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# Algèbre Linéaire et Géométrie Vectorielle ## Chapitre 1 Vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ ### 1.1 Introduction Ce chapitre présente les vecteurs dans l'espace réel à n dimensions, noté $\mathbb{R}^n$. **Définition 1.1.1** Un vecteur dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de n nombres réels, ap...

# Algèbre Linéaire et Géométrie Vectorielle ## Chapitre 1 Vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ ### 1.1 Introduction Ce chapitre présente les vecteurs dans l'espace réel à n dimensions, noté $\mathbb{R}^n$. **Définition 1.1.1** Un vecteur dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de n nombres réels, appelés composantes. On le représente par une colonne : $\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ où $v_1, v_2,..., v_n \in \mathbb{R}$. **Exemple 1.1.2** $\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ est un vecteur dans $\mathbb{R}^3$. ### 1.2 Opérations vectorielles #### 1.2.1 Addition vectorielle **Définition 1.2.1** Soient $\overrightarrow{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ deux vecteurs dans $\mathbb{R}^n$. Leur somme est définie par : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix}$ **Exemple 1.2.2** $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3 \\ 2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ #### 1.2.2 Multiplication scalaire **Définition 1.2.3** Soit $\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ un vecteur dans $\mathbb{R}^n$ et $c \in \mathbb{R}$ un scalaire. La multiplication scalaire est définie par: $c\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \\ \vdots \\ cv_n \end{bmatrix}$ **Exemple 1.2.4** $2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ ### 1.3 Propriétés des opérations vectorielles Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^n$ et scalaires $a, b \in \mathbb{R}$ : 1. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ (Commutativité) 2. $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$ (Associativité) 3. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}$ (Élément neutre) 4. $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}$ (Inverse additif) 5. $a(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = a\overrightarrow{u} + a\overrightarrow{v}$ (Distributivité) 6. $(a + b)\overrightarrow{u} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{u}$ (Distributivité) 7. $a(b\overrightarrow{u}) = (ab)\overrightarrow{u}$ (Associativité) 8. $1\overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}$ (Élément neutre) ### 1.4 Combinaison linéaire **Définition 1.4.1** Une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2},..., \overrightarrow{v_k} \in \mathbb{R}^n$ est un vecteur de la forme: $c_1\overrightarrow{v_1} + c_2\overrightarrow{v_2} +... + c_k\overrightarrow{v_k}$ où $c_1, c_2,..., c_k \in \mathbb{R}$ sont des scalaires. **Exemple 1.4.2** Soient $\overrightarrow{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ et $\overrightarrow{v_2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$. Le vecteur $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ peut être exprimé comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$: $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 2\overrightarrow{v_1} + 3\overrightarrow{v_2} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$