Área y volumen de sólidos geométricos PDF

Área y volumen de sólidos geométricos La observación cuidadosa del entorno permite identificar figuras con diseños interesantes. Por ejemplo, un bote de basura y una de las grandes pirámi...

Área y volumen de sólidos geométricos La observación cuidadosa del entorno permite identificar figuras con diseños interesantes. Por ejemplo, un bote de basura y una de las grandes pirámides, aunque se ven muy diferentes a simple vista, tienen mucho en común. En primer lugar, son sólidos geométricos. Este tipo de sólidos ocupan un lugar en el espacio delimitado por caras, que a su vez son superficies planas o curvas. Aunque la cantidad de sólidos geométricos existentes es inmensa, al igual que su variedad de tamaños y formas, en algunos resulta complicado identificar sus caras. No obstante, la mayoría de ellos se puede estudiar a partir de un conjunto básico de sólidos. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 14 11/04/24 9:05 p.m.  15 Comprensión del área de los sólidos geométricos En diversos procesos de fabricación, como la producción de cajas y balones, así como en la elaboración de envolturas, resulta imprescindible adquirir un co- nocimiento sólido sobre el área superficial de cada objeto. La siguiente imagen muestra un cuerpo geométrico con caras pentagonales y hexagonales que, en conjunto, representan una pelota de futbol. El área de este sólido se obtiene mediante la suma de las áreas individuales de sus caras o piezas componentes. Poliedro Un poliedro es un sólido geométrico cuyas caras son polígonos. Las aristas se definen como las lí- neas de intersección entre dos caras, mientras que los vértices son los puntos en los cuales se cruzan tres o más aristas. En la ilustración proporcionada, se presentan tres ejemplos de poliedros, señalando cada una de sus partes componentes. Para hacer el cálculo del área superficial de un poliedro, hay que sumar las áreas de todas sus caras individuales. Se toma el área de cada polígono que conforma las caras y luego se suman estos valores para obtener el área total. Vértice Vértice Base Vértice Arista Cara lateral Arista Base Arista Base Cara lateral Un prisma se define como un poliedro con dos caras congruentes y paralelas lla- madas bases. Las caras laterales, llamadas paralelogramos, se generan al conectar los vértices de una base con los de la otra. La altura de un prisma se refiere a la distancia perpendicular entre sus bases. Estos sólidos se clasifican en función del polígono que forma sus bases. El conocimiento profundo de las propiedades y características de los prismas es esencial para abordar diversas situaciones proble- máticas de manera efectiva. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 15 11/04/24 9:05 p.m.  16 Ejemplo Calcular la cantidad necesaria de papel para envolver la siguiente caja: 2 cm 7 cm 5 cm La cantidad de papel necesaria es igual al área de la caja. El objeto tiene forma de prisma con bases rectangulares, y las caras laterales también tienen forma rectangular. El área de las seis caras se indica en la siguien- te tabla: Caras congruentes Medidas (cm) Área de cada cara (cm2) Caras derecha e izquierda 5y2 5 × 2 5 10 Cara frontal y cara posterior 2y7 2 × 7 5 14 Cara superior y cara inferior 7y5 7 × 5 5 35 El área de la caja es la suma del doble de cada área obtenida: (2 3 10) 1 (2 3 14) 1 (2 3 35) 5 118 Se necesitan 118 cm2 de papel para envolver la caja. Cilindro Además de los poliedros, hay formas que poseen caras curvas. Un ejemplo es el cilindro recto, un sólido con bases circulares congruen- tes y paralelas. La altura de éste es la distancia perpendicular entre sus bases; el radio de la cara superior es el mismo que el de la base. Base Radio r Altura a Base 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 16 11/04/24 9:05 p.m.  17 El área lateral de un cilindro es el área de su su- Área lateral: AL 5 2πr 3 a perficie curva. Si dicha superficie se desenrolla, se obtiene un rectángulo cuyo ancho mide la altura Área bases: AB 5 2πr2 del cilindro y su largo, el perímetro del círculo de la base del cilindro. Área del cilindro: AL 5 AL 1 AB Ejemplo AL 5 2πra 1 2πr2 Se tiene una lata en forma de cilindro con radio de 3 cm y altura de 7 cm, a la cual se le colocará una etiqueta lateral para cubrir toda la lata. Solución La medida de la etiqueta es la del área lateral de la lata: r 5 3 cm a 5 7 cm AL 5 2πra AL 5 2π(3 cm)(7 cm) AL 5 2π(21 cm2) AL ≈ 131.95 cm2 Por tanto, se requiere una etiqueta de 132 cm2, aproximadamente, para cubrir la lata. El estudio de un sólido geométrico pasa por identificar sus caras, sean planas o curvas. Una propiedad de interés en los sólidos es el área superficial, es decir, la suma de las áreas de todas las caras. Por otra parte, los poliedros son sólidos geométricos con caras poli- gonales. El prisma es un tipo de poliedro característico; consta de dos caras en forma de polígonos congruentes y de rectángulos congruentes como caras laterales. Los cilindros no son poliedros porque tienen una cara curva, pero el área de esa cara se determina como la de un rectángulo. Comprensión del volumen de los sólidos geométricos cm3 cm3 600 600 Imagina que un recipiente contiene un nivel determinado de agua. Si se 400 400 introduce un objeto, el nivel del agua aumenta dentro del recipiente. Esto 200 200 sucede porque el objeto posee un volumen y al sumergirlo en el agua des- plaza un espacio que antes estaba ocupado por el líquido. Este fenómeno se basa en el conocido principio de Arquímedes, que resulta muy útil para determinar el volumen de diversos sólidos geométricos. El recipiente de la imagen registra un aumento de 200 centímetros cúbicos (cm3). Esta cantidad indica el volumen del objeto que se sumergió en el recipiente. El volumen de un sólido se define como la cantidad de unidades cúbicas que caben en su interior. Entre las unidades más utilizadas para medir el volu- men están el metro cúbico (m3) y el centímetro cúbico (cm3). 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 17 11/04/24 9:05 p.m.  18 Cubo El volumen de un cubo, una forma geométrica tridimensional con lados de igual longitud, se define como el producto triple de la longitud de su arista. Esta definición brinda una fórmula sencilla para calcular el volumen de un cubo: V 5 a3, donde V representa el volumen y a es la longitud de la arista. Cuando un cuerpo geométrico está compuesto por diferentes sólidos, su volumen es la suma de los volúmenes de los sólidos que lo componen. Ejemplo 1 Se desea obtener el volumen de la figura, donde cada cubo que la compone tiene una arista de 2.5 cm de longitud. 2.5 cm Solución Primero se calcula la cantidad total de cubos que componen el pris- 2.5 cm 2.5 cm ma. Para esto se identifica cuántos cubos hay en cada dimensión: 3 en el largo, 6 en el ancho y 5 en el alto. Enseguida, se multiplican los tres resultados: 3 3 6 3 5 5 90 La figura está compuesta por 90 cubos. Por último, se calcula el volumen de cada cubo, VC. VC 5 l 3 l 3 l 5 l 3 5 (2.5 cm)3 5 15.625 cm 3 El volumen V de la figura se obtiene multiplicando la cantidad de cubos por el volumen de cada uno. V 5 15.625 cm3 3 90 5 1 406.25 cm3 En conclusión, la figura tiene un volumen de 1 406.25 cm3. Ejemplo 2 Una casa de campo se compone de una planta principal y la azotea. Se necesita saber el volumen total de la casa. Los volúmenes de la planta principal y de la azotea son datos conocidos, como lo muestra la figura. V1 5 81 m 3 Para obtener el volumen de la casa se aplica la composición de volúmenes de las partes que la integran. V2 5 226.8 m 3 Vcasa 5 V1 1 V2 5 81 m 3 1 226.8 m 3 5 307.8 m 3 La casa tiene un volumen de 307.8 m 3. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 18 11/04/24 9:05 p.m.  19 Principio de Cavalieri El principio de Cavalieri es un recurso para determinar si dos sólidos poseen el mismo volumen. Para comprender en qué consiste este principio, se realiza un sencillo experimento con una pila de papel que permita calcular el volu- men de manera directa. Si se desplazan los papeles de la pila, dan lugar a una figura inclinada tal como se ilustra en la imagen. A pesar de este cambio en la disposición, el volumen de la figura no se altera, ya que está compuesta por los mismos elementos. Si se trazan planos paralelos a la base, su intersección con ambas pi- las resulta cada vez en una sección transversal del mismo tamaño. Esta propiedad, en la cual el volumen no cambia, se conoce como principio de Cavalieri, el cual es aplicable a sólidos que tienen la misma altura y la misma sección transversal en cada nivel. Altura Sección transversal El volumen de un sólido geométrico equivale al espacio que ocupa en el espacio tri- dimensional. Para medir el volumen, se emplea como referencia la unidad de medida basada en un cubo cuya arista es 1 cm. Esta unidad de volumen es el centímetro cúbico (cm3). En el caso de los prismas, es posible contar directamente los cubos que lo com- ponen, siempre y cuando sean unidades cúbicas completas. Para obtener el volumen de otras figuras existen estrategias adicionales; una de ellas consiste en descomponer la figura en partes más sencillas. El principio de Cavalieri permite determinar si dos sólidos tienen el mismo volumen, aunque tengan forma diferente. Los sólidos geométricos cuentan con dos propiedades de interés por su utilidad en dife- rentes aplicaciones: área y volumen. El área se determina a partir de las caras que delimitan el sólido, las cuales pueden ser planas o curvas. Por último, el volumen de los sólidos se determina a partir de la cantidad de unidades cúbicas que lo componen. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 19 11/04/24 9:05 p.m.  Desarrollos planos de figuras tridimensionales, cilindros, pirámides y conos Una de las técnicas utilizadas para ejemplo de desarrollos planos de cuerpos geométricos son las cajas de cartón. Aunque una caja de cartón está formada por seis caras, no se elabora cada una por separado. En vez de esto, se construye una plantilla con todas las caras juntas. Así, se facilita su proceso de armado y se reduce el consumo de recursos. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 30 11/04/24 9:05 p.m.  31 Construcción de desarrollos planos de poliedros y prismas La plantilla con la que se fabrican objetos como las cajas se conoce como desa- rrollo plano y es una representación de los sólidos geométricos. En el caso de un poliedro, su desarrollo plano siempre estará formado por polígonos. Cubo El cubo es un poliedro formado por seis cuadrados congruentes. En la siguiente imagen, se puede ver cómo obtener el desarrollo plano de un cubo y viceversa. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 31 11/04/24 9:05 p.m.  32 Octaedro Los sólidos platónicos son poliedros que se caracterizan porque todas sus caras son polígonos congruentes, como el cubo. El octaedro es otro de los cinco sólidos platónicos conocidos. En la imagen se muestra un octaedro y su desarrollo plano. Octaedro Desarrollo plano del octaedro Es importante notar cuando un sólido geométrico puede tener más de un desarrollo plano. En la siguiente imagen se muestran otros desarrollos planos del octaedro: En cada desarrollo plano del octaedro se pueden identificar sus ocho caras, que son triángulos equi- láteros congruentes. En este caso, la imagen muestra un arreglo de ocho triángulos equiláteros congruen- tes. Sin embargo, en el vértice resaltado se encuentran 5 aristas, haciendo imposi- ble obtener un octaedro. En conclusión, este arreglo no es un desarrollo plano del octaedro. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 32 11/04/24 9:05 p.m.  33 Prisma En el caso de los prismas, sus desarrollos planos se componen de dos polígonos congruentes, denominados bases, y de sus caras laterales, las cuales son rectán- gulos. Éstos son congruentes si las bases son polígonos regulares. Ejemplo 1 Trazar el desarrollo plano del prisma de la imagen, el cual tiene como base un triángulo equilátero. 30 cm 80 cm En primer lugar, se identifica la forma de las caras del prisma. En este caso, las bases son dos triángulos equiláteros con medidas de 30 cm por lado. Las caras laterales son tres rectángulos, donde un lado mide 30 cm y el otro mide 80 cm. Una vez identificados los polígonos que forman el prisma, se ubican en el plano para hacerlos coincidir con las uniones de las aristas. 80 cm 30 cm 30 cm 30 cm 30 cm 30 cm 30 cm Se puede verificar el cumplimiento de dos requisitos: las bases no comparten ninguna arista, y los rectángulos de las caras late- rales comparten su lado mayor. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 33 11/04/24 9:05 p.m.  34 Ejemplo 2 La siguiente imagen se compone de seis caras identificadas como rec- tángulos del mismo tamaño y dos más identificadas como hexágonos regulares los cuales, además, son congruentes entre sí. Por lo tanto, el poliedro es un prisma de base hexagonal. Ejemplo 3 Obtener el desarrollo plano del siguiente prisma que tiene trián- gulos rectángulos como bases. 40 cm 40 cm 30 cm 30 cm 50 cm 30 cm 50 cm 40 cm cm 75 75 cm Las caras del poliedro son dos triángulos rectángulos de 40 cm de base, 30 cm de altura y 50 cm de hipotenusa; un rectángulo cuyos lados miden 30 cm y 75 cm; otro rectángulo de medidas 50 cm y 75 cm; adicionalmente, hay un rectángulo con medidas de 40 cm y 75 cm. Un sólido geométrico se puede construir a partir de su desarrollo plano, el cual es una representación de sus caras, por lo que gracias a dicho desarrollo se puede obtener el área del sólido. Este cuerpo geométrico puede tener diferentes desarrollos planos, pero se debe verificar la unión entre sus vértices y sus aristas para que, efectivamente, se logre su construcción. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 34 11/04/24 9:05 p.m.  35 Construcción de desarrollos planos de cilindros, pirámides y conos Muchos recipientes se fabrican con forma cilíndrica, son resistentes y fáciles de hacer. Una lata para almacenar algún producto consta de un rectángulo y dos círculos; esas tres piezas conforman su desarrollo plano. Cilindro El desarrollo plano del cilindro se construye mediante círculos con- gruentes para sus bases y un rectángulo, el cual conforma la cara lateral curva. En el siguiente desarrollo se muestra cómo se obtienen estas figuras: Ejemplo Construir el desarrollo plano de un cilindro con una base de 5 m de ra- dio y altura de 4.5 cm. El desarrollo se compone de dos círculos cuyos radios miden 5 cm y un rectángulo. Una de las medidas del rectángulo coincide con la altura del cilindro, mientras que la otra, con el períme- tro de cada círculo. Se considera π 5 3.14 y alguna de las siguientes fórmulas, ya sea que se conozca el radio r o el diámetro D de la base. Lado 5 2πr Lado 5 πD Lado 5 2π(5 cm) 5 10π cm ≈ 31.4 cm 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 35 11/04/24 9:05 p.m.  36 Con esta información, se construye el desarrollo plano. En la siguiente imagen a escala se muestran las medidas para su construcción. 31.4 cm 4.5 cm 5 cm Vértice Pirámide Una pirámide es un poliedro compuesto por una base en forma de polígono, y por caras laterales cuyas formas son Cara lateral Altura triángulos. Estos últimos se unen en el vértice de la pirámi- de, del cual parte la altura, que es la distancia perpendicular que hay entre éste y la base. Una pirámide regular tiene como base un polígono re- gular; además, el segmento que une el vértice y el centro del polígono es perpendicular a la base. En la imagen de la izquierda se indican las partes principales de una pirámide Base regular, y en las de abajo, su desarrollo plano. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 36 11/04/24 9:05 p.m.  37 Ejemplo 1 La pirámide del Sol, ubicada en Teotihuacán, tiene una altura aproximada de 65 m, su base tiene la forma apro- ximada de un cuadrado, cuyo perímetro es de 794 m. Con esos datos se puede obtener el desarrollo plano, si se considera como una pirámide cuadrada regular. En las siguientes imágenes se muestra una fotografía de la pirámide del Sol y un modelo simplificado de la misma. 65 m Altura lateral Para obtener el desarrollo plano, en primer lugar se identifican las medidas de la base. Como la base es un cuadrado y se conoce su pe- rímetro p, la medida de sus lados b es: p b5 5 794 m 5 198.5 m 4 4 Después, se hallan las dimensiones de las caras laterales. Para esto se calcula la altura lateral aL, que corresponde a cada cara triangular. Se puede relacionar esta medida con la altura a de la pirámide y la mitad de la base b. 2 En una pirámide de base cuadrada, la altura lateral se aL puede determinar con la siguiente expresión: a a L5 √a1 2 b2 4 b 2 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 37 11/04/24 9:05 p.m.  38 Se reemplazan los valores y se obtiene: aL 5√(65 m2) 1 (198.5 m) 5 √14 075.5625 m2 ≈ 118.64 m 2 4 198.5 m Como se conoce la altura de los triángulos, que son isósceles, el desarrollo plano de la pirámide es el siguiente: 118.64 m Ejemplo 2 Identificar el cuerpo sólido que se obtiene con el siguiente desarrollo plano: m 25.5 cm.1 c 52 En el desarrollo se identifica un hexágono regular y seis triángulos isósceles congruentes. Estos elementos corresponden a una pirámide regular. De ésta se conoce el lado de la base y la distancia del vértice de la pirámide a cualquier vértice de dicha base. 52. 1 cm m 25.5 c 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 38 11/04/24 9:05 p.m.  39 Cono Un cono es un sólido geométrico delimitado por una cara curva y una cara plana; se define a partir de su base circular y un punto exterior al plano del círculo, el cual se denomina vértice. La cara lateral curva del cono corresponde a la unión de todos los segmentos que conectan el vértice con cada punto del períme- tro de la base. La medida de uno de estos segmentos es la altura lateral del cono. El desarrollo plano de un cono está compuesto del círculo de la base y de un sector circular de radio igual a la altura lateral. El área del sector circular de la cara lateral se calcula con el radio de la base r y la altura lateral aL: AL 5 πraL Vértice r Altura Altura lateral Altura lateral 2πr Cara lateral r Base 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 39 11/04/24 9:05 p.m.  40 Ejemplo Se tiene una escultura en forma de cono, como la que se muestra en la imagen. 6m 8m La escultura se construyó a partir de una lámina de metal. Identificar el desarrollo plano que se hizo sobre ésta. En primer lugar, se identifica la base del cono, la cual es un círculo de 6 m de radio. Para obtener la cara curva del cono, se tiene en cuenta que es una sección de círculo y que su radio es la distancia del vértice al círculo, es decir, su altura lateral. Se utiliza un triángulo rectángulo para obtener la medida deseada: 6m 8m 10 m La longitud del lado curvo del sector circular coincide con el perímetro de la base: LC 5 2π(6) ≈ 37.7 m 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 40 11/04/24 9:05 p.m.  41 De esta forma, el desarrollo plano del cono de la escultura es: 10 m 6m 37.7 m Las pirámides son poliedros cuyo desarrollo plano se compone del polígono de su base y de los triángulos de sus caras laterales. Si la pirá- mide es regular, estos triángulos son isósceles. Se pueden obtener desarrollos planos de sólidos geométricos que tengan caras curvas como el cilindro o el cono. El desarrollo del cilin- dro se compone de los círculos de sus bases y el rectángulo de la cara lateral. En el caso del cono, su desarrollo plano se compone del círculo de su base y de un sector circular. Muchos de los sólidos geométricos presentes en el entorno se integran a partir de una representación como el desarrollo plano. Esta representación consta de las caras que delimitan el sólido geométrico. Recurrir a la construcción del desarrollo plano de éste permite obtener más fácilmente algunas de sus propiedades, por ejemplo, su área o su altura. Esta información es de gran interés en distintos procesos de manufactura. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 41 11/04/24 9:05 p.m.  Representaciones algebraicas de áreas y volúmenes en cuerpos geométricos El área y el volumen de cuerpos geométricos se pueden calcular por medio de ecuaciones o fórmulas que constituyen sus representaciones algebraicas. Es necesario identificar cada uno de los términos que representan las variables y las constantes de esas fórmulas para calcular correctamente los valores que se requieran. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 96 11/04/24 9:05 p.m.  97 Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Un cuerpo geométrico es un objeto que ocupa un espacio y tiene tres dimensiones: largo o profundidad, anchura y altura. Sus caras son figuras geométricas. Es posible utilizar expresiones algebraicas para representar las áreas de las caras y el volumen de un cuerpo geométrico. La siguiente figura corresponde a un cubo. Se trata de un cuerpo geomé- trico con seis caras cuadradas, todas ellas con las mismas dimensiones. La medida de cualquier lado de un cuadrado o arista del cubo se puede representar con cualquier letra; en este caso, se ha elegido la letra l. Arista del cubo (l) Altura Largo o profundidad Ancho Cada cara del cubo es un cuadrado. El área de esa figura se calcula al elevar al cuadrado la longitud de cualquier lado Una cara o arista (l 2): del cubo Área de cada cara 5 l 3 l 5 l 2 Como tiene seis caras iguales, entonces el área de la superficie del cubo se obtiene así: Área del cubo 5 6l 2 Las seis caras del cubo son cuadradas, por ello, su volumen resulta de multiplicar tres veces la longi- tud de las aristas, es decir, se eleva al cubo: Volumen del cubo 5 l 3 l 3 l 5 l 3 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 97 11/04/24 9:05 p.m.  98 Los prismas son cuerpos geométricos que se caracterizan por tener dos caras para- lelas e iguales llamadas bases, y porque sus caras laterales son rectangulares. El cubo es el único prisma donde las bases cuadradas son iguales a los rectángulos laterales. El nombre de un prisma depende de la forma de su base. Por ejemplo, un prisma cuya base es un rectángulo se llama prisma rectangular, un prisma de base pentago- nal se llama prisma pentagonal y lo mismo sucede con las diferentes formas. El área total (AT) de la superficie de un prisma se obtiene con la suma del área de las bases (AB) y el área lateral (AL). El área lateral (AL) es la suma de las áreas de todas las caras laterales (AC ) del prisma. En la siguiente imagen, se muestra un prisma l triangular: Altura de la base triangular h AB AB = bh 2 b Base de la base triangular Altura de la cara lateral del prisma (h) Altura del prisma (h) ACLi = bih Base de la cara rectagular (bi ) El prisma anterior es de base triangular, por lo tanto, tiene tres caras la- terales rectangulares. El área lateral de este prisma es la suma de las áreas de estas tres caras laterales rectangulares: AL 5 ACL1 1 ACL2 1 ACL3 El área total, se obtiene: AT 5 AB 1 AB 1 AL Como las bases del prisma son iguales, entonces: AT  5 2AB  1 AL Cuando las bases del prisma son polígonos regulares, es decir, tienen sus lados de igual longitud, es posible simplificar la fórmula para calcular el área lateral (AL). De lo contrario, para obtener AL, pri- mero se debe calcular el área de cada una de las caras laterales, luego se suman, como se muestra en la siguiente imagen, donde se ve un prisma pentagonal de base regular y uno de base irregular. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 98 11/04/24 9:05 p.m.  99 Base superior (polígono irregular) 5 lados diferentes ales do s igu Cara lateral 4 5 la (CL4) Base superior Cara (polígono lateral 3 regular) (CL3) Para obtener el volumen de un Cara lateral 2 (CL2) Cara lateral 5 (CL5) Cara lateral CL prisma (V ) se multiplica el área de la base (AB) por la altura del prisma (h): V 5 AB h Cara Base inferior lateral 1 Base inferior (polígono (CL1) (polígono irregular) regular) AL 5 5ACL AL 5 ACL1 1 ACL2 1 ACL3 1 ACL4 1 ACL5 AB 5 b2 ACL 5 bh AL 5 4bh A continuación, Prisma se presentan las cuadrangular AT 5 2AB 1 AL fórmulas para 2 calcular el área de AT 5 2b 1 4bh la superficie de un prisma cuadrangular y su volumen. h V 5 A Bh 2 V5bh b Base cuadrada Otros cuerpos geométricos Existen varios cuerpos geométricos diferentes a los prismas, cada uno con sus propias características y propiedades. Entre ellos se cuentan las pirámides, los cilindros y los conos. Las pirámides son cuerpos geométricos con una base plana y una serie de caras triangulares que convergen en un punto llamado vértice o cúspide. Hay varios tipos de pirámides, como la pirámide triangular, la pirámide cuadrangular y la pirámide hexagonal, las cuales se nombran de acuerdo con la forma de su base. A continuación, se muestra una pirámide cuadrangular y la forma como se calculan su área y volumen: 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 99 11/04/24 9:05 p.m.  100 Vértice o cúspide ide ra l l at e i rá m Altura de la pirámide (h) la p a Cara lateral car altura de la pirámide de e la st a ad e (a ) Ari p ra r altu C a e ra l t pirámid la e a de la as b ob ( b) al 2 ma a e r Apotem m a s at e o t e te s e l a b a ra l ap Apo a ba e c l a d la de r i st d e A Base Como las caras laterales son triángulos, se aplica la fórmula: ba ACL5 p 2 Donde ap es la altura de la cara lateral o apotema de la pirámide. Ya que, en este caso, la base es un cuadrado, se usa la fórmula: AB 5 b2 AL es la suma de las áreas de las caras laterales triangulares: AT 5 AB 1 AL El volumen de una pirámide (V ) se obtiene al multiplicar el área de su base (AB) por la altura de la pirámide (h) y dividir el producto entre tres: AB h V5 3 El cilindro es un cuerpo geométrico que se compone de dos bases circulares igua- les y paralelas y una superficie curva lateral que se extiende entre ellas. La altura del cilindro es la distancia entre las dos bases, el radio es la distancia desde el cen- tro de la base a cualquier punto de la circunferencia. La superficie lateral de un cilindro puede desplegarse para formar un rectángulo cuya base es la circunferencia de la base del cilindro, y la altura es la misma del cilindro. Por lo tanto: AL 5 circunferencia de la base 3 altura del cilindro AL 5 2πrh Así, el área total es igual a la suma de las dos áreas de las bases y el área lateral: AT 5 2πr2 1 2πrh 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 100 11/04/24 9:05 p.m.  101 Base El volumen del cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro (h): V 5 A Bh Altura del cilindro (h) El cono es un cuerpo geométrico que se forma a partir de una base circular y una superficie lateral curva, la cual se reduce de manera constante, hasta llegar a un vértice. Radio (r) La generatriz (g) es una línea recta que une el vértice de un Base cono con un punto en la circunferencia de su base; su longitud AB 5 πr2 depende del radio y la altura del cono y se calcula con la fórmula: g 5 r 2 1 h2 Vértice El área lateral del cono se calcula como la mitad del producto de la circunferencia de la base por la generatriz, es decir: 2 πrg AL 5 Gen Altura del cono (h) 2 e ra t Por lo tanto: AL 5 πrg riz ( g) AT 5 AB 1 AL Radio (r) Base AT 5 πr2 1 πrg AB 5 πr2 El volumen del cono (V) resulta de multiplicar el área de su base (AB) por la altura del cono (h), luego se divide el producto entre tres: Ah V 5 B3 La representación algebraica de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos por me- dio de fórmulas permite realizar cálculos precisos y rápidos, sin necesidad de medir físicamente las dimensiones de cada figura. Esto es especialmente útil, por ejemplo, en el diseño de estructuras, planificación de proyectos de ingeniería y construcciones diversas. Las fórmulas permiten conocer la relación entre las dimensiones de un objeto para obtener una medida de interés. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 101 11/04/24 9:05 p.m.  102 Cálculo del valor de una variable en función de otras El cálculo del valor de una variable en función de otras para determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos es una técnica matemática fundamental para resolver problemas prácticos en diversas áreas, como la ingeniería, la ar- quitectura, la física y la química. Mediante la aplicación de fórmulas matemáti- cas es posible determinar el valor de una variable en función de otras variables conocidas. Con ello, se abordan problemas complejos y se toman decisiones importantes. Por ejemplo, para calcular el volumen de un cono se puede ob- tener la altura del cono en función del radio de la base; ambos datos bastan para calcular el volumen deseado. Esta herramienta resulta esencial para la comprensión y el manejo de aspectos cuantitativos de la realidad. Es posible calcular las medidas de los cuerpos geométricos a partir del valor de algunos de los elementos que conforman sus dimensiones, los cuales pueden ser incluidos en una fórmula, por ejemplo: Un agricultor necesita construir un estanque para almacenar agua destinada al riego de sus cultivos. El terreno rectangular para la cons- trucción es de 20 m de largo y 15 m de ancho. El objetivo es que el estanque, de forma de prisma rectangular, tenga un volumen total de 900 m3. De esta manera, el agricultor podrá disponer del agua nece- saria para los cultivos y asegurar su producción. ¿De qué profundidad debe ser el estanque para cumplir con lo requerido? La medida que hace falta o incógnita es la profundidad o altura del prisma. Con los datos que se tienen (largo y ancho del terreno) se puede calcular el área de la base (AB): AB 5 largo × ancho AB 5 (20 m)(15 m) AB 5 300 m2 An ch o 15 Largo 20 (m) m Alto o profundidad (h) 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 102 11/04/24 9:05 p.m.  103 Para calcular la profundidad del estanque, se sustituyen los valores conocidos en la fórmula de volumen, luego se despeja y se determina el valor de la altura: V 5 A Bh 900 5 300h 900 5h 300 h53 Por lo tanto, la altura del prisma rectangular o la profundidad del estanque debe ser de 3 m. Otro ejemplo del cálculo de una variable en función de otras es el siguiente: Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cua- drangular con un volumen de 6 cm3. El área de la base es de 9 cm2 y la altura lateral (apotema de la pirámide) es de 2.5 cm. Para iniciar la construcción de la maqueta, se requiere calcular cuánto mide un lado de la base (l ), la altura de la pirámide (h) y, para saber la cantidad de material que se utilizará, es necesario calcular el área total de la pirámide (AT). Si la base es cuadrangular y su área es igual a 9 cm2, entonces l 5 3 cm. Si V 5 6 cm3 y AB 5 9 cm2, entonces: ( ) V 5 A Bh 3 6 5 9h 3 A p o a l t u ra Altura de la pirámide (h) o 6(3) 5 9h t e m l at e r a de al 2 18 5 9h la p.5 cm i rá m 18 5h ide 9 Volumen V = 6 cm3 h52 (l ) Por tanto, la altura de la pirámide se ba debe ser de 2 cm. la de Área de la base 9 cm2 do La 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 103 11/04/24 9:05 p.m.  104 Para calcular el área total de la superficie de la pirámide (AT), se suman las áreas de las cuatro caras triangulares y el área de la base. Antes, se determina el área de cada cara lateral con la siguiente fórmula: lado de la base × altura lateral ACL 5 2 3(2.5) ACL 5 2 7.5 ACL 5 2 ACL 5 3.75 AT 5 AL 1 AB 5 4ACL 1 AB AT 5 4(3.75) 1 9 AT 5 15 1 9 AT 5 24 Por tanto, el área de la superficie de la pirámide es 24 cm2. El cálculo del valor de una variable en función de otras permite interpretar los resultados obtenidos y tomar decisiones informadas. Cuando se define el volumen de una caja en función de sus dimensiones, es posible tomar de- cisiones adecuadas sobre el tamaño y la forma de la caja para optimizar el espacio de almacenamiento. Cada fórmula incluye determinadas variables; es preciso colocar los datos en los lugares correspondientes para que el cálculo sea correcto. Las representaciones algebraicas de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, así como el cálculo del valor de una variable en función de otras, son herramientas fun- damentales en diversas áreas y disciplinas como la ingeniería, la arquitectura, la física y la química. Por ejemplo, en la construcción de edificios y viviendas es necesario realizar cálculos precisos de áreas y volúmenes de los diferentes elementos que componen la estructura como muros, pisos, techos, entre otros. Asimismo, en la fabricación de productos y maquinarias se requiere del uso de fórmulas matemáticas para calcular el volumen y la forma de las piezas necesarias para su elaboración. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 104 11/04/24 9:05 p.m.  Propiedades extensivas e intensivas de la materia La materia está en todo lo que existe: en objetos grandes como un planeta, o pequeños como una moneda. Se encuentra en cosas visibles como los árboles o invisibles como el aire, en materiales sencillos como los que forman un clavo o complejos como los que forman un edificio; incluso en seres vivos como una planta o el ser humano, entre otros ejemplos. Conocer las propiedades y características de la materia permite desarrollar nuevos materiales, alimentos, objetos y aparatos diversos, lo que facilita satisfacer las necesidades humanas en ámbitos como la salud, la alimentación, la tecnología, el transporte y las comunicaciones, entre otros. A continuación, se aborda la clasificación de la materia, sus propiedades y la formas en que éstas se registran. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 263 11/04/24 9:06 p.m.  264 Clasificación de la materia Debido a que la materia se encuentra en diversidad de formas, es indispensable conocer cómo se clasifica. De esta manera, será más sencillo identificar los diferentes tipos de materia y, con ello, reconocer sus propiedades y posibles usos. La materia se define como todo lo que ocupa un lugar en el espacio y tiene masa. A su vez, la masa es una magnitud que expresa la cantidad de materia en un cuerpo. Esto significa que todas las cosas que rodean a los seres humanos son materia: árboles, animales, casas, automóviles y aire, por ejemplo. Las sustancias que forman la materia se clasifican en elementos y compuestos. Un elemento es una sustancia pura que no puede descomponerse en algo más simple y tiene un solo tipo de átomos, por ejemplo, el sodio, el litio, el cobre, el hierro y la plata. Por su parte, un compuesto es una sustancia formada por dos o más tipos de átomos. Algunos ejemplos de compuestos son el cloruro de sodio, el agua y el azúcar. El cloruro de sodio (NaCl) está formado por átomos de cloro (Cl) y sodio (Na). La molécula de agua (H2O) contiene un átomo de oxígeno (O) y dos de hidrógeno (H), y la de sacarosa (C12H22O11), que es un tipo de azúcar, tiene tres clases de átomos: carbono (C), hidrógeno (H) y oxígeno (O). Cloro Sodio Cloruro de sodio Una mezcla es la combinación de dos o más sustancias, en la cual cada una conserva su com- posición y sus propiedades químicas, por ejemplo: la mezcla de agua con arena, agua con alcohol o arena con limadura de hierro. En todos los casos las sustancias mezcladas conservan sus propiedades químicas a pesar de que estén juntas. Hay dos tipos de mezclas: homogéneas y heterogéneas. En una mezcla homogénea los componentes no se distinguen a simple vista. Algunos ejemplos son el aire, que es una mezcla de gases, principalmente nitrógeno y oxígeno; el agua con sal; y el bronce, que es una mezcla de dos metales: estaño y cobre. En una mezcla heterogénea se pueden distinguir los componentes, por ejemplo, una ensalada. No obstante, hay algunas cuyos componentes no se distinguen a simple vista y se confunden con mezclas homogéneas: la sangre o la leche, por ejemplo. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 264 11/04/24 9:06 p.m.  265 Elementos Hierro, oro, cobre, Sustancias oxígeno, plata o cloro Compuestos Agua, cloruro de sodio Materia (sal), sacarosa (azúcar), Todo lo que tiene hipoclorito de sodio masa y ocupa (desinfectante) espacio. Homogéneas Agua con alcohol, aire, agua con sal, hierro con Mezclas carbono (acero) Heterogéneas Leche, sangre, mayonesa, agua de frutas En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de compuestos: Compuestos Representación Agua Su fórmula es H2O, y está formada por los elementos hidrógeno y oxígeno. Bicarbonato de sodio Su fórmula es NaHCO3, y se utiliza en las industrias farmacéutica, alimentaria y de limpieza. Sacarosa Se compone de los siguientes elementos: carbono, hidrógeno y oxígeno; su fórmula es C12H22O11. 3º_SECU-SPC-P-263-268.indd 265 29/04/24 10:06 a.m.  266 En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de mezclas: Mezclas Representación Leche Es una mezcla heterogénea formada por agua, proteínas y grasas, principalmente. Medalla de bronce Es una mezcla homogénea de dos metales, también llamada aleación, formada por los elementos cobre y estaño. Sangre Mezcla heterogénea que contiene agua, sales, azúcares, proteínas y células. Todo lo que existe está formado por materia, la cual se clasifica, según su composición química, en elementos y compuestos, así como en mezclas homogéneas y heterogéneas. Éstas incluyen, por ejemplo, productos alimenticios, de limpieza o sustancias con las cuales se elaboran todo tipo de artículos. Propiedades extensivas e intensivas Para clasificar la materia es necesario conocer sus propiedades. Estas propie- dades, cuando son medibles, reciben el nombre de magnitudes. En el Sistema Internacional de Unidades (si), las magnitudes fundamentales son indepen- dientes entre sí, es decir, se determinan sin recurrir a otra diferente y no se derivan de ninguna más. Aquellas propiedades que cambian en función de la extensión del objeto (como la masa, la longitud y la cantidad de sustancia, así como todas las magnitudes derivadas de ellas) se denominan extensivas porque dependen de la extensión o cantidad del objeto. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 266 11/04/24 9:06 p.m.  267 Las propiedades de la materia se clasifican en extensivas e intensivas en función de la cantidad de materia presente o de sus características. Las propiedades in- tensivas son aquellas que se refieren a las características físicas o químicas de la materia, como la temperatura de ebullición y de fusión, la solubilidad, la den- sidad, la viscosidad y la dureza. Estas propiedades no cambian a pesar de que se modifique la cantidad de materia. Por ejemplo, el punto de ebullición del agua es de 100 °C a nivel del mar. Si se calientan dos recipientes, uno con 1 l de agua y otro con 10 l, en ambos casos la ebullición ocurrirá a una tempera- tura de 100 °C, sin importar que tengan distintas cantidades de líquido. Otro ejemplo es la densidad de los materiales, como el metal con el que están hechas algunas monedas. Si se compara la densidad de una sola moneda de oro con la de 50 monedas del mismo metal, se obtendrá una densidad igual, es decir, 19.3 g/cm3 en ambos casos. Las propiedades intensivas cambian dependiendo de la sustancia o de la mezcla, como la dureza del acero respecto de la concentración de carbono en la mezcla con hierro. La dureza es una propiedad intensiva porque no depende de cuánto acero se utilice para medirla. Las propiedades extensivas, por su parte, son aquéllas que dependen de la cantidad de materia presente en un cuerpo, como la masa o el volumen. Por ejemplo, si a un vaso con agua se le añade más líquido, aumentan la masa y su volumen, pero si se le quita agua, entonces disminuyen. Las propiedades extensivas también se pueden determinar con magnitudes derivadas como el volumen. El volumen de un objeto, por ejemplo, de un cubo de madera, se determina midiendo su largo, su ancho y su altura, y se multiplican las tres longitudes. Volumen = largo × ancho × altura Entre mayor o menor sea alguna de las longitudes, la extensión del objeto cambiará y, con ello, su volumen. Por eso se clasifica al volumen como una propiedad extensiva. Propiedades intensivas Temperatura de Temperatura Capacidad de la Solubilidad Densidad Viscosidad Dureza ebullición de fusión corriente eléctrica Propiedades extensivas Volumen Masa Longitud Fuerza Área 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 267 11/04/24 9:06 p.m.  268 La densidad es la razón de la masa de un objeto y su volumen. Debido a que tanto la masa como el volumen dependen de la extensión del objeto, su razón será cons- tante, lo que significa que es una propiedad intensiva. Por ejemplo, si se tienen tres recipientes llenos con agua (un vaso, una jarra y un garrafón), la masa de agua que pueden contener, así como el volumen de cada uno, será diferente. Aunque sus masas y volúmenes son distintos, la densidad del agua en los tres recipientes es exactamente la misma cuando se calcula la división de la masa del agua contenida en cada recipiente entre el volumen. El valor siempre será de 1 g/cm3. Las propiedades de la materia se clasifican en extensivas, es decir, que dependen de la cantidad de materia de un cuerpo o su extensión, y en intensivas, aquellas que no cambian si su longitud, cantidad de sustancia o masa cambian. La longitud y la masa son propiedades extensivas y pertenecen a las siete magnitudes fundamentales. La clasificación de las propiedades de la materia permite: W  Identificar sustancias y mezclas mediante sus propiedades intensivas, ya que así basta con una pequeña muestra para determinar sus propiedades como el punto de fusión o la densidad. W  Elegir materiales para usos específicos según su densidad, dureza, flexibilidad, conductividad eléctrica o color. La clasificación de la materia se hace con base en sus características físicas y químicas. Dichas características ayudan a identificar elementos y compuestos al tomar en cuen- ta la naturaleza de sus componentes. Las propiedades cualitativas de la materia son aquellas que no se pueden medir, mientras que las cuantitativas sí. El valor obtenido de la medición ayuda a conocer las propiedades extensivas, ya que éstas dependen de la cantidad de materia y del tamaño del objeto. Las propiedades intensivas no cambian su valor, independientemente de la canti- dad de materia y su extensión. 3º_SECU-SPC-P-001-336.indb 268 11/04/24 9:06 p.m.