Cours de Mécanique des Fluides - ECN 2008 PDF

Cours de Mécanique des Fluides Jean-François Sini To cite this version: Jean-François Sini. Cours de Mécanique des Fluides. Engineering school. France. 2006, pp.213. cel-00356205 HAL Id: cel-00356205 https://cel.hal.science/cel-00356205v1 Submitted on 26 Jan 2009 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. MECANIQUE DES FLUIDES __________________ Jean-François SINI 2008 AVANT-PROPOS Ce document polycopié correspond au support de cours de Mécanique des Fluides enseigné en première année à l’École Centrale. Il constitue une introduction à l’étude des phénomènes de transport de masse, de quantité de mouvement et d’énergie dans les écoulements de fluides. La première partie (chapitres 2 à 9) présente les notions et principes généraux de la thermodynamique et de la Mécanique qui permettent d’établir les équations de bilans dans un fluide. Leur formalisation en écriture locale dans le cas des fluides usuels aboutit aux équations dites de Navier-Stokes. Ces développements généraux, associés à un formalisme rigoureux, peuvent apparaître quelque peu théoriques aux yeux d’un élève ingénieur, mais ils constituent la base indispensable de l’analyse des systèmes fluides. Ils permettent de cerner les approximations usuelles généralement utilisées dans l’étude simplifiée des écoulements industriels complexes. À ce propos, le chapitre 10 présente les notions essentielles permettant de réduire consciemment le système de Navier-Stokes et de justifier au cas par cas les hypothèses simplificatrices qui conduisent aux différentes classes d’approximations de la Mécanique des Fluides. La deuxième partie du document (chapitres 11 à 15), après quelques éléments de Statique et des (rares) solutions exactes des équations de Navier-Stokes, présente un aspect plus appliqué, adapté à la formation d’un ingénieur généraliste. Les équations de bilans intégraux de masse, de quantité de mouvement et d’énergie, illustrées ici sur le cas simple des écoulements de conduites, permettent d’aborder d’un point de vue global, de nombreux problèmes courants de la Mécanique des Fluides Industrielle. L’essentiel des manipulations de Travaux Pratiques porte sur l’illustration de ces notions. Un enseignement complémentaire électif est proposé en 2ème année aux élèves qui le souhaitent(*). Il s’agit non pas tant d’étendre les concepts ou le contenu au-delà de ce qui est présenté ici, mais de mettre en œuvre les acquis sur des applications industrielles concrètes par l’étude de quelques classes d’approximations. Pour la rédaction de ce cours polycopié, j’ai utilisé librement de nombreux ouvrages classiques et quelques documents de certains collègues, tous disponibles à la bibliothèque de l’École Centrale. J’espère que ce polycopié constituera une invitation à la lecture de ces livres. Jean-François Sini Nantes, le 4 juillet 2006 (*) Cet enseignement électif (MFLAP), incontournable pour les options Hydrodynamique Navale et Génie Océanique et Mécanique des Fluides Numérique, est fortement recommandé pour les élèves s’orientant en 3ème année vers les options Energétique & Environnement et Génie Civil… les autres sont aussi les bienvenus! I SOMMAIRE Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs................................................................................................................ 1 1.1 Vecteurs........................................................................................................................................................ 1 1.1.1 Espace vectoriel Euclidien......................................................................................................................... 1 1.1.2 Convention de l’indice muet...................................................................................................................... 2 1.1.3 Changement de base.................................................................................................................................. 2 1.2 TENSEURS........................................................................................................................................................... 3 1.2.1 Définitions................................................................................................................................................. 3 1.2.2 Changement de base.................................................................................................................................. 4 1.2.3 Opérations sur les tenseurs........................................................................................................................ 5 1.2.4 Le tenseur d’orientation............................................................................................................................. 7 1.3 OPÉRATEURS VECTORIELS ET TENSORIELS......................................................................................................... 8 1.3.1 Notations.................................................................................................................................................... 8 1.3.2 Définitions................................................................................................................................................. 8 1.3.3 Notation dyadique.................................................................................................................................... 10 1.3.4 Identités................................................................................................................................................... 11 1.3.5 Relations intégrales.................................................................................................................................. 11 PREMIERE PARTIE Chapitre 2 Introduction.......................................................................................................................... 15 2.1 CONCEPTS GÉNÉRAUX...................................................................................................................................... 15 2.1.1 L’état fluide............................................................................................................................................. 15 2.1.2 Le concept de milieu continu................................................................................................................... 16 2.1.3 Limites de l’hypothèse de continuité....................................................................................................... 18 2.1.4 Surfaces de discontinuité......................................................................................................................... 18 2.2 PROPRIÉTÉS THERMODYNAMIQUES DES FLUIDES.............................................................................................. 18 2.2.1 Axiome de l’équilibre local..................................................................................................................... 18 2.2.2 Équation d’état......................................................................................................................................... 19 2.2.3 Premier principe et énergie interne.......................................................................................................... 20 2.2.4 Second principe et entropie...................................................................................................................... 23 2.2.5 Forme différentielle de l’énergie interne et de l’entropie........................................................................ 24 2.2.6 Équations d’état canoniques, enthalpie.................................................................................................... 26 2.2.7 Quelques définitions................................................................................................................................ 26 I II Chapitre 3 Cinématique.......................................................................................................................... 29 3.1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT..........................................................................................................................29 3.1.1 Notions de référentiel et de configuration................................................................................................29 3.1.2 Description Lagrangienne........................................................................................................................30 3.1.3 Description Eulerienne.............................................................................................................................31 3.2 DÉRIVÉE PARTICULAIRE....................................................................................................................................31 3.2.1 Taux de variation d’une grandeur matérielle............................................................................................31 3.2.2 Accélération d’une particule fluide..........................................................................................................33 3.3 RÉFÉRENTIEL INERTIEL ET RÉFÉRENTIEL RELATIF.............................................................................................33 3.4 LIGNES FLUIDES................................................................................................................................................34 3.4.1 Trajectoires...............................................................................................................................................34 3.4.2 Lignes de courant.....................................................................................................................................35 3.4.3 Lignes d’émission.....................................................................................................................................36 Chapitre 4 Déformation et rotation........................................................................................................ 37 4.1 TRANSLATION...................................................................................................................................................37 4.2 ROTATION.........................................................................................................................................................38 4.3 DILATATION......................................................................................................................................................39 4.4 CISAILLEMENT..................................................................................................................................................40 4.5 DÉCOMPOSITION DU MOUVEMENT GÉNÉRAL D’UNE PARTICULE........................................................................42 4.5.1 Cas 2D......................................................................................................................................................42 4.5.2 Cas 3D......................................................................................................................................................43 4.5.3 Taux de d’allongement d’un segment fluide............................................................................................43 4.6 TENSEUR DES TAUX DE DÉFORMATION ET TENSEUR DES TAUX DE ROTATION...................................................44 Chapitre 5 Théorèmes de transport....................................................................................................... 47 5.1 VOLUMES ET SURFACES DE CONTRÔLE..............................................................................................................47 5.2 FORMULATION DES THÉORÈMES DE TRANSPORT...............................................................................................48 5.2.1 Cas général d’un volume de contrôle arbitraire........................................................................................48 5.2.2 Cas d’un volume de contrôle fixe.............................................................................................................50 5.2.3 Cas d’un volume de contrôle matériel Vm(t)...........................................................................................50 5.2.4 Expression du théorème de transport en vitesse relative..........................................................................50 5.2.5 Théorème de transport pour un champ vectoriel......................................................................................50 5.3 FORMES ALTERNATIVES DES THÉORÈMES DE TRANSPORT.................................................................................50 5.4 THÉORÈMES DE TRANSPORT EN PRÉSENCE D’UNE SURFACE SINGULIÈRE...........................................................51 5.5 APPLICATIONS...................................................................................................................................................52 5.5.1 Le taux de dilatation volumique...............................................................................................................52 5.5.2 L’équation de continuité...........................................................................................................................53 Chapitre 6 Le tenseur des contraintes.................................................................................................... 55 6.1 EFFORTS À DISTANCE - EFFORTS DE CONTACT...................................................................................................55 6.1.1 Schéma macroscopique des contraintes...................................................................................................55 6.1.2 Propriété des contraintes locales...............................................................................................................56 6.2 LE TENSEUR DES CONTRAINTES.........................................................................................................................57 6.2.1 Représentation des forces de surface par le tenseur des contraintes.........................................................57 6.2.2 Composantes du tenseur des contraintes..................................................................................................59 6.2.3 Symétrie du tenseur des contraintes.........................................................................................................59 6.2.4 Notion de pression statique......................................................................................................................60 6.2.5 Le tenseur des contraintes visqueuses......................................................................................................62 Chapitre 7 Équations de bilans............................................................................................................... 65 7.1 FORME GÉNÉRALE D’UN PRINCIPE DE BILAN.....................................................................................................65 7.2 ÉQUATION DE BILAN DE MASSE.........................................................................................................................66 II III 7.3 ÉQUATION DE BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT........................................................................................ 66 7.3.1 Formes macroscopiques........................................................................................................................... 66 7.3.2 Formes locales......................................................................................................................................... 68 7.4 THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE............................................................................................................... 69 7.5 ÉQUATION DE BILAN DE L’ÉNERGIE.................................................................................................................. 71 7.6 ÉQUATION DE BILAN DE L’ÉNERGIE INTERNE.................................................................................................... 73 7.7 FORME ENTHALPIQUE DU BILAN D’ÉNERGIE..................................................................................................... 74 7.8 ÉQUATION DE BILAN DE L’ENTROPIE................................................................................................................ 74 Chapitre 8 Lois de comportement.......................................................................................................... 77 8.1 PRINCIPES GÉNÉRAUX...................................................................................................................................... 77 8.1.1 Introduction............................................................................................................................................. 77 8.1.2 Axiomatique des lois de comportement................................................................................................... 78 8.2 RELATIONS LINÉAIRES ENTRE FORCES ET FLUX................................................................................................ 79 8.2.1 Cas de la quantité de chaleur - Loi de Fourier......................................................................................... 80 8.2.2 Cas de la quantité de mouvement - Loi de Newton................................................................................. 81 8.3 LES FLUIDES NON NEWTONIENS........................................................................................................................ 85 8.3.1 Les fluides non newtoniens indépendants du temps................................................................................ 86 8.3.2 Les fluides non newtoniens dépendants du temps................................................................................... 87 8.3.3 Les fluides visco-élastiques..................................................................................................................... 87 8.4 QUELQUES PROPRIÉTÉS PHYSIQUES DES FLUIDES............................................................................................. 88 8.4.1 La viscosité.............................................................................................................................................. 88 8.4.2 La conductivité thermique....................................................................................................................... 88 8.4.3 La diffusivité matérielle........................................................................................................................... 89 8.4.4 Les nombres adimensionnels du transport diffusif.................................................................................. 89 Chapitre 9 Les équations de Navier-Stokes........................................................................................... 91 9.1 ÉTABLISSEMENT DES ÉQUATIONS..................................................................................................................... 91 9.1.1 Introduction............................................................................................................................................. 91 9.1.2 Quantité de mouvement........................................................................................................................... 91 9.1.3 Énergie interne......................................................................................................................................... 92 9.2 TABLEAU RÉCAPITULATIF................................................................................................................................ 93 9.2.1 Le système d’équations complet.............................................................................................................. 93 9.2.2 Cas d’un fluide parfait............................................................................................................................. 94 9.2.3 Cas d’un fluide isovolume....................................................................................................................... 94 9.3 LES DIFFÉRENTES APPROCHES DE RÉSOLUTION................................................................................................ 94 Annexe du chapitre 9........................................................................................................................................ 97 Chapitre 10 Analyse dimensionnelle...................................................................................................... 99 10.1 INTRODUCTION............................................................................................................................................... 99 10.1.1 Échelles caractéristiques et estimations a priori.................................................................................. 100 10.1.2 Nombres sans dimension..................................................................................................................... 101 10.2 PRINCIPE DE L’ANALYSE DIMENSIONNELLE.................................................................................................. 103 10.2.1 Exemple............................................................................................................................................... 103 10.2.2 Le Théorème Π ou théorème de Vaschy-Buckingham........................................................................ 104 10.3 ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES ADIMENSIONNELLES.................................................................................. 107 10.3.1 Établissement des équations................................................................................................................ 107 10.3.2 Interprétation du nombre de Reynolds................................................................................................. 109 10.3.3 Interprétation du nombre de Froude.................................................................................................... 110 10.3.4 Équation adimensionnelle pour l’énergie............................................................................................ 110 10.4 ANALYSE DE SIMILITUDE.............................................................................................................................. 112 10.4.1 Cas des écoulements isovolumes......................................................................................................... 112 10.4.2 Cas des écoulements compressibles..................................................................................................... 114 10.5 LES PRINCIPAUX NOMBRES SANS DIMENSION............................................................................................... 115 III IV DEUXIEME PARTIE Chapitre 11 Statique des fluides........................................................................................................... 119 11.1 GÉNÉRALITÉS................................................................................................................................................119 11.1.1 Le théorème d’Archimède....................................................................................................................120 11.1.2 Équilibres pseudo-statiques..................................................................................................................122 11.1.3 Fluides compressibles...........................................................................................................................123 11.2 HYDROSTATIQUE..........................................................................................................................................125 11.2.1 Hypothèses de base..............................................................................................................................125 11.2.2 Résultante de pression sur une paroi....................................................................................................125 11.2.3 Application à la mesure de la pression statique....................................................................................127 11.2.4 Phénomènes de tension superficielle....................................................................................................129 Chapitre 12 Quelques solutions exactes de Navier-Stokes................................................................. 133 12.1 LES ÉCOULEMENTS PARALLÈLES...................................................................................................................133 12.1.1 Équations pour les écoulements parallèles en canal.............................................................................133 12.1.2 Équations pour les écoulements parallèles en rotation.........................................................................135 12.1.3 Équations pour les écoulements parallèles en conduite........................................................................136 12.2 ÉCOULEMENTS ENTRE DEUX PLAQUES PLANES.............................................................................................136 12.2.1 Écoulement dans un canal bidimensionnel...........................................................................................136 12.2.2 Écoulement de Couette.........................................................................................................................139 12.2.3 Premier problème de Stokes.................................................................................................................140 12.3 DIFFUSION D’UN FILAMENT TOURBILLONNAIRE............................................................................................142 12.4 ÉCOULEMENT DE POISEUILLE DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE...............................................................145 12.4.1 Grandeurs cinématiques et dynamiques...............................................................................................146 12.4.2 Grandeurs énergétiques........................................................................................................................147 12.4.3 Limites de validité................................................................................................................................148 12.5 NOTIONS DE TURBULENCE............................................................................................................................149 12.5.1 Généralités............................................................................................................................................149 12.5.2 Formules empiriques pour les écoulements en conduites.....................................................................150 Chapitre 13 Notions de bilans intégraux.............................................................................................. 155 13.1 INTRODUCTION.............................................................................................................................................155 13.2 BILAN INTÉGRAL DE MASSE..........................................................................................................................158 IV V Chapitre 14 Bilans d’énergie cinétique................................................................................................ 161 14.1 FORMULATION GÉNÉRALE............................................................................................................................ 161 14.1.1 Bilan macroscopique sur un volume arbitraire.................................................................................... 161 14.1.2 Formulation pour les écoulements internes......................................................................................... 163 14.2 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES VISQUEUX.............................................................................. 164 14.2.1 Établissement de la relation intégrale.................................................................................................. 164 14.2.2 Exemple et interprétation graphique.................................................................................................... 169 14.3 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES PARFAITS............................................................................... 172 14.3.1 La formulation locale pour un fluide isovolume.................................................................................. 172 14.3.2 Écoulements irrotationnels de fluides parfaits isovolumes.................................................................. 174 14.3.3 Le cas des fluides barotropes............................................................................................................... 175 14.4 EXEMPLES D’APPLICATION........................................................................................................................... 176 14.4.1 Écoulements par des orifices............................................................................................................... 176 14.4.2 Pression d’arrêt.................................................................................................................................... 178 14.4.3 Mesures de la pression dans un écoulement........................................................................................ 179 14.4.4 Mesures des débits............................................................................................................................... 181 Chapitre 15 Bilans de quantité de mouvement................................................................................... 187 15.1 THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT POUR LES ÉCOULEMENTS STATIONNAIRES ISOVOLUMES......... 187 15.1.1 Établissement de la relation intégrale.................................................................................................. 187 15.1.2 Cas particulier des écoulements internes............................................................................................. 188 Cas des écoulements internes stationnaires de fluides isovolumes................................................................. 189 15.2 EXEMPLES D’APPLICATION........................................................................................................................... 191 15.2.1 Poussée dans un coude......................................................................................................................... 191 15.2.2 Perte de charge dans un élargissement brusque................................................................................... 193 15.2.3 Puissance d’une hélice......................................................................................................................... 195 Annexe 1 Coordonnées cartésiennes.................................................................................................... 200 Annexe 2 Coordonnées cylindriques.................................................................................................... 202 Annexe 3 Coordonnées sphériques....................................................................................................... 204 Annexe 4 Propriétés physiques des fluides.......................................................................................... 206 Index........................................................................................................................................................ 209 Bibliographie sommaire........................................................................................................................ 213 Ouvrages conseillés pour les Travaux en Autonomie......................................................................... 213 V VI VI Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs Ce chapitre présente l’essentiel des notions mathématiques portant sur les opérateurs vectoriels et tensoriels et la notation indicielle, qui est largement utilisée dans le cours de Mécanique des Fluides. On consultera les références ou pour une présentation plus rigoureuse et plus détaillée. 1.1 Vecteurs 1.1.1 Espace vectoriel Euclidien La Cinématique Classique est construite à partir de l’espace euclidien E de dimension 3 dont les éléments sont des points et d’une définition du temps, ou chronologie, le temps étant représenté par la variable réelle t. À un r couple de points (P,Q) correspond un élément x d’un espace vectoriel euclidien E de dimension 3, soit r → r r r r (P,Q) → x = PQ. On définit le produit scalaire de x et de y , noté x g y , comme l’application bilinéaire symétrique de (ExE) dans l’ensemble des réels R dont la forme quadratique est définie positive: r r r r r r r (ax + by) g z = a(x g z) + b(y g z) , ∀(a, b)∈R , r r r r xg y = ygx r r r x2 = x g x ≥ 0 r r r r r Ayant fait le choix d’une base e1 , e 2 , e3 ou ei (i=1, 2, 3) de E, x s’exprime sous forme de la combinaison linéaire: r r r r 3 r x = x1e1 + x 2 e2 + x 3 e3 = ∑ x i ei (1.1) i =1 r où les xi sont les composantes de x. La base est orthonormée si et seulement si r r ei.e j = δ ij (i, j = 1, 2, 3)  = 1si i = j (δ11 = δ 22 = δ33 =1) où δij est le symbole de Kronecker δij =   = 0si i ≠ j (δ12 = δ21 =... = δ32 = 0) Les δij sont les éléments de la matrice unité. Sauf mention explicite contraire, nous n’utiliserons dans ce cours que des bases orthonormées. 2 1.1.2 Convention de l’indice muet On convient d’écrire la relation (1.1) sous la forme: r r x = x i ei (1.2) Selon cette convention (dite convention d’Einstein), lorsqu’un indice est répété 2 fois dans un monôme, ce monôme représente en fait la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3. L’indice i dans (1.2) est dit muet car la lettre qui le représente est sans importance; par exemple, x i y i et x j y j désignent le r r même produit scalaire x g y. Il n’est pas inutile de préciser ici quelques indications sur l’utilisation de cette convention d’écriture. Dans une relation, un indice non muet est dit franc; il ne peut apparaître qu’une seule fois dans un même monôme. Ainsi dans la relation Ti = Σ ij n j (1.3) i est un indice franc alors que j est un indice muet. ? Il faut toujours désigner un indice muet par une lettre différente de celles qui sont utilisées pour les indices francs. r r Notons que (1.3) exprime que T est une forme linéaire de n et la matrice Σij représente dans la base considérée r r l’opérateur linéaire T → n. En supposant qu’on ait aussi n i = A ij m j alors la substitution dans (1.3) devra s’écrire Ti = Σij A jk m k ? Ceci montre clairement que 2 indices muets qui interviennent dans le même monôme doivent toujours être désignés par 2 lettres différentes. 1.1.3 Changement de base r r r Soient ei* et ei deux bases orthonormées de E. Les vecteurs ei* peuvent naturellement s’exprimer comme des r r r combinaisons linéaires des vecteurs e1 , e2 et e3 : r r ei* = Pij e j (1.4) r En multipliant scalairement les deux membre de (1.4) par ek il vient r r r r ei*.ek = Pij e j.ek = Pij δ jk = Pik r r r r r et l’on observe que Pik est à la fois la composante de ei* sur ek dans la base (e1 , e 2 , e3 ) et aussi la composante de r r r r r ek sur ei* dans la base (e1* , e 2* , e3* ). On peut donc écrire: r r ei = Pji e*j (1.5) 2 3 La comparaison de (1.4) et (1.5) montre que les matrices transposées Pij et Pji sont également réciproques; elles sont donc orthogonales. Ceci s’écrit en notation indicielle: Pik Pjk = δij ; Pki Pkj = δ ij et en notation matricielle: P PT = PT P = 1 r r r Désignons par x i et x *i les composantes d’un même vecteur x dans les bases ei et ei* ; on obtient en utilisant (14) et (15): r r r r x = x *i ei* = x*i Pij e j = x j e j r r r r x = x i ei = x i Pji e*j = x*j e*j ce qui donne les relations de changement de base: x*i = Pij x j x i = Pji x*j et en notation matricielle: r r x* = P x r r x = PT x * 1.2 Tenseurs 1.2.1 Définitions r Un tenseur Σ du second ordre est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout vecteur n de E un vecteur r r r T de E et l’on écrit T = L (n). Il est défini de manière unique par les 3 vecteurs: r r L (ei ) = Tij e j r c’est-à-dire par les 9 nombres Tij appelés composantes du tenseur dans la base orthonormée ei , ou encore par la matrice T d’éléments Tij. r r La donnée de 2 vecteurs A et B permet de définir un tenseur par l’application linéaire r r rr n → A(B.n) (1.6) r r r r Ce tenseur est le produit tensoriel de A et B. On le note A ⊗ B et ses composantes sont simplement A i B j. Les produits tensoriels de 2 vecteurs forment un sous-ensemble de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre 2 (espace à 9 dimensions) qui contient en particulier les 9 éléments r r ei ⊗ e j , (i, j = 1, 2, 3) qui sont linéairement indépendants dans l’espace des tenseurs d’ordre 2. On peut en particulier écrire un tenseur du second ordre quelconque sous la forme r r Σ = Σij ei ⊗ e j (1.7) 3 4 Le tenseur défini par l’application identité est dit tenseur unité ou tenseur d’isotropie et noté 1. Il est représenté dans toute base orthonormée par ses composantes δij (matrice unité): r r r r r r r r 1 = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 = δij ei ⊗ e j Les notions précédentes se généralisent facilement pour définir les tenseurs d’ordres supérieurs. Ainsi un tenseur r d’ordre 3 est un opérateur linéaire qui à tout vecteur n de E fait correspondre un tenseur du second ordre. Les écritures suivantes généralisent respectivement (1.6) et (1.7) r r r rr n → A ⊗ B(C.n) r r r Γ = Γijk ei ⊗ e j ⊗ ek (1.8) De la même manière, on peut considérer qu’un vecteur est un tenseur d’ordre 1: r rr n → (A.n) r r A = Ai ei et qu’un scalaire est un tenseur d’ordre 0: r rr n → (n.n) r n = ni ni 1.2.2 Changement de base r Il s’agit de déterminer les composantes d’un tenseur dans une base orthonormée ei* connaissant ses composantes r dans une autre base orthonormée ei. On écrit: r r r r Σ = Σ*ij ei* ⊗ e*j = Σij ei ⊗ e j. Or, compte tenu de (1.4) et (1.5) et de la linéarité du produit tensoriel r r r r ei* ⊗ e*j = Pik Pjl ek ⊗ el r r r r ei ⊗ e j = Pki Plj e*k ⊗ el* on obtient Σ*kl = Pki Plj Σij et Σ kl = Pik Pjl Σ*ij qu’on peut encore écrire Σ*ij = Pik Σ kl Pjl et Σ ij = Pki Σ*kl Plj (1.9) soit en notation matricielle Σ * = P Σ PT et Σ = PT Σ * P 4 5 1.2.3 Opérations sur les tenseurs a) Multiplication tensorielle r r r r Soient un tenseur Σ = A ⊗ B d’ordre 2 et un tenseur V d’ordre 1. On définit le produit tensoriel de Σ et de V par r r r r r r r Σ ⊗ V = (A ⊗ B) ⊗ V = A ⊗ B ⊗ V (1.10) r où Σ ⊗ V est un tenseur d’ordre 3 que nous noterons Γ. r On écrira donc sous forme indicielle dans la base orthonormée ei r r r r r r r Γijk = (Σ ⊗ V) = (Ai ei ⊗ B j ej ) ⊗ (Vk ek ) = Ai B jVk ei ⊗ e j ⊗ ek ou encore r r r r r r Γ ijk = (Σ ij ei ⊗ e j ) ⊗ (Vk e k ) = Σ ij Vk ei ⊗ e j ⊗ ek (1.11) r Les composantes du tenseur Γ s’obtiennent donc par simple produit des composantes de Σ et V dans la base commune r Γ = Σ ⊗ V ↔ Γijk = Σij Vk (1.12) Le résultat du produit tensoriel de 2 tenseurs respectivement d’ordre n et m est un tenseur d’ordre n+m. b) Contraction À un tenseur d’ordre n on peut faire correspondre un tenseur d’ordre n-2 par contraction de deux indices francs voisins en deux indices muets. La convention de sommation (cf. §1.1.2) est alors appliquée. r r Remarque 1: La contraction du tenseur unité du second ordre 1 = δij ei ⊗ e j est le scalaire δii = 3. (1.13) Remarque 2: Le scalaire représenté par la contraction des 2 indices d’un tenseur Σ d’ordre 2 est appelé la trace de ce tenseur et noté Tr{ Σ }; Tr{ Σ }= Σ kk. (1.14) c) Transposition r r T À partir d’un tenseur du second ordre Σ = Σij ei ⊗ e j , on définit le tenseur transposé Σ par transposition des 2 T r r r r indices: Σ = Σij e j ⊗ ei = Σ ji ei ⊗ e j T r Les matrices représentant Σ et Σ dans la base ei sont dites transposées l’une de l’autre 5 6 Σ Tij = Σ ji (1.15) Un tenseur est dit symétrique s’il est égal à son transposé: Σ ij = Σ ji (1.16) Un tenseur est dit antisymétrique s’il est égal à l’opposé de son transposé: Σ ij = −Σ ji (1.17) La partie symétrique (ou paire) et la partie antisymétrique (ou impaire) d’un tenseur Σ sont définies respectivement par 1 T 1 Σ s = (Σ + Σ ) ou Σijs = (Σij + Σ ji ) (1.18) 2 2 1 T 1 Σ a = (Σ − Σ ) ou Σija = (Σij − Σ ji ) (1.19) 2 2 si bien que T Σ = Σs + Σa et Σ = Σs − Σ a d) Multiplication contractée Le produit tensoriel contracté s’introduit naturellement en opérant dans la multiplication tensorielle une contraction sur le dernier indice du 1er tenseur et le 1er indice du deuxième. L’opération correspondante est notée par un point. Notation intrinsèque: R =S g T Notation matricielle: R=ST Notation indicielle: R ij = Sik Tkj En reprenant l’exemple du § 1.2.3-a, la relation (1.10) devient: r r r r r r r Σ g V = (A ⊗ B) g V = A ⊗ B g V (1.20) r r où Σ g V est un tenseur d’ordre 1 (un vecteur) que nous noterons U. On écrira donc sous forme indicielle dans la r base orthonormée ei r r r r r r Ui ei = (Σ g V) = (Ai ei ⊗ B j ej ) g (Vk ek ) = Ai B j Vj ei ou encore r r r r r U i ei = (Σ ij ei ⊗ e j ) g (Vk e k ) = = Σ ij Vj ei (1.21) r r Les composantes de U dans la base ei sont donc U i = Σij Vj. Le résultat du produit contracté de 2 tenseurs respectivement d’ordre n (n=1) et m (m=1) est un tenseur d’ordre n+m-2. 6 7 Deux tenseurs S et T sont dits inverses ou réciproques si les produits S g T et T g S sont tous deux égaux au tenseur unité S g T = T g S =1 ; Sik Tkj = Tik Skj = δij (1.22) r r r r Remarque 1: La contraction de ei ⊗ e j est ei g e j = δij (1.23) r r Remarque 2: Le produit scalaire de 2 vecteurs U et V est le résultat de la multiplication contractée des 2 r r vecteurs U et V : r r r r U g V = (U i ei ) g (Vj e j ) = U i Vj δij = U i Vi Remarque 3: Le résultat du produit doublement contracté de 2 tenseurs respectivement d’ordre n (n=2) et m (m=2) est un tenseur d’ordre n+m-4. Cette opération est notée par un double point: r r r r r r Σ : D = (Σij ei ⊗ e j ) : (Dkl ek ⊗ el ) = (Σij ei ) g (D jl el ) = Σij D ji (1.24) Remarque 4: Le produit contracté de 2 tenseurs symétriques n’est en général pas symétrique. 1.2.4 Le tenseur d’orientation a) Définition r r r Le tenseur d’orientation ϑ = εijk ei ⊗ e j ⊗ ek est défini à partir du symbole de Lévi-Civita, noté εijk , qui est une fonction alternée des indices ijk telle que ε123 = 1. Par transposition de 2 indices εijk prend une valeur opposée.  +1si (i, j,k)est une permutation paire de (1, 2,3); 231par ex.  εijk =  −1si (i, j,k)est une permutation impaire de (1, 2,3); 213par ex. (1.25) 0si deux indices au moins sont égaux; 122 par ex.  b) Produits contractés du tenseur d’orientation εijk ε pqk = δ ip δ jq − δ iq δ jp (1.26) εijk ε pjk = 2 δip (1.27) εijk εijk = 6 (1.28) On trouvera la démonstration de ces identités dans la référence. r r c) Produit vectoriel de 2 vecteurs A, B r r En effectuant le produit doublement contracté du tenseur d’orientation ϑ par B ⊗ A on obtient les composantes r r du produit vectoriel A ∧ B r r r r r r r r ϑ : (B ⊗ A) = (εijk ei ⊗ e j ⊗ ek ) (Bk e k ⊗ A j e j ) = εijk A j Bk ei r r ainsi (A ∧ B)i = εijk A j Bk (1.29) 7 8 r r r d) Produit mixte de 3 vecteurs A, B, C Son expression indicielle résulte directement de (1.29) r r r A g (B ∧ C) = εijk Ai B jC k (1.30) e) Vecteur associé à un tenseur antisymétrique Si Ω est un tenseur antisymétrique du second ordre (Ω ij = −Ω ji ) , 1 ωi = εijk Ω kj (1.31) 2 r définit les composantes du vecteur associé (ou vecteur axial) à Ω. Réciproquement, à tout vecteur ω , on peut associer un tenseur antisymétrique Ω ij = ε jik ωk (1.32) 1.3 Opérateurs vectoriels et tensoriels 1.3.1 Notations r Dans un espace euclidien orthonormé d’axes Oxi, ei désignant les vecteurs unitaires de la base de l’espace vectoriel associé, on définit les opérateurs gradient, divergence, laplacien et rotationnel par leurs composantes. D’une manière générale, les objets de la Physique (et de la Mécanique des Fluides) sont des champs, c’est-à-dire r r r r des fonctions de l’espace et du temps associant à un point x et à un instant t un scalaire ϕ(x, t) , un vecteur V(x, t) r ou un tenseur d’ordre 2 (rarement plus) Σ (x, t). Les champs sont (sauf discontinuités locales traitées spécifiquement) continus et supposés dérivables jusqu’à l’ordre utile. Pour compacter le formalisme les opérateurs de dérivation partielle s’écrivent à l’aide de la notation virgule. Ainsi r r r ∂ϕ(x, t) ∂ϕ(x, t) ∂ 2 ϕ(x, t) ≡ ϕ,t ; ≡ ϕ,i ; ≡ ϕ,ij ∂t ∂x i ∂x i ∂x j désignent respectivement la dérivée partielle par rapport au temps, par rapport à la variable d’espace xi et la dérivée seconde par rapport à xi et xj. 1.3.2 Définitions a) Gradient r L’opérateur gradient associe au champ scalaire ϕ(x, t) le champ vectoriel défini par uuuur r grad ϕ = ϕ,i ei (1.33) 8 9 Il s’ensuit que les composantes du gradient sont  ∂ϕ r  noté ϕ,1 (direction e1 )  ∂x1 uuuur r  ∂ϕ r ϕ,i = grad ϕ g ei soit  noté ϕ,2 (direction e2 ) ∂  2x  ∂ϕ r  noté ϕ,3 (direction e3 )  ∂x 3 r uuuur Si ϕ(x, t) est, par exemple, un champ de pression, le vecteur grad ϕ est orienté dans la direction où la pression varie le plus vite, il est dirigé vers les hautes pressions et son module indique, à chaque instant, l’intensité de la variation de pression par unité de distance dans cette direction. r Plus généralement le gradient d’un tenseur d’ordre n est un tenseur d’ordre n+1; par exemple grad V est le r tenseur d’ordre 2 (dit tenseur gradient de V ) défini par r r r grad V = Vi, j ei ⊗ e j (1.34)  V1,1 V1,2 V1,3    et qui a pour composantes Vi, j soit  V2,1 V2,2 V2,3  (1.35) V V3,2 V3,3   3,1 b) Divergence r r L’opérateur divergence associe à un champ de vecteurs V(x, t) la fonction de points à valeurs scalaires r divV = Vi,i (1.36) La comparaison de (1.34) et (1.36) montre que la divergence Vi,i est la forme contractée du tenseur gradient r r Vi, j , c’est-à-dire divV = Tr{ grad V }. r r r Si V(x, t) est, par exemple, le champ de vitesse dans un fluide, le champ scalaire divV indique l’intensité des contractions ou des expansions locales au sein du fluide. Cette notion peut être illustrée en considérant la quantité de fluide qui entre ou sort d’un élément de volume infinitésimal dV pendant l’élément de temps dt. dV dV dV r r r divV < 0 divV = 0 divV > 0 Zone de convergence Zone neutre Zone de divergence Compression ou contraction Écoulement de fluide incompressible Détente ou dilatation locale et indilatable locale uuur Plus généralement la divergence d’un tenseur d’ordre n est un tenseur d’ordre n-1; par exemple div Σ est le vecteur défini par 9 10 uuur r div Σ = Σij, j ei (1.37) Notons que si ϕ est un champ scalaire, puisque (ϕδij ), j = ϕ,i , on a l’identité uuur uuuur div (ϕ1) = grad ϕ. (1.38) c) Rotationnel r L’opérateur rotationnel associe à un champ de vecteurs V le champ de vecteurs défini par uur r r rot V = εijk Vk, j ei (1.39) r 1 1 uur r Remarque : Le vecteur associé à grad V a pour composantes εijk Vk , j ; c’est donc le vecteur rot V. 2 2 d) Laplacien r Le laplacien, noté ∆ϕ , d’un champ scalaire ϕ(x, t) est le scalaire défini par uuuur ∆ϕ= div(grad ϕ) = ϕ,ii (1.40) r r r Le laplacien, noté ∆ V , d’un champ vectoriel V(x, t) est le vecteur défini par r uuur r r ∆ V = div (gradV) = Vi, jj ei (1.41) r r ou encore ∆ V = (∆ Vi ) ei 1.3.3 Notation dyadique r On simplifie les écritures en utilisant la notation dyadique qui introduit le vecteur symbolique nabla, noté ∇ , dont les composantes formelles sont les opérateurs de dérivation partielle par rapport aux variables d’espace x1, x2, x3. ∂  noté  ∂x1 ,1 r  ∂ ∇ noté  ∂x 2 ,2 ∂  noté  ∂x 3 ,3 Opérateur Notation uuuur r gradient grad ϕ ∇ϕ r rr tenseur gradient grad V ∇V r r r divergence divV ∇gV uuur r vecteur divergence div Σ ∇gΣ uur r r r rotationnel rot V ∇∧V r laplacien ∆ϕ ∇2ϕ r r r Laplacien vectoriel ∆ V ∇2 V 10 11 1.3.4 Identités Identité Notation dyadique uuuur uuuur uuuur r r r grad (ϕ + ψ ) = grad ϕ + grad ψ ∇(ϕ + ψ) =∇ϕ+∇ψ uuuur uuuur uuuur r r r grad (ϕψ ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ ∇(ϕψ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ uur r r uur r uur r r r r r r r r rot (U + V) = rot U + rot V ∇ ∧ (U + V) = ∇ ∧ U + ∇ ∧ V uur uuuur r r r r rot (grad ϕ) = 0 ∇ ∧ ∇ϕ= 0 uur r uur r uuuur r r r r r r r rot (ϕV) = ϕ rot (V) + grad ϕ ∧ V ∇ ∧ (ϕV) = ϕ∇ ∧ V +∇ϕ∧ V r r r r r r r r r r r div(U + V) = divU + divV ∇ g (U + V) = ∇ g U + ∇ g V uur r r r r div(rot V) = 0 ∇g∇ ∧ V =0 r r uuuur r r r r r r r div(ϕV) = ϕdiv(V) + grad ϕ g V ∇ g (ϕV) = ϕ∇ g V +∇ϕ g V r r r uur r r uur r r r r r r r r r r div(U ∧ V) = V rot U − U rot V ∇ g (U ∧ V) = (∇ ∧ U) g V − U g ∇ ∧ V uuur uuuur r r div (ϕ1) = grad ϕ ∇ g (ϕ1) =∇ϕ 1.3.5 Relations intégrales a) Formules de Green-Ostrogradski SoitV un domaine volumique (connexe ou pas), de frontière ∂V sur laquelle est défini en tout point régulier le r vecteur unitaire extérieur n. x3 x2 V n x1 n ∂V r Si ϕ(x1 , x 2 , x 3 ) est un champ scalaire, V(x1 , x 2 , x 3 ) un champ vectoriel et Σ(x1 , x 2 , x 3 ) un champ tensoriel d’ordre 2, continus dans (V + ∂V ) ayant des dérivées premières dansV , alors r uuuur ∫∫ ϕ n dS = ∫∫∫ grad ϕ dV ∂V V soit ∫∫ ϕ n i dS = ∫∫∫ ϕ,i dV ∂V V (1.42) r r r ∫∫ V g n dS = ∫∫∫ div V dV ∂V V soit ∫∫ V n ∂V i i dS = ∫∫∫ Vi,i dV V (1.43) r uuur ∫∫ ∂V Σ g n dS = ∫∫∫ Σ dV V div soit ∫∫ Σ ∂V ij n j dS = ∫∫∫ Σ ij, j dV V (1.44) Ces formules (ou théorème de la divergence) s’étendent naturellement à des tenseurs d’ordre supérieur à 2. b) Formule de Stokes 11 12 Soit S un domaine surfacique de frontière ∂S sur lequel est défini en tout point régulier le vecteur unitaire r extérieur n. n τ S ∂S r Si V(x1 , x 2 , x 3 ) est un champ vectoriel continu dans (S + ∂S ) ayant des dérivées premières dans S , alors r r uur r r ∂S Ñ∫ V g τdl = ∫∫ (rot V) g ndS S soit ∂S Ñ∫ Vi g τi dl = ∫∫ εijk Vk , j n i dS S (1.45) r r où le premier membre est la circulation du vecteur V le long de ∂S (parcouru dans le sens direct autour de n ) et r le second membre le flux du rotationnel de V à travers S. 12 PREMIÈRE PARTIE Chapitre 2 Introduction 2.1 Concepts généraux On appelle Mécanique l’étude des déplacements et des déformations des corps au cours du temps, y compris l’étude des conditions qui entraînent ces mouvements. Nous considérerons ici la Mécanique au sens restreint où n’interviennent ni changements d’état physique, ni transformations chimiques (vaporisation, cavitation, combustion…). La dynamique est la partie de la Mécanique qui étudie (sans expliciter la variable température) les mouvements ou le repos dans leurs rapports avec les forces qui les engendrent. La cinématique fournit le cadre spatio-temporel dans lequel sont décrits les mouvements dans l’espace euclidien à 3 dimensions. La cinétique se construit à partir de la cinématique en introduisant la notion de masse. 2.1.1 L’état fluide Le physicien distingue classiquement 3 états de la matière, solide, liquide et gazeux, en regroupant sous le vocable fluide les gaz et la plupart des liquides. À l’échelle microscopique, ce qui caractérise les fluides, c’est que les molécules ne sont pas bloquées dans leurs orientations relatives; elles ont ce degré de liberté (de désordre) que n’ont pas les molécules dans les solides. Leurs propriétés communes sont qu’ils n’ont pas de forme propre, c’est-à-dire qu’ils sont dépourvus de rigidité; les forces nécessaires pour engendrer des déformations par glissement et assez lentes sont extrêmement petites. Cette distinction entre solides et fluides n’est pas parfaitement nette, puisqu’on trouve des corps comme les gelées, les peintures, les pâtes, certaines solutions concentrées de polymères, qui manifestent à la fois des comportements de solides (pendant des temps courts) et des comportements de liquides (pendant des temps longs). Les liquides: Les molécules sont liées en distance ce qui en limite le désordre. Ils occupent un volume défini et sont susceptibles de s’organiser en gouttes. Leur densité est telle qu’on définit d’ordinaire (assez mal) les liquides par le fait qu’en situation de repos, ils présentent une surface libre discernable et perpendiculaire au champ de gravité local. Les gaz: Les molécules ne sont pas liées en distance et les gaz occupent tout le volume disponible. Les forces permettant d’engendrer des déformations volumiques (contraction ou dilatation) sont faibles. 16 2.1.2 Le concept de milieu continu La matière a une structure discontinue et la notion de milieu continu est un pur schéma. Elle consiste à admettre que la masse et toutes ses propriétés sont réparties continûment dans le matériau (ce qui n’exclut pas les discontinuités aux interfaces). Bien entendu ce schéma ne prétend représenter que les phénomènes macroscopiques dont les échelles caractéristiques sont très grandes devant la distance intermoléculaire moyenne. Comme il n’est pas question d’ignorer complètement les phénomènes dont le siège est à l’échelle moléculaire (comme celui de la diffusion), ceux-ci devront être représentés à travers une description macroscopique de leurs conséquences à grande échelle. Le concept du continuum présente l’immense avantage d’autoriser le calcul différentiel et intégral dont les outils sont présentés au Chapitre 1. La première question concerne la définition de valeurs locales pour des grandeurs matérielles comme la masse, l’enthalpie, la vitesse ou la contrainte. Imaginons qu’un instrument de mesure d’une grandeur g puisse être miniaturisé à volonté, et portons la mesure de g en fonction de la dimension l du volume d’observation l 3. Si l est du même ordre que la distance moyenne d (quelque 10-10 m) entre molécules, g dépend du nombre de molécules observées (quelques unités), elle oscille et semble mal définie. Si l >>d, le nombre de molécules observées est très grand et g est une valeur statistique des observations qui ne dépend plus de l. Cette valeur l doit cependant rester très petite devant la taille L (˜ 1 m) de l’expérience pour justifier que l’on considère la mesure comme locale ou ponctuelle. g valeur locale de g d d 0) à la source e Q1 r e eçue B chaude et en restitue une partie Q2 (Q2 < 0; Θ2 Q2 < Q1 ) à la source froide. La différence D Q2 c édée Dét Com adia ente Q1 − Q2 apparaît sous forme de travail. Le press ion i batiq ue sothe rme rendement de la machine est défini par le C rapport: V − W Q1 − Q 2 Q η= = =1 − 2 < 1 (2.20) Q1 Q1 Q1 Il résulte du second principe que toutes les machines thermiques fonctionnant entre deux températures données Θ1 et Θ2 ont le même rendement. C’est le théorème de Carnot qui affirme que η (et donc Q2/Q1) ne dépend que de Θ1 et Θ2. Cette propriété fondamentale permet de construire une échelle universelle de température (c’est-à-dire liée à aucune propriété d’un corps quelconque), dite échelle de Kelvin, telle que: Θ1 − Θ 2 Q2 Θ2 η= et donc = (2.21) Θ1 Q1 Θ1 Q1 Q 2 Dans une transformation réversible fermée, on a: + =0 Θ1 Θ2 Q1 Q 2 alors qu’en présence d’irréversibilités: + + grad ϕ g V ) (3.8) r r r r et dans le cas d’un vecteur dA ∂A = dt ∂t ( + gradA g V ) (3.9) Les relations de définition (3.8) et (3.9) peuvent être exprimées sous une forme unique en définissant l’opérateur r > scalaire V g grad ; on écrira donc l’opérateur dérivée particulaire de façon symbolique r dg ∂g = dt ∂t ( > + V g grad g ) (3.10) et sous forme indicielle dg ∂g  ∂ ∂ ∂  = +  V1 + V2 + V3 g (3.11) dt ∂t  ∂x1 ∂x2 ∂x 3  Interprétation Illustrons la notion de dérivée particulaire par l’exemple du champ de température Θ (considérée comme un r marqueur passif) dans un écoulement rectiligne dans la direction e1. V V P P e1 grad Θ grad Θ r uuuuur r >. (V grad)Θ = V1∂Θ / ∂x1 > 0 V ⊥ grad Θ La température diminue au point P. La température n’évolue pas au point P. La variation au cours du temps de la température en un point P fixé s’écrit d’après (3.11) dΘ ∂Θ ∂Θ = + V1 dt ∂t ∂x1 Dans le cas du repos (V1=0), le taux de variation local de température au point P est égal à celui de la particule qui s’y trouve dΘ ∂Θ = dt ∂t Ce terme peut être non nul en présence d’un phénomène physique comme un transfert de chaleur radiatif ou une réaction chimique par exemple. Cependant, même en l’absence de tels phénomènes, le point P peut voir sa température évoluer en présence d’un écoulement (V1?0) si les différentes particules qui passent en P portent des 32 33 températures différentes (∂Θ / ∂x1 ≠ 0). Cette modification locale de la température est purement d’origine r > cinématique; on parle d’advection et le terme (V g grad )Θ est appelé terme d’advection. 3.2.2 Accélération d’une particule fluide L’accélération en point P est la dérivée particulaire du vecteur vitesse en ce point, soit d’après (3.10) r r dV ∂V r > r = dt ∂t ( + V g grad V ) (3.12) et sous forme indicielle dVi ∂Vi ∂V ∂V ∂V = + V1 i + V2 i + V3 i (3.13) dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x 3 Écoulement permanent r Le terme ∂V / ∂t est le terme d’accélération temporelle. Le mouvement est dit permanent (on parle aussi de régime stationnaire) s’il se reproduit identique à lui-même au cours du temps, c’est-à-dire si r ∂V r =0 ∂t r > r On notera que dans un écoulement permanent, le terme d’accélération spatiale (V g grad )V (advection du vecteur vitesse) est, en général, non nul. On pourra montrer, à titre d’exercice, que l’accélération d’une particule fluide peut se mettre sous la forme de Lamb: r r dV ∂V 1 > >r r = + grad V 2 + ( rot V) ∧ V (3.14) dt ∂t 2 3.3 Référentiel inertiel et référentiel relatif Les lois de la mécanique ne sont strictement applicables que dans un référentiel absolu (ou galiléen ou inertiel), c’est-à-dire au repos ou en translation uniforme par rapport au référentiel de Copernic qui est lié à un système stellaire considéré comme fixe. Il est pourtant, le plus souvent, intéressant de choisir un référentiel relatif non inertiel (ou repère entraîné) comme ceux qui sont liés à la Terre. P V x3 x X3 x 2 e3 O e2 E3 R A e 1 Ω X2 E2 x 1 E1 X1 v Exprimons les relations entre les grandeurs cinématiques dans un référentiel relatif (O, ei ) caractérisé par une 33 34 r v dei r v vitesse angulaire Ω et les grandeurs cinématiques absolues (voir la figure). En remarquant que =Ω∧ ei , on dt obtient: r r r Positions: X= R+ x r r r dX r dR r r Vitesses: Va = =V+ +Ω∧ x dt dt r r r r d2 X r d2 R r r dΩ r r r r Accélérations: γ a = 2 = γ + 2 + 2Ω∧ V + ∧ x +Ω∧( Ω∧ x) dt dt dt r r r où Va et γ a sont respectivement la vitesse et l’accélération dans le référentiel absolu (A, Ei ). r d2R est l’accélération de l’origine O du repère relatif, dt 2 r r 2Ω∧ V est l’accélération complémentaire dite de Coriolis r dΩ r ∧x est l’accélération angulaire dite d’Euler dt r r r > r r Ω∧ ( Ω∧ x) est l’accélération centrifuge d’inertie ≡ − 1 grad (Ω∧ x) 2 2 L’accélération d’entraînement est définie par la somme de ces 4 termes qui n’ont pas généralement tous la même importance. L’accélération de Coriolis est dominante dans les écoulements géophysiques de grande échelle, mais le repère terrestre peut être considéré comme galiléen pour l’étude des écoulements de petite échelle comme les écoulements de laboratoire. Nous verrons que le nombre adimensionnel de Rossby est le critère qui permet d’évaluer l’approximation qui consiste à négliger ces effets. 3.4 Lignes fluides 3.4.1 Trajectoires On appelle trajectoire la courbe orientée décrite par une particule au cours de son mouvement, c’est-à-dire l’ensemble de ses positions occupée successivement entre deux instants. Pn Po t4 t3 to t2 t1 r Son équation, pour une particule x o , est directement donnée par: r r r x = x(x o , t − t o ) (3.15) où to est fixé arbitrairement. 34 35 Les trajectoires permettent de visualiser le champ de vitesse en mode de Lagrange. 3.4.2 Lignes de courant a) Définition La description Eulerienne conduit elle aussi à une représentation imagée du champ de vitesse, à un instant t, sous la forme d’une famille de lignes tangentes en chaque point au vecteur vitesse, que l’on appelle lignes de courant. Elles représentent une visualisation instantanée du champ de vitesse. V V V V L’équation des lignes de courant se déduit directement de cette définition en écrivant qu’un petit déplacement r dx sur la ligne de courant est colinéaire au vecteur vitesse: r r r V ∧ dx = 0 soit εijk Vj dx k = 0 En explicitant cette relation, on obtient:  V2 dx 3 − V3 dx 2 = 0   V3 dx1 − V1 dx 3 = 0  V dx − V dx = 0  1 2 2 1 Les lignes de courant sont donc les intégrales du système différentiel dx1 dx 2 dx 3 r = r = r (3.16) V1 (x, t) V2 (x, t) V3 (x, t) dans lequel t a la valeur fixée (et joue donc le rôle d’un paramètre). Contrairement aux trajectoires, les lignes de courant ne peuvent pas se couper. Elles ne sont pas définies à un r r point d’arrêt ( V = 0 ). Dans le cas général elles se déforment au cours du temps et sont donc distinctes des trajectoires qui sont, elles, définies pour un intervalle de temps fini. Dans le cas particulier des écoulements permanents, c’est-à-dire tels que le champ de vitesse soit indépendant du temps, les lignes de courant sont elles-mêmes indépendantes du temps et la r r particule qui parcourt le chemin dx = Vdt pendant la durée dt reste toujours sur la même ligne de courant; celle-ci est donc aussi une trajectoire. 35 36 b) Tube de courant On désigne ainsi une surface tubulaire engendrée à un instant donné par toutes les lignes de courant qui s’appuient sur une courbe arbitraire fermée. Tube de courant Si le contour du tube de courant délimite une section droite infinitésimale on parle de filet de courant. 3.4.3 Lignes d’émission Une ligne d’émission est l’ensemble des positions à un instant t de toutes les particules fluides qui sont passées par un point P à un instant quelconque précédent. Trajectoires Ligne d'émission P Si l’écoulement est permanent, les trajectoires issues du point P sont toutes confondues; les lignes d’émissions et les trajectoires coïncident donc. C’est seulement dans ce cas particulier que les 3 familles de lignes coïncident. Une ligne d’émission est visualisée en injectant un colorant de façon continue en un point fixé de l’écoulement 36 Chapitre 4 Déformation et rotation La déformation d’un milieu continu est caractérisée par le déplacement relatif des divers points matériels qui constituent ce milieu. Nous présentons, dans ce chapitre, l’aspect géométrique des déformations par la description des mouvements simples: translation, rotation, dilatation, déformation angulaire. Il s’agit d’un simple rappel des notions présentées dans le cours de Mécanique des Milieux Continus. En Mécanique des Fluides, le paramètre important n’est pas tant la déformation que la vitesse à laquelle la déformation intervient, et nous introduisons ici la notion de taux de déformation et de taux de rotation. 4.1 Translation Définition: Une translation pure est un mouvement dans lequel toutes les particules subissent le même déplacement. r r r En notant x la position d’une particule fluide un instant donné, x ' sa position à un instant ultérieur et a le déplacement: r r r

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