Presentacin de la semana #08 _ Viernes 18 de octubre PDF

Matemática Básica Universitaria MAT-010 NRC 35078 Sep–Dic 2024 HORARIO: Prof. Michelle Lalondriz, MCs Viernes 08:00 – 11:00 Semana #08 – 18/oct/2024 ...

Matemática Básica Universitaria MAT-010 NRC 35078 Sep–Dic 2024 HORARIO: Prof. Michelle Lalondriz, MCs Viernes 08:00 – 11:00 Semana #08 – 18/oct/2024  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 2 Septiembre – Diciembre 2024 CLASE ANTERIOR ✓ Tema II: Potencias, raíces y logaritmos. (continuación) ✓ Radicación. ✓ Operaciones con radicales. ✓ Racionalización. ✓ Cuando el denominador contiene solo un término. ✓ Cuando el denominador contiene dos términos, ✓ Logaritmación. ✓ Definición, notación, elementos y conceptos de la logaritmación. ✓ La logaritmación y su relación con la potenciación y la radicación. ✓ Logaritmo decimal y logaritmo natural. ✓ Propiedades de la logaritmación. ✓ Operaciones con logaritmos. TEMA III: Expresiones algebraicas y operaciones  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 4 Septiembre – Diciembre 2024 INTRODUCCIÓN La visión del Álgebra como una ciencia propia de la Las expresiones algebraicas están definidas de manera Matemática, en sus orígenes se consideró como una tal, que permiten reconocer, distinguir, evaluar, reducir, generalización de la Aritmética, introduciendo símbolos simplificar y operar con sus términos. Los términos adicionales a los conjuntos numéricos y creando una están constituidos por una combinación de signos, estructura propia. Se construyeron las expresiones coeficientes numéricos, coeficientes variables y algebraicas, caracterizadas por el uso de números, letras y exponentes. signos de comparación, de agrupación, de operación y A través de las expresiones algebraicas, se ha construido reglas por las que se rigen. un lenguaje matemático que permite utilizar un lenguaje propio para traducir proposiciones del lenguaje ordinario al algebraico y viceversa.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 5 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una composición de Los términos están definidos por los elementos que lo números y letras, a través de las operaciones de adición, integran, los cuales son: signos, coeficientes numéricos o sustracción, multiplicación, división, potenciación y constantes, coeficientes variables o simplemente radicación. variables y exponentes. Las expresiones algebraicas están conformadas por uno Ejemplos: o más términos, separados por los signos de más + o ① 3𝑥 2 + 5 menos −. 3 2𝑎2 − 𝑏 ② 4 + 𝑏 −3 𝑐  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 6 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Constante y variable Al realizar operaciones con expresiones Un símbolo que puede adoptar diferentes valores matemáticas, un símbolo que permanece fijo en el en el proceso se denomina variable. proceso se denomina constante. Generalmente, el símbolo utilizado para una Generalmente, el símbolo utilizado para una variable se denota por una letra, denominada constante se denota con un número, denominado coeficiente variable o variable. coeficiente numérico.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 7 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Constante y variable Se propone: reflejar el precio de 6 lápices y 3 bolígrafos, Se desconocen el precio de cada lápiz y el precio de si se desconoce el precio de un lápiz y el precio de un cada bolígrafo, por lo que, se le asignan dos letras bolígrafo. diferentes. Ejemplo: Complete. Las letras correspondientes a las variables, porque ① Precio de un lápiz _______ 𝑙 representan los precios desconocidos. ② Precio de seis lápices _______ 6𝑙 Los números 6 y 3, corresponden a las constantes, ③ Precio de un bolígrafo _______ 𝑏 porque representan cantidades fijas. ④ Precio de tres bolígrafos _______ 3𝑏 ⑤ Precio de 6 lápices y 3 bolígrafos _______ 6𝑙 + 3𝑏  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 8 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Términos Un término es una expresión algebraica que consta de un signo, un coeficiente numérico, variables y exponentes de las variables. Un término expresado por solo una letra tiene coeficiente numérico 1 y exponente 1. Un término expresado por solo un número asume que todos sus coeficientes variables tienen exponente cero. Un término donde no se especifica el signo se asume que es positivo. El 1 es un factor de cualquier término. Un producto indicado de dos o más expresiones se considera un término.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 9 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Términos Ejemplo: Dado los siguientes términos identifique signo, coeficiente numérico, variable(s) y exponente(s) de la(s) variable(s). ① −3𝑥𝑦 2 ③ 𝑧 −3 Signo: ____________ − Signo: ____________ + Coeficiente numérico: ____________ 3 Coeficiente numérico: ____________ 1 Variable(s): ____________ 𝑥, 𝑦 Variable(s): ____________ 𝑧 Exponente(s) de la(s) variable(s): ____________ 1, 2 Exponente(s) de la(s) variable(s): ____________ −3 2𝑎3 𝑏𝑐 2 ② 2.7 𝑚 − 𝑛 ④ − 3 Signo: ____________ + Signo: ____________ − Coeficiente numérico: ____________ 2.7 Coeficiente numérico: ____________ 2ൗ 3 Variable(s): ____________ 𝑚−𝑛 Variable(s): ____________ 𝑎, 𝑏, 𝑐 Exponente(s) de la(s) variable(s): ____________ 1 Exponente(s) de la(s) variable(s): ____________ 3, 1, 2  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 10 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Números de términos de una expresión algebraica El número de términos de una expresión algebraica Ejemplo: Identifique el número de términos de las está determinado por las operaciones indicadas de siguientes expresiones. adición + y sustracción − que separan sus términos. ① 3 𝑎+4 ___________________ 1 término Téngase que en cuenta que: ② 3𝑎 − 12 ___________________ 2 términos Expresiones indicadas como productos con signos de ③ 8𝑚2 − 4𝑚 ___________________ 1 término 2 agrupación, se consideran un solo término. 8𝑚2 − 4𝑚 ④ ___________________ 2 términos Expresiones indicadas como cocientes, se consideran 2 +6 un solo término. 1 ⑤ 3𝑥 2 + 𝑥 + 𝑦 ___________________ 3 términos 𝑥  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 11 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Términos semejantes y diferentes Dos o más términos son semejantes si su diferencia Ejemplo: Observe los siguientes términos y establezca si puede darse: en los signos, en los coeficientes numéricos son semejantes o no. o en ambos. 1 −2 3 𝑎−2 𝑏3 −𝑎−2 𝑏3 −7𝑎−2 𝑏3 𝑎 𝑏 2 También se expresa que dos o más términos que tiene las mismas variables con los mismos exponentes son Todos los términos contienen las variables 𝑎 y 𝑏. semejantes. En todos los términos el exponente de la variable 𝑎 es − 2. Son términos diferentes todos los que no son En todos los términos el exponente de la variable 𝑏 es 3. semejantes. Todos los términos son semejantes.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 12 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Términos semejantes y diferentes Dos o más términos son semejantes si su diferencia Ejemplo: Observe los siguientes términos y establezca si puede dares: en los signos, en los coeficientes numéricos son semejantes o no. o en ambos. 1 −2 2 −4𝑎2 𝑏−3 −𝑎3 𝑏 2 𝑎 𝑏 𝑎3 𝑏 3 4 También se expresa que dos o más términos que tiene las mismas variables con los mismos exponentes son Los términos son diferentes porque, aunque tiene las semejantes. mismas variables los exponentes correspondientes no son iguales. Son términos diferentes todos los que no son semejantes.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 13 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Reducción de términos semejantes Se reducen términos semejantes, realizando las Ejemplo: Reduce las siguientes expresiones. operaciones indicadas con los coeficientes numéricos de ① 5𝑘 + 8𝑘 = 5 + 8 𝑘 = 13𝑘 dichos términos. La parte variable permanece igual. ② 5𝑘 − 8𝑘 = 5 − 8 𝑘 = −3𝑘 Los términos semejantes opuestos, solo difieren en el ③ 3𝑚𝑛3 − 6𝑚𝑛3 + 𝑚𝑛3 = 3 − 6 + 1 𝑚𝑛3 = −2𝑚𝑛3 signo. La reducción de dos términos semejantes opuestos es cero. ④ 7 𝑥+𝑦 − 𝑥+𝑦 = 7−1 𝑥+𝑦 =6 𝑥+𝑦 La reducción de términos semejantes es importante, ⑤ −3𝑎2 + 2𝑎2 + 3𝑏 = −3 + 2 𝑎2 + 3𝑏 = −𝑎2 + 3𝑏 porque es el procedimiento utilizado en las operaciones algebraicas donde hay adición y sustracción.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 14 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Reducción de términos semejantes Ejemplo: Reduce las siguientes expresiones. 1 2 2 1 2 1 3 ⑥ 𝑥 𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥2𝑦 = + − 1 𝑥2𝑦 ⑦ 5𝑎2 𝑏 2 − −3𝑎2 − 9𝑎2 𝑏 2 = 5𝑎2 𝑏 2 + 𝑎2 − 9𝑎2 𝑏 2 2 3 2 3 2 2 3 3 4 6 2 = 5 − 9 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎2 = + − 𝑥 𝑦 2 6 6 6 3 3+4−6 2 = −4𝑎2 𝑏 2 + 𝑎2 = 𝑥 𝑦 2 6 1 2 = 𝑥 𝑦 6  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 15 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluación de expresiones algebraicas En la introducción de las expresiones algebraicas, se Ejemplos: analizó la expresión 6𝑙 + 3𝑏 , en donde 6 y 3 son ① Si el precio de un lápiz es 10 pesos y de un bolígrafo constantes, mientras que, 𝑙 y 𝑏 representan el precio de 15 pesos. un lápiz y el precio de un bolígrafo, respectivamente. En 6𝑙 + 3𝑏 = 6 10 + 3 15 = 60 + 45 las propuestas siguientes se pide determinar el monto a = 105 (pesos) pagar por ambos artículos, si se conocen los precios. ② Si el precio de un lápiz es 15 pesos y de un bolígrafo 20 pesos. 6𝑙 + 3𝑏 = 6 15 + 3 20 = 90 + 60 = 150 (pesos)  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 16 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluación de expresiones algebraicas Para evaluar una expresión algebraica, se sustituyen las Ejemplos: variables por los valores numéricos correspondientes y ① Evaluar 4𝑝2 + 5𝑝 cuando 𝑝 = 3. se realizan las operaciones, respetando el orden de ellas. 4𝑝2 + 5𝑝 = 4 3 2 +5 3 =4 9 +5 3 Al proceso de evaluación de una expresión, se le denomina también, determinación de su valor = 36 + 15 numérico. = 51  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 17 Septiembre – Diciembre 2024 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluación de expresiones algebraicas Ejemplos: 1+𝑖 𝑛−1 ② Evaluar 𝑡 + 𝑛 − 1 𝑑; si 𝑡 = 100, 𝑛 = 6 y 𝑑 = 8. ③ Evaluar 𝑆 = 𝑃 ; si 𝑃 = 80,000, 𝑖 = 0.09 𝑖 𝑡 + 𝑛 − 1 𝑑 = 100 + 6 − 1 8 y 𝑛 = 2. 1+𝑖 𝑛−1 1 + 0.09 2 − 1 = 100 + 5 8 𝑆=𝑃 = 80,000 𝑖 0.09 = 100 + 40 1.09 2 − 1 1.1881 − 1 = 80,000 = 80,000 = 140 0.09 0.09 0.1881 = 80,000 = 80,000 2.09 0.09 = 167,200  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 18 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Monomios Un monomio es una expresión algebraica compuesta Ejemplo: Identifique cuál de los siguientes términos es por un solo término, que puede ser un número, una un monomio. variable, o el producto de números y variables elevadas a ① 5𝑥 3 es un monomio _______________________ exponentes enteros no negativos. ② 5𝑥 −3 _______________________ no es un monomio El grado relativo es el correspondiente a cada variable. ③ 3 2𝑥𝑦 2 _______________________ es un monomio El grado absoluto del monomio es la suma de los ④ 3 2𝑥𝑦 2 no es un monomio _______________________ exponentes de las variables. ⑤ 3 𝑎𝑏 2 − 𝑐 3 no es un monomio _______________________ 𝑥2 no es un monomio ⑥ _______________________ 𝑦  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 19 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Polinomios Los polinomios son expresiones algebraicas que se Un polinomio es una expresión algebraica constituida denominan en atención a la cantidad de monomios que por uno o más monomios. los componen. Con los polinomios se pueden realizar operaciones Se acostumbra a definir un polinomio como una similares a las que se realizan con los conjuntos adición de monomios. numéricos.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 20 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Polinomios El monomio es un caso especial de un polinomio. Ejemplo: Clasifique los siguientes polinomios en El polinomio que consta de dos monomios se monomios, binomios, trinomios… denomina binomio. ① −3𝑥 2 monomio _____________________ El polinomio que consta de tres monomios se ② 𝑎4 − 3𝑎2 𝑏 2 − 9𝑎𝑏 + 18 _____________________ cuatrinomio denomina trinomio. ③ 𝑘 _____________________ monomio El polinomio que consta de cuatro monomios se denomina cuatrinomio. ④ 7𝑟𝑡 + 2𝑟 2 − 𝑟𝑡 2 − 5 + 𝑡 _____________________ polinomio de 5 términos A partir de cuatro monomios, si el polinomio consta 1 ⑤ −2𝑥 3 + 𝑥𝑦 − 1.6𝑦 3 _____________________ trinomio de 𝒎 monomios se denomina polinomio de 𝒎 4 términos. ⑥ −3𝑥 + 5 _____________________ binomio  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 21 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Polinomios Un polinomio en la variable 𝑥 es una expresión de la Ejemplo: Identifica. polinomio completo forma ① 3 2 𝑃 𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 + 10 polinomio ordenado 𝑛 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 tercer grado Grado: ________________________ Coeficientes: ___________________ 𝑎3 = 4, 𝑎2 = −2, donde 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 son números reales y 𝑛 es un entero ___________________ 𝑎1 = 3, 𝑎0 = 10 no negativo. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces el polinomio tiene grado 𝑛. polinomio incompleto 2 4 ② 𝑄 𝑦 = 2𝑦 + 5𝑦 − 8 polinomio desordenado cuarto grado Grado: _________________________ Los monomios 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 que conforman el polinomio Coeficientes: ____________________ 𝑎4 = 5, 𝑎3 = 0, 𝑎2 = 2, reciben el nombre de términos del polinomio. ____________________ 𝑎1 = 0, 𝑎0 = −8  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 22 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Adición de polinomios Adicionar monomios equivale a reducir términos Ejemplo: Determine la suma de: semejantes. ① 3𝑘 2 + −𝑘 2 + 5𝑘 2 = 3 + −1 + 5 𝑘 2 = 7𝑘 2 La suma de los polinomios se obtiene reduciendo los términos semejantes de los polinomios sumandos. ② 2𝑟 + 𝑠 + 𝑟 + −2𝑠 = 2𝑟 + 𝑟 + 𝑠 + −2𝑠 Ordenar los polinomios significa organizar sus = 2+1 𝑟+ 1−2 𝑠 términos respecto a una variable, según los exponentes = 3𝑟 − 𝑠 aumenten o disminuyen.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 23 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Adición de polinomios Ejemplo: Determine la suma de los polinomios 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑄 𝑥, 𝑦 = −2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥 2. Forma horizontal Forma vertical 𝑃 𝑥, 𝑦 + 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + −2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥 2 + 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑃 𝑥, 𝑦 + 𝑄 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 2𝑦 2 4𝑥 2 +2𝑦 2 𝑃 𝑥, 𝑦 + 𝑄 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 2𝑦 2  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 24 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Sustracción de polinomios La resta de polinomio se obtiene mediante el Ejemplo: Determine la resta de 𝑀 − 𝑁 donde procedimiento siguiente: 𝑀 = 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡, 𝑁 = 3𝑡 − 6𝑠. Se identifica el minuendo y el sustraendo. Forma horizontal Se determina el opuesto del sustraendo. 𝑀 − 𝑁 = 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡 − 3𝑡 − 6𝑠 Se adiciona al minuendo, el opuesto del sustraendo. = 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡 + −3𝑡 + 6𝑠 El resultado es la resta. = 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡 − 3𝑡 + 6𝑠 𝑀 − 𝑁 = 2𝑟 + 9𝑠 − 4𝑡  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 25 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Sustracción de polinomios Ejemplo: Determine la resta de 𝑀 − 𝑁 donde 𝑀 = 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡, 𝑁 = 3𝑡 − 6𝑠. Forma vertical 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡 2𝑟 + 3𝑠 − 𝑡 Paso 1) Ordenar el Paso 2) Cambiar los − −6𝑠 +3𝑡 sustraendo debajo del + +6𝑠 −3𝑡 signos a cada término minuendo, haciendo 2𝑟 +9𝑠 −4𝑡 del sustraendo y coincidir los términos reducir los términos semejantes. 𝑀 − 𝑁 = 2𝑟 + 9𝑠 − 4𝑡 semejantes.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 26 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Adición y sustracción de polinomios 1 La suma (o resta) de dos o más polinomios se obtiene Ejemplo: Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥, 2 asociando todos los términos semejantes bien sea 2 2 3 𝑄 𝑥 = 6 + 𝑥 − 2𝑥 2 y 𝑇 𝑥 = −2𝑥 2 + + 𝑥. 3 5 4 horizontal o verticalmente. ① Calcule 𝑃 + 𝑄 + 𝑇. Los polinomios se pueden identificar con una letra 1 2 𝑥 − 5𝑥 mayúscula e indicar las operaciones que deben realizarse 2 2 entre ellos. − 2𝑥 2 + 𝑥 +6 3 3 2 + − 2𝑥 2 + 𝑥 + 4 5 7 43 32 − 𝑥2 − 𝑥 + 2 12 5  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 27 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Adición y sustracción de polinomios 1 2 2 3 Ejemplo: Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥, 𝑄 𝑥 = 6 + 𝑥 − 2𝑥 2 y 𝑇 𝑥 = −2𝑥 2 + + 𝑥. 2 3 5 4 ② Calcule 𝑃 + 𝑄 − 𝑇. ③ Calcule 𝑃 − 𝑄 − 𝑇. 1 2 1 2 𝑥 − 5𝑥 𝑥 − 5𝑥 2 2 2 2 − 2𝑥 2 + 𝑥 +6 2𝑥 2 − 𝑥 −6 3 3 3 2 3 2 + 2𝑥 2 − 𝑥 − + 2𝑥 2 − 𝑥 − 4 5 4 5 1 2 61 28 9 2 77 32 𝑥 − 𝑥+ 𝑥 − 𝑥− 2 12 5 2 12 5  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 28 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Multiplicación de monomios El algoritmo en la multiplicación de monomios es el Ejemplo: Calcule. siguiente: ① −2𝑥 2 5𝑥 4 = −2 × 5 𝑥 2+4 Se determina el signo del producto, que solo es negativo, = −10𝑥 6 si la cantidad de monomios con signo negativo es impar. Se determina el coeficiente numérico del producto, ② −5𝑎2 𝑏 3 0.4𝑎 −𝑏 2 𝑐 = −5 0.4 −1 𝑎2+1 𝑏 3+2 𝑐 multiplicando los coeficientes numéricos de los = 2𝑎3 𝑏 5 𝑐 monomios. Se escribe la variable o las variables. Se adicionan los exponentes correspondientes a cada variable.  Matemática Básica Universitaria MAT010 (NRC: 35078) 29 Septiembre – Diciembre 2024 POLINOMIOS Y OPERACIONES Multiplicación de un monomio por un polinomio En la multiplicación de un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva. Se multiplica el monomio, por cada uno de los términos que componen el polinomio siguiendo el mismo procedimiento que en la multiplicación de monomios. Ejemplo: Calcule. ① −2𝑘 2 −3𝑘 2 + 2𝑘 − 1 = −2𝑘 2 −3𝑘 2 − 2𝑘 2 2𝑘 − 2𝑘 2 −1 = −2 −3 𝑘 2+2 − 2 2 𝑘 2+1 − 2 −1 𝑘 2 = 6𝑘 4 − 4𝑘 3 + 2𝑘 2