Algebra Liniowa - Maciej Czarnecki PDF

Algebra liniowa Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego [email protected] 1 Spis treści 1 Przestrzeń n–wymiarowa 3 2 Macierze 6 3 Układy równań liniowych 10 4 Pr...

Algebra liniowa Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego [email protected] 1 Spis treści 1 Przestrzeń n–wymiarowa 3 2 Macierze 6 3 Układy równań liniowych 10 4 Przekształcenia liniowe 13 5 Struktury algebraiczne 15 6 Wyznaczniki 20 7 Układy równań liniowych II 23 8 Struktury w przestrzeniach liniowych 26 9 Formy dwuliniowe i kwadratowe 30 10 Wektory i wartości własne endomorfizmu 33 2 1 Przestrzeń n–wymiarowa Definicja 1.1. Dla n ∈ N zbiór Rn = {x = (x1 ,... , xn ) ; x1 ∈ R ∧... ∧ xn ∈ R} = |R ×.{z.. × R} n razy nazywamy (rzeczywistą) przestrzenią n–wymiarową. Elementy przestrzeni Rn nazywamy wektorami. Definicja 1.2. W przestrzeni Rn określamy dodawanie wektorów wzorem x + y = (x1 + y1 ,... , xn + yn ) dla x = (x1 ,... , xn ), y = (y1 ,... , yn ) ∈ Rn. Tym samym dodawanie wektorów jest funkcją + : Rn × Rn → Rn. Definicja 1.3. W przestrzeni Rn określamy mnożenie wektora przez skalar (liczbę) wzorem a · x = (ax1 ,... , axn ) dla x = (x1 ,... , xn ) ∈ Rn i a ∈ R. Tym samym mnożenie wektora przez skalar jest funkcją · : R × Rn → Rn. Twierdzenie 1.4. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności: (V1) ∀x,y,z∈Rn x + (y + z) = (x + y) + z (V2) ∃θ∈Rn ∀x∈Rn x+θ =θ+x=x (V3) ∀x∈Rn ∃−x∈Rn x + (−x) = (−x) + x = θ (V4) ∀x,y∈Rn x+y =y+x (V5) ∀ n ∀ a · (x + y) = a · x + a · y x,y∈R a∈R (V6) ∀ ∀ (a + b) · x = a · x + b · x x∈Rn a,b∈R (V7) ∀ ∀ a · (b · x) = (ab) · x x∈Rn a,b∈R (V8) ∀ 1·x=x x∈Rn Dowód. Wszystkie własności wynikają z odpowiednich własności działań na liczbach rzeczywistych. Wektorem zerowym jest θ = (0,... , 0), a wektorem przeciwnym do x = (x1 ,... , xn ) — wektor −x = (−x1 ,... , −xn ). Definicja 1.5. Kombinacją liniową wektorów v1 ,... , vk ∈ Rn o współczynnikach a1 ,... , ak ∈ R nazywamy wektor a1 · v1 +... + ak vk. Definicja 1.6. Mówimy, że ukłąd wektorów v1 ,... , vk ∈ Rn jest liniowo niezależny, gdy ∀a1 ,...,ak ∈R (a1 · v1 +... + ak vk = θ =⇒ a1 =... = ak = 0). Układ wektorów jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny. Stwierdzenie 1.7. Układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów tego układu nie jest kombinacją liniową pozostałych. 3 Definicja 1.8. Niepusty podzbiór U ⊂ Rn nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn , gdy ∀u1 ,u2 ∈U ∀a1 ,a2 ∈R a1 · u1 + a2 · u2 ∈ U. Przykład 1.9. 1◦ Zbiór jednoelementowy {θ} oraz cała przestrzeń Rn są podprzestrzeniami li- niowymi przestrzeni Rn. 2◦ Zbiór U = {(x1 , x2 , x3 ) ; x1 − 2x2 + 3x3 = 0} ⊂ R3 jest podprzestrzenią liniową, ale zbiór W = {(x1 , x2 , x3 ) ; x1 − 2x2 + 3x3 + 1 = 0} ⊂ R3 nie jest podprzestrzenią liniową. 3◦ Zbiór V = {(a + b, a − b, 2a) ; a, b ∈ R} ⊂ R3 jest podprzestrzenią liniową, ale zbiór T = {(a + b − 1, a − b, 2a + 3) ; a, b ∈ R} ⊂ R3 nie jest podprzestrzenią liniową. 4◦ W przestrzeni R2 (czyli na płaszczyźnie) jedynymi podprzestrzeniami liniowymi są {θ}, R2 oraz proste przechodzące przez początek układu θ. Definicja 1.10. Mówimy, że układ wektorów u1 ,... , uk ∈ Rn generuje podprzestrzeń liniową U ⊂ Rn , gdy U = lin (u1 ,... , uk ) = {a1 · u1 +... + ak uk ; a1 ,... , ak ∈ R} czyli, gdy każdy wektor z podprzestrzeni U jest kombinacją liniową tego układu. Definicja 1.11. Bazą podprzestrzeni liniowej U nazywamy każdy układ wektorów, który jest liniowo niezależny i generuje U. Twierdzenie 1.12. Układ wektorów jest bazą podprzestrzeni U wtedy i tylko wtedy, gdy jest mak- symalnym układem liniowo niezależnym, tzn. niie można go uzupełnić żadnym wektorem zachowując liniową niezależność. Definicja 1.13. Wymiarem podprzestrzeni liniowej U nazywamy liczbę dim U równą liczbie elemen- tów dowolnej bazy podprzestrzeni U. Przykład 1.14. Bazą kanoniczną przestrzeni Rn jest układ wektorów e1 ,... , en takich, że ei ma na ma i–tej współrzędnej 1, a na pozostałych 0, dla i = 1,... , n. Tym samym dim Rn = n. Stwierdzenie 1.15. W bazie podprzestrzeni liniowej U każdy wektor u ∈ U można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów tej bazy. Dowód. Przykład 1.16. Szczególnie prosto przedstawia się wektor x = (x1 ,... , xn ) ∈ Rn w bazie kanonicznej tej przestrzeni: x = x1 · e1 +... + xn · en. Definicja 1.17. Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni Rn nazywamy jej niepusty podzbiór H postaci H = p + U = {p + u ; u ∈ U }, gdzie p ∈ H oraz U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn. Wymiar podprzestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi odpowiadającej jej podprzestrzeni linio- wej. Przykład 1.18. 1◦ Dla dowolnego p ∈ Rn zbiór jednoelementowy {p} oraz cała przestrzeń Rn są podprzestrzeniami afinicznymii przestrzeni Rn. 4 2◦ Zbiory W oraz T z przykładu 1.9 są podprzestrzeniami afinicznymi. Odpowiednio W = (0, 0, 1)+ U i T = (−1, 0, 3) + V. 3◦ W przestrzeni R2 jedynymi podprzestrzeniami afinicznymi są zbiory jednopunktowe, R2 oraz dowolne proste. 5 2 Macierze Definicja 2.1. Dla m, n ∈ N macierzą o m wierszach i n kolumnach (krótko macierzą m × n) nazywamy funkcję A : {1,... , m} × {1,... , n} → R. Zbiór wszystkich macierzy m × n oznaczamy przez Mmn. Macierz A ∈ Mmn opisujemy przez jej wyrazy A = [aij ]1¬i¬m, 1¬j¬n , a w bardziej rozwiniętej formie   a11 a12... a1n  a21 a22... a2n    .....  . ......   am1 am2... amn Definicja 2.2. Dla macierzy A ∈ Mmn wektor Ri = [ai1 ai2... ain ] ∈ Rn nazywamy i–tym wierszem, a wektor   a1j  a2j  ∈ Rm   Cj = .. .     amj j–tą kolumną macierzy A, i = 1,... , m, j = 1,... , n. Tym samym wyraz aij znajduje się w i–tym wiersz oraz j–tej kolumnie. Definicja 2.3. Analogicznie do dodawania wektorów określamy dodawanie macierzy. Dla macierzy A = [aij ] ∈ Mmn i B = [bij ] ∈ Mmn ich sumą jest macierz A + B = [aij + bij ] ∈ Mmn. Definicja 2.4. Iloczynem macierzy A = [aij ] ∈ Mmn przez liczbę k ∈ R nazywamy macierz k · A = [kaij ] ∈ Mmn. Definicja 2.5. Niech A = [aij ] ∈ Mmn. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz AT = [aji ] ∈ Mnm. Innymi słowy wiersze macierzy A (w tej samej kolejności) są kolumnami macierzy AT i na odwrót. Definicja 2.6. Niech A = [aij ] ∈ Mmn i B = [bjk ] ∈ Mnp , czyli niech macierz B ma tyle wierszy co macierz A kolumn. Iloczynem macierzowym macierzy A i B nazywamy macierz A · B = C = [cik ] ∈ Mmp , której wyrazy są dane wzorami n X cik = aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k +... + ain bnk dla i = 1,... , m, k = 1,... , p. j=1 Uwaga 2.7. Istnienie iloczynu macierzy A · B nie gwarantuje istnienia iloczynu B · A. Nawet gdy istnieją oba, mogą być różnych rozmiarów. Gdy rozmiar macierzy A · B i A · B jest zgodny, macierze te nie muszą być równe. 6 Definicja 2.8. Macierzą kwadratową nazywamy macierz o tej samej liczbie wierszy co kolumn. Macierz kwadratowa A = [aij ] ∈ Mnn jest diagonalna, gdy aij = 0 dla wszystkich i 6= j, górna trójkątna, gdy aij = 0 dla wszystkich i > j, dolna trójkątna, gdy aij = 0 dla wszystkich i < j. Definicja 2.9. Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz In = [δij ] ∈ Mnn , gdzie ( 0 gdy i 6= j δij = 1 gdy i = j Innymi słowy, macierz jednostkowa ma jedynki na głównej przekątnej, a poza nią zera. Twierdzenie 2.10 (Własności działań na macierzach). (M1) ∀A,B,C∈Mmn A + (B + C) = (A + B) + C (M2) ∃Θ∈Mmn ∀A∈Mmn A+Θ=Θ+A=A (M3) ∀A∈Mmn ∃−A∈Mmn A + (−A) = (−A) + A = Θ (M4) ∀A,B∈Mmn A+B =B+A (M5) ∀A∈Mmn ∀B∈Mnp ∀C∈Mpq A · (B · C) = (A · B) · C (M6) ∀A∈Mmn ∀B,C∈Mnp A · (B + C) = A · B + A · C (M60 ) ∀A,B∈Mmn ∀C∈Mnp (A + B) · C = A · C + B · C (M7) ∀A∈Mmn A · In = Im · A = A (M8) ∀A∈Mmn ∀B∈Mnp ∀k∈R A · (kB) = (kA) · B = k(A · B) Uwaga 2.11. Jeżeli m = n = p, to można przyjąć, że warunki (M1)—(M8) zachodzą w zbiorze Mnn. Definicja 2.12. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A ∈ Mnn nazywamy taką macierz A−1 ∈ Mnn , że A · A−1 = A−1 · A = In. Zbiór wszystkich macierzy n × n posiadających macierz odwrotną (inaczej odwracalnych) ozna- czamy przez GL(n). " # ◦ 1 1 Przykład 2.13. 1 Macierz nie posiada macierzy odwrotnej. 1 1 " #−1 " d −b # ◦ a b ad−bc ad−bc 2 Jeżeli ad − bc 6= 0, to = −c a. c d ad−bc ad−bc Stwierdzenie 2.14. Jeżeli A, B ∈ GL(n), to (i) (A · B)−1 = B −1 · A−1 , −1 (ii) (A−1 ) = A. Definicja 2.15. Wyróżniamy trzy rodzaje operacji elementarnych na wierszach macierzy m × n: (S) zamiana miejscami dwóch wierszy k–tego i l–tego; oznaczamy ją skl lub Rk ↔ Rl , k, l ∈ {1,... , m}, k 6= l, (R) pomnożenie wiersza k–tego przez liczbę a 6= 0; oznaczamy ją rka lub Rk := aRk , k ∈ {1,... , m}, a 6= 0, 7  (P) dodanie do wiersza l–tego innego wiersza k–tego pomnożonego przez liczbę b; oznaczamy ją pbkl lub Rl := Rl + bRk , k, l ∈ {1,... , m}, k 6= l, b ∈ R. Definicja 2.16. Dla k, l ∈ {1,... , m}, k = 6 l, a, b ∈ R, a 6= 0 macierzami elementarnymi stopnia m nazywamy macierze Skl = skl (Im ), Rka = rka (Im ), Pklb = pbkl (Im ). Stwierdzenie 2.17. Macierze elementarne są odwracalne: 1  −1 (Skl )−1 = Skl , (Ska )−1 = Rka , Pklb = Pkl−b. Definicja 2.18. Macierzami bazowymi m × n nazywamy macierze Ekl = [δki δjl ]1¬i¬m, 1¬j¬n gdzie k = 1,... , m, l = 1,... , n. Są to więc macierze posiadające jedynkę na miejscu kl, a poza tym zera. Stwierdzenie 2.19. Dla k, l ∈ {1,... , m}, k 6= l, a, b ∈ R, a 6= 0 Skl = Im − Ekk + Ekl − Ell + Elk , Rka = Im + (a − 1)Ekk , Pklb = Im + bEkl. Definicja 2.20. Mówimy, że macierz A = [aij ] ∈ Mmn jest w postaci trójkątnej uogólnionej, gdy spełnione są warunki: (GT1) ∃p¬m (∀i>p Ri = θ ∧ ∀i¬p Ri 6= θ), czyli wszystkie wiersze zerowe znajdują się na końcu; (GT2) ∀i¬p ∃1¬li ¬n (aili = 1 ∧ ∀j 1). Definicja 5.4. Permutacją zbioru n–elementowego {1,... , n} nazywamy dowolną fukncję σ : {1,... , n} → {1,... , n}, ktora jest bijekcją (tzn. jest różnowartościowa i ”na”). Permutację σ zapisujemy przez podanie jej wszystkich wartości w formie ! 1 2... n σ= σ(1) σ(2)... σ(n) Zbiór wszystkich permutacji zbioru n–elementowego oznaczamy przez Sn (wiadomo, że Sn ma n! elementów) Twierdzenie 5.5. Zbiór Sn z działaniem składania permutacji (jako funkcji) jest grupą (nieabelową gdy n > 2). ! ! 1 2 1 2 Przykład 5.6. 1◦ Permutacje zbioru 2–elementowego: , 1 2 2 1 2◦ Permutacje zbioru 3–elementowego: ! ! ! ! ! ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , ,. 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 3 1 2 2 3 1 3◦ Spośród powyższych permutacji zbioru 3–elementowego pierwsze cztery są same do siebie od- wrotne, a piąta jest odwrotna do szóstej. Składanie nie jest przemienne, np. ! ! ! ! ! ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 · = 6= = · 3 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 1 2 3 2 1 Definicja 5.7. Dla danej permutacji σ ∈ Sn obliczamy liczbę występujących w niej inwersji, tzn. liczbę elementów zbioru inv σ = {(i, j) ; i, j ∈ {1,... , n} ∧ i < j ∧ σ(i) > σ(j)} Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = (−1)#inv σ. 15 Przykład 5.8. W permutacjach z S3 opisanych w poprzednim przykładzie występuje odpowiednio: 0, 1, 3, 1, 2, 2 inwersji, więc permutacja pierwsza, piąta i szósta mają znak 1 (są parzyste), a pozostałe znak −1 (te są nieparzyste). Definicja 5.9. Pierścieniem nazywamy trójkę uporządkowaną (R, +, ·), gdzie R jest zbiorem nie- pustym, a + i · są działaniami wewnętrznym w R, przy czym (R1) ∀a,b,c∈R a + (b + c) = (a + b) + c (R2) ∃0∈R ∀a∈R a + 0 = 0 + a = a (R3) ∀a∈R ∃−a∈R a + (−a) = (−a) + a = 0 (R4) ∀a,b∈R a + b = b + a (R5) ∀a,b,c∈R a · (b · c) = (a · b) · c (R6) ∀a,b,c∈R a · (b + c) = a · b + a · c ∧ (a + b) · c = a · c + b · c Jeżeli ponadto spełniony jest warunek (R7) ∀a,b∈R a · b = b · a, to pierścień jest przemienny, a gdy dodatkowo (R8) ∃1∈R ∀a∈R a · 1 = 1 · a = a, to mówimy o pierścieniu przemiennym z jedynką. Uwaga 5.10. Definicję pierścienia można wyrazić krótko żadając, by (R, +) było grupą abelową i · było łączne i (obustronnie) rozdzielne względem +. Przykład 5.11. 1◦ Pierścieniami przemiennymi z jedynką są (Z, +, ·), (R, +, ·) ze znanymi dzia- łaniami, a (Mnn , +, ·) jest pierścieniem nieprzemiennym z jedynką (jest nią macierz jednostkowa I). 2◦ Niech X będzie niepustym zbiorem i niech F(X) oznacza zbiór wszystkich funkcji działających z X w zbiór liczb rzeczywistych R. W tym zbiorze określimy dodawanie funkcji i mnożenie funkcji. Dla f, g ∈ F(X) (f + g)(x) = f (x) + g(x), x∈X (f · g)(x) = f (x)g(x), x∈X Zbiór F(X) z tak określonymi działaniami jest pierścieniem przemiennym z jedynką (jest nią funkcja stała równa 1). 3◦ Przez R[x] oznaczymy zbiór wszystkich wielomainów zmiennej x o współczynnikach rzeczywi- stych, czyli wyrażeń (lepiej unikać słowa funkcji) postaci v = a0 + a1 x + a2 x2 +... + an−1 xn−1 + an xn. Można uznać, że współczynników wielomianu jest nieskńczenie wiele (te o numerach od n + 1 wzwyż są równe 0) i dodawać tak, że suma wielomianu v i wielomianu w = b0 +b1 x+b2 x2 +...+bm−1 xn−1 +bm xn. ma współczynniki ai + bi , 16  P a mnożyć tak, że iloczyn ma na miejscu o numerze k współczynnik i+j=k ai b j Z tak określonymi dziłaniami R[x] jest pierścieniem przemiennym z jedynką. 4◦ Jeżli przez R∞ oznaczymy zbiór wszystkich ciągów nieskończonych, to możemy zastosować do niego podpunkt 2◦ , czyli jest to także pierścień przemienny z jedynką. Definicja 5.12. Dla n ∈ N, n ­ 2, z zbiorze Zn = {0, 1,... , n − 1} (czyli zbiorze reszt z dzielenia przez n) określamy działania + i · (odpowiednio dodawanie modulo n i mnożenie modulo n) wzorami n n a + b =reszta z dzielenia a + b przez n, n a · b =reszta z dzielenia ab przez n. n   Twierdzenie 5.13. Trójka uporządkowana Zn , +, · jest pierścieniem przemiennym z jedynką. n n Dowód. Warunki (R): 2, 4, 7, 8 są spełnione. Elementem przeciwnym do 0 jest 0, zaś dla a ∈ Zn \ {0} elementem przeciwnym do a jest n − a. Aby wykazać (R1) weźmy a, b, c ∈ Zn i oznaczmy:     r1 = a + b, r2 = a + b + c = r1 + c, r3 = b + c, r4 = a + b + c = a + r3. n n n n n n n n Wówczas istnieją liczby całkowite nieujemne k1 , k2 , k3 , k4 takie, że k1 n + r1 = a + b, k2 n + r2 = r1 + c, k3 n + r3 = b + c, k4 n + r4 = a + r3. Zatem r2 − r4 = (k1 − k2 − k3 + k4 )n, czyli r2 − r4 jest dzielnikiem liczby n, a jednocześnie liczbą pomiędzy −(n − 1) a n − 1. Tym samym r2 − r4 = 0, a więc warunek (R1) jest spełniony. Warunków (R5) i (R6) dowodzimy analogicznie. Definicja 5.14. Ciałem nazywamy trójkę uporządkowaną (F, +, ·), gdzie F jest zbiorem co najmniej 2–elementowym, + i · są działaniami wewnętrznymi w F oraz (F, +) jest grupą abelową (element neutralny dodawania oznaczamy przez 0), (F \ {0}, ·) jest grupą abelową, działanie + jest rozdzielne względem działania ·. Przykład 5.15. 1◦ Zbiór liczb rzeczywistych R ze zwykłymi działaniami + i · jest ciałem.   ◦ 2 Pierścień Zn , +, n· jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą. n Definicja 5.16. W zbiorze C = {(x, y) ; x ∈ R, y ∈ R} określamy działania: (x, y) + (x0 , y 0 ) =(x + x0 , y + y 0 ) (x, y) · (x0 , y 0 ) =(xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 ). Zbiór C z tymi działaniami nazywamy zbiorem liczb zespolonych, a ich elementy — liczbami zespolo- nymi. 17 Uwaga 5.17. Zauważmy, że działania w podzbiorze R × {0} = {(x, 0) ; x ∈ R} ⊂ C wykonuje się tak samo jak na samej pierwszej współrzędnej. Zatem liczbę zespoloną (x, 0) można utożsamiać z liczbą rzeczywistą x. Definicja 5.18. Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy przez i. Wówczas i2 = −1 = (−1, 0). Liczbę zespoloną z = (x, y) możemy, używając utożsamienia, zapisać w formie z = x + yi, którą nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej z. Ponadto liczby rzeczywiste x, y nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z; używamy oznaczeń x = 0. Przestrzeń skończonego wymiaru z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową. Przykład 8.3. 1◦ W przestrzeni Rn określamy standardowy iloczyn skalarny wzorem hx, yi = x1 y1 +... + xn yn. W Rn można też określać wiele innych iloczynów skalarnych np. w R2 takim iloczynem jest hx, yi = 9x1 y1 − 3x1 y2 − 3x2 y1 + 2x2 y2. 2◦ W przestrzeni l2 iloczynem skalarnym jest ∞ X h(xn ), (yn )i = xn y n. n=1 Definicja 8.4. Wektory v, w ∈ V są ortogonalne (inaczej prostopadłe) — co zapisujemy v ⊥ w — gdy hv, wi = 0. Podprzestrzenie liniowe U, W ⊂ V są ortogonalne, gdy każdy wektor z U jest ortogonalny do każdego wektora z W. Podobnie wektor v jest ortogonalny do podprzestrzeni liniowej U , gdy v ⊥ u dla u ∈ U. Definicja 8.5. W przestrzeni V z iloczynem skalarnym h.,.i określamy normę (inaczej długość) wektora v ∈ V wzorem q kvk = hv, vi. Przykład 8.6. 1◦ Normą pochodzącą od standardowego iloczynu skalarnego w Rn jest q kxk = x21 +... + x2n. 2◦ Normę w l2 określamy wzorem v u∞ uX k(xn )k2 = t x2. n n=1 Stwierdzenie 8.7 (własności normy). W przestrzeni V z iloczynem skalarnym 26 (N1) ∀v∈V kvk ­ 0, (N2) ∀v∈V kvk = 0 ⇐⇒ v = θ, (N3) ∀v∈V ∀a∈R ka · vk = akvk, (N4) ∀v,w∈V kv + wk ¬ kvk + kwk. Stwierdzenie 8.8 (tożsamość polaryzacyjna). W przestrzeni V z iloczynem skalarnym h.,.i dla v, w ∈ V 1  hv, wi = kv + wk2 − kv − wk2. 4 Twierdzenie 8.9. Jeżeli w przestrzeni V określony jest iloczyn skalarny h.,.i, to dla v, w ∈ V (i) |hv, wi| ¬ kvk kwk, (ii) |hv, wi| = kvk kwk wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v i w są równoległe (tzn. gdy jeden jest iloczynem drugiego przez liczbę). Dowód. Jeżeli któryś z wektorów v, w jest zerowy, to po obu stronach występują zera, a ponadto wektor zerowy jest równoległy do każdego wektora. Załóżmy więc, że v 6= θ i w 6= θ. Rozważymy funkcję f : R → R daną wzorem f (t) = kv + twk2 = hv + tw, v + twi = kwk2 t2 + 2hv, wi + kvk2. Funkcja f ze swojego określenia przyjmuje tylko wartości nieujemne i jest funkcją kwadratową o dodatnim współczynniku przy t2 (bo w 6= θ). Zatem jej wyróżnik jest niedodatni:   0 ­ ∆ = 4hv, wi2 − 4kwk2 kvk2 = 4 hv, wi2 − kvk2 kwk2 , skąd hv, wi2 ¬ kvk2 kwk2. Teza (i) wynika więc z nieujemności kvk i kwk oraz faktu, że hv, wi2 = |hv, wi|2. Równość z (ii) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ = 0, czyli gdy funkcja f ma dokładnie jeden pierwiastek. Nazywając go t0 otrzymujemy 0 = f (t0 ) = kv + t0 wk2 , co oznacza, że v + t0 w = θ, a więc v = (−t0 )w. Definicja 8.10. Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w ∈ V nazywamy liczbę ^(v, w) ∈ [0, π] taką, że hv, wi cos ^(v, w) =. kvk kwk Definicja 8.11. Bazę (v1 ,... , vn ) przestrzeni V z iloczynem skalarnym h.,.i nazywamy bazą ortogo- nalną, gdy hvi , vj i = 0 gdy i 6= j, a bazą ortonormalną, gdy ( 0 gdy i 6= j hvi , vj i = 1 gdy i = j. Przykład 8.12. Baza kanoniczna przestrzeni Rn jest bazą ortonormalną przy standardowym ilo- czynie skalarnym. 27 Twierdzenie 8.13 (ortogonalizacja Schmidta). Niech (w1 ,... , wn ) będzie pewną bazą przestrzeni V z iloczynem skalarnym h.,.i. Wówczas układ wektorów v1 = w1 ! hwj , v1 i hwj , vj−1 i vj = wj − +... + dla j = 2,... , n kv1 k 2 kvj−1 k2 jest bazą ortogonalną przestrzenie V. vj Ponadto układ vj0 = , j = 1,... , n stanowi bazę ortonormalną przestrzeni V. kvj k Stwierdzenie 8.14. Jeżeli (v1 ,... , vn ) jest bazą ortonormalną przestrzeni V , to dla v ∈ V v = hv, v1 i v1 +... + hv, vn i vn. Definicja 8.15. Niech U będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni V z iloczynem skalarnym. Rzu- tem ortogonalnym wektora v ∈ V na podprzestrzeń U nazywamy taki wektor πU (v), że wektor v − πU (v) jest ortogonalny do podprzestrzeni U , tzn. v − πU (v) ⊥ u dla u ∈ U. Stwierdzenie 8.16. Niech (u1 ,... , uk ) będzie bazą ortonormalną podprzestrzeni liniowej U prze- strzeni liniowej V. Wówczas dla v ∈ V πU (v) = hv, u1 i u1 +... + hv, uk i uk. Definicja 8.17. Dowolną przestrzeń liniową V z funkcją k.k : V → R spełniającą warunki (N1)–(N4) nazywamy przestrzenią unormowaną. Oczywiście każda przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną. Stwierdzenie 8.18 (równość równoległoboku). Norma k.k w przestrzeni unormowanej pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy   kv + wk2 + kv − wk2 = 2 kvk2 + kwk2. Przykład 8.19. Przestrzeniami unormowanymi, w których norma nie pochodzi od żadnego iloczynu skalarnego są: 1◦ przestrzeń lp dla p ­ 1 i p 6= 2 z normą ∞ !1 p p X k(xn )kp = |xn | , n=1 2◦ przestrzeń C(I) z normą supremum kf k = sup f (x). x∈I Definicja 8.20. W przestrzeni unormowanej V z normą k.k odległością dwóch wektorów v, w ∈ V nazywamy liczbę d(v, w) = kv − wk. Przykład 8.21. W przestrzeni Rn ze standardowym iloczynem skalarnym otrzymujemy dobrze znaną odległość euklidesową daną wzorem q d(x, y) = (x1 − y1 )2 +... + (xn − yn )2. 28 Stwierdzenie 8.22 (własności odległości). W przestrzeni unormowanej V (D1) ∀v,w∈V d(v, w) = 0 ⇐⇒ v = w, (D2) ∀v,w∈V d(v, w) = d(w, v), (D3) ∀u,v,w∈V d(u, w) ¬ d(u, v) + d(v, w). Definicja 8.23. Dowolny niepusty zbiór V z funkcją d : V × V → R spełniającą warunki (D1)–(D3) nazywamy przestrzenią metryczną. Definicja 8.24. Mówimy, że przestrzeń metryczna (V, d) jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy’ego jej elementów, tzn. ciąg (vn ) z V spełniający warunek ∀ε>0 ∃N ∈N ∀m,n­N d(vm , vn ) < ε, ma granicę w V , tzn. istnieje wektor v ∈ V taki, że ∀ε>0 ∃N ∈N ∀n­N d(vn , v) < ε. Definicja 8.25. Przestrzeń z iloczynem skalarnym, która jest zupełna jako przestrzeń metryczna, nazywamy przestrzenią Hilberta. Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna jako przestrzeń metryczna, nazywamy przestrzenią Banacha. Przykład 8.26. 1◦ Przestrzeń Hilberta jest także przestrzenia Banacha. Rn jest więc przestrzenią Hilberta i przestrzenią Banacha. 2◦ l2 jest przestrzenią Hilberta. 3◦ Dla p > 1 lp jest przestrzenią Banacha. 4◦ Przestrzeń funkcji ciągłych C(I) z normą supremum jest przestrzenią Banacha. 29 9 Formy dwuliniowe i kwadratowe Definicja 9.1. Formą dwuliniową na przestrzeni liniowej V (nad ciałem R) nazywamy funkcję f : V × V → R taką, że ∀u,v,w∈V ∀a,b∈R (f (au + bv, w) = af (u, w) + bf (v, w) ∧ f (u, av + bw) = af (u, v) + bf (u, w)). Mówimy, że forma dwuliniowa f jest symetryczna, gdy ∀v,w∈V f (v, w) = f (w, v). Przykład 9.2. 1◦ Standardowy iloczyn skalarny w Rn jest formą dwuliniową symetryczną. 2◦ Funkcja f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 x2 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 jest formą dwuliniową symetryczną na R2. 3◦ Funkcja f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 x2 + 2x1 y2 + 2x2 y2 jest formą dwuliniową na R2 , która nie jest symetryczna. Definicja 9.3. Dla danej formy dwuliniowej f na przestrzeni liniowej V odpowiadającą jej formą kwadratową nazywamy funkcję F : V → R daną wzorem F (v) = f (v, v) dla v ∈ V. Stwierdzenie 9.4. Dla danej formy kwadratowej F na przestrzeni V istnieje dokładnie jedna forma dwuliniowa symetryczna o formie kwadratowej F. Jest ona dana wzorem 1 f (v, w) = (F (v + w) − F (v) − F (w)). 2 Przykład 9.5. 1◦ Formą kwadratową odpowiadającą standardowemu iloczynowi skalarnemu w Rn jest kwadrat normy F (x) = kxk2 = x21 +... + x2n. 2◦ Formy dwuliniowe z podpunktów 2◦ i 3◦ poprzedniego przykładu mają tę samą formę kwadra- tową F ((x1 , x2 )) = x21 + 2x1 x2 + 2x22. 3◦ Duże znaczenie w fizyce, a konkretnie w szczególnej teorii względności, ma forma Lorentza na R4 czy to w postaci formy kwadratowej czy dwuliniowej F ((x1 , x2 , x3 , x4 )) = x21 + x22 + x23 − x24 f ((x1 , x2 , x3 , x4 ), (y1 , y2 , y3 , y4 )) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 − x4 y4. 4◦ Dla formy kwadratowej F ((x1 , x2 , x3 )) = x21 − 3x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 6x1 x3 + 12x2 x3 na R3 odpowiadającą jej formą dwuliniową symetryczną jest f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 − 3x2 y2 + 5x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 − 3x1 y3 − 3x3 y1 + 6x2 y3 + 6x2 y2. 30 Definicja 9.6. Niech f bedzie formą dwuliniową na przestrzeni liniowej V , a B = (v1 ,... , vn ) — bazą przestrzeni V. Macierzą formy dwuliniowej f w bazie B nazywamy macierz MB (f ) = [f (vi , vj )]1¬i,j¬n. Macierzą formy kwadratowej nazywamy macierz odpowiadającej jej formy dwuliniowej symetrycznej. Uwaga 9.7. Macierz A formy dwuliniowej symetrycznej jest symetryczna, tzn. AT = A. Stwierdzenie 9.8. Jeżeli A jest macierzą formy dwuliniowej f w bazie B przestrzeni V , a C macierzą przejścia od bazy B do bazy C w przestrzeni V , to macierzą formy f w bazie C jest C T AC. Definicja 9.9. Mówimy, że forma kwadratowa F (odpowiednio forma dwuliniowa f ) ma w bazie B = (v1 ,... , vn ) postać kanoniczną, gdy jej macierz w tej bazie jest diagonalna, czyli gdy istnieją liczby λ1 ,... , λn ∈ R takie, że F (x1 v1 +... + xn vn ) = λ1 x21 +... + λn x2n dla x1 ,... , xn ∈ R. Postać formy jest normalna, gdy λ1 ,... , λn ∈ {−1, 0, 1}. Przykład 9.10. W bazie kanonicznej kwadrat normy w Rn ma macierz jednostkową, a forma Lo- rentza ma w bazie kanonicznje R4 macierz diagonalną o wyrazach na przekątnej 1, 1, 1, −1. Zatem obie te formy są w postaci kanonicznej, a nawet normalnej. Uwaga 9.11. Każdą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej metodą Lagran- ge’a: np. 1. dla formy F ((x1 , x2 )) = x21 +2x1 x2 +x22 jest to F ((x1 , x2 )) = (x1 +x2 )2 +x22. Przyjmując y1 = x1 + x2 , y2 = x2 , skąd także x1 = y1 − y2 , x2 = y2 , otrzymujemy bazę B = (v1 = (1, 0), v2 = (−1, 1)), w której F (y1 v1 + y2 v2 ) = F ((x1 + x2 )(1, 0) + x2 (−1, 1)) = F ((x1 , x2 )) = (x1 + x2 )2 + x22 = y12 + y22. 2. dla formy F ((x1 , x2 , x3 )) = x21 − 3x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 6x1 x3 + 12x2 x3 rozumowanie przebiega podobnie   F ((x1 , x2 , x3 )) = x21 + 2 · 2x1 x2 + (2x2 )2 − 2 · 3x1 x3 + (−3x3 )2 + 2 · (2x2 )(−3x3 ) − 7x22 − 4x23 + 24x2 x3 −12 144 2 116 2   = (x1 + 2x2 − 3x3 )2 − 7 x22 + 2 x2 x3 + x3 + x 7 49 7 3 2 12 116 2  2 = (x1 + 2x2 − 3x3 ) − 7 x2 − x3 + x 7 7 3 116 2 =y12 − 7y22 + y. 7 3 Definicja 9.12. W macierzy kwadratowej A = [aij ] ∈ Mnn minorem głównym stopnia k nazywamy wyznacznik ∆k = det[aij ]1¬i,j¬k. Przyjmujemy dodatkowo ∆0 = 1. 31 Twierdzenie 9.13 (twierdzenie Jacobiego). Niech forma kwadratowa F na przestrzeni V ma w pewnej bazie macierz A = [aij ] ∈ Mnn o wszystkich minorach głównych różnych od zera. Istnieje wówczas baza B = (v1 ,... , vn ) przestrzeni V , w której forma F ma postać kanoniczną ∆0 2 ∆1 2 ∆n−1 2 F (x1 v1 +... + xn vn ) = x1 + x2... + x dla x1 ,... , xn ∈ R. ∆1 ∆2 ∆n n Twierdzenie 9.14 (twierdzenie Sylwestera o bezwładności). Dla danej formy kwadratowej F na przestrzeni V wymiaru n istnieją liczby r, s takie, że r + s ¬ n i każda postać normalna formy F zawiera dokładnie r liczb 1 oraz dokładnie s liczb −1. Układ takich iczb (r, s) nazywamy sygnaturą formy F. Przykład 9.15. Kwadrat standardowej normy ma sygnaturę (n, 0), a forma Lorentza — sygnaturę (3, 1). Definicja 9.16. Mówimy, że forma kwadratowa F na przestrzeni liniowej V jest (i) dodatnio określona, gdy F (v) > 0 dla v ∈ V \ {θ}, (ii) ujemnie określona, gdy F (v) < 0 dla v ∈ V \ {θ}, (iii) nieokreślona, gdy istnieją takie v1 , v2 ∈ V , że F (v1 ) > 0 i F (v2 ) < 0. Twierdzenie 9.17 (kryterium wyznacznikowe określoności formy). Niech forma kwadratowa F na przestrzeni V ma w pewnej bazie macierz A = [aij ] ∈ Mnn o minorach głównych ∆1 ,... , ∆n. Wówczas (i) jeżeli ∆k > 0 dla k = 1,... , n, to forma F jest dodatnio określona, (ii) jeżeli (−1)k ∆k > 0 dla k = 1,... , n, to forma F jest ujemnie określona. Przykład 9.18. Kwadrat standardowej normy jest dodatnio określony, forma Lorentza jest nieokre- ślona, a forma F ((x1 , x2 , x3 )) = −x21 − 3x22 − 5x3 jest ujemnie określona. 32 Literatura D. Cherney, T. Denton, R. Thomas, A. Waldron, Linear Algebra, https://www.math.ucdavis.edu/ linear/linear-guest.pdf M. Czarnecki, Algebra liniowa z geometrią, http://math.uni.lodz.pl/ maczar/lectures/alg.pdf B. Gleichgewicht, Algebra, PWN J. Hefferon, Linear Algebra, http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/book.pdf 33