متجهات ج2-3-12 PDF

‫التاريخ ‪.............................. :‬‬ ‫درست استعمال حساب المثلثات في حل المثلث‬ ‫فيما سبق‬ ‫اآلن‬...

‫التاريخ ‪.............................. :‬‬ ‫درست استعمال حساب المثلثات في حل المثلث‬ ‫فيما سبق‬ ‫اآلن‬ ‫المفردات‬ ‫لماذا ؟‬ ‫المتجهات‬ ‫مالحظ‬ ‫‪Km 100‬‬ ‫الكمية القياسية ‪ :‬هي التي يمكن وصفها بقيمة عددية مثالً ‪ :‬سيارة قطعت مسافة‬ ‫الكمية المتجهة ‪ :‬هي التي يمكن وصفها بكمية و اتجاه مثالً ‪ :‬تسير سيارة بسرعة ‪ km 120‬بإتجاه الشمال‬ ‫‪3‬‬  ‫تحديد الكميات المتجهة‬ ‫مثال‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪...........................................................................‬‬ ‫‪.................................................................................................‬‬ ‫‪........‬‬ ‫‪..............................................................................................................‬‬ ‫تمثيل المتجه‬ ‫المتجه في الوضع القياسي‬ ‫المتجه في الوضع القياسي‬ ‫مالحظ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ (1‬يكون المتجه في الوضع القياسي إذا كانت نقطة بداية المتجه نقطة األصل ‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (2‬طول المتجه طول القطعة المستقيمة ‪ a‬ويرمز له بالرمز ‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ (3‬طول المتجه ‪ ، a‬اتجاه المتجه هو قياس الزاوية ‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ (4‬االتجاه في المستوي ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اتجاه سالب‬ ‫_‬ ‫عكس اتجاه عقارب الساعة‬ ‫‪x‬‬ ‫اتجاه موجب‬ ‫نفس اتجاه عقارب الساعة‬ ‫‪o‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪4‬‬  ‫اتجاه المتجه‬ ‫يمكن أن يعبر عن المتجه باالتجاهات التالية ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ (1‬االتجاه االفقي ‪:‬‬ ‫هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور ‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫البداية ‪‬‬ ‫الموجب باالتجاه الموجب ( عكس عقارب الساعة )‬ ‫مثالً‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪205‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪300‬‬ ‫البداية ‪‬‬ ‫شمال ‪N‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ (2‬االتجاه الربعي ‪‬‬ ‫هو قياس اتجاهي بين ‪ 00‬و‬ ‫‪900‬‬ ‫غرب ‪W‬‬ ‫شرق ‪E‬‬ ‫شرق أو غرب الخط الرأسي ( خط شمال أو جنوب )‬ ‫مثالً‬ ‫جنوب ‪S‬‬ ‫البداية ‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪750‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫اتجاه المتجه = ‪S 80 E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اتجاه المتجه = ‪S 75 W‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اتجاه المتجه = ‪N 60 W‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اتجاه المتجه = ‪N 350 E‬‬ ‫البداية ‪‬شمال ‪N‬‬ ‫‪5‬‬  ‫‪ (3‬االتجاه الحقيقي ‪:‬‬ ‫تقاس الزاوية مع عقارب الساعة ( االتجاه السالب ) بدءا ً من الشمال‬ ‫غرب ‪W‬‬ ‫شرق ‪E‬‬ ‫وتكتب الزاوية بثالثة أرقام‬ ‫مثالً‬ ‫‪N‬‬ ‫جنوب ‪S‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪0250‬‬ ‫‪3200‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪1050‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪2350‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪3200‬‬ ‫اتجاه المتجه =‬ ‫‪2350‬‬ ‫اتجاه المتجه =‬ ‫‪1050‬‬ ‫اتجاه المتجه =‬ ‫‪0250‬‬ ‫اتجاه المتجه =‬ ‫إذا ذكر في السؤال زاوية متجه من ثالثة أرقام ولم يذكر مع االفقي أو سطح األرض فيقصد مباشرة االتجاه الحقيقي‬ ‫اتجاه المتجه‬ ‫‪ (3‬االتجاه الحقيقي ‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫االتجاه الربعي ‪‬‬ ‫االتجاه االفقي ‪:‬‬ ‫تقاس الزاوية مع عقارب‬ ‫‪00‬‬ ‫هو قياس اتجاهي بين‬ ‫هي الزاوية التي يصنعها‬ ‫الساعة ( االتجاه السالب )‬ ‫و ‪900‬‬ ‫المتجه مع محور ‪x‬‬ ‫بدءا ً من الشمال‬ ‫شرق أو غرب الخط‬ ‫الموجب باالتجاه الموجب‬ ‫وتكتب الزاوية بثالثة أرقام‬ ‫الرأسي‬ ‫( عكس عقارب الساعة )‬ ‫( خط شمال أو جنوب )‬ ‫مثال‬ ‫االتجاه االفقي‬ ‫‪6‬‬  ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫االتجاه االفقي‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫انواع المتجهات‬ ‫مالحظ‬ ‫التمثيل‬ ‫االتجاه‬ ‫الطول‬ ‫نوع المتجه‬ ‫لها نفس االتجاه‬ ‫ليس من الضروري لها‬ ‫متوازية‬ ‫أو‬ ‫الطول نفسه‬ ‫اتجاهان متعاكسان‬ ‫لها االتجاه نفسه‬ ‫لها الطول نفسه‬ ‫متكافئة‬ ‫اتجاهان متعاكسان‬ ‫لها الطول نفسه‬ ‫متعاكسة‬ ‫يكتب المتجهة المعاكس للمتجه ‪ a‬على الصورة ‪-a‬‬ ‫‪7‬‬  ‫جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها ً‬ ‫جمع المتجهات ( محصلة المتجهات )‬ ‫‪ (1‬جمع المتجهان المتوازيان في االتجاه نفسه ‪:‬‬ ‫محصلة ناتج جمع متجهين أو أكثر لها االتجاه نفسه هو مجموع أطوال هذه المتجهات واتجاهها هو اتجاه المتجهات األصلية نفسها‬ ‫حاصل جمع متجهان متكافئان لها االتجاه نفسه والطول نفسه‬ ‫لها االتجاه نفسه وغير متساويان‬ ‫‪3cm/sec‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3cm/sec‬‬ ‫‪3cm/sec‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5cm/sec‬‬ ‫‪6cm/sec‬‬ ‫‪a+b=2a=2b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪ (2‬جمع المتجهان المتوازيان المتعاكسان( غير متساويان في الطول ) ‪:‬‬ ‫محصلة ناتج جمع متجهين لها االتجاه نفسه هو القيمة المطلقة للفرق بين طولي المتجهين ‪ ،‬واتجاهها هو اتجاه المتجه األكبر طوالً‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3cm/sec‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3cm/sec‬‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫‪1cm/sec‬‬ ‫|‪a+b=|a-b‬‬ ‫‪ (3‬جمع متجهان متعاكسان(متساويان في الطول ) ‪ :‬المتجه الصفري‬ ‫وطوله صفر وليس له اتجاه‬ ‫‪0‬‬ ‫محصلة ناتج جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه هي المتجه الصفري ويرمز له بالرمز ‪ 0‬أو‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a + (-a ) = 0‬‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫‪-a‬‬ ‫ايجاد محصلة متجهين غير متوازيين‬ ‫‪8‬‬  ‫مثال ‪1‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪v‬‬ ‫نضع أحد المتجهين في وضع قياسي وليكن المتجه ‪v‬‬ ‫‪x‬‬ ‫نجري انسحاب للمتجه ‪ w‬بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه ‪v‬‬ ‫باستخدام المسطرة والمثلث القائم‬ ‫‪y‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v+ w = 3cm‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪w‬‬ ‫نرسم متجه المحصلة ‪ v + w‬نقيس المسافة بين بداية المتجه ‪ v‬ونهاية‬ ‫المتجه ‪3cm = w‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ْ61‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9‬‬  ‫لتحديد االتجاه بالنسبة لالفقي نقيس بالمنقلة االتجاه االفقي للمحصلة = ‪61‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪......................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪............................................................................................................................................................................‬‬ ‫إيجاد محصلة متجهين غير متوازيين‬ ‫إذا كان ‪k > 0‬‬ ‫نفس اتجاه ‪v‬‬ ‫‪3v‬‬ ‫‪v 8cm/sec‬‬ ‫مثالً ‪:‬‬ ‫مالحظ‬ ‫‪= k v (1‬‬ ‫إذا كان ‪k < 0‬‬ ‫عكس اتجاه ‪v‬‬ ‫‪-3v‬‬ ‫مثالً ‪:‬‬ ‫‪v 8cm/sec‬‬ ‫تكبير إذا كان ‪|k| > 1‬‬ ‫‪5v‬‬ ‫مثالً ‪v 8cm/sec :‬‬ ‫‪= k v (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2cm/sec‬‬ ‫تصغير إذا كان ‪|k| < 1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫مثالً ‪8cm/sec :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪10‬‬  ‫إيجاد محصلة متجهين غير متوازيين‬ ‫مثال‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫تحليل القوة إلى مركبتين متعامدتين‬ ‫تطبيقات المتجهات‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪sin ‬‬ ‫‪ y = r sin ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪cos ‬‬ ‫‪ x = r cos ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪11‬‬  ‫مثال‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪..............................................................................................................................................................................‬‬ ‫‪12‬‬