24*.05.25*.25*.27* — 10. T2 N 4.05 1.05 −.30* −.11* −.18*.81* −.03 −.61* −.38* −.19* −.26* — 11. T2 O 4.87 0.98.21*.01.06 −.07.78*.09*.28*.13*.13* −.10* — 12. T2 SE 4.55 1.47.34*.08.16* −.55* −.01.74*.44*.13*.25* −.70*.09* — 13. T3 E 4.52 0.94.80*.17*.27* −.27*.21*.36*.81*.13*.25* −.29*.20*.37* — 14. T3 A 4.71 0.76.09.66*.15* −.13*.07.12*.11*.80*.23* −.17*.07.10*.18* — 15. T3 C 4.46 1.03.23*.10*.81* −.29*.07.29*.29*.19*.87* −.28*.12*.27*.29*.24* — 16. T3 N 3.94 1.03 −.25* −.13* −.23*.75* −.12* −.59* −.35* −.16* −.26*.82* −.15* −.59* −.36* −.24* −.34* — 17. T3 O 4.87 0.99.21*.03.04 −.15*.76*.14*.23*.11*.13* −.19*.85*.15*.28*.15*.17* −.23* — 18. T3 SE 4.69 1.53.35*.15*.24* −.52*.10.69*.48*.12*.25* −.58*.13*.74*.50*.22*.32* −.71*.21* — Note. Var. = variable; T1 = first measurement point; E = extraversion; A = agreeableness; C = conscientiousness; N = neuroticism; O = openness; SE = self-esteem; T2 = second measurement point; T3 = third measurement point. * p <.01. Bien, K., Wagner, J., & Brandt, N. D. (2024). Growing up to be mature and con dent? The longitudinal interplay between the Big Five and definition, we consider in a second step, often data from different stud data set before they are a approaches where raw d scores from the final m maximum likelihood handled item-based m fit criteria (ΔCFI <. (Hu & Bentler, 1999; ized root-mean resid square error of appro overall fit with comp We evaluated the in measurement invaria loadings across time starting with a confi We evaluated the m were identified using self-esteem, the four appropriate in this ca et al., 2019; Soto & items load as expecte constructs. Given tha respective personalit trait, with four item lavaan (Rosseel, 201 esteem (resulting in s latent measurement m Testing for Measu hypotheses. We used referring to the speci tion on the general lo measurement invarian Voelkle et al., 2012 conducted using con between personality traits and self-esteem step, we analyzed lon computing continuou examined rank-order (T1–T3) within and we tested for measure is particularly approp esteem with the Rosen tions of our central co measurement occasio students within the As our fused studies e operationalizations an methodological chall and more flexibility studies has multiple s to the synthesis of lo 3 self-esteem in adolescence.Journal of Personality and Social Psychology, 127(2), 404–431. https://doi.org/10.1037/pspp0000518 To test for measure We took three steps Marcoulides and G Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!