Identidades trigonométricas: Ejercicios y ejemplos - PDF

**IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS** **Objetivos:** - Utilizar las identidades reciprocas, de razones y pitagóricas en la solución de problemas. - Utilizar las identidades de suma y diferencia de ángulos en la solución de problemas. Una ecuación es un enunciado en el que dos expresiones m...

**IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS** **Objetivos:** - Utilizar las identidades reciprocas, de razones y pitagóricas en la solución de problemas. - Utilizar las identidades de suma y diferencia de ángulos en la solución de problemas. Una ecuación es un enunciado en el que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo, las siguientes expresiones son ecuaciones -------------------------------------- ---------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ \ \ \ [*x* + 2 = 5 (*i*)]{.math.display}\ [(*x*+1)^2^ = *x*^2^ + 2*x* + 1 (*ii*)]{.math.display}\ [sen^2^*t* + cos^2^*t* = 1 (*iii*)]{.math.display}\ -------------------------------------- ---------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ Una **identidad** es una ecuación que es verdadera para todos los valores de las variables. De las tres ecuaciones anteriores la del centro y la de la derecha son identidades, pero la que está a la izquierda no lo es, ya que no es verdadera para todos los valores de [*x*]{.math.inline}, sólo es verdadera para [*x* = 3]{.math.inline}. Usaremos las definiciones de las seis relaciones trigonométricas para desarrollar ocho ecuaciones conocidas como **identidades fundamentales.** Por su naturaleza se dividen en tres grupos de acuerdo con la forma en que han sido deducidas y se pueden usar para cambiar la forma de una expresión trigonométrica a otra equivalente que se maneje más fácil. Un enunciado de igualdad que es válido para todos los valores de la variable para los cuales las funciones involucradas en el enunciado estén definidas, se llama identidad. **Funciones Recíprocas** Sabemos que las funciones trigonométricas pueden ser agrupadas en parejas, de tal forma que los miembros de cada pareja sean recíprocos. De este modo podemos deducir que: +-----------------------------------+-----------------------------------+ | \ | (1) {#section-2} | | [sen | === | | θ**csc** **θ** **=** **1**]{.math | | |.display}\ | | +===================================+===================================+ | \ | (2) {#section} | | [cos | === | | θ**sec** **θ** **=** **1**]{.math | | |.display}\ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | \ | (3) {#section-1} | | [tan | === | | θ**cot** **θ** **=** **1**]{.math | | |.display}\ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Si ahora despejamos en las relaciones anteriores cualquiera de las funciones que aparecen obtendremos las siguientes: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \ \ [\$\$\\mathbf{sen\\ \\theta =}\\frac{\\mathbf{1}}{\\mathbf{\\csc}\\mathbf{\\theta}}\$\$]{.math.display}\ [\$\$\\mathbf{csc\\ \\theta =}\\frac{\\mathbf{1}}{\\mathbf{\\text{sen}}\\mathbf{\\theta}}\$\$]{.math.display}\ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \ \ [\$\$\\cos\\ \\theta = \\frac{1}{\\sec\\theta}\$\$]{.math.display}\ [\$\$\\sec\\ \\theta = \\frac{1}{\\cos\\theta}\$\$]{.math.display}\ \ \ [\$\$tan\\ \\theta = \\frac{1}{\\cot\\theta}\$\$]{.math.display}\ [\$\$cot\\ \\theta = \\frac{1}{\\tan\\theta}\$\$]{.math.display}\ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- **Relaciones que Implican una Razón de Funciones Trigonométricas** Sabemos que: [\$\\frac{\\mathbf{\\text{sen}}\\ \\mathbf{\\theta}}{\\mathbf{\\cos}\\mathbf{\\theta}} = \\frac{\\mathbf{y}}{\\mathbf{r}} \\div \\frac{\\mathbf{x}}{\\mathbf{r}} = \\frac{\\mathbf{y}}{\\mathbf{r}} \\bullet \\frac{\\mathbf{r}}{\\mathbf{x}} = \\frac{\\mathbf{y}}{\\mathbf{x}} = \\mathbf{\\tan}\\mathbf{\\theta}\$]{.math.inline} \ [\$\$\\frac{\\mathbf{\\cos}\\ \\mathbf{\\theta}}{\\mathbf{\\text{sen}}\\mathbf{\\theta}} = \\frac{\\mathbf{x}}{\\mathbf{r}} \\div \\frac{\\mathbf{y}}{\\mathbf{r}} = \\frac{\\mathbf{x}}{\\mathbf{r}} \\bullet \\frac{\\mathbf{r}}{\\mathbf{y}} = \\frac{\\mathbf{x}}{\\mathbf{y}} = \\mathbf{\\cot}\\mathbf{\\theta}\$\$]{.math.display}\ Por lo tanto: +-----------------------------------+-----------------------------------+ | \ | (4) {#section-4} | | [\$\$\\mathbf{tan\\ \\theta | === | | =}\\frac{\\mathbf{\\text{sen\\ | | | θ}}}{\\mathbf{\\cos}\\mathbf{\\th | | | eta}}\$\$]{.math | | |.display}\ | | +===================================+===================================+ | \ | (5) {#section-3} | | [\$\$\\mathbf{cot\\ \\theta | === | | =}\\frac{\\mathbf{\\text{cos\\ | | | θ}}}{\\mathbf{\\text{sen}}\\mathb | | | f{\\theta}}\$\$]{.math | | |.display}\ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **Relaciones Pitagóricas** La relación que existe entre la abscisa y la ordenada establece que: [*x*^2^ + *y*^2^ = *r*^2^]{.math.inline}. Si dividimos esta expresión entre [*r*^2^]{.math.inline} obtenemos que: \ [\$\$\\left( \\frac{x}{r} \\right)\^{2} + \\left( \\frac{y}{r} \\right)\^{2} = \\left( \\frac{r}{r} \\right)\^{2}\$\$]{.math.display}\ Pero por definición sabemos que [\$\\cos{\\theta = \\frac{x}{r}}\$]{.math.inline} y [\$\\text{sen}{\\theta = \\frac{y}{r}}\$]{.math.inline} +-----------------------------------+-----------------------------------+ | \ | (6) | | [**cos** ^**2**^**θ+**sen^**2**^* | === | | *θ** **=** **1**]{.math | | |.display}\ | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Ahora si la misma expresión se divide entre [*x*^2^]{.math.inline} y [*y*^2^]{.math.inline}se obtiene respectivamente: +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | \ | | \ | | | | [\$\$\\left | | [\$\$\\left | | | | ( | | ( | | | | \\frac{x}{x | | \\frac{x}{y | | | | } | | } | | | | \\right)\^{ | | \\right)\^{ | | | | 2} | | 2} | | | | + \\left( | | + \\left( | | | | \\frac{y}{x | | \\frac{y}{y | | | | } | | } | | | | \\right)\^{ | | \\right)\^{ | | | | 2} | | 2} | | | | = \\left( | | = \\left( | | | | \\frac{r}{x | | \\frac{r}{y | | | | } | | } | | | | \\right)\^{ | | \\right)\^{ | | | | 2}\$\$]{.ma | | 2}\$\$]{.ma | | | | th | | th | | | |.display}\ | |.display}\ | | | +=============+=============+=============+=============+=============+ | \ | (7) | | \ | (8) | | [**1+tan**  | === | | [**cot** ^* | === | | ^**2**^**θ= | | | *2**^**θ**  | | | sec** ^**2* | | | **+** **1=c | | | *^**θ**]{.m | | | sc** ^**2** | | | ath | | | ^**θ**]{.ma | | |.display}\ | | | th | | | | | |.display}\ | | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ **Identidades trigonométricas** En [matemáticas](http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%83%C2%A1ticas), las identidades trigonométricas son igualdades que involucran [funciones trigonométricas](http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%83%C2%A9tricas), verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los [ángulos](http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%83%C2%81ngulo) sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. El método más simple para demostrar que una ecuación es una identidad, consiste en convertir uno de los miembros de la ecuación en la forma que tiene el otro miembro. No existe un método específico para llevar a cabo estas conversiones, pero a continuación se te presenta algunas indicaciones que te pueden ayudar en estas operaciones. 1. *Es más conveniente trabajar con el miembro más complicado de la identidad.* 2. *Si aparecen una o más operaciones indicadas, estas se deben resolver como primer paso.* 3. *Si el numerador de uno de los miembros contiene varios términos, y el denominador solamente uno, se puede, de ser necesario, efectuar la conversión deseada expresando el miembro en cuestión como una suma de fracciones y aplicando luego las relaciones fundamentales.* 4. *De ser posible, uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá sea posible distinguir el paso siguiente.* 5. *Algunas veces, para obtener la conversión deseada es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto equivale a multiplicar por uno.* 6. *Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro más complicado se convierten en senos y cosenos, y se simplifica.* **Ejemplo: (Trabajar con el miembro más complicado)** - Demostrar que la ecuación siguiente es una identidad. **Solución:** -- -- -- -- **Ejemplo: (Resolver operaciones indicadas)** - Demostrar que: [cot *A*(tan*A* + cot *A*) = csc^2^*A*]{.math.inline} [cot *A*(tan*A* + cot *A*)=]{.math.inline} [csc^2^*A*]{.math.inline} \ [cot *A*tan *A* + cot^2^*A*  = csc^2^*A*]{.math.display}\ [1 + cot^2^*A* = csc^2^*A*]{.math.inline} [csc^2^*A* = csc^2^*A*]{.math.inline} - Demostrar que: [(*senθ*+cos*θ*)^2^]{.math.inline}= 1+2 [senθcos *θ*]{.math.inline} = = +2 =1+2 - Demostrar que: [\$\\frac{1 + sen\\ A}{\\cos A} + \\frac{\\cos A}{\\text{sen\\ A}} = \\frac{1 + sen\\ A}{\\text{sen\\ A}\\cos A}\$]{.math.inline} \ [\$\$\\frac{1 + sen\\ A}{\\cos A} + \\frac{\\cos A}{\\text{sen\\ A}} = \\frac{\\text{sen\\ A}\\left( 1 + sen\\ A \\right) + \\cos\^{2}A}{\\text{sen\\ A}\\cos A}\$\$]{.math.display}\ [\$= \\frac{sen\\ A + \\text{sen}\^{2}A + \\cos\^{2}A}{\\text{sen\\ A}\\cos A}\$]{.math.inline} [\$= \\frac{sen\\ A + 1}{\\text{sen\\ A}\\cos A} = \\frac{1 + sen\\ A}{\\text{sen\\ A}\\cos A}\$]{.math.inline} **Ejemplo: (Varios términos en el numerador y solo uno en el denominador)** - Demostrar que: [\$\\frac{\\tan{A + \\sec\^{3}A - sec\\ A}}{\\sec A} = \\tan\^{2}A + sen\\ A\$]{.math.inline} [\$\\frac{\\tan{A + \\sec\^{3}A - sec\\ A}}{\\sec A} = \\frac{\\tan A}{\\sec A} + \\frac{\\sec\^{3}A}{\\sec A} - \\frac{\\sec A}{\\sec A}\$]{.math.inline} [\$= \\frac{\\frac{\\text{sen\\ A}}{\\cos A}}{\\frac{1}{\\cos A}} + \\sec\^{2}A - 1\$]{.math.inline} [\$= \\frac{\\text{sen\\ A}}{\\cos A} \\bullet \\frac{\\cos A}{1} + \\tan\^{2}A = sen\\ A + tan\\ A = \\tan{A + sen\\ A}\$]{.math.inline} **Ejemplo: (cuando uno de los miembros debe ser factorizado)** - Demostrar que: [sec^4^*A* − 2sec^2^*A* tan^2^*A* + tan^4^*A* = 1]{.math.inline} [sec^4^*A* − 2sec^2^*A* tan^2^*A* + tan^4^*A* = (sec^2^*A*−tan^2^*A*)^2^]{.math.inline} (trinomio cuadrado perfecto) [ = (1)^2^ = 1]{.math.inline} **Ejemplo: (multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor)** - Demostrar que: [\$\\frac{\\text{sen}\^{2}x}{\\sec{x - 1}} = \\frac{\\cos{x + 1}}{\\sec x}\$]{.math.inline} \ [\$\$\\frac{\\text{sen}\^{2}x}{\\sec{x - 1}} = \\frac{\\cos{x + 1}}{\\sec x} \\bullet \\frac{\\cos{x - 1}}{\\cos{x - 1}}\$\$]{.math.display}\ [\$= \\frac{\\cos\^{2}x - 1}{\\sec{x\\left( \\cos{x - 1} \\right)}}\$]{.math.inline} [\$= \\frac{{- sen}\^{2}x}{\\sec{x\\cos{x - \\sec x}}} = \\frac{- \\text{sen}\^{2}x}{1 - \\sec x} = \\frac{\\text{sen}\^{2}x}{\\sec{x - 1}}\$]{.math.inline} **Ejemplo: (Convertir a senos y cosenos el miembro más complicado)** - Verificar que: **PRÁCTICA \#1** I. Clasifica las expresiones como ecuación o identidad según las definiciones estudiadas. Ecuación ----------- -- Identidad +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | 7. | 8. | 9. | +=======================+=======================+=======================+ | 1. | 2. | 3. | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | 4. | 5. | 6. | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ II. Resuelva las operaciones con expresiones trigonométricas +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | 7. | | 8. | | | | | | +------------------+ | | \ | | | c. | | | [cos *A*(sec*A*−cos*A | | +==================+ | | *)]{.math | | | a. | | |.display}\ | | +------------------+ | | | | | b. | | | +------------------+ | | +------------------+ | | | c. | | | | | +==================+ | | | | | a. | | | | | +------------------+ | | | | | b. | | | | | +------------------+ | +=======================+=======================+=======================+ | 1. | | 2. | | | | | | \ | | \ | | [(sec*A* − tan *A*)(s | | [csc *A* + cot *A* +  | | ec*A*+tan*A*)]{.math | | csc *A* − *cotA*]{.ma | |.display}\ | | th | | | |.display}\ | | +------------------+ | | | | | c. | | | +------------------+ | | +==================+ | | | c. | | | | a. | | | +==================+ | | +------------------+ | | | a. | | | | b. | | | +------------------+ | | +------------------+ | | | b. | | | | | +------------------+ | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | 3. | | 4. | | | | | | \ | | \ | | [1 − cos^2^*A*]{.math | | [(*sen* *A*−cot*A*)^2 | |.display}\ | | ^]{.math | | | |.display}\ | | +------------------+ | | | | | c. | | | +------------------+ | | +==================+ | | | c. | | | | a. | | | +==================+ | | +------------------+ | | | a. | | | | b. | | | +------------------+ | | +------------------+ | | | b. | | | | | +------------------+ | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | 5. | | 6. | | | | | | \ | | \ | | [sec^2^*A* + sec^2^*A | | [\$\$\\frac{1 - \\csc | | * | | A\\sec\^{2}A + \\sec | | tan^2^*A*]{.math | | A\\csc A}{\\csc | |.display}\ | | A}\$\$]{.math | | | |.display}\ | | +------------------+ | | | | | c. | | | +------------------+ | | +==================+ | | | c. | | | | a. | | | +==================+ | | +------------------+ | | | a. | | | | b. | | | +------------------+ | | +------------------+ | | | b. | | | | | +------------------+ | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ III. Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | 1. [senAcot *A* = cos *A*]{.math | 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 2 | |.inline} | 3. 24. 25. | | | | | 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 | | | 0. 11. 12. 13. 14. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ IV. Pareo. Asocie cada expresión de la columna izquierda con su reducción de la columna derecha. +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 7. | | | [cos *A* tan | | | | | A]{.math | | | | |.display}\ | | | +=================+=================+=================+=================+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 1. | | | [cos^2^*A* + se | | | | | n^2^*A* + cot^2 | | | | | ^*A*]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 2. | | | [sec *A* − cos  | | | | | *A*]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 3. | | | [(*sen* *A*−csc | | | | | *A*)^2^]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 4. | | | [\$\$\\frac{\\s | | | | | ec\^{2}A}{1 | | | | | + | | | | | \\cot\^{2}A}\$\ | | | | | $]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 5. | | | [\$\$\\frac{\\c | | | | | os | | | | | A}{\\text{sen\\ | | | | | A}} + | | | | | \\frac{\\text{s | | | | | en\\ | | | | | A}}{\\cos | | | | | A}\$\$]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | \_\_\_\_\_\_\_ | \ | | 6. | | | [\$\$\\frac{1}{ | | | | | \\csc | | | | | A - \\cot A} + | | | | | \\frac{1}{\\csc | | | | | A + \\cot | | | | | A}\$\$]{.math | | | | |.display}\ | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- **IDENTIDADES FUNDAMENTALES** ------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ \ \ [sen θcsc *θ* = 1]{.math.display}\ [\$\$\\cot\\theta = \\ \\frac{\\text{cos\\ θ}}{\\text{sen}\\theta}\$\$]{.math.display}\ \ \ [*cos* *θ* *sec* *θ* = 1]{.math.display}\ [cos^2^*θ* + sen^2^*θ* = 1]{.math.display}\ \ \ [*tan* *θ* *cot* *θ* = 1]{.math.display}\ [1 + tan^2^*θ*= sec^2^*θ*]{.math.display}\ \ \ [\$\$\\tan\\theta = \\ \\frac{\\text{sen\\ θ}}{\\cos\\theta}\$\$]{.math.display}\ [1 + *cot*^2^*θ*= csc^2^*θ*]{.math.display}\ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ **IDENTIDADES PAR - IMPAR** ------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------- \ \ [sen ( **−** **A**)**=−** **senA**]{.math.display}\ [**csc**  ( **−** **A**)**=−** **cscA**]{.math.display}\ \ \ [cos (−*A*) = cos *A*]{.math.display}\ [sec (−*A*) = sec *A*]{.math.display}\ \ \ [tan (−*A*) =  − *tanA*]{.math.display}\ [cot (−*A*) =  − *cotA*]{.math.display}\ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ **PRUEBA PARCIAL \#4. JUEVES 09 DE MAYO 2024**