Recursos para la Enseñanza de la Geometría PDF

Recursos para la Enseñanza de la Geometría Apuntes Adaptados del material de Manuel Barrantes  ¿Qué son los Recursos? Herramientas que nos facilitan la descripción de situaciones o la identificación de variables del concepto a estudiar. La r...

Recursos para la Enseñanza de la Geometría Apuntes Adaptados del material de Manuel Barrantes  ¿Qué son los Recursos? Herramientas que nos facilitan la descripción de situaciones o la identificación de variables del concepto a estudiar. La realidad como RECURSO El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) Dibujo, Arte, Recursos Tecnológicos Fotografía https://www.youtube.com/watch?v=10_0nVuXZqo  La realidad como RECURSO Hay muchas actividades que se pueden realizar fuera de las paredes de la clase o que se escapan al ritmo usual de trabajo y usan lo real. Ángel Alsina Educación Matemática Infantil y Primaria - EMIP Angel Alsina  Icosaedro truncado https://es.wikihow.com/aplicar-la-geometr%C3%ADa-y-las-matem%C3%A1ticas-en-el-baloncesto  1. Analizar un anuncio de televisión indicando las figuras y cuerpos geométricos que aparecen. 2. Identificar los polígonos de la figura y sus propiedades, estableciendo relaciones entre ellos.  El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) ¿Hemos reparado alguna vez en la cantidad de figuras geométricas que tenemos alrededor?  El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) Las Rutas Geométricas como recurso didáctico. Revisan en contextos no matemáticos ideas geométricas Ruta Geométrica en la que con motivo de una visita a una ciudad, un monumento, un parque… se programan tareas que aúnan y dan significado a aspectos como: visualización, construcción, dibujar y medida… https://mathcitymap.eu/en/portal-en/#!/trail/361428/task/287244  El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) Las Rutas Geométricas como recurso didáctico. Etapas Metodológicas PREPARACIÓN DE LA VISITA. Se elige la zona o ciudad; se identifican posibles centros de interés tales como: arquitectura, deportes, orientación espacial; DISEÑO DE LA VISITA: Desarrollo guion del alumnado y el profesor a) ¿Qué objetivos cubrir con la visita? b) ¿Qué van a ver exactamente? c) La duración de la visita a ese lugar concreto. d) La metodología: si va a haber explicaciones, si se van a hacer observaciones libres o guiadas,… e) Los recursos necesarios (cámaras de fotos, cámaras de video, papel cuadriculado o isométrico, instrumentos para medir...) y actividades. f) El diseño de las actividades  El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) Las Rutas Geométricas como recurso didáctico. Etapas Metodológicas. VISITA. Realización práctica de lo programado. EXPLORACIÓN POSTERIOR: Posteriormente en el aula se vuelve a analizar la información, conjuntando la obtenida a priori con la recogida a lo largo de la visita. (Guía didáctica Recopilatoria)  El entorno Natural y Social (La vida Cotidiana) Paseo Matemático: Desarrollo de la actividades (fichas específicas), con uso de material manipulativo y/o tecnológico. En el aula: En el aula: Preparación específica Revisión de la actividad. de la actividad, con Análisis, consolidación y intervención de evaluación de los diferentes áreas. aprendizajes. Fases del desarrollo de un Paseo Matemático (Blanco y Blanco, 2020, p.10) ▪ ¿Qué forma tiene el mosaico? ▪ ¿Qué clase de polígonos aparecen en la figura? Nómbralos y dibújalos. ▪ ¿Cuál es el polígono que tiene un mayor número de lados? Nómbralo. ▪ ¿Qué otras figuras geométricas aparecen en el mosaico? ▪ ¿Es simétrico? ¿Tiene algún eje de simetría? Identificadlos.  Plaza de la Soledad “Calcula el área y perímetro de las dos piezas que componen la base de la estatura del Porrina. Analiza la relación entre área y perímetro de dichas figuras planas” (Blanco, 2020, p. 63) ¿Qué conceptos geométricos identificas en la forma de los bancos? Estimar/calcular cuánto pesará el banco sabiendo que un metro cúbico de hormigón blanco del que está formado pesa 2400 kg. (Blanco, 2020, p. 63)  Recurso Tecnológico Fotografía matemática Dibujo, Arte, Fotografía ESTÁTICA Recurso Tecnológico Fotografía matemática “La obtención de una fotografía matemática es para el alumno la realización de un problema, que en principio no tiene una solución clara ni estrategia evidente” (Barrantes y Barrantes, 2018, p. 198). Trabajo previo a la realización de la fotografía: “Enseñar a mirar las fotografías con ojos matemáticos” 1-Preparación. 2-Realización de fotografías propias (Ficha que contenga: contenido, descripción del lugar, lema que represente la fotografía, marco). 3-Álbun fotográfico, 4-Concurso fotográfico. 5-Valoración de la actividad (cuestionario que recoja la opinión de los alumnos sobre el trabajo desarrollado y si se ha producido cambios es su forma de ver las matemáticas)  Fotogeogebra https://www.facebook.com/FotoGebra Dibujo en Geometría Barrantes Geometría y Arte Universidad de 17 Extremadura https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Patch-Tool/ TESELACIONES Una teselación es cuando cubres una superficie (todo el plano) con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos. https://www.youtube.com/watch?v=rLrIozxRpkA&t=1108s  Materiales Manipulativos Los materiales didácticos favorecen el paso de lo concreto a lo abstracto mediante la manipulación por parte del alumno. Es aquel material capaz de traducir o de sugerir ideas matemáticas (modelo). 1. Materiales Constructores: Se utilizan para construir modelos 2. Modelos Construidos: Sirven directamente para observar y Josep Maria Fortuny concretar conceptos y profundizar en Universidad Autónoma de Barcelona propiedades. http://gent.uab.cat/josepmariafortuny/es/content/josep-maria-fortuny-4  Materiales Manipulativos MODELO. Todo aquel material capaz de traducir o de sugerir ideas matemáticas. Finalidad: Construir esquemas Nos permiten descubrir las mentales abstractos actitudes que el alumno aplicables a una tiene hacia la matemática, variedad más amplia de desarrollar sus destrezas, problemas. habilidades y creatividad. ¿DIVERSIÓN?  Materiales Constructores en Geometría Plana. Geoplanos y Tramas Mecanos Tangram Pattern Blocks Espejos Geometría del papel Ejemplos… Entre dos polígonos regulares con el mismo perímetro, el que tiene mayor área es el que posee más ángulos  Materiales Contructores en Geometría Espacial Material Polydron Material Plot Zometool Material orbital Geomag 1. Materiales Constructores: Geometría del Papel: Si seguimos el currículo de Primaria podemos observar que prácticamente todos los conceptos primarios se pueden trabajar con papel. Algunas Actividades: Mediatriz, Suma de los ángulos de un triángulo, Elementos notables de un triángulo, construcción de polígonos con tiras de papel Tarea 1: para realizar ahora: 1. Construir la tangente por un punto a una circunferencia dibujada en un folio A4. Explica los pasos seguidos para que esté bien construida, pues debe ser perpendicular a un radio. 2. Partiendo de un triángulo equilátero construye un hexágono regular mediante dobleces, luego, construye un dodecágono regular. 3. Probar, mediante papel, la propiedad: todo ángulo inscrito recto abarca una semicircunferencia y viceversa, si un ángulo abarca una semicircunferencia es recto 1. Materiales Constructores: Geometría del Papel: Ayuda al desarrollo de: i) la percepción espacial, ii) la psicomotricidad y iii) la precisión manual Motiva al alumno a ser creativo, ya que puede desarrollar sus propios modelos. Las actividades con papel se recomienda sean anteriores ¿Qué representan los dobleces del papel? al dibujo. Traza el incentro doblando papel  Dentro del campo de la geometría, doblar papel fomenta el uso y comprensión de conceptos geométricos, tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz etc. Además, el doblado de papel, también permite a los alumnos crear y manipular figuras geométricas como cuadrados, rectángulos y triángulos y visualizar cuerpos geométricos. Construcción del triángulo equilátero doblando papel 1. Doblando, traza la paralela 2. Con un doblez que media en el sentido largo del pase por B lleva A sobre rectángulo la paralela media 3. Sin desdoblar la figura anterior, con un nuevo doblez, prolonga el lado más corto del triángulo.  Transportador de bolsillo Mide ángulos con una herramienta que puedes hacer tu mismo. Materiales Hoja de papel cuadrada Alternativa: papel para origami cuadrado lápiz regla (opcional) tijeras (opcional) http://www.exploratorium.edu/geometryplayground/resources.php Ahora identifica los ángulos Para reflexionar https://www.youtube.com/watch?v=OFEo6TjGG0Y&t=93s  Transformar un pedazo plano de papel en una figura tridimensional, es un ejercicio único en la comprensión espacial. El origami es también importante en la enseñanza de la simetría, pues muchas veces doblar, lo que se hace en un lado, se hace igual al otro lado. Doblar y cortar (kirigami geométrico) Arte de crear figuras recortando papel con tijeras. Posibilidades educativas del kirigami geométrico Con este tipo de actividad se pueden desarrollar y potenciar los siguientes aspectos educativos: Atención y observación Discriminación Percepción visual Imaginación y creatividad Paciencia y constancia Se trabaja en todo momento la simetría del dibujo, ya que los ejes de simetría van a coincidir con los lugares donde deberemos hacer los dobleces. Pero no siempre es así Tarea 2: para realizar ahora: Kirigami geométrico A continuación vamos a presentar las imágenes que hay que conseguir. Recuerden que el juego consiste en tomar una hoja cuadrada de papel (podría ser rectangular pues el objetivo es que queden los cortes que se ven al desdoblar) doblarla y dar un solo corte recto de forma que se obtenga una de las siguientes imágenes. ¿Qué es el eje de simetría?  Materiales Manipulativos Geometría Geometría Estática Dinámica Es muy eficiente a la hora de Los conceptos se aprenden mediante crear escenarios actividades en movimiento. Lo que esencialmente consiste en muchas imágenes conectadas entre sí. De esta forma es posible modernizar el concepto de las “demostraciones sin palabras”  Geoplano cuadrado Materiales Manipulativos Inconveniente : No es dinámico. Los más utilizados son los Geoplanos cuadrado, triangular (isométrico) y circular.  ¿Cómo utilizar el Geoplano? El geoplano ayuda a que el alumno no asocie las distintas figuras con su posición. El geoplano puede perimir llegar al concepto intuitivo de área mediante el conteo de las cuadrículas que contiene cada polígono. Tarea 2: para realizar Diseña actividades para enseñar las simetrías y la rotación mediante el geoplano  Las tramas Material que sustituye al geoplano. POLÍGONOS Es la figura que esta formado por segmento de recta unido por sus extremos dos a dos. Clasificación por su número de lados  Elementos de un Polígono Vértice Medida del ángulo central  B  Diagonal  A     C Centro Medida del Medida del ángulo externo ángulo interno    E  D Lado  PROPIEDADES 1. Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Ángulos centrales  Clasificación por forma POLÍGONOS Polígono Regular Polígono Irregular Polígono Convexo Polígono Cóncavo Polígono Equiángulo Polígono Equilátero  Tarea 3 Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? ¿Tú respuesta se cumple si los polígonos son cóncavos o convexos? Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? ¿Tú respuesta se cumple si los polígonos son cóncavos o convexos? Nºdiagonales =n-2 7 lados, 7 vértices, 14 diagonales A partir de un vértice de un polígono, ¿Cuántas diagonales se pueden trazar? 1 (4-3) 2 2 (5-3) A partir de un vértice de un polígono, ¿Cuántas diagonales se pueden trazar? 4 3 Cantidad de(7-3) diagonales (6-3) por vértice=(n-3) ¿Cuál es el número total de diagonales que se puede trazar en un polígono?  ¿Cuál es el número total de diagonales que se puede trazar en un polígono? Nº Diagonales=4(4-3) Cantidad de diagonales por vértice=(n-3) Nº Diagonales=n(n-3) Nº Diagonales=5(5-3) Nº Diagonales=n(n-3)/2 Donde n es el número de vértices ¿Cuál es el número total de diagonales que se puede trazar en un polígono? n(n − 3) ND = 2  PROPIEDADES 2. Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos Ejemplo: 1 3 2 Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos  PROPIEDADES 3. Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono: Si =180°(n-2) Donde (n-2) es número de triángulos Ejemplo: Suma de las medidas de los ángulos interiores del triangulo 180º 180º 180º Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º 4. Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º Se = 360°  Ejemplo:      +  +  +  +  = 360º Área de un polígono regular A=6(bxh)/2 A=(Pxh)/2 Centro A=(bxh)/2 h b Apotema http://olmo.pntic.mec.es/dmas0008/areaspoligonos/longitud_circunferencia.html Área de un polígono regular Semiperímetro=p/2 A=(Pxh)/2 h Apotema b http://olmo.pntic.mec.es/dmas0008/areaspoligonos/longitud_circunferencia.ht ml  Mecanos Es un material que nos deja ver las figuras desde distintos ángulos. Se trabaja con el contorno de las figuras por lo que el alumno puede forma una idea equivocada de éstas. Al igual que el geoplano este material permite estudiar prácticamente todos los conceptos planos que se abordan en primaria.  Réflex: El juego consta de un panel de plástico rojo y fichas patrón, estas fichas patrón son dibujos simétricos inacabados. El juego consiste en acabar la pieza ayudándote del panel para simetrizar la pieza. Se utilizan principalmente para trabajar los conceptos relacionados con las isometrías. A partir de esta línea, conseguir: Dos líneas paralelas Dos líneas perpendiculares Cuatro líneas  Trazamos una línea en un papel. Con ayuda de nuestro libro de espejos, ¿Podemos transformarla en un cuadrado?  Trazamos una línea en un papel. Con ayuda de nuestro libro de espejos, ¿Podemos transformarla en un cuadrado? Busca dos soluciones posibles diferentes. Anota el ángulo de tu libro de espejos. ¿Qué te sugiere este ángulo? ¿Un rombo? Apunta el ángulo de apertura de tu libro de espejos. ¿Un triángulo escaleno? ¿Un triángulo equilátero? ¿Qué ángulo forman los espejos? ¿Y éstos respecto a la línea? ¿Es posible construir un triángulo rectángulo? Pentágono, Hexágonos y octógonos serán muy sencillos de construir, ¿Y una circunferencia?  Más complicado. Teniendo una recta pintada en el papel, queremos obtener un polígono estrellado (cóncavo) ¿Cómo hay que colocar el libro de espejos?  Como las diagonales de un polígono estrellado son diferentes, debemos colocar el espejo de forma que los segmentos que determinan los espejos sean de diferente longitud. ¿Construye al menos dos polígonos estrellados más qué características tienen? Material Plot El polydrón, un material que engancha  Estudio de las figuras tridimensionales a partir de modelos encajables, la representación plana,… El polydrón  El polydrón Selecciona aquellos con los que se puede construir un cubo de una sola pieza. Además, falta poner las «pestañas» para pegar unas caras unas caras con otras. Modelos de orbitales y de alambres  Modelos Construidos  Solidos de madera, plástico o transparentes  Desarrollo de Planos  Cubos multienlace  Mecanismo generador de revolución  Mecanismo Generador de figuras de revolución  Actividades, materiales y recursos para la enseñanza de la Geometría. Manipulación sin entrar en la formalización de conocimientos o en fórmulas matemáticas, hasta los cursos superiores en los que tampoco se debe olvidar la manipulación. Comparar ejemplos y contraejemplos para identificar sus diferencias IMAGEN CONCEPTUAL CONSTRUCCIÓN más significativas. DE UN CONCEPTO Comparar ejemplos diferentes DEFINICIÓN CONCEPTUAL para identificar sus diferencias más significativas. S. Vinner (1991) Ejemplo y contraejemplos de un prisma recto Se pone de relieve una propiedad necesaria de esta familia: 1. Todas las caras deben ser polígonos. 2. Las dos bases deben ser congruentes. 3. Las aristas laterales deben ser perpendiculares a las bases o las caras laterales deben ser rectángulos.  Ejemplo de Prisma Recto Se pone de relieve una propiedad irrelevante (no necesaria) de esta familia: 1. La longitud de la altura 2. La posición 3. La cantidad de lados de las bases Las propiedades necesarias de los prismas rectos que se deben destacar son: Son poliedros. Sus bases son dos polígonos congruentes, en planos paralelos y colocados en la misma posición. Sus caras laterales son rectángulos. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.  EJEMPLO+ EJEMPLO+ CONTRAEJEMPLO EJEMPLO Ponen de manifiesto PROPIEDAD PROPIEDAD NECESARIA INECESARIA  El aprendizaje de un concepto matemático consiste en formar una imagen conceptual y una definición conceptual lo más completas posibles y en aprender a utilizarlas una y otra, de forma combinada y adaptada a las circunstancias de cada actividad. RESPUESTA DEFINICIÓN DEL IMAGEN DEL CONCEPTO CONCEPTO Deducción según el TAREA pensamiento intuitivo  Interacción entre la Deducción definición y la RESPUESTA puramente formal imagen DEFINICIÓN DEL IMAGEN DEL CONCEPTO CONCEPTO TAREA  Dibujar las alturas de varios triángulos sobre el lado marcado con la letra a Las reacciones del profesor ante estos estudiantes deben ser diferentes, pues en el primer caso debe modificar la concepción de altura que tiene el estudiante para eliminar la confusión entre altura y mediana, mientras que en el segundo caso debe completar la concepción del estudiante para que incorpore las alturas en los triángulos rectángulos. Una altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice del triángulo y corta en perpendicular al lado opuesto al vértice (o a su prolongación). También se define como el segmento que va de un vértice al lado opuesto (o a su prolongación) en perpendicular; también se define como la medida de este segmento. La visualización como el conjunto de tipos de imágenes, procesos y habilidades necesarios para que los estudiantes de geometría puedan producir, analizar, transformar y comunicar información visual relativa a objetos reales, modelos y conceptos geométricos. La información visual producida (imágenes) puede ser tanto física (figuras o diagramas) como mental (imágenes mentales ). (Gutiérrez, S.F.) Respuesta Intuitiva RESPUESTA Representaciones internas Representaciones internas DEFINICIÓN DEL IMAGEN DEL CONCEPTO CONCEPTO TAREA Proceso de Visualización Representaciones Externas Intuición y Percepción objetos físicos, modelos y Espacial figuras  ¿A qué lado está el hombre? ¿Y la mujer? ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? Intuición y Percepción ¿A qué lado de la mujer está el Espacial hombre?  *Un alumno debe dar indicaciones a sus compañeros de como hacer ACTIVIDADES DE las figuras geométricas que OBSERVACIÓN se encuentran en un folio.  ADIVINANZAS 1. Parezco cuadrado pero chueco estoy ¿Ya sabes quién soy? El rombo 2. No soy triangular, ni soy rectangular, no soy el cuadrado. Mi único lado es una línea curva. ¿Quién soy? La circunferencia 3. ¿Cuál es la figura geométrica que escucha música? y ¿Por qué? La circunferencia porque tiene radio 4. ¿Que figura geométrica hace música? El triángulo  RELACIÓN CON LOS SENTIDOS Se le dan a los alumnos dos bolsas con los mismos objetos. Uno de los alumnos de clase extrae un objeto de la primera bolsa y lo muestra a la clase. Otro alumno debe extraer el mismo objeto de la otra bolsa sin mirar para no ser eliminado. CARACTERÍSTICAS  ORIENTACIÓN Y PERSPECTIVA DE LOS OBJETIOS EN EL ESPACIO Realizamos una fotografía de los objetos geométricos sobre una mesa y los etiquetamos (numerados), a continuación le mostramos a los alumnos las fotografías desde cada uno de los números.  ORIENTACIÓN Y PERSPECTIVA DE LOS OBJETIOS EN EL ESPACIO El capitán de un barco pasa cerca de la costa, desde la izquierda hacia la derecha y toma las siguientes fotos. ¿Podrías ordenarlas según el orden cronológico que las tomó?  PASO DEL ESPACIO AL PLANO Y VICEVERSA 1.- El alumno mediante una foto satelital del centro educativo adquirida mediante Google Earth, realiza un plano. 2. Con Google Earth, vamos a buscar 4 estadios de fútbol distintos. Una vez localizados, decirme cuales son sus dimensiones: longitud y anchura. A partir de estas medidas, calcular su perímetro y su área. ¿Qué estadio es el más grande?. Colócalos de mayor a menor. https://matematicas.educarex.es/geometria-4eso-a/actividades-juegos-geometria-4esoa/138-figuras-geometricas-y-google-earth PASO DEL ESPACIO AL PLANO Y VICEVERSA http://www.foldifyapp.com/  PERCEPCIÓN E INTUICIÓN ESPACIAL ¿Cuál o cuáles de los siguientes individuos son, también, Palotes? Crea ciudadanos de Palotilandia ¿Cuáles de las siguientes figuras son polígonos?  Revistas en Didáctica de las Matemáticas JCR SJR DICE Scimago Journal Citation http://epuc.cch Journal & Report (JCR) s.csic.es/dice/ Country Rank Web of Science (WOS) ELSEVIER CARHUSPLUS TESEO LATINDEX  Revistas en Didáctica de las Matemáticas Revista SUMA Revista EPSILON Revista UNO Revista Enseñanza de las Ciencias  Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática http://www.seiem.es/ http://www.exploratorium.edu/geometryplayground/resources.php http://www.exploratorium.edu/geometryplayground/resources.php BUSCA TESOROS GEOMÉTRICOS Transportador LA COLCHA DE de bolsillo CUATRO CUADRADOS https://imaginary.github.io/applauncher2/#