4-THc - Symétrie Moderne dans l'Espace PDF

[**[▶ Enregistrement du 7 Novembre 2024 4 - THc - SQ1 (36 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.07+GEOMETRIE+I+-+4-THc+SQ1+-+36min+%28MATH-124%29/0_hv2cu0xi) [**[▶ Enregistrement du 14 Novembre 2024 4 - THc - SQ2 (38 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.14+GEOMETRIE+I+-+4-T...

[**[▶ Enregistrement du 7 Novembre 2024 4 - THc - SQ1 (36 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.07+GEOMETRIE+I+-+4-THc+SQ1+-+36min+%28MATH-124%29/0_hv2cu0xi) [**[▶ Enregistrement du 14 Novembre 2024 4 - THc - SQ2 (38 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.14+GEOMETRIE+I+-+4-THc+SQ2+-+38min+%28MATH-124%29/0_wqvspsfq) [**[▶ Enregistrement du 14 Novembre 2024 4 - THc - SQ3 (39 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.14+GEOMETRIE+I+-+4-THc+SQ3+-+39min+%28MATH-124%29/0_36kji8rq) [**[▶ Enregistrement du 21 Novembre 2024 4 - THc - SQ4 (22 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2024.11.21+GEOMETRIE+I+-+4-THc+SQ4+-+22+min+%28MATH-124%29/0_rgsm28xp) +-----------------------------------------------------------------------+ | **4-THc - SYMÉTRIE moderne dans l'ESPACE** | | | | [**ISOMETRIES & ORIENTATION dans l'ESPACE | | 2**](#isometries-orientation-dans-lespace) | | | | [**CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE des RÉFLEXIONS par INVERSION de DISTANCE | | 9**](#construction-g%C3%A9om%C3%A9trique-des-r%C3%A9flexions-par-inve | | rsion-de-distance) | | | | [**GÉNÉRATION des RÉFLEXIONS dans l'ESPACE par composition de | | RÉFLEXIONS PLANES ORTHOGONALES | | 16**](#g%C3%A9n%C3%A9ration-des-r%C3%A9flexions-dans-lespace-par-comp | | osition-de-r%C3%A9flexions-planes-orthogonales) | | | | [**GÉNÉRATION des ISOMÉTRIES par composition de RÉFLEXIONS PLANES | | QUELCONQUES | | 20**](#g%C3%A9n%C3%A9ration-des-isom%C3%A9tries-par-composition-de-r% | | C3%A9flexions-planes-quelconques) | | | | [**CONFIGURATIONS de 2 DROITES dans l'ESPACE | | 22**](#configurations-de-2-droites-dans-lespace) | | | | [**CONFIGURATIONS de 3 PLANS dans l'ESPACE | | 26**](#configurations-de-3-plans-dans-lespace) | | | | [**EXAMEN préalable du PRODUIT de 3 RÉFLEXIONS PLANES dans l'ESPACE | | 31**](#examen-pr%C3%A9alable-du-produit-de-3-r%C3%A9flexions-planes-d | | ans-lespace) | | | | [**NORMALISATION du produit de 3 RÉFLEXIONS PLANES en une | | ROTORÉFLEXION | | 38**](#normalisation-du-produit-de-3-r%C3%A9flexions-planes-en-une-ro | | tor%C3%A9flexion) | | | | [**INTRODUCTION d'une 4ème RÉFLEXION PLANE = VISSAGE & DEMI-VISSAGE | | 44**](#introduction-dune-4%C3%A8me-r%C3%A9flexion-plane-vissage-demi- | | vissage) | | | | [**DÉTERMINATION des 4 PLANS du VISSAGE ÉQUIVALENT à 4 RÉFLEXIONS | | PLANES QUELCONQUES | | 46**](#d%C3%A9termination-des-4-plans-du-vissage-%C3%A9quivalent-%C3% | | A0-4-r%C3%A9flexions-planes-quelconques) | | | | [**SYNTHÈSE sur les 10 ISOMÉTRIES dans l'ESPACE: | | 51**](#synth%C3%A8se-sur-les-10-isom%C3%A9tries-dans-lespace) | | | | [**Applications pratiques en CAO: RÉFLEXIONS dans un document | | d'ASSEMBLAGE | | 55**](#applications-pratiques-en-cao-r%C3%A9flexions-dans-un-document | | -dassemblage) | +-----------------------------------------------------------------------+ Nous examinerons les isométries dans l'***espace*** de la même façon que dans le ***plan***. Le but est d'établir que : \- la ***réflexion plane*** y constitue l'***antidéplacement élémentaire***, ou la ***brique de base*** \- dont il suffit d'au maximum ***4*** ***compositions*** pour produire toute isométrie dans l'espace. \- y compris les plus complexes, lesquelles: \- pour les ***déplacements*** sont les ***vissages***, \- pour les ***antidéplacements*** sont les ***rotoréflexions***. *Dossier relatif à ce document:* +-----------------------------------------------------------------------+ | ISOMETRIES & ORIENTATION dans l'ESPACE | | ====================================== | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Isométries dans* l'*ESPACE*** ***= simple extension de la définition des isométries dans le PLAN*** - - - - #### → Rappel du [[4-THb]](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.fw1l9bz8hgyw) sur la notion d'orientation: Dans l'espace à ***3*** dimensions, comme dans le plan à ***2*** dimensions, ***il n\'y a que 2 orientations***: positive ou négative. +-----------------------------------------------------------------------+ | VRAIE GRANDEUR de l'angle dièdre entre 2 plans: | | ----------------------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Ambiguïtés de la définition des angles définis par 2 plans ou 2 demi plans:*** Une ***demi droite*** est la portion de droite située d'un seul côté d'un point de la droite. Un ***demi plan*** est la portion de plan située d'un seul côté d'une droite du plan. On appelle ***dièdre*** la figure formée par 2 demi-plans limités par une même droite. ***2 plans*** déterminent ***4 angles*** ***Dièdre = 2 demi plans*** déterminent ***2 angles*** ------------------------------------------ --------------------------------------------------------  ***Introduction du plan normal orienté, nécessaire à la définition d'un angle:*** → L'angle entre 2 plans ***P1*** & ***P2*** apparaît en ***vraie grandeur*** dans tout ***plan normal PN***: - - - *→ Ouvrir **le** document ci-dessous:*  *→ Cacher* *→ Montrer progressivement les éléments de*  *→ Double clic sur le contour du secteur angulaire **vert** afin d'en Montrer / Cacher la cote.* -- -------------------------  -- ------------------------- Cette notion de ***vraie grandeur*** est fondamentale en géométrie dans l'espace!!! ***Définition de la vraie grandeur d'un angle dièdre entre 2 demi plans:*** +-----------------------------------------------------------------------+ | → La vraie grandeur de l'angle dièdre entre 2 demi plans ***P1*** & | | ***P2*** est l'angle entre les demi droites d'intersection ***d1*** & | | ***d2*** de chacun des demi plans avec tout plan normal ***PN*** aux | | 2 plans. | | | | → Le ***signe*** de l'angle en vraie grandeur est le sens de rotation | | de ***d1*** vers ***d2*** regardé à l'encontre de l'axe | | d'intersection entre les plans. | | | | Cet axe d'intersection constitue la normale au plan normal ***PN***. | | et doit donc lui-même être ***orienté*** pour fixer le sens de | | rotation de ***d1*** vers ***d2.*** | +-----------------------------------------------------------------------+ Sur l'image ci-dessous, la mesure de l'angle est ***positive***, parce qu'on a inversé la direction de l'axe d'intersection de sorte que la rotation de ***d1*** vers ***d2*** regardé à l'encontre de la direction ***normale*** tourne en sens trigonométrique positif. ***Mesure de l'angle entre axes sur les 2 plans,*** ***perpendiculaires à l'axe d'intersection de ces 2 plans :*** *- Editer le Paramètre angle:* *du dossier*  *→ Cliquer le sens* *de la **normale** pour inverser / rétablir le **signe** de l'angle*  ***Mesure de l'angle directement entre les 2 plans:*** → L'angle mesuré est celui que font les ***normales*** des plans = ces normales doivent être correctement orientées de sorte qu'en tournant d'un plan à l'autre, ***la normale demeure du même côté***. *- Editer le Paramètre angle:*  ***Vue à l'encontre de la Normale:*** *- Quitter la commande **Paramètre angle*** *- Orienter la vue à l'encontre de la normale* *- Clic sur le **plan normal** du **secteur angulaire vert*** *- Editer à nouveau le Paramètre angle:* → On perçoit mieux l'angle mesuré entre les directions ***normales*** des 2 plans les redessinant mentalement sur l'axe de la ***normale*** qui n'apparaît que comme un point, au ***sommet*** du ***secteur angulaire***. → L'angle mesuré est celui qui tourne: \- de la flèche = normale au plan ***bleu*** \- vers la flèche = normale au plan ***rose*** \- regardé à l'encontre de la ***normale***  CONCLUSION FONDAMENTALE: ***→ La mesure d'un angle requiert toujours directions orientées.*** \- les demi droites ***bleu*** & ***rose*** entre lesquelles sont mesurés les angles \- la ***normale*** à l'encontre de laquelle le sens de rotation est considéré. Mais comme les utilisateurs rechigneraient à devoir préciser la normale à la pose de chaque cote entre ****** segments sur un plan, et que, par ailleurs, les normes héritées du dessin industriel privilégient les valeurs d'angle positive & inférieures à 180°, les logiciels de CAO dérogent souvent aux principes de la géométrie en ne forçant pas toujours l'utilisateur: \- ni à orienter les droites ***bleu*** & ***rose*** entre lesquelles sont mesurés les angles \- ni à définir la ***normale*** à l'encontre de laquelle le sens de rotation est considéré. Ces raccourcis peuvent soulever des difficultés que vous avez déjà rencontrées dans l'exercice sur l'angle au centre & l'angle inscrit [***[2-EXc]***](https://docs.google.com/document/d/1Jr-4WNrQJvDntAcd_po-s7ew39rR2Nl4PaNkXcL01LQ/edit#heading=h.jpmgcozgxecj). Ces difficultés sont résolues en détail dans l'approfondissement facultatif [***[4-APb]***](https://docs.google.com/document/d/194ObCiwyR4C5ekBmM6ujS9LE4ICt2LCbCe0fdS2vjYc/edit#heading=h.rvxmgeb0xpib). COROLLAIRE PRATIQUE IMPORTANT : PLAN ORTHOGONAL à 2 PLANS --------------------------------------------------------- +-----------------------------------------------------------------------+ | 2 plans quelconques non parallèles étant donnés dans l'espace ont | | toujours une droite d'intersection sur laquelle on peut définir en | | tous points un ***plan orthogonal:*** | | | | \- à cette ***droite d'intersection*** | | | | \- et à ***chacun*** des ***2 plans*** | +-----------------------------------------------------------------------+ → Ce plan normal est d'une grande utilité pratique pour établir des pièces de connexions: \- selon l'angle en ***vraie grandeur*** entre les 2 plans, *→ Ouvrir l'assemblage* *→ Observer comment les pièces de connexions sont orthogonales aux arêtes d'intersection des panneaux et donc aux 2 panneaux qu'elles connectent, ce qui permet de facilement résoudre les détails constructifs.* ***Mise en variation des angles entre plans des panneaux*** ------------------------- --  ------------------------- -- Toutes ces connexions sont usinables en ***3 axes***: \- axe ***Z*** = descente et remontée de l'outil → Cette remarque pratique est de grande utilité en FAO, notamment dans l'usinage sur les machines à commande numérique. ***Pièces de connexion orthogonales à chacun des 2 panneaux connectés:*** ***→ Usinables sur une machine à commande numérique 3 axes*** *Angle inférieur à 180°* *Angle supérieur à 180°* -------------------------- --------------------------  +-----------------------------------------------------------------------+ | Les 10 isométries dans l'espace | | ------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ **Transformations élémentaire:** **Nbre d'isométries résultantes:** ---------------------- ---------------------------------- ------------------------------------ Dans le ***Plan*:** Réflexion ***Axiale*** 6 Dans l'***Espace*:** Réflexion ***Plane*** 10 **1^er^ aperçu de la classification des *10* isométries dans l'espace:** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***Nombre* de | ***Plans* | ***Isométrie* | | réflexions** | définissant** | résultante:** | | | | | | **planes** | **l'Isométrie.** | | +=======================+=======================+=======================+ | ***0 plan*** | 0 plan: | ***Identité:*** | | | | | | **=** | | = également produit | | | | de **2** réflexions | | **Déplacement** | | planes identiques | | | | (***involution***) | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***1 plan*** | 1 plan: | ***Réflexion | | | | plane:*** | | **=** |  |. plan **P** | | **Antidéplacement** | | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***2 plans*** | 2 plans d'angle | ***Rotation | | | ***α*** = ***qcq*** | (L,2α):*** | | **=** | | | | | |. axe **L** = | | **Déplacement** | | intersection plans | | | | **P1** & **P3** | | | | | | | |. angle ***α*** entre | | | | **P1** & **P3 *= | | | | qcq*** | | | | | | | | → angle = ***2α*** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | 2 plans d'angle | ***Réflexion | | | ***α*** = ***90°*** | axiale:*** | | | | | | |  | intersection plans | | | | **P1** & **P3** | | | | | | | |. angle ***α*** entre | | | | **P1** & **P3 *= | | | | 90°*** | | | | | | | | → angle = ***2α*** = | | | | 180° | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | 2 plans d'angle | ***Translation:*** | | | ***α*** = ***0*** | | | | |. direction = **L** | | | | | | | | ┴ aux plans **P1** & | | | | **P3** parallèles | | | | | | | | (***α = 0°***) | | | | | | | | → ***d*** = 2 | | | | \*distance **P1,P3** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***3 plans*** | 3 plans: **P2** ┴ | ***Rotoréflexion:*** | | | **P1** & **P3** | | | **=** | |. axe ***L*** = | | | **P1**\^**P3** = | intersection plans | | **Antidéplacement** | ***α*** = ***qcq*** | **P1** & **P3** | | | | | | |  | | | | |. plan **P2** ┴ | | | | ***L*** | | | | | | | | → angle = **2α** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | 3 plans: **P2** ┴ | ***Réflexion | | | **P1** & **P3** | ponctuelle:*** | | | | | | | **P1**\^**P3** = |. point **I** = | | | ***α*** = ***90°*** | Intersection des 3 | | | | plans | | | | | | | | ***orthogonaux*** | | | | | | | | **P1**, **P2**, & | | | | **P3** | | | | | | | | ***(α = 90°)*** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | 3 plans: **P2** ┴ | ***Réflexion | | | **P1** & **P3** | glissée:*** | | | | | | | **P1**\^**P3** = |. axe ***L*** // | | | ***α*** = ***0°*** | **P2** | | | | | | |  | | | | | → ***d*** = 2 | | | | \*distance **P1,P3** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***4 plans*** | 4 plans: **P2** & | ***Vissage:*** | | | **P4** ┴ **P1** & | | | **=** | **P3** |. axe ***L*** = | | | | | | **Déplacement** | **P1**\^**P3** = | intersection plans | | | ***α*** = ***qcq*** | **P1** & **P3** | | | | d'angle ***α = qcq*** | | | | | | | | Plans **P2** // | | | | **P4** | | | | | | | | **P2** & **P4** ┴ | | | | **L** | | | | | | | | → ***d*** = 2 | | | | \*distance **P2**, | | | | **P4** | | | | | | | | → angle = **2α** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | 4 plans: **P2** & | ***Demi-vissage:*** | | | **P4** ┴ **P1** & | | | | **P3** |.axe ***L*** = | | | | | | | **P1**\^**P3** = | intersection plans | | | ***α*** = ***90°*** | **P1** & **P3** | | | | d'angle ***α = 90°*** | | |  | Plans **P2** // | | | | **P4** | | | | | | | | **P2** & **P4** ┴ | | | | ***L*** | | | | | | | | → ***d*** = 2 | | | | \*distance **P2**, | | | | **P4** | | | | | | | | → angle **2α** = | | | | **180°** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE des RÉFLEXIONS **par INVERSION de DISTANCE** | | ===================================================================== | | | | (Conception à l'ancienne à partir des ***figures***) | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Définition d'un repère par 3 points:*** Dans l'espace, tout comme dans le plan, un repère est entièrement défini par ***3 points***, où: \- les 2 points ***O*** & ***X*** sont privilégiés parce qu'ils définissent ***exactement*** la direction ***OX*** \- le point ***Y***, lui, peut avoir une position ***arbitraire*** qui ne définit que le ***demi-plan*** vers lequel sera dirigé ***OY***, sans que cet axe ne passe exactement par le point ***Y***. Plus exactement, le point ***Y*** est le 3^ème^ point nécessaire à la définition du plan ***OXY*** du repère. Mais ce plan ***OXY*** peut avoir 2 orientations selon que ***Y*** se trouve d'un côté, ou de l'autre de l'axe ***OX*** privilégié: ***Orientation de la normale OZ du repère direct selon le côté de OX où se trouve Y:*** *→ Ouvrir* *→ Montrer*  *→ **Déplacer** le point **Y** de l'autre côté de **OX*** *pour observer le renversement du **Z** de **l'extérieur** vers **l'intérieur*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Point ***Y*** arbitraire d'un | Point ***Y*** arbitraire de | | côté de ***OX*** | l'autre côté de ***OX*** | | | | | → ***OZ*** = normale vers | → ***OZ*** = normale vers | | l'***extérieur*** du solide | l'***intérieur*** du solide | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | Réflexion Ponctuelle = Inversion de l'orientation = Antidéplacement | | ------------------------------------------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ On suit la même démarche que pour les réflexions dans le plan, en commençant par la réflexion la plus facile à définir, à savoir: la ***réflexion ponctuelle***, bien que la véritable ***brique de base*** des isométries dans l'espace sera la ***réflexion plane***. ***Construction des réflexions dans l'espace*** ***= 2 étapes identiques à celle des réflexions dans le plan.*** -1 = Calcul de la distance entre: \- un point de l'objet à transformer \- et l'élément définissant la réflexion = point, axe, ou plan -2 = Inversion de cette distance ***Réflexion ponctuelle = Inversion de la distance à un point I.*** *→* *→ Laisser montré*  *→ Montrer progressivement* *Résultat:*  **Observation des 2 faces de troncatures ci-dessus *à l'encontre de leur normale extérieure:*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Objet initial :*** | ***Objet réfléchi :*** | | | | | \- Parcours en sens ***positif*** | \- Parcours en sens ***négatif*** | | | | | \- Repère ***direct*** | \- Repère ***indirect*** | | | | | | symbolisé par les 3 axes | | | ***O'X'***, ***O'Y'*** & | | | ***O'Z'*** | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ → Dans l'***espace***, la réflexion ponctuelle ***inverse*** donc les orientations et constitue un ***antidéplacement***. → Dans le **plan**, la réflexion ponctuelle **conserve** les orientations et constitue donc un ***déplacement**.* **[Repères directs & indirects:]** \- ***Repères directs***: Ce sont les repères conformes à la règle des 3 doigts de la main ***droite***. → L'axe ***Y*** est le produit d'une rotation de **+**90° de l'axe ***X*** en regardant dans la direction ***Z-***. \- ***Repères indirects***: Ce sont les repères construits selon les 3 doigts de la main ***gauche*.** → L'axe ***Y*** est le produit d'une rotation de **-**90° de l'axe ***X*** en regardant dans la direction ***Z-***. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Repères directs:*** | ***Repères indirects***: | | | | | Rotation ***positive*** d'un | Rotation ***négative*** d'un | | doigt au suivant vu à l'encontre | doigt au suivant vu à l'encontre | | du 3ème sur la main ***droite*** | du 3ème sur la main ***gauche*** | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Mathématiquement, l'application d'un anti-déplacement à un repère ***direct*** produit un repère ***indirect***. Mais les repères indirects ne sont tolérés que pour certaines applications très spécifiques. → Pour restituer un repère ***direct*** après antidéplacement, TopSolid produit un repère: = c'est le de  = c'est le de  → En définitive, le repère ***direct*** *(O', X', Y', Z')* produit par un antidéplacement d'un repère direct *(O, X, Y, Z)*: \- conserve les directions du plan ***O'X'***, ***O'Y'*** du plan produit par l'antidéplacement. = comme dans le \- mais la direction ***O'Y'*** voit son orientation inversée = c'est le  NB = La signification des mots ***direction*** et ***orientation*** est celle qui avait été strictement établie en [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.e6cymahgxx0). +-----------------------------------------------------------------------+ | Ce maintien d'un ***repère direct*** *(O', X', Y', Z')* après | | ***antidéplacement*** privilégie donc: | | | | \- les directions du plan ***O'X'***, ***O'Y'*** produit par | | l'antidéplacement | | | | \- l'orientation de l'axe ***O'X'***, produit par l'antidéplacement | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Construction*, puis *Rotation* du repère direct sur O'X'Y'** **substitué au repère réfléchi indirect:** *→ Les images ci-dessous sont plus lisibles en 3D dans* +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Construction:*** | ***Rotation:*** | | | | | Repère direct sur le plan O'X'Y': | Repère direct sur le plan O'X'Y': | | | | | → Axe **Z** vers | \- ***tourné*** de 180° autour de | | l'***in***térieur | ***O'X'*** | | | | | =  dans | → Axe **Z** vers | | | l'***ex***térieur | | | | | | = dans | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | Réflexion Axiale = Conservation de l'orientation = Déplacement | | -------------------------------------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Réflexion axiale = Inversion de la distance à un axe.*** *→*  → Cacher → Montrer → Montrer progressivement  → Observer que dans une réflexion axiale, le repère Réfléchi est d'emblée direct & que son axe ***Z*** se trouve naturellement orienté vers l'extérieur de la pyramide!!! +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Repère ***Direct*** Initial | Repère ***Direct*** Réfléchi | | | | | Axe **Z** vers l\'***ex***térieur | Axe **Z** vers l\'***ex***térieur | | de la pyramide | de la pyramide | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ → Dans l'***espace***, la réflexion axiale ***conserve*** donc les orientations et constitue donc un ***déplacement.*** → Dans le ***plan***, la réflexion axiale ***inverse*** les orientations et constitue donc un ***antidéplacement**.* Le **déplacement** équivalent à la réflexion axiale est la ***rotation de 180°*** autour de l'axe de réflexion. +-----------------------------------------------------------------------+ | Réflexion Plane = Inversion de l'orientation = Antidéplacement | | -------------------------------------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Réflexion plane = Inversion de la distance à un plan.*** *→* → Cacher  → Montrer → Montrer progressivement  **Inversion du repère direct en repère indirect par réflexion plane:** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Objet initial :*** | ***Objet réfléchi :*** | | | | | \- Parcours en sens ***positif*** | \- Parcours en sens ***négatif*** | | vu à l'encontre du ***Z*** du | vu à l'encontre du ***Z*** du | | repère ***direct*** | repère ***indirect*** | | | | | \- Repère ***direct*** | \- Repère ***indirect*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ → Dans l'***espace***, la réflexion plane ***inverse*** donc les orientations et constitue un ***antidéplacement***. Mathématiquement, l'application d'un anti-déplacement à un repère ***direct*** produit un repère ***indirect***. +-----------------------------------------------------------------------+ | Comme pour la réflexion ponctuelle, le maintien d'un ***repère | | direct*** *(O', X', Y', Z')* après ***réflexion plane*** privilégie | | donc: | | | | \- les directions du plan ***O'X'***, ***O'Y'*** produit par | | l'antidéplacement | | | | \- l'orientation de l'axe ***O'X'***, produit par l'antidéplacement | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Construction*, puis *Rotation* du repère *direct* sur O'X'Y'** **substitué au repère réfléchi *indirect*:** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Construction:*** | ***Rotation:*** | | | | | Repère direct sur O'X'Y': | Repère direct sur O'X'Y': | | | | | → Axe **Z** vers | \- ***tourné*** de 180° autour de | | l'***in***térieur | ***O'X'*** | | | | | = dans | → Axe **Z** vers | | | l'***ex***térieur | | | | | | = dans | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Cas parlant d'inversion d'orientation par réflexion plane dans l'espace*** *→ Ouvrir*  **1- *On ne considère d'abord que la base triangulaire plane d'une pyramide tétraédrique*.** *→ Cacher* *→ Montrer progressivement*  → L'inversion n'apparaît pas aussi longtemps qu'on ignore que l'observateur doit lui-même subir une réflexion plane. **2- *Puis, on considère la réflexion plane du tétraèdre de sommet Z construit*** ***sur la base du triangle ABC & muni d'un repère direct:*** \- d'origine au centre ***O*** de sa base \- d'***axe*** O***X*** dirigé vers **A** \- d'**axe** O***Z*** dirigé vers le sommet du tétraèdre ***Z*** → L'***axe*** **Y** coupe l'arête ***AB*** de la pyramide ***initiale*** Sur le tétraèdre réfléchi, on considère alors le repère direct \- d'origine au centre ***O'*** de sa base A'B'C' \- d'***axe*** O***X*** dirigé vers **A** \- d'**axe** O***Z*** dirigé vers le sommet du tétraèdre ***Z'*** → L'***axe*** **Y** coupe l'arête ***A'C'*** de la pyramide réfléchie = Inversion d'orientation *→ Montrer progressivement*  **CONCLUSION :** ***Effet opposé des différentes réflexions sur l'orientation dans le plan & dans l'espace.*** **Réflexions** ---------------------- ------------------- --------------- ------------------ ***Ponctuelle:*** ***Axiale:*** ***Plane:*** **Dans le *plan*:** Conservation Inversion *(n'existe pas)* **Dans l'*espace*:** Inversion Conservation Inversion +-----------------------------------------------------------------------+ | GÉNÉRATION des RÉFLEXIONS dans l'ESPACE **par composition de** **RÉFL | | EXIONS PLANES** ***ORTHOGONALES*** | | ===================================================================== | | ================================== | | | | (Conception moderne à partir des ***transformations***) | +-----------------------------------------------------------------------+ L'élément générateur des isométries ne peut être qu'un ***antidéplacement*** puisque: - - → Seule la composition d'antidéplacements peut produire des antidéplacements & des déplacements. Dans le plan comme dans l'espace, la réflexion génératrice est celle qui est définie par l'objet de ***plus grande dimension***: - - **→ Réflexion *Axiale* = *brique de base* des isométries dans le *Plan*** **→ Réflexion *Plane* = *brique de base* des isométries dans l'*Espace*** On va d'abord se limiter à la génération des ***réflexions axiale & ponctuelle*** par composition de ***réflexions planes*** relativement à des ***plans orthogonaux***, avant de passer à la génération des ***10*** ***isométries*** de l'espace en général par composition de ***réflexions planes*** relativement à des ***plans quelconques.*** Réflexion *Axiale* ------------------ **=** ***Produit de 2 Réflexions planes selon des plans* *orthogonaux*** De la même façon que, dans le plan, la réflexion ponctuelle est le produit de 2 réflexions axiales selon des axes orthogonaux, dans l'espace, la réflexion axiale est le produit de 2 réflexions planes selon des plans orthogonaux. ***Double réflexion relativement à 2 plans orthogonaux*** *rouge* & *bleu**:*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Vue perspective des 2 plans | Vue selon l'***axe | | orthogonaux rouge & bleu | d'intersection*** | | | | | | des 2 plans orthogonaux *rouge* & | | | *bleu* | | | | | | **= angle en vraie grandeur** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ → On verra que cette réflexion axiale revient à une ***rotation de 180°*** autour de ***l'axe d'intersection*** des 2 plans. [*Démonstration* par ***feuilletage*** *de l'espace:*] Pour tout point ***I*** de l'espace, on peut déterminer un plan ***N*** normal à l'axe d\'intersection ***noir*** des ***2*** plans ***P1*** & ***P2*** des 2 réflexions planes considérées ici. Ce plan normal ***N*** intersecte les ***2*** plans de réflexion en ***2*** axes ***P1*** & ***P2***. La composition des 2 réflexions planes du point ***I*** équivaut alors aux ***2*** réflexions axiales de ce même point ***I*** relativement aux ***2*** axes ***P1*** & ***P2*** dans le plan normal ***N***. Comme les 2 axes sont orthogonaux, ces 2 réflexions axiales produisent une réflexion ponctuelle relativement au point d'intersection ***O*** des 2 axes sur l'axe d'intersection ***noir*** des 2 plans ***P1*** & ***P2***. Cette réflexion ponctuelle relativement à ***O*** vaut pour tous les points ***I*** d'un même plan ***N*** donné. Si l'on déplace ***I*** hors de ce plan ***N***, la réflexion ponctuelle s'effectuera dans un plan parallèle ***N'*** relativement à un point ***O'*** sur l'axe d'intersection ***noir*** des 2 plans. Cet ensemble de réflexions ponctuelles relativement à des points ***O*** sur l'axe d'intersection ***noir*** des 2 plans équivaut alors à une ***réflexion axiale*** dans l'espace relativement à cet axe d'intersection ***noir***. Le principe de cette démonstration par ***feuilletage*** de l'espace en série de plans parallèles ***N*** sera repris plusieurs fois dans ce document, en particulier [***[ci-dessous]***](#_sjsepz6yd61h) pour les compositions de ***3*** réflexions planes. *→ Ouvrir* *→ Cacher* *→ Montrer progressivement*  *→ Déplacer le point **I** pour voir se déplacer au long de l'axe noir le centre **O** de la réflexion ponctuelle dans le plan **N** correspondant.* Réflexion Ponctuelle -------------------- **=** ***Produit de 3 Réflexions planes selon des plans orthogonaux*** ***Triple réflexion relativement à 3 plans orthogonaux bleu, rouge & vert:***  *[Démonstration:]* Si on introduit un 3ème plan ***P3***, orthogonal à ***P1*** & ***P2***, celui-ci sera parallèle aux plans normaux résultant du feuilletage de l'espace ci-dessus. L'image ***I3*** de la réflexion plane de ***I2*** relativement à ce plan ***P3*** sera diagonalement opposée au point initial ***I*** sur le parallélépipède entre le plan normal ***N*** et le plan réfléchi ***N'*** à distance inverse relativement à ***P3***. Tout point ***I*** de l'espace aura ainsi son image ***I3*** par 3ème réflexion orthogonale plane, sur la ***diagonale*** d'un tel parallélépipède, dont le point milieu ***M***, à l'intersection des 3 plans de réflexion, constitue le centre de la ***réflexion ponctuelle*** équivalente. *→ Laisser montré* *→ Montrer progressivement*  *→ Déplacer le point **I** pour voir se déplacer au long de l'axe noir le centre **M** de la réflexion ponctuelle à l'intersection des 3 plans de réflexion plane.* NB = Nous reverrons ce cas particulier à l'occasion de l\'examen du cas plus général des rotoréflexions par compositions de 3 réflexions planes [***[plus loin]***](#_eli2x2gekvy7) dans ce document. **CONCLUSION:** ***Décomposition des différents types de réflexions:*** - - +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | | **Réflexion** | **Réflexion** | **Réflexion** | | | | | | | | ***plane* :** | ***axiale* :** | ***ponctuelle* | | | | | :** | +=================+=================+=================+=================+ | Dans le | ***Ø*** = | ***1* seule | ***2* | | | n'existe pas | réflexion | réflexions | | ***Plan* :** | | axiale:** | axiales | | | | | orthogonales:** | | | |  | **= | | | | | Déplacement** | | | | **=** | | | | | | = Rotation 180° | | | | **Antidéplaceme | | | | | nt** | relativement au | | | | | point | | | | ***élémentaire* | d'intersection | | | | ** | des 2 axes | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | Dans | ***1* seule | ***2* | ***3* | | | réflexion | réflexions | réflexions | | l'***Espace* | plane** | planes | planes | | :** | | orthogonales:** | orthogonales:** | | |  | **Déplacement** |  | | | **= | = | | | | Antidéplacement | | **=** | | | ** | = Rotation 180° | | | | | | **Antidéplaceme | | | ***élémentaire* | relativement à | nt** | | | ** | l'axe | | | | | | = Réflexion | | | | d'intersection | ponctuelle | | | | des 2 plans | | | | | | relativement au | | | | | point | | | | | | | | | | d'intersection | | | | | des 3 plans | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | GÉNÉRATION des ISOMÉTRIES **par composition de** **RÉFLEXIONS PLANES | | *QUELCONQUES*** | | ===================================================================== | | =============== | | | | (Conception moderne à partir des transformations) | +-----------------------------------------------------------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | 1 - COMPOSITION de RÉFLEXIONS PLANES QUELCONQUES | | ---------------------------------------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ ### ### ROTATION dans l'espace **=** ***Produit de 2 Réflexions planes quelconques*** **La composition de 2 réflexions relatives à des plans formant un angle *α* produit une rotation :** - - → 2 réflexions **axiales** dans le **plan** définissent une rotation d'angle double de celui des **axes** de réflexion, → 2 réflexions **planes** dans l'**espace** définissent une rotation d'angle double de celui des **plans** de réflexion. [***Démonstration* par *feuilletage*** ***de l'espace:***] Sur le schéma ci-dessous, la vue est orientée selon l'axe d'intersection des plans ***rouge*** & ***bleu*** afin de montrer leur angle dièdre en ***vraie grandeur***. → La figure ci-dessus est ainsi identique à celle que nous avions utilisée dans le plan pour démontrer que toute composition de 2 réflexions axiales produit une rotation d'angle double de celle des axes. → Par ***feuilletage*** de l'espace, on peut facilement considérer qu'à l'intersection de ***tout plan orthogonal à l'axe du dièdre***, les 2 ***plans*** de réflexion plane apparaissent comme 2 ***axes*** de réflexion axiale. On peut alors se ramener au cas de 2 réflexions axiales dans le plan pour démontrer que l'angle de la rotation résultant de 2 réflexions planes est double de l'angle ***α*** entre les 2 plans de réflexion, comme vu en [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.gx3vzu9ubebc). Ainsi 2 réflexions planes dans l'espace apparaissent comme 2 réflexions axiales dans le plan de feuilletage déterminé par tout point ***P*** de l\'espace. Et dans ce plan de feuilletage, les 2 réflexions axiales équivalent à une ***rotation*** autour du point ***O*** à l'intersection: \- du plan de feuilletage \- avec l'axe d'intersection des 2 plans définissant les réflexions plans dans l'espace. L'ensemble des points ***O*** constituant les centres de rotations pour tout point ***P*** de l\'espace décrira ainsi l'axe d'intersection des 2 plans définissant les réflexions planes dans l'espace. → Autrement dit, l\'axe de la rotation dans l'espace est le lieu des centres de rotation dans tous les plans de feuilletage de l'espace. ### TRANSLATION dans l'espace **=** ***Produit de 2 Réflexions planes parallèles.*** **La composition de 2 réflexions relatives à des plans *parallèles* (α=0°) à distance *d* produit une translation :** - -  → Dans le ***plan***, une translation sur une distance ***2d*** équivaut à la composition de ***2 réflexions axiales*** relativement à des ***axes** **parallèles*** à distance ***d*** et orthogonaux à la direction de translation, comme vue en [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.8uxfi7uxalf9). → Dans ***l'espace***, une translation sur une distance ***2d*** équivaut à la composition de ***2 réflexions planes*** relativement à des ***plans parallèles*** à distance ***d*** et orthogonaux à la direction de translation. La démonstration par feuilletage est analogue à celle que nous venons de voir pour la rotation en considérant la figure en vraie grandeur dans un ***plan orthogonal*** aux plans parallèles de réflexion. **SYNTHÈSE sur la composition de *2* RÉFLEXIONS PLANES relativement à des plans:** - - +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **Angle α entre les** | **ISOMÉTRIES produites:** | | | | | **2 plans de réflexions qui | | | s'intersectent dans un axe *L*:** | | +===================================+===================================+ | **α = *qcq*** | ***Rotation*** autour de ***L*** | | | d'angle ***2α*** | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **α = *90°*** | Rotation autour de ***L*** | | | d'angle ***180°*** | | | | | | = ***Réflexion axiale*** dans | | | l'espace | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **α = *180°*** | ***Identité*** | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **α = *0°*** | ***Translation*** sur une | | | distance ***2d*** | | ***d* = *qcq*** | | | | selon la direction orthogonale | | | aux plans. | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **α = *0°*** | ***Identité*** = Rotation d'angle | | | nul = Translation sur une | | ***d* = *0*** | distance nulle.(Réflexion plane | | | ***Involutive***) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **THÉORÈME de STRUCTURE FONDAMENTAL des ISOMÉTRIES dans l'ESPACE:** +-----------------------------------------------------------------------+ | ***Toute isométrie dans l'espace peut s'exprimer comme*** | | | | ***le produit d'au plus 4 réflexions planes*** | +-----------------------------------------------------------------------+ **→ La réflexion *PLANE* constitue ainsi la *brique de base* à partir de laquelle il est possible de recomposer toutes les isométries dans l'*ESPACE*.** NB = La démonstration de ce théorème n'est pas au programme de ce cours. Mais avant de composer 3 puis 4 réflexion planes, il faut s'interroger sur les différentes configurations que peuvent prendre plusieurs droites et plusieurs plans dans l'espace. +-----------------------------------------------------------------------+ | CONFIGURATIONS de 2 DROITES dans l'ESPACE | | ========================================= | | | | **&\ | | *CONNECTEUR* de 2 droites gauches** | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Configurations de 2 droites dans le plan :*** → coplanaires = en faisceau autour d'un ***point d'intersection*** fini ou infini - - ***Représentations de 2 droites dans le plan → Aucune ambiguïté !!!*** ( = Projection orthogonale à la feuille de papier ou à l'écran d'ordinateur) **Sécantes:** **Parallèles:** --------------- ------------------------  ***Les 3 configurations de 2 droites dans l'espace :*** → ***coplanaires*** = en faisceau autour d'un point d'intersection fini ou infini - - → ***non coplanaires*** = ***gauches*** = aucune intersection ***Ambiguïté* de la représentation de *2* droites dans l'espace dans une seule vue en plan:** ( = Projection orthogonale sur votre feuille de papier ou votre écran d'ordinateur) +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | **2 droites | **2 droites | ***1 point & 1 | | *sécantes*:** | *parallèles*:** | droite*** | +=======================+=======================+=======================+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***2 configurations | ***2 configurations | ***2 configurations | | envisageables:*** | envisageables:*** | envisageables:*** | | | | | | → 2 droites | → 2 droites | → un point & une | | ***coplanaires*** | coplanaires | droite | | sécantes avec un | effectivement | | | point d'intersection | ***parallèles*** | → 2 droites gauches | | ***effectif*** fini | | vues dans la | | | → 2 droites | direction de la | | → 2 droites | ***gauches*** | droite apparaissant | | ***gauches*** avec | quelconques vues | comme un point. | | intersection | selon une direction | | | seulement | normale à leur | | | ***apparente*** | ***connecteur***. | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | Connecteur de 2 droites gauches | | ------------------------------- | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Définition du connecteur de 2 droites gauches*** : **→ *Le connecteur de 2 droites gauches est*** ***l'unique droite orthogonale à chacune de ces 2 droites gauches.*** ***Construction du connecteur :*** Soit 2 droites gauches ***d1*** & ***d2***. Les plans normaux à ces droites en un point quelconque de chacune de ces droites ont un axe d'intersection ***d3*** dont la direction orthogonale à chacune de ces droites. *→ Ouvrir*  *= 1er exercice du document [**[4-EXd]**](https://docs.google.com/document/d/1sdl38xoLLE6Y8IsXWjFUmw0y9w4G8c_7Okklt-JaGT8/edit#heading=h.4l5n0z8lvwp1)* *→ Cacher* *→ Montrer*  *→ Montrer progressivement* *en*  Construire les plans: \- ***P1*** sur la droite ***d1*** de 2nde direction ***d3*** qui intersecte ***d2*** dans le point ***I2*** \- ***P2*** sur la droite ***d2*** de 2nde direction ***d3*** qui intersecte ***d1*** dans le point ***I1*** → Le ***connecteur*** est la droite déterminée par les points ***I1*** & ***I2*** *→ Montrer progressivement*  ***Images parallèles des 2 droites gauches d1*** & ***d2:*** → 2 droites gauches quelconques peuvent toujours apparaître comme ***parallèles*** Il suffit pour cela de les regarder selon la normale à n'importe quel plan parallèle à leur connecteur !!! *→ Cacher*  *→ Montrer cumulativement: -* *-*  *-* +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Plan*** passant par le | Images parallèles de ***d1*** & | | ***connecteur*** de ***d1*** & | ***d2*** vues selon la | | ***d2*** | ***normale*** au ***plan*** | | | passant par leur | | avec sa ***normale***. | ***connecteur***. | | | | | *→ Caméra Perspective* | *→ Vue normale au plan par le | |  | connecteur* | | | | | | *= **Touche** **N*** | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Plans parallèles définis par 2 droites gauches:*** → 2 droites gauches quelconques sont comprises dans 2 plans ***parallèles:*** \- orthogonaux au connecteur \- passant par chacune des droites. *→ Montrer* *→ Déplacer légèrement la vue avec le bouton milieu de la souris.*  ***Conclusion sur les plans définis par 2 droites quelconques:*** → 2 directions de droites définissent toujours un ***feuilletage*** de plans parallèles ***orthogonaux au connecteur*** des 2 droites: → Le ***connecteur de 2 droites*** quelconque joue un rôle aussi important que le ***plan normal à 2 plans*** quelconques où apparaît la mesure de l\'angle en vraie grandeur, comme on l'a vu [***[ci-dessus]***](#corollaire-pratique-important-plan-orthogonal-%C3%A0-2-plans). → Par ailleurs, le connecteur jouera également un rôle important dans la construction du vissage résultant de la composition de 4 réflexions planes [***[ci-dessous]***](#introduction-du-connecteur-perpendiculaire-aux-axes-dintersection-des-paires-de-plans). ***Conclusion générale:*** ***2 vues sont toujours nécessaires pour lever l'ambiguïté qui pèse sur toute représentation plane de 2 droites dans l'espace !!!!*** La Géométrie descriptive, initiée par Monge en 1795, a précisément pour objet de coordonner 2 vues dans le but de lever toute ambiguïté sur les configurations spatiales. +-----------------------------------------------------------------------+ | CONFIGURATIONS de *3 PLANS* dans l'ESPACE | | ========================================= | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Configurations de 2 plans dans l'espace :*** - - - **2 Plans *Concourants*:** **2 Plans *Parallèles*:** ------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------  **→** Intersection = droite ***m*** dans espace ***fini*** **→** Intersection= droite ***m*** rejetée à l'***infini*** ***Configurations de 3 plans dans l'espace :*** **→ Seules *5* configurations de *3* plans sont pertinentes** **pour composer *3* réflexions planes dans l'espace !!!** Ces 5 configurations font l'objet des 5 assemblages du dossier ci-dessous: **Théorème fondamental relatif aux *3* droites d'intersection de *3* plans dans l'espace:** +-----------------------------------------------------------------------+ | Soit ***3*** plans dans l'espace, si ces 3 plans ont ***3*** lignes | | d'intersection, alors ces ***3*** lignes sont: | | | | - - | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Les* 2 *seules configurations de* 3 droites *d'intersection de* 3 *plans P1***, ***P2***, ***P3 dans l'espace:*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | 3 plans ***quelconques***: | 3 plans ayant ***une direction | | | parallèle***: | | → 3 lignes d'intersection | | | ***concourantes***. | → 3 lignes d'intersection | | | ***parallèles***. | | = ***cas le plus général !!!*** | | | | = ***cas particulier*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Expérimentation manuelle ou mentale en guise de démonstration:*** → prendre 2 feuilles de papier: \- une feuille pliée dans le dièdre entre les plans ***P1*** & ***P2*** autour du pli ***m3*** \- une autre feuille ***P3*** d'inclinaison quelconque, intersectant donc le pli ***m3*** au point d'intersection des 2 droites d'intersection ***m1*** de ***P3*** & ***P2*** et ***m2*** de ***P3*** & ***P1*** = les 3 plans ont alors ***3*** droites d'intersections ***concourantes***. = figure de ***gauche*** du tableau ci-dessus. = C'est là le cas le plus banal de 3 plans ***quelconques.*** → Puis, tourner ***P3*** pour le rendre parallèle à ***P1*** \- sa ligne d'intersection ***m2*** avec ***P1*** part à l'infini \- sa ligne d'intersection ***m1*** avec ***P2*** est alors parallèle à ***m3*** = les 3 plans n'ont alors que ****** lignes d'intersections ***parallèles*** dans l'espace fini. = étape intermédiaire pas représentée sur le tableau ci-dessus. → Tourner alors ***P3*** autour de ***m1*** pour que ***P3*** retrouve une intersection ***m2*** avec ***P1*** = les 3 plans ont alors ****** lignes d'intersections ***parallèles***. = figure de ***droite*** du tableau ci-dessus. **Les *3* autres configurations de *3* plans dans l'espace:** Examinons maintenant les ***3 cas*** où 3 plans n'***ont pas*** 3 droites d'intersection dans l'espace fini. - - - #### Inventaire des 5 configurations possibles d'introduction d'un *3ème* plan **relativement à *2* plans donnés P1 & P2 s'intersectant dans une droite *m3* :** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | ***2 Plans* P1 & P2 | ***2 Plans* P1 & P2 | | | *Quelconques:*** | *Parallèles*** | | | | | | |  | d\'intersection | | | | ***m3*** rejetée à | | | **→** Droite | | | | d'intersection | l**'infini** | | | ***m3*** dans espace | | | | **fini** | | +=======================+=======================+=======================+ | ***3ème Plan: P3*** | ***3 plans | ***2 plans parallèles | | | quelconques:*** | & 1 plan qcq:*** | | ***Quelconque* :** | | | | |  | d'intersections | | premiers plans) | | parallèles | | | → ***3*** droites | | | | d'intersections | | | | concourantes | | | | | | | | = ***1*** point | | | | d'intersection | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***3ème Plan: P3*** | ***3 plans aux 3 | ***Faisceau de*** | | | intersections | | | **parallèle à *m3* & | parallèles:*** | ***3 plans | | extérieur à l'axe | | parallèles:*** | | *m3*** |  | → ***0*** droite | | | | d'intersection | | | → ***3*** droites | | | | d'intersections | dans l'espace fini. | | | parallèles | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***3ème Plan: P3*** | ***Faisceau de 3 | | | | plans radiaux***: | | | **parallèle à *m3* | | | | passant par l'axe | (autour de l'essieu | | | *m3*** | ***m***) | | | | | | | |  | | | | | | | | → ***1*** seule | | | | droite d'intersection | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ #### Classification des 5 configurations possibles de 3 plans dans l'espace ***selon le nombre de droites d'intersection* *PARALLÈLES* :** **= *encadré rouge* =** 4 configurations ***feuilletables*** selon des plans normaux à la direction des droites d'intersection parallèles. +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | **Nbre de droites | **Configuration:** | | | d'intersection** | | | +=======================+=======================+=======================+ | ***3*** | 3 droites | | | | concourantes | | | droites | | | | | = | | | | | | | | ***0*** direction | | | | parallèle privilégiée | | | | | | | | = | | | | | | | | Pas de Feuilletage | | | | envisageable | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | | ***1*** direction |  | | | | | | | = | | | | | | | | ***Feuilletable*** | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***2*** | ***1*** direction | | | | parallèle privilégiée | | | droites | | | | | = | | | | | | | | ***Feuilletable*** | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***1*** | ***1*** direction |  | | seule droite dans | | | | l'espace fini | = | | | | | | | | ***Feuilletable*** | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***0*** | une ***infinité*** de | | | | directions parallèles | | | droites dans l'espace | privilégiables | | | fini | | | | | = | | | ***1*** | | | | | ***Feuilletable*** | | | droite à l'infini | | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ ***CONCLUSION majeure de l'inventaire des 5 CONFIGURATIONS possibles de 3 PLANS:*** ***Les 4 cas non quelconques sont descriptibles par un feuilletage de plans parallèles*** → A l'exception du cas le plus général où 3 plans s'intersectent en un ***point***, les ***4*** autres configurations permettent de déterminer une direction de ***plans normaux*** à chacun des 3 plans considérés. → Ce ***feuilletage*** de plans normaux parallèles permettra de ramener: \- les ***3 réflexions planes*** relatives à ces 4 configuration de ***3 plans*** *Rappel:* +-----------------------------------------------------------------------+ | **THÉORÈME** de **STRUCTURE** des **ISOMÉTRIES** dans le ***PLAN:*** | | | | Toute isométrie dans le ***plan*** se laisse décomposer en un produit | | de ***3*** **réflexions *axiales***. | | | | ***RA(d1) \* RA(d2) \* RA(d3)*** | | | | vu en | | [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nY | | uDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.oz3uylf03zxu) | | | | **THÉORÈME** de **STRUCTURE** des **ISOMÉTRIES** dans l'***ESPACE:*** | | | | Toute isométrie dans l'***espace*** se laisse décomposer en un | | produit de ***4*** **réflexions *planes***. | | | | ***RP(P1) \* RP(P2) \* RP(P3) \* RP(P4)*** | +-----------------------------------------------------------------------+ NB = ***RA***: Réflexion Axiale & ***RP***: Réflexion Plane NB = Comme dans le document [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.oz3uylf03zxu), dans les formulations ci-dessus, nous faisons entorse à la convention d'écriture des compositions de fonctions pour adopter l'ordre de lecture commun. Plus loin, nous retournerons à l'écriture mathématique usuelle dans la construction du vissage. +-----------------------------------------------------------------------+ | EXAMEN préalable du PRODUIT de ****** **RÉFLEXIONS PLA | | NES dans l'ESPACE** | | ===================================================================== | | =================== | +-----------------------------------------------------------------------+ Dans tous les cas, le nombre ***3*** des réflexions planes étant ***impair***, leur produit est un ***antidéplacement*** qui inverse l'orientation. **Les 4 cas *particuliers* de 3 plans *P1, P2, P3*** **normaux à une même série de plans parallèles N:** Nous avons vu que 3 plans dans l'espace donnent lieu à ***5*** configurations possibles. A l'exception du cas général de 3 plans quelconques aux 3 lignes d'intersection concourantes, les ***4*** autres configurations de 3 plans ***P1, P2, P3*** définissent une série de plans parallèles **N** \- normaux à ces plans ***P1, P2, P3*** \- normaux à leurs droites d'intersections quand elles existent. → Voir ces 4 configurations dans le tableau ci-dess***o***us. **Réflexions axiales d'un point *I* dans le plan *N'* normal aux 3 plans *P1, P2, P3*.** Tout point ***I*** de l'espace se trouvera nécessairement sur un de ces plans normaux: ***N'.*** La succession des 3 réflexions planes du point ***I*** relativement à ***P1, P2, P3*** se développera nécessairement dans ce plan normal ***N'***, puisque la distance de ***I*** à ces plans se mesure sur les perpendiculaires de ***I*** à ces plans. Il suffit de considérer les 4 configurations des 3 droites d'intersection avec ***N'*** pour caractériser les isométries résultant du produit des 3 réflexions axiales dans ce plan ***N'*** → ***Réflexion glissée*** dans les 2 cas - - → ***Réflexion axiale*** dans les 2 cas - - ***Isométries résultant du produit de 3 réflexions planes*** ***dans les 4 cas de 3 plans orthogonaux à un même 4ème plan normal:*** *→*  *→ Montrer les 4 sous ensembles des documents ci-dessous: -* *-* *-* *-* +-----------------------------------+-----------------------------------+ |  |  | | | | | → Réflexion glissée du point | → Réflexion glissée du point | | ***I*** dans le plan ***N'*** | ***I*** dans le plan ***N'*** | +-----------------------------------+-----------------------------------+ +-----------------------------------+-----------------------------------+ |  |  | | | | | → Réflexion axiale du point | → Réflexion axiale du point | | ***I*** dans le plan ***N'*** | ***I*** dans le plan ***N'*** | | (réflexion relative au 3ème axe | (réflexion relative au 3ème axe | | tourné de l'inverse de l'angle | translaté de l'inverse de la | | entre les 2 premiers axes) **= | distance entre les 2 premiers | | *axe pointillé bleu*** | axes) **= *axe pointillé bleu*** | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Par extension, de ce qu'on a vu dans le plan en [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.q47bkg86sjzt) au long de la direction orthogonale au feuilletage, les 4 configurations ci-dessus équivalent donc à des réflexions glissées dans l'espace qu'on peut normaliser comme 3 réflexions planes: \- 2 réflexions relatives à des ***2 plans parallèles* P1** & **P3** définissant une translation: \- une 3ème réflexion relative à un ***plan*** **P2 *orthogonal*** à **P1** & **P3** Cette ***réflexion glissée*** spatiale dégénère en une simple ***réflexion plane*** dans les 2 derniers cas du tableau ci-dessus où on obtient une simple réflexion axiale dans le plan de feuilletage. *→ Montrer le 5ème sous ensembles des documents: -* +-----------------------------------+-----------------------------------+ |  |  | | | | | = ***Réflexion glissée* par | = ***Réflexion glissée* par | | extension dans l'espace selon les | extension dans l'espace selon les | | 3 plans P1, P2, P3** | 3 plans P1, P2, P3** | +-----------------------------------+-----------------------------------+ +-----------------------------------+-----------------------------------+ |  |  | | | | | **= *Réflexion plane* par | **= *Réflexion plane* par | | extension dans l'espace selon le | extension dans l'espace selon le | | plan d'extrusion de l'axe *bleu* | plan parallèle aux 3 plans P1, | | dans la direction d'intersection | P2, P3 passant par l'axe *bleu*** | | *m*** | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | 5ème configurations: | | -------------------- | | | | ROTORÉFLEXION | | ------------- | | | | ***Normalisation du cas général d'une réflexion relativement à 3 | | plans quelconques*** | +-----------------------------------------------------------------------+ → Il ne nous reste donc plus qu'à examiner le ***cas général***: = 3 plans **P1, P2, P3** aux 3 intersections concourantes: C'est la 5ème configuration possible de 3 plans dont on va d'abord examiner un cas ***particulier***: **= 3 plans P1, P2, P3 aux intersections concourantes où:** **les plans P1 & P3 sont *orthogonaux* au plan P2**  → Les 3 réflexions planes produisent alors une transformation qu'on nomme: ***rotoréflexion***. Les réflexions relatives aux 2 plans **P1** & **P3**, tous deux orthogonaux au 3ème plan P2, définissent une rotation d'angle double ***2α*** de celui formé par les premiers plans: ***α***. NB = La nomination de ces plans est organisée en prévision des constructions à venir. Observer que la perpendicularité des plans, autorise la ***commutation*** des réflexions relatives à ces plans, comme c'était le cas des réflexions axiales relatives à des axes orthogonaux, comme indiqué en [***[4-THb]***](https://docs.google.com/document/d/1mS2nYuDWNVuu25FJ3xglIFZBlVytNpiOpx35uR0glZM/edit#heading=h.hjsilamyo1r). Cette rotation définie par **P1** & **P3** est suivie d'une réflexion relativement au 3ème plan P2, orthogonal aux 2 premiers. → La composition d'une ***rotation*** d'angle ***2α*** et d'une ***réflexion plane*** relativement à un plan ***P*** orthogonal à l'axe de rotation s'appelle une ***rotoréflexion***: NB = En anglais, on utilise les termes : rotoreflection, rotatory reflection, ou improper rotation, En français, on utilise également les termes de : Rotation Réflexion, anti rotation, ou rotation impropre. Les rotoréflexions permettent, par exemple, de générer la face ***inférieure*** d'un ***antiprisme*** à partir de sa face ***supérieure***. Observer que la ***réflexion plane*** relativement au plan milieu entre les 2 faces est bien nécessaire pour ***inverser*** le sens de la ***normale*** d'une face à l'autre, de sorte qu'elle soit toujours dirigée vers la même zone de l'espace, ***intérieure*** ou ***extérieure*** au prisme. Un tel prisme ne peut donc pas résulter d'un ***vissage*** qui compose une translation & une rotation. En effet, l'application de ces déplacements à la face supérieure rouge maintiendrait l'orientation de sa normale alors qu'on doit l***'inverser*** pour produire une face inférieure correctement orientée vis à vis de l'intérieur ou de l'extérieur. Nous allons démontrer que: → tout comme la ***réflexion glissée*** constitue une normalisation du produit de ***3*** réflexions ***axiales*** qcq dans le ***plan***. → de la même façon la ***rotoréflexion*** constitue une normalisation du produit de ***3*** réflexions ***planes*** qcq dans l'***espace***. Auparavant, nous avons besoin de définir la ligne & le plan de plus grande pente d'un plan relativement à un axe. +-----------------------------------------------------------------------+ | PROBLÈME PRÉALABLE à la NORMALISATION du produit de 3 RÉFLEXIONS PLAN | | ES dans l'ESPACE | | --------------------------------------------------------------------- | | ---------------- | | | | **= *Construction de la Ligne & du Plan de plus grande pente*** | | | | ***d'un plan relativement à une direction donnée*** | +-----------------------------------------------------------------------+ → Un plan oblique ***rose*** & une direction de référence ***noir*** étant donnés, le plan de plus grande pente sera le plan ***vert:*** \- ***perpendiculaire*** au plan oblique ***rose*** \- passant ***par l'axe*** de référence ***noir***. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Plan oblique rose*** | ***Plan vert perpendiculaire au | | délimitant une hémisphère | plan oblique*** | | | | | ***& axe de référence noir*** | ***par l'axe de référence:*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Construction du Plan de plus grande pente selon un axe de référence donné*** = ***[[4-EXd]](https://docs.google.com/document/d/1sdl38xoLLE6Y8IsXWjFUmw0y9w4G8c_7Okklt-JaGT8/edit#heading=h.g2chnctp48qh):*** Soit: - une sphère limitée par un ***plan oblique*** quelconque passant par son centre \- un axe de référence, ici l'axe vertical ***Z*** \- Créer le ***plan horizontal*** passant par le centre de la sphère = plan ***normal*** à l'axe de référence **Z**, = ***plan de niveau*** \- Créer le ***diamètre*** de la section intersectant ce plan horizontal = intersection du ***plan oblique*** avec le ***plan normal*** à l'axe de référence = ***ligne de niveau*** \- Créer la ***perpendiculaire*** à ce diamètre passant par l'axe de référence Z sur le plan oblique → Cette ***perpendiculaire*** est la ***ligne de*** ***plus grande pente*** de la section oblique. *→ Ouvrir*  *→ Montrer progressivement les éléments de* +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | Demi sphère oblique | ***Diamètre*** = | ***Plan de plus | | | intersection du | grande pente*** = | | & | ***plan oblique*** | unique plan | | | avec le ***plan | perpendiculaire au | | Axe de référence | normal*** à l'axe de | ***plan oblique*** | | | référence | passant par l'***axe | | | | de référence*** | | | Perpendiculaire au | | | | diamètre = Ligne de | | | | ***plus grande | | | | pente*** | | +=======================+=======================+=======================+ |  | | ) | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ → Le ***plan de plus grande pente*** est défini par les 2 droites: \- l'**axe** de référence, ici: l'axe vertical ***Z*** \- la ***perpendiculaire*** à la ***droite d'intersection = ligne de*** ***plus grande pente*** → Ce ***plan de plus grande pente*** est l'***unique plan perpendiculaire*** au ***plan oblique*** passant par l'***axe de référence.*** → On ne parle donc de "***plus grande pente***" qu'en référence à l'axe pris comme ***"verticale***". → En effet cette notion de plus grande pente ne dépend donc pas que du plan, mais aussi de la direction définissant la verticale. → Le diamètre ***bleu*** correspond à une ***courbe de niveau***. Toutes ces notions seront reprises dans l'étude des surfaces en [***[9-THa]***](https://docs.google.com/document/d/1eXQYBmeGQaSvvMp-qMIxuW1cKfFqMS9brubu5pNDTlw/edit#heading=h.plczvxiuywr7). Dans la configuration illustrée ci-dessus, on a pris l'axe ***Z*** comme axe de référence qui correspond à l'expérience quotidienne de la ***pesanteur verticale***, tout comme on le fera encore au [***[1er ajustement]***](#er-ajustement-du-plan-p2-rotation-autour-de-z-pour-rendre-p2-perpendiculaire-%C3%A0-p3) effectué dans la normalisation du produit de 3 réflexions planes ci-dessous. Mais, pour le [***[2nd ajustement]***](#nd-ajustement-du-plan-p2) de cette normalisation, l'axe de référence prendra une inclinaison ***oblique*** quelconque, qui correspond au cas général de la construction du plan de plus grande d'un plan quelconque relativement à un axe quelconque = 2nd exercice en [***[4-EXd]***](https://docs.google.com/document/d/1sdl38xoLLE6Y8IsXWjFUmw0y9w4G8c_7Okklt-JaGT8/edit#heading=h.g2chnctp48qh). +-----------------------------------------------------------------------+ | NORMALISATION du produit de *3* RÉFLEXIONS PLANES en une ROTORÉFLEXIO | | N | | ===================================================================== | | = | +-----------------------------------------------------------------------+ Dans le ***plan***, tout produit de 3 réflexions ***axiales*** équivaut à une ***réflexion glissée*.** Dans l'***espace***, tout produit de 3 réflexions ***planes*** équivaut à une ***rotoréflexion*.** ***Configuration initiale de 3 plans quelconques* P1**, **P2** , **P3** ***concourants au centre d'une sphère:*** *→ Ouvrir*  *→ Cacher* *→ Montrer:*  *→ Activer la Caméra Perspective:* → Par commodité de lecture, on oriente les 3 plans quelconques de sorte que l'intersection des plans **P1** & **P2** soit un diamètre ***vertical*** de la sphère.  **Double ajustement pour ramener tout produit de *3* réflexions planes à une rotoréflexion.** = L'objectif est de tourner le plan ***P2*** pour le rendre ***perpendiculaire*** \- d'abord à ***P3*** = 1er ajustement, \- puis à ***P'1*** = 2nd ajustement. ### *1^er^ ajustement du plan* P2 : → ***Rotation autour de* Z *pour rendre* P'2** ***perpendiculaire à* P3** *→ Montrer progressivement* *→ Cacher*  *→ Montrer* *→ Tourner la boussole*  *pour voir la sphère entaillée comme ci-dessous à **[droite]** en en percevant mieux les couleurs* ***Rendre* P'2 *perpendiculaire à* P3*:*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | [*Départ = Plus grande pente* sur | *[Ajustement = Rotation du dièdre | | **P3** *selon Z:*] | **P1**\^**P2** autour de | | | **Z**:]* | | 3 plans d'angles quelconques | | | | *= Amener* **[P2]** | | **P1, P2, P3** orientés de sorte | *sur l'**axe rouge*** | | que l'arête du dièdre | | | **P1**\^**P2** serve d'axe **Z** | L'arête **P'2-P3** va s'aligner | | | sur la ***direction*** du plan | | L'***axe rouge*** constitue la | perpendiculaire au plan **P3** | | ligne de ***plus grande*** | par ***Z*** | | ***pente*** sur **P3** | | | relativement à **Z** | → **P2** devient **P'2** ┴ **P3** | | | | | = ***trace*** sur **P3** du plan | → **P1** devient **P'1** pour | | perpendiculaire au plan **P3** | conserver l'angle | | passant par **Z.** | | | | **P1**\^**P2** | | | | | | → **P3** demeure **P3** et | | | devient ┴ à **P'2** | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ### *2^nd^ ajustement du plan* P'2 ***= Rotation autour de l'axe rouge pour rendre* P''2** ***perpendiculaire à* P'1** *→ Montrer progressivement* *→ Cacher*  *→ Montrer* ***Rendre* P''2** ***perpendiculaire à* P'1** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | *[Départ:]* **P'2** ┴ | *[Ajustement = Rotation du dièdre | | **P3** | orthogonal **P'2\^P3** autour de | | | son **arête** P'2-P3 | | L'**axe jaune** constitue la | :]* | | ligne de plus grande pente sur | | | **P'1** relativement à | *= Amener* **P'2** *sur l'**axe | | l'***arête*** entre **P'2-P3** | jaune*** | | | | | = **trace** sur **P'1** du plan | → **P'2** devient alors **P''2** | | perpendiculaire à ce plan **P'1** | ┴ **P'1** | | passant par l'**arête** | | | **P'2-P3**. | → **P3** devient **P'3** pour | | | conserver **P'2** ┴ **P3** | | | | | | → **P'1** demeure **P'1** et | | | devient ┴ à P''2 | | | | | | Le plan **P''2** est désormais ┴ | | | à **P'1** & **P'3** ainsi qu'à | | | leur axe d'intersection | | | ***bleu*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ *→ Double clic sur le point noir pour montrer les cotes* *→ Double clic sur la* *du dossier*  ***Résumé:*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***Situation | ***1ère Étape:*** | ***2ème Étape:*** | | Initiale:*** | | | +=======================+=======================+=======================+ | 3 plans quelconques | → On tourne **P2** | → On tourne **P'2** | | | vers ***Axe de plus | sur ***Axe + grande | | & ***Axe de plus | grande pente*** | pente*** | | grande pente*** sur | | | | **P3** selon | = Rotation du dièdre | = Rotation du dièdre | | ***Arête*** du dièdre | **P1**\^**P2** autour | orthogonal | | **P1**\^**P2** = Axe | de son ***Arête***: | **P'2\^P3** autour de | | ***Z*** dans cette | | son **Arête** | | configuration. | & ***Axe de plus | | | | grande pente*** sur | & **Arête** du dièdre | | | **P'1** selon | **P''1\^P'3** | | | ***Arête*** du dièdre | | | | **P'2\^P3** | = **Axe | | | | rotoréflexion** selon | | | | les plans **P''2** ┴ | | | | à **P'1** & **P'3** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | **P1**\^**P2** dirigé | **P'2** ┴ **P3** | **P''2** ┴ **P'1** | | selon l'axe **Z** |