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# Funciones vectoriales de variable escalar ### Definición Una función vectorial de variable escalar es una función $\mathbf{r}: D \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$ donde a cada número real $t \in D$ le corresponde un único vector $\mathbf{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n...

# Funciones vectoriales de variable escalar ### Definición Una función vectorial de variable escalar es una función $\mathbf{r}: D \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$ donde a cada número real $t \in D$ le corresponde un único vector $\mathbf{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$, donde cada $f_i: D \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ es una función real de variable real. ### Observaciones - La función vectorial $\mathbf{r}$ queda completamente determinada por sus funciones componentes $f_1, f_2, \dots, f_n$. - El dominio de la función vectorial $\mathbf{r}$ es el conjunto de todos los valores de $t$ para los cuales están definidas todas las funciones componentes $f_1, f_2, \dots, f_n$. Es decir, $Dom(\mathbf{r}) = Dom(f_1) \cap Dom(f_2) \cap \dots \cap Dom(f_n)$. - La gráfica de $\mathbf{r}$ es el conjunto de puntos $(\mathbf{r}(t))$ donde $t$ varía en el dominio de $\mathbf{r}$. ### Ejemplos 1. La función vectorial $\mathbf{r}(t) = \langle t^2, \ln(t), \sqrt{t+1} \rangle$ tiene como dominio el intervalo $(0, \infty)$ ya que $Dom(t^2) = \mathbb{R}$, $Dom(\ln(t)) = (0, \infty)$ y $Dom(\sqrt{t+1}) = [-1, \infty)$, por lo tanto, $Dom(\mathbf{r}) = \mathbb{R} \cap (0, \infty) \cap [-1, \infty)=(0, \infty)$. 2. La función vectorial $\mathbf{r}(t) = \langle a\cos(t), a\sin(t) \rangle$ con $a>0$, tiene como gráfica una circunferencia de radio $a$ centrada en el origen. 3. La función vectorial $\mathbf{r}(t) = \langle a\cos(t), b\sin(t) \rangle$ con $a, b > 0$, tiene como gráfica una elipse centrada en el origen. 4. La función vectorial $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2 \rangle$ tiene como gráfica una parábola en el plano $xy$. 5. La función vectorial $\mathbf{r}(t) = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle$ tiene como gráfica una hélice sobre el cilindro $x^2 + y^2 = 1$. ### Límite de una función vectorial Si $\mathbf{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$, entonces $$\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \langle \lim_{t \to a} f_1(t), \lim_{t \to a} f_2(t), \dots, \lim_{t \to a} f_n(t) \rangle$$ siempre que existan los límites de las funciones componentes. ### Continuidad de una función vectorial Una función vectorial $\mathbf{r}$ es continua en $a$ si y sólo si $$\lim_{t \to a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$$ ### Derivada de una función vectorial Si $\mathbf{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots, f_n(t) \rangle$, entonces $$\mathbf{r}'(t) = \langle f_1'(t), f_2'(t), \dots, f_n'(t) \rangle$$ siempre que existan las derivadas de las funciones componentes.