PRST1 - Statistique Descriptive PDF

– Résumé – Chapitre 1 : « La Statistique Descriptive » – Module – PRST1 – 2CP – S1  1. Définitions :  Population statistique 𝛀 : ensemble d’objets/personnes concerné par une étude statistique. Population 𝛀  Individu/unité statistiqu...

– Résumé – Chapitre 1 : « La Statistique Descriptive » – Module – PRST1 – 2CP – S1  1. Définitions :  Population statistique 𝛀 : ensemble d’objets/personnes concerné par une étude statistique. Population 𝛀  Individu/unité statistique : un élément de la population (𝛚 ∈ 𝛀 ).  Échantillon : un sous-ensemble/groupe représentatif issu de la population. Échantillon  Caractère (variable aléatoire) X : une propriété commune des individus de la population.  Modalité 𝒙𝒊 : Situations possibles d’un caractère (valeurs prises par la variable aléatoire). Unité (individu) ω  Effectif (fréquence absolue) 𝒏𝒊 : Nombre d’individus présentant une modalité.  Série (distribution) statistique {𝒙𝒊 , 𝒏𝒊 } : l’ensemble des modalités et des effectifs d’un caractère. Exemple : o Population : les étudiants de 2CP à ESI Alger. population o Individu (unité) : un étudiant de 2CP à ESI Alger. individu/unité o Échantillon : les étudiants de groupe 08 o Caractères : couleur des yeux, poids, taille, moyenne, … échantillon o Modalité de « Couleur des yeux » : marron, vert, bleu, noir, … o Un effectif de cette modalité : nombre d’étudiants avec des yeux noirs. N = 12 2. Types de caractères (variables) statistiques : Caractère plusieurs modalités Couleur des Taille, poids, yeux, … Qualitatif Quantitatif moyenne, … Les modalités (rubriques) ne sont Les modalités sont mesurables par pas mesurables par des chiffres des chiffres Nombre d’enfants Salaire mensuel ([0 – 20000[ , [20000 – 25000[, …) (1, 2, 3, 4, …) Discret (discontinu) Continu Les modalités sont des Les modalités sont représentées par des chiffres isolés classes (intervalles) 3. Représentation des données : 1. Tableau statistique : Il résume les modalités et les effectifs des différents caractères. Sa dimension est relative au nombre de caractères que l’on retient. o Cas (1) : Caractère quantitatif discret : Tableau statistique de distribution de (P) selon X :  Effectif total : Modalités (𝒙𝒊 ) Effectifs (𝒏𝒊 ) Fréquences (𝒇𝒊 ) 𝒏 = ∑𝒌𝒊=𝟏 𝒏𝒊 (k = nombre de modalités) 𝑥1 𝑛1 𝑓1  Fréquence relative (proportion des individus présentant 𝑥2 𝑛2 𝑓2 la même modalité dans la population) : 𝒏𝒊 𝒏𝒊 𝑥3 𝑛3 𝑓3 𝒇𝒊 = 𝒇𝒊 % = × 𝟏𝟎𝟎 𝒏 𝒏 𝛴 n = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 = 1 On a : 𝛴𝒇 𝒊 = 𝟏 et 𝛴 𝒇𝒊 % = 𝟏𝟎𝟎 o Cas (2) : Caractère quantitatif continu : Tableau statistique de distribution de (P) selon X : Modalités (𝒙𝒊 ) Effectifs (𝒏𝒊 ) Fréquences (𝒇𝒊 %)  Centre (milieu) d’une classe : [𝑒0 − 𝑒1 [ 𝑛1 𝑓1 % 𝑒𝑖 + 𝑒𝑖+1 𝒄𝒊 = [𝑒1 − 𝑒2[ 𝑛2 𝑓2 % 𝟐 [𝑒2 − 𝑒3 [ 𝑛3 𝑓3 %  Amplitude d’une classe : 𝒂𝒊 = 𝑒𝑖 − 𝑒𝑖+1 𝛴 n = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 𝑓1 % + 𝑓2 % + 𝑓3 % = 100  2. Représentation graphique : Caractère quantitatif Caractère qualitatif Discret Continu  Diagramme à secteurs circulaires : (Variable statique discrète VSD) (Variable statique continue VSC) Chaque modalité de fréquence 𝑓𝑖 (ou d’effectif 𝑛𝑖 ) est  Histogramme : représentée par un angle 𝛼𝑖  Diagramme en bâtons : A chaque classe 𝑐𝑖 , on fait correspondre la surface d’un 𝑛𝑖 A chaque modalité 𝑥𝑖 , on fait rectangle ayant pour base l’amplitude 𝑎𝑖 𝛼𝑖 = × 𝟑𝟔𝟎 ou 𝛼𝑖 = 𝑓𝑖 × 𝟑𝟔𝟎 𝑛 correspondre un bâton de longueur proportionnelle à 𝑓𝑖 ou 𝑛𝑖 Hauteur du rectangle : Amplitude constante : ℎ𝑖 = 𝑓𝑖 ou 𝑓𝑖 % ou 𝑛𝑖 Amplitude variable : 𝑎 𝑎 ℎ𝑖 = 𝑓𝑖 × 𝑎 ou 𝑛𝑖 × 𝑎 𝑖 𝑖 avec 𝑎 = amplitude unité (la plus petite amplitude, ou le PGCD des 𝑎𝑖 )  Graphique en tuyaux d’orgues : Les hauteurs des rectangles de base constante sont proportionnelles aux fréquences/effectifs.  Polygone des fréquences :  Polygone des fréquences : Le polygone joint les milieux des sommets des rectangles 𝑛25𝑖 Le polygone joint les sommets des bâtons des classes d’amplitudes égales d’un histogramme. 20 d’un diagramme. 15 10 5 0 x𝑖   Courbe cumulative : Elle représente les fréquences cumulées croissantes/décroissantes. Chaque point du graphe a pour coordonnées : (𝑥𝑖 , 𝑁𝑖 ) ou (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 ). Fréquences cumulées :  Fréquences cumulées croissantes (ascendantes) : dans une colonne du tableau, on somme les fréquences 𝑓𝑖 (ou absolue 𝑛𝑖 ) de haut en bas. Les fréquences cumulées sont dites croissantes, notées : 𝑓𝑖𝑐𝑐 ou 𝐹𝑖 (𝑛𝑖𝑐𝑐 ou 𝑁𝑖 ). Elles correspondent à la notion « moins de ».  Fréquences cumulées décroissantes (descendantes) : dans une colonne du tableau, on somme les fréquences 𝑓𝑖 (ou absolue 𝑛𝑖 ) de bas en haut. Les fréquences cumulées sont dites décroissantes, notées : 𝑓𝑖𝑐𝑑 (𝑛𝑖𝑐𝑑 ). Elles correspondent à la notion « plus de ». Cas EXEMPLE : COURBE CUMULATIVE DES FREQUENCES CROISSANTES Cas discret continu Fonction de répartition :  La fonction de répartition associe, à tout réel 𝑥𝑖 , la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale. Elle est définie par : 𝑭(𝒙) = ∑𝒊𝒌=𝟏 𝒇𝒌  La courbe cumulative est la représentation graphique de la fonction de répartition F.  𝐹(𝑥 ) représente la surface située à gauche de la valeur x dans la courbe : 𝑭(𝒙) = ∫𝟎 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒙  𝐹(−∞) = 0 et 𝐹(+∞) = 1 (F varie de 0 à 1) 3. Caractéristiques (paramètres) statistiques : A. Caractéristiques de position (tendance centrale) : a. Le mode (MO): Le mode est la valeur de la variable statistique qui correspond au plus grand effectif. Cas discret Cas continu Sur le tableau {𝑥𝑖 , 𝑓𝑖 }, le mode est le 𝑥𝑖 pour lequel 𝑓𝑖 est la plus élevée. Sur La classe modale est la classe du tableau {𝑥𝑖 , 𝑓𝑖 } ou de l’histogramme le diagramme en bâtons, c’est le 𝑥𝑖 correspondant au bâton le plus haut. correspondant à la fréquence maximum après correction des fréquences Exemple : pour la série {5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11}, MO = 8 dans le cas où les amplitudes des classes sont inégales. Remarque : une série statistique peut avoir plusieurs modes (avec la même fréquence) et peut n’avoir aucun mode (si toutes les fréquences sont égales). b. La médiane (Me) : La médiane est le caractère qui partage la série en 2 sous-ensembles égaux, en supposant qu’elle est ordonnée. Cas discret 𝒏+𝟏 è𝒎𝒆  Si le nombre d’observations (n) est impair (𝑛 = 2𝑘 + 1), Me correspond à la ( ) valeur de la série ordonnée. 𝟐 Exemple : pour la série {6,7,12,30,46}, 𝑛 = 5 (impair), et 𝑀𝑒 = 12 (5ème valeur).  Si n est pair (𝑛 = 2𝑘), on définit un intervalle médian. Me est approchée par la moyenne de la kème et (k+1)ème observation de la série ordonnée. 𝟏𝟓+𝟐𝟏 Exemple : pour la série {3, 6, 12, 15, 21, 28, 32, 38} : 𝑛 = 2 × 4 = 8 (𝑘 = 4) l’intervalle médian est : [15, 21[ et 𝑴𝒆 = = 𝟏𝟖 𝟐  Dans le cas des données groupées {𝑥𝑖 , 𝑛𝑖 }, la médiane se calcule par les fréquences cumulées. On repère la valeur 0.5 ou 𝒏⁄𝟐 sur le graphe ou sur le tableau. Si la valeur apparaît « entre 2 lignes » du tableau, la médiane est la valeur de xi qui correspond à la ligne la plus basse.  Cas continu  Pour déterminer la classe médiane, on repère 0.5 dans la colonne des Fi (𝒏⁄𝟐 sur la colonne des Ni) ou sur le graphe de la courbe cumulative. Si cette valeur correspond à une valeur de l’extrémité de la classe, la médiane est une valeur exacte. Sinon (elle est comprise entre deux extrémités de classe), on a un intervalle (classe) médiane. 𝑎𝑖 (𝑀𝑒 )  Dans le 2ème cas (classe médiane), on calcul la médiane par interpolation linéaire : 𝑀𝑒 = 𝑒𝑖 (𝑀𝑒 ) + (𝑀𝑒 ) (0.5 − 𝐹𝑖 (𝑀𝑒 )) 𝑓𝑖 Où : 𝑎𝑖 (𝑀𝑒) est l’amplitude de la classe médiane [𝑒𝑖 (𝑀𝑒 ) − 𝑒𝑖+1 (𝑀𝑒 ) [, 𝑓𝑖 (𝑀𝑒) sa fréquence relative et 𝐹𝑖 (𝑀𝑒) sa fréquence cumulée. Remarque : La formule peut s’écrire, selon les fréquences utilisées : 𝑎𝑖 (𝑀𝑒 ) 𝑛 (𝑀𝑒 ) 𝑎𝑖 (𝑀𝑒 ) 𝑀𝑒 = 𝑒𝑖 (𝑀𝑒 ) + (𝑀𝑒 ) ( − 𝑁𝑖 ) 𝑀𝑒 = 𝑒𝑖 (𝑀𝑒 ) + (50 − 𝐹𝑖 %(𝑀𝑒 )) 𝑛𝑖 2 𝑓𝑖 %(𝑀𝑒 ) c. La moyenne arithmétique : Cas discret Cas continu 𝑘 𝑘 𝑛 𝑛 1 1 𝑥̅ = ∑ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑥̅ = ∑ 𝑛𝑖 𝑐𝑖 = ∑ 𝑓𝑖 𝑐𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑒𝑖 + 𝑒𝑖+1 Avec : 𝑛 = ∑𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 Avec : 𝒄𝒊 = 𝟐 On doit ajouter au tableau la colonne « 𝒏𝒊 × 𝒙𝒊 » ou « 𝒇𝒊 × 𝒙𝒊 » On doit ajouter au tableau la colonne « 𝒏𝒊 × 𝒄𝒊 » ou « 𝒇𝒊 × 𝒄𝒊 » 1 1 Remarques : Si on partage une population P (n, 𝑥̅ ) en deux sous-populations P1(N1, ̅̅̅) 𝑥2 on aura : 𝑥̅ = 𝑥1 et P2(N2, ̅̅̅), (N1 𝑥̅1 + N2 𝑥̅2) = ∑2𝑖=1 𝑁𝑖 𝑥̅𝑖. 𝑛 𝑛 𝟏 ̅ = En général, pour 𝒓 sous-populations de P, on a : 𝒙 ∑𝒓 𝑵 𝒙̅ 𝒏 𝒊=𝟏 𝒊 𝒊 On dit que la variable statistique y est centrée ⇔ 𝒚 ̅ = 𝟎 (sa moyenne arithmétique est nulle).  Propriétés de la moyenne arithmétique i. ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝒙−𝒙 ̅ = ∑𝒌𝒊=𝟏 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙 ̅) = 𝟎 ii. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑿 − 𝒂)² = ∑𝒌𝒊=𝟏 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒂)² est iii. ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝑿 = 𝒂. 𝑿′ + 𝒃 (𝑥 − 𝑥̅ est centrée, ∀𝑥 variable statistique) minimale pour 𝒂 = 𝒙 ̅ ̅ = 𝒂. ̅̅̅ ⇒𝑿 𝑿′ + 𝒃 Preuve : Preuve : Preuve : On pose : 𝑆 (𝑎) = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑎)² et on Supposons que X et X’ sont deux variables ̅̅̅̅̅̅̅̅ Par définition : 𝑥 − 𝑥̅ = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) montre que 𝑥̅ est un minimum de S, c-à-d : statistiques tq 𝑋 = 𝑎. 𝑋 ′ + 𝑏 𝑘 𝑘 ̅) = 𝟎 et 𝑺′′(𝒙 𝑺′(𝒙 ̅) > 𝟎 ⇒ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥 − 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − ∑ 𝑓𝑖 𝑥̅ 1) 𝑆 ′ (𝑥̅ ) = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (−2(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )) 𝑘 𝑘 𝑖=1 𝑖=1 𝑘 𝑋̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑎. 𝑋𝑖 ′ + 𝑏) 𝑘 𝑆 ′ (𝑥̅ ) = −2 ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) = −2(̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥 − 𝑥̅ ) = 𝟎 𝑖=1 𝑖=1 ⇒ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥 − 𝑥̅ = 𝑥̅ − 𝑥̅ ∑ 𝑓𝑖 𝑖=1 𝑘 𝑘 𝑖=1 2) ′( 𝑆′ 𝑥̅ ) = −2 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 (−1) = +2 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 ′ ̅̅̅ + 𝒃 𝑋̅ = 𝑎 ∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 + 𝑏 ∑ 𝑓𝑖 = 𝒂𝑿′ ⇒ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥 − 𝑥̅ = 𝑥̅ − 𝑥̅ = 𝟎 𝑖=1 𝑖=1 𝑆 ′′ (𝑥̅ ) = 2 ∗ 1 = 2 > 𝟎 d. Comparaison entre la moyenne, le mode et la médiane :  e. Les quantiles (généralisation de la médiane) : Les quantiles (percentiles) correspondent à des valeurs de la VS qui partagent la série statistique ordonnée en M parties égales. M = 4 (quartiles) M = 10 (déciles) M = 100 (centiles) 10% ………………………..…....................... 10% 1% ………………………..…....................... 1% 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 C1 ………………………..…............... C99  On a trois quartiles (Q1, Q2 et Q3)  On a neuf déciles (D1, D2, …, D9)  On a 99 centiles (C1, C2, …, C99)  Q2 = Me  D5 = Me  C50 = Me  Intervalle interquartiles : Q3 – Q1 (il  Intervalle interdéciles : D9 – D1 (il  Intervalle intercentiles : C99 – C1 (il comporte 50% des observations) comporte 80% des observations) comporte 98% des observations). Remarque : On peut déterminer n’importe quel quantile de la courbe cumulative ascendante ou à partir de la formule d’interpolation linéaire (VSC) : 𝑎𝐼 𝜉𝑝 = 𝑒𝐼 + (𝑝. 𝑛 − 𝐹𝐼 ) Par exemple : Q1 correspond à p = 25% = 25/100 = 0.25 𝑓𝐼 𝜉𝑝 : quantile désiré ; 𝒆𝑰 : borne inférieure de la classe I qui le contient ; 𝒑 : pourcentage des observations à laquelle correspond le quantile ; 𝒏 : nombre totale d’observations ; 𝒇𝑰 , 𝒂𝑰 , 𝑭𝑰 : fréquence, amplitude et fréquence cumulée de la classe I B. Caractéristiques de dispersion : a. L’étendu E : 𝑬 = 𝑿𝒌 − 𝑿𝒍 𝑋𝑘 : la plus grande valeur de la variable X 𝑋𝑙 : la plus petite valeur de la variable X  b. Écart absolu moyen : C’est la moyenne arithmétique des écarts par rapport à une valeur centrale : la moyenne arithmétique ou la médiane. 1 1) Par rapport à ̅ 𝒙: 𝑒𝑥̅ = ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥̅ | = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥̅ | avec : 𝑛 = ∑𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 𝑛 1 2) Par rapport à 𝑴𝒆 : 𝑒𝑀𝑒 = ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑀𝑒 | = ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑀𝑒 | avec : 𝑛 = ∑𝑘 𝑖=1 𝑛𝑖 𝑛 Dans le cas continu, on c. Écart-type et variance : remplace 𝑥𝑖 par 𝒄𝒊 𝟏 1) Écart-type : 𝝈(𝒙) = √𝒏 ∑𝒌𝒊=𝟏 𝒏𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙 ̅ )² = √∑𝒌𝒊=𝟏 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙 ̅ )² 2) Variance : 𝑽(𝒙) = 𝝈(𝒙)𝟐 ⇔ 𝝈(𝒙) = √𝑽(𝒙) Remarque : Si on partage une population P (n, 𝑥̅ ) en deux sous-populations P1(N1, ̅̅̅) 𝑥1 et P2(N2, ̅̅̅), 𝑥2 on aura : 1 ̅𝟏 − 𝑥̅ )2 + N1 (𝒙 𝑉(𝑥) = ( N1 𝑉(𝑥1 ) + N2 𝑉 (𝑥2 ) + N1 (𝒙 ̅𝟐 − 𝑥̅ )2 ) 𝑛 1 En général, pour 𝒓 sous-populations de P, on a : 𝑉(𝑥) = (∑𝑟𝑖=1 Ni 𝑉(𝑥𝑖 ) + ∑𝑟𝑖=1 Ni (𝒙 ̅𝒊 − 𝑥̅ )2 ) 𝑛 Propriétés de la variance i. 𝑽(𝒙) = ∑𝒌𝒊=𝟏 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ² − 𝒙 ̅² ii. ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎, 𝑿 = 𝒂. 𝑿′ + 𝒃 ⇒ 𝑽(𝑿) = 𝒂²𝑽(𝑿′) Preuve : Preuve : 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 2 ̅ )2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑎𝑥 ′ 𝑖 + 𝑏 − 𝑥 𝑉 (𝑥 ) = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥 ̅ − 𝑏)2 ̅ )2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑎𝑥 ′ 𝑖 + 𝑏 − 𝑎𝑥′ 𝑉 (𝑥 ) = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥 ̅ )2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥2𝑖 − 2𝑥𝑖 𝑥 ̅+ 𝑥 ̅ ) 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑘 𝑘 2 𝑘 𝑘 𝑘 𝒌 ̅ )) = 𝑎² ∑ 𝑓 (𝑥 ′ − 𝑥′ 𝑉(𝑥 ) = ∑ 𝑓𝑖 (𝑎(𝑥 ′ 𝑖 − 𝑥′ ̅ )² = 𝒂²𝑽(𝒙′) 𝑖 𝑖 2 𝟐 𝑉 (𝑥 ) = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖2 − 2𝑥 ̅ ∑ 𝑓𝑖 = ∑ 𝒇𝒊 𝒙𝟐𝒊 − 𝒙 ̅ ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 + 𝑥 ̅ 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝒊=𝟏 ̅ = 𝒂. ̅̅̅ 𝑿 𝑿′ + 𝒃 𝑥̅ 1  Propriété de l’écart-type ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎, 𝑿 = 𝒂. 𝑿′ + 𝒃 ⇒ 𝝈(𝑿) = |𝒂| 𝝈(𝑿′) ̅ = 𝒂. ̅̅̅ 𝑿 𝑿′ + 𝒃 Preuve 𝑘 𝑘 𝑘 2 ̅ − 𝑏)2 ̅ )2 = √∑ 𝑓𝑖 (𝑎𝑥 ′ 𝑖 + 𝑏 − (𝑎𝑥̅′ + 𝑏)) = √∑ 𝑓𝑖 (𝑎𝑥 ′ 𝑖 + 𝑏 − 𝑎𝑥′ 𝜎 (𝑥 ) = √∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑘 𝑘 2 𝜎 (𝑥) = √∑ 𝑓𝑖 (𝑎(𝑥 ′ − ̅ ))2 = √𝑎2 ∑ 𝑓 (𝑥 ′ − 𝑥̅′ ) = |𝒂| 𝝈(𝒙′) 𝑥′ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 d. Coefficient de variation : C’est un coefficient positif sans dimension qui sert à rendre les comparaisons entre les séries statistiques plus aisées. 𝝈(𝒙) 𝜶= ̅ >𝟎 (plus le coefficient est élevé, plus la dispersion est forte) 𝒙 e. Intervalles interquantiles : Les intervalles les plus utilisés sont : Appellation Distance de l’intervalle Proportion des observations contenues Intervalle interquartiles Q3 – Q1 50% Intervalle interdéciles D9 – D1 80%  C. Indicateurs de forme : Pour les distributions a. Moments centrés 𝝁𝒓 : uni-modales (qui ont 𝒌 𝒌 𝟏 un seul mode) ̅ )𝒓 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ )𝒓 = ∑ 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙 𝝁𝒓 = ∑ 𝒏𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙 (𝑿 − 𝒙 ̅ )𝒓 𝒏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 𝝁𝟏 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝝁𝟐 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐 Cas particuliers : (𝑿 − 𝒙̅) = 𝟎 et (𝑿 − 𝒙 ̅ ) = 𝑽(𝑿) Remarques : 𝝁𝒓 (𝒀) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝒀 = 𝒂. 𝑿 + 𝒃 ⇒ 𝝁𝒓 (𝒀) = 𝒂𝒓 𝝁𝒓 (𝑿) ⇒ 𝝁𝒓 (𝑿) = 𝒂𝒓 b. Coefficient d’asymétrie de Fisher : 𝝁𝟑 𝝁𝟑 𝝁𝟑 Les moments centrés d’ordre impair 𝜸𝟏 = 𝟑⁄ = 𝟑⁄ = sont nuls pour une distribution (𝝁𝟐 ) 𝟐 𝑽(𝑿) 𝟐 𝝈(𝑿)𝟑 symétrique, négatifs pour une distribution étalée à gauche et positifs 𝛾1 est nul pour une distribution symétrique, négatif pour une distribution étalée à pour une distribution étalée à droite gauche et positif pour une distribution étalée à droite c. Coefficient d’aplatissement de Fisher : 𝝁𝟒 𝝁𝟒 𝜸𝟐 = − 𝟑 = −𝟑 (𝝁𝟐 )𝟐 𝑽(𝑿)𝟐  𝛾2 est nul (𝜸𝟐 = 𝟎) pour une distribution « normale ».  Si 𝜸𝟐 > 𝟎, on dira que les queues de la distribution sont plus aplaties i.e. le pic est moins plat, donc : la distribution est moins plate.  Si 𝜸𝟐 < 𝟎, on dira que les queues de la distribution sont moins aplaties i.e. le pic est plus plat, donc : la distribution est plus plate.