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### L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE-Casablanca ### Année Universitaire 2023-2024 ### ### MÉMOIRE PROFESSIONNEL ### ### ### Cycle Master en Métiers de l'Enseignement et de la formation en sciences physiques et chimiques ### ### ### Spécialité : PHYSIQUE ### Encadré par : MR ABDELKRIM OUKERR...

### L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE-Casablanca ### Année Universitaire 2023-2024 ### ### MÉMOIRE PROFESSIONNEL ### ### ### Cycle Master en Métiers de l'Enseignement et de la formation en sciences physiques et chimiques ### ### ### Spécialité : PHYSIQUE ### Encadré par : MR ABDELKRIM OUKERROUM ### Présenté par : DEHBI CHAIMAE ### Date de défense : JUIN 2024 ### AVANT-PROPOS {#avant-propos.Style1} *Chaimae Dehbi* ### REMERCIEMENTS {#remerciements.Style1} ### TABLE DE MATIÈRE {#table-de-matière.Style1} ### {#section-5.Style1} [[AVANT-PROPOS] 2](#avant-propos) [[REMERCIEMENTS] 3](#remerciements) [[TABLE DE MATIÈRE] 4](#table-de-mati%C3%A8re) [[INTRODUCTION GÉNÉRALE] 5](#introduction-g%C3%A9n%C3%A9rale) [[Chapitre I Vers les nanostructures semi-conductrices] 7](file:////Users/mac/Desktop/PFE/rapport.docx#_Toc170347909) [[I.] [Généralités sur les nanostructures] 8](#g%C3%A9n%C3%A9ralit%C3%A9s-sur-les-nanostructures) [[1.1] [Présentation] 8](#pr%C3%A9sentation) [[1.2] [Les boîtes quantiques] 9](#les-bo%C3%AEtes-quantiques) [[II.] [L'étude quantique] 11](#l%C3%A9tude-quantique) [[1.3] [L'équation de Schrödinger] 11](#l%C3%A9quation-de-schr%C3%B6dinger) [[1.4] [Méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger] 12](#m%C3%A9thodes-de-r%C3%A9solution-de-l%C3%A9quation-de-schr%C3%B6dinger) [[Chapitre II L'effet du champ magnétique sur une impureté confinée dans une boite quantique] 14](file:////Users/mac/Desktop/PFE/rapport.docx#_Toc170347918) [[Introduction] 15](#introduction) [[I.] [Électron confiné dans une boite quantique en présence du champ magnétique constant] 18](#%C3%A9lectron-confin%C3%A9-dans-une-boite-quantique-en-pr%C3%A9sence-du-champ-magn%C3%A9tique-constant) [[2.5] [Position du problème] 18](#position-du-probl%C3%A8me) [[2.6] [États électroniques - Niveaux de Landau] 19](#%C3%A9tats-%C3%A9lectroniques---niveaux-de-landau) [[2.7] [Propriétés optiques -- transitions] 20](#propri%C3%A9t%C3%A9s-optiques-transitions) [[II.] [Impureté confinée dans une boite quantique en présence du champ magnétique constant] 25](#impuret%C3%A9-confin%C3%A9e-dans-une-boite-quantique-en-pr%C3%A9sence-du-champ-magn%C3%A9tique-constant) [[2.8] [Hamiltonien du système] 25](#hamiltonien-du-syst%C3%A8me) [[2.9] [Résolution de l'équation de Schrödinger] 26](#r%C3%A9solution-de-l%C3%A9quation-de-schr%C3%B6dinger) [[2.10] [Résultats et discussions] 27](#r%C3%A9sultats-et-discussions) ### INTRODUCTION GÉNÉRALE {#introduction-générale.Style1} L \'électronique du XXIe siècle fait face à des défis majeurs. D\'un côté, la croissance sans fin de la quantité de données à traiter nécessite une augmentation de la puissance des circuits électroniques de traitement de l \'information. De l \'autre, le réchauffement climatique impose de réduire le coût en énergie de ces mêmes circuits et d \'en améliorer l \'efficacité. La tendance alors à la miniaturisation de la microélectronique a entraîné le développement de dispositifs et de technologies à l\'échelle nanométrique. Durant les dernières décennies, l'exigence de la miniaturisation a conduit à la découverte de dispositifs intégrant des structures de petite taille telles que les nanostructures. Ces dernières ont suscité un vif intérêt en raison de leurs propriétés uniques en matière condensée où on se trouve devant une nouvelle génération de systèmes normalement consacrés aux applications atomiques mais en présentant plus de flexibilité ainsi qu'une facilité d'intégration. Une diversité considérable de composés peut être employée dans la fabrication de nanostructures, parmi ceux-ci figurent les métaux, les semi-conducteurs, les oxydes, les polymères, et même des matériaux d\'origine biologique. La particularité des nanostructures réside dans le confinement des porteurs de charge dans les trois dimensions de l\'espace, entraînant une discrétisation des niveaux d\'énergie et des propriétés distinctes de celles des semi-conducteurs massifs. La manipulation et le traitement des nanostructures étant des domaines de recherche actifs, qui visent à contrôler précisément la taille, la forme et la disposition des nanostructures pour des applications spécifiques, il est donc essentiel de comprendre les caractéristiques et le comportement des nanostructures afin de tirer pleinement parti de leur potentiel ainsi de découvrir et d'analyser les propriétés inédites dues au confinement quantique. Cela nécessite des recherches approfondies dans les domaines de la chimie, de la physique, de la biologie et de l\'ingénierie, ainsi que des protocoles de fabrication et des considérations éthiques concernant leur utilisation. Les boîtes quantiques, qui sont des nanostructures en dimension zéro, généralement des particules semiconductrices qui présentent des propriétés quantiques particulières dues à leur taille réduite, à cette échelle, les effets de la mécanique quantique deviennent importants, notamment la quantification de l\'énergie des porteurs de charge et la limitation de leur mouvement dans les trois dimensions spatiales. Dans ce mémoire d\'études, nous nous plongerons dans l\'univers captivant des nanostructures et des boîtes quantiques, en mettant particulièrement l\'accent sur leur rôle dans la compréhension du comportement des impuretés confinées ; Les impuretés, lorsqu\'elles sont incorporées dans ces structures nanométriques, peuvent modifier de manière significative leurs propriétés électriques, optiques et magnétiques. Nous commencerons dans un premier chapitre, par une illustration des concepts fondamentaux liés aux nanostructures et aux boîtes quantiques, en mettant en lumière leurs propriétés et les méthodes de caractérisation utilisées pour étudier leur comportement à l\'échelle atomique. Ensuite, nous examinerons l'étude quantique voir l'équation de Schrödinger et les méthodes de résolution de cette équation, en mettant en évidence la méthode variationnelle. Le second chapitre englobe la thématique de notre sujet, il explore l'effet du champ magnétique sur une impureté confinée dans une boite quantique, en deux grandes parties, nous examinerons l'étude d'un seul électron dans une boite quantique à la présence d'un champ magnétique dans un premier temps, ensuite dans la seconde partie nous verrons l'impact de l'ajout de l'impureté donneuse sur toute les propriétés vu précédemment, l\'objectif de cette étude est de comprendre l\'effet d\'un champ magnétique sur l\'énergie à l\'état fondamental d\'un donneur ionisé décentré dans un point quantique, la solution de l\'équation de Schrödinger est démontré à l'aide de la méthode variationnelle en adoptant le programme de « Python » dans le cadre de la théorie des perturbations, à travers laquelle nous aboutissons aux expressions de l\'énergie à l\'état fondamental du donneur et la fonction d\'onde d\'enveloppe, dans le but de discuter l'influence de certains paramètres sur ces grandeurs. Nous finalisons notre mémoire par quelques conclusions et perspectives. ### Généralités sur les nanostructures {#généralités-sur-les-nanostructures.Style3} ### Présentation {#présentation.NIVEAU2} Au cœur de la recherche en physique et en science des matériaux, les nanostructures représentent des domaines d\'étude passionnants et en constante évolution. Les nanostructures à base de matériaux semi-conducteurs illustrent une frontière intéressante de la nanotechnologie et de la recherche en physique des matériaux. Ces structures, qui peuvent avoir des dimensions de l\'ordre du nanomètre (un milliardième de mètre), offrent des propriétés électroniques, optiques et magnétiques uniques en raison de leur taille réduite et de leurs propriétés quantiques. Les progrès récents de la technologie des semi-conducteurs ont permis la production d\'hétérostructures de faible dimension grâce à des méthodes de croissance qui permettent de créer des superpositions de couches telles que les puits quantiques, les fils quantiques et les points quantiques (figure 1.1), en combinant différents matériaux cristallins. L\'objectif est d\'analyser des caractéristiques liées au confinement quantique. Les nanostructures sont étudiées pour leurs propriétés uniques qui diffèrent souvent de celles des matériaux plus grands(massiques) en raison de certaines caractéristiques comprenant une grande surface spécifique, des propriétés quantiques, une conductivité élevée, une réactivité chimique accrue et des propriétés optiques, magnétiques, électriques et mécaniques améliorées, leur fonctionnement dépend de la densité des porteurs de charge libre dans les semi-conducteurs, ce qui est possible de la réguler en modifiant la température et en dopant les semi-conducteurs de manière contrôlée. Ces propriétés uniques ouvrent de nouvelles possibilités dans de nombreux domaines, tels que l\'électronique, la médecine, l\'énergie et les matériaux particulièrement dans des applications telles que la conception de matériaux ultra-légers et ultra-résistants, les capteurs de haute sensibilité, les systèmes d\'administration de médicaments ciblés, les dispositifs électroniques de pointe, et bien d\'autres encore. Les applications des Nanostructures en : **Électronique :** il sont utilisées dans les circuits électroniques pour créer des composants miniaturisés et améliorer les performances des dispositifs. **Matériaux Avancés :** il sont utilisées dans la fabrication de matériaux avancés tels que les revêtements résistants aux rayures, les matériaux légers et résistants, et les matériaux conducteurs. **Médecine :** il sont utilisées en médecine pour la détection précoce des maladies, la délivrance ciblée de médicaments et l\'imagerie médicale de haute résolution. Parmi ces structures de faible dimension, les boites quantiques (Quantum Dots) ont reçu une grande attention en raison de leurs applications potentielles dans la microélectronique et les appareils optoélectroniques. En faisant des boîtes quantiques des systèmes idéaux pour étudier et exploiter les phénomènes quantiques à l\'échelle nanométrique. ### Les boîtes quantiques {#les-boîtes-quantiques.NIVEAU2} Les boîtes quantiques, ou points quantiques (quantum dots en anglais), sont de très petites particules semiconductrices qui présentent des propriétés quantiques particulières dues à leur taille minuscule. À cette échelle, les effets de la mécanique quantique deviennent importants, notamment la quantification de l\'énergie des porteurs de charge et la limitation de leur mouvement dans les trois dimensions spatiales.\ Ces structures miniatures, souvent constituées de semi-conducteurs ont été largement étudiés en raison de leurs applications potentielles dans les appareils haute performance permettant de confiner les électrons dans les trois dimensions de l\'espace, créant ainsi un environnement où les propriétés quantiques sont caractérisées par les fonctions d\'onde électroniques. Les matériaux semi-conducteurs, tels que le silicium, le germanium, le gallium arsenide et d\'autres composés, sont largement utilisés dans l\'industrie électronique pour fabriquer des composants comme les transistors, les diodes et les circuits intégrés. Lorsqu\'ils sont manipulés à l\'échelle nanométrique, ces matériaux manifestent des phénomènes captivants. Appartenant à la quatrième colonne de la classification périodique avec un gap indirect, le silicium possède 4 électrons dans son orbitale de valence, ainsi, en raison de son faible coût de fabrication, de ses propriétés physiques et de son interface de qualité exceptionnelle avec la silice, le silicium présente l'élément de base de la quasi-totalité des circuits intégrés. Nous nous intéressons principalement aux matériaux III-V constitués d'un élément de la 3ème colonne (Ga, In, Al) et d'un autre de la 5ème colonne (As, P, Sb) du tableau périodique. Ces éléments III-V comme l'InAs et le GaAs cristallisent suivant la structure Zinc-blende (figure 1.2) et chaque maille élémentaire est constituée de deux atomes et possède 8 électrons de valence. Afin d'obtenir un confinement de porteurs il faut réaliser des hétérostructures où un semiconducteur possédant un gap E1 appelé couche active est encadré par un deuxième semiconducteur avec un gap E2 plus grand appelé couche barrière. C'est qu'au milieu de l'année 80 que les nanostructures tridimensionnelles d'InAs ont été obtenues en déposant une couche fine sur une couche de GaAs par épitaxie à jets moléculaires en se basant sur le mode de croissance Stranski-Krastanov. Avec ceci, la méthode des boites quantiques appelée « auto-assemblée » a fait son apparition ce qui a permis de faire des boites quantiques des candidates prometteuses dans le domaine de l'optoélectronique. Les principaux avantages d'utiliser les semi-conducteurs III-V résident dans leurs excellentes propriétés de mobilité des électrons, soit plus de dix fois que celle du silicium(figure1.3). Ces mobilités exceptionnelles sont à ce jour les plus élevées de tous les semi-conducteurs, présentant ainsi un facteur primordial dans la réalisation des transistors dans le domaine de la télécommunication. Ces hétérostructures possèdent également un gap direct suffisamment faible pour la transition optique et donc une émission et une absorption des photons qui est dans le visible ou dans le proche infrarouge, plus difficile à retrouver dans le silicium ou le germanium.  Dans la figure 1.4 , nous représentons l'alignement des bandes de valence et de conduction de deux hétérostructures III-V comme l'InAs/GaAs et de l'InAs/InP.  A travers la figure 1.5 on remarque l'effet de la dimension de la BQ sur les niveaux d'énergie dans la bande de conduction (BC) comme dans la bande de valence (BV). Plus la boite quantique est grande, moins le confinement est fort et moins les niveaux d'énergies sont espacés et vice versa. ### L'étude quantique {#létude-quantique.Style3} ### L'équation de Schrödinger {#léquation-de-schrödinger.NIVEAU2} Les principes de base de la mécanique quantique sont fondamentaux pour comprendre l\'équation de Schrödinger. En mécanique quantique, les particules subatomiques sont décrites par des fonctions d\'onde, qui représentent la probabilité de trouver une particule dans un certain état, vu qu'elle contient toute l\'information sur le système quantique en question. Contrairement à la physique classique, où les particules sont décrites par des trajectoires déterministes, en mécanique quantique, la position et le moment d\'une particule ne peuvent être précisément déterminés en même temps. L\'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale en physique quantique qui décrit l\'évolution temporelle d\'une fonction d\'onde quantique. Cette équation a été formulée par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925 et est essentielle pour comprendre le comportement des particules subatomiques. C'est une équation différentielle partielle qui est non-relativiste[^1^](#fn1){#fnref1.footnote-ref}, ce qui signifie qu\'elle ne prend pas en compte les effets de la relativité restreinte. Grâce à l\'équation de Schrödinger, on peut prédire comment les niveaux d\'énergie de l\'atome d\'hydrogène se modifient en présence du champ magnétique, ou encore pour un cristal photonique où la propagation de la lumière est influencée par la structure périodique du matériau, on peut alors étudier comment la lumière interagit avec le cristal photonique et comment cela affecte ses propriétés, ainsi que pour un photon se propageant à travers un milieu optique, L\'équation de Schrödinger permet de calculer la probabilité de trouver le photon à un certain endroit dans le milieu optique à un instant donné. Dans sa forme la plus courante (indépendante du temps), l'équation de Schrödinger s'écrit : \ [*ĤΨ*  = *EΨ*]{.math.display}\ où [*Ĥ*]{.math.inline} représente l'opérateur hamiltonien du système considéré (atome, molécule, solide) ; il est connu et contient des termes relatifs à l'énergie cinétique des électrons et des noyaux atomiques, ainsi que des termes décrivant l'interaction coulombienne électron-noyau, électron-électron, et noyau-noyau. Les inconnues à déterminer sont la fonction d'onde Ψ et l'énergie [*E*]{.math.inline} associée. ### Méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger {#méthodes-de-résolution-de-léquation-de-schrödinger.NIVEAU2} La solution de l\'équation de Schrödinger permet de déterminer les états quantiques possibles d\'un système et de prédire la probabilité de trouver une particule dans une certaine position et à un certain moment, autrement dit anticiper les résultats expérimentaux observés en physique quantique. A cause de la présence de termes d'interactions pour toutes les paires de particules dans l'opérateur hamiltonien, l'équation de Schrödinger n'est soluble analytiquement que pour quelques systèmes très simples, la première approximation habituellement utilisée consiste à découpler le mouvement des électrons et celui des noyaux, ce qui est justifié par le fait que les noyaux (ayant des masses beaucoup plus grandes que celles des électrons) ont des vitesses moyennes beaucoup plus faibles que celles des électrons. Ceci est connu sous le terme d'approximation de Born-Oppenheimer. Deux grandes familles de méthodes de résolution approchées utilisant la puissance de calcul croissante des ordinateurs depuis les années 1950 ont été développées en chimie quantique : les méthodes basées sur des approximations directes de la fonction d'onde et les méthodes contournant le calcul de la fonction d'onde à l'aide de fonctionnelles de la densité électronique. Ces méthodes sont aujourd'hui disponibles dans un grand nombre de logiciels. Dans ce mémoire nous allons nous intéresser par trois méthodes. ### Théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) {#théorie-de-la-fonctionnelle-de-la-densité-dft.Style2} Une méthode puissante et largement utilisée en chimie quantique et en physique des solides pour calculer les propriétés électroniques des systèmes à plusieurs corps. La DFT repose sur l\'idée que toutes les propriétés d\'un système d\'électrons peuvent être déterminées à partir de sa densité électronique. L\'utilisation de la densité électronique comme variable de base a une longue histoire dans le calcul des propriétés électroniques. Depuis la méthode Thomas-Fermi en passant par les potentiels d\'échange approximatifs de Slater et Kohn-Sham jusqu\'au formalisme fonctionnel de densité. Cette approximation a été remarquablement réussie dans la description des propriétés de l\'état fondamental d\'un large éventail de systèmes physiques. L'Hamiltonien selon cette théorie s'écrit \[\]: \ [\$\$H = T + V\_{\\text{ee}} + \\sum\_{i = 1}\^{N}{V\_{\\text{ext}}(r\_{i})}\$\$]{.math.display}\ Où T et [*V*~ee~]{.math.inline} sont respectivement les énergies cinétique et d\'interaction électron-électron. [*V*~ext~]{.math.inline} est l'énergie potentielle du champ extérieur. La résolution se fait par la minimisation de l'énergie par rapport à la densité, c.à.d. chercher la valeur de la densité électronique qui minimise l'énergie totale, ce processus de minimisation permet de déterminer la valeur de densité électronique qui donne l\'énergie totale la plus faible, ce qui permet de calculer d\'autres propriétés physiques liées au système étudié. \ [*E*~ ~\[*n*(*r*)\] = ⟨*Ψ*\|*H*\|*Ψ*⟩]{.math.display}\ \ [*E*~0~ = min~*n*~*E*~ ~\[*n*(*r*)\]]{.math.display}\ Ce résultat constitue le théorème de Hohenberg et Kohn. ### La méthode variationnelle {#la-méthode-variationnelle.Style2} La méthode variationnelle est une approche pour résoudre l'équation de Schrödinger. Particulièrement utilisée lorsque la solution analytique exacte est impossible à obtenir. Cette méthode est largement utilisé en physique quantique et en chimie quantique pour approximativement déterminer les états d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques. Le principe de cette méthode affirme que pour hamiltonien [*Ĥ* ]{.math.inline}donné, l'énergie de l'état fondamentale est inférieure ou égal à l'espérance de l'énergie pour toute fonction d'onde d'essai, c'est-à-dire : \ [\$\$E\_{0} \\leq \\frac{\\left\\langle \\psi \\middle\| \\widehat{H} \\middle\| \\psi \\right\\rangle}{\\left\\langle \\psi \\middle\| \\psi \\right\\rangle}\$\$]{.math.display}\ Où [\$\\frac{\\left\\langle \\psi \\middle\| \\widehat{H} \\middle\| \\psi \\right\\rangle}{\\left\\langle \\psi \\middle\| \\psi \\right\\rangle}\$]{.math.inline} est l'espérance d'énergie pour la fonction d'onde. Le principe variationnel peut être utilisé pour estimer l'énergie et l'état fondamental d'un système quantique. Les étapes de la méthode variationnelle : 1. On choisit une fonction d'onde d'essai [ \|  *ψ*~trial~⟩]{.math.inline}, qui représente le système quantique aussi fidèlement que possible. Cette fonction dépend de plusieurs paramètres [*α*~1~, *α*~2~⋯*α*~*n*~]{.math.inline} et elle peut être normalisée ou non. [ \|  *ψ*~trial~⟩ = *f*(*α*~1~, *α*~2~⋯*α*~*n*~)]{.math.inline} 2. On calcule l'espérance de l'énergie en utilisant la fonction d'onde d'essai : \ [\$\$E\_{\\text{trial}}(\\alpha\_{1},\\alpha\_{2}\\cdots\\alpha\_{n}) \\leq \\frac{\\left\\langle \\psi\_{\\text{trial}} \\middle\| \\widehat{H} \\middle\| \\psi\_{\\text{trial}} \\right\\rangle}{\\left\\langle \\psi\_{\\text{trial}} \\middle\| \\psi\_{\\text{trial}} \\right\\rangle}\$\$]{.math.display}\ 3. On cherche le minimum de [*E*~trial~]{.math.inline} : [\$\\frac{\\partial E\_{\\text{trial}}}{\\partial\\alpha\_{i}} = 0\$]{.math.inline} , afin de trouver la meilleure approximation possible de l'énergie de l'état fondamental. ### Introduction {#introduction.Style1} Au cours des dernières années, les boites quantiques ( ou bien QD )ont été largement étudiés en raison de leurs applications potentielles dans les appareils haute performance. Pour cette raison, de nombreuses études ont été réalisées à l\'aide de diverses méthodes sur les structures électroniques, les énergies de liaison, les effets de spin et les propriétés optiques des QD avec une structure, une taille et un potentiel de confinement différents. Les récents progrès réalisés dans les procédés de croissance chimique ont permis la fabrication d\'une classe distincte des points quantiques qui sont constitués de deux matériaux semi-conducteurs présentant des alignements de bandes différents. Cette configuration permet de manipuler diverses combinaisons de semi-conducteurs II---IV, III-V ou IV---VI. L\'aspect unique de ces structures à double couche réside dans leur capacité à contrôler leurs propriétés physiques en modifiant la nature ou la taille du noyau ou de la coque. Cette combinaison permet d'assurer le confinement des porteurs, ce qui conduit à la quantification partielle ou totale des niveaux d\'énergie, on différencie alors le niveau fondamentale (d'énergie la plus basse) et des niveaux excités (d'énergie supérieure). Dans la figure 2.1, on donne une aperçu général de l'effet du degré de confinement sur la structure électronique et sur la densité d'état, ce qui entraîne l\'émergence de nouvelles transitions photoluminescentes. Comme on le sait, l\'application d\'un champ électrique ou magnétique, comme étant perturbations externes, peut fournir des informations précieuses sur les systèmes confinés. De tels champs externes peuvent également être utilisés pour contrôler les propriétés des QD pour diverses applications. Dans notre mémoire, nous allons nous concentrer sur l'effet du champ magnétique appliqué sur les états d\'énergie dans les boites quantiques afin de mieux comprendre les propriétés électroniques et optiques des QD. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser, dans un premier temps, par l'étude d\'un seul électron confiné dans une boite quantique sphérique avec un potentiel de confinement infini à la présence d'un champ magnétique externe, ainsi le calcul des fonctions d\'onde et les valeurs propres d\'énergie pour l'état fondamental et de certains états excités. Nous allons également étudier la division de Zeeman et les énergies de transition de Zeeman en fonction du rayon et du champ magnétique ainsi que les coefficients d'absorption optique (CAO), qui présentent l\'une des propriétés électriques et optiques les plus intéressantes pour les transitions de Zeeman autorisées. Les valeurs propres d\'énergie et les fonctions d\'onde de l'état fondamental et des états excités de l\'électron dans un QD sphérique en présence d\'un champ magnétique externe uniforme sont obtenues en utilisant la méthode de diagonalisation dans le cadre de l\'approximation de la masse effective. Les CAO sont calculés par l\'expansion de la matrice de densité dans l\'approximation de l\'atome à deux niveaux. En ce qui concerne la deuxième partie dans ce chapitre, nous allons voir l'étude de l'effet d'une impureté du donneur dopée dans la boite quantique sphérique sous champ magnétique appliqué. En effet, depuis l'aube de l'électronique, les impuretés ont joué un rôle fondamentale dans le développement des composantes électroniques actuelles. L'introduction des impuretés a pour effet l'apparition d'états localisés dans la bande interdite, modifiant ainsi les propriétés optiques et de transport des électrons. C'est de cette manière qu'on a pu fabrique les premiers diodes et transistors qui ont été la pierre angulaire de la révolution du monde des télécommunications tel que nous le connaissons actuellement. L'étude de l'effet de la présence d'impuretés dans les nanostructures s'est fait voir depuis longtemps et a été l'objet de plusieurs études expérimentales et théoriques. Ces études avaient pour but d'évaluer l'effet de la position, de la dimension géométrique et de la barrière de potentiel, qu'elle soit finie ou infinie, sur l'énergie de liaison. Dans cette étude, on utilise l'approche variationnelle démontrée dans le chapitre 1, l'approximation de la masse effective et en tenant compte l'interaction colombienne entre l'électron et le donneur ionisé.  **Première partie** **Électron confiné dans une boite quantique** ### Électron confiné dans une boite quantique en présence du champ magnétique constant {#électron-confiné-dans-une-boite-quantique-en-présence-du-champ-magnétique-constant.Style3} ### Position du problème {#position-du-problème.21NIVEAU2} Considérons un électron dans une boite quantique sphérique avec le potentiel V(r). Dans le cadre de l\'approximation de masse effective, l\'hamiltonien d\'un tel système peut être écrit comme : \ [\$\$H = \\frac{p\^{2}}{2m\^{\*}} + V(r)\$\$]{.math.display}\ Avec \ [\$\$V\\left( r \\right) = \\left\\{ \\begin{matrix} 0,\\ \\ \\& r \< a \\\\ \\infty,\\ \\ \\& r \\geq a \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$\$]{.math.display}\ Dans le contexte d\'une boite quantique sphérique infinie, la fonction propre de l\'électron est une expression mathématique qui décrit la distribution spatiale de l\'électron au sein de la boite. La fonction propre pour le QD sphérique infini est représentée à l\'aide de fonctions de Bessel sphériques notées : \ [\$\$\\varphi\_{\\text{nl}}\\left( r \\right) = \\left\\{ \\begin{matrix} Nj\_{l}(k\_{\\text{nl}}r),\\ \\ \\& r \< a \\\\ 0,\\ \\ \\& r \\geq a \\\\ \\end{matrix} \\right.\\ \$\$]{.math.display}\ Dans le cas d\'un QD sphérique infini, l\'électron est confiné dans la boite sans aucune limite, ce qui permet d\'obtenir une forme plus simple de la fonction propre par rapport à un QD sphérique fini. En présence du champ magnétique, l\'hamiltonien est écrit comme : \ [\$\$H = \\frac{1}{2m\^{\*}}{(\\overrightarrow{p} + \\frac{e}{c}\\overrightarrow{A)}}\^{2} + V(r)\$\$]{.math.display}\ Hamiltonien dans l\'équation précédente peut être écrit avec dimension 0 comme suit : \ [\$\$H = - \\frac{1}{r\^{2}}{\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left( r\^{2}\\frac{\\partial}{\\partial r} \\right) + \\frac{l\\left( l + 1 \\right)}{r\^{2}}}\^{\\begin{matrix} \\ \\\\ \\ \\\\ \\end{matrix}} + V\\left( r \\right) + \\text{mγ} + \\frac{{(\\text{γrsinθ})}\^{2}}{4}\$\$]{.math.display}\ L\'hamiltonien sans dimension comprend divers termes qui contribuent à l\'énergie du système. Ces termes impliquent la dépendance radiale du système, le nombre quantique de moment cinétique *l* , le terme paramagnétique [mγ]{.math.inline}, le terme diamagnétique [\$\\frac{{(\\gamma rsin\\theta)}\^{2}}{4}\$]{.math.inline} où [*θ*]{.math.inline} est l\'angle entre les axes r et z. La fonction d\'onde de l\'électron peut être exprimée comme un produit de la partie radiale et des harmoniques sphériques. \ [*ψ*~nlm~(*r*,*θ*,*ϕ*) = *φ*~nl~(*r*).*Υ*~lm~(*θ*,*ϕ*)]{.math.display}\ Pour rendre le formalisme indépendant du matériau étudié, nous avons effectué un adimensionnement en définissant une unité de longueur et une autre d'énergie qui nous servira d'unité de mesure (on les appellera unité donneur). Notons [*a*~*D*~]{.math.inline} l'unité de longueur et [Ryd]{.math.inline} l'unité d'énergie tel que : [\$a\_{D} = \\frac{\\hslash\^{2}\\epsilon\_{\\text{mat}}}{{m\_{\\ }}\_{e}\^{\*}{\\ e}\^{2}}\$]{.math.inline} et [\$\\text{Ryd} = \\frac{\\hslash\^{2}}{{m\_{\\ }}\_{e}\^{\*}{{\\text{\\ \\ }a}\_{e}}\^{2}} = \\frac{{m\_{\\ }}\_{e}\^{\*}{\\ e}\^{4}}{2\\hslash\^{2}{\\epsilon\_{\\text{mat}}}\^{2}}\$]{.math.inline} Avec, [ℏ]{.math.inline} la constante de Planck [(ℏ = 6.582118 *eV*  ⋅ *s*),]{.math.inline} e la charge de l'électron et [*ϵ*~mat~]{.math.inline} la constante diélectrique du matériau. Le tableau suivant donne quelques valeurs de ces unités pour GaAs « arséniure de gallium » dans le cas du confinement infini. ------------------------------------------------ Paramètres BQ infinie ----------------------------------- ------------ \ **13,18** [**ε**]{.math.display}\ [**a**~**B**~]{.math.inline}(nm) **10,4** [Ryd]{.math.inline}(Mev) **5,23** ------------------------------------------------ Tableau 2.1 : Tableau des valeurs du rayon de Bohr effectif et du Rydberg effectif pour le semi-conducteurs GaAs De plus, d\'autres paramètres tels que : \ [*m*^\*^ = 0.067*m*0(*m*0=9.10956×10^ − 31^kg) , *n*~*r*~ = 3.2 , *I* = 400 MWGa~0.7~Al~0.3 ~As]{.math.inline} en fonction du rayon de QD sont montrer dans la figure 2.11 suivante :  Toutes les énergies sont des fonctions décroissantes du rayon en raison de l\'affaiblissement du confinement géométrique. Pour les petits rayons, l\'effet du champ magnétique est très faible puisque le confinement géométrique prédomine. Cependant, à mesure que le rayon du point quantique augmente, le confinement géométrique s\'affaiblit et l\'effet du champ magnétique sur les énergies commence à augmenter en raison du terme diamagnétique. Les niveaux d\'énergie pour le cas de m non nulle de plus changent avec l\'effet du champ magnétique en raison des contributions combinées des termes paramagnétiques et diamagnétiques. En outre, on peut facilement voir à partir de la figure 2.11(a-e) que l\'existence d\'une impureté du donneur provoque une diminution de toutes les énergies prises en considération. Sur la figure 2.11 : il est généralement observé que : - La présence de l\'atome d\'impureté entraîne une réduction des énergies, en gardant la même allure dans le cas de l'absence de l'impureté. - L'impureté au centre préserve toutes les symétries des fonctions d\'onde. Le changement majeur d\'énergie résultant de la présence d\'impuretés est à l\'état 2s, Plus tard, on verra que lorsque le rayon est suffisamment petit pour l\'état 2s, le champ magnétique et l\'interaction de Coulomb soient de très petites perturbations, c\'est l\'état fondamental sur lequel apparaissent les plus grands effets de l\'impureté. Notez que l\'énergie de liaison de chaque état sera calculée comme la différence d\'énergie correspondant à cet état sans et avec des effets d\'impureté. La figure 2.12 montre les énergies de liaison des états d\'impureté du donneur peu profond 1s, 2s (a), 1p, 2p (b) et 1d, 2d (c) au centre pour un électron confiné dans un QD sphérique en fonction du rayon QD pour différentes valeurs de champ magnétique. Au fur et à mesure que le rayon du point quantique augmente, la localisation de l\'électron augmente à l\'intérieur du point quantique, mais la distance relative entre l\'électron et l\'impureté du donneur augmente également et donc l\'énergie de liaison de l\'impureté est réduite pour tous les états d\'impureté que nous prenons en compte. Lorsque le rayon du point quantique augmente, le confinement des porteurs s\'affaiblit en raison de la diminution de l\'interaction électrostatique entre l\'électron et les impuretés du donneur associés, et par conséquent, l\'énergie de liaison des impuretés diminue. Comme on le voit dans ces figures, les énergies de liaison de tous les états d\'impureté pris en compte sont sensibles au champ magnétique dans la région de confinement spatial faible (cela signifie pour de grandes valeurs du rayon de points). À mesure que le champ magnétique augmente, la fonction d\'onde de l\'électron est plus pressée en raison du confinement supplémentaire du champ magnétique. Cette serrée conduit à une augmentation de l\'énergie de liaison puisque la localisation de l\'électron à l\'intérieur du point quantique et la densité de probabilité électronique autour de l\'impureté augmentent. Nos principales conclusions peuvent être résumées comme suit : - Pour l\'électron confiné dans le QD, avec ou sans effets d\'impuretés, les états avec n = 2 montrent une plus grande dépendance énergétique avec le rayon de la structure que les états avec n = 1, - Les effets du champ magnétique sont amplifiés à mesure que le rayon du QD augmente, c\'est-à-dire à mesure que le confinement structurel diminue. - A mesure que l\'amplitude du champ magnétique augmente, la présence de l\'impureté préserve les oscillations bien connues de l\'état fondamental. - Les énergies de liaison de tous les états d\'impuretés sont une fonction décroissante du rayon QD. - Les énergies de liaison de tous les états d\'impuretés sont une fonction croissante du champ magnétique à grand rayon QD. - Dans les transitions où le champ magnétique implique un déplacement du pic résonant, le déplacement se produit toujours vers des énergies plus élevées, et enfin - L\'amplitude du pic résonnant dans les différentes transitions a un comportement complexe qui ne peut pas être prédit intuitivement et nécessite un calcul numérique dans chaque cas. Nos résultats sont quantitativement en accord avec les études précédentes incluant les états associés. La figure 2.13(a,b) montre les énergies électroniques par rapport au champ magnétique en l\'absence et la présence de l'impureté, pour 1s, 1p−1, 1p0 et 1p+1.  À B = 0T (pas de champ magnétique), les états 1p−1, 1p0 et 1p+1 sont dégénérés (ont la même énergie). Lorsqu\'un champ magnétique est appliqué, la dégénérescence est interrompue et les états se divisent en raison de l\' effet Zeeman. La figure 2.13(c) affiche les énergies de liaison par rapport au champ magnétique pour les états 1s, 1p±1 et 1p0. L\'énergie augmente dans l\'ordre présenté comme suit ; 1p0, 1p±1 et 1s. L\'énergie de liaison augmente également avec l\'augmentation du champ magnétique. La figure 2.14(a) montre les coefficients d'absorption optique (OAC) en fonction de l\'énergie des photons pour les transitions σ± et π en l\'absence et en présence de l'impureté. Pour étudier les OAC de ce système, la position de l'impureté est fixée à [*r*~*d*~ = 14 *nm*.]{.math.inline} La figure 2.14(b) illustre la variation de l\'indice de réfraction en fonction de l\'énergie du photon. Les OAC augmentent initialement puis diminuent à mesure que l\'énergie des photons augmente, à l\'exception de l\'OAC non linéaire négatif qui montre la tendance inverse. Un pic d\'absorption est observé autour de 8 MeV pour l\'OAC total. La présence de l'impureté affecte les OAC différemment pour les transitions σ± et π, en modifiant légèrement la position des pics. La présence de l'impureté augmente généralement l\'OAC pour les transitions σ ± mais le diminue pour les transitions π. Les variations de l\'indice de réfraction (RIC) diminuent d\'abord puis augmentent légèrement avec l\'augmentation de l\'énergie des photons pour les transitions étudiées. La présence de l'impureté influence le comportement des RIC, provoquant des changements dans les positions de pointe. Lorsque l'impureté est présent, les RIC augmentent pour la transition σ± avec un déplacement des positions vers les énergies plus grandes, les RIC diminuent pour les transitions π, et leurs positions se déplacent vers les énergies plus petites. Cela est attribué au fait que la différence d\'énergie entre les deux états électroniques augmente pour la transition σ±, tandis qu\'elle diminue pour la transition π. La figure 2.15 montre les OAC en fonction de l\'énergie photonique pour la transition σ− (a,d), la transition π(b,e) et pour la transition σ+(c,f) dans la présence et l\'absence de l'impureté respectivement avec un champ magnétique variable. - Les OAC linéaires et totaux augmentent en premier et diminuent avec l\'augmentation de l\'énergie des photons, tandis que les OAC non linéaires négatifs présentent une tendance inverse. - Il n\'y a pas de différence perceptible dans les OAC pour toutes les valeurs du champ B entre la présence et l\'absence de DI pour les transitions considérées. - La transition σ− : Les pics de résonance diminuent avec l\'augmentation du MF. - La transition π : La présence de l'impureté réduit l\'amplitude de crête tout en décalant la position de pointe vers le rouge. - La transition σ+ : L\'augmentation des paramètres du champ B déplace légèrement la position de pointe des OAC vers le bleu (haute énergie) en raison de l\'augmentation de l\'énergie de transition. En outre, les amplitudes de crête des OAC linéaires et non linéaires augmentent avec l\'augmentation du champ B, en raison d\'un plus grand chevauchement des fonctions d\'onde.  La figure 2.16 montre les RIC en fonction de l\'énergie du photon pour les transitions σ± (Z = 0), σ± (Z = 1), π (Z = 0) et π (Z = 1). Dans la figure 5a,c,d,f, les RIC diminuent d\'abord, puis augmentent avec l\'augmentation de l\'énergie des photons, mais se déplacent légèrement vers le haut en fonction de l\'énergie du photon pour les transitions σ+ lorsque le champ B augmente, mais le contraire est observé dans les transitions σ−. Cela est attribué au fait que la différence d\'énergie entre les deux états électroniques change. Dans la figure 3b, e montre le même comportement avec l\'augmentation de l\'énergie des photons pour le RIC total dans la transition π en présence et en l\'absence de DI. Encore une fois, il n\'y a pas de différence perceptible dans la tendance de la transition π à mesure que le MF augmente. ::: {.section.footnotes} ------------------------------------------------------------------------ 1. ::: {#fn1} L'équation de Schrödinger ne tient pas compte des effets de relativité restreinte. Lorsque ces effets sont importants comme pour beaucoup d'éléments lourds du bas du tableau périodique, il faut alors utiliser l'équation de Dirac (1928)[↩](#fnref1){.footnote-back} ::: :::