Espaces Euclidiens 2024-2025, Polytech Nantes, PDF

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Cycle préparatoire Espaces euclidiens Isométries du plan Polytech Nantes Année 2024-2025 séance no 3 Introduction : On s'intéresse ici aux isométries vectorielles. On commencera par établir quelques généralités puis on donnera une classications des isométries du plan. Dans toute la suite E désigne Rn , et on le muni de sa structure d'espace euclidien avec le produit scalaire usuel : ⟨u, v⟩ = u1 v1 +... + un vn. On l'a vu dans les précédents projets, une fois muni d'un produit scalaire sur Rn , on peut parler de la norme d'un vecteur, ici : q ∀u = (u1 ,... , un ) ∈ E, ||u|| = u21 +... + u2n. On peut aussi parler d'orthogonalité (donc d'angle) et de projection. Dans le contexte de l'algèbre linéaire, il est alors naturel de s'intéresser aux applications linéaires qui conservent la norme et/ou les angles. 1 Quelques généralités sur les isométries On note B = (e1 ,... , en ) la base canonique de Rn. C'est évidement une base orthonormée. Dénition 3.1.1. Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme de E. On dit que f est une isométrie (ou un automorphisme orthogonal) si f conserve la norme : ∀u ∈ E, ||f (u)|| = ||u||. Exercice 3.1.2. 1) Montrer que si f est une isométrie, alors f est un isomorphisme et que f −1 est aussi une isométrie. 2) Montrer que si f est une isométrie et u un vecteur non nul de Rn tel que f (u) ∈ Vect(u) (on dit que u est un vecteur propre de f ), alors f (u) = ±u. 1 3) (a) Montrer que pour tout u et v dans E , ⟨u, v⟩ =(||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2 ). 2 (b) Montrer que f est une isométrie si, et seulement si f conserve le produit scalaire : ∀u, v ∈ E, ⟨f (u), f (v)⟩ = ⟨u, v⟩. 1) Puisque f est un endomorphisme, pour montrer que f est un isomorphisme, il sut de montrer que Ker(f ) = {0E }. Prenons u un élément de Ker(f ). On a : f (u) = 0E. Donc ||f (u)|| = 0. Puisque f est une isométrie, on obtient que ||u|| = 0E et donc u = 0E. Donc f est un isomorphisme. Montrons que f −1 est aussi un isomorphisme. Pour tout v dans E , ||f −1 (v)|| = ||v||, on a : ||f −1 (v)|| = ||f (f −1 (v))||, puisque f est une isométrie, et puisque f (f −1 (v)) = v : ||f −1 (v)|| = ||v||. 2) Puisque f (u) ∈ Vect(u), il existe λ un réel tel que : f (u) = λu. Alors d'une part : ||f (u)|| = ||λ.u|| = |λ| × ||u||. D'autre part, puisque f est une isométrie : ||f (u)|| = ||u||. Donc : |λ| × ||u|| = ||u|| ou encore (1 − |λ|)||u|| = 0. Puisque u est non-nul, ||u|| = ̸ 1, et donc |λ| = 1. 3) On peut utiliser la relation entre la norme et le produit scalaire : ∀u ∈ E, |u||2 = ⟨u, u⟩. En calculant, on obtient : ||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2 = ⟨u + v, u + v⟩ − ⟨u, u⟩ − ⟨v, v⟩ = ⟨u, u⟩ + 2⟨u, v⟩ + ⟨v, v⟩ − ⟨u, u⟩ − ⟨v, v⟩. = 2⟨u, v⟩ D'où le résultat. 4) Supposons que f est une isométrie et soit u et v deux vecteurs de E. D'après la question précédente, 1 ⟨f (u), f (v)⟩ = (||f (u) + f (v)||2 − ||f (u)||2 − ||f (v)||2 ) 2 1 = (||f (u + v)||2 − ||f (u)||2 − ||f (v)||2 ) car f est linéaire 2 1 = (||u + v||2 − ||u||2 − ||v||2 ) car f est une isométrie 2 = ⟨u, v⟩ en réutilisant la question précédente. Donc pour tout u et v dans E , ⟨f (u), f (v)⟩ = ⟨u, v⟩. Réciproquement, supposons que pour tout u et v dans E , ⟨f (u), f (v)⟩ = ⟨u, v⟩. Alors, pour tout u dans E , ⟨f (u), f (u)⟩ = ⟨u, u⟩. Autrement dit, pour tout u dans E : ||f (u)||2 = ||u||2. Donc, pour tout u dans E : ||f (u)|| = ||u||, ce qui montre que f est une isométrie. On peut aussi montrer : Théorème 3.1.3. Un endomorphisme f est une isométrie si, et seulement si, (f (e1 ),... , f (en )) est une base orthonormée. Cette dernière propriété permet en fait de comprendre les représentations matricielles des isométries : Théorème 3.1.4. Soit f un endomorphisme de E. Alors, f est une isométrie si, et seulement si, la matrice de f dans n'importe quelle base orthonormée est orthogonale. 2 Cycle préparatoire séance no 3 2 Isométries du plan Le but de la n du projet est d'étudier (faire la liste) des isométries de plan. On commence par un exemple. Q1) Soit f dénie par tout (x, y) dans R2 par : √ √ √ √ ! 2 2 2 2 f (x, y) = x− y, x+ y. 2 2 2 2 a) Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R2. Notons A cette matrice. √ √  2 2  √2 − A= √2  . 2 2 2 2 b) Vérier que f est une isométrie. En utilisant le théorème 5, il sut de vérier que AT.A = I2 , ce qui est bien le cas. c) Dans un repère orthonormé, représenter le carré de sommet A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1) et D(0, 1) et son image par f. d) Comment pouvez-vous décrire l'application f ? On reprend le cas général. Soit f une isométrie dénie par : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (ax + cy, bx + dy). et soit M sa matrice dans la base canonique, qui est donc une matrice orthogonale, en particulier, det(M ) = 1. Q3) Montrer que a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 et ac + bd = 0. A nouveau, puisque M T.M = I2., on a :      a b a c 1 0 =. c d b d 0 1 D'où les équations demandées. Q4) En déduire une expression de M uniquement en fonction de a et de b (on distinguera selon la valeur du déterminant). Si det(M ) = 1, on a :  ad + cb = 1 ac + bd = 0   a −b et donc M =. b a Si det(M ) = −1, on a :  ad + cb = −1 ac + bd = 0   a b et donc M =. b −a Cycle préparatoire séance no 3 Q5) On suppose que det(M ) = 1. a) Montrer qu'il existe θ dans R tel que a = cos(θ). Puisque a2 = 1 − b2 , a ∈ [−1; 1]. Comme l'application cos est continue et est une surjection de R dans [−1; 1], d'après le T.V.I, il existe θ tel que a = cos(θ). b) En déduire une expression de M en fonction de cos(θ) et sin(θ). On obtient :   cos(θ) − sin(θ) M=. sin(θ) cos(θ) c) Vérier que f est une rotation. On pourra commencer par déterminer l'expression de la rotation vectorielle (donc de centre (0, 0)) et d'angle θ. L'application f est rotation vectorielle d'angle θ. Q6) On suppose maintenant det(M ) = −1. a) Montrer que f est une symétrie vectorielle orthogonale. Il sut de vérier que M 2 = I2. b) Donner une base de l'axe de symétrie puis une représentation cartésienne. L'axe de symétrie est l'ensemble des vecteurs u de R2 vériant l'équation : f (u) = u. C'est donc le noyau de l'application f − idE. Après calcul on obtient : √ Ker(f − idE ) = V ect((2 + 3, 1)). Remarque : C'est aussi l'espace propre associé à la valeur propre 1 ! Une équation cartésienne de l'axe de symétrie est : √ 1 2− 3 y= √ x= x. 2+ 3 7 √ 3 c) Pour a = , représenter le carré de sommet A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1) et D(0, 1) et son image par f. 2