Zusammenfassung Physik LK Abitur 2022 Baden-Württemberg PDF

Zusammenfassung Physik LK Abitur 2022 Malte Graf Diese Zusammenfassung wurde für das Abitur 2022 in Baden-Württemberg nach dem Bildungsplan von 2004 erstellt. Grundlage dafür waren größtenteils Aufschriebe aus dem Unterricht sowie das Kursbuch Dornbader Physik Gymnasium (G8) 11/12. Folgende Themen sind nicht Bestandteil dieser Zusammenfassung, da sie im Abitur ’22 nicht mehr abgefragt werden: Drehimpuls, Treibhauseffekt, Kernspaltung, Radioaktivität sowie die Aspekte der Elementarteilchenphysik. Kant-Gymnasium Weil am Rhein, Deutschland Januar 2022 i Vorwort Bevor es an das eigentliche Dokument geht, möchte ich hier noch die Gelegenheit nutzen, ein paar Worte zu verlieren. Diese Zusammenfassung beinhaltet alles, was in den zwei Jahren Physik-LK durchgenommen wurde. Sie konnte überhaupt nur deswegen so geschrieben werden, weil ich eine super tolle Lehrerin hatte, die sich genau auf das konzentriert hat, was für das Abitur relevant war. Auch außerhalb des Unterrichts war sie stets für uns da und konnte die Stunden für mich (als einer von den 11 wenigen, die Physik LK hatten) immer interessant und lernreich gestalten. An dieser Stelle also ein Dankeschön an Frau K. Sie sind mitunter der Grund, warum ich mitt- lerweile Physik studiere! Diese Zusammenfassung dient nicht dazu, alle Inhalte maximal zu kürzen, sondern ist in erster Linie dazu gedacht, alle Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen. Ich habe hier ver- sucht, an den Stellen weiter zu ergänzen, wo die Konzepte auf den ersten Blick vielleicht etwas abstrakt erscheinen mögen. Daher ist die Zusammenfassung an einigen Stellen eher ausfürlich gehalten. Im Inhaltsverzeichnis sind die Überschriften klickbar, sodass man an der entsprechenden Stelle im Dokument landet. Das Gleiche gilt zum Beispiel für Querverweise auf andere Abschnitte oder Gleichungsnummern über Gleichzeichen. Damit man diese besser erkennt, habe ich sie eingefärbt. Weil die vielen Themen schnell unübersichtlich werden können, habe ich versucht, die Formeln und Konzepte in zwei Kateogrien aufzuteilen: Definitionen: dort werden neue Begriffe und Sachverhalte eingeführt, Resultate: dort werden wichtige Gleichungen und Zwischenergebnisse aber auch Sätze und andere physikalische Spielregeln festgehalten. Zwischendurch findet man auch einige Bemerkungen, die hoffentlich beim Verständnis helfen. Diese Zusammenfassung ist hier zu finden. Sollte es in Zukunft eine überarbeitete Version ge- ben, werde ich sie dort hochladen. Bei Fragen oder Vorschlägen schreibt mir gerne: [email protected]. Ich wünsche allen, die auf diese Zusammenfassung gestoßen sind, gute Vorbereitung auf das Abitur (und/oder Klausuren) und hoffe natürlich auch, dass sie euch weiterhilft! Malte Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ii 1 Kinematik 1 1.1 Charakteristische Größen............................... 1 1.2 Allgemeines...................................... 1 1.3 Wichtige Bewegungen................................. 1 2 Dynamik 3 2.1 Charakteristische Größen............................... 3 2.2 Impuls......................................... 3 2.3 Kräfte......................................... 3 2.4 Energie......................................... 4 3 Elektrisches Feld 5 3.1 Kirchhoff’sche Gesetze................................ 5 3.2 Grundlagen...................................... 6 3.3 Das Elektrische Feld................................. 7 3.4 Geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld.................... 14 3.5 Elektronen im elektrischen Querfeld......................... 15 3.6 Braun’sche Röhre................................... 16 4 Magnetfeld 19 4.1 Magnete allgemein.................................. 19 4.2 Linke-Hand-Regel................................... 19 4.3 Die magnetische Flussdichte B............................ 20 4.4 Lorentz-Kraft..................................... 21 4.5 Hall-Effekt...................................... 22 4.6 Magnetfeld von langen Spulen............................ 23 4.7 Elektronen auf einer Kreisbahn: e/m-Bestimmung................. 23 4.8 Wien-Filter (Geschwindigkeitsfilter)........................ 24 4.9 Massenspektrometer................................. 25 5 Induktion 27 5.1 Grundlagen...................................... 27 5.2 Induktion durch...................................... 28 5.3 Elektrische Wirbelfelder............................... 29 5.4 Der magnetische Fluss................................ 30 5.5 Induktionsgesetz und Lenz’sche Regel....................... 30 5.6 Thomson’scher Ringversuch............................. 30 5.7 Selbstinduktion.................................... 32 5.8 Energie des Magnetfeldes............................... 36 5.9 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannungen.................... 37 ii INHALTSVERZEICHNIS iii 5.10 Transformator..................................... 38 5.11 Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld..................... 39 6 Maxwell’sche Gleichungen 41 7 Schwingungen 43 7.1 Mechanische Schwingungen............................. 43 7.2 Elektromagnetische Schwingungen.......................... 49 7.3 Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwingungen.......... 52 8 Wellen 55 8.1 Mechanische Wellen.................................. 55 8.2 Interferenz von Wellen................................ 61 8.3 Huygens-Prinzip................................... 62 8.4 Elektromagnetische Wellen.............................. 64 9 Licht als elektromagnetische Welle 69 9.1 Interferenz am Doppelspalt.............................. 69 9.2 Interferenz am Mehrfachspalt............................ 72 9.3 Interferenz am optischen Gitter........................... 74 9.4 Gitterspektren..................................... 75 9.5 Interferenz am Einzelspalt.............................. 76 9.6 Auswirkungen der endlichen Spaltbreite auf das Interferenzbild.......... 79 9.7 Polarisation von Licht................................ 80 9.8 Das Michelson-Interferometer............................ 81 10 Quantenphysik 83 10.1 Fotoeffekt....................................... 83 10.2 Plank’sches Wirkungsquantum und Einstein-Gerade................ 84 10.3 Welle-Teilchen-Dualismus.............................. 87 10.4 Masse und Impuls von Photonen.......................... 87 10.5 Entstehung von Röntgenstrahlung.......................... 88 10.6 Bragg-Reflexion................................... 89 10.7 Elektronenbeugung und De-Broglie-Wellenlänge................. 90 10.8 Mach-Zehnder-Interferometer........................... 91 10.9 Quantenobjekte.................................... 92 11 Meine LK-Klausuren 97 11.1 Klausur 1: Elektrisches Feld und Kondensator................... 97 11.2 Klausur 2: Elektrisches und magnetisches Feld................... 103 11.3 Klausur 3: Induktion................................. 107 11.4 Klausur 4: Schwingungen und mechanische Wellen................. 113 11.5 Klausur 5: Optik................................... 119 11.6 Klausur 6: Quantenphysik.............................. 124 11.7 Klausur 7: Quantenphysik.............................. 129 Kapitel 1 Kinematik 1.1 Charakteristische Größen Größe Einheit Formel (gleichförmige Bewegung) Formel (beschleunigte Bewegung) s m s = vt s(t) = 21 at2 + v0 t + s0 v ms−1 v = ṡ = ds dt v(t) = at a ms−2 - a = v̇ = dv dt Tabelle 1.1: Charakteristische Größen der Kinematik. 1.2 Allgemeines (i) Die Steigung im t-s-Diagramm stellt die Geschwindigkeit v dar. (ii) Die Fläche unter dem t-v-Diagramm stellt die zurückgelegte Strecke s dar. (iii) Die Steigung im t-v-Diagramm stellt die Beschleunigung a dar. 1.3 Wichtige Bewegungen 1.3.1 Der freie Fall Der Körper startet bei einer höhe h0 ohne Anfangsgeschwindigkeit. Die Beschleunigung g ist immer senkrecht nach unten gerichtet. Damit ergibt sich das Bewegungsgesetz Resultat 1.1 1 h(t) = h0 − gt2. (1.1) 2 1 KAPITEL 1. KINEMATIK Malte Graf 1.3.2 Der waagerechte Wurf Definition 1.1 Beim waagerechten Wurf überlagern sich zwei Bewegungen - eine gleichför- mige in x-Richtung und eine gleichförmig beschleunigte in y-Richtung. Der Körper startet in der Höhe h0. Die Beschleunigung g ist senkrecht nach unten gerichtet. Der Körper startet mit einer Geschwindigkeit v0,x , die senkrecht zur Beschleunigungsrichtung steht. Abbildung 1.1: Geschwindigkeitskomponenten beim waagerechten Wurf. Die horizontale Bewegung ist gleichförmig: v0,x = const., daher sx (t) = vx,0 · t. (1.2) Die vertikale Bewegung (der freie Fall) ist beschleunigt: 1 h(t) = h0 − gt2. (1.3) 2 Außerdem folgt mit Abbildung 1.1: vy tan θ = , (1.4) vx b 2 v = vx2 + vy2 ⇐⇒ v = vx2 + vy2. (1.5) 2 Kapitel 2 Dynamik 2.1 Charakteristische Größen Größe Einheit Formel Name p kgms−1 p = mv Impuls. F N = kgms−2 F = ṗ = mv̇ = ma Kraft W J = kgm2 s−2 W = F · ∆s Arbeit Tabelle 2.1: Charakteristische Größen der Dynamik. 2.2 Impuls Resultat 2.1 Impulserhaltungssatz. Die Summe aller Impulse in einem abgeschlossenen System bleibt konstant. Es gilt der Impul- serhaltungssatz: pt1 + pt2 +... + ptn = pt = const. 2.3 Kräfte Es gelten die Newton’schen Axiome: (i) Wenn die Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte 0 ist, bleibt die Geschwindigkeit konstant. (ii) Kraft und Impuls hängen durch F = ṗ = mv̇ = ma zusammen. (iii) Zu jeder wirkenden Kraft wirkt eine ihr vom Betrag her gleich große Kraft entgegen: Ft1 = −Ft2 (”actio=reactio”). 3 KAPITEL 2. DYNAMIK Malte Graf 2.4 Energie Resultat 2.2 Energieerhaltungssatz. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. E1 + E2 +... + En = E = const. In der Mechanik existieren folgende Energieformen: Größe Formel Beschreibung Ep Ep = mgh Lageenergie, bzw. potentielle Energie für einen Körper im Gravitationsfeld. Ekin Ekin = 12 mv 2 Bewegungsenergie, bzw. kinetische Energie für einen bewegten Körper. ESpann ESpann = 21 Dx2 Spannenergie, bzw. elastische Energie für Federn. In gewisser Weise auch potentielle Energie. Tabelle 2.2: Energieformen in der Mechanik 4 Kapitel 3 Elektrisches Feld 3.1 Kirchhoff’sche Gesetze 3.1.1 Knotenregel Abbildung 3.1: Knotenregel: In jedem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. Resultat 3.1 Damit gilt Ihin = Iab ⇐⇒ I1 = I2 + I3 + I4. (3.1) Bemerkung 3.1 Multipliziert man Gleichung 3.1 mit einem Zeitintervall ∆t, folgt Q1 = Q2 + Q3 + Q4. (3.2) Die Knotenregel beschreibt also die Erhaltung von elektrischer Ladung. 5 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.1.2 Maschenregel Abbildung 3.2: Maschenregel: Verfolgt man einen Stromzweig von einem Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der anliegenden Quelle. Resultat 3.2 Damit gilt U0 = U1 + U2 +... + Un (3.3) In Abbildung 3.2: U = U1 + U2 und U = U1 + U3 + U4. (3.4) Bemerkung 3.2 Multipliziert man Gleichung 3.3 mit der Ladung Q, folgt E0 = E1 + E2 +... + En. (3.5) Die Maschenregel beschreibt also die Erhaltung der Energie über den Stromkreis. 3.2 Grundlagen 3.2.1 Ladung Definition 3.1 Ladungen können positiv oder negativ sein. Elektronen tragen negative Ladun- gen, Protonen positive Ladungen. Ladungen sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e ≈ 1, 6 · 10−19 C. 6 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.2.2 Influenz Definition 3.2 Unter elektrischer Influenz versteht man die räumliche Ladungstrennung unter Einfluss eines elektrischen Feldes. Dies ist deshalb möglich, weil die Elektronen in einem leitenden Körper (z.B. einem Metall) nahezu frei beweglich sind, während die Atomrümpfe fest verankert sind. Abbildung 3.3: Influenz bei einem ungeladenen Metallkügelchen. Links. Es befindet sich ein neutral geladenes Metallkügelchen zwischen zwei Ladungsträgern. Mitte. Die Ladungen innerhalb des Metallkügelchens werden getrennt (Influenz). Das Metall- kügelchen wird vom Pluspol angezogen. Rechts. Der Pluspol lädt das Metallkügelchen elektrisch auf (Ladungsübertragung). Weil sich gleichnamige Ladungen abstoßen, wird die Kugel in Richtung Minuspol bewegt. 3.2.3 Polarisation Auch auf nicht leitende Körper (Isolatoren) wird durch ein elektri- sches Feld eine Wirkung ausgeübt. Die relativ unbeweglichen Ladungen richten sich an ihrer Stelle in Richtung des Außenfeldes aus und bilden Dipole. Dadurch kann sich Abbildung 3.4: Pola- ihre Oberfläche elektrisch aufladen. risation eines Isolators. 3.3 Das Elektrische Feld 3.3.1 Elektrische Feldlinien Feldlinien stehen in jedem Punkt senkrecht auf den Leiteroberflächen. Feldlinien beginnen auf positiven Ladungsträgern und enden auf negativen. Feldlinien durchkreuzen sich nicht gegenseitig. Die Richtung der Feldlinien gibt in jedem Punkt die Richtung der Kraft Ftel an, die auf eine positive Probeladung wirken würde. Die Dichte der Feldlinien steht symbolisch für die Stärke E des elektrischen Feldes. 7 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.3.2 Faraday’scher Käfig Definition 3.3 Ein Faraday’scher Käfig ist ein allseitig geschlossener Leiter, dessen Inneres als Folge von Influenz feldfrei ist. Im Inneren des Metallrings werden durch Influenz Ladungen getrennt. Es bildet sich daher ein gleich starkes elektrisches Feld aus, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Beide Felder heben sich im Inneren des Metallrings auf: Eta + E ti = 0. Abbildung 3.5: Fara- day-Käfig. 3.3.3 Die elektrische Feldstärke E In der Umgebung elektrisch geladener Körper existieren elektrische Felder. Diese Felder üben eine Kraft Ftel auf Ladungen aus, die sich darin befinden. Diese Kraft kann gemessen werden. Definition 3.4 Die elektrische Feldstärke ist definiert als Fel E=. (3.6) q t zeigt für q > 0 in dieselbe Richtung wie Ftel , für q < 0 in die Der elektrische Feldvektor E entgegengesetzte Richtung. 3.3.4 Messmethode zur Bestimmung der elektrischen Feldstärke E Ein entladenes Metallkügelchen wird in das homogene Feld ei- nes Plattenkondensators (hier Richtung nach rechts) gehängt. Da es elektrisch neutral ist, erfährt es erst einmal keine Auslen- kung. Dem Metallkügelchen wird (z.B. durch Berührung mit der linken Kon- densatorplatte) Ladung zugeführt. Die Auslenkung s wird mit Licht an die Wand projiziert. Abbildung 3.6: E- Bestimmung. 8 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf Die resultierende Zugkraft FtS des Seils kann in zwei Komponenten zerlegt werden: eine horizontale Komponente: Die elektrische Feldkraft Ftel eine vertikale Komponente: Die Gewichtskraft FtG. Im großen Dreieck gilt s sin θ =. (3.7) l Im Kräfte-Dreieck Fel tan θ =. (3.8) FG Für ausreichend kleine Winkel (θ ≤ 5◦ ) ist: s Fel s mgs sin θ = tan θ ⇐⇒ = ⇐⇒ Fel = FG · = ; (3.9) l FG l l Resultat 3.3 Und damit für die elektrische Feldstärke: Fel mgs E= =. (3.10) q ql 3.3.5 Das elektrische Potential Definition 3.5 Das elektrische Potential φ eines Punktes P ist die Spannung von P gegen ein Bezugsniveau B. Resultat 3.4 Die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist die Potentialdifferenz: U = ∆φ = φP2 − φP1. (3.11) Beim elektrischen Feld legt man die negative Platte als Bezugspunkt mit dem Potential φ0 = 0V fest. Damit besteht zwischen einem beliebigen Punkte und der negativen Platte die Spannung U = ∆φ = φP − φ0 = φP − 0V = φP. 9 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf Abbildung 3.7: Äquipotentiallinien eines Plattenkondensators. Definition 3.6 Zu den Feldlinien senkrechte Linien werden Äquipotentiallinien genannt. Bewegt man eine Ladung senkrecht zu den Feldlinien, also längs der Äquipotentiallinien, so ändert sich ihre potentielle Energie im elektrischen Feld nicht, damit auch nicht ihr Potential. Zwischen Punkten, die auf derselben Äquipotentiallinie liegen, besteht keine Spannung, da U = ∆φ = 0V. 3.3.6 Spannung und Potential beim Plattenkondensator Definition 3.7 Der Plattenkondensator ist ein Bauteil zum Speichern von elektrischen Ladun- gen und damit auch elektrischer Energie. Ist er geladen, so ist eine Platte positiv, die andere negativ geladen. Deshalb entsteht ein ho- mogenes elektrisches Feld dazwischen. Spannung tritt dann auf, wenn entgegengesetzte Ladungen unter Energieaufwand getrennt wer- den. Die dafür aufgewandte Energie steckt dann im elektrischen Feld. Zur besseren Vergleich- barkeit hier eine Betrachtung von Gravitations- und elektrischem Feld. (a) elektrisches (b) Feld. Gravitationsfeld. Abbildung 3.8: Vergleich: Elektrisches Feld & Gravitationsfeld. 10 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf Die elektrische Spannung ist der Quotient aus der potentiellen Energie Ep und der elektrischen Ladung q. Im elektrischen Feld ist (analog zum Gravitationsfeld mit Ep = mgh und m = q): Ep = qEs. (3.12) Daher gilt für die Spannung Ep qEs U= = = Es. (3.13) q q Resultat 3.5 Für die elektrische Feldstärke eines Plattenkondensators mit Plattenabstand d gilt mit angelegter Spannung U daher U E=. (3.14) d 3.3.7 Kapazität eines Plattenkondensators Definition 3.8 Die Kapazität C eines Kondensators ist der Quotient aus der Ladung Q auf den Platten und der angelegten elektrischen Spannung U : Q C C= mit der Einheit 1 = 1F Farad. U V Damit ist die Kondensatorkapazität die Steigung in einem U-Q-Diagramm. Resultat 3.6 Die Kapazität eines Kondensators mit der Plattenfläche A und dem Plattenab- stand d ist: A C = ε0 ε r ·. (3.15) d Resultat 3.7 Die Energie im Feld eines mit der Spannung U geladenen Plattenkondensators der Kapazität C ist: 1 Eel = CU 2. (3.16) 2 11 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.3.8 Lade- und Entladevorgang des Plattenkondensators Der Aufladevorgang erfolgt duch Anlegen einer äußeren Stromquelle, der Entladevorgang über einen elektrischen Widerstand R. (a) Verlauf der Kondensatorspannung. (b) Verlauf der Stromstärke. Abbildung 3.9: Zeitlicher Verlauf von Kondensatorspannung und Stromstärke beim Ein- und Ausschalten des Kondensators. Ladevorgang. Beim Ladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell zu und steigt dann immer langsamer. Das liegt daran, dass das im Kondensator entstehende elektrische Feld dem Ladevorgang ent- gegenwirkt. Dadurch hemmt es auch die Stromstärke, die sich dann asymptotisch 0 annähert. Das geschieht solange, bis UC = U0 mit UC := Kondensatorspannung; U0 := angelegte Spannung. Dann ist I = 0. Entladevorgang. Nach dem Ladevorgang ist die gesamte Energie als Feldenergie gespeichert. Beim Entladen wird diese wieder frei. Beim Entladevorgang nimmt die Spannung zunächst schnell ab und sinkt dann immer langsamer. Das liegt daran, dass die Kondensatorspannung, die den Strom antreibt, abnimmt, je mehr Ladung abgeflossen ist. Wenn die Spannung sinkt, sinkt auch der Betrag der Stromstärke (vgl. Abb. 3.9 (b)). 12 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.3.9 Vergleich: Gravitationsfeld und elektrisches Feld Zur Veranschaulichung noch einmal die Abbildung aus Abschnitt 3.3.6: (a) elektrisches Feld. (b) Gravitationsfeld. Abbildung 3.10: Vergleich: Elektrisches Feld & Gravitationsfeld. Kriterium Gravitationsfeld Elektrisches Feld Feldkraft FG = mg Fel = qE charakteristische Eigenschaft des Probekö- Masse m Ladung q pers Abhängigkeit der Feldkraft von der charak- FG ∝ m1 Fel ∝ q teristischen Eigenschaft Wirkung der Kräfte nur Anziehung Anziehung & Absto- ßung Betrag der Feldstärke g = 1N kg −1 E = 1N C −1 Potentielle Energie Ep = mgh Ep = qEs Ab-/Zunahme der potentiellen Energie zu: entgegen FG zu: entgegen Fel ab: in Richtung FG ab: in Richtung Fel Potential φG = Emp = mgh m = gh φel = Eqp = qEs q = Es sich entsprechende Größen FG Fel m q g E h s Tabelle 3.1: Vergleich: Gravitationsfeld & elektrisches Feld. 1 bedeutet proportional zu... 13 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.4 Geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld Ein geladenes Teilchen erfährt im elektrischen Feld die elektrische Feldkraft Ftel , die das Teilchen beschleunigt. Abbildung 3.11: Geladene Teilchen, die sich parallel zu den elektrischen Feldlinien bewegen. Die Summe aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte ist gleich der beschleunigenden Kraft: Fel = ma (3.17) Für Fel gilt qUC Fel = qE = (3.18) d Einsetzen in Gleichung 3.17 liefert: qUC qUC = ma ⇐⇒ a =. (3.19) d md Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die elektrische Energie Eel des Feldes in kinetische Energie Ekin des Teilchens umgewandelt wird: Eel = Ekin. (3.20) Für die elektrische Energie bei angelegter Spannung U und Ladung q des Teilchens gilt Eel = qUC ; (3.21) Für die kinetische Energie gilt 1 Ekin = mv 2. (3.22) 2 Einsetzen in Gleichung 3.20 liefert: Resultat 3.8 c 1 2qUC qUc = mv 2 ⇐⇒ v =. (3.23) 2 m 14 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.5 Elektronen im elektrischen Querfeld Abbildung 3.12: Elektronen, die sich senkrecht zu einem elektrischen Feld bewegen. Tritt ein Elektron mit der Ausgangsgeschwindigkeit v0 senkrecht zu den Feldlinien in ein ho- mogenes elektrisches Feld ein, so wirkt die elektrische Feldkraft Ftel auf das Teilchen. Diese bewirkt eines Ablenkung des Elektrons gegenüber der ursprünglichen Flugrichtung. Das Elektron bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn. Resultat 3.9 Für die horizontale Bewegung gilt: sx (t) sx (t) v0,x = ⇐⇒ t = (3.24) t v0,x Resultat 3.10 Für die vertikale Bewegung: 1 (3.14) 1 eUc (3.19) eUC sx (t)2 sy (t) = at2 = · · t2 = · 2 (3.25) 2 2 md 2md v0,x 15 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf 3.6 Braun’sche Röhre Eine Braun’sche Röhre besteht aus einem System zum Erzeugen eines Elektronenstrahls, einem Ablenksystem und einem Leuchtschirm. Abbildung 3.13: Aufbau einer Braun’sche Röhre. Aufgrund des glühelektrischen Effekts treten Elektronen aus der Heizwendel aus, an der die Spannung UH anliegt. Diese werden dann durch die Anodenspannung UA von der Kathode zur Anode beschleunigt. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt: Eel = Ekin (3.26) 1 eUA = me v 2 (3.27) 2 c 2eUA v=. (3.28) me b Die Elektronen gelangen also mit der Geschwindigkeit v0 = 2eU me A zur Anode und werden da- nach in x-Richtung nicht mehr beschleunigt. Stattdessen wirkt auf sie die elektrische Feldkraft Ftel , die die Elektronen in y-Richtung beschleunigt. Nachdem die Elektronen aus dem Kondensator (Ablenksystem) austreten, handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung, die sich aus der vektoriellen Addition von v0,x und vy,max zusam- mensetzt. Resultat 3.11 Für die horizontale Bewegung gilt: sx (t) sx (t) (3.19) sx (t) v0,x = ⇐⇒ t = = b. (3.29) t v0,x 2eUA me 16 KAPITEL 3. ELEKTRISCHES FELD Malte Graf Widmen wir uns der vertikalen Bewegung: Die Elektronen werden von der elektrischen Feldkraft Ftel in y-Richtung beschleunigt, daher folgt analog zu Gleichung 3.19 mit q = e und m = me : eUC a= (3.30) me d Resultat 3.12 Damit folgt für sy (t):  2 1 2 (3.25) eUC 2 (3.24) eUC  sx (t)  UC sx (t)2 sy (t) = at = ·t = ·  b  = (3.31) 2 2me d 2me d  2eUA  4UA d me 17 Kapitel 4 Magnetfeld 4.1 Magnete allgemein Definition 4.1 Magnete sind Körper, die andere Körper in ihrer Umgebung magnetisch beein- flussen können (= Kraft ausüben). Es gibt zwei Arten von Magneten: Dauermagnete: bestehen aus ferromagnetischen Stoffen; haben winzige ”Elementarma- gnete”. Elektromagnete: stromdurchflossene Leiter besitzen ein Magnetfeld. Jeder Magnet besitzt einen Nord- und einen Südpol. Er wird von einem Feld umgeben, das symbolisch durch Magnetfeldlinien dargestellt werden kann. Diese verlaufen vom Nordpol zum Südpol. Definition 4.2 Gleichnamige Polungen stoßen sich ab, ungleichnamige Polungen ziehen sich an. 4.2 Linke-Hand-Regel Bei einem stromdurchflossenen Leiter lässt sich die Richtung des Magnetfeldes mithlife der Linken-Hand-Regel bestimmen. Der Daumen der linken Hand zeigt in die Richtung des Elektronenflus- ses (von − nach +). Dann geben die gekrümmten Finger die Richtung der magnetischen Feldlinien an. Das so ermittelte Feld besitzt allerdings keinen Nord- oder Südpol, sondern ist in sich geschlossen. Man spricht auch von magnetischen Wirbelfeldern. Abbildung 4.1: Linke-Hand-Regel 19 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf 4.3 Die magnetische Flussdichte B Definition 4.3 Die magnetische Flussdichte B t ist ein Maß für die Stärke eines Magnetfeldes. Sie kann wie folgt ermittelt werden: Abbildung 4.2: Bestimmung der magnetischen Flussdichte eines Leiterrahmens der Breite s. Auf den Leiter wirkt auf jeder Seite im Magnetfeld die Lorentzkraft FtL. Die Kräfte, die nach links und rechts zeigen, heben sich gegenseitig auf, sodass nur die nach unten zeigende Kraft übrig bleibt. Diese wird mit einem Kraftmesser gemessen. Dabei wird...... einmal I verändert, während s konstant bleibt, und...... s verändert, während I konstant bleibt. Es ist FtL ∝ 1 I und FtL ∝ s, daher FtL ∝ I · s. Bemerkung 4.1 Sind zwei Größen proportional zueinander, ist ihr Quotient konstant. Der Quotient aus FL und Is wird als magnetische Flussdichte B bezeichnet. FL = const. = B. (4.1) Is 1 Dieses Zeichen bedeutet proportional zu 20 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf Die magnetische Flussdichte besitzt die Einheit 1N A−1 m−1 = 1T (Tesla). Umstellen von Glei- chung 4.1 nach FL liefert einen Ausruck für die Lorentzkraft auf einen Leiter mit n Windungen der Breite s, der von einem Strom der Stärke I durchflossen wird: Resultat 4.1 FL = nBIs (4.2) 4.4 Lorentz-Kraft Definition 4.4 Auf Ladungsträger, die sich senkrecht im Magnetfeld bewegen, wirkt die Lorentz-Kraft. Sie ist senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld gerichtet. 4.4.1 Drei-Finger-Regel Mithilfe der Drei-Finger-Regel kann man ihre Richtung für bewegte Ladungsträger ermitteln. Abbildung 4.3: Drei-Fingerregel: Der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung des Ladungs- trägers, der Zeigefinger zeigt in die Richtung des Magnetfeldes, der Mittelfinger zeigt in Rich- tung der Lorentz-Kraft. Umgekehrt lässt sich die Richtung der Lorentzkraft auf positive Ladungsträger mit der rechten Hand bestimmen. 4.4.2 Lorentzkraft auf ein Elektron Man betrachte ein Leiterstück der Länge s, in dem sich N freie Elektronen mit Ladung e befinden. Im Leiterstück fließt also die bewegliche Ladung Q = Ne (4.3) Die Elektronen bewegen sich mit der Driftgeschwindigkeit v mit ∆s ∆s v= ⇐⇒ ∆t =. (4.4) ∆t v 21 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf Damit gilt für die Stromstärke ∆Q (4.3) N e (4.4) N ev I= = = (4.5) ∆t ∆t s Einsetzen in Gleichung 4.2 liefert: N ev FL = BIs = B · · s = N Bev. (4.6) s Resultat 4.2 Diese Formel gilt analog für Teilchen beliebiger Ladung q: FL = N Bqv. (4.7) 4.5 Hall-Effekt Wird ein stromdurchflossener Leiter senkrecht von einem Magnetfeld durchsetzt, so wirkt auf die bewegten Elektronen die Lorentzkraft FtL. Abbildung 4.4: Halleffekt und Hallspannung. Diese ist in diesem Beispiel nach unten gerichtet und sorgt dafür, dass sich die Elektronen nach unten bewegen. In der Folge entsteht an der Unterseite ein Elektronenüberschuss (Punkt B) und an der Ober- seite ein Elektronenmangel (Punkt A). Zwischen Ober- und Unterseite entsteht eine Potential- differenz, die als Hallspannung UH messbar ist. Durch den Elektronenüberschuss bzw. Elektronenmangel entsteht ein elektrisches Feld, wodurch auf die Elektronen zunehmend die elektrische Feldkraft Ftel wirkt. Das Feld wird gerade so groß, dass ein Kräftegleichgewicht zwischen FtL und Ftel entsteht. Es gilt: FL = Fel ⇐⇒ Bev = eE (4.8) UH UH Bv = ⇐⇒ B =. (4.9) h hv Durch Messung von h, v und UH kann damit die magnetische Flussdichte B bestimmt werden. 22 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf 4.6 Magnetfeld von langen Spulen Stromdurchflossene Leiter erzeugen Magnetfelder - dazu gehören auch Spulen. Im Inneren einer langgestreckten Spule (auch schlanke Spule) ist das Magnetfeld homogen, in einer dicken Spule nicht. Resultat 4.3 Im Falle von langen Spulen ist die magnetische Flussdichte n B = µ0 µr ·· I, (4.10) l mit n Windungen, l Länge der Spule, I die Stärke des Stroms, der die Spule durchfließt und µ0 , µr Konstanten. 4.7 Elektronen auf einer Kreisbahn: e/m-Bestimmung Aus der Glühkathode treten Elektronen aus, die dann zur Anode hin auf die Geschwindigkeit v beschleunigt werden. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt Eel = Ekin (4.11) c 1 2eU eU = me v 2 ⇐⇒ v =. (4.12) 2 me Anschließend gelangen sie in ein homogenes, von zwei Helmholtz-Spulen erzeugtes, Magnet- feld. Auf die Elektronen wirkt die Lorentzkraft FtL , welche nach der Drei-Finger-Regel immer zum Kreismittelpunkt gerichtet ist. Da die Lorentzkraft immer senkrecht zur Elektronenbe- wegung steht, erhalten die Elektronen keine zusätzliche kinetische Energie; Nur die Richtung der Geschwindig- keit ändert sich - nicht der Betrag. Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft FtZ und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn. Daher gilt: FL = FZ (4.13) me v 2 me v Bev = ⇐⇒ r = (4.14) r Be e Umstellen nach m liefert: Abbildung 4.5: Kreisbahn der Elek- b 2eU tronen. e v (4.13) me quadrieren e 2U = = ⇐⇒ = 2 2. (4.15) me Br Br me B r Da die Ladung e des Elektrons bekannt ist, lässt sich die Masse me problemlos ausrechnen. Man erhält me ≈ 9, 11 · 10−31 kg. 23 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf 4.8 Wien-Filter (Geschwindigkeitsfilter) Definition 4.5 Der Geschwindigkeitsfilter besteht aus zwei Feldern: Einem elektrischen Feld der Stärke E Einem Magnetfeld der Flussdichte B. Abbildung 4.6: Wien-Filter Schema. Damit ein Teilchen (hier ein Elektron) den Geschwindigkeitsfilter passieren kann, muss sich ein Kräftegleichgewicht zwischen FtL und Ftel einstellen. FL = Fel (4.16) E Bev = eE ⇐⇒ v =. (4.17) B Es gelangen also nur Teilchen mit einer spezifischen Geschwindigkeit v durch den Filter. Alle anderen Teilchen werden nach oben oder unten abgelenkt. Masse oder Ladung spielen dabei keine Rolle. 24 KAPITEL 4. MAGNETFELD Malte Graf 4.9 Massenspektrometer Definition 4.6 Das Massenspektrometer besteht aus einem Geschwindigkeitsfilter mit einem elektrischen Feld der Stärke E und einem magnetischen Feld der Flussdichte B1 , sowie einem Massentrenner. Der Massentrenner besteht aus einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B2 und einer Fotoplatte. Abbildung 4.7: Massenspektrometer. Treten geladene Teilchen in das Magnetfeld B2 ein, werden sie auf einer Kreisbahn abgelenkt. Analog zu Elektronen auf einer Kreisbahn wirkt auch hier die Lorentzkraft FtL als Zentripetal- kraft FtZ : FL = FZ (4.18) mv 2 B2 qv = (4.19) r mv B2 qr B2 q = ⇐⇒ m =. (4.20) r v 25 Kapitel 5 Induktion 5.1 Grundlagen Definition 5.1 Induktion. Elektrische Spannung wird in einer Leiterschleife induziert, wenn sich die Anzahl der magneti- schen Feldlinien, die ihre Querschnittsfläche senkrecht durchsetzen, zeitlich ändert (Faraday). Im Magnetfeld wird ein Leiter mit freien Elektronen senkrecht zu einem Magnetfeld mit ei- ner Geschwindigkeit v bewegt. Dadurch wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft FtL. Somit entsteht an einer Seite ein Elektronenüberschuss, an der anderen ein Elektronenmangel. Diese Potentialdifferenz ist als Induktionsspannung Uind messbar. Gleichzeitig entsteht auch ein elektrisches Feld, ähnlich wie bei der Hall-Sonde, wodurch auf die Elektronen im Leiter die elektrische Feldkraft FtL ausgeübt wird, die der Lorentzkraft FtL entgegengerichtet ist, sodass ein Kräftegleichgewicht entsteht: Fel = FL (5.1) eE = nBev (5.2) Uind = nBv (5.3) d Resultat 5.1 Damit gilt für die Induktionsspannung für eine Leiterschlaufe mit n Windungen: Uind = nBdv. (5.4) 27 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.2 Induktion durch... 5.2.1... Änderung der wirksamen Fläche A (a). (b). Abbildung 5.1: Induktion durch Flächenänderung. Eine Leiterschleife der Breite a und Höhe b wird in ein homogenes Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien eingeschoben. Dabei verändert sich die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche A zeitlich, wodurch eine Spannung induziert wird. Für die Induktionsspannung gilt nach Gleichung 5.4: Uind = nBav, (5.5) wobei für die Geschwindigkeit v gilt: db v=. (5.6) dt Resultat 5.2 Einsetzen von Gleichung 5.6 ind 5.5 liefert: db dA Uind = nBa · = nB · = nB Ȧ.1 (5.7) dt dt Eine andere Möglichkeit, die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche zu ändern, wäre eine Rotation der Leiterschleife. Dazu aber mehr in Abschnitt 5.9. 1 Hier bezeichnet Ȧ die zeitliche Änderung der Fläche. 28 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.2.2... Änderung der magnetischen Flussdichte B Eine Induktionsspule liege in einer felderzeugenden Spule. Ändert man das Feld der Erzeuger- spule durch Ändern der Erregerstromstärke I, wird eine Induktionsspannung in der Indukti- onsspule erzeugt. Resultat 5.3 Für die Induktionsspannung gilt dann: dB Uind = nA · = nAḂ. (5.8) dt 5.3 Elektrische Wirbelfelder Man kann das Auftreten einer Induktionsspannung bei einer zeitlichen Änderung des Magnet- feldes nicht durch die Lorentzkraft erklären, wohl aber durch elektrische Wirbelfelder. Definition 5.2 Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld (Ḃ) erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Die Feldlinien dieses Wirbelfeldes sind kreisförmig und in sich geschlossen. Abbildung 5.2: Elektrische Wirbelfelder. Die Richtung des Feldstärkevektors E t kann mithilfe der Hand bestimmt werden: Links. Es gilt Ḃ > 0. Der linke Daumen zeigt in die Richtung von B, t die gekrümmten Finger geben die Richtung von E t an. Rechts. Es gilt Ḃ < 0. Der rechte Daumen zeigt in die Richtung von B, t die gekrümmten Finger geben die Richtung von E an. t 29 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.4 Der magnetische Fluss Definition 5.3 Der magnetische Fluss Φ durch eine Fläche A ist das Produkt von magnetischer Flussdichte B und der vom Magnetfeld senkrecht durchsetzten Fläche A: Φ = AB (5.9) mit der Einheit [Φ] = T m2 = V s = W b (Weber). 5.5 Induktionsgesetz und Lenz’sche Regel Resultat 5.4 Lenz’sche Regel. Die Polung einer Induktionsspannung ist immer so gerichtet, dass das durch sie hervorgerufene Magnetfeld seiner Ursache entgegenwirken kann. Resultat 5.5 Eine Spannung wird induziert, wenn sich der magnetische Fluss eines Leiters zeitlich ändert: Uind = −nΦ̇ = −n · (ȦB + AḂ) (5.10) 5.6 Thomson’scher Ringversuch Die Lenz’sche Regel wird durch den Thomson’schen Ringversuch bestätigt. in einen bifilar2 aufgehängten Aluminiumring ragt ein Eisenkern, der in einer Spule steckt. (a) Einschaltvorgang. (b) Ausschaltvorgang. Abbildung 5.3: Thomson’scher Ringversuch. 2 an zwei Fäden 30 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf Resultat 5.6 Einschaltvorgang. Schließt man den Spulenstromkreis, so wird der Ring abgestoßen. Nachdem der Spulenstromkreis geschlossen wird, nimmt die Stromstärke zu und es baut sich ein Magnetfeld auf (Ḃ > 0). Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, was durch die elektrische Feldkraft Ftel die Elektronen im Ring bewegt. Es entsteht also ein Induktionsstrom. Dieser ist nach Lenz so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirken kann. Die Ursache ist hier das Magnetfeld der Spule. Durch die bewegte Ladung entsteht ein Magnetfeld, welches dem Spulenmagnetfeld entgegengerichtet ist. Somit stoßen sich beide Magnetfelder voneinander ab und der Ring bewegt sich nach rechts. Die Polung der Magnetfelder ist durch N und S angedeutet. Resultat 5.7 Ausschaltvorgang. Öffnet man den Spulenstromkreis, so wird der Ring angezogen. Nachdem der Spulenstromkreis geöffnet wird, nimmt die Stromstärke ab und so auch das Ma- gnetfeld (Ḃ < 0). Im Ring wird wieder ein Induktionsstrom erzeugt, der durch seine Richtung seiner Ursache entgegenwirkt - in diesem Fall der Abnahme des Magnetfeldes. Dadurch entsteht ein Magnetfeld, das so gepolt ist, dass es vom Spulenmagnetfeld angezogen wird. 31 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.7 Selbstinduktion 5.7.1 Versuchsaufbau und Phänomen Abbildung 5.4: Schaltskizze: Selbstinduktion. Resultat 5.8 Einschalten. Das Lämpchen 2 leuchtet erst mit Verzögerung gegenüber Lämp- chen 1 Im Spulenstromkreis steigt die Stromstärke verzögert an. Schließt man den Schalter, steigt die Stromstärke an und bewirkt den Anstieg des Magnetfeldes der Spule (Ḃ > 0), was eine Spannung induziert. Diese wirkt nach Lenz ihrer Ursache entgegen (Anstieg der Stromstärke) und hemmt diesen. Resultat 5.9 Ausschalten. Das Lämpchen 2 leuchtet nach dem Ausschalten kurz weiter, während das Lämpchen 1 sofort erlischt Im Spulenstromkreis fällt die Stromstärke verzögert ab. Öffnet man den Schalter, fällt die Stromstärke ab. Das bewirkt den Abfall des Magnetfeldes der Spule (Ḃ < 0), was eine Spannung induziert. Diese wirkt nach Lenz ihrer Ursache entgegen (Abfall der Stromstärke) und lässt diese somit weiterfließen. 32 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.7.2 Formel und Herleitung Die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche der Spule bleibt konstant =⇒ Ȧ = 0. Damit gilt für die Induktionsspannung in der Spule: n Uind = −n · Φ̇ = −n · A · Ḃ mit B = µ0 · µr · ·I. (5.11) l loooomoooon const. Resultat 5.10 n Uind = − n · A · µ0 · µr · ·I˙ = −L · I. ˙ (5.12) l looooooooomooooooooon L Definition 5.4 Es handelt sich bei der Induktivität L um eine spulenspezifische Größe, die nur von der Geometrie der Spule abhängt: n2 L = µ0 · µr · A ·. (5.13) l Die Einheit ist [L] = H Henry. 5.7.3 Differentialgleichung des Einschaltvorgangs Im Stromkreis treten zwei Spannungen (in Reihe geschaltet) auf: die von außen angelegte Spannung U0 , ˙ die Induktionsspannung der Spule Uind = −L · I. Diese addieren sich zu jedem Zeitpunkt t zur Gesamtspannung U (t) des Stromkreises: U (t) = U0 + Uind (t). (5.14) Für die Gesamtstromstärke I(t) des Stromkreises gilt U (t) U0 + Uind (t) ˙ U0 − L · I(t) I(t) = = = (5.15) R R R Resultat 5.11 Dies liefert eine Differentialgleichung 1. Ordnung: U0 R I˙ = − · I =⇒ I˙ = α − βI. R on loomo loomo L on α β 33 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt durch durch Trennung der Variablen: ż ż dI 1 1 I˙ = = α − βI ⇐⇒ dI = dt ⇐⇒ dI = dt dt α − βI α − βI 1 ⇐⇒ − ln (α − βI) = t + c β ⇐⇒ ln (α − βI) = −β (t + c) ⇐⇒ α − βI = e−βt−βc = e−βt · loeomo −βc on = γe −βt γ −βt ⇐⇒ −βI = γe −α Resultat 5.12 Damit folgt als allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 1 I(t) = α − γe−βt. (5.16) β Zum Zeitpunkt t = 0 fließt kein Strom ⇐⇒ I(0) = 0. I(0) = α − γ = 0 ⇐⇒ α = γ (5.17) Einsetzen von γ = α in Gleichung 5.16, liefert: 1 α I(t) = α − αe−βt = 1 − e−βt (5.18) β β und mit den Werten für α und β von oben: Resultat 5.13 U0 R I(t) = 1 − e− L ·t. (5.19) R Um eine Gleichung für die Induktionsspannung Uind (t) zu ermitteln, wird Gleichung 5.14 um- gestellt: Uind (t) = U (t) − U0 , (5.20) wobei U (t) zu jedem Zeitpunkt mit dem Ohm’schen Gesetz berechnet werden kann: Uind (t) = RI(t). (5.21) Resultat 5.14 U0 R R Uind (t) = U (t) − U0 = RI(t) − U0 = R · 1 − e− L ·t − U0 = −U0 · e− L ·t (5.22) R 34 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.7.4 Differentialgleichung des Ausschaltvorgangs Beim Ausschaltvorgang kann die Spule L durch die Induktionsspannung und einen eigenen Widerstand Rsp ersetzt werden: Abbildung 5.5: Ausschaltvorgang Spule. Betrachtet man die in Reihe geschalteten Widerstände R1 und Rsp als Gesamtwiderstand R, gilt: ˙ RI(t) = Uind = −LI. (5.23) Resultat 5.15 Dies liefert eine Differentialgleichung 1. Ordnung: R I˙ = − · I. L Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: dI R 1 R I˙ = = − · I ⇐⇒ dI = − dt dt L żI żL 1 R ⇐⇒ dI = − dt I L R ⇐⇒ ln(I) = − t + c L Resultat 5.16 Damit folgt als allgemeine Lösung der Differentialgleichung: R R I = e− L ·t+c = γe− L ·t. (5.24) Zum Zeitpunkt t = 0 ist I(0) = γ. Dieser Wert muss dem Wert entsprechen, den die Stromstärke nach dem Einschaltvorgang hatte. Dazu betrachtet man Gleichung 5.19 für t → ∞: U0 U0 −R ·t lim 1−e L = = γ. t→∞ R Rsp 35 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf Damit gilt für die Stromstärke beim Ausschaltvorgang: Resultat 5.17 U0 R I(t) = ·e− L ·t (5.25) looRmo spon I0 Für die Induktionsspannung gilt nach wie vor: ˙ Uind (t) = −LI(t) (5.26) mit I bzw. I˙ wie oben. Resultat 5.18 ˙ = L · U0 · R · e− RL ·t = U0 · R · e− RL ·t. Uind (t) = −LI(t) (5.27) Rsp L Rsp 5.8 Energie des Magnetfeldes Herleitung für die Energie des Magnetfeldes unter Betrachtung des Ausschaltvorgangs. Nachdem der Stromkreis geöffnet wird, geht die im Magnetfeld gespeicherte Energie nicht einfach verloren, sondern wird am Widerstand abgegeben. Aus der Leistung dWm P = (5.28) dt kann die abgegebene magnetische Energie Wm berechnet werden: ż∞ Wm = P dt. (5.29) 0 Für die elektrische Leistung gilt (U =RI) P = UI = RI 2. (5.30) Somit muss über den elektrischen Strom I integriert werden: ż∞ Wm = R I 2 dt, (5.31) 0 wobei I die Lösung der Differentialgleichung des Ausschaltvorgangs ist: ż∞ ∞ L − 2R ·t L 1 2R Wm = R I02 e− L ·t dt = RI02 − e L = − I02 · [0 − 1] = LI02. (5.32) 2R 0 2 2 0 36 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf Resultat 5.19 Die Energie des Magnetfeldes ist also 1 Wm = LI02. 2 5.9 Erzeugung sinusförmiger Wechselspannungen Definition 5.5 Durch Drehung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld kommt es zu einer Änderung der vom Magnetfeld senkrecht durchsetzten Fläche As. Dadurch wird eine sinusför- mige Induktionsspannung erzeugt ( Generatorprinzip). Abbildung 5.6: Rotierende Leiterschlaufe. Für die senkrechte Projektion der Fläche A gilt: As = A · sin θ = A · sin(ωt + φ) (5.33) Das Magnetfeld bleibt konstant =⇒ Ḃ = 0. Damit gilt für die Induktionsspannung: Resultat 5.20 d(As B) dAs d (A · sin(ωt + φ)) Uind = −n·Φ̇ = −n· = −n·B· = −n·B· = − nAωB loomoon · cos(ωt+φ). dt dt dt Û (5.34) 37 KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf Abbildung 5.7: Verlauf sinusförmige Induktionsspannung und Leiterschlaufenposition. Bemerkung 5.1 In obenstehender Abbildung ist As (0) = A, weshalb φ = π 2. Daher ist der Verlauf der Wechselspannung sinusförmig. Die Spannung ist jeweils dann maximal, wenn die Än- derungsrate des magnetischen Flusses Φ maximal ist. Die Leiterschlaufe steht dann parallel zu den magneti- schen Feldlinien und der magnetische Fluss ist null! Es kommt nicht auf ihn an, sondern auf seine Ände- rungsrate. Abbildung 5.8: Wechselspannung. 5.10 Transformator Definition 5.6 Transformatoren bestehen aus zwei gegeneinander isolierten Spulen, die sich auf einem geschlossenen Eisenkern befinden. Mit ihrer Hilfe kann man die Höhe von Wechsel- spannungen verändern. Transformatoren verändern die Spannung von Wechselstrom mit- hlife von Selbstinduktion. Die Primärspule erzeugt durchgehend durch Wechselspannung ein sich änderndes Magnetfeld (Ḃ). Daher ändert sich der magnetische Fluss (Φ̇). Dadurch wird in der Sekundärspule eine Spannung induziert, die von U1 und dem Verhältnis von n1 und n2 abhängt. Es gilt: U1 n1 I2 = =. (5.35) U2 n2 I1 Abbildung 5.9: Transfor- 38 mator. KAPITEL 5. INDUKTION Malte Graf 5.11 Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld Kriterium Magnetfeld Elektrisches Feld Ursache Dauermagnete oder stromdurch- Elektrische Ladung flossener Leiter Feldlinienbedeutung Bahn, auf der sich ein magneti- Bahn, auf der sich eine unend- scher Nordpol bewegen würde lich kleine positive Probeladung bewegen würde Feldlinienverlauf Aus dem Nordpol heraus Aus dem Pluspol heraus In den Südpol hinein In den Minuspol hinein hohe Feldliniendichte Starkes Magnetfeld Starkes elektrisches Feld paralleler Feldlinien- homogenes Magnetfeld Homogenes elektrisches Feld verlauf Vorkommen des ho- Hufeisenmagnet Plattenkondensator mogenen Feldes Feldkraft Lorentzkraft FtL auf bewegte La- Elektrische Feldkraft Ftel dung Wirkung der Feldkraft Anziehung und Abstoßung Anziehung und Abstoßung Stärke des Feldes E = Fqel B = FIsL Tabelle 5.1: Vergleich: Magnetfeld und elektrisches Feld. 39 Kapitel 6 Maxwell’sche Gleichungen Die Gleichungen beschreiben das Gebiet von Elektrodynamik und Magnetfeldern vollständig. Zwar sind sie vom Bildungsplan nicht zwingend vorgeschrieben, für Interessierte aber sicher spannend. ∇ t= ρ t ·E (6.1) ε0 Elektrische Feldlinien divergieren voneinander unter Anwesenheit elektrischer Ladungen. Ins- besondere ist die elektrische Ladung die Quelle des elektrischen Feldes. ∇ t ·B t=0 (6.2) Magnetische Feldlinien divergieren nicht, sie sind insbesondere quellenfrei. Es gibt keine ma- gnetischen Monopole. t = − ∂B t ∇t ×E (6.3) ∂t Änderungen in der magnetischen Flussdichte haben ein elektrisches Wirbelfeld zurfolge. Das Minuszeichen entstammt der Lenz’schen Regel. t = µ0 Jt + µ0 ε0 ∂ E t ∇ t ×B (6.4) ∂t Elektrische Ströme haben ein magnetisches Wirbelfeld zurfolge. Durch diese Gleichungen konnte die Existenz von elektromagnetischen Wellen lange vor der experimentellen Verifizierung bereits vorhergesagt werden. Für eine Funktion f , die die Gleichung 1 ∂ 2f ∇2 f = · (6.5) v 2 ∂t2 erfüllt, gilt: f beschreibt eine Welle. ∂2f Dabei ist ∇2 f die zweite Ableitung nach dem Ort, ∂t2 die zweite Ableitung nach der Zeit und v die Geschwindigkeit der Welle. 41 KAPITEL 6. MAXWELL’SCHE GLEICHUNGEN Malte Graf Im freien Raum gilt ρ = 0 (Ladungsdichte) und Jt = 0 (Stromdichte). Damit wird aus obenste- henden Gleichungen 2t t = ε0 µ 0 · ∂ E ∇2 E (6.6) ∂t2 2t t = ε0 µ 0 · ∂ B ∇2 B (6.7) ∂t2 Das bedeutet: Sowohl das elektrische Feld als auch das magnetische Feld ist eine Welle! Aus- serdem gilt für beide Felder: 1 1 2 = ε0 µ0 =⇒ c0 = ‘ (6.8) v ε0 µ 0 Das ist die Lichtgeschwindigkeit! 42 Kapitel 7 Schwingungen 7.1 Mechanische Schwingungen 7.1.1 Lineares Kraftgesetz beim Federpendel Definition 7.1 Beim Federpendel wirkt eine Kraft auf den Schwingkörper, die stets zur Ru- helage (auch Gleichgewichtslage) gerichtet ist - die Rückstellkraft Ftrück. Abbildung 7.1: Kräftebetrachtung am Federpendel. Resultat 7.1 Für die Rückstellkraft gilt das lineare Kraftgesetz Frück = −Ds, (7.1) wobei s die Auslenkung aus der Ruhelage ist. D ist die Federkonstante. Eine mechanische Schwingung, die das lineare Kraftgesetz erfüllt, heißt harmonische Schwin- gung. Die aufgezeichneten Schwingungen sind dann sinusförmig. 43 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf 7.1.2 Mathematische Beschreibung von harmonischen Schwingun- gen 7.1.2.1 Charakteristische Größen Größe Formelzeichen Einheit Bedeutung Auslenkung s m Abstand des schwingenden Körpers von Elongation der Gleichgewichtslage Amplitude ŝ m maximale Auslenkung Schwingungsdauer T = f1 s Zeit für eine vollständige Schwingung Periodendauer des Körpers Frequenz f = T1 1 s = Hz Anzahl der Schwingungen pro Sekunde Tabelle 7.1: Größen zur Beschreibung von harmonischen Schwingungen. 7.1.2.2 Zeit-Elongation-Gesetz Wir suchen eine Funktion, die die Auslenkung s in Abhängigkeit von t angibt. Abbildung 7.2: Zeit-Elongation-Betrachtung. Für die Projektion des Zeigers auf die y-Achse gilt s(t) = r sin θ = ŝ · sin θ. (7.2) Resultat 7.2 Beim Zeigerdiagramm rotiert der Zeiger mit fester Winkelgeschwindigkeit ω und es gilt s(t) = ŝ · sin (ωt + φ). (7.3) 44 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Ableiten nach der Zeit liefert das Zeit-Geschwindigkeits- und Zeit-Beschleunigungs-Gesetz. Resultat 7.3 ds v(t) = = ŝω · cos(ωt + φ) = v̂ · cos(ωt + φ). (7.4) dt Resultat 7.4 dv a(t) = = −ŝω 2 · sin(ωt + φ) = −â · sin(ωt + φ). (7.5) dt 7.1.3 Differentialgleichung der Schwingung - Periodendauer T Wir suchen eine Gleichung für die Periodendauer T der Schwingung. Die Rückstellkraft Ftrück = −Ds ist für die Beschleunigung des Körpers in Richtung der Gleich- gewichtslage verantwortlich, daher: Frück = ma (7.6) 2 ds −Ds = m · (7.7) dt2 −Dŝ · sin (ωt + φ) = −mŝω 2 · sin(ωt + φ) (7.8) D = mω 2 (7.9) 2π 2 D =m· (7.10) T Resultat 7.5 Damit erhält man für die Periodendauer T c m T = 2π · (7.11) D Für einen zwischen zwei Feder eingespannten Schwingkörper gilt D = D1 + D2. 45 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf 7.1.4 Flüssigkeitspendel Definition 7.2 Bei einem Flüssigkeitspendel schwingt eine Wassersäule der Länge L und einer Gesamtmasse M periodisch hin und her. Das Wasser muss in zwei Teilen betrachtet werden. Das überstehende Wasser der Höhe h und Masse m Das gesamte Wasser der Länge L und Masse M Wenn die Säule schwingt, wirkt die Gewichtskraft des überstehenden Was- sers als Beschleunigungskraft des gesamten Wassers, allerdings ist sie ihr entgegengerichtet. −FG = M a (7.12) Abbildung 7.3: −mg = M a. (7.13) Flüssigkeitspendel. Die jeweiligen Massen können mithilfe der Dichte ρ des Wassers und dem Volumen ausgedrückt werden: m ρ= ⇐⇒ m = ρV V Damit ergibt sich für obenstehende Gleichung: −ρgVüber = ρaVges (7.14) −gVüber = aVges (7.15) Das jeweilige Volumen kann mithilfe der Querschnittsfläche S des Rohres ausgedrückt werden: Vüber = Sh = 2Sδ Vges = SL wobei δ die Amplitude der Schwingung darstellt. Resultat 7.6 Dies liefert eine Differentialgleichung 2. Ordnung: d2 δ −2g · δ = L ·. (7.16) dt2 Diese Gleichung wird von der Funktion h s(t) = δ · sin ωt = · sin ωt 2 erfüllt. 46 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Einsetzen der Lösungsfunktion liefert: 2g = L · ω 2 (7.17) 2π 2 2g = L ·. (7.18) T Resultat 7.7 Damit erhält man einen Ausdruck für die Periodendauer der Schwingung. d L T = 2π · (7.19) 2g Bemerkung 7.1 Die Rückstellkraft Ftrück ist durch die Gewichtskraft FtG der überstehenden Wassersäule gegeben: Frück = FG = mg = ρgVüber = loomoon · δ = kδ 2ρSg (7.20) k und ist proportional zur Auslenkung δ. Die Schwingung ist also harmonisch. 7.1.5 Fadenpendel Definition 7.3 Bei einem Fadenpendel wird ein Pendelkörper der Masse m an einem Faden aufgehängt, zur Seite angehoben und sich selbst überlassen. Die Rückstellkraft Ftrück erhält man durch Zerlegung der Gewichts- kraft FtG in zwei Komponenten: eine zur Pendelbahn tangential gerichtete Komponente Ftrück , eine zur Pendelbahn normal gerichtete Komponente Ft. Für den Winkel θ gilt im Bogenmaß: s θ=. (7.21) l Für die Rückstellkraft Ftrück gilt: s (7.21) Frück = FG sin θ = mg sin θ = mg sin (7.22) Abbildung 7.4: Fa- l denpendel. 47 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Falls s ≪ l (θ ≤ 5◦ ), ist s näherungsweise gleich der horizontalen Projektion sh und es gilt sh s sin θ = ≈. l l Damit ist die Rückstellkraft für kleine Winkel θ s mg F = mg · = ·s. (7.23) l l on loomo D Dann ist Frück proportional zu s und es gilt das lineare Kraftgesetz Frück = −Ds. Also ist die Schwingung für θ ≤ 5◦ harmonisch. Resultat 7.8 Damit lässt sich die Periodendauer T folgendermaßen bestimmen: c d c m (7.23) m l T = 2π · = 2π · mg = 2π ·. (7.24) D l g 7.1.6 Energie der Schwingung Definition 7.4 Der Pendelkörper wird zunächst aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Dabei wird dem Körper die Elongationsenergie Ep = 12 Ds2 zugeführt. Abbildung 7.5: Energie der Schwingung. Im oberen und unteren Umkehrpunkt besitzt der Körper jeweils die Geschwindigkeit v = 0. Seine kinetische Energie ist also 0, während die Elongationsenergie maximal ist. In der Gleichgewichtslage ist die Elongationsenergie 0, während die kinetische Energie maximal ist. 48 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Die beiden Energieformen wandeln sich periodisch ineinander um. Dabei bleibt nach dem Ener- gieerhaltungssatz die Summe aus Elongations- und Bewegungsenergie - also die Gesamtenergie der Schwingung - erhalten. Sie ist gleich der zu Beginn zugeführten Elongationsenergie Ep,max. Resultat 7.9 Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Summe aus Elonga- tionsenergie Ep und der kinetischen Energie Ekin konstant. Damit gilt für die Gesamtenergie der Schwingung: Eges = Ep + Ekin = const. (7.25) 7.2 Elektromagnetische Schwingungen 7.2.1 Der elektromagnetische Schwingkreis Definition 7.5 Schwingkreis. Ein Schwingkreis ist eine Parallelschaltung einer Spule und eines Kondensators. Hier wandeln sich elektrische und magnetische Energie gegenseitig ineinander um. 7.2.1.1 Aufbau Es handelt sich um zwei Stromkreise. In Schalterstellung 1 (blau) wird der Kondensator C aufgeladen, In Schalterstellung 2 (grün) wird der Kondensator C über die Spule L entladen. (a) Schaltskizze. (b) Aufladen. (c) Entladen. Abbildung 7.6: Schaltskizze und Schalterstellung des elektromagnetischen Schwingkreises. Beim Aufladevorgang wird der Kondensator aufgeladen, bis die Spannung UC am Kondensator der äußeren Spannung U0 entspricht. 49 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Schematisch sieht der Prozess so aus: (a) (b) (c) (a) Die gesamte elektrische Energie steckt im Feld des Kondensators. Dort liegt die maximale Spannung UC,max = Û = U0 an: 1 Eges = Eel = C Û 2. (7.26) 2 (b) Der Kondensator ist vollständig entladen und alle Ladung befindet sich im Stromkreis Die Stromstärke nimmt also ihren Maximalwert Imax = Iˆ an. Damit wird auch das magnetische Feld in der Spule maximal. Dort steckt nun die gesamte Energie des Systems: 1 Eges = Emag = LIˆ2. (7.27) 2 (c) Alle Ladung befindet sich wieder auf dem Kondensator, der nun umgekehrt aufgeladen ist. Die gesamte magnetische Energie ist in elektrische Energie im Feld übergegangen. 7.2.1.2 Differentialgleichung des elektromagnetischen Schwingkreises Definition 7.6 Ansatz. Schwingkreis ist eine Parallelschaltung =⇒ An Spule und Konden- sator liegt zu jedem Zeitpunkt dieselbe Spannung an. ˙ = 1 · Q(t) Uind (t) = UC (t) ⇐⇒ −LI(t) (7.28) C mit I = dQ dt = Q̇ =⇒ I˙ = Q̈. Resultat 7.10 Dies liefert eine Differentialgleichung 2. Ordnung: 1 −LQ̈ = · Q. C 50 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Resultat 7.11 Da es sich um eine Schwingung handelt, ist die allgemeine Lösungsfunktion Q(t) = Q̂ · sin(ωt + φ) (7.29) Da zum Zeitpunkt t = 0 die Ladung Q = Q̂ sein soll, muss φ = 0 + k · 2π mit k = 0, 1, 2,... Einsetzen liefert: c 1 1 Lω 2 = ⇐⇒ ω =. (7.30) C LC Resultat 7.12 Die Periodendauer ist damit ‘ T = 2π · LC. (7.31) Thomson’sche Schwingungsgleichung. Mit der Lösungsfunktion erhalten wir ebenfalls Funktionen für I(t) und UC (t): Resultat 7.13 Q(t) Q̂ UC (t) = = · cos (ωt) = Û · cos (ωt). (7.32) C C I(t) = Q̇(t) = −Q̂ω · sin (ωt) = −Iˆ · sin (ωt). (7.33) π Diese Funktionen werden durch Messungen bestätigt! UC und I sind um φ = 2 phasenverscho- ben. Abbildung 7.7: Schwingkreis: Zeitlicher Verlauf. Es handelt sich hier um eine gedämpfte Schwingung, weshalb die Amplitude mit der Zeit abnimmt. 51 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf 7.3 Vergleich: Mechanische und elektromagnetische Schwin- gungen 7.3.1 Vergleich der Größen Kriterium Federpendel Schwingkreis Schwingungsgröße Elongation s Ladung Q zeitliche Änderung der Geschwindigkeit v = ṡ Stromstärke I = Q̇ Schwingungsgröße Systemgrößen Masse m Induktivität L Federkonstante D Kehrwehrt Kapazität C1 Schwingungs- Ansatz: Frück = ma Ansatz Uind (t) = UC (t) 1 differentialgleichung −Ds(t) = ms̈(t) C · Q(t) = −LQ̈(t) Lösung s(t) = ŝ · sin(ωt + φ) Q(t) = Q̂ · cos(ωt + φ) a ‘ Periodendauer T = 2π · m D T = 2π · LC Energien Elongationsenergie: elektrische Energie Ep = 12 Ds2 Eel = 21 CU 2 kinetische Energie: Magnetische Energie Ekin = 12 mv 2 Emag = 21 LI 2 Tabelle 7.2: Vergleich: Größen von Schwingungen. 7.3.2 Vergleich der Vorgänge Abbildung 7.8: Vergleich der Schwingungen. 52 KAPITEL 7. SCHWINGUNGEN Malte Graf Federschwinger Schwingkreis (a) Der Körper ist ausgelenkt. Der Kondensator ist aufgeladen. Die Elongationsenergie ist im Federsystem Die Energie steckt im elektrischen Feld. gespeichert. Nach dem Loslassen wird der Körper zur Nach dem Verbinden des Kondensators Gleichgewichtslage hin beschleunigt. mit der Spule setzt der Strom ein. Er bleibt wegen seiner Trägheit jedoch Er entlädt den Kondensator wegen der In- nicht dort stehen. duktivität der Spule jedoch nicht schlag- artig. Die Geschwindigkeitsänderung v̇ erfordert Die Stromstärkenänderung I˙ erzeugt an nach dem Newton’schen Grundgesetz den Enden der Spule eine Induktionsspan- die Kraft nung F = mv̇ = ma. Diese wird in jedem Mo- Uind = −LI. ˙ Sie liegt in jedem Moment ment von der Rückstellkraft Ftrück = −Ds am Kondensator als Spannung UC = Q C geliefert. an. Von (a) nach (b) nimmt die Bewegungs- Von (a) nach (b) nimmt die magnetische energie zu, die Elongationsenergie ent- Energie zu, die elektrische Energie ent- sprechend ab. sprechend ab. (b) Schließlich ist die Auslenkung null. Schließlich ist der Kondensator entladen. Da keine Energie verloren geht, ist in Da keine Energie verloren geht, muss diesem Augenblick die Elongationsenergie in diesem Augenblick die im elektrischen vollständig in Bewegungsenergie überge- Feld gespeicherte Energie ganz im Ma- gangen. gnetfeld stecken. Der Geschwindigkeitsbetrag des Körpers Der Betrag der Stromstärke hat nun ein hat nun ein Maximum erreicht. Maximum erreicht. Die Federn werden jetzt entgegengesetzt Der Kondensator wird jetzt entgegenge- zu (a) gespannt. setzt zu (a) geladen. Die zunehmende Rückstellkraft kann die Die entstehende Kondensatorspannung Bewegungsrichtung des Körpers nicht so- kann den Ladungsstrom nicht sofort um- fort umkehren. kehren. der Körper ist träge und bewegt sich des- Die Änderung der Stromstärke induziert halb, wenn auch mit abnehmender Ge- in der Spule eine Spannung, die die La- schwindigkeit, in die gleiche Richtung wei- dungen in gleicher Richtung vorantreibt. ter. Es gilt wieder: mv̇ = −Ds Es gilt wieder: −LI˙ = Q C. (c) Die Bewegungsenergie ist wieder ganz in Die magnetische Energie ist wieder ganz Elongationsenergie übergegangen. in elektrische übergegangen. Tabelle 7.3: Vergleich der Vorgänge beim Federschwinger und Schwingkreis. Der Vorgang (a)-(c) wiederholt sich nun in umgekehrter Richtung. 53 Kapitel 8 Wellen 8.1 Mechanische Wellen Definition 8.1 Bei einer mechanischen Welle schwingen Oszillatoren, die nacheinander die Bewegung ausführen, die ihnen vom Erreger vorgeschrieben wird. Die Oszillatoren geben ihre Energie jeweils an den nächsten weiter. Jeder Oszillator hinkt dem vorherigen in der Phase hinterher. Dadurch breitet sich die Welle nicht schlagartig überall aus, sondern mit der Zeit. Je weiter ein Oszillator vom Erreger entfernt ist, desto später wird er von der Bewegung erfasst. Mit der Welle wird Energie transportiert, aber keine Materie. Definition 8.2 Die Auslenkung eines Oszillators heißt Elongation, die maximale Auslenkung heißt Amplitude 8.1.1 Begrifflichkeiten Die Welle breitet sich mit der vom Betrag her kon- stanten Ausbreitungsgeschwindigkeit t c aus. Die Mo- mentangeschwindigkeit der Oszillatoren wird Schnel- le vt genannt (tv ⊥ t c). Diese ändert sich stän- dig. Abbildung 8.1: Welle allgemein. Bei der maximalen Elongation ist die Schnelle null. 55 KAPITEL 8. WELLEN Malte Graf 8.1.2 Arten von Wellen Definition 8.3 Je nachdem, wie Ausbreitungsgeschwindigkeit t c und Schnelle vt (= Schwin- gungsrichtung) zueinander stehen, unterscheidet man zwischen Longitudinalwellen (Längswellen): vt ∥ t c Transversalwellen (Querwellen): vt ⊥ t c (a) Longitudinalwelle. (b) Transversalwelle. Abbildung 8.2: Wellenarten. 8.1.3 Beschreibung mechanischer Wellen Resultat 8.1 Während der Periodendauer T ist die Phase der Welle um die Wellenlänge λ weitergewandert. Dies geschieht mit der konstanten Geschwindigkeit ds λ c= = = λf. (8.1) dt T 8.1.3.1 Mathematische Beschreibung Für das Erregerteilchen ermittelt man mit d

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