Optyka gaussowska PDF

1  Wykład 2 Optyka gaussowska 2 3  Wykład 2 Refrakcja na powierzchni sferycznej Ogólna postać systemu obrazowego (image-forming system) Proces tworzenia obrazu - podejście macierzowe Sposoby opisu powierzchni - prz...

1  Wykład 2 Optyka gaussowska 2 3  Wykład 2 Refrakcja na powierzchni sferycznej Ogólna postać systemu obrazowego (image-forming system) Proces tworzenia obrazu - podejście macierzowe Sposoby opisu powierzchni - przegląd Apertury i przesłony Aberracje soczewek 4  Wykład 2 Załamanie na powierzchni sferycznej założenia: sin    sin    sin       =   −  =  − x sin  = R n sin  = n sin   n − n n P n n − n  = x +  = − x +  gdzie P= - moc powierzchni nR n n n R  1 0 R = P n  x  x  −  → transformacja:   = R  x = x  n  n      5  Wykład 2 Założenia upraszczające Uproszczony przypadek → promień leży w płaszczyźnie xz układu optycznego; ogólny przypadek → promień leży w dowolnej płaszczyźnie; podział promienia na składowe (x,) i (y,) leżące w płaszczyźnie xz oraz yz; (x,) i (y,) - opisujące zachowanie dwóch składowych promienia - są niezależne; powyższe założenie jest poprawne tylko dla małych kątów; obliczenia tylko dla płaszczyzny xz; wyniki transformujemy do płaszczyzny yz (podstawienie: x → y oraz  → ); rzut xz zachowuje się jakby (y,)  0; rzut yz zachowuje się jakby (x,)  0; promienie, które leżą w pojedynczej płaszczyźnie zawierającej oś z nazywane są promieniami południkowymi. 6  Wykład 2 Optyka Gaussa Wszystkie rozważania (jeśli nie jest zaznaczone inaczej) dotyczą systemów optycznych, których działanie jest poprawne dla promieni przyosiowych tzn. tworzących niewielkie kąty z osią optyczną systemu i biegnących blisko osi optycznej w porównaniu do wielkości optyki układu. Przez promień przyosiowy traktujemy każdy „promień światła”: padający na powierzchnię, odbity od niej, czy też załamany przez ośrodek optyczny. Dla takich warunków można zastosować aproksymacje pierwszego rzędu (np. sin(x)  x) po raz pierwszy sformułowaną przez C.F. Gauss’a. 7  Wykład 2 Powierzchnia ABCD – „czarne pudełko” Opis powierzchni oddziaływania z promieniem za pomocą macierzy 2x2 Dla jednej powierzchni tworzy się dwie macierze: dla kierunku x i y. (Ax, Bx, Cx, Dx, Ay, By, Cy, Dy)  x   Ax Bx   x    = C   Dx       x  ’ – kąt zawarty między propagującym promieniem a osią optyczną układu, x, x’ – wysokość punktu nad osią optyczną w miejscu przecięcia się promienia z powierzchnią ABCD ’ – znak odnosi się do wielkości związanych z promieniem 8 opuszczającym powierzchnię  Wykład 2 Inne sposoby modelowania systemów (powierzchni) optycznych Powierzchnia asferyczna parzysta, nieparzysta – do opisu wykorzystane równanie nieliniowe (wielomiany z parzystymi lub nieparzystymi zmiennymi; typowo kilkadziesiąt współczynników), Refrakcja atmosferyczna – obiekt uwzględnia oddziaływanie atmosfery na promień przechodzący (6 – parametrów opisowych), Sklejone stożki – ogólne równanie opisujące stożki połączone podstawami; różne średnice, grubości, itp. Optyka binarna – obiekty o zerowej grubości, n = const; opis zjawisk z uwzględnieniem dyfrakcji, (opis podobny jak dla powierzchni asferycznych), 9  Wykład 2 Inne sposoby modelowania systemów (powierzchni) optycznych Powierzchnie dwójłomne – modelowanie zachowania się kryształów czynnych optycznie. Dwójłomność – współczynnik refrakcji zależny od polaryzacji promienia oświetlającego Powierzchnie „sprzężone” – opisywane za pomocą dwóch punktów (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) dla promienia przechodzącego przez taką powierzchnię (można opisywać proste kształty z osiami symetrii), Przemieszczenie współrzędnych – zmiana układu odniesienia systemu optycznego (np. obrót, przesunięcie promienia), „Splajny kubiczne” – opis powierzchni wielomianem trzeciego stopnia, 10  Wykład 2 Inne sposoby modelowania systemów (powierzchni) optycznych Powierzchnie dyfrakcyjne – opis zachowania się promienia przy przechodzeniu przez siatki dyfrakcyjne, kraty, przesłony, itp. „Torusy, kształty toroidalne” – do opisu powierzchni wykorzystane równania parametryczne odpowiednich brył, Hologramy – równania tworzące hologramy na określonych powierzchniach (sferycznych, stożkowych, płaskich), Macierze Jones’a – do opisu układów, w których zachodzi konieczność modyfikacji polaryzacji wiązki przechodzącej przez obiekt, Powierzchnie periodyczne – opisane ogólnym równaniem sfery wraz z dodatkową częścią oscylacyjną ( cos(x) ), 11  Wykład 2 Inne sposoby modelowania systemów (powierzchni) optycznych NURBS Non – Uniform Rational B-Spline – ogólna postać opisu powierzchni za pomocą punktów kontrolnych; wolniejsze śledzenie promieni; dokładniejsze modelowanie zjawisk niedostępnych dla wielomianów i splajnów. „Techniki rozszerzone” – zawierające powyżej opisane modele rozszerzone o wyrażenia modelujące nieliniowości i lokalne nieciągłości (wielomian wysokiego stopnia wraz z sumą tzw. współczynników Zernike) 12  Wykład 2 Model standardowy - sferyczny cr 2 z= 1 + 1 − (1 + k )c r 2 2 postać parametryczna z=f(r); 1 b2 a2 − b2 =R= k =− 2 c a a c – krzywizna powierzchni (odwrotność promienia R) r – zmienna niezależna, promień wodzący a, b – oś wielka i mała elipsy k – stała k = 0 sfera k < -1 hiperboloida k = -1 paraboloida k [-1,0] elipsoidy 13 k > 0 spłaszczone elipsoidy  Wykład 2 Soczewka sferyczna  x1  x    = R 1  1   1   1   1 0 R 1 =  − P1 n1     n1 n1  n1 − n1 P1 = R1 przesunięcie z punktu A1 do A2 punktu: x2 = x1 + D121  x2   x1   1 D12    = T12   T12 =    2 = 1  2   1  0 1  n2 − n2 P2 =  x2   x2   1 0 R2 załamanie na A2:   = R 2   R 2 =  − P2 n2    2   2     n2 n2  14  Wykład 2 Transformacje można składać, np.: począwszy od punktu A1 do A2:  x2   x1    = M 12     2   1  gdzie: M12 = R 2T12 R 1 Iloczyny macierzy przesunięć i refrakcji ustawione w kolejności przebiegu promienia.  x  x   n  n  ogólnie:   = M  det M =  1  2         n1  n2  n ponieważ: n1 = n2 , n2 = n1 otrzymujemy: det M = n 15  Wykład 2 Przykład konstrukcji soczewki  1 0  1 D12   1 0 Kolejno mamy: R 1 =  − P1 n1  T12 =   R 2 =  − P2 n2       n1 n1  0 1   n2 n2  n1 = n2 n1 = n n2 = n M12 = R 2T12 R 1 D12 = d 16  Wykład 2 Przykład konstrukcji soczewki soczewka prosta  P1d nd   1 −  M12 = R 2T12 R 1  M 12 =  n2 n2  P2 P1 P2 d P1 n  P2 d    − + − 1 −    n  n n2 n  n  n2   17  Wykład 2 Soczewka cienka Soczewka cienka jest soczewką z pomijalną grubością d. Jeżeli d → 0, (d