Matemáticas 5° Básico Tomo 2 PDF

Tomo 2 ¡Hola! Soy el monito del monte. Me gusta mucho dormir largas siestas y salir de noche, comer insectos y colgar de mi colita. Soy Soyuno unodedelosloscuatro cuatromarsupiales marsupialesdedeCh...

Tomo 2 ¡Hola! Soy el monito del monte. Me gusta mucho dormir largas siestas y salir de noche, comer insectos y colgar de mi colita. Soy Soyuno unodedelosloscuatro cuatromarsupiales marsupialesdedeChile Chiley yvivo vivoenenloslos bosques bosquesdedelalazona zonasur surdedenuestro nuestropaís. país. Estoy muy contento de acompañarlos en esta emocionante aventura de aprender. Mi nombre Mi curso  Autor Masami Isoda, Universidad de Tsukuba, Japón. Editorial Gakko Tosho Co, LTD Traducción y Adaptación Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación. Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMM-Edu). Proyecto Basal FB21005. Universidad de Chile Texto del Estudiante Tomo 2 ISBN 9789564130293 Cuarta Edición Diciembre 2023 Impreso en Chile 134 158 ejemplares Texto con medidas de accesibilidad universal en imágenes, colores y espacios de trabajo. En este texto se utilizan de manera inclusiva términos como “los niños”, “los padres”, “los hijos”, “los apoderados”, “los profesores” y otros que refieren a hombres y mujeres.  Aprende junto a los amigos Sofía Matías Ema Juan Sami Gaspar Simbología Ejercita Cuaderno Puntos importantes Ejercitación guiada Página Recortable Trabajo colectivo Continuamos el estudio  5° Básico Tomo 2 Lo que hemos aprendido..................................... 6 UNIDAD 3....................................... 8 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 13 Paralelismo y perpendicularidad Media................................................... 84 en figuras y cuerpos geométricos......... 10 La media o promedio.................................... 86 Líneas rectas perpendiculares.......................... 12 Examinar datos usando la media.................... 94 Líneas rectas paralelas.................................... 17 Ejercicios........................................................ 100 Rectas paralelas y perpendiculares Problemas...................................................... 101 en figuras geométricas..................................... 21 Cuerpos geométricos....................................... 30 Caras y aristas paralelas y Síntesis............................................... 102 perpendiculares en cuerpos geométricos......... 31 Ejercicios.......................................................... 38 Repaso................................................ 103 Problemas 1..................................................... 42 Problemas 2..................................................... 44 Aventura Matemática........................ 106 CAPÍTULO 11 Explorando posibilidades...................... 45 Experimentos aleatorios................................... 45 Grados de posibilidad...................................... 49 Comparando posibilidades.............................. 54 Ejercicios.......................................................... 59 Problemas........................................................ 62 CAPÍTULO 12 Operatoria combinada......................... 63 Cálculo con números naturales........................ 63 Representando las situaciones......................... 69 Propiedades de las operaciones....................... 75 Ejercicios.......................................................... 82 Problemas........................................................ 83 4 Índice UNIDAD 4..................................... 110 CAPÍTULO 14 4 CAPÍTULO 17 Congruencia........................................ 112 Área de cuadriláteros Congruencia de triángulos............................. 112 y triángulos......................................... 154 Congruencia de cuadriláteros......................... 119 Perímetro y área de rectángulos..................... 154 Traslación, reflexión y rotación Área del paralelogramo.................................. 159 en el plano cartesiano.................................... 123 Área del triángulo.......................................... 168 Traslación........................................................ 126 Área del trapecio............................................ 175 Reflexión......................................................... 126 Área del rombo............................................... 178 Rotación.......................................................... 127 Área de polígonos........................................... 180 Ejercicios......................................................... 130 Ejercicios......................................................... 184 Problemas....................................................... 132 Problemas....................................................... 185 CAPÍTULO 15 Síntesis................................................ 187 Ecuaciones e inecuaciones................... 133 Repaso................................................. 188 Ecuaciones de adición..................................... 133 Ecuaciones de sustracción.............................. 134 Aventura Matemática......................... 191 Ecuaciones de multiplicación.......................... 136 Inecuaciones.................................................... 140 Ejercicios......................................................... 142 Glosario............................................... 195 Problemas....................................................... 143 Solucionario........................................ 197 CAPÍTULO 16 Bibliografía.......................................... 216 Adición y sustracción Recortables.......................................... 217 de fracciones....................................... 144 Adición de fracciones...................................... 144 Sustracción de fracciones............................... 148 Ejercicios......................................................... 152 Problemas....................................................... 153 Índice 5  rendido Lo que hemos ap Números y operaciones 5° básico, tomo 1 Multiplicación Hay 20 grupos de 13. Se multiplica Se multiplica Se suman 1 por 13. 20 por 13. 13 y 260. División 254 : 3 2:3 2 5 4 3 = El cociente no tiene centenas porque 2 es menor que 3. 2 5 4 3 = 2 5 4 3 = 8 2 5 4 3 = 8 4 2 4 2 4 1 4 1 4 25 : 3 1 2 Entonces, la mayor posición que tendrá el cociente serán decenas. 2 Fracciones Las fracciones que representan la misma medida o cantidad se llaman fracciones equivalentes. Por ejemplo: 1 2 3 4 5 = = = = 2 4 6 8 10 Para encontrar fracciones equivalentes, podemos amplificar o simplificar. Amplificar es multiplicar el numerador y Simplificar es dividir el numerador y el el denominador por un mismo número. denominador por un mismo número. 6 Lo que hemos aprendido  Medición 4° básico El transportador permite medir ángulos en grados. Línea de 0° Vértice del ángulo, centro del transportador El área de una figura corresponde a la medida de su superficie. Se puede medir, por ejemplo, en centímetros cuadrados o metros cuadrados. 1 cm 1m 1 m2 1m 1 cm2 1 cm Área cuadrado = lado · lado Área rectángulo = largo · ancho Patrones y álgebra 4° básico Ecuaciones e inecuaciones Ecuación de adición Ecuación de sustracción Inecuación + 300 = 900 – 350 = 1 150 5+ < 12 = 900 – 300 = 1 150 + 350 < 12 – 5 = 600 = 1 500 10 – 4 x>6 Por tanto, x es cualquier número mayor que 6. Las soluciones de la inecuación son 7, 8, 9,… 3 Matías ha resuelto una inecuación. 4 Matías y Sofía discuten acerca de la Explica su estrategia. solución de la inecuación x – 5 < 4. ¿Quién tiene la razón? Discute con tu curso. Idea de Matías x – 5 > 10 x > 10 + 5 x > 15 x = 16, 17, 18,… Ejercita Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x – 15 > 1 b) 4 + x < 8 c) x – 16 > 2 d) x + 5 < 20 Capítulo 15 141  Ejercicios 1 Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones. a) x + 6 < 13 b) x + 6 = 13 c) x + 6 > 13 ¿Qué observas? 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x + 20 = 70 e) x – 23 = 12 i) 14 + x = 23 b) x 5 = 40 f) x 6 = 72 j) 4 x = 48 c) x – 10 = 8 g) 12 + x = 20 k) x – 5 = 19 d) x – 40 = 170 h) 2 + x = 17 l) 10 x = 480 3 Encierra todas las ecuaciones cuya solución es 6. x 2=6 x–6=0 4 + x = 10 6 + x = 11 4 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x + 55 < 58 c) 2 + x > 11 e) 18 + x < 20 b) x + 10 > 12 d) x – 4 > 20 f) x – 6 > 8 5 Encierra todas las inecuaciones de las cuales 6 es una solución. x+2>6 x – 2 > 12 x+6>6 x–2>6 142 Unidad 4  Problemas 1 El precio de un pack que consta de un lápiz y un cuaderno es de $1 200. Si el cuaderno vale $800, ¿cuál es el precio del lápiz? a) Si x es el precio del lápiz, escribe una ecuación que permita encontrar su precio. b) Resuelve la ecuación y responde la pregunta. 2 Roberto mide 120 cm de altura. Se subió a una banca. a) Si la altura de la banca es x cm, escribe una expresión algebraica que represente la altura que alcanza Roberto. b) Si la altura total que alcanza al subirse a la banca es de 145 cm, ¿cuál es la altura de la banca? Escribe una ecuación. c) Resuelve la ecuación y responde la pregunta. 3 Un cuadrado tiene un perímetro de 24 cm. ¿Cuánto mide cada lado? a) Usa x para representar la medida de cada lado y escribe una ecuación que permita encontrar su medida. x cm b) Resuelve la ecuación y responde la pregunta. 4 Observa el rectángulo y sus medidas. a) Si el área del rectángulo es 60 cm2 y su ancho es x cm, escribe una ecuación x cm para encontrar la medida del ancho. 12 cm b) Resuelve la ecuación y encuentra la medida del ancho del rectángulo. Capítulo 15 143  Capítulo Adición y sustracción 16 de fracciones Adición de fracciones 1 Hay 2 L y 1 L de jugo en los envases. ¿Cuántos litros hay en total? 5 5 1 1 1 1 4 1 7 4 1 1 1 7 5 6 5 6 2 L 1 L1 5 5 5 a) Escribe la expresión matemática. 1L 1L 1 L 2 L 5 1 5 4 1 1 7 5 1 6 b) Calcula la suma. 144 Unidad 4 2 Hay 1 L y 1 L de jugo en los envases. ¿Cuántos litros hay en total? 3 2 1 1 1 1 2 1 1 5 2 5 1 1 3 4 3 4 1 L 1 L 3 2 a) Escribe la expresión matemática. 1L 1L 1L ? 1 L 1 L 2 1 1 3 2 1 1 5 3 4 b) ¿Cómo calcularías esta adición? Explica. Pensemos cómo sumar o restar fracciones con diferentes denominadores. Capítulo 16 145  c) Expliquemos cómo calcular 1 + 1 usando una representación. 3 2 1 1 1 + = + 3 3 2 6 6 = 1 2 Para sumar fracciones con diferentes denominadores, podemos encontrar fracciones equivalentes con el mismo denominador. 3 1 3 Pensemos cómo calcular +. 10 6 3 1 + = + 10 6 Si el resultado se puede reducir, debería reducirse a una fracción irreductible. También se puede expresar como = = número mixto. Ejercita Suma. 2 3 1 1 1 4 5 1 2 1 1 3 a) + b) + c) + d) + e) + f) + 3 4 2 10 2 5 12 3 5 6 4 20 146 Unidad 4  Practica 1 Representa para calcular. 2 Suma. 1 2 3 1 a) + a) + = 2 5 5 6 1 2 1 2 2 b) + = 5 9 5 1 2 + = 2 5 5 1 c) + = 6 8 2 1 b) + 3 6 2 3 3 7 d) + = 4 10 1 6 2 1 1 1 + = e) + = 3 6 10 6 1 3 c) + 2 8 1 1 f) + = 1 21 6 2 3 8 5 3 g) + = 12 4 1 3 + = 2 8 Capítulo 16 147  Sustracción de fracciones 1 Hay 3 L de jugo y 5 L de leche. ¿Cuánto es la diferencia entre las cantidades? 4 8 a) Compara, encontrando fracciones equivalentes con el mismo denominador. Luego, escribe una expresión matemática. 3 4 3 = entonces, 3 5 4 4 8 5 8 b) Piensa cómo calcular. 3 5 – = – 4 8 = Para restar fracciones con diferentes denominadores, podemos encontrar fracciones equivalentes con el mismo denominador. 2 Piensa cómo calcular 5 – 3. 6 10 5 – 3 = – 6 10 = = Ejercita Resta. 6 3 3 7 5 1 2 1 2 1 7 3 a) – b) – c) – d) – e) – f) – 7 4 4 10 8 4 5 15 3 6 15 10 148 Unidad 4  Practica 2 5 1 Se tienen 3 m y m de cordón. 6 3 Resta. 7 1 a) Encuentra fracciones equivalentes a) – = 8 4 con el mismo denominador. Luego, compara. 2 2 5 = , entonces 3 3 6 3 2 b) – = 5 15 b) ¿Cuál es la diferencia entre ambas longitudes? Expresión matemática: 4 5 c) – = 7 9 Respuesta: 3 2 d) – = 1 4 5 2 Se tienen m y 2 m de cinta. 6 15 a) Entre 1 y 2 , ¿cuál es más larga? 6 15 7 4 e) – = 1 = , 2 = , entonces 10 15 6 15 1 2 6 15 3 2 f) – = 4 3 b) ¿Cuánto más larga? Expresión matemática: 3 1 g) – = Respuesta: 8 5 Capítulo 16 149  4 Calcula. 1 2 2 2 a) + = f) – = 5 11 3 5 8 2 7 1 b) + = g) – = 21 7 4 6 17 5 1 1 c) + = h) – = 24 12 2 6 4 1 5 2 d) + = i) – = 15 6 6 15 5 3 5 1 e) + = j) – = 6 8 12 6 150 Unidad 4  1 4 5 Tamara estuvo 5 de 1 hora haciendo 7 Tenía L de aceite. 5 4 tareas de Matemática y de 1 hora 6 Usé 2 L para cocinar. 3 haciendo tareas de Lenguaje. ¿Cuánto aceite me queda? a) Entre ambas tareas, ¿cuánto tiempo tardó? Expresión matemática: Expresión matemática: Respuesta: Respuesta: b) ¿En cuál tarea tardó más? 8 Tengo dos cintas. ¿Cuánto más? 2 4 Una mide m y la otra m. 5 7 Expresión matemática: a) Si junto ambas cintas, ¿cuál es la longitud total? Respuesta: Expresión matemática: 5 Respuesta: 6 Daniel ha corrido 24 km. Para completar una vuelta le faltan 2 km. ¿Cuántos kilómetros tiene una 3 b) ¿Cuál es la cinta más larga y vuelta completa? por cuántos metros? Expresión matemática: Expresión matemática: Respuesta: Respuesta: Capítulo 16 151  Ejercicios 1 Calcula. 2 1 3 4 1 5 a) + = e) + = i) + = 7 4 5 7 4 6 5 2 3 1 5 9 b) + = f) + = j) + = 6 3 8 2 6 14 7 1 11 7 7 3 c) – = g) – = k) – = 9 6 12 8 8 4 8 1 5 2 5 3 d) – = h) – = l) – = 12 4 7 5 6 4 5 4 2 Para sumar 8 y las fracciones deben tener igual denominador. 5 ¿Cuál de los siguientes números puede ser ese denominador? Encierra. 8 24 40 12 3 4 3 Mario tiene 4 m de cinta y Héctor m. 5 a) ¿Cuál cinta es más larga y por cuántos metros? b) Si juntan ambas cintas, ¿cuál es la longitud total, en metros? 4 ¿Son correctos los cálculos? En caso de no serlo, corrige. 1 2 3 7 3 4 a) + = b) – = 3 5 8 8 4 8 152 Unidad 4  Problemas 3 5 1 Hay 4 L de leche con chocolate y L de leche blanca. 6 a) ¿De cuál hay más y cuánto más? b) ¿Cuánta leche hay en total? 3 2 Tomás va de pesca y ha caminado 4 km desde su casa. 3 Si se encuentra a km del río, ¿cuántos kilómetros hay entre su casa y el río? 8 4 3 Un canasto con manzanas tienen una masa de 5 kg. El canasto masa 2 kg. 10 ¿Cuál es la masa de las manzanas? 4 Completa. 2 + =11 5 3 15 5 Usa el Recortable 4 y elige 4 de las tarjetas. Página 223 a) Forma 2 fracciones propias. b) Suma las fracciones formadas. c) ¿Con cuál combinación obtienes el resultado mayor? Capítulo 16 153  Capítulo Área de cuadriláteros 17 y triángulos Perímetro y área de rectángulos 1 Rectángulos de igual perímetro. A D a) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo ABCD? Ancho B C 1 cm 1 cm Largo b) Dibuja otros rectángulos de igual perímetro. ¿Tendrán igual área? c) ¿Cuánto miden las áreas de los rectángulos de perímetro 18 cm? Idea de Gaspar Hice una tabla. Largo (cm) Ancho (cm) Perímetro (cm) Área (cm2 ) 5 4 18 20 6 3 18 18 7 2 18 14 8 1 18 8 Dos o más rectángulos pueden tener igual perímetro y diferente área. 154 Unidad 4 2 Busca el rectángulo de perímetro 32 cm que tenga el área mayor. Usa estas ideas para buscarlo. Idea de Sami Idea de Juan Hice una tabla con el área de cada Con el hilo me di cuenta que mientras rectángulo y la medida de sus lados. más parecidos son los lados, mayor es el Me fijé en la diferencia entre los lados. área del rectángulo. El área crece cuando la diferencia entre el largo y el ancho disminuye. Capítulo 17 155  3 La siguiente figura es un rectángulo. a) ¿Cuál es su área? 6 cm 4 cm b) Dibuja todos los rectángulos que tengan la misma área. ¿Cuántos rectángulos se pueden dibujar? 4 El perímetro de este rectángulo mide 20 cm y el largo 7 cm. 7 cm Perímetro = 20 cm a) Encuentra la medida del ancho. b) Calcula el área. 5 El perímetro del cuadrado mide 48 cm. a) Encuentra la medida de sus lados. Perímetro = 48 cm b) Calcula el área. 156 Unidad 4 6 El área del rectángulo mide 72 cm2 y su ancho 8 cm. a) Encuentra la medida del largo. Área = 72 cm2 8 cm b) Calcula el perímetro. 7 El área del cuadrado mide 64 cm2. a) Encuentra la medida del lado. b) Calcula el perímetro. Área = 64 cm2 Ejercita 1 Calcula el área del rectángulo. Perímetro = 50 cm 10 cm 2 Calcula el perímetro del rectángulo. 9 cm Área = 54 cm2 Capítulo 17 157  Practica 1 Calcula el área de los 2 El perímetro de este rectángulo mide 30 cm. El ancho mide 7 cm. a) cm 6 cm 12 cm 7 cm Respuesta: a) ¿Cuál es la medida del largo? Respuesta: b) b) Calcula su área. Respuesta: 5 cm 3 cm 3 El área del siguiente rectángulo mide 63 m2. El largo mide 9 m. Respuesta: ¿Cuánto mide su ancho? ¿Cuánto mide el perímetro? 63 m2 m c) Si el largo mide 38 m y el ancho mide 20 m. Respuesta: 9m Respuesta: 158 Unidad 4 Área del paralelogramo Con tiras de cartón unidas por chinches hagan un marco. ¿Son iguales las áreas de los distintos cuadriláteros? Capítulo 17 159  1 Observemos los cuadriláteros A, B y C. a) Midamos sus lados. A 1 cm 1 cm 1 cm B 1 cm 1 cm C 1 cm b) ¿Cuál es el área de cada cuadrilátero? c) ¿Cuál cuadrilátero tiene mayor área A , B o C ? Piensa en una expresión matemática para calcular el área de cada paralelogramo. Recuerden cómo se calcula el área de un rectángulo. 160 Unidad 4  Idea de Ema Para la figura A usé la fórmula del área del rectángulo. Área de A = largo · ancho A 6 cm 5 cm Área de A = 30 cm2 Idea de Matías Para la figura B corté el paralelogramo y formé un rectángulo. A B D A B D B C B F C E Área del paralelogramo ABCD = Área del rectángulo AFED = 6 cm 4 cm = 24 cm2 Capítulo 17 161  2 Encuentra longitudes que permitan calcular el área del paralelogramo C. 1 cm C 1 cm 3 Explica si son suficientes las longitudes destacadas en rojo y verde para calcular las áreas. A A D B E I C J N B C F G H K L M Las longitudes utilizadas para calcular el área de A E D los paralelogramos se conocen como base y altura. Si elegimos BC como base, cualquier segmento altura altura perpendicular que llegue al lado opuesto, como AG y EF, tienen la misma longitud y se le B G F C llama altura. base 162 Unidad 4 4 Mide las longitudes necesarias para calcular el área del paralelogramo ABCD. D A C B a) Si el lado BC es la base, encuentra el área midiendo la altura. b) Si el lado AB es la base, encuentra el área midiendo la altura. La altura depende del lado elegido como base. Ejercita Calcula el área de cada paralelogramo. a) b) 2,5 cm 2,5 cm 3 cm 4 cm 4,5 cm 2 cm Capítulo 17 163  Practica 1 Responde de acuerdo a la 2 Calcula el área de los a) A E D 8 cm G 6 cm H 12 cm B F C 10 cm Respuesta: a) Si el lado BC es la base de la figura, ¿cuál segmento es b) Respuesta: 7 cm 10 cm b) Si el lado AB es la base de Respuesta: la figura, ¿cuál segmento es Respuesta: c) 4 cm c) Escribe la fórmula para calcular el 5 cm área del paralelogramo ABCD. Respuesta: Respuesta: 164 Unidad 4 1 ¿Cómo calcular el área del paralelogramo si la base es BC ? 1 cm 1 cm A D B C a) Analiza cómo pensaron Matías y Ema. Idea de Matías Idea de Ema altura altura base base b) ¿Cuántos centímetros cuadrados mide el área del paralelogramo? Cuando el lado BC es la base del L A D paralelogramo ABCD, la distancia entre las rectas L y M es la altura. altura altura altura M B base C Capítulo 17 165  2 Calcula el área de estos paralelogramos. A B C 8 cm 4 cm 4 cm 4 cm En todos los paralelogramos que tienen igual base y altura, el área es la misma. 3 ¿Cuánto medirá la base de un paralelogramo con área 48 cm2 y altura 8 cm? 48 cm2 48 cm2 8 cm cm cm 4 Comprueba la medida de la base usando la fórmula. 8 = 48 6 8 = 48 = 48 : 8 Base Altura Área 166 Unidad 4  Practica 1 En las siguientes figuras, el lado BC es 2 Calcula el área de los la base del paralelogramo. Calcula el siguientes paralelogramos. área usando transformaciones. a) Traslada el triángulo ABC para resolverlo. A B C 7 cm A D A D 6 cm 2 cm 2 cm 2 cm a) Área de A : B C C B 3 cm E b) Área de B : c) Área de C : Respuesta: 3 Completa. Si en el ejercicio anterior dibujamos otros paralelogramos en los que la longitud de la base y la de la altura es la misma, el también b) Traslada los triángulos EBC y GFD y calcula el área de ABCD. será igual. A G D A G D A G 4 Este paralelogramo tiene un área de 54 cm2 y una altura de 6 cm. E F E F E F ¿Cuánto mide la base? 6 cm B C C B C B 3 cm 54 cm2 6 cm Respuesta: Respuesta: Capítulo 17 167  Área del triángulo 1 Calcula el área de este triángulo. a) Piensa cómo encontrarla. 1 cm A 1 cm B C b) Explica las ideas de Sami, Juan, Gaspar y Sofía. ¿Hay alguna idea que sea igual a la tuya? Idea de Sami Idea de Juan A A D E F G H D E F B I C B G C 168 Unidad 4  Idea de Gaspar Idea de Sofía D A E A D B F C B F C c) ¿En qué se parecen las ideas anteriores? ¿En qué se diferencian? d) Observa cómo cada idea permite calcular el área del triángulo. ¿Qué puedes concluir? Idea de Sami Idea de Juan El largo del rectángulo es BC, y su La base del paralelogramo es BC, y su ancho es la mitad de AI. El área es: altura es la mitad de AG. El área es: BC (AI : 2) BC (AG : 2) Idea de Gaspar Idea de Sofía El área del triángulo es la mitad del El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo DBCE, cuyo largo área del paralelogramo ABCD, cuya es BC y su ancho AF. El área es: base es BC y su altura AF. El área es: (BC AF) : 2 (BC AF) : 2 Capítulo 17 169  2 ¿Qué medidas se necesitan para calcular el área del siguiente triángulo? 1 cm 1 cm En el triángulo ABC, si elegimos BC como base, AD es su altura. A altura B D C base Área del triángulo = base altura : 2 3 Calcula el área del triángulo midiendo las longitudes necesarias. C A B 170 Unidad 4  Ejercita Calcula el área del triángulo ABC, si la base es AB. A 9 cm 6 cm B C 4 ¿Cómo calcular el área del triángulo ABC con BC como base? A 10 cm B 8 cm C 4 cm D a) Utiliza estas ideas para calcularla. Idea de Juan Idea de Matías Quitar b) Si la base es 8 cm y la altura 10 cm, calcula el área utilizando la fórmula. Capítulo 17 171  Practica c) Luego de transformarlos, 1 En cada figura, el triángulo ABC se ¿en cuáles el área se duplica? ha transformado de diferente manera para calcular su área. Respuesta: 1 A 2 A B C B C 2 Calcula el área del triángulo FDE. 3 A 4 A F B C B C 4 cm D E a) ¿En qué casos los triángulos se 6 cm transformaron en rectángulos? ¿En cuáles en paralelogramos? Respuesta: Transformación en rectángulo: Respuesta: 3 Calcula el área del triángulo ABC, considerando el lado BC como la base. Transformación en paralelogramo: A 5 cm Respuesta: b) Luego de transformarlos, B C 8 cm ¿en cuáles el área se mantiene? Respuesta: Respuesta: 172 Unidad 4  L es una recta paralela a BC que pasa por A. L A Si BC es la base, la distancia entre las paralelas es la altura del triángulo. altura altura altura altura B base C 1 Calcula el área de estos triángulos. a) b) 7 cm 6 cm 6 cm 13 cm 5 cm 2 Si las rectas L y M son paralelas, calcula las áreas de los triángulos. 3 cm L 6 cm M 3 cm 3 cm 3 cm Todos los triángulos con igual base y altura tienen la misma área. A 3 En el triángulo rectángulo ABC calcula: 6 cm 8 cm a) El área. ? cm b) La altura, si BC es la base. B C 10 cm C D Ejercita 10 cm 5 cm Calcula las alturas de los triángulos: 4 cm a) ABC, si la base es BC. b) ABD, si la base es AD. A 2 cm B Capítulo 17 173  Practica 1 Calcula el área de los 2 Responde de acuerdo al siguientes triángulos. siguiente triángulo. a) A 10 cm 8 cm 6 cm B C 6 cm 4 cm a) ¿Cuál es el área del triángulo ABC? Respuesta: Respuesta: b) Si en el triángulo ABC el lado AB es la base, ¿cuánto mide la altura? b) Respuesta: 9 cm 3 En un triángulo de 36 cm2 de 4 cm área y una base de 9 cm de longitud, ¿cuánto mide la altura correspondiente a esa base? Respuesta: Respuesta: 174 Unidad 4 Área del trapecio 1 ¿Cuál es el área del trapecio ABCD? 1 cm A D 1 cm B C a) Piensa en dos formas de encontrar el área. 1 cm 1 cm A D B C A D B C Capítulo 17 175  b) ¿De qué manera las ideas que tuvieron estos estudiantes les permiten calcular el área del trapecio? Idea de Ema Idea de Gaspar Idea de Juan Idea de Sofía c) ¿Cómo usó su idea Gaspar? Idea de Gaspar Transformé el trapecio en un triángulo. Base Altura : 2 (2 + 6) 4 : 2 Los lados paralelos del trapecio se denominan base superior base superior y base inferior. altura La distancia entre ellas es la altura. base inferior Área del trapecio = (base inferior + base superior) altura : 2 176 Unidad 4  Practica 1 En cada figura, el trapecio ABCD se 2 Calcula el área de los ha transformado de diferente manera siguientes trapecios. para calcular su área. a) 6 cm 1 A D 2 A D 7 cm B C B C 8 cm 3 A D 4 A D Respuesta: B C B C a) ¿En qué casos se ha transformado b) 10 cm usando triángulos? Respuesta: 8 cm 13 cm b) ¿En qué casos se ha transformado usando paralelogramos? Respuesta: Respuesta: c) Luego de transformarlos, ¿en cuáles se duplica el área? c) 15 cm Respuesta: 10 cm d) Usando la estrategia del ejercicio 9 cm anterior, ¿cuál es el área del trapecio ABCD? Respuesta: Respuesta: Capítulo 17 177  Área del rombo 1 Piensa cómo calcular el área del rombo ABCD. 1 cm A 1 cm B D C ¿Cómo puedes usar las ideas de estos estudiantes para llegar a una fórmula? Idea de Matías Idea de Ema Descompongo el rombo en dos Transformo el rombo en el triángulos, BDA y BDC. rectángulo BFGD. Área triángulo = 8 3 : 2 = 12 cm2 Área rectángulo = 8 3 = 24 cm2 Área rombo = 12 2 = 24 cm2 Área rombo = 24 cm2 A A B D B D C C El área de un rombo puede calcularse usando diagonales la medida de sus diagonales. Área rombo = diagonal diagonal : 2 178 Unidad 4  Practica 1 Veamos la forma en que se calcula el 2 Calcula el área de los siguientes rombos. área de un rombo. a) La longitud de las diagonales es a) Escribe en el recuadro el número 4 cm y 6 cm. que falta para completar la operación que corresponde a plegar el rombo 2 veces, primero Su área es: horizontal y luego verticalmente. 8 cm b) La longitud de las diagonales es 10 cm y 9 cm. 10 cm (10 : 2) (8 : 2) = Su área es: cm 2 b) Escribe en el recuadro el número que falta para completar la 3 En el cuadrilátero ABCD las operación que corresponde a diagonales son perpendiculares. cortar el rombo para formar Calcula su área. Compara si obtienes lo mismo usando la fórmula para calcular el área de un rombo. A 3 cm 10 (8 : )= B D 2 cm 5 cm C 6 cm c) Calcula el área del rombo usando la fórmula. Respuesta: Respuesta: Capítulo 17 179  Área de polígonos 1 Calcula el área del cuadrilátero. 6 cm 14 cm 20 cm 2 Calcula el área del pentágono. 2 cm 6 cm 3 cm 5 cm 4 cm 3 Calcula el área del cuadrilátero midiendo las longitudes necesarias. A D B C D A El área de un polígono se puede calcular descomponiéndolo en triángulos. B C 180 Unidad 4  Practica 1 Calcula el área del 3 Calcula el área de las siguiente cuadrilátero. siguientes figuras. a) 7 cm 2 cm 6 cm 6 cm 2 cm 4 cm 12 cm Respuesta: Respuesta: 10 cm 10 cm b) 6 cm 3 cm 2 Calcula el área del siguiente pentágono. Respuesta: 4 cm 6 cm 6 cm c) 2 cm 13 cm 4 cm 6 cm 2 cm 15 cm Respuesta: Respuesta: Capítulo 17 181  1 Estima el área del pentágono en centímetros cuadrados. 1 cm 1 cm Ahora, calcula el área y compárala con la estimación que hiciste. 2 Estima el área del pentágono en centímetros cuadrados. A E D 2 cm F H J 5 cm 2 cm G B C 8 cm Ahora, calcula el área y compárala con la estimación que hiciste. Ejercita Calcula el área del pentágono. 7 cm 5 cm 16 cm 18 cm 10 cm 182 Unidad 4  Practica 1 Calcula el área de estas figuras. 2 En un triángulo de 24 cm2 de área y una base de 8 cm de longitud, ¿cuánto a) mide la altura? 5 cm 8 cm Respuesta: 24 cm2 8 cm b) 9 cm Respuesta: 4 cm Respuesta: c) 8 cm 3 Calcula el área de esta figura. 5 cm 11 cm 10 cm 10 cm Respuesta: 14 cm 7 cm d) 6 cm Respuesta: 12 cm Respuesta: Capítulo 17 183  Ejercicios 1 Calcula el área de los paralelogramos. 5 cm a) b) 4 cm 4 cm 8 cm 2 cm 2 Calcula el área de los triángulos. a) b) 3 cm 9 cm 6 cm 10 cm 4 cm 3 Calcula el área de los cuadriláteros. 1 cm 1 cm A B 184 Unidad 4  Problemas 1 Calcula el área de las figuras. a) Paralelogramo c) 3 cm 8 cm 3,5 cm 5 cm 6 cm 7 cm b) d) Paralelogramo 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm 2 cm 6 cm 2 La altura de este triángulo es 15 cm y su área es 135 cm2. ¿Cuál es la medida de la base? 15 cm Capítulo 17 185  3 Calcula el área de las figuras. a) 6 cm b) c) 5 cm 4 cm 7 cm 5 cm 8 cm 10 cm Trapecio Rombo Rombo 4 En el mapa se puede ver la forma y las medidas de un lago artificial construido en un parque. Cada cuadrado de la cuadrícula mide 10 m. La línea delimita el borde del lago. Si el área del borde del lago corresponde a la mitad del área pintada en verde, determina el área total que ocupa el lago y su borde. 10 m 10 m 186 Unidad 4  Unidad Síntesis 4 Congruencia Figura Figura original original Transformaciones isométricas: Reflexión Traslación Rotación Ecuaciones e inecuaciones Ecuación Ecuación Ecuación de adición de sustracción de multiplicación Inecuación x + 5 = 40 x – 4 = 21 9 x = 450 3 + x < 11 x = 40 – 5 x = 21 + 4 x = 450 : 9 x < 11 – 3 x = 35 x = 25 x = 50 x 29 10 Hay 2 L y 1 L de jugo en dos envases iguales. ¿Cuántos litros hay en total? 3 6 11 Matías bebió 3 L de leche y Ema bebió 5 L de leche. ¿Quién bebió más?, 4 8 ¿cuánto más bebió? 12 Suma. a) 2 + 4 = b) 1 + 3 = c) 2 + 7 = d) 5 + 4 = 5 7 9 8 6 14 20 10 Repaso 189  13 Resta. a) 4 – 2 = b) 3 – 1 = c) 7 – 2 = d) 3 – 1 = 7 5 4 2 8 5 5 9 14 El área de un rectángulo es 140 cm², su ancho 7 cm. a) Encuentra la medida del largo. b) Calcula el perímetro. 15 El área de un cuadrado es 81 cm². a) Encuentra la medida del lado. b) Calcula el perímetro. 16 Un triángulo tiene 48 cm² de área y una base de 8 cm de longitud, ¿cuánto mide la altura? 17 Observa los polígonos. 1 cm 1 cm B A C a) Estima el área de los polígonos usando cuadrados de 1 cm. A: B: C: b) Calcula las áreas de los polígonos y compara los resultados con tus estimaciones. 18 Si tienes un cuadrado y un rectángulo con igual área, ¿qué medidas podrían tener sus lados? 19 Dibuja con rojo un rombo que tenga una diagonal de 7 cm y otra de 9 cm, y con azul dibuja un rombo que tenga una diagonal de 14 cm y la otra de 18 cm. ¿Cuánto miden sus áreas? 190 Unidad 4  ática Aventura Matem El cambio climático que se manifiesta con el aumento de las temperaturas, está provocando escasez de agua, entre otros fenómenos. ¡Cuidemos el agua y la naturaleza! 1 Granjas verticales 2 La Isla Rapa Nui y su área marina protegida Aventura Matemática 191  1 Granjas verticales 1 Uno de los efectos del cambio climático es la escasez de agua, lo que ha puesto en riesgo la producción de hortalizas. Por esto, la industria agrícola está usando la tecnología para buscar nuevas formas de cultivo, que optimizan el agua considerablemente. Cultivo tradicional Cultivo vertical a) Se dispone de un terreno de 20 m de largo por 12 m de ancho que se quiere utilizar para producir lechugas usando un cultivo tradicional. ¿Cuál es el área disponible para plantar, considerando que se usará la totalidad del terreno? 192 Unidad 4 2 En el mismo terreno, se está evaluando usar un cultivo vertical. Para ello, se pueden usar repisas de 4 pisos. Cada piso tiene una bandeja de 3 m de largo y 2 m de ancho. a) Si se ubica una repisa al lado de la otra, ¿cuál es la mayor cantidad de repisas que se puede colocar en el terreno? b) ¿Cuál sería el área total que se podría usar para el cultivo? c) Según las medidas de este terreno, compara las áreas del cultivo tradicional con el vertical. 3 Se tienen 100 L de agua para regar dos terrenos del mismo tamaño y se ha determinado que el cultivo tradicional usaría 70 de los 100 L, en cambio el cultivo vertical usaría 5 de los 100 L. CULTIVO TRADICIONAL GRANJAS VERTICALES Consumo de agua 70 L 5 L 100 100 Fuente:https://www.df.cl/agricultura-vertical-la-tendencia-global-que-gana -terreno-para-enfrentar a) ¿Cuántos litros menos de agua usaría una granja vertical en comparación con un cultivo tradicional? Aventura Matemática 193  2 La Isla Rapa Nui y su área marina protegida La Isla Rapa Nui está ubicada en medio del Océano Pacífico a unos 3 700 km al oeste de la costa de Chile continental. Reconocida por sus enormes estatuas de piedra llamadas moais, fue designada Patrimonio de la Humanidad en el año 1995, por su rica cultura, gran biodiversidad ecológica y patrimonio histórico. a) ¿Cuán grande crees que es la Isla Rapa Nui? b) ¿Cuál será aproximadamente el área total de la Isla Rapa Nui? Usa el siguiente mapa para estimar el área de la Isla. Considera que 1 cm corresponden a 2 km en la realidad. El área marina protegida de la Isla Rapa Nui La Isla Rapa Nui posee el área marítima protegida más grande que ha tenido Chile. Dado su aislamiento y poca conexión con otras islas, los ecosistemas de coral de la Isla Rapa Nui poseen especies que son únicas en el mundo y endémicas. El área marina costera protegida de múltiples usos de Rapa Nui permite la coexistencia armoniosa de diversas actividades, tales como pesca artesanal, turismo, investigación científica, educación, actividades culturales y conservación ambiental. c) El área marina costera protegida cubre una superficie de 720 000 km². Si suponemos que esta zona tiene forma de rectángulo, ¿cuáles serían sus dimensiones? ¿Qué opinas respecto del tamaño de la zona marítima protegida? Averigua si efectivamente el Área Marina Protegida en torno a la Isla Rapa Nui tiene la forma de un rectángulo. 194 Unidad 4  Glosario M Símbolo de ángulo recto Líneas perpendiculares L L y M son perpendiculares. P L Líneas M paralelas L y M son paralelas. Imposible Seguro Escala de posibilidad Poco posible Bastante posible Expresión matemática 5 000 – (1 590 + 3 390) combinada (40 + 20 + 10 + 50) : 4 Media o = 120 : 4 Promedio = 30 mL 40 mL 20 mL 10 mL 50 mL A F Figuras congruentes B C G H Glosario 195  Y 7 6 A 5 4 Plano cartesiano 3 El punto A está en la coordenada (5, 6) 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 X Inecuación x 3 + x < 11 A E D altura altura Área del paralelogramo B G F C base Área del paralelogramo = base altura A altura Área del triángulo B D C base Área del triángulo = base altura : 2 196 Glosario  Solucionario Página 16 - Practica Unidad 3 1 a), b) y d) Cap 10 Paralelismo y perpendicularidad 2 a) b) A L A Página 10 L 1 Respuesta variada. 3 M y N son perpendiculares. 4 a) F b) F c) F d) V Página 17 1 a) Se forman ángulos rectos. b) Sus medidas son iguales. Ejercita a) Respuesta variada. Se pueden clasificar en P y T; N y R aquellos que se construyen con líneas paralelas Página 18 b) Algunos son similares. 2 a) La distancia es la misma. Página 11 b) Nunca se intersectan. 2 a) En que se forman con líneas rectas. c) La marca sigue sobre L. b) Algunos se diferencian en la forma. 3 B , C , D , E , F , G , I , J , K y L. Página 12 Ejercita 1 a) α = 65°; β = 115°; γ = 65°; δ = 115° a) α = 110°; β = 70°; γ = 70°; δ = 70° b) ε, ω, σ y φ miden 90°. b) 2 cm 2 Hay 6 pares. Página 19 Página 13 4 Respuesta variada. 3 a), b) y d) son perpendiculares. 4 A , E , F , G , L L 5 Se espera que los estudiantes sigan el 5 Respuesta variada. Página 14 6 Se espera que los estudiantes sigan los Página 15 7 a) b) B Ejercita L a) y b) Respuestas variadas. A A L Ejercita 2 cm Son perpendiculares L y T; M y R. Solucionario 197  Página 20 - Practica 13 Los lados y ángulos tienen igual medida. 1 a) α = 110°; β = 90°; γ = 110°; δ = 70°; 14 C , D , G , J y L. ε = 70°; φ = 110° Página 26 b) Nunca se intersectan. A 15 a) Es la misma. b) Sí. 2 16 Se copian los ángulos y se unen los lados. L Página 27 3 17 Respuestas variadas. a) b) Es un rectángulo. 4 cm 80º 4 cm 6 cm 4 CH. 6 cm Página 21 18 a) b) c) Es un cuadrado. 1 Solo las líneas rojas en B y las anaranjadas en K son 5 cm 5 cm paralelas entre sí. 120º 5 cm 60º 2 B , E , K 5 cm 5 cm 5 cm 3 Se espera que el estudiante encuentre trapecios en Páginas 28 y 29 - Practica su entorno. 1 Respuesta variada, por ejemplo: 4 Respuesta variada. Trapecio Paralelogramo Página 22 2 a) Trapecio. b) Paralelogramo. c) Rombo. 5 En ambos cuadriláteros D e I las líneas del mismo color son paralelas. 3 a) 5 cm c) 180° 5 cm 6 C , D , F , G , I , J , L b) 60° d) 60º 4 cm 7 Respuesta variada. Ventanas, volantín, mesa, 4 cm entre otros. 60º 5 cm Ejercita 4 a) Los tres lados miden 4 cm. b) El ángulo en D mide 60° y en C mide 120°. c) 4 cm 120º 60º 4 cm 4 cm 60º 120º Página 23 4 cm 9 Los lados y ángulos tienen igual medida. 5 a) Un rectángulo. b) Un rombo. 10 180° Página 24 11 Se espera que los estudiantes analicen las ideas y las expliquen. 5 cm 3 cm Página 25 12 Las líneas del mismo color son paralelas. 198 Solucionario Página 30 a) Que la cantidad aumenta según aumenta el número Respuesta variada. Se espera que los estudiantes de lados de las bases. clasifiquen los cuerpos de diferentes maneras, por ejemplo b) Que por cada lado de la base se agregan dos por la forma de sus caras, o si son cuerpos redondos vértices más. c) Que por cada lado de la base que se agrega, se Página 31 agregan 3 aristas. 3 a) P y T; P y Q; P y U ; P y S ; R y T; Página 36 R y Q; R y U; R y S ; T y S ; S y U; 4 a) En un grupo pusieron los prismas de base U y Q; Q y T rectangular, en otro los cubos y en el tercero los prismas con otra base. b) P y R ; Q y S ; T y U Página 32 Página 37 - Practica 4 a) AD y AE c) DC; HG; EF 1 a) Triangular. b) Bases. c) Rectangular. 5 EA; HD y GC 2 a) El dado se parece a un cubo y la caja de pañuelos a un prisma rectangular. 6 BC; CD y DA b) 6 caras. Página 33 - Practica 3 a) Prisma de base octagonal. 1 a) DC; HG y EF b) Caras: 10; Aristas: 24; Vértices: 16. b) AE; AD; BF y BC 4 c) BCGF. Cuerpo geométrico d) 4 aristas. Prisma rectangular Cubo Características e) 4 caras. forma Rectángulo Cuadrado Caras 2 a) La cara de 2 puntos. cantidad 6 6 Tiene tres medidas: b) Las caras 6, 3, 4 y 1. Todas sus largo, ancho y alto. longitud aristas miden 3 Respuestas variadas. Aristas Tiene 4 aristas de lo mismo. cada medida. a) La pared de la pizarra y la del fondo. cantidad 12 12 b) El piso con las paredes. Vértices cantidad 8 8 c) Las aristas en las esquinas del techo. Páginas 38, 39, 40 y 41 - Ejercicios d) Las aristas en las esquinas de las paredes. 1 a) Paralelas. Página 34 b) Perpendiculares. 1 a) Son paralelas. c) Paralelos. b) Triángulo, rectángulo, pentágono y hexágono. Son d) Paralelogramo. iguales las caras de cada figura entre sí. e) Rombo o cuadrado; paralelos. c) Son de forma rectangular y la cantidad depende de f) Cuadrado y rombo. los lados que tenga la figura sombreada. g) Cuadrado y rectángulo. d) Las caras sombreadas y las caras no sombreadas. 2 Trapecio Paralelogramo Página 35 2 El primero no tiene caras laterales y el segundo no tiene caras paralelas. 3 Cantidad Cantidad Cantidad 3 Paralelas: Q y N. Prisma de caras de vértices de aristas Perpendiculares: Q y O; N y O; L y P. A 5 6 9 4 a) B 6 8 12 C 7 10 15 D 8 12 18 Solucionario 199  b) c) 3 Respuesta variada. Por ejemplo, se pueden clasificar según sus ángulos o por los lados. 4 a) AD, AB, EH y EF 5 a) En A 70° y en B 110°. b) BF, CG, DH b) 180° c) EFGH c) BC d) AD, EH, FG, BC d) Un rectángulo. 5 a) Dependen de la cantidad de lados de las bases. 6 a) A b) A , B , C c) A , B Prisma Prisma Prisma Prisma Prisma 7 Características triangular rectangular pentagonal hexagonal Forma de Triángulo Rectángulo Pentágono Hexágono la base Forma de las Rectángulo Rectángulo Rectángulo Rectángulo caras laterales Cantidad de vértices 2 3 2 4 2 5 2 6 8 a) Prisma triangular. Cantidad de aristas 2 3+3 2 4+4 2 5+5 2 6+6 b) 5 caras y 9 aristas. Cantidad 2+3 2+4 2+5 2+6 c) BE y AD de caras d) CF; AD y BE b) 12 vértices, 18 aristas y 8 caras. e) EDF f) BCFE; ACFD y ABED Página 44 - Problemas 2 1 Un cuadrado. 9 a) Prisma de base pentagonal. 2 a) Paralelogramo. b) Rombo. c) Rectángulo. b) Las bases de 5 lados. c) No son paralelas, ya que los lados de un pentágono 3 Prisma Prisma Prisma Prisma Prisma heptagonal octogonal eneagonal decagonal no son paralelos. (Base de (Base de (Base de (Base de 7 lados) 8 lados) 9 lados) 10 lados) Páginas 42 y 43 - Problemas 1 Propiedades Cantidad 1 Los lados paralelos son AD y BC; AB y DC. de vértices 14 16 18 20 El perímetro es 22 cm. Los ángulos que suman 180° Cantidad 21 24 27 30 son A y B; B y C; C y D; D y A. de aris