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SEGNALI 2 16/10 Intro Elaborazione Segnali (1) 1a – Sistemi di misura ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOMEDICI A.A. 2020/2021 JLENIA TOPPI Sistemi di Misura Tipico sistema di misura per segnali biomedici 1. Il processo fisiologico di interesse...
SEGNALI 2 16/10 Intro Elaborazione Segnali (1) 1a – Sistemi di misura ELABORAZIONE DI DATI E SEGNALI BIOMEDICI A.A. 2020/2021 JLENIA TOPPI Sistemi di Misura Tipico sistema di misura per segnali biomedici 1. Il processo fisiologico di interesse Viene in un convertito seguale viene convertito in un segnale elettrico ↑ elettrico mediante un trasduttore 2. Si applicano tecniche analogiche di processamento del segnale (amplificazione e filtraggio) 3. Il segnale viene convertito in digitale attraverso un convertitore analog-to- digital (ADC) 4. Il segnale digitale viene ↓ immagazzinato o bufferizzato nella memoria del PC Conversione seguale da analogico a 5. Vengono applicate tecniche di signal digitale processing 6. Il risultato viene visualizzato sul display EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 2 Trasduttori (1/4) Un trasduttore è un dispositivo che converte l’energia da una forma all’altra Nell’ambito del signal processing, tale conversione di energia consente di trasferire l’informazione Nei sistemi di misura i trasduttori di input (sensori) convertono l’energia in un segnale elettronico Fanno eccezione gli elettrodi che convertono energia elettrica ionica in elettronica L’uscita di un trasduttore biomedico è una tensione o una corrente, la cui ampiezza è proporzionale all’energia misurata EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 3 Trasduttori (2/4) convertono energia esterna al sistema sensori convertono energia interna al sistema EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 4 Trasduttori (3/4) APPROCCIO AD ENERGIA ESTERNA AL SISTEMA Sensori trasducono l’energia prodotta indirettamente dal sistema nell’interazione con una sorgente esterna L’energia generata esternamente interagisce ed è modificata dal sistema in esame Tale alterazione produce la misura Esempio: raggi X prodotti esternamente e assorbiti dai tessuti corporei investiti dal fascio la misura dell’assorbimento è utilizzata per costruire un’immagine EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 5 Trasduttori (4/4) APPROCCIO AD ENERGIA INTERNA AL SISTEMA Molti processi fisiologici producono energia che può essere rilevata direttamente Esempi: Misura della pressione interna cardiaca misure dell’attività elettrica di muscoli, cuore e cervello (sorgenti EXG) tramite elettrodi EEG cervello EMG muscoli ECG cuore EOG occhio EGG pareti gastriche GSR pelle Stabiliscono il livello di invasività del sistema di misura EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 6 Misure dirette dell’energia EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 7 Trasduttori Prestazioni dei trasduttori Risoluzione Estensione della banda Noise rejection Approcci di trasduzione: L’energia in input fa generare all’elemento di trasduzione una tensione o una corrente (TRASDUTTORI OTTICI) L’energia in input crea un cambiamento nelle proprietà elettriche dell’elemento di trasduzione (resistenza, induttanza, capacità) (TRASDUTTORI DI TEMPERATURA) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 8 Processamento analogico del segnale La maggior parte delle tecniche si processamento del segnale vengono eseguite spesso su dati digitalizzati mediante algoritmi implementati in software Tuttavia sono necessarie alcune operazioni sul segnale analogico Il primo step analogico dipende dal tipo di trasduttore: Se il trasduttore è un generatore di tensione, il primo step è sicuramente un amplificatore Se il trasduttore varia le sue proprietà elettriche, bisogna usare una corrente costante per ricavare una tensione di uscita (es: termistore) Se il trasduttore produce una corrente in uscita, il primo step è un amplificatore (trans-conduttanza) corrente- tensione (es: fotodiodo) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 9 Sorgenti di variabilità: rumore RUMORE è un termine molto generale e piuttosto relativo Il rumore è ciò che non vuoi, mentre il segnale è ciò che vuoi Il rumore è intrinseco ai sistemi di misura e spesso ne limita le performance Molte delle tecniche di processamento del segnale hanno come obiettivo la minimizzazione del rumore EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 10 Origini del rumore Variabilità fisiologica Rumore Rumore elettronico RUMORE ambientale Artefatti del sensore EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 11 Origini del rumore L’informazione che desideri è basata su Variabilità fisiologica una misura soggetta a delle influenze biologiche diverse da quelle di interesse Rumore Rumore elettronico RUMORE ambientale Artefatti del sensore EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 12 Origini del rumore Variabilità fisiologica Rumore Rumore elettronico RUMORE ambientale Proviene da sorgenti esterne (alimentazione di rete) o interne al sistema (ECG fetale corrotto da ECG materno) Artefatti del sensore EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 13 Origini del rumore Variabilità fisiologica Rumore Rumore elettronico RUMORE ambientale Il sensore risponde ad altre forme di Artefatti del energia diverse da quella desiderata sensore (elettrodi sensibili ad artefatti) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 14 Origini del rumore Variabilità fisiologica Rumore termico prodotto da elementi conduttori Range: from DC to 10^12 – 10^13 Hz Spettro del rumore bianco Rumore Rumore elettronico RUMORE ambientale Artefatti del sensore EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 15 Sorgenti di variabilità EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 16 ci SEGNALE > - ponzione che interema l'onda - è da composta I rumore la porzione che non ci interessa SNR = 20 log (SENE) [dB] Rapporto Segnale-Rumore (1/3) La maggior parte delle forme d’onda è composta da segnale e rumore mescolati insieme Il segnale è la porzione d’interesse della forma d’onda, mentre il rumore è la porzione che non interessa Il RAPPORTO SEGNALE-RUMORE (SNR) misura le quantità relative di segnale e rumore presenti nella forma d’onda La sua formulazione è: 𝑆𝑁𝑅 20 log (decibel dB) dove segnale e rumore sono misurati in media quadratica dell’ampiezza 𝑥 ∑ 𝑥 EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 17 dB/20 SNReineare = 20 Rapporto Segnale-Rumore (2/3) Per eseguire la conversione da scala decibel a scala lineare, si usa la seguente formula: ⁄ 𝑆𝑁𝑅 10 𝑆𝑁𝑅 20 𝑑𝐵 indica che i valori in media quadratica del segnale sono 10 volte quelli del rumore (10 ⁄ 10 ⁄ 𝑆𝑁𝑅 3 𝑑𝐵 indica un rapporto di 1.414 (10 1.414 𝑆𝑁𝑅 0 𝑑𝐵 indica che segnale e rumore sono uguali ⁄ 𝑆𝑁𝑅 3 𝑑𝐵 indica un rapporto di 1/1.414 (10 1/1.414 ⁄ 𝑆𝑁𝑅 20 𝑑𝐵 indica un rapporto di 1/10 (10 1/10 EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 18 Rapporto Segnale-Rumore (3/3) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 19 Rimuovere il rumore ~ eurono A per CONDIZIONARE SEGNALE PER CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE · il sequale deve contenere frequenze non piri della metà della glandi frequenza di campionamento Filtri analogici · Utilizzo FILTRO Passa-Basso ↳ per ridune al minimo il numore I filtri analogici vengono utilizzati per: 1. Rimuovere il rumore 2. Condizionare opportunamente il segnale per la conversione analogico-digitale (limitare la banda del segnale) Una conversione accurata di un segnale analogico in un segnale digitale richiede che il segnale contenga frequenze non più grandi della metà della frequenza di campionamento (sia il segnale che il rumore) Pertanto è fondamentale inserire un filtro passa- basso per limitare la banda della forma d’onda da convertire (al minimo per ridurre il rumore) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 20 Tipi di filtri I filtri analogici sono dei dispositivi elettronici che rimuovono alcune frequenze selezionate I filtri vengono nominati in base al range di frequenze che NON sopprimono: Passa-basso permette alle basse frequenze di passare con attenuazione minima mentre le alte frequenze vengono attenuate Passa-alto passano le alte frequenze, mentre le basse frequenze sono attenuate Passa-banda le frequenze al di sotto e al di sopra di una certa banda vengono attenuate Reiezione-banda le frequenze in una certa banda vengono attenuate EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 21 Banda-passante del filtro BANDA-PASSANTE range di frequenze non attenuate dal filtro La pendenza della curva di attenuazione è legata alla complessità del filtro La pendenza è tanto più ripida quanto maggiore è il numero di elementi che immagazzinano energia nel filtro (capacità) EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 22 Complessità del filtro EBSB1_AA2020/21 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI 23 Intro Elaborazione Segnali (1) 1b – Conversione Analogico-Digitale E L A B ORA ZIONE D I D A TI E S E G N A L I B I O M E D I C I A. A. 2023 /2024 JL E N I A TO P P I converte un potenziale analogico X(t) in em NUMERO DIGITALE X[m] ↓ Campionamento - I per fare questa conversione senve fare una doppia operazione di SLICING Lavantizzazione Conversione analogico-digitale (1/3) L’ultimo elemento analogico del sistema di misura è il convertitore analogico-digitale (ADC) L’ADC è un componente elettronico che converte un potenziale analogico ( ) in un numero digitale [ ] Al fine di eseguire tale conversione è necessario fare una doppia operazione di «slicing»: 1. Nel tempo (CAMPIONAMENTO) 2. In ampiezza (QUANTIZZAZIONE) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Conversione analogico-digitale (2/3) Lo «slicing» nel tempo campiona la forma d’onda continua x(t) in punti discreti nel CAMPIONAMENTO tempo nTs dove Ts è il periodo di campionamento Il segnale deve essere diviso in livelli descreti rispetto all’ampiezza Il grado di approssimazione dipende dal numero di livelli e dal QUANTIZZAZIONE range del segnale ADC 8bit, 2 = 256 livelli, range del segnale [0.0 – 5.0]Volts; intervallo di quantizzazione pari a 5/256=0.0195 Volts EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Il processo di conversione (1/2) Il processo di conversione può essere rappresentato da un modello a due step: 1. S/H sample and hold 2. ADC conversione analogico-digitale Tale processo permette di separare gli effetti del campionamento da quelli della quantizzazione campionamento quantizzazione X(t) ↓ d x(m) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Il processo di conversione (2/2) sequale campionato e mantenuto costante a tratti fino all'anivo > - di un altro seguale EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Campionamento L’uscita del blocco S/H può variare soltanto ad intervalli periodici della durata del periodo di campionamento Cambiamenti nel segnale di ingresso al blocco S/H che avvengono tra gli istanti di campionamento vengono ignorati Il segnale viene campionato in un certo istante (SAMPLE) e il suo valore viene mantenuto costante fino all’istante di campionamento successivo (HOLD) CAMPIONAMENTO converte la variabile indipendente (tempo) dal dominio continuo a quello * discreto EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI fa perdere l'informazione 1. SAMPLE 6 tra l'istante di campionamento e 2. HOLD l'istante successivo Campionamento time Ts EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Quantizzazione Ipotizziamo di quantizzare a 12bit (2 = 4096 livelli) Il blocco ADC produce un valore intero tra 0 e 4095 per ognuna delle regioni piatte ottenute nel segnale campionato Questo introduce un errore, perché ogni plateau può assumere solo alcuni valori nel range del segnale Assumendo che il segnale abbia un range di [0, 4.095]V e che il ADC funzioni a 12 bit, ogni livello ha ampiezza 0.001V le ampiezze 2.56000V e 2.56001V vengono entrambe convertite nel livello 2560 EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Quantizzazione > - ipaceini mer (campionamento) diventano i pareini noni (quantizzazione) Vmax N V4 V3 RANGE V2 V1 Vmin V EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Errore di quantizzazione (1/2) Least Significance Bit (LSB) è la V2 distanza tra due livelli di quantizzazione: = LSB 2 Ogni campione nel segnale digitale V1 può essere associato ad un errore al massimo pari a ± EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Errore di quantizzazione (1/2) L’uscita digitale è equivalente alla somma del segnale continuo e dell’errore di quantizzazione L’errore di quantizzazione appare come rumore random EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Errore di quantizzazione (2/2) In molti casi, la quantizzazione risulta nell’aggiunta di una specifica quantità di rumore random al segnale Mumore additivo Il rumore additivo è: uniformemente distribuito tra #ELSB · uniformemente distribuito tra ±. ha media nela ha media nulla · ha deviazione standard pari a S = 0. 29 Ha deviazione standard pari a = 0. Un ADC a 8 bit aggiunge al segnale un rumore di quantizzazione pari a (0.29/256), un ADC a 12bit aggiunge un rumore pari a (0.29/4096) mentre un ADC a 16bit aggiunge un rumero pari a (0.29/65536) Il numero di bit determina la precisione dei dati EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Questionario 1 bit.ly/poll1b_1 EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Sampling rate 1000 Hz Teorema del campionamento CAMPIONAMENTO CORRETTO supponiamo di aver campionato il segnale in un modo qualunque. Tale campionamento è appropriato se è ↓ f = d possibile ricostruire ESATTAMENTE seguale do frequenza il segnale analogico dai campioni campionato analogica la conettezza del campionamento viene "valutata" riportando il seguale dal digitale all'analogico senza perdere alcun tipo di informazione EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Sampling rate 1000 Hz Teorema del campionamento CAMPIONAMENTO CORRETTO supponiamo di aver campionato il segnale in un modo qualunque. Tale campionamento è appropriato se è possibile ricostruire ESATTAMENTE il segnale analogico dai campioni # seguale analogico f = 90Hz 1. 90 cicli per 1000 campioni 1000/90=11 campioni per ciclo 2. solo una sinusoide può interpolare 11 campioni (no aliasing) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Sampling rate 1000 Hz Teorema del campionamento CAMPIONAMENTO CORRETTO supponiamo di aver campionato il segnale in un modo qualunque. Tale campionamento è appropriato se è possibile ricostruire ESATTAMENTE il segnale analogico dai campioni F= 310Hz 1. 300 cicli per 1000 campioni 1000/300=3.2 campioni per ciclo 2. solo una sinusoide può interpolare 3 campioni (no aliasing) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Sampling rate 1000 Hz Teorema del campionamento & la frequenza deve essere almeno il doppio della manima CAMPIONAMENTO CORRETTO ↑ frequenza del seguale supponiamo di aver campionato il D T NYQUIST. segnale in un modo qualunque. Tale - campionamento è appropriato se è possibile ricostruire ESATTAMENTE il segnale analogico dai campioni F = 950Hz TEOREMA NYQUIST uguale alla sinusoide Un segnale continuo può essere ↳ non è iniziale (non va beneb correttamente campionato se e solo se non contiene componenti in frequenza superiori alla metà della 1. 950 cicli per 1000 campioni 1000/950=1.05 campioni per ciclo frequenza di campionamento 2. sinusoide differente da quella contenuta nel segnale analogico (aliasing) (frequenza di Nyquist) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Esempi di campionamento (1/3) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Esempi di campionamento (2/3) x(f)S(f- N a prodotto di convenzione * (t) ES(t-mis)*. KF) n= 0 - treno di impulsi fietro passa basso Y 1 2 fs 1 p... = Ts I I I I I mettendo un S filtro passa & - basso - 9 -- perché le repliche eliminabili ~ del seguale sono CAMPIONAMENTO APPROPRIATO il segnale originale può essere ricostruito eliminando frequenze > EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Esempi di campionamento (3/3) stiamo violando il di Nyquist. 6 Teorema ! - & ALIASING CAMPIONAMENTO INAPPROPRIATO il segnale originale non può essere ricostruito EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Conversione Digitale-Analogica (DAC) (1/3) Il modo più semplice di eseguire una conversione Digitale-analogica (DAC) è quello di prendere i campioni dalla memoria e convertirli in un treno di impulsi Il segnale analogico originale può essere perfettamente ricostruito facendo passare il treno di impulsi in un filtro passa basso con frequenza di taglio pari alla metà della frequenza di campionamento Metodo matematicamente perfetto ma di difficile realizzazione (difficile ↑ generare treno di impulsi) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Conversione Digitale-Analogica (DAC) (2/3) X (m)S(t mT) - enect Xs > - X(5). sinc In realtà il DAC lavora lo spett mantenendo l’ultimo valore viewe ridotto campionato fino al successivo questa se & di M istante di campionamento (zeroth-order hold) Nel dominio della frequenza il DAC risulta nel prodotto dello spettro del treno di impulsi per il sync (nel tempo convoluzione tra treno di impulsi e impulso rettangolare di durata pari al periodo di campionamento) EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Conversione Digitale-Analogica (DAC) (3/3) Un filtro analogico converte il segnale zeroth-order hold nel inc segnale ricostruito Tale filtro necessita di: 1. Rimuovere tutte le frequenze superiori a quella di Nyquist 2. Amplificare le frequenze del reciproco del zeroth-order hold (1/sinc(x)) Fs/2 EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Filtri Analogici per la conversione dati x(t) + [m] EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI elimina T(EFcampionamento Filtri Analogici per la conversione dati FILTRO ANTI-ALIASING Prima della ADC il segnale in ingresso viene trattato con un filtro analogico passa-basso necessario a rimuovere tutte le frequenze al di sopra di quella di Nyquist ( della frequenza campionamento) FILTRO DI RICOSTRUZIONE Il segnale digitale passa in un convertitore digitale-analogico e in un filtro passa-basso settato alla frequenza di Nyquist Questo modello è limitato dalle non idealità dei filtri elettronici EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Filtri Analogici I filtri analogici maggiormente utilizzati sono: Chebyshev Butterworth Bessel Ognuno è progettato per ottimizzare un diverso parametro di performance La complessità del filtro può essere aggiustata selezionando un numero diverso di poli e zeri del filtro Più poli ci sono e più elettronica è necessaria per implementare il filtro EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Circuito bane che implementa un Filtro PASSA-BASSO Building Block per Filtri Analogici 6. Circuito Sallen-Key per il design di filtri analogici (1950) i valoni di Ri e la C Il circuito mostra un filtro passa-basso a 2 poli che può sono già scelti essere configurato secondo una delle tre tipologie base rappresent allo Per filtro passa-alto invertire R e C solo quindi devo decidere i il kz un mero di condensatori valoni di K+ e R ↓ If · ↓ al K2 in base tipo di C -A dobbiamo perché 2 poli ? fietro Rikz. Che voglio Ry la decidere però 2 poei frequenza di taglio ↳ potrebbe realizzare scendere troppe d facilmente L quindi è un per CIRCUITO aumentare i poli posso : PARAMETRICO · aumentare i condensatori · mettere in serie al circuito mu circuito elettrico uguale EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Building Block per Filtri Analogici Filtri a 4, 6 o 8 poli vengono costruiti mettendo in cascata 2, 3 o 4 circuiti, rispettivamente sononiuscita ad 6 implementare di 4 poli EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Andiamo a vedere la risposta in frequenza dei 3 filtri Caratteristiche filtri analogici Cut-off frequency sharpness per filtro passa-basso con frequenza di taglio 1 Hz Chebyshev a 8 poli è il migliore ma non sufficiente per un filtro anti-aliasing · filtri ideaei - > Notiamo che all'aumentare del muero dei poli il filtro deciesce più velocemente non può essere usato questo è già meglio ma come filtro ANTI-ALASING non lo possiamo comunque * uscue come fietro ANT-ALASING & ! i i 1 35 & noi. però volevamo la frequenza di taglio Hz loganitica a sono in scala EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI IDEALE fs = 80Hz = 2B A fs = 2(B + RoF) purché Chebyshev non va bene come filtro ANT-ALASING ? 7)inee · r Non idealità dei filtri analogici B B + Ree off * Perché Chebyshev non è valido come filtro anti-aliasing? Supponiamo di avere un sistema di campionamento a 10 kHZ. Il teorema del campionamento dice che qualunque frequenza al di sopra dei 5kHz sarà soggetta a aliasing Decidiamo quindi che tutte le frequenze superiori a 5kHz siano ridotte in ampiezza di un fattore 100, ipotizzando che ogni frequenza soggetta a aliasing abbia un’ampiezza inferiore all’1% Il filtro di Chebyshev a 8 poli con = non raggiunge un’attenuazione di 0.01 prima di 1.35. Scalando il cut-off del filtro deve essere posto a 3.7 affinchè tutte le frequenze sopra i 5kHz abbiano l’attenuazione richiesta Nella maggior parte dei sistemi, la banda di frequenza tra 0.4 e 0.5 della frequenza di campionamento è una zona non utilizzabile in cui troviamo il roll-off del filtro e i segnali soggetti a aliasing EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Ripple nella banda-passante Guardando la risposta in frequenza dei filtri in scala lineare si vede come Chebyshev abbia un elevato ripple nella banda-passante (6% circa 0.5 dB) Il filtro di Butterworth è ottimizzato per avere il più ripido roll-off senza ripple nella banda passante p ha role-off miglione ie questo fa rippLE non ha una e un soll-off piùlento & La però dobbiamo prendere I questo sono in scala linece EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Vediamo il filtro nel dominio del tempo Risposta al gradino Come il filtro risponde quando il segnale in ingresso cambia rapidamente da un valore ad un altro tronde vanno a un valone ↓ più grande del gradino e non costanti nimangono I filtri Butterworth e Chebyshev mostrano overshoot e ringing B · più veloce saggingere a ie gradino e poinimame ↓ Costante da è il migliore nel dominio del tempo EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Selezionare il filtro anti-aliasing La selezione del filtro anti-aliasing dipende quasi interamente dal seguente problema: Come è rappresentata l’informazione nel segnale che vorresti analizzare? Bensee ↓ 1. Encoding nel dominio del tempo (la forma del segnale contiene l’info) 2. Encoding nel dominio della frequenza (conversione analogico-digitale) ↳ Butterworth e Chebyshev EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Selezionare il filtro anti-aliasing I * CARATTERISTICHE DOMINIO FREQUENZA ↳ cosa dobbiamo Dominio del Tempo guardare ? Cosa dobbiamo vedere ? I I · nipple · Overshoot · attemazione · linging I ↳ fa ripple EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Questionario 2 bit.ly/poll1b_2 EBSB1_AA2023/24 - INTRO ELABORAZIONE SEGNALI - SISTEMI DI MISURA - JLENIA TOPPI Spectral Analysis (2) 2a – Discrete Fourier Tranform S I G N A L P R O C E S S I N G A N D I N F O R M ATIO N TH E ORY A. A. 2023 /2024 JL E N I A TO P P I strumento che ci permette di prendere il seguale nel dominio del tempo e trasformarlo nel dominio della frequenza b History of Fourier Transform Fourier analysis is named after Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), a French mathematician and physicist In 1807 presented a paper (about heat propagation) on the use of sinusoids to represents temperature distribution L utilizzo di sinusoidi per rappresentare le distribuzioni CLAIM: è vera anche per i di temperature discreti seguali ↳ Chiave della J > any continuous periodic signal could be represented trasformata di - as the sum of properly chosen sinusoidal waves Tomie soma While Laplace and the other reviewers voted to publish the paper, Lagrange > - conteneva che questa cosa non adamantly protested era veral It was only after Lagrange died that the paper was finally published, some 15 years ruche later. questa si non a mi può applicane seguale con uno spigolo EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 2 le ampiezze non sono tutte uguali, sono Opportunamente modulate Sinusoidal sono 9 , perché ? decomposition Reché se panto da 16 campioni questo può enere scomposto in :N + 1 COD sono delle in ma 2 TRASFORMAZIONI N=16samples serie di ESATTE a sin a cos do Ovvero nelle trasforme. scomposizione non c'e' sintesi S enone ↑ se sommo sei tutti e 9 e tutti e a i co +1 sin alcona & eguale discreto composto da 16 campioni Fourier decomposition of the signal gives 9 cosine and 9 sine waves with different frequency and amplitude The sum of these 18 sinuoids produce the original signal EXACT TRANSFORMATION EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 3 Sinusoidal decomposition > se - sommo tutte le sinusoidi ottengo il sequale elettro cardiografico può essere & approssimato a una somma di sinusoidi ↳ EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 4 Fourier Transform TRASFORMATA DI FOURIER The general term: Fourier transform, can be broken into four categories, resulting from the four basic types of SERIE DI FOURIER signals that can be encountered (continuous or discrete, periodic or aperiodic) TRASFORMATA DI FOURIER TEMPO DISCRETO trasformazioni - elistono diverse al di seguale in base tipo : · Continuo/discreto · priodica/aperiodica TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 5 FOURIER FOURIER TRANSFORM SERIES APERIODIC PERIODIC CONTINUOUS CONTINUOUS APERIODIC PERIODIC DISCRETE DISCRETE ci concentreremo DISCRETE DISCRETE & su questa TIME FOURIER FOURIER TRASFORM TRANSFORM EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 6 Fourier Transform Each of the Fourier Transform can be subdivided into di ai nella fase ↓ applica seguali REALI * di sintesi e TRASFORMATA decomposizione l'algebra DI FOURIER is the simplest Real usa REALE uses ordinary numbers and algebra for the synthesis and decomposition ↓ si applica ai segualiComplessi TRASFORMATA FOURIER immensely more complicated DI Complex COMPLESSA requiring the use of complex numbers EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 7 Concerns about data length bene per la questo va teoria ↓ These four classes of signals all extend to positive and negative infinity What if you only have a finite number of samples stored in your computer, say a signal 1024 = 45 formed from 1024 points? * finito numero lunghezza finita seguale e = REALE 256Hz Sine and cosine waves are defined as extending from negative infinity to positive infinity. You cannot use a group of infinitely long signals to synthesize something finite in length. & The way around this dilemma is to make the finite data look like an infinite length signal. devo trattare L possiamo dire che se guali di enughezza FINITA EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 8 Concerns about data length lo faccio diventare un - da 1029 campioni il seguale con una parte composta e da ↓ nesto composto tutti & 1024 campioni sono una all these “imagined” Discrete Time ⑭ parte di un seguale samples have a value infinitamente eurgo of zero Fourier imagining that the signal (signal discrete and Transform has an infinite number of aperiodic) samples on the left and right of the actual points. all the imagined samples e possiamo can be a duplication of the actual 1024 points Discrete Fourier fare esclusivamente Transform questa al possiamo usare solo questo (signal discrete and Calcolato ne perché quando periodic) tutto il seguale servò lo posso (che d infinito replicare in un solo periodo MANA an infinite number of sinusoids are required to The only type of Fourier transform synthesize a signal that is aperiodic. that can be used in DSP is the DFT EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 9 Discrete Fourier Transform The Forward DFT (decomposition, analysis) transforms from the time domain X[m] X[k] to the frequency domain, while the Inverse DFT (synthesis) transforms from the frequency domain to the time domain diretta this figure describes the real DFT, in fact the complex DFT changes N complex points into another set of N complex points inversa N can be any positive integer, a power of two is usually chosen, i.e., 128, 256, 512, 1024, for two reasons 2 digital data storage uses binary addressing, making powers of two a natural signal length the most efficient algorithm for calculating the DFT, the Fast Fourier Transform (FFT), usually in realtà noi stimiamo operates with N that is a power of two. E - 1 sil perché per ve = o e K= N la stima Z EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 10 Discrete Fourier Transform assume an N point time domain signal is contained in [ ]. The frequency domain of this signal is called [ ], and consists of two parts, each an array of /2 + 1 samples. These are called: Re X[ ] amplitudes of the cosine waves Im X[ ] amplitudes of the sine waves EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 11 DFT independent variable Four ways to express the frequency domain axis: Samples ( ) ([0; ]) Fraction of the sampling rate ( ) ([0; 0.5]) = Analog frequencies EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 12 DFT basis functions sine and cosine waves used in the DFT are commonly called the DFT basis functions The basis functions are a set of sine and cosine waves with unity amplitude. If you assign each amplitude (the frequency domain) to the proper sine or cosine wave (the basis functions), the result is a set of scaled sine and cosine waves that can be added to form the time domain signal. The DFT basis functions are generated from the equations hequenza numero totale di campioni ↓ assequare le discreta ampiezze ai coseni = (2 / ) amplitude of [ ] equivale a trovane la L tempo parte reale = sin(2 / ) amplitude of [ ] = 0, … , 1 = 0, … , 2 EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 13 esempio DFT basis functions & nella decomposizione +1 sin e ses ( ↳ = 32 point DTF 17 sine and 17 cosine waves devono & avene la Since these sinusoids add to form the input signal, stessa eughezza they must be the same length as the input signal. del seguale di partenza In this case, each has 32 points running from = 0 ↳ to 31. rappresenta prequenza discreta di la ↓ ogni sinusoide The parameter, k, sets the frequency of each sinusoid. 3 al massimo pari sono a 2 k, is equal to the number of complete cycles that occur over the N points of the signal. EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 14 Col] = DC offect Y DC offset onda Coseno con frequenza zero [ ] is a cosine wave of zero frequency, which is a constant K = 0 in Culi) = ca (2Tri/N) value of one. Sr[i] = sin (2ki/N) This means that holds the average value of all the points in the time domain signal. In electronics, it would be said that holds the DC offset. The sine wave of zero frequency, ↓ ↓ [ ] is a signal composed of all Comisponde alla questo èmuelo zeros. media del sequale wee tempo EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 15 DFT basis functions [ ] and [ ] are the sinusoids that complete il seguale fa 2 cicli in 36 campioni two cycles in the N points. These correspond to Re X & Im X, respectively. [ ] and [ ] show the sinusoids that complete ten cycles in the N points. These 1 2 sinusoids correspond to the amplitudes held in the arrays ReX & Im X. [[] eSi(] & completano 2 cicli in 36 campioni EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 16 il seuo 1 = 0 e v = per DFT basis functions 2 è zeno e quindi non dobbiamo etimone ee ampiezze ↓ At the highest frequencies, / [ ] and / [ ] the samples does not longer look like sine and cosine waves. The discrete cosine wave alternates in value between 1 and -1, which can be interpreted as sampling a continuous sinusoid at the peaks. In contrast, the discrete sine wave contains If there are N samples entering the DFT, and N+2 all zeros, resulting from sampling at the zero samples exiting, where did the extra information crossings. come from? This makes the value of [ /2] the same Two of the output samples contain no information, as , always equal to zero allowing the other N samples to be fully le due independent. ( and [ /2], the samples incognite in più i valoni identicamente sono dei so e Sia that always have a value of zero). meli EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 17 X[m] X[k] Inverse DFT: synthesis * iDFT Synthesis equation (iDFT) is: s normalizzati per una costante E[r] / 6 Cn(i) / Su(i) = cos(2 )+ sin(2 ) Any N point signal [ ] can be created by adding /2 + 1 cosine waves and /2 + 1 sine waves. The amplitudes of the cosine and sine waves are held in the arrays and , respectively. ampiezza FREQUENCY & cosero DOMAIN fk , k + P , SINUSOIDS Transformation from AMPLITUDE frequency domain to Vk sinusoids amplitude ampiezza es sero EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 18 Inverse DFT: synthesis x(m) X[k] To do iDFT in a computer program, three actions must be taken: 1. Divide all the values in the frequency domain by /2. 2. Change the sign of all the imaginary values. faccio la scalatura 6 · divido tutti i 3. Divide the first and last samples campioni per in the real part, and · cambio seguo alta [ /2], by 2 parte immaginaria · per la parte reate : per K = 0 E devo - , Mon malizzare per N quindi :e EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 19 DFT computation: analysis equazionisimmetance Simultaneous Equations 3 modi per risolvere la DFT in caso di decomposizione Conelazione DFT Correlation Fast Fourier > - algonitumo realizzato Transform per il calcolatore (FFT) EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 21 prendoil primo campione di ogni sinusoida e li sommo , questa deve essere uguale al primo 7 campione del seguale nel dominio del tempo ( & e così via => trovo cos; le N equazioni Simultaneous equations sin E + re -1 You are given N values from the time domain and asked to calculate the N values of the frequency domain (ignoring the two frequency domain values that you know must be zero). Basic algebra provides the answer: to solve for N unknowns, you must be able to write N linearly independent equations. CAMPIONE To do this, take the first sample from each sinusoid and add them together. The sum must be equal to the first sample in the time domain signal, thus providing the first equation. Likewise, an equation can be written for each of the remaining points in the time domain signal, resulting in the required N equations. The solution can then be found by using established methods for solving simultaneous equations this method requires a tremendous number of calculations and is virtually never used in 6 DSP. questo metodo si può fane ma non è conveniente EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 22 / / = cos(2 )+ sin(2 ) 6 & Simultaneous equations incognite sono le / 0 = n = 00 = / / 2 2 1 = cos( )+ sin( ) n =1 =1 dobbiamo seriver N equazioni in ↓ / / n incognite = cos(2 )+ sin(2 ) n = = N sistema lineme EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 23 DFT standard way - Correlation N = 64 Suppose we are trying to calculate the DFT of a 64 points signal. This means we need to calculate the 33 points in the real part, and the 33 points in the imaginary part of the frequency domain. In this example we will only show how to calculate a single sample, , i.e., the amplitude of the sine wave that makes three complete cycles between point 0 and point 63. All of the other frequency domain values are calculated in a similar manner. EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 24 V= 3 DFT standard way Correlation The first signal, x1[ ], is composed of nothing but a sine wave that makes three cycles 6 la correlazione Vede quanto ↳ non ~ contiene la hequenza between points 0 and 63. & ie seguale e la base sono vinizi disceta 3 In contrast, x2[ ] is composed of several sine and cosine waves, none of which make three cycles between points 0 and 63. alimento When fed x1[ ], the algorithm must produce a value of 32, the amplitude of the sine wave present in the signal (modified by the scaling factors). ↓ CORRELAZIONE In comparison, when the algorithm is fed the other signal, x2[ ], a value of zero must be produced, indicating that this particular sine wave is not present in this signal. & poi devo sommarti The other samples in the frequency domain are calculated in the same way. EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 25 DFT standard way - Correlation This procedure is formalized in the analysis equation, the mathematical way to calculate the frequency domain from the time domain: powermente each sample in the frequency domain is found by multiplying the time = 0, … , /2 domain signal by the sine or cosine wave being looked for, and adding the resulting points. CORRELATION BETWEEN THE INPUT SIGNAL AND THE BASIS FUNCTION In order for this correlation algorithm to work, the basis functions must have an interesting property: each of them must be completely uncorrelated with all of the others (orthogonality) EDSB1_AA2023/24 - STIMA SPETTRALE - DISCRETE FOURIER TRANSFORM - JLENIA TOPPI 26 DFT duality SYNTHESIS EQUATION (iDFT) the only significant difference between the two equations is a result of the time domain being one signal of points, while the frequency domain is two signals of /2 + 1 points. ANALYSIS EQUATION (real DFT) the complex DFT expresses both the time and the frequency domains as complex signals of points each. Dualità di può passche da & un dominio all'altro senza problemi This symmetry between the time b
