Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé PDF PCSI 2024/2025

Thème Thème : Ondes : Ondes et signaux et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Prérequis : Oscillateurs amortis, ponts diviseurs...

Thème Thème : Ondes : Ondes et signaux et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Prérequis : Oscillateurs amortis, ponts diviseurs de tension, nombres complexes, exponentielle complexe, formules d’Euler. Table des matières 2.1.5 Impédance d’un condensateur. 13 2.2 Lois de l’électrocinétique en notation 1 Étude du régime sinusoïdal forcé : utili- complexe................ 14 sation de la notation complexe 3 2.3 Association d’impédances....... 16 1.1 Un exemple............... 3 2.4 Étude d’un circuit électrique en régime 1.2 Régime transitoire........... 4 sinusoïdal forcé............. 17 1.3 Notation complexe d’un signal sinusoïdal 5 1.3.1 Rappel sur les nombres com- 3 Résonance dans un circuit RLC série 19 plexes.............. 5 3.1 Résonance en intensité......... 19 1.3.2 Notation complexe et signal si- 3.2 Résonance en tension aux bornes du nusoïdal............. 7 condensateur.............. 25 3.3 Aspects pratiques de la résonance... 28 2 Étude des circuits électriques en régime sinusoïdal forcé 10 4 Étude du régime sinusoïdal forcé des 2.1 Impédance complexe.......... 10 systèmes mécaniques 30 2.1.1 Définition............ 10 4.1 Un exemple............... 30 2.1.2 Déphasage............ 10 4.2 Résonance en vitesse.......... 32 2.1.3 Impédance d’un conducteur 4.3 Résonance en élongation du ressort.. 33 ohmique............. 12 4.4 Bilan et analogie mécanique...... 34 2.1.4 Impédance d’une bobine.... 12 4.5 Aspects pratiques de la résonance... 34 Travaux pratiques — TP n°E5 : Régimes sinusoïdaux forcés des cir- — TP n°E6 : Résonances électriques. cuits d’ordre 1. Introduction Les régimes transitoires étudiés au chapitre précédent ont mis en évidence le comportement oscillant des systèmes électriques. Ces régimes, par nature éphémères, traduisaient la réponse des oscil- lateurs à de brèves perturbations de leurs contraintes. Dans ce chapitre, il s’agit maintenant d’étudier la réponse de ces mêmes oscillateurs à des contraintes permanentes, et, plus spécifi- quement, des contraintes d’oscillations sinusoïdales. C’est un phé- nomène très courant en électronique, car les centrales électriques génèrent des courants sinusoïdaux, de sorte que la plupart des appareils domestiques et industriels fonctionnent en régime sinu- soïdal. Le même phénomène peut également avoir lieu en mécanique. Le pont de Tacoma était un pont suspendu au-dessus du détroit de Tacoma mis en service le 1er juillet 1940. Dès la construction, on s’est rendu compte que le pont était très flexible. Le 7 novembre 1940, un vent important a fait osciller le pont avec une amplitude dépassant 1 mètre. L’un des câbles a lâché et l’oscillation verticale s’est transformée en torsion, ce qui a causé l’écroulement du pont. Plusieurs explications ont été proposées : rafales de fréquence égale à la fréquence de résonance, création de tourbillons. Il semblerait que la combinaison des deux phénomènes soit à l’origine de l’effondrement. Voir la vidéo Comment les systèmes linéaires réagissent-ils lorsqu’ils sont soumis au régime sinusoïdal forcé ? Comment étudier leur comportement dans ce régime ? Comment expliquer le phénomène de résonance pouvant apparaître pour une certaine fréquence ? Axel Maury 1 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Questions de cours pour les colles Donner sans démonstration les expressions des impédances complexes d’une résistance, d’une bobine et d’un condensateur. Donner les équivalences en termes de fil et d’interrupteur ouvert dans les limites basse et haute fréquence. En déduire le déphasage de la tension par rapport à l’intensité, pour chacun de ces trois dipôles, en régime sinusoïdal forcé. Donner sans démonstration l’expression de l’impédance équivalente à une association série ou paral- lèle de dipôles en régime sinusoïdal. Donner sans démonstration le schéma et les relations des ponts diviseurs de tension et de courant en représentation complexe. Étude de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans un circuit RLC série alimenté par une tension sinusoïdale : établir l’amplitude complexe, étudier l’amplitude et notamment l’existence de la résonance, étudier le déphasage de la réponse par rapport à l’excitation. Pour un phénomène de résonance, rappeler ce qu’on appelle la bande passante. Puis, pour la cas de la résonance en intensité dans le RLC série, démontrer l’expression de la largeur de cette bande passante. Étude de la résonance en élongation ou en vitesse pour l’oscillateur mécanique. Capacités exigibles Notions : Impédances complexes. Association d’impédances. Oscillateur électrique soumis à une excitation sinusoïdale. Oscillateur mécanique soumis à une excitation sinusoïdale. Résonance Capacités exigibles : Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur, d’une bobine en régime harmonique. Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente. Utiliser la représentation complexe pour étudier le régime forcé. Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes expérimentaux d’amplitude et de phase dans le cas de la résonance. Relier l’acuité d’une résonance forte au facteur de qualité. Axel Maury 2 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 1 Étude du régime sinusoïdal forcé : utilisation de la notation complexe 1.1 Un exemple Expérience de cours. On étudie le circuit RLC série représenté ci-contre CH1 CH2 alimenté par un générateur délivrant une tension L R sinusoïdale e(t) = Em cos(ωt). On visualise sur un oscilloscope la tension e(t) e(t) C uC délibrée par le GBF sur l’entrée CH1 et la ten- sion uC (t) aux bornes du condensateur sur l’en- i trée CH2. https://www.compadre.org/Physlets/circuits/ prob31_14.cfm?NOH=1 Observations : On fait varier continuement la pulsation d’excitation sur l’intervalle ω ∈ [0, + ∞[. On observe un régime transitoire dont la forme dépend du choix des paramètres du circuit RLC série. Pour ce régime transitoire, on peut retrouver un comportement général similaire à celui mis en évidence pour la réponse à échelon de tension ou en régime libre. On choisit une valeur de R qui permet d’avoir un régime transitoire de durée négligeable afin d’étudier uniquement le régime permanent, c’est-à-dire l’influence de la fréquence de la tension sinusoïdale e(t) sur la tension uC (t). Les oscillations de uC (t) observées croissent avec la fréquence d’excitation pour atteindre un maximum d’am- plitude pour une fréquence donnée. Pour des fréquences d’excitation supérieures à cette dernière fréquence, l’amplitude d’oscillation de la tension uC (t) diminue progressivement lorsque la fréquence d’excitation aug- mente. Définition : Phénomène de résonance. Un système excité périodiquement présente une résonance pour une grandeur physique donnée lorsque l’amplitude de celle-ci admet un maximum pour une fréquence particulière de l’excitation appelée fréquence de résonance. À la fréquence de résonance, le transfert d’énergie de l’oscillateur vers le système oscil- lant est maximal. Équation différentielle du système : On écrit la loi des mailles pour le circuit étudié représenté ci-dessus : e(t) = uR (t) + uL (t) + uC (t) Or on a les relations tension-intensité suivante pour le condensateur, la bobine et le conducteur ohmique : — uR (t) = Ri(t) di — uL (t) = L dt duC — i(t) = C dt On en déduit donc : uC d2 uC e(t) = RC + LC + uC dt dt2 d2 uC R duC 1 1 2 + + uC = e(t) dt L dt LC LC Axel Maury 3 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé On voit apparaître une équation différentielle du deuxième ordre caractéristique de la forme : d2 uC ω0 duC + + ω02 uC = ω02 e(t) dt2 Q dt s 1 1 L avec la pulsation propre du système ω02 = et le facteur de qualité Q =. LC R C À présent, on voit apparître dans le second membre un terme dépendant du temps ω02 e(t) qui correspond à l’excitation sinusoïdale appliqué par le GBF aux bornes du circuit RLC série. 1.2 Régime transitoire Jusqu’à présent, on a étudié l’évolution libre des oscillateurs amortis : on les laissait évoluer librement en leur imposant un régime permanent constant. L’équation différentielle décriant le système était alors de la forme d2 y ω0 dy + + ω02 y = ω02 Y0 dt2 Q dt avec un second membre Y0 constant. Nous observions alors un régime transitoire (qui correspond à la solution de l’équation homogène) qui pouvait être pseudo-périodique, apériodique ou critique suivant la valeur du facteur de qualité Q du système. Le régime transitoire disparaissait plus ou moins rapidement pour finalement laisser place au régime établi permanent (constant), puisque le second membre était constant. Figure 1 – Comparaison de la forme du régime transitoire menant un régime permanent ou un régime sinusoïdal forcé À présent, nous allons soumettre le système à une excitation sinusoïdale de pulsation ω : pour l’oscillateur mécanique, il est excité sinusoïdalement du fait d’un mouvement sinusoïdale du point d’attache du ressort. pour l’oscillateur électrique, le dipôle considéré (RLC série) est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale e(t) = Em cos(ωt) délivrée par un GBF. Axel Maury 4 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé En régime sinusoïdal forcé, on vient d’obtenir la même équation différentielle que pour le régime permanent, hormis le second membre qui est à présent une fonction sinusoïdale. La solution générale reste alors de la même forme et s’écrit : y(t) = yH (t) + yP (t) yH (t) est la solution générale de l’équation homogène. Cette solution a déjà été déterminée dans le cas des régimes permanents. Elle correspond au régime transitoire qui disparaît au bout d’un certain temps caractéristique τ. yP (t) est la solution particulière, qui correspondra donc au régime permanent. On la cherche sous la même forme que le second membre sous la forme yP (t) = Ym cos(ωt + φ). Remarque : Il ne faudra absolument pas confondre : ω qui est la pulsation de l’excitation que l’on choisit comme on veut en secouant plus ou moins le ressort ou en tournant le bouton des fréquences du GBF. et ω0 qui est la pulsation propre du système qui apparaît dans l’équation différentielle sous forme canonique. Cette pulsation dépend des paramètres du système étudié. Ainsi on retrouve le même type de comportement pour le régime transitoire. Au bout d’un temps caracté- ristique τ , la solution homogène caractéristique du régime transitoire devient négligeable devant la solution particulière de l’équation différentielle. Le régime transitoire disparaît pour laisser place au régime perma- nent, appelé régime sinusoïdal forcé (voir figure 1). Dans ce chapitre, nous ne nous intéresserons pas au régime transitoire mais uniquement au régime permanent sinusoïdal, appelé régime sinusoïdal forcé. Définition : Régime sinusoïdal forcé. Un système oscillant est étudié dans le régime sinusoïdal forcé lorsque les grandeurs électriques (tension et intensité) délivrées par le générateur ou mécaniques (élongation et vitesse) délivrées par l’excitateur varient au cours du temps de façon sinusoïdale. 1.3 Notation complexe d’un signal sinusoïdal Revenons à notre oscillateur mécanique. La réponse en régime établi est de la forme yP (t) = Ym cos(ωt + φ). Ce régime comporte deux inconnues : l’amplitude Ym et la phase à l’origine φ. On pourrait déterminer yP de la même façon que lorsque le second membre est constant : injecter yP (t) dans l’équation différentielle et déterminer les inconnues Ym et φ. Mais contrairement au cas du second membre constant, le calcul serait ici long et compliqué. Nous utiliserons une autre méthodes pour cela : l’utilisation de la notation complexe. 1.3.1 Rappel sur les nombres complexes Un nombre complexe z s’écrit dans sa forme cartésienne : z = a + jb avec a la partie réelle de z : ℜ(z) = a ; b la partie imaginaire de z : ℑ(z) = b ; et j le nombre complexe vérifiant j 2 = −1. Remarque : La notation j du nombre complexe noté habituellement i en mathématiques a été choisie afin de ne pas confondre dans le domaine de l’électrocinétique avec i qui représente l’intensité du courant. Axel Maury 5 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé De manière générale, la notation i standard est utilisée dans la plus part des autres domaines de la physique (mécanique quantique, électromagnétisme...). On peut retenir quelques valeurs particulières utiles, avec a un réel ℑ positif : z b π π arg(a) = 0 arg(−a) = π arg(ja) = arg(−ja) = − 2 2 r Un nombre complexe z peut également s’écrire sous sa forme ex- ponentielle : φ z = r (cos(φ) + j sin(φ)) = rejφ a ℜ √ avec r = |z| = a2 + b2 son module et φ = arg(z) son argument. Géométriquement, si on se place dans le plan complexe, on peut associer au nombre complexe z un vecteur, dont a et b sont les coordonnées cartésiennes, r = |z| est la norme du vecteur et arg(φ) = arg(z) est l’angle entre le vecteur et l’axe des abscisses. Comme écrit ci-dessus, calculer le module d’un nombre complexe est aisé ; en revanche, calculer l’argument d’un nombre complexe s’avère plus compliqué. Comment déterminer l’argument d’un nombre complexe ? Géométriquement nous avons les relations suivantes : a = r cos φ b = r sin φ On peut alors écrire que : r sin φ b b   tan φ = = ⇒ arctan r cos φ a a Sauf que cette dernière relation n’est pas vraie pour tout (a,b) ∈ R2. En effet, par définition φ ∈ [0; 2π[, ou dans notre étude on choisira φ ∈] − π; π]. Or la fonction arctan est une fonction qui renvoie des valeurs dans l’intervalle ] − π/2; π/2[, donc la moitié des angles possibles associés à un nombre complexe z ne sont pas accessibles par la formule précédente. Cas où a > 0 et b > 0 ie cos φ > 0 et sin φ > 0 d’où φ ∈ [0; π/2]. La fonction arctan est adaptée dans ce cas, c’est une fonction bijective de R+ dans [0; π/2[ donc : b   φ = arctan a Cas où a > 0 et b < 0 ie cos φ > 0 et sin φ < 0 d’où φ ∈ [−π/2; 0]. La fonction arctan est également adaptée dans ce cas, c’est une fonction bijective de R− dans ] − π/2; 0] donc : b   φ = arctan a +π Cas où a < 0 et b > 0 ie cos φ < 0 et sin φ < 0 d’où φ ∈ [π/2; π] (zone en rouge sur le schéma). (r,φ) Or fonction arctan est une fonction bijective de R− dans ] − π/2; 0] (zone en orange sur le schéma) et non dans [π/2; π] donc : b   φ = π + arctan (r,φ′ ) a Axel Maury 6 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Cas où a < 0 et b < 0 ie cos φ < 0 et sin φ < 0 d’où φ ∈ [−π; −π/2] (zone en rouge sur le schéma). (r,φ′ ) Or fonction arctan est une fonction bijective de R+ dans [0; π/2[ (zone en orange sur le schéma) et non dans [−π; −π/2] donc : b   φ = −π + arctan (r,φ) a −π Propriété : Module et argument d’un nombre complexe. Le module d’un nombre complexe z, noté |z|, a pour expression : p |z| = a2 + b2 L’argument d’un nombre complexe z, noté arg(z), a pour expression : b   arg(z) = arctan si a > 0 et b > 0 a b   = arctan si a > 0 et b < 0 a b   = π + arctan si a < 0 et b > 0 a b   = −π + arctan si a < 0 et b < 0 a 1.3.2 Notation complexe et signal sinusoïdal Définition : Notation complexe d’un signal sinusoïdal. Soit un signal sinusoïdal, d’expression mathématique s(t) = Sm cos(ωt + φ). On peut associer à ce signal, le signal complexe suivant : s(t) = Sm ej(ωt+φ) = Sm ejφ ejωt = Sm ejωt On définit l’amplitude complexe du signal : Sm = Sm ejφ. On détermine l’amplitude Sm de s(t) en calculant le module de Sm : Sm = |s(t)| = |Sm | On déterminer la phase à l’origine φ de s(t) en calculant l’argument de Sm : φ = arg(Sm ). Ainsi, la connaissance de l’amplitude complexe donne accès aux deux grandeurs du signal s(t) : l’amplitude Sm et la phase à l’origine φ. Pour revenir au signal réel initial, il suffit de calculer s(t) = ℜ(s(t)). Activité n°1 : Nombre complexe et signal sinusoïdal Donner le signal complexe associé aux signaux suivants et identifier l’amplitude complexe : 1. u(t) = E. cos(ωt + π/3) 2. u(t) = R+r U0 R sin(ω(t − t0 )) √ 3. i(t) = −Im 2 cos(2πf t − π) Donner le signal réel associé aux signaux complexes suivants : π 4. UL = Um e−j 3 5. I1 = −j UR0 Axel Maury 7 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé π 6. I2 = −Im ej 6 Donner le module des complexe ci-dessous : 7. Um = E 1+jωτ Ejωτ jωt 8. u = 1+jωτ e −Eω02 9. Um = −ω 2 +jωω 2 0 /Q+ω0 Axel Maury 8 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Propriété : Notation complexe et équation différentielle. Si s(t) est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients réels avec second membre har- monique alors s(t) est solution de la même équation différentielle où le second membre est écrit sous sa forme complexe. Propriété : Dérivation et intégration d’un signal complexe. Soit un signal s(t). La dérivée de ce signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe s(t) par jω : ds = jωs(t) dt Pour une dérivée nième , ce sera une multiplication par (jω)n. dn s = (jω)n s(t) dtn 1 La primitive de ce signal complexe est obtenue en multipliant le signal complexe s(t) par jω :  1 s(t)dt = s(t) jω Pour une primitive nième , ce sera une multiplication par 1/(jω)n. Remarque : La notation complexe d’un signal n’a pas de sens physique : c’est bien le signal réel s(t) qui correspond au signal étudié. La notation complexe permet uniquement de faciliter grandement les différents calculs réalisés sur les grandeurs oscillantes dans le régime sinusoïdal. Les méthodes de résolution des problèmes physiques par les complexes sont loin de se limiter aux oscillateurs abordés ici. On retrouve ces outils en traitement du signal, en électromagnétisme, en physique ondulatoire Axel Maury 9 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 2 Étude des circuits électriques en régime sinusoïdal forcé L’étude des circuits électriques en régime sinusoïdal nécessite a priori d’établir une équation différentielle, puis de la passer en notation complexe, ce qui peut s’avérer un peu long pour des circuits contenant plusieurs mailles. L’objectif est donc d’introduire de nouvelles grandeurs qui pourront rendre l’étude des circuits en régime sinusoïdal très facile. 2.1 Impédance complexe En régime sinusoïdal, on généralise la notion de résistance en définissant une nouvelle grandeur permettant de décrire le comportement des dipôles dans ce régime : c’est l’impédance complexe. 2.1.1 Définition Définition : Impédance complexe. On considère un dipôle D linéaire passif, en convention récepteur, dont la tension à ses bornes s’écrit u(t) = Um cos(ωt + φu ) et traversé par un courant d’intensité i(t) = Im cos(ωt + φi ) i(t) D u(t) En régime sinusoïdal et en utilisant la notation complexe, un dipôle passif liénaire D est caractérisé par son impédance complexe Z, définie comme : U Um Um j(φu −φi ) Z= = = e I Im Im avec U la tension complexe aux bornes du dipôle et I l’intensité complexe qui le travers. I Z U L’impédance est le module de l’impédance complexe : Um Z = |Z| = Im et s’exprime en ohm (Ω). L’argument de l’impédance complexe est le déphasage de la tension aux bornes du dipôle par rapport à l’intensité du courant qui le traverse : arg(Z) = φu − φi = φu/i 2.1.2 Déphasage On remarque que l’impédance complexe contient les informations à la fois sur la relation liant les amplitudes de la tension et du courant traversant le dipôle (comme la loi d’Ohm) ainsi que le déphasage entre tension et courant. Mais que signifie physiquement cette notion de déphasage ? Considérons deux signaux s1 (t) et s2 (t) de même période. On représente ces deux signaux ci-dessous : De tels signaux s’écrivent : De tels signaux s’écrivent : s1 (t) = S1m cos(ω0 t + φ0,1 ) = S1m cos(φ1 (t)) Axel Maury 10 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé τ = |t2 − t1 | s1 (t) s2 (t) t t2 t1 Figure 2 – Représentation des deux signaux s1 (t) et s2 (t). Ces deux signaux sont déphasés. s2 (t) = S2m cos(ω0 t + φ0,2 ) = S2m cos(φ2 (t)) Les deux signaux sont dits en phase si à tout instant leurs phases : φ1 (t) = φ2 (t) c’est-à-dire d’un point de vue graphique, s’ils atteignent leur maximum, minimum,... simultanément. Dans le cas contraire, ils sont dits déphasés. Sur la figure 2, chaque signal atteint respectivement son maximum en t1 pour s1 (t) et en t2 pour s2 (t) si leurs phases prennent la valeur : φ1 (t1 ) = ω0 t1 + φ0,1 = 0 [2π] φ2 (t2 ) = ω0 t2 + φ0,2 = 0 [2π] Ainsi la différence de phase entre les deux signaux appelée déphasage (ie le décalage entre les deux maxi- mum) s’écrit : φ2 (t2 ) − φ1 (t1 ) = φ0,2 − φ0,1 + ω0 (t2 − t1 ) = 0 [2π] Par définition, le déphasage est la plus petite différence de phase donc : φ2 (t2 ) − φ1 (t1 ) = φ0,2 − φ0,1 + ω0 (t2 − t1 ) = 0 2π φ0,1 − φ0,2 = −ω0 (t1 − t2 ) = − (t1 − t2 ) [2π] T On a alors deux cas : si ∆φ12 = φ0,1 − φ0,2 > 0 alors t1 − t2 < 0 ⇒ t1 < t2 le signal s2 (t) est en retard sur le signal s1 (t) ; si ∆φ12 = φ0,1 − φ0,2 < 0 alors t1 − t2 > 0 ⇒ t1 > t2 le signal s2 (t) est en avance sur le signal s1 (t). Par exemple, sur la figure ci-dessus 2, s1 (t) est en retard sur s2 (t), on en déduit que ∆φ12 < 0. Définition : Déphasage entre deux signaux périodiques. Le déphasage d’un signal s1 (t) par rapport à un signal s2 (t) (tension ou intensité) de même pulsation ω0 et de phase à l’origine respective φ01 et φ02 correspond au décalage temporelle entre ces deux signaux. Le déphasage s’écrit alors : 2π ∆φ12 = φ0,1 − φ0,2 = ω0 τ = τ T avec τ = t1 − t2 le décalage temporelle ou encore appelé retard entre les deux signaux. si φ0,1 − φ0,2 > 0 alors t1 < t2 le signal s1 (t) est en avance sur le signal s2 (t) ; si φ0,1 − φ0,2 < 0 alors t1 > t2 le signal s1 (t) est en retard sur le signal s2 (t). Axel Maury 11 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Remarque : Lorsque que l’on compare deux signaux et qu’on parle de déphasage, il faut que les deux signaux comparés soient périodiques et aient la même période temporelle. Comme pour les phases φu et φi , le déphasage φu/i ∈] − π,π]. 2.1.3 Impédance d’un conducteur ohmique Un conducteur ohmique parfait n’est défini que par sa résistance R qui s’exprime en ohm. Il respecte la loi d’Ohm. U = RI Propriété : Conducteur ohmique en régime sinusoïdal forcé. En régime sinusoïdal forcé, un conducteur ohmique parfait est défini par son impédance complexe Z R telle que : ZR = R qui s’exprime en Ω. I ZR U Impédance : L’impédance d’un conducteur ohmique est : |Z R | = R Déphasage tension/courant : Le déphasage tension/courant est donné par l’argument de l’impédance complexe du conducteur : φu/i = φu − φi = arg(Z R ) = 0 Le courant traversant un conducteur ohmique et la tension à ses bornes sont en phase. 2.1.4 Impédance d’une bobine Une bobine parfaite n’est définie que par son inductance L qui s’exprime en Henry. La caractéristique d’une bobine est la suivante : dI U =L dt Ce qui donne en régime sinusoïdal forcé : U = jLωI Propriété : Bobine en régime sinusoïdal forcé. En régime sinusoïdal forcé, une bobine parfaite est définie par son impédance complexe Z L telle que : ZL = jLω qui s’exprime en Ω. I ZL U Axel Maury 12 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Impédance : L’impédance d’une bobine parfaite est : |Z L | = Lω Déphasage tension/courant : Le déphasage tension/courant est donné par l’argument de l’impédance complexe du conducteur : π φu/i = φu − φi = arg(Z L ) = + 2 La tension à ses bornes et le courant traversant un condensateur sont déphasés de + π2. Le signal u(t) est en avance sur le signal i(t). Comportement à basse et haute fréquence : À basse fréquence, ω → 0 donc Z L → 0. U = Z LI ⇒ U → 0 Une bobine se comporte comme un fil à basse fréquence. À haute fréquence, ω → +∞ donc Z L → +∞. U I= ⇒I→0 ZL Une bobine se comporte comme un interrupteur ouvert à haute fréquence. 2.1.5 Impédance d’un condensateur Un condensateur parfait n’est défini que par sa capacité C qui s’exprime en Farad. La caractéristique d’un condensateur est la suivante : dU I=C dt Ce qui donne en régime sinusoïdal forcé : I = jCωU Définition : Condensateur en régime sinusoïdal forcé. En régime sinusoïdal forcé, un condensateur parfait est défini par son impédance complexe Z L telle que : 1 ZC = jCω qui s’exprime en Ω. I ZC U Impédance : L’impédance d’un condensateur parfait est : 1 |Z C | = Cω Déphasage tension/courant : Le déphasage tension/courant est donné par l’argument de l’impédance complexe du conducteur : π φu/i = φu − φi = arg(Z C ) = − 2 Axel Maury 13 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé La tension à ses bornes et le courant traversant un condensateur sont déphasés de − π2. Le signal u(t) est en retard sur le signal i(t). Comportement à basse et haute fréquence : À haute fréquence, ω → +∞ donc Z C → 0. U = ZC I ⇒ U → 0 Un condensateur se comporte comme un fil à haute fréquence. À basse fréquence, ω → 0 donc Z C → +∞. U I= ⇒I→0 ZC Un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à basse fréquence. Expérience de cours. Afin de visualiser le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur/bobine et l’intensité du courant traversant le dipôle et étudier le comportement aux basses et hautes fréquences, on réalise le montage suivant : CH1 CH2 CH1 CH2 R R e(t) C uC e(t) L uL i(t) i(t) On affiche sur l’oscilloscope la tension uC (t) (ou uL (t) pour la bobine) sur l’entrée CH2. Afin d’ob- tenir l’intensité du courant i(t), à l’aide de la fonctionnalité Math, on affiche la tension CH1-CH2 qui correspond à la tension uR (t) soit l’intensité du courant dans le circuit modulo le facteur de proportionnalité R. 2.2 Lois de l’électrocinétique en notation complexe Les lois de Kirchhoff vues en régime continu restent valides en régime sinusoïdal, en considérant les grandeurs dépendantes du temps u(t) et i(t), ainsi que leurs grandeurs complexes associés, tant que l’on reste dans le cadre de l’ARQS ! Propriété : Loi des nœuds en régime sinusoïdal forcé. La somme algébrique des intensités complexes des courants arrivant dans un nœud est nulle : X ϵk ik = 0 avec ϵk = +1 si la flèche du courant ik est dirigée vers le nœud, et ϵk = −1 si la flèche du courant ik s’éloigne du nœud. Propriété : Loi des mailles en régime sinusoïdal forcé. On commence par choisir une orientation (un sens de parcours) de la maille, de façon arbitraire. La somme algébrique des tensions complexes dans une maille orientée est nulle : X ϵk uk = 0 Axel Maury 14 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé avec ϵk = +1 si la tension uk est orienté dans le sens de la maille, et ϵk = −1 si la tension uk est orientée dans le sens opposé à celui de la maille. Remarque : ATTENTION : les lois des mailles et des nœuds doivent être écrites avec les amplitudes com- plexes ou les signaux complexes, mais ne doivent pas être écrites à l’aide des amplitudes des signaux. On ne sommera JAMAIS des amplitudes, seulement des amplitudes complexes. Activité n°2 : Loi de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé Soit le circuit électrique ci-contre. On mesure au R IR multimètre IR = 5 mA et IL = 3,98 mA. I Déterminer l’amplitude du courant I et le dépha- L IL sage de I par rapport à U : φu/i. U Axel Maury 15 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 2.3 Association d’impédances En régime sinusoïdal forcé, en utilisant la notation complexe, on associe les impédances et on écrit les relations des ponts diviseurs de tension et de courant comme pour les résistances. Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire : on note Z eq l’impédance complexe équivalente de ce dipôle. Propriété : Associations d’impédances en série. L’impédance équivalente à plusieurs placées en série est égale à la somme des impédances : n X Z eq = Zi i=1 Propriété : Association d’impédances en parallèle. L’impédance équivalente à plusieurs impédances placées en parallèle est égale à la somme des inverses des impédances : n 1 X 1 = Z eq Z i=1 i Activité n°3 : Associations d’impédances Déterminer l’impédance complexe des dipôles ci-dessous. Écrire les résultats sous forme d’une unique fraction, en faisant apparaître des quantités adimensionnées telles que RCω, Lω/R et LCω 2. R I C C I I U C U L U L C 1. 2. 3. C1 C I R I U L C2 U R C 4. 5. Les lois d’associations des impédances complexes étant identiques à celle des résistances en régime continu, le principe du pont diviseur de tension ou de courant s’applique également pour les impédances complexes. Pont diviseur de tension : I Z1 Si on cherche la tension aux bornes d’une impédance Z i en série dans une branche avec N impédances alors : U U2 Z2 Zi Ui = N U X Zi i=1 Axel Maury 16 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Pont diviseur de courant : I Si on cherche l’intensité du courant traversant une impédance Z i en parallèle avec N impédances alors : I1 I2 1 U Z1 Z2 Zi Ii = N I X 1 i=1 Zi Activité n°4 : Pont diviseur Etablir les expresions, en utilisant la notation complexe, de u en fonction de e ou de i et i1 en fonction de i0 pour les circuits suivants. 2C C 3C R i L R e(t) Ru C i1 e(t) u L i0 2.4 Étude d’un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé À l’aide des différentes lois et relations de l’électrocinétique valides en régime sinusoïdal forcé, il est possible d’étudier n’importe quel circuit électrique dans ce régime. Méthode : Étudier un circuit linéaire en régime sinusoïdal forcé par la méthode des complexes Dans le cadre du régime sinusoïdal forcé, la notation complexe doit être utilisée. Écrire l’impédance complexe de chaque dipôle linéaire passif présent dans le circuit. Introduire, sur le schéma du circuit, toutes les tensions et intensités nécessaires : positionner les flèches et les nommer. Associer les impédances complexes entre elles dès que possible (en série ou en parallèle), qui ne font pas disparaître les grandeurs électriques recherchées. Écrire les lois des mailles et des nœuds nécessaires en notation complexe. Ne pas oublier les ponts diviseurs de tension et de courant en notation complexe qui peuvent simplifier l’écriture des relations dans le circuit. En déduire l’expression de la grandeur complexe d’intérêt en fonction de ω notamment. Activité n°5 : Étude d’un circuit RL série On considère un circuit constitué d’une bobine idéale d’inductance L et d’une résistance R alimenté par un générateur délivrant une tension u(t) On note i(t) = Im cos(ωt), uR (t) = UR,m cos(ωt+φR ), uL (t) = UL,m cos(ωt+φL ) et u(t) = Um cos(ωt+ φ) On donne L = 1,0 mH ; R = 100 Ω ; f = 2,0 kHz et Um = 1,0 V. 1. Déterminer l’expression de la tension complexe uL aux bornes de la bobine en fonction des gran- deurs du circuit. Axel Maury 17 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 2. En déduire l’amplitude UL,m , et le déphasage φ de u par rapport à i. Activité n°6 : Utilisation d’un oscillogramme On considère le circuit ci-contre. C R On pose e(t) = Em cos(ωt) et u(t) = Um cos(ωt + φ). La figure ci-dessous représente un oscillogramme e(t) L u(t) réalisé à la fréquence f = 1,2×103 Hz avec R = 1,0 kΩ et C = 0,10 µF. 1. Déduire de cet oscillogramme les valeurs expérimentales de Em , Um et φ. 2. En utilisant la notion de pont diviseur de tension, établir les expressions de Um et de φ en fonction des composants du circuits. 3. En déduire la valeur numérique de l’inductance L de la bobine. Activité n°7 : Obtention d’une équation différentielle En utilisant la notation complexe, montrer que la R 2R tension u est solution de l’équation différentielle suivante, en posant τ = RC : e(t) 2C C u d2 u du 4τ 2 + 5τ +u=e dt2 dt Axel Maury 18 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 3 Résonance dans un circuit RLC série 3.1 Résonance en intensité Expérience de cours. On étudie le circuit RLC série alimenté par un gé- CH1 C CH2 nérateur délivrant une tension sinusoïdale e(t) = L Em cos(ωt). On cherche à déterminer les caractéristiques de e(t) uR R l’intensité du courant traversant le circuit i(t) = Im cos(ωt + φi ) lorsque le régime sinusoïdal forcé i est atteint. Détermination de I m : Axel Maury 19 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Étude de l’amplitude Im : Définition : Bande passante et pulsation de coupure. On définit la bande passante ∆ω comme étant l’intervalle de pulsation [ωc,1 ,ωc,2 ] tel que : Im,max ∀ω ∈ [ωc,1 ,ωc,2 ], Im (ω) ≥ √ 2 avec Im,max la valeur maximale prise par l’amplitude de l’intensité (valeur de l’amplitude de l’intensité à la résonance). Im,max Les pulsations ωc,1 et ωc,2 telles que Im (ωc,1,2 ) = √ 2 sont appelées pulsation de coupure. Axel Maury 20 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 1.5 Im /Im,max Q = 6.0 Q = 1.5 Q = 0.7 Q = 0.3 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 ω(×103 rad.s−1 ) Figure 3 – Tracé du rapport Im /Im,max en fonction de ω dans le cas d’un système où ω0 = 2 × 103 radian/s. Axel Maury 21 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Propriété : Interprétation graphique du facteur de qualité. Plus le facteur de qualité Q est important, plus l’acuité de la résonance est importante, c’est- à-dire plus le pic est étroit autour de la pulsation de résonance ω0. Expérimentalement, on peut trouver que : ω0 Q= ∆ω avec ∆ω la bande passante du circuit étudié. Moins le système est amorti, plus Q est grand, plus la bande de fréquence ∆ω est faible, c’est-à-dire plus la résonance est aigüe. Axel Maury 22 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Remarque : On a la propriété suivante pour l’argument d’un nombre complexe : z1 Soit z = avec z1 = a1 + jb1 et z2 = a2 + jb2. L’argument de z s’écrit : z2 b1 b2     arg(z) = arg(z1 ) − arg(z2 ) = arctan − arctan a1 a2 φi (rad) +π/2 Q = 6.0 Q = 1.5 Q = 0.7 Q = 0.3 +π/4 ω(×103 rad.s−1 ) 0 1 2 3 4 5 −π/4 −π/2 Figure 4 – Tracé de φi en fonction de ω dans le cas d’un système où ω0 = 2 × 103 rad.s−1. Méthode : Étudier la résonance en intensité dans le circuit RLC série Pour déterminer les caractéristiques de l’intensité du courant circulant dans le circuit RLC série : Comportement qualitatif du circuit : Représenter le circuit permettant de visualiser à l’oscilloscope la tension délivrée par le généra- teur et la tension aux bornes de la résistance, et positionner les différents courants et tensions afin que le générateur soit en convention générateur et les autres dipôles en convention récepteur. Déterminer, à l’aide des comportements asymptotiques des dipôles, la valeur de Im à basse et haute fréquence. Amplitude complexe de i : Établir l’expression de i, puis de son amplitude complexe Im en fonction de Em , ω, L, C etR. Mettre I m sous la forme :I m (ω) = A  , et identifier les expressions de A, de la pul- ω ω 1+jQ ω0 − ω0 sation propre ω0 et du facteur de qualité Q. Axel Maury 23 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé Étude de l’amplitude Im : Établir l’expression de Im (ω), étudier les limites à basse et haute fréquences, et tracer l’allure de Im (ω). Étudier l’existence d’une résonance. √ expressions des pulsations de coupure ωc,1 et ωc,2 pour lesquelles l’amplitude Déterminer les vaut Am,max / 2 en fonction de ω0 et Q. ω0 En déduire que la largeur de la bande passante ∆ω = ωc,2 − ωc,1 est reliée à Q par ∆ω = Q. Que dire de la dépendance de l’acuité de la résonance avec le facteur de qualité ? Étude du déphasage φi entre i et e : Déterminer les expressions de ℜ(I m ) et de ℑ(I m ) et leurs signes. En déduire l’intervalle de φi. Exprimer φi en fonction de ω, ω0 , et Q. Déterminer les limites de φi à basse fréquence et haute fréquence, et tracer l’allure de φi (ω). Méthode : Déterminer graphiquement ω0 et Q pour une résonance en intensité Quand les courbes d’amplitude Am et de phase φ en présence d’une résonance du type de la résonance en intensité d’un RLC série sont fournies : Déterminer la pulsation de coupure ω0 : soit sur la courbe de phase : φ(ω0 ) = 0; soit sur la courbe d’amplitude : ω0 est la pulsation pour laquelle l’amplitude est maximale. déterminer la largeur de la bande passante ∆ω et le facteur de qualité Q : Am,max Lire la valeur maximale de l’amplitude Am,max = Am (ω0 ) et calculer √ 2. Am,max Lire les abscisses ωc,1 et ωc,2 pour lesquelles l’amplitude vaut √ 2. En déduire ∆ω = ωc,2 − ωc,1. ω0 En déduire le facteur de qualité Q = ∆ω. Activité n°8 : Acuité d’une résonance en intensité Déterminer ω0 et Q sur le graphique ci-dessous. Comment qualifieriez-vous cette résonance ? Amplitude de l’intensité du courant Im en fonction de ω. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 Im (mA) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ω(×103 rad.s−1 ) Axel Maury 24 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 3.2 Résonance en tension aux bornes du condensateur Expérience de cours. On étudie le circuit RLC série alimenté par un gé- CH1 CH2 nérateur délivrant une tension sinusoïdale e(t) = L R Em cos(ωt). On cherche à déterminer les caractéristiques de e(t) uC C la tension aux bornes du condensateur uC (t) = UC,m cos(ωt + φu ) lorsque le régime sinusoïdal i forcé est atteint. Axel Maury 25 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Axel Maury 26 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Axel Maury 27 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé UC,m /Em φu (rad) ω(×103 rad.s−1 ) 0 1 2 3 4 5 3 Q = 3.0 −π/4 Q = 0.3√ 2 Q = 3.0 Q = 1/ 2 Q = 1.5√ Q = 1.5 −π/2 Q = 1/ 2 1 Q = 0.3 −3π/4 0 0 1 2 3 4 5 ω(×103 rad.s−1 ) −π Figure 5 – À gauche, tracé de UC,m /Em en fonction de ω dans le cas d’un système où ω0 = 2 × 103 rad.s−1. À droite, tracé de φu en fonction de ω dans le cas d’un système où ω0 = 2 × 103 rad.s−1. Méthode : Étudier la résonance en tension aux bornes de C dans le circuit RLC série Pour déterminer les caractéristiques de la tension uC (t) aux bornes du condensateur Comportement qualitatif du circuit : Représenter le circuit permettant de visualiser à l’oscilloscope la tension délivrée par le généra- teur et la tension aux bornes de la résistance, et positionner les différents courants et tensions afin que le générateur soit en convention générateur et les autres dipôles en convention récepteur. Déterminer, à l’aide des comportements asymptotiques des dipôles, la valeur de UC,m à basse et haute fréquence. Amplitude complexe de uC : Établir l’expression de uC , puis de son amplitude complexe UC,m en fonction de Em , ω, L, C etR. Mettre U C sous la forme :U C (ω) = Em 2 jω , et identifier les expressions de la pulsation 1− ω2 + Qω ω 0 0 propre ω0 et du facteur de qualité Q. Résonance en tension aux bornes du condensateur : À partir de la forme de UC et du comportement à basse fréquence et haute fréquence, déterminer la condition d’existence et les principales caractéristiques de cette résonance. √ Déterminer ω0 et Q dans le cas d’un facteur de qualité modéré Q > 1/ 2 si les courbes de UC,m et φu sont fournies. Étude du déphasage φu entre u et e : Déterminer les expressions de ℜ(U C ) et de ℑ(U C ) et leurs signes. En déduire l’intervalle de φu. Exprimer φu en fonction de ω, ω0 , et Q. Déterminer les limites de φu à basse fréquence et haute fréquence, et tracer l’allure de φu (ω). 3.3 Aspects pratiques de la résonance. Le phénomène de résonance en électricité s’étudie aisément à l’aide d’un oscilloscope dont la voie 1 enregistre la tension fournie par le générateur et la voie 2, la tension du condensateur ou celle du résistor (proportion- nelle à l’intensité). En balayant le domaine de fréquences, on observe que la tension du générateur conserve une amplitude constante, tandis que celle de la voie 2 passe par un maximum, d’autant plus grand que la résistance du circuit est faible. On observe aussi aisément l’évolution du déphasage. Axel Maury 28 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé On comprend qu’un tel phénomène puisse être de nature à endommager les circuits (surtension). A contrario, lorsqu’on veut sélectionner une fréquence particulière (table de mixage d’un enregistrement sonore ou sélection d’une émission radio par exemple), on aura intérêt à disposer d’un circuit résonant, accordé à la fréquence souhaitée de façon à ne sélectionner que les réponses intéressantes du système. Axel Maury 29 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 4 Étude du régime sinusoïdal forcé des systèmes mécaniques 4.1 Un exemple Expérience de cours. On étudie le dispositif représenté ci-contre, consti- tué d’une masse m accrochée à un ressort vertical O de longueur à vide l0 et de constante de raideur zA (t) k, et dont l’autre extrémité est mise en oscillation A par un dispositif extérieur. z(t) Le point A d’attache du ressort oscille à la pulsa- l(t) −→ tion ω avec OA = zA (t)→ − u z = ZA cos(ωt)→ −u z. Les frottements exercés par l’air sur le système M sont modélisés par la force de frottement fluide → − f = −α→ − v avec α une constante positive qui dé- pend du fluide (ici l’air). z On fait varier la fréquence d’excitation ω et on ob- Figure 6 – Schéma de la situation expérimen- serve le mouvement de la masse m qui en résulte. tale étudiée. https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/ Meca/Oscillateurs/ressort_rsf.php Observations : On fait varier continuement la pulsation d’excitation sur l’intervalle ω ∈ [0, + ∞[. La masse accrochée au ressort se met à osciller. Les oscillations observées croissent avec la fréquence d’excitation pour atteindre un maximum d’amplitude pour une fréquence donnée. Pour des fréquences d’excitation supérieures à cette dernière fréquence, l’amplitude d’oscillation de la masse m diminue progressivement lorsque la fréquence d’excitation augmente. Définition : Phénomène de résonance. Un système excité périodiquement présente une résonance pour une grandeur physique donnée lorsque l’amplitude de celle-ci admet un maximum pour une fréquence particulière de l’excitation appelée fréquence de résonance. À la fréquence de résonance, le transfert d’énergie de l’oscillateur vers le système oscil- lant est maximal. Équation différentielle du système : Axel Maury 30 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé. Axel Maury 31 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 4.2 Résonance en vitesse Axel Maury 32 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 4.3 Résonance en élongation du ressort Axel Maury 33 Cours PCSI 2024/2025 Thème : Ondes et signaux Chapitre 6 : Oscillateurs en régime sinusoïdal forcé 4.4 Bilan et analogie mécanique Circuit RLC série Oscillateur mécanique Existence Nature de la résonance Nature de la résonance de résonances Résonance ∀Q et ωr = ω0 Résonance de courant i(t) Résonance de vitesse v(t) Déphasage nul pour ω = ω0 Résonance seulement si Résonance de tension aux Q > √12 alors bornes du condensateur Résonance d’élongation z(t) q 1 uC (t) ou en charge q(t) ωr = ω0 1 − 2Q 2 Déphasage π égal à − 2 pour ω = ω0 4.5 Aspects pratiques de la résonance. En mécanique le phénomène de résonance est présent dans de nombreux domaines, car tous les systèmes mécaniques ont des fréquences propres et répondent à une excitation par une vibration d’amplitude d’autant plus grande que le système est peu amorti et que la fréquence d’excitation est proche d’une fréquence propre. Comme en électricité, on peut, soit rechercher, soit vouloir éviter une résonance. Résonance utile : on cherche à amplifier la réponse par une excitation proche de la fréquence propre et/ou un amortissement faible. — Trampoline : pour monter le plus haut possible, il faut sauter à la fréquence de résonance du tremplin, c’est pour quoi le débutant peine parfois à trouver cette fréquence. Chaque athlète règle en général le dispositif de façon à accorder la fréquence de résonance du trampoline à celle des sauts qu’il souhaite réaliser. — Four à micro-ondes : les ondes excitent les fréquences de résonance de vibration des molécules d’eau, qui acquièrent une grande énergie, ce qui se traduit par un échauffement au niveau macroscopique. Résonance nuisible :on cherche à limiter la réponse par une excitation différente de la fréquence propre et/ou un amortissement fort. — Les soldats ne franchissent jamais un pont au pas cadencé. En effet cette fréquence pourrait être malencontreusement celle de résonance du pont, or un pont en pierre n’est pas très élastique ! Bien que des versions divergent sur le sujet, il est possible que le pont d’Angers ait été détruit ainsi en 1850 (223 morts) de même que celui de Broughton en 1833. — Un autre pont, suspendu celui-là, le pont de Tacoma Narrows a été détruit en 1940 lorsqu’il a subi des rafales régulières de vent à sa pulsation propre1. — Lorsqu’une machine à laver tourne de plus en plus vite en essorage, il n’est pas rare qu’à un moment elle se mette à vibrer violemment. En effet, la fréquence du moteur augmente régulièrement et passe à un moment par la fréquence de résonance de la machine, ce qui est accentué si le système présente un balourd, dû au déséquilibre de la masse (paquet de linge par exemple). Le même phénomène existe sur une voiture. — Le tympan est soumis à de nombreuses vibrations sonores sur une large bande de fréquences. Il est heureusement très amorti, sinon certains sons seraient insupportables, car ils seraient ressentis très intensément. Axel Maury 34 Cours PCSI 2024/2025