Transfert de quantité de mouvement - Chapitre I - PDF

# MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTI FIQUE Université Ahmed Ben Bella-Oran 1 Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de Chimie # Cours ## Transfert de quantité de mouvement Par KHERROUB Djamal Eddine Maître de conférences -A- à l'université d'Oran1 Ahme...

# MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTI FIQUE Université Ahmed Ben Bella-Oran 1 Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de Chimie # Cours ## Transfert de quantité de mouvement Par KHERROUB Djamal Eddine Maître de conférences -A- à l'université d'Oran1 Ahmed Ben Bella # Objectifs du module: - Apprendre à analyser les problèmes typiques rencontrés en mécanique des fluides (énoncé du problème, formulation et solution analytique) - Faire des bilans de quantité de mouvement et d'énergie mécanique pour des systèmes simples unidirectionnels. - Obtenir le profil de vitesse et en déduire les autres quantités d'intérêt (débits, forces, pertes de charge, etc.). # Connaissances préalables recommandées: - Bases en mathématiques - Notions en MDF # Contenu de la matière: ## Chapitre 1: (3 semaines) - Rappels: - Propriétés des fluides: Grandeurs physiques; Unités de mesure; Viscosité (expérience de Couette) - Statique des fluides: Equation générale de l'hydrostatique, Forces hydrostatiques; Equilibre relatif ## Chapitre 2: (5 semaines) - Les bilans de matière, de quantité de mouvement et d'énergie: - Equation de conservation de la masse - Equation de conservation de la quantité de mouvement - Equation de conservation de l'énergie ## Chapitre 3: (5 semaines) - Dynamique des fluides: - Contraintes et déformations dans les milieux continus - Equation de mouvement des fluides réels - Régime d'écoulement - Perte de charge ## Chapitre 4: (4 semaines) - Pompes et pompage: Calcul de réseaux # Sommaire ## Chapitre 1 - Rappels de propriétés des fluides - Introduction - Définitions - Compressibilité volumétrique de liquide - Viscosité - Applications - Rappels de statique des fluides - Propriétés générales des fluides - Notions de contrainte - Homogénéité et isotropie - Compressibilité et viscosité - Notions de pression - Définition - Equations générales de la statique - Fluides soumis à la seule action de la pesanteur - Différentes échelles de pression ## Chapitre 2 # Avant propos Ce cours est destiné aux étudiants de graduation spécialisés en génie chimique Université Ahmed Ben Bella-Oran Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de chimie et qui a pour objectif de donner un aspect général sur le transfert de quantité de mouvement qui est une science qui étudie tous les phénomènes et lois qui s'intéresse aux fluides. Le transfert de quantité de mouvement est une branche de la mécanique des fluides dont lequel la majorité des lois et équations rencontrées s'inspirent de cette discipline. Généralement on troue le transfert de quantité de mouvement dans plusieurs domaines de l'ingénieur telle que : - Transport du pétrole et de gaz, le stockage des hydrocarbures, l'alimentation en eau potable, l'assainissement, l'irrigation, le drainage, le traitement des hydrocarbures, l'épuration des eaux et les ouvrages hydrauliques...etc. L'importance de l'étude de quantité de mouvement devient de plus en plus grande à cause des problèmes rencontrés dans la pratique comme : - Les superflus au niveau des canalisations des hydrocarbures, coups de bélier dans les conduites, les ondes de crue, les inondations, la remonté et pollution des nappes souterraines...etc. Cet ouvrage est composé de 4 chapitres et qui donne une vision générale sur le transfert de quantité de mouvement et qui touche la majorité des points critiques que l'ingénieur à besoin. # I. Rappels de propriétés des fluides ## 1.1 Introduction Le transfert de quantité de mouvement est une branche de la mécanique des fluides, qui est la science des lois de l'écoulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz. Elle comprend deux grandes sous axes: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'Archimède et l'étude de la pression. - la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides. La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme le génie des procédés, transport des hydrocarbures, génie de l'eau, l'ingénierie navale, l'aéronautique, mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie. ## 1.2 Définitions Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C'est donc un milieu matériel continu et déformable. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont très faibles. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle moléculaire. Elle sera toujours considérée comme un milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscosité: - Les fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels...). - Les fluides "newtoniens" ont une viscosité constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la température. - La deuxième famille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularité d'avoir leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce cours est limité uniquement à des fluides newtoniens qui seront classés comme suit. ### 1.2.1 Fluide Parfait Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée ∑ fictive ou non. Considérons Fdr la force d'interaction au niveau de la surface élémentaire dS de normale Nr entre le fluide et le milieu extérieur. On peut toujours décomposer Fdr en deux composantes: - une composante Fd Tr tangentielle à dS. - une composante Fd Nr normale à dS. Un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. C'est à dire quand la composante Fd Tr est nulle. ### 1.2.2 Fluide réel Dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s'opposent au glissement relatif des couches fluides sont prises en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide. ### 1.2.3 Fluide incompressible Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne varie pas en fonction de la pression extérieure. Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.) ### 1.2.4 Fluide compressible Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, l'air, l'hydrogène...etc. ### 1.2.5 La masse volumique p C'est le rapport de la masse du liquide (M) à son volume (V). $p = \frac{m}{V}$ Le liquide est considéré comme homogène si sa masse volumique est égale en tous les points. La masse volumique de l'eau ordinaire pure ne diffère pratiquement pas de celle de l'eau distillée et elle est prise pour les calculs hydrauliques égaux à 1000 kg/m³. ### 1.2.6 Le poids spécifique γ On appelle poids spécifique d'un liquide homogène le rapport de la force due à la masse du liquide à son volume : $Y = \frac{G}{V}$ ## 1.3. La compressibilité volumétrique du liquide ẞc Elle est égale à la variation relative du volume survenue à la variation de la pression d'une unité autrement dit : $ẞc = \frac{dV/V}{dP}$ ## 1.4. La viscosité La viscosité (de cisaillement) peut être vue comme la résistance à l'écoulement des différentes couches d'un fluide les unes sur les autres. Plus la viscosité augmente, et plus la capacité du fluide à s'écouler facilement diminue, plus l'énergie dissipée par l'écoulement sera importante. Le chercheur N. Pétrov avait proposé la formule suivante pour la contrainte tangentielle lors d'un écoulement laminaire : $τ = \frac{T}{S} = μ\frac{du}{dy}$ - τ : La contrainte tangentielle. - T: La force de frottement interne. - S: La surface de contact de deux couches voisines. - μ: La viscosité dynamique du liquide. - du: La différence de vitesses de deux couches en contact. - dy: La distance entre ces deux couches suivant la normale par rapport au sens de l'écoulement. - du/dy: Le gradient de vitesse. **Remarque:** Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa.s) ou Poiseuille (PI): 1 Pa.s = 1 PI = 1 kg/ms La viscosité cinématique est le rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du liquide. Son unité est le stokes (St), 1 St = 10-4 m²/s $υ = \frac{μ}{ρ}$ ## 1.5. Applications ### Application 1 Déterminer le poids volumique de l'essence sachant que sa densité d = 0,7. On donne: - l'accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s². - la masse volumique de l'eau p =1000 kg/m³. ### Application 2 Calculer le poids Po d'un volume V = 3 litres d'huile d'olive ayant une densité d = 0,918. ### Application 3 Déterminer la viscosité dynamique de l'huile d'olive sachant que sa densité est 0,918 et sa viscosité cinématique est 1,089 Stockes. ### Application 4 Du fuel porté à une température T = 20 °C à une viscosité dynamique μ = 95.10-3 Pa.s. Calculer sa viscosité cinématique u en stockes sachant que sa densité est d = 0,95. On donne la masse volumique de l'eau est peau = 1000 kg/m³. ### Application 5 Image of two plates 75mm apart, a fluid with density 0.913 and viscosity 4.88 x 104 kg.m.s moving with a velocity of 1.125m/s. - Calculate the specific weight of the fluid. - Calculate the velocity gradient in the A and B and the shear stress? ### Application 6 Un cylindre de 12 cm de rayon tourne à l'intérieur d'un cylindre fixe de même axe et de 12.6 cm de rayon. La longueur des deux cylindres est de 30 cm. - Determine the viscosity of the fluid that fills the space between the two cylinders if it is necessary to apply a torque of 9.0 N.cm to maintain the angular velocity at 60 rpm. # II. Rappels de statique des fluides La matière peut se présenter sous différents états en fonction de la façon dont ils peuvent se déformer. On distingue principalement les solides des fluides, eux-mêmes subdivisés en liquides et gaz. En première approximation, les solides sont des corps non-déformables, ils ont une forme propre et résistent à la traction et à la compression. Les liquides n'ont pas de forme propre, ils prennent la forme du contenant et sont donc éminemment déformables. La distinction entre liquides et gaz tient en leur compressibilité. Les liquides ont un volume donné, alors que les gaz occupent tout le volume qui leur est offert. ## II.1 Propriétés générales des fluides ### II.1.1 Notion de contrainte Prenons un élément cubique de matière, infiniment petit ; à un instant donné il s'exerce des forces sur les différents éléments de surface. Sur l'élément de surface dx dy s'exerce une force dř. On appellera contrainte : $\frac{dF}{dS} = \frac{dF}{dx dy}$ Une contrainte est donc une force (en grandeur et direction) par unité de surface. Cette contrainte comprend une composante o normale à la surface et une composante tangentielle τ. Diagram of a cube with shear stress (τ) and normal stress (σ) with components. A la différence des solides, les liquides ne supportent pas de composantes tangentielles des contraintes au repos. ### II.1.2 Homogénéité et isotopie En première approximation, on pourra admettre que les fluides sont homogènes, c'est à dire qu'ils présentent pour nous les mêmes caractéristiques mécaniques en tout point. De même ils sont isotropes et leurs propriétés mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions. ### II.1.3 Compressibilité et viscosité La masse volumique p d'un liquide est sensiblement une constante (pour l'eau, elle ne varie quasiment pas avec la pression et très peu avec la température). Comme on le verra plus loin, la viscosité traduit le fait qu'il existe des forces résistantes aux déplacements dans un fluide. Lorsque l'on s'intéresse à la statique, l'absence de mouvement fait que tous les fluides peuvent être considérés comme parfaits, c'est à dire sans viscosité. ## II.2 Notions de pression ### II.2.1 Définition Nous avons vu qu'un fluide ne supportait pas de contraintes tangentielles τ au repos. La seule contrainte o est donc normale à l'élément de surface dS = dx.dy, et on peut la caractériser par une valeur algébrique P que l'on appellera pression sur l'élément de surface ds. Soit next le vecteur unitaire perpendiculaire à ds et orienté vers l'extérieur de l'élément de fluide, on appellera par convention force de pression exercée sur l'élément de surface ds, le vecteur de tel que : $df = -P dS next$ Diagram of a cube with shear stress (σ), normal stress (τ) and pressure (P). ### II.2.2 Equations générales de la statique Reprenons un élément cubique de fluide infiniment petit; cet élément étant au repos la résultante des forces qui s'exercent sur lui est donc nul. Ces forces sont de deux natures: des forces extérieures (de volume) et des forces de pression. Soit F la force extérieure par unité de masse du fluide, les forces extérieures se ramènent à: Diagram of a cube with forces acting on it - $p^2 dx dy dz = p^2 dx dy dz$ - $p^2 dx dy dz = p^2 dx- dy dz$ - $p^2 dx dy dz = p^2 dx dy dz$ Les forces de pression sont normales aux six faces de ce cube, ainsi en projection sur oy les forces de pression sont P dx dy sur la face ADHE ot $( *+ \frac{dp}{dy} ) dxdz$ sur la surface BCGF. La somme algébrique des forces de pression sur oy est donc : $Pdxdz - ( *+ \frac{dp}{dy} )dxdz=- \frac{dp}{dy} dy dx dz$ Il en serait de même sur les deux autres axes. La résultante des forces s'exerçant sur cet élément de fluide est nulle et on a donc : $ \overrightarrow{σ} = p^2_x dx dy dz - \frac{dp}{dx} dy dx dz = 0 $ $p^2_y dx dy dz - \frac{dp}{dy } dz dy dx dz = 0$ $ p^2_z dx dy dz - \frac{dp}{dz} dy dx dz = 0 $ Soit encore:= grad P $ \overrightarrow{σ} = \frac{grad p}{p}$ ### II.2.3 Fluides soumis à la seule action de la pesanteur Les forces extérieures sont donc exclusivement le poids et on a alors : - $p^2 dx dy dz - \frac{dp}{dx} dy dx dz = 0$ - $p^2 dy dx dz - \frac{dp}{dy} dx dz = 0$ - $p^2 dx dy dz - \frac{dp}{dz} dy dx dz = 0$ $ \frac{dp}{dx} = 0 $ $ \frac{dp}{dy} = 0 $ $ \frac{dp}{dz} +pg=0 $ Diagram of a cube with forces acting on it La pression P ne dépend donc que de z et l'on a la relation: $P + pgz = Cte$ Il en résulte que les courbes à pression constante sont des horizontales. Une autre façon de le dire revient à admettre que les pressions sont les mêmes en deux points au même niveau dans un même fluide. Le terme P + pgz = P', est appelé pression piézométrique, ou encore pression étoilée. Le terme P/pg = P/pg + z, homogène à une longueur, est appelé hauteur piézométrique. ### II.2.4 Différentes échelles de pression La pression P est donc une grandeur essentiellement positive (nulle à la limite ce qui correspondrait au vide absolu) qui représente une force par unité de surface. Dans le système S.I. les pressions s'exprimeront donc en newton par mètre carré, unité appelée pascal et notée Pa. Cette unité est très petite puisque la pression atmosphérique normale Pat est de 1,013 105 Pa. On utilise fréquemment aussi le bar et surtout son sous-multiple le millibar (1 bar = 105 pascal, 1 millibar = 1 hecto pascal = 100 pascal). Dans la pratique courante de l'hydraulique il est fréquent encore d'exprimer les pressions en hauteur de fluide P/pg et donc généralement en mètre d'eau (1 m. d'eau à 4° = 1,02 104 pascal). En première approximation on pourra donc admettre que la pression atmosphérique est de 10 m. d'eau. Nous avons vu que l'équation fondamentale de la statique était P + pgz = Cle. Cette constante dépend du niveau de référence pris pour les mesures de z. Dans la mesure où l'on travaille le plus souvent sur des liquides incompressibles, il est possible également de changer le zéro des pressions. Comme la surface des fluides est très souvent au niveau de la pression atmosphérique, on travaillera le plus souvent en pression relative : - Pression relative = pression absolue - pression atmosphérique Ceci est si fréquent que sous le vocable pression on sous-entend en hydraulique pression relative et que l'on précise alors pression absolue lorsque l'on veut parler de la "vraie" pression. Les pressions relatives évolueront donc de -1,013 105 Pa à l'infini. Une pression négative signifie alors que l'on est en dépression par rapport à Patm Diagram of absolute pressures vs relative pressures.