Teorema de Thevenin PDF

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CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 12 12 Capítulo 1 1.5 Teorema de Thevenin De vez en cuando, alguien consigue dar un gran salto en el campo de la ingeniería que nos proporciona a todos un nuevo impulso. Un ingeniero francés, M. L. Thevenin, hizo posible uno de estos saltos cuánticos al deducir el teorema de circuitos que lleva su nombre: el teorema de Thevenin. Definición de la tensión y la resistencia de Thevenin Un teorema es una afirmación que puede demostrarse matemáticamente. Por esta razón, no es una definición ni una ley, por lo que lo clasificamos como una derivación. Recordemos las ideas sobre el teorema de Thevenin que se han adquirido en cursos anteriores. En la Figura 1.8a, la tensión de Thevenin VTH se define como la tensión que aparece entre los terminales de carga cuando la resistencia de carga está en circuito abierto. Por esta razón, en oca- siones a la tensión de Thevenin se la denomina tensión en circuito abierto. Su definición sería entonces: Tensión de Thevenin: VTH ⴝ VOC (OC= open circuit, circuito abierto) (1.5) La resistencia de Thevenin se define como la resistencia que mide un óhmetro en los terminales de la car ga de la Figura 1.8a cuando todas las fuentes se anulan y la resistencia de carga está en circuito abierto. Su definición sería entonces: Resistencia de Thevenin: RTH ⴝ ROC (1.6) Con estas dos definiciones, Thevenin fue capaz de deducir el famoso teorema que lleva su nombre. Debemos hacer una puntualización para poder hallar la resistencia de Thevenin. Anular una fuente puede tener diferentes significados según se trate de fuentes de tensión o de corriente. Cuando se anula una fuente de tensión, ésta se reemplaza por un cortocircuito, porque es la única forma de garantizar una tensión de cero cuando circula corriente a través de la fuente de tensión. Cuando se anula una fuente de corriente, se reemplaza por un circuito abierto, porque es la única manera de garantizar una corriente igual a cero cuando cae una tensión entre los termi- nales de la fuente de corriente. Resumiendo: Para anular una fuente de tensión, se reemplaza por un cortocircuito. Para anular una fuente de corriente, se reemplaza por un circuito abierto. La derivación ¿Qué dice el teorema de Thevenin? Fíjese en la Figura 1.8a. La caja negra puede contener cualquier circuito for- mado por fuentes de continua y resistencias lineales. Una resistencia lineal no varía cuando aumenta la tensión. Thevenin consiguió demostrar que, independientemente de lo complejo que sea el circuito que haya en el interior de la caja negra de la Figura 1.8 a, producirá exactamente la misma corriente en la car ga que el circuito más sim- ple mostrado en la Figura 1.8b. Como derivación obtenemos: VTH IL ⴝ  (1.7) RTH ⴙ RL Profundicemos en esta idea. El teorema de Thevenin es una herramienta muy poderosa, por lo que los inge- nieros y técnicos emplean este teorema constantemente. Posiblemente, los electrónicos no estarían donde están actualmente sin este teorema. No sólo simplifica los cálculos, sino que permite explicar el funcionamiento de cir- cuitos que sería imposible explicar utilizando sólo las ecuaciones de Kirchhoff. Figura 1.8 (a) Caja negra que contiene un circuito lineal. (b) Circuito de Thevenin. A A CUALQUIER CIRCUITO CON FUENTES DE RTH CONTINUA RL VTH RL Y RESISTENCIAS B B LINEALES (a) (b) CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 13 Introducción 13 Ejemplo 1.4 ¿Cuáles son la tensión y la resistencia de Thevenin en el circuito de la Figura 1.9a? Figura 1.9 (a) Circuito original. (b) Resistencia de carga en circuito abierto para obtener la tensión de Thevenin. (c) Poner a cero la fuente para obtener la resistencia de Thevenin. 6 k 4 k A 6 k 4 k A 6 k 4 k A 72 V 3 k RL 72 V 3 k 3 k B B B (a) (b) (c) SOLUCIÓN En primer lugar, calculamos la tensión de Thevenin. Para ello, hay que dejar en circuito abierto la resistencia de carga. Abrir la resistencia de carga es equivalente a eliminarla del circuito, como se muestra en la Fi- gura 1.9b. Puesto que circulan 8 mAa través de la resistencia de 6 k en serie con la de 3 k, caerán 24 V en la re- sistencia de 3 k. Puesto que no circula corriente por la resistencia de 4 k , los 24 V aparecerán entre los termi- nales AB. Por tanto: VTH
24 V Obtengamos ahora la resistencia de Thevenin. Anular una fuente continua es equivalente a reemplazarla por un cortocircuito, como se muestra en la Figura 1.9c. ¿Cuál será la lectura que dará un óhmetro colocado en los termi- nales AB? Será 6 k. ¿Por qué? Porque mirando hacia atrás desde los terminales AB estando la batería cortocircuitada, el óhmetro ve 4 k en serie con una conexión en paralelo de las resistencias de 3 k y 6 k. Luego, podemos escribir: 3 k 6  RTH
4 k   
6 k 3 k  6 k El producto de 3 k y 6 k dividido entre la suma de las mismas resistencias da como resultado 2 k, resultado al que se suma 4 k, obteniendo finalmente 6 k. De nuevo, necesitamos escribir una nueva definición. Las conexiones en paralelo en electrónica son tan fre- cuentes que la mayoría de la gente utiliza una notación simplificada para ellas.A partir de ahora emplearemos la si- guiente notación: 储
en paralelo con Siempre que vea dos barras verticales en una ecuación, recuerde que significa en paralelo con. En la industria, la ecuación anterior para la resistencia de Thevenin se escribe del siguiente modo: RTH
4 k  (3 k 储 6 k)
6 k La mayoría de los ingenieros y técnicos saben que las barras verticales indican una conexión en paralelo. Por tanto, de forma automática calculan el cociente entre el producto y la suma, como se ve en la expresión anterior, para cal- cular la resistencia equivalente de 3 k en paralelo con 6 k. La Figura 1.10 muestra el circuito de Thevenin con una resistencia de carga. Compare este sencillo circuito con el circuito original de la Figura 1.9a. ¿Ve cómo facilita el cálculo de la corriente por la carga para diferentes resis- tencias de carga? Si no lo ve, el siguiente ejemplo le ayudará a entenderlo. Figura 1.10 Circuito de Thevenin para el circuito de la Figura 1.9a. 6 k A 24 V R B CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 14 14 Capítulo 1 PROBLEMA PRÁCTICO 1.4 Utilizando el teorema de Thevenin, calcular la corriente por la car ga en el circuito de la Figura 1.9a para los siguientes valores de RL: 2 k, 6 k y 18 k? Si desea apreciar realmente la potencia del teorema de Thevenin, intente calcular las corrientes anteriores utilizando el circuito original de la Figura 1.9a y cualquier otro método. Ejemplo 1.5 Una placa grapinada es normalmente un circuito construido con conexiones sin soldadura en la que se da poca im- portancia a la ubicación final de los componentes, y cuya finalidad es probar la viabilidad de un diseño. Suponga- mos que tenemos el circuito de la Figura 1.1 1a montado en una placa de este tipo en un banco de laboratorio. ¿Cómo mediría la tensión y la resistencia de Thevenin? SOLUCIÓN Como se muestra en la Figura 1.1 1b, comenzamos reemplazando la resistencia de car ga por un multímetro. Después de configurar el multímetro para obtener una lectura en voltios, éste proporciona una lectura de 9 V. Ésta es la tensión de Thevenin. A continuación, sustituimos la fuente de continua por un cortocircuito (Fi- gura 1.11c). Configuramos el multímetro para medir ohmios y obtenemos una lectura de 1,5 k . Ésta es la resis- tencia de Thevenin. ¿Existe alguna fuente de error en el método de medida anterior? Sí, cuando se mide la tensión, hay que vigi- lar el valor de la impedancia de entrada del multímetro. Dado que esta impedancia de entrada se encuentra entre los terminales de medida, circula una pequeña corriente a su través. Por ejemplo, si utilizamos un multímetro de bobina móvil, la sensibilidad típica es de 20 k por voltio. En el rango de 10 V, el voltímetro presenta una resis- tencia de entrada de 200 k, que cargará al circuito ligeramente y hará que la tensión en la carga disminuya de 9 a 8,93 V. Como regla general, la impedancia de entrada del voltímetro debe ser al menos 100 veces más grande que la resistencia de Thevenin, para que el error de car ga sea menor del 1 por ciento. Para evitar el error de carga, utilice una entrada FET (Field-Effect Transistor, transistor de efecto de campo) o un multímetro digital (DMM, Digital Multimeter) en lugar de un multímetro de bobina móvil. La impedancia de entrada de estos instrumentos es al menos 10 M, lo que normalmente elimina el error de carga. Figura 1.11 (a) Circuito en un banco de laboratorio. (b) Medida de la tensión de Thevenin. (c) Medida de la resistencia de Thevenin. g Circuito original Circuito equivalente de Thevenin (a) Medida de la tensión de Thevenin (b) CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 15 Introducción 15 Figura 1.11 (continuación) Medida de la resistencia de Thevenin (c) 1.6 Teorema de Norton Recordemos algunas de las ideas sobre el teorema de Norton adquiridas en cursos anteriores. En la Figura 1.12 a, la corriente de Norton IN se define como la corriente por la car ga cuando la resistencia de car ga está cortocircui- tada. Por esta razón, en ocasiones, la corriente de Norton se denomina corriente de cortocircuito. Luego esta defi- nición se expresa como, Corriente de Norton: IN ⴝ ISC (SC
short-circuit, cortocircuito (1.8) La resistencia de Norton es la resistencia que mide un óhmetro en los terminales de car ga cuando se anulan todas las fuentes y la resistencia de carga está en circuito abierto. Esta definición se expresa como sigue: Resistencia de Norton: RN ⴝ ROC (1.9) Dado que la resistencia de Thevenin es igual a ROC, podemos escribir: RN ⴝ RTH (1.10) CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 16 16 Capítulo 1 Esta derivación dice que la resistencia de Norton es igual a la resistencia de Thevenin. Si se obtiene una resisten- cia de Thevenin de 10 k , sabemos de forma inmediata que la resistencia de Norton también es igual a 10 k . Idea básica ¿Qué dice el teorema de Norton? Fíjese en la Figura 1.12a. La caja negra puede contener cualquier circuito formado por fuentes de continua y resistencias lineales. Norton demostró que el circuito contenido en la caja negra de la Figura 1.12a producirá exactamente la misma tensión en la carga que el sen- cillo circuito de la Figura 1.12 b. Como derivación, el teorema de Norton se expresa del siguiente modo: INFORMACIÓN ÚTIL VL ⴝ IN (RN 储 RL ) (1.11) Al igual que el teorema de Thevenin, el Dicho con palabras: la tensión en la car ga es igual a la corriente de Norton teorema de Norton se puede aplicar a multiplicada por la resistencia de Norton en paralelo con la resistencia de circuitos de alterna que contengan carga. bobinas, condensadores y resistencias. Anteriormente hemos visto que la resistencia de Norton es igual a la resistencia de Thevenin. Sin embargo, es importante destacar la diferencia En circuitos de alterna, la corriente de en la localización de ambas resistencias: la resistencia de Thevenin siempre Norton IN se establece normalmente está en serie con una fuente de tensión y la resistencia de Norton siempre como un número complejo en forma está en paralelo con una fuente de corriente. polar, mientras que la impedancia de Nota: si está usando un flujo de electrones, debe tener en cuenta lo siguiente: en la industria, la flecha que se dibuja dentro de la fuente de co- Norton ZN se expresa como un número rriente casi siempre se corresponde con la dirección de la corriente conven- complejo en coordenadas rectangulares. cional. La excepción es una fuente de corriente dibujada con una flecha en trazo discontinuo en lugar de con trazo sólido. En este caso, la fuente bom- bea electrones en la dirección señalada por la flecha de trazo discontinuo. La derivación El teorema de Norton se puede deducir a partir del principio de dualidad, que establece que para cualquier teorema de circuitos eléctricos existe un teorema dual (opuesto) en el que se reemplazan las magnitudes originales por las magnitudes duales. A continuación proporcionamos una breve lista de las magnitudes duales: Tensión Corriente Fuente de tensión Fuente de corriente Serie Paralelo Resistencia serie Resistencia paralelo La Figura 1.13 resume el principio de dualidad tal y como se aplica a los circuitos de Thevenin y de Norton. Esto quiere decir que podemos emplear cualquiera de estos circuitos en nuestros cálculos. Como veremos más adelante, ambos circuitos equivalentes son útiles. En ocasiones, es más sencillo utilizarThevenin y, en otros casos, lo es em- plear Norton. Depende del problema concreto. La Tabla-resumen 1.1 muestra los pasos para obtener las magnitu- des de Thevenin y de Norton. Relaciones entre los circuitos de Thevenin y de Norton Ya sabemos que el valor de las resistencias deThevenin y de Norton es el mismo, pero su localización es diferente: la resistencia de Thevenin se coloca en serie con las fuentes de tensión y la resistencia de Norton se coloca en paralelo con las fuentes de corriente. Figura 1.12 (a) La caja negra contiene un circuito lineal. (b) Circuito de Norton. A A CUALQUIER CIRCUITO CON FUENTES DE CONTINUA Y RL IN RN RL RESISTENCIAS B B LINEALES (a) (b) CAP01_MALVINO.qxd 20/12/2006 11:37 PÆgina 17 Introducción 17 Figura 1.13 Principio de dualidad: el teorema de Thevenin implica el teorema de Norton, y viceversa. (a) Conversión Thevenin-Norton. (b) Conversión Norton-Thevenin. RTH A A VTH VTH IN RN IN
RTH RN
RTH B B (a) A RTH A VTH
INRN IN RN VTH RTH
RN B B (b) Tabla-Resumen 1.1 Valores de Thevenin y Norton Proceso Thevenin Norton Paso 1 Abrir la resistencia de carga Cortocircuitar la resistencia de carga. Paso 2 Calcular o medir la tensión en circuito abierto. Calcular o medir la corriente de cortocircuito. Ésta Ésta es la tensión de Thevenin. es la corriente de Norton. Paso 3 Cortocircuitar las fuentes de tensión y abrir las Cortocircuitar las fuentes de tensión, abrir las fuentes de corriente. fuentes de corriente y abrir la resistencia de carga. Paso 4 Calcular o medir la resistencia en circuito Calcular o medir la resistencia en circuito abierto. abierto. Ésta es la resistencia de Thevenin. Ésta es la resistencia de Norton. Podemos deducir dos relaciones más del siguiente modo: podemos convertir cualquier circuito deThevenin en un circuito de Norton, como se muestra en la Figura 1.13a. La demostración es directa: se cortocircuitan los terminales AB del circuito de Thevenin y se obtiene la corriente de Norton: VTH IN ⴝ  (1.12) RTH Esta fórmula dice que la corriente de Norton es igual a la tensión deThevenin dividida entre la resistencia de The- venin. De forma similar, podemos convertir cualquier circuito de Norton en un circuito de Thevenin, como se mues- tra en la Figura 1.13b. La tensión en circuito abierto es: VTH ⴝ INRN (1.13) Esta expresión nos dice que la tensión de Thevenin es igual a la corriente de Norton por la resistencia de Norton. La Figura 1.13 resume las ecuaciones que permiten convertir un tipo de circuito en el otro. 1.7 Detección de averías Detectar averías quiere decir averiguar por qué un circuito no hace lo que se supone que tiene que hacer.Las ave- rías más comunes son los circuitos abiertos y los cortocircuitos. Los dispositivos como los transistores pueden quedar en cortocircuito o en circuito abierto de muchas maneras. Una forma de destruir cualquier transistor es ex- cediendo su valor límite de la potencia máxima.