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# Resúmenes de álgebra lineal ## Transformaciones lineales ### Definición Una transformación lineal es una función entre dos espacios vectoriales que respeta la suma vectorial y la multiplicación escalar. Es decir, una función $T: V \rightarrow W$ es una transformación lineal si: * $T(u + v) =...

# Resúmenes de álgebra lineal ## Transformaciones lineales ### Definición Una transformación lineal es una función entre dos espacios vectoriales que respeta la suma vectorial y la multiplicación escalar. Es decir, una función $T: V \rightarrow W$ es una transformación lineal si: * $T(u + v) = T(u) + T(v)$ para todos $u, v \in V$ * $T(cv) = cT(v)$ para todo $c \in \mathbb{R}$ y $v \in V$ ### Propiedades * $T(0_V) = 0_W$ * $T(-v) = -T(v)$ para todo $v \in V$ * $T(u - v) = T(u) - T(v)$ para todos $u, v \in V$ ## Núcleo e imagen ### Definición de núcleo El núcleo de una transformación lineal $T: V \rightarrow W$, denotado como $\ker(T)$, es el conjunto de todos los vectores en $V$ que se transforman en el vector cero en $W$. Es decir: $\ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}$ El núcleo de $T$ es un subespacio de $V$. ### Definición de imagen La imagen de una transformación lineal $T: V \rightarrow W$, denotada como $\operatorname{im}(T)$, es el conjunto de todos los vectores en $W$ que son la imagen de algún vector en $V$. Es decir: $\operatorname{im}(T) = \{w \in W \mid \exists v \in V \text{ tal que } T(v) = w\}$ La imagen de $T$ es un subespacio de $W$. ### Teorema de la dimensión Para una transformación lineal $T: V \rightarrow W$, donde $V$ es de dimensión finita, se cumple: $\dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{im}(T)) = \dim(V)$ ## Representación matricial ### Matriz de una transformación lineal Dada una transformación lineal $T: V \rightarrow W$ y bases ordenadas $B$ de $V$ y $C$ de $W$, la matriz de $T$ con respecto a $B$ y $C$, denotada como $[T]_B^C$, es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de $T(v_i)$ en la base $C$, donde $v_i$ son los vectores de la base $B$. ### Cálculo de la matriz 1. Aplicar $T$ a cada vector de la base $B$ de $V$. 2. Expresar cada $T(v_i)$ como una combinación lineal de los vectores de la base $C$ de $W$. 3. Las coordenadas de estas combinaciones lineales forman las columnas de $[T]_B^C$. ### Ejemplo Si $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ está definida por $T(x, y) = (x+y, x-y, 2x)$ y las bases son $B = \{(1, 0), (0, 1)\}$ de $\mathbb{R}^2$ y $C = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ de $\mathbb{R}^3$, entonces: $T(1, 0) = (1, 1, 2) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1)$ $T(0, 1) = (1, -1, 0) = 1(1, 0, 0) - 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)$ Por lo tanto, $[T]_B^C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ ## Valores y vectores propios ### Definición Un vector propio de una matriz $A$ es un vector no nulo $v$ tal que $Av = \lambda v$ para algún escalar $\lambda$. El escalar $\lambda$ se llama valor propio de $A$ asociado a $v$. ### Cálculo de valores propios Para encontrar los valores propios de una matriz $A$, se resuelve la ecuación característica: $\det(A - \lambda I) = 0$ donde $I$ es la matriz identidad. ### Cálculo de vectores propios Para cada valor propio $\lambda$, se resuelve el sistema lineal: $(A - \lambda I)v = 0$ Los vectores no nulos que satisfacen este sistema son los vectores propios asociados a $\lambda$. ### Ejemplo Dada la matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, la ecuación característica es: $\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ Las soluciones son $\lambda_1 = 1$ y $\lambda_2 = 3$. Para $\lambda_1 = 1$: $(A - \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$, entonces $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ es un vector propio asociado a $\lambda_1 = 1$. Para $\lambda_2 = 3$: $(A - \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$, entonces $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ es un vector propio asociado a $\lambda_2 = 3$.