Mathematik Lernen - PDF

Mathematik lernen  Funktionen, Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts in der Grundschule Gegenstand der Wissenschaft Mathematikdidaktik präskriptive und konstruktive Elemente -> Gestaltung des Lehrplans anhand der Inhalte Integrativ -> über das Fach Mathemati...

Mathematik lernen  Funktionen, Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts in der Grundschule Gegenstand der Wissenschaft Mathematikdidaktik präskriptive und konstruktive Elemente -> Gestaltung des Lehrplans anhand der Inhalte Integrativ -> über das Fach Mathematik hinaus Tätigkeitsfeld von Lehrkäften im Mathematikunterricht Fachliche Dimension -> Unterrichtende Rolle Pädagogische Dimension -> Interaktion mit Kindern Psychologische Dimension -> einzelne Kinder im Fokus (Lernschwierigkeiten und Ursachen) Konstruktive Dimension -> Alltagsbezug der Themen (Wittmann 1981, S. 2) Grundanforderungen an die Mathematikdidaktik Die Mathematikdidaktik ist im hohen Maße interdisziplinär, und sie muss diese Interdisziplinarität wahren. (Nicht isoliert) Die Mathematikdidaktik muss sich immer wieder auf ihre spezi schen Forschungsgegenstände besinnen und ihre Eigenständigkeit wahren. Die Mathematikdidaktik hat schulpraktische und schulpolitische Relevanz. https://pikas.dzlm.de/pikas les/uploads/ Dokumente/news/nrw_stellungnahme_rechenschwierigkeiten_mathematikdidaktik.pdf Die Mathematikdidaktik trägt große Verantwortung für die Verbreitung eines adäquaten Bildes ihrer Wissenschaft und der Fachwissenschaft Mathematik. Hauptfunktionen des Grundschulmathematikunterrichts 1. Beitrag zur Entwicklung der kindlichen Gesamtpersönlichkeit (im Zusammenwirken mit den anderen Grundschulfächern) 2. Schaffung wesentlicher mathematischer Grundlagen, einschließlich des Erwerbs typischer Denk- und Arbeitsweisen, wie des Begründens oder des Modellierens, für den Mathematikunterricht ab dem fünften Schuljahr fi Zielfestigungen für den Grundschulmatheatikunterricht im Wandel der Zeit: Heinrich Pestalozzi (1746-1827): Hauptfunktionen des damaligen Rechenunterrichts: Entwicklung geistiger Kräfte, Denkrechnen Abkehr vom mechanischen Regelrechnen Akzentverschiebung zu Beginn des 19. Jahrhunderts Hauptfunktion des Rechenunterrichts der Elementarschule: „Vorbereitung der künftigen Bürger, Bauern und Soldaten auf ihre Berufe“; „Rechnen an Dingen, die im praktischen Leben von Bedeutung sind“ Selbsttätigkeit im Dienste des Wahren, Schönen und Guten“ Hauptinhalt des Anfangsunterrichts im Rechnen: die Einführung natürlicher Zahlen (als Kardinal- oder Zählzahl) Reformpädagogische Bewegung zu Beginn des 20. Jahrhunderts (Montessori) Kindorientierung als Primat der Bildung und Erziehung Grundideen: ○ Heranwachsende als kindliche Persönlichkeiten respektieren, ○ den Unterricht an die Bedürfnisse und Lernvoraussetzungen der Kinder anpassen, ○ Lernmöglichkeiten und Lernwegen der Kinder Vorrang vor Fachzusammenhängen und wissenschaftlicher Korrektheit. Nachkriegszeit: Dann unter dem Ein uss psychologischer Erkenntnisse stärker entwicklungs- und lernpsychologisch geprägte Konzepte für den Rechenunterricht der Volksschule Lernkonzept von J. Wittmann: ○ Lernen von Kindern „geht stets von irgendwie strukturierten Ganzheiten aus und schreitet zu neuen Ganzheiten fort“. 70er Jahre in Westdeutschland: Neuorientierung der Grundschulmathematik durch die verbindliche Einführung des Mathematikunterrichts in der Grundschule deutliche fachwissenschaftliche Fundierung aller Lernthemen ab dem 1. Schuljahr; Mengenlehre sehr dominant Geometrie neben Arithmetik und Sachrechnen als verbindlicher Hauptinhalt des Mathematikunterrichts ab Klasse 1 zudem intensive Diskussion über allgemein kognitive und „Erziehungsziele“ des Mathematikunterrichts in der Grundschule Affektive Ziele des Mathematikunterrichts 1975 Freude und Interesse an der Mathematik und eine positive Einstellung zum Fach entwickeln, Selbstvertrauen beim Bearbeiten mathematischer Aufgaben haben, Mathematik begeistert, zielbewusst und konzentriert betreiben, gern Neues lernen wollen, Bereitschaft zum Mitmachen entwickeln, Freude und Stolz über das erfolgreiche Lösen eines mathematischen Problems emp nden, Math. Wissen und Können als wichtig/ nützlich erkennen und den Wert für die Gesellschaft würdigen, den Wert logischer Klarheit und Korrektheit math. Begriffe und Zusammenhänge erkennen und würdigen Lernziele des Mathematikunterrichts nach Winter 1981 „1. Der Schüler soll lernen, Situationen (mathematischer und besonders auch real-umweltlicher Art) zu mathematisieren (…) 2. Der Schüler soll lernen, sich forschend-entdeckend und konstruktiv zu betätigen (…) 3. Der Schüler soll lernen zu argumentieren (…) 4. Der Schüler soll Grundkenntnisse und Grundtechniken zur Verarbeitung mathematischer Informationen - einschließlich deren Anwendung erlernen (…).“ fl Aktuelle Zielfestigungen: Gegenwärtige Trends im MU der GS: ausgewogene Balance zwischen Kind- und Fachorientierung, zwischen der Förderung mathematikspezi scher, fächerübergreifender und allgemein-geistiger Kompetenzen und der kindlichen Persönlichkeitsentwicklung (MONTESSORI) Individuelles, differenzierendes Lernen Lernen als aktiv-konstruktiver Prozess; aktiv-entdeckendes Lernen (PIAGET) Kompetenzorientierung (Fachspezi sche) Kompetenzen Fach- bzw. Sachkompetenzen Lern- bzw. Methodenkompetenzen Sozialkompetenzen personale Kompetenzen Medienkompetenzen Begrif ichkeiten im Zusammenhang mit Kompetenzen Fähigkeiten & Fertigkeiten Kompetenz: Fähigkeit und Fertigkeit Probleme zu lösen und die Bereitschaft (das Wollen) dies auch zu tun. Kompetenzen zeigen sich in einer konkreten Anwendung (praktisches Tun) -> Problemlösen Wissen (Kenntnis) & Können Kompetenzen in den Bildungsstandards Inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen fl fi  Bildungsstandards – Funktionen, Möglichkeiten, Grenzen PISA 2000: Programme for International Student Assessment Programm zur zyklischen Erfassung basaler Kompetenzen der nachwachsenden Generation umfassende und differenzierte Vergleichsuntersuchung von Schüler:innen (ca. 50.000 SuS in Deutschland) Getestet wurden 15-jährige Schüler:innen (in Deutschland also Neuntklässler:innen) bzgl. ihrer Lesekompetenzen, der mathematischen und naturwissenschaftlichen Grundlagen Zudem wurden ihre familiären Lebensverhältnisse und die Bildungsbeteiligung erhoben Schwerpunkt: keine Regelbeherrschung, sondern das Verständnis von Mathe in unterschiedlichen Kontexten Erfassungsmethode: standardisierte Tests aus einer Mischung aus Multiple-Choice-Aufgaben und offenen Fragen Der PISA-Schock: Deutschland hat im unteren Mittelfeld abgeschnitten! -> 15 Jährige auf Grundschulniveau Stufen der mathematischen Grundbildung (5 Kompetenzstufen) 1. Stufe: Rechnen auf Grundschulniveau 2. Stufe: Elementare Modellierungen 3. Stufe: Modellieren und begrif iches Verknüpfen auf dem Niveau der Sek. I 4. Stufe: Umfangreiche Modellierungen auf der Basis anspruchsvoller Begriffe 5. Stufe: Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren IGLU-E-Studie - Vergleichsuntersuchung in der Grundschule Untersuchung der mathematischen und naturwissenschaftlichen Kompetenzen sowie der Kompetenzen im Rechtschreiben und im Verfassen von Aufsätzen erweitert. 4. Klasse Ergebnis: Deutschland oberhalb des internationalen Mittelwerts Konsequenzen aus den schlechten Ergebnissen in den Vergeichsstudien Von der Input- zur Outputorientierung -> Lehrplan gibt Zielkompetenzen für 2 Jahrgangsstufen zusammen an Formulierung von zu erreichenden Kompetenzen in den Bildungsstandards Verschiedene weitere Schulleistungsstudien Vergleichsarbeiten Schulinspektion zur externen Evaluation Funktionen der Bildungsstandards Entwicklungsfunktion: neue Themen werden Eingeführt Überprüfungsfunktion: Einblick in die Schule, Klassen, SuS, Lehrerinteraktion Vorteile von Bildungsstandards Bildungsstandards können wichtige Orientierungshilfen für Lehrerinnen, Schüler:innen (sowie für die Eltern) sein, und zwar in dreifacher Hinsicht: sie beinhalten die für wesentlich erachteten mathematischen Grundkompetenzen eine Fokussierung auf allgemeine Kompetenzen kann zu einer verbesserten Lernkultur, einer höheren Eigenmotivation der Kinder, einer „Kultur des Erforschens, Entdeckens und Erklärens" beitragen Tests zu Leistungsstandards erlauben eine fundierte Einschätzung des Entwicklungsstandes eines Kindes im Vergleich zum vorgegebenen normierten Standard wie auch zum erreichten Entwicklungsniveau der Mitschülerinnen sowie eine Analyse des individuellen Fortschrittes eines Kindes. fl Gefahren und Grenzen von Bildungsstandards Bildungsstandards entsprechen Durchschnittsnormen, die nicht auf die individuellen Besonderheiten eines Kindes abgestimmt sein können. Allgemeine mathematische Kompetenzen, z.B. Problemlösekompetenzen oder Kreativität, lassen sich prinzipiell kaum oder nicht eindeutig mit Punkten bewerten bzw. benoten. Stabile Lernfortschritte hinsichtlich allgemeiner Kompetenzen stellen sich meist erst im Ergebnis kontinuierlichen längerfristigen pädagogischen Wirkens ein (Gefahr, dass kurzfristig ober ächliche Erfolge angestrebt werden) Regelmäßige Lernstandserhebungen, auch gemäß den drei Anforderungsbereichen der Bildungsstandards, sind natürlich keine Garantie für das Erreichen der Standards. Die Unterscheidung der 3 Anforderungsbereiche kann Lehrkräften zwar eine einfach zu realisierende Hilfe für differenzierendes Lernen sein, allerdings nur sehr eingeschränkt auf eine Differenzierung gleicher Lernthemen auf 3 (I) verschiedenen Lernniveaus. Den Individuellen Zugängen der Kinder zu mathematischen Themen, ihren unterschiedlichen Denkstilen und Herangehensweisen beim Aufgabenlösen, ihren verschiedenen Präferenzen bei der Nutzung von Anschauungsmitteln, bzgl. sozialer Lernformen u.v.a.m. kann mit einer Vorgabe von 3 Niveaustufen aber kaum oder gar nicht entsprochen werden. Allgemeine mathematische Kompetenzen: Prozessbezogene Kompetenzen: Problemlösen mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden, Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisch probieren), Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen. Kommunizieren: eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber re ektieren, mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden, Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten. Argumentieren: mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen, mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln, Begründungen suchen und nachvollziehen. Modellieren: Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen, Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen, zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren Darstellen von Mathematik für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen, eine Darstellung in eine andere übertragen, Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten. (Sprache, Bilder, Mathematiksprache, Handlungen) fl Anforderungsbereich der Bildungsstandards Bereich 1: Reproduzieren ○ Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungsweg ist in der Regel einschrittig. ○ 734-218 mithilfe der schriftlichen Subtraktion Bereich 2: Zusammenhänge herstellen ○ Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen. Der Lösungsweg umfasst in der Regel mehrere Schritte. ○ 734-?=218 -> abstrahieren Bereich 3: Verallgemeinern und re ektieren ○ Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern ○ Die Kinder sollen die Aufgaben nicht nur lösen, sondern besondere Rechenbeziehungen entdecken, diese verallgemeinernd beschreiben und begründen. fl  Lernkonzepte für den Mathematikunterricht der Grundschule Lernkonzepte für den Mathematikunterricht der Grundschule: Die „traditionelle Rechendidaktik“: prinzipiell fraglich, wie bei einem kleinschrittigen schwierigkeitsgestuften gemeinsamen „Voranschreiten“ mit allen Kindern deren individuell Stofforientiertheit -> keine Kindorientierung unterschiedlichen Lernvoraussetzungen und Lernstilen entsprochen werden kann Stoffdidaktisch und kleinschrittig strukturierter Aufbau Lehrer:innenzentriertheit -> Frontalunterricht, Lehrer:in sagt ob richtig +: = S # relativ leicht erlernbar „kalkulierbares Risiko“ Erlaubt kurzfristig nachweisbare Erfolge Das Konzept des aktiv-entdeckenden Lernens: Besonders geprägt durch Wittmann & Müller Theoretische Basis: konstruktivistischer Ansatz (Lernen als ein subjektiver und aktiv-konstruktiver Prozess) Förderung der Eigenaktivität jedes Kindes ganzheitliche Erschließung größerer Stoffeinheiten Ausgangspunkt des Lernens ist das jeweils vorhandene Vorwissen der Kinder Eigendynamik von Lernprozessen und natürliche Differenzierung Veränderte Rolle der Lehrkraft (z.B. initiieren, begleiten, helfen) gründlich erprobte und vielseitig einsetzbare Lernmittel (Zwanzigerfeld, Hunderterfeld, „1+1“-Tafel,„1x1“-Tafel, Tausenderbuch) +: Soziale Komponente: Kinder stehen im Austausch Kinder als Mitverantwortliche am Lernprozess Förderung individuellen bzw. differenzierenden Lernens Lernen in Sinnzusammenhängen (Aufbau von stabilen Wissensnetzen) einsichtiges Lernen konstruktiver Umgang mit Fehlern von Kindern Das Konzept des schriftlich-re ektierenden Mathematiklernens Spezi sche Ausprägung und Weiterentwicklung des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen Besonders geprägt durch Gallin und Ruf; sehr starke Kindorientierung Aufbau mathematisch korrekter Kenntnisse und Fähigkeiten bei Zulassen und Fördern subjektiv einzigartiger Zugänge zur Mathematik Angebot offener und komplexer Situationen, die zentrale Themen des Mathematikunterrichts beinhalten („Kernideen“); das Kind entwickelt hierzu individuelle Sinnkonstruktionen Jedes Kind schreibt sein individuell geprägtes Lernjournal/„Reisetagebuch“ durch feinfühlige Rückmeldungen neue Denkprozesse bei den Kindern anregen fi fl Das Konzept des interaktiv-argumentierenden Mathematiklernens enthält viele „Elemente“ des aktiv-entdeckenden Lernens Organisationsstruktur in vier Lernsequenzen Darstellung des Lernthemas in einer detaillierten Aufgabensequenz Gemeinsame Bearbeitung der vorgegebenen Aufgabensequenzen in Kleingruppen (dabei freie Wahl der Lösungswege, der Lösungsdarstellung und der Lernmittel) Einführung geeigneter Hilfsmittel in Kleingruppen Auswertung der Lösungen in einem lehrkraftgelenkten Klassengespräch +: Überwindung kleinschrittigen Vorgehens Offenheit und Komplexität der Aufgaben Förderung kooperativen Lernens und zugleich individueller Lösungswege Betonung der sozialen argumentativen Dimension (konstruktiver Meinungsstreit über verschiedene, originelle, elegante,... Lösungswege) konstruktiver Umgang mit Fehlern von Kindern Das Konzept des individualisierenden Mathematikunterrichts knüpft vor allem an Erfahrungen zum jahrgangsübergreifenden Unterricht, zum individualisierten Unterricht und zum reformpädagogisch orientierten Unterrichts an Hauptfokus: individuelle Förderung jeden Kindes Selbstständiges Erarbeiten, Üben und Anwenden mathematischer Lernthemen (häu g alleine, aber auch phasenweise Partner- oder Gruppenarbeit) Jedes Kind entscheidet selbst über den Gebrauch von Lernmitteln, über das Lerntempo, über die Reihenfolge der Aufgabenbearbeitung, über Lösungswege und über Lösungendarstellungen. Häu g gibt es Selbstkontrollmöglichkeiten Lehrkraft analysiert gemeinsam mit dem Kind die Lernergebnisse und steht unterstützend zur Seite +: individuellen Förderung jeden Kindes entsprechend seiner Potenziale und Bedarfe Förderung selbstbestimmten und eigenverantwortlichen Lernens aller Kinder kontinuierliche Erfassung des Leistungsstandes relativ entspannte Lernatmosphäre im Schulalltag Hauptströmungen des Grundschulmathematikunterichts in der Gegenwart fi Merkmale der gegensätzlichen Grundpositionen nach Winter Lernen durch Belehrung (Passivistische Grundposition) Die Lehrperson verlässt sich auf Methoden des Vormachens/Erklärens. sieht die Schüler und Schülerinnen als Objekte der Belehrung, die geformt werden müssen. versteht sich als Wissensvermittler. geht kleinschrittig vor und baut auf die Isolation von Schwierigkeiten. bietet neuen Stoff dar oder präsentiert ihn im fragend-entwickelnden Unterricht. gibt Hilfen als Hilfen zur Produktion der erwarteten Antwort. versucht nach Kräften, das Auftreten von Fehlern zu vermeiden. erwartet primär korrekte Resultate. Lernen durch Entdeckenlassen (Aktivistische Grundposition) Die Lehrperson setzt auf herausfordernde Aufgaben und Eigenaktivität der Schüler und Schülerinnen. sieht die Schüler und Schülerinnen als Subjekte, die ihren Lernprozess mit steuern können. fühlt sich für die Gesamtentwicklung der Kinder verantwortlich. macht Beziehungsreichtum der Lerninhalte sichtbar. ermuntert zum Beobachten, Fragen, Probieren, Erkunden, Darstellen,... gibt Hilfen als Hilfen zum Selber nden. versucht, Fehler gemeinsam mit den Lernenden zu analysieren. thematisiert Lösungswege. fi  Mathematikdidaktische Prinzipien für die Gestaltung des Mathematikunterrichts Didaktische Prinzipien: sind theoretische Grundsätze bzw. Grundpositionen einer Theorie, sind prinzipielle, also durchgängige Leitvorstellungen des Lernens und Lehrens sind entweder aus umfassenderen Lehr-Lern-Theorien abgeleitet worden oder aus langer schulischer Unterrichtserfahrung bzw. methodischer Tradition entstanden. versuchen, die in lern- und entwicklungspsychologischen Theorien gewonnenen Erkenntnisse für das (Mathematik-)Lernen im Unterricht fruchtbar zu machen und dadurch eine Orientierung für das Unterrichtshandeln anzubieten Dienen zur Orientierung bei: der Stoffauswahl und -gliederung, der Planung und Durchführung von Mathematikunterricht, der Auswahl und Gestaltung von Übungs-, Aufgaben- und Beispielmaterialien Piaget: Schweizer Kinderarzt, Psychologe und Philosoph J. Piaget (1896–1980) das Kind entwickelt im Wechselspiel von eigenen Aktivitäten und Umweltveränderungen ständig kognitive Schemata, mit denen es immer wieder ein Gleichgewicht zwischen der Umwelt und sich selbst zu erreichen versucht. Streben eines Kindes nach einem Gleichgewichtszustand = kognitive Äquilibration Assimilation (Anpassung & Verarbeitung) und Akkomodation (Lernverhalten verändern, aufgrund von Unstimmigkeit) => Piagets Stufentheorie der kognitiven Entwicklung 1. Sensomotorische Phase (bis 2 Jahre): Erwerb zahlreicher Handlungsschemata 2. Präoperationale Phase (bis 7 Jahre): zunächst vorbegrif iches, dann anschauliches Denken; Denken ist an Handlungen gebunden 3. Konkret-operationale Phase (bis 11 Jahre): Denken an Vorstellungen gebunden 4. Formal-operationale Phase (ab 11 Jahre): Denken wird hypothetisch, deduktiv Kritik an Piagets Theorie Altersangaben umstritten, aber Anhaltspunkte Empirische Absicherung umstritten Laborgeruch Fragestellungen erscheinen gelegentlich lebensfern Verbale Komponente der Versuchsfragestellungen Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis von Piagets Theorie: Prinzip des aktiven Lernens: Die Kinder sollen sich den Lernstoff im Unterricht aktiv erarbeiten. Hierzu muss der Unterricht an der vorliegenden kognitiven Struktur der Lernenden ansetzen und die Lernthemen müssen für die Kinder verständlich aufbereitet sein. —> Keine Über- oder Unterforderung sondern passgenaue Anpassung der Lerninhalte Integrationsprinzip: Die Themen des Mathematikunterrichts sollen in inhaltliche Beziehungsnetze integriert werden, d.h. das Lernen erfolgt in Zusammenhängen. fl  Prinzip der Redunanz: Kinder sollen neue Lerninhalte in Situationen kennen lernen, bei denen nur einzelne Aspekte bzw. Elemente wirklich neu sind, sodass eine Einbindung des neuen Wissens in bereits vorhandenes Wissen erfolgen kann. Prinzip der Isolierung der Schwierigkeit: Komplexe Handlungsfelder sollen so reduziert werden, dass Schüler:innen nur einzelne, für sie überschaubare und von ihnen zu leistende Teilhandlungen zu bewältigen haben. Auf diese Weise soll allen Kindern Erfolgserlebnisse beim Lernen ermöglicht werden. —> nur eine Schwierigkeit und nicht mehrere Prinzip der Stabilisierung: Wissen und Fähigkeiten müssen von Zeit zu Zeit in neuen, anregenden Kontexten wieder geübt und angewendet werden, damit sie sich stabilisieren. Operatives Prinzip: Mathematische Begriffe, Techniken u.a. sollten v. a. im Grundschulalter mithilfe von Handlungen erarbeitet werden. „Operative“ Begriffe müssen daher im MU auf die sie begründenden Handlungen zurückgeführt und zu Operationen verinnerlicht werden. Beim so genannten operativen Durcharbeiten eines Themas kommt es darauf an, vielfältige Zusammenhänge und Beziehungen herzustellen (operatives Üben). Die Theorie der Darstellungsebenen nach Bruner Die Denkentwicklung vollzieht sich nicht in zeitlich aufeinander folgenden Denkstadien, sondern parallel auf den verschiedenen Darstellungsebenen. Das Denken eines Kindes ist dann besonders fortgeschritten, wenn es in neuen Erkenntnisprozessen in der Lage ist, exibel eine Darstellungsebene auszuwählen und das Erkannte dann ebenso exibel auf andere Darstellungsebenen übertragen kann. Denkentwicklung ist nach Bruner eine immer bessere Koordination zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiligung der Sprache) intermodaler Transfer Bruner unterscheidet drei Darstellungsebenen (Repräsentationsmodi): Die enaktive Ebene (Erkenntnisgewinn durch eigene Handlungen mit konkretem Material) Die ikonische Ebene (Erkenntnisgewinn durch angeschaute oder vorgestellte Bilder bzw. Gra ken) Die symbolische Ebene (Erkenntnisgewinn durch Verwendung von Sprache oder mathematischen Zeichen). Voraussetzungen für die exible Wahl der Darstellungsebene Kinder müssen die für einen bestimmten Gegenstandsbereich charakteristischen Lernaktivitäten auf jeder der Darstellungsebenen kennen gelernt haben Kinder müssen zu aktiven Wechseln der Darstellungsebene angeleitet werden; speziell formulierte Arbeitsanweisungen können dabei helfen. Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis von Bruners Theorie Spiralprinzip: Grundlegende Begriffe u.a. sollten im MU in mehreren Durchgängen auf jeweils verschieden hohem Niveau bearbeitet werden, wobei jeweils Darstellungsmittel, Sprache und didaktische Modelle verwendet werden, die dem Entwicklungsstand der Schüler:innen angemessen sind. Das Wissen zu einem Lernthema wird schrittweise (spiralförmig) entwickelt. —> immer komplexer und schwieriger, neues baut auf altem auf —A> fl fl Variationsprinzipien: Prinzip der Variation der Veranschaulichung auf der Ebene der Begriffsrepräsentation durch intermodalen Transfer (Wechsel zwischen enaktiv – ikonisch – symbolisch) oder intramodalen Transfer (Wechsel innerhalb einer Darstellungsebene). Prinzip der Variation des didaktischen Modells (so genannte Mehrwegmethode): Erarbeitung eines mathematischen Begriffs u.a. nicht nur über ein didaktisches Modell, sondern über verschiedene. Prinzip der mathematischen Variation, wobei das für einen mathematischen Begriff Wesentliche erhalten bleibt, die unwesentlichen Variablen aber variiert werden können. Die Theorie von Wygotski: Psychologe Lew Wygotski (1896-1934) gilt als sowjetischer „Vater der Psychopathologie und Sonderpädagogik“ seine Theorien spielen in der derzeitigen amerikanischen Frühpädagogik oder in der Fremdsprachendidaktik eine wesentliche Rolle „Zone der nächsten Entwicklung“ = jener Bereich der Entwicklung von Leistungseigenschaften (Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnissen) und Verhaltenseigenschaften, der unmittelbar vom bestehenden Ausgangsniveau aus im nachfolgenden Entwicklungsschritt erreicht werden kann, wenn die notwendige Anleitung, Anregung oder Hilfe gegeben wird; reicht über die „Zone der aktuellen Leistung“ (jene Leistungsmöglichkeiten, die ein Kind in seiner bisherigen Entwicklung erworben hat und selbstständig beherrscht) hinaus Mathematikdidaktische Prinzipien auf der Basis von Wygotskis Theorie Prinzip eines steten Einplanens und Anregens der Zone der nächsten Entwicklung jedes Kindes: bei der didaktischen Aufbereitung eines Lernthemas ein solches Anspruchsniveau „vordenken“, das die Kinder herausfordert und ihnen einen Erkenntniszugewinn ermöglicht erfordert von der Lehrkraft beim Zusammenstellen von Aufgaben das Erkennen und Nutzen mathematischer Sinnzusammenhänge. Unter- und Überforderungen müssen vermieden werden die Organisation eines differenzierenden und individuellen Lernens ist notwendige Voraussetzung (prinzipiell geeignete Organisationsform: offene Aufgaben mit Möglichkeiten der „natürlichen Differenzierung“) Weitere mathematikdidaktische Prinzipien Genetisches Prinzip Prinzip des exemplarischen Lernens Prinzip der Orientierung an Grundideen Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens Prinzip der fortschreitenden Schematisierung ○ Einstieg über konkrete Sachkontexte und Sachaufgaben, die den Kindern ein erstes inhaltliches Verständnis der Anforderungen an das Rechnen, ggf. auch erste gangbare Vorgehensweisen beim Rechnen ermöglichen, ○ Konfrontation mit komplexen Anforderungen, die den Kindern im Sinne eines ganzheitlichen Lernens ein Erfassen aller wesentlichen inhaltlichen Aspekte erlauben, ○ Entwicklung informeller Rechenstrategien, womit ein individueller verständnisvoller Zugang jedes Kindes gefördert und zugleich ein kommunikativer Austausch über verschiedene informelle Strategien angeregt wird, ○ fortschreitende Schematisierung, womit der individuelle Prozess zunehmender Verallgemeinerung, Abstraktion, Verkürzung, Optimierung und Annäherung an übliche Konventionen gemeint ist Kritik an mathematikdidaktischen Prinzipien Didaktische Prinzipien können wichtige Orientierung sein Aber es gibt auch Grenzen und Kritiken: Die Wirkung und die Relevanz mathematikdidaktischer Prinzipien sind bislang empirisch kaum untersucht. Didaktische Prinzipien sind oft nicht eindeutig. Bei einer Generalisierung didaktischer Prinzipien besteht die Gefahr, dass die individuellen Unterschiede der Kinder einer Lerngruppe außer Acht gelassen werden. Einige didaktische Prinzipien widersprechen einander.  Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts Der Übergang von der Kita zur Grundschule Von einem erfolgreichen Übergang wird gesprochen, wenn das Kind sich emotional, psychisch, physisch und intellektuell angemessen in der Schule präsentiert. […] Das Kind ist dann ein kompetentes Schulkind, wenn es sich in der Schule wohlfühlt, die gestellten Anforderungen bewältigt und die Bildungsangebote für sich optimal nutzt.“ Die Transition geht nicht nur vom Kind aus, sondern ist ein Ko-Konstruktiver Prozess und bezieht alle sozialen Kontakte & Instanzen des Kindes mit ein. „Unter Berücksichtigung der zu bewältigenden vielschichtigen Entwicklungsaufgaben kann ein Übergang u. E. dann als gelungen abgeschlossen eingeschätzt werden, wenn alle Entwicklungsaufgaben von den Akteuren des Übergangsprozesses so bewältigt wurden, dass sich das Kind mit der Rolle des Schulkindes authentisch identi zieren kann, sich wohlfühlt und mit seiner gesamten Persönlichkeit in der Schule wahrgenommen und wertgeschätzt wird, was eine individuelle Förderung entsprechend seinen individuellen Potenzialen und Bedarfen einschließt.“ Aus mathematischer Perspektive: Wittmann u. a. bemängeln etwa, „dass im Kindergarten erworbene Vorkenntnisse im Anfangsunterricht nicht entsprechend gewürdigt und aufgegriffen werden, weil sie auch nicht erwartet werden, was im Hinblick auf kontinuierliche Bildungsprozesse und damit die Anschlussfähigkeit speziell für leistungsstärkere Kinder kritisch zu sehen ist“ (Wittmann et al. 2016, S. 149). Besonderheiten des Schulanfangs Der Schulanfang – für Kinder ein besonderes Ereignis mit markanten Veränderungen: ○ Einerseits neuer sozialer Status „Schüler:in“ und große Chancen für die Kinder, schnell lesen, schreiben, rechnen,... zu lernen ○ Andererseits Übernahme täglicher P ichten, Verbringen eines Großteils der Tageszeit in der fremden Institution „Schule“ —> dürfen nicht vorausgesetzt werden Arithmetische Vorkenntnisse: Resulatives Zählen: 20 geordnete Klötze abzählen 58%, 20 ungeordnete Klötze abzählen 49%, 17 Klötze rückw. zählen 32% Ziffernkenntnisse: ○ mehr als drei Viertel aller Kinder konnte alle Ziffern von 0 bis 9 richtig lesen ○ das Schreiben der Ziffern fällt den Kindern schwerer. Im Durchschnitt kann ein Kind zu Schulbeginn fünf bis sechs Ziffern richtig schreiben. Vergleich: ohne Ansicht wissen, dass 13 Bonbons mehr als 9 sind 69%; die Augensumme von zwei Würfeln zusammenzählen 51%; Vergleich von bis zu 5 Objekten durch Simultanerfassung 81%. Addition und Subtraktion: Zahlreiche Kinder sind vor Eintritt in die Schule auch schon in der Lage, einfache Additions- und Subtraktionsaufgaben zu bewältigen. fi fl  Dies gilt vor allem, wenn die Aufgabenstellung in einen Handlungskontext eingebunden ist, der den Kindern vertraut ist. Dabei werden Aufgabenstellungen, bei denen Kindern Material bzw. Bilder angeboten werden, die ein Zählen erlauben, in der Regel deutlich besser gelöst als rein verbal gestellte Aufgaben. Größen/ Messen: Sie konnten bei etwa der Hälfte der Kinder feststellen, dass bei den Längen eine Vorstellung des Messens im Sinne eines lückenlosen Abtragens eines Repräsentanten am zu messenden Gegenstand vorhanden war. Bei den anderen Größenbereichen, etwa bei der Zeit, zeigten sich deutliche Schwierigkeiten. Didaktisch-methodische Orientierungen für den math. Anfangsunterricht der Geist eines Kindes ist kein unbeladenes Schiff, dass mit einem Trichter befüllt werden kann Stattdessen müssen die Lernenden „mathematische Begriffe in einem fortlaufenden sozialen Prozess rekonstruieren, in einem Prozess, bei dem sich elementare und nur teilweise ef ziente kognitive Strukturen, die zudem mit Fehlvorstellungen durchsetzt sind, allmählich hin entwickeln zu differenzierteren, klaren und miteinander verknüpften Strukturen, die sich immer besser zum Problemlösen eignen“. An Vorkenntnisse und Lernerfahrungen anknüpfen (z.B. im arithmetischen Bereich: Zahlwörter, Zählen, Lesen und Schreiben von Zahlen) gründliches Erfassen und Analysieren der Vorkenntnisse aller Schulanfänger in den ersten Schulwochen Neue Lerninhalte sollen in inhaltliche Beziehungsnetze integriert werden (Integrationsprinzip) Große Bedeutung von Handlungen, bildlichen Darstellungen und kommunikativen Prozessen Prozess der Verinnerlichung, Flexibler Wechsel zwischen den Darstellungsebenen (Darstellungsvernetzungen) Verschiedene Materialien/Anschauungsmittel haben wichtige Funktion im math. Anfangsunterricht differenzierendes Lernen vom ersten Schultag an eine ganzheitliche Erarbeitung des Zahlenraums bis 10 bzw. bis 20 in einem ersten Stoffkomplex ein behutsames, aber konsequentes Auseinandersetzen mit fehlerhaften bzw. scheinbar fehlerhaften Vorkenntnissen, Strategien, Automatismen von Schulanfänger:innen. Anknüpfen an die Vorkenntnisse im mathematischen Anfangsunterricht Vorkenntniserhebungen aus Handreichungen für Lehrkräfte zu verschiedenen Schulbüchern Klinische Interviews Klassenarbeiten Schulleistungstests und standardisierte Tests Diagnostische Aufgabensätze Eigene Erhebungsmethoden Auswertung: nur Punktwerte (richtig – falsch), Analyse der Vorgehensweisen Subjektive Zahlauffassungen (nach Käpnick) Subjektive Zahlauffassungen von Grundschulkindern stehen oft in einem engen Zusammenhang mit ○ ihren sehr verschiedenen Alltagserfahrungen (Zahlenmuster auf Telefonen, Automaten, Kleidungsstücken, Postern oder Punktbilder auf Spielwürfel) ○ ihren offenen kindlichen Fantasien (z.B. Anordnung der Zahlen wie Spielzeug im Kinderzimmer) Während der gesamten Grundschulzeit haben fast alle Kinder Lieblings- und Pechzahlen, viele Kinder assoziierten Zahlen mit bestimmten Personen, Gegenständen, Ereignissen und mit Farben. Diese Zuordnungen sind aber meist instabil und individuell verschieden. Subjektive Zahlauffassungen von Grundschulkindern beein ussen die Motivation vieler Kinder beim Lernen im MU. Das Verwenden der Lieblingszahl eines Kindes kann dessen Lust und Interesse beim Schreiben von Ziffern im 1. Schuljahr oder beim Rechnen in allen Schuljahren sehr steigern, während demgegenüber z.B. das Rechnen mit einer „Pechzahl“ motivationshemmend sein kann. Tendenziell gibt es nur z.T. Zusammenhänge zwischen subjektiven Zahlauffassungen und der mathematischen Leistungsfähigkeit von Kindern. fi fl Fingerrechnen – ein Phänomen im Grundschulalter Gründe für die Benutzung der Finger beim Rechnen: Die Finger sind im Allgemeinen immer vorhanden. Das Rechnen mit Fingern ist ein visuelles Operieren. Beim Fingerrechnen können Kinder günstig an Zählstrategien anknüpfen. 10 Finger sind die am leichtesten zugängliche Form der Repräsentation der Zahlen 0 bis 10. Schon Vorschulkinder benutzen die Finger zum Zählen und Rechnen. Fingerrechnen ist im Zahlenraum bis 10 bzw. 20 meist erfolgreich. Zählen mit Fingern ist als rhythmische Aktivität unter Kindern beliebt. Probleme beim „Fingerrechnen“ von Kindern einseitige Betonung des Ordinalzahlaspektes z.T. umständliches und fehleranfälliges Rechnen beim Addieren über 10, beim Subtrahieren (Rückwärtszählen) und beim Analogierechnen (z. B. 8 + 7 →18 + 7) Fingerrechnen als „verführerische Bequemlichkeit“ verzögert evtl. die Entwicklung abstrakten und strukturellen Denkens. Fingerrechnen verzögert bzw. verhindert z.T. die Entwicklung von Kreativität, das Erkennen von Zusammenhängen beim Rechnen. In höheren Zahlenräumen beeinträchtigt das Fingerrechnen die Schnelligkeit, Ökonomie und Ef zienz beim Rechnen. Empfehlungen zum Umgang mit Fingerrechnern Fingerrechnen sollte als ein normales, meist schnell vorübergehendes Übergangsstadium im GS-Alter angesehen werden. Für viele Kinder scheint das Fingerrechnen – zumindest eine gewisse Zeit lang - eine notwendige Zwischenstufe auf dem Weg zu einem verständigen und sicheren Rechnen hin zu sein. Fingerrechnen sollte nicht verboten oder ignoriert, sondern genau beobachtet und analysiert werden. Fingerrechner sollten behutsam zur verstärkten Nutzung anderer effektiverer Rechenstrategien geführt werden, z.B. durch Reduktion des optischen Kontaktes, der motorischen Grundlage, der sprachlichen Begleitung der Fingerhandlungen und durch verstärktes Anbieten von Strichlisten, Mengenbildern u. Ä. m. Mathematische Problemlöseprozesse bei Grundschulkindern Was ist eine Problemaufgabe? Unter dem Lösen einer Problemaufgabe versteht man im Allgemeinen das (mehr oder weniger) selbstständige Bearbeiten einer Aufgabe, bei der dem Bearbeitenden nicht sofort ein Weg zur Lösung der Aufgabe klar ist. Eine Problemaufgabe ist durch 3 Komponenten gekennzeichnet: ○ einen Anfangszustand, ○ einen erwünschten Endzustand, ○ eine Barriere, die die Transformation vom Ausgangszustand in den Endzustand zunächst verhindert Routine- vs. Problemaufgabe Typen mathematischer Problemaufgaben Problemaufgaben mit klarer Zielstellung und (dem Bearbeitenden) grundsätzlich bekannten Mitteln, aber fehlender Kenntnis eines geeigneten Lösungsweges Problemaufgaben mit klarer Zielstellung, aber z. T. fehlenden Mitteln (Sach-, Verfahren-, Methodenwissen), um die Aufgabe lösen zu können Komplexe Problemaufgaben bzw. Problemfelder mit einer nur vagen Zielstellung und mit einer ungeklärten Nutzung von bekannten, weniger oder noch nicht bekannten Mitteln —> Warum werden Problemlösekompetenzen Lernpotenziale des Problemlösens im Mathematikunterricht im MU behandelt? Phasen des Problemlösens nach Polya (1967) Phase 1: Verstehen der Aufgabe -> normatives und lineares Modell Der Lernende soll hier geeignete Fragen stellen und überlegen, ob das Problem überhaupt lösbar ist. Eine erste Visualisierung könnte z. B. weiterhelfen. Phase 2: Ausdenken eines Plans Bekannte Strategien werden betrachtet und auf Nutzbarkeit untersucht. Phase 3: Ausführung des Plans Jeder Schritt der Problemlösung soll auf mathematische Richtigkeit kontrolliert werden. Phase 4: Rückschau Die Lernenden sollen ihre Problemlösung re ektieren und die verwendete Methode für kommende Probleme nutzen. fl Phasen des Problemlösens auf der Basis der emotionalen Intelligenzforschung 1. Vorbereitung 2. Inkubationszeit 3. Zufallsgelenkte Tagträume 4. Eingebung Heuristische Strategien: Grundschulkinder lösen mathematische Problemaufgaben das Tun von Kindern ist im hohen Maße Problemlösen. Kinder gehen meist unbekümmert, spontan und fantasiereich an das Lösen von Problemaufgaben heran und entwickeln auf (für Erwachsene) originelle, mitunter auch eigenwillige Weise Lösungswege. Problemlösestile bei Grundschulkindern (nach Fuchs 2006) Intuitives Erahnen einer Problemlösung bzw. intuitives Herantasten an eine Lösung Hartnäckiges Probieren Abwechselndes Probieren und Überlegen Systemhaftes Vorgehen (Herleiten, Erklären,...) der Problemlösung auf der Basis erkannter Strukturen „Mischtyp“ Anforderungen an den Einsatz mathematischer Problemaufgaben  Üben im Mathematikunterricht der Grundschule Üben – ein Hauptbestandteil jeglichen Mathematikunterrichts Einprägen von und exiblen Umgehen mit grundlegenden Wissenselementen, der Befähigung zum souveränen Ausführen und vielfältigen Anwenden von Arbeitstechniken, Methoden, Verfahren usw. bis hin zum Herausbilden von Fertigkeiten, also automatisierten Handlungsabläufen einiger fundamentaler Tätigkeiten Beitrag zur Förderung allgemeiner kognitiver bzw. prozessbezogener Kompetenzen sowie zur Stärkung der Persönlichkeitsbildung (z. B. Förderung des Selbstkonzepts, Schulung der Konzentrations- und Ausdauerfähigkeiten) Aufgrund der vielschichtigen Verwobenheit der meisten mathematischen Lernthemen und der zum Teil hierarchischen Struktur der Inhalte im Mathematikunterricht (insbesondere in der Arithmetik) kommt dem Üben sogar ein besonders hoher Stellenwert zu (wiederholtes bearbeiten gewisser Aufgabenformate). Üben im Sinne der traditionellen Rechendidaktik Dahinter stehende Theorien: Mathematik als ein Fertigprodukt, das von außen vorgegeben ist Ziel: Festigung des Wissens durch Training von Fertigkeiten und von der Lehrkraft – in kleinen Schritten zubereitet – den Große Zahl gleichförmiger Übungsaufgaben Kindern verabreicht wird; Prinzip der Isolierung der Schwierigkeit; behavioristischen Sichtweise (Trichterprinzip) Fremdkontrolle der Lösung (Lehrkraft) erst nach einer expliziten Phase der Einführung schließt sich die Phase der Übung an, die auf die geläu ge und fehlerlose Verfügbarkeit abzielte (Vertiefung) Zur Motivationssteigerung teilweise sachfremde Einkleidungen der Aufgaben (z.B. „Malen nach Zahlen“) Reproduktion und Quantität (Keine Zusammenhänge zwischen Aufgaben) Kritik an der traditionellen Übungspraxis Gefahr des nur gedankenlosen Einübens von nur ober ächlich Gelerntem Verleitung zu einer eher passiven Lerneinstellung der Kinder (kein entdecken nur rechnen) Zersplitterung des Unterrichts führt zu einer entsprechend kurzfristigen Lernperspektive und Behaltensleistung Vernachlässigung allgemeinen mathematischen Kompetenzen kleinschrittiges Üben bietet wenig Möglichkeiten zum Erkennen, Beschreiben und Begründenvon Mustern und Strukturen und zur P ege der mündlichen und schriftlichen Ausdrucksfähigkeit der Kinder „Klassische“ Übungsformen nach Radatz/ Schipper (1983) Theoretischer Hintergrund ist auch wichtig! -> Nähe zu Sachaufgaben -> Spielerische Funktion fl fl fl  Automatisierendes Üben ABER: verständnisvolles Erarbeiten muss vorangehen; automatisierend üben kann man nur sinnvoll und effektiv, was man vorher verstanden hat Vorzüge / Hauptziele: Gefahren: Entlastung des Gedächtnisses (Routine & Sicherheit) Langeweile Ermöglichung der Konzentration auf die Erarbeitung neuer Lernthemen Falsche Regelbildung Vernachlässigung der Bedeutung von und der Zusammenhänge zu anderen Lernthemen Herausbildung starrer Lösungsschemata Gestuftes Üben Aufgaben werden immer Schwieriger/ Komplexer Vorzüge: Gefahren: relativ leicht plan- und organisierbar Vortäuschens von Leistungen und Leistungsfortschritten gutes Analyseinstrument Gefahr, dass Kindern inhaltliche Zusammenhänge verloren gehen Problem der eindeutigen Schwierigkeitsstufung (Wann ist etwas schwer?) Differenziertes Lernen nur eingeschränkt möglich Operatives Üben Grundtypen: Tausch-, Probe-, Umkehr-, Nachbar- und Zerlegungsaufgaben Vorzüge: fördert mit den komplexen Anforderungen ein Lernen in Sinnzusammenhängen fördert die Entwicklung prozessbezogener Ziele ermöglicht eine natürliche Differenzierung Allgemeine didaktische Hinweise: mit operativen Übungen von Klasse 1 an beginnen und sie systematisch einsetzen operatives Übungen auch in Form von Spielen durchführen (z.B. Strategiespiele, Legespiele) ein „Grundvertrauen“ in Problemlöse- und Strukturierungskompetenzen aller Kinder haben und ihnen generell Freiräume für individuelle Lösungswege einräumen Üben durch Anwenden erworbene inhaltsbezogene Kompetenzen als „Werkzeug“ beim Lösen von Sachaufgaben üben und anwenden Vorzüge: verbindet mathematische Inhalte mit Anwendungsthemen und kann deshalb, motivations- und sinnfördernd sein (Nähe zur Lebenswirklichkeit) fördert Fähigkeiten zum Lernen in Zusammenhängen (komplexes Denken) Allgemeine didaktische Hinweise: „Üben durch Anwenden“ sollte bei der Behandlung aller Unterrichtsthemen realisiert werden. Es sollten stets ein angemessener Schwierigkeitsgrad und Möglichkeiten differenzierenden Lernens beachtet werden. Kapitäns-, Scherzaufgaben u. ä. sollten einbezogen werden. 10-Minuten-Rechnen Allgemeine Hauptfunktionen: Vorbereitung auf Neueinführungen durch Aktualisierung notwendiger Vorkenntnisse Festigung von gerade Gelerntem Langfristige Wiederholung von grundlegenden Lerninhalten „Auflockerung“ des Unterrichts, Ermöglichung eines konzentrierten Unterrichtsbeginns Allgemeine didaktische Hinweise: Einsatz bekannter, leicht verständlicher Aufgaben möglichst selbstständiges Lösen der Aufgaben Möglichkeiten differenzierenden Lernens nutzen  Kapitänsaufgabe „Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?“ Frage: Welche Lösungen erwarten Sie von Kindern im Grundschulalter? Ziel: Sinnentnehmendes Rechnen (produktives) Üben im Sinne des aktiv-entdeckenden Lernen Dahinter stehende Theorien: Kognitionspsychologie (z.B. Piaget); geht zurück auf Winter, Müller & Wittmann Konstruktivismus; Prinzip des aktiv- Übung als integraler Bestandteil eines aktiven Lernprozesses entdeckendenLernens, das Prinzip des keine scharfe Trennung zwischen den Phasen der Einführung, Übung und Anwendung sozialen Lernens sowie das Prinzip der fortschreitenden Schematisierung Üben durchdringt somit den gesamten Prozess des aktiv-entdeckenden Lernens es wird »entdeckend geübt und übend entdeckt« (Winter 1984, S. 6 f.) Üben hat umfassendere Funktion als beim Üben im Sinne der traditionellen Rechendidaktik Produktivität und Qualität auf eine gemeinsame Förderung inhaltlicher und prozessbezogener Kompetenzen gerichtet mit dem operativen Üben in der Klassi kation der traditionellen Übungsformen vergleichbar, aber Wittmann und Müller betonen die Förderung prozessbezogener Kompetenzen bzw. die Lernpotenziale für das Entdecken, Nutzen und Üben mathematisch substanzieller Zusammenhänge stärker. Das aktiv-entdeckende Lernen fordert ein breites Spektrum von „produktiven“ Übungstypen, das von einführenden Übungen über strukturierte Übungen bis hin zu Automatisierungsübungen reicht. Prinzipiell sollten dabei Inhalte als „beziehungsreiche Ganzheiten“ geübt werden. Unterscheidung von 3 Übungsformen: grundlegendes, produktives und automatisierendes Üben Klassi zierung von Übungsformen nach Wittmann (1992) Automatisierendes Üben (im Sinne des aktiv-entdeckenden Lernen) hat die Funktion, grundlegende Kompetenzen zu allen Inhaltsbereichen zu sichern in der Reihe „Zahlenbuch“ zum Beispiel der „Blitzrechenkurs“ (wird aber einführend auch als grundlegendes Üben genutzt) Substanzielle Lernumgebungen Eine natürliche Erweiterung dessen, was man im Mathematikunterricht traditionell als „gute bzw. substanzielle Aufgabe“ nennt Eine exibel große Aufgabe, die in der Regel aus mehreren Teilaufgaben und Arbeitsanweisungen besteht, die durch bestimmte Leitgedanken verbunden sind Beschreibt im Wesentlichen eine Unterrichtssituation mit Zielen, Inhalten und Vorgehensweisen bzw. Tätigkeiten der Lehrperson wie auch der Lernenden Beispiel Zahlentreppen Unter Zahlentreppen versteht man Summen mit Summanden konstanten Abstands Jede Zahlentreppe ist durch drei Angaben bestimmt: Den Abstand (die Differenz) zwischen den Summanden, die Anzahl der Summanden (die der Zahlentreppe ihren Namen gibt) und dem ersten Summanden, die sogenannte Startzahl fi fl fi  Lern- und Anschauungsmittel im Mathematikunterricht der Grundschule Der Umgang mit Lern- und Anschauungsmitteln „Anschauung ist nicht eine Konzession an angeblich theoretisch schwache Schüler, sondern fundamental für Erkenntnisprozesse überhaupt“ (Winter 1996, S. 9) „Versuch mal, ob du es auch schon ohne Plättchen kannst...“, kann eine implizite Wertung suggerieren Lehrkraft sollte den Gebrauch von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen als Modell vorleben. (z.B. beim Argumentieren) Eine wünschenswerte Einstellung der Kinder gegenüber Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen kann sich nur dann entwickeln, wenn die eingesetzten Materialien das Ausnutzen effektiver Strategien auch wirklich nahelegen Mentale Bildern und mentales Operieren Der Wahrnehmende, also der Lernende, muss sich das Wahrnehmungsobjekt in Form eines aktiven kognitiven Vorgangs aneignen. Es besteht keine direkte, zwingende Verbindung zwischen Wahrnehmungsobjekten oder Veranschaulichungen und dem Denken des Lernenden. Ziel des Einsatzes von Arbeitsmitteln ist der Aufbau von Vorstellungs- oder Anschauungsbildern sowie das mentale Operieren mit ihnen. Diese mentalen Bilder sind kein bloßes Abbild der Sinneswahrnehmung; sie sind maßgeblich beein usst durch zusätzliches Wissen über das Wahrnehmungsobjekt sowie durch die individuellen Wahrnehmungsgewohnheiten und -erfahrungen. Ziel des Einsatzes von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen ist nicht eine schlichte „Vereinfachung“ der Zugänge zu mathematischen Sachverhalten, sondern die Konstruktion und der Ausbau klarer, tragfähiger mentaler Vorstellungsbilder. Selbst wenn die Struktur des mathematischen Sachverhaltes adäquat in einem Arbeitsmittel repräsentiert ist, dann gibt es keinen direkten und zwingenden Weg vom Anschauen des Arbeitsmittels zur gewünschten Verinnerlichung des mathematischen Begriffs. Die Verinnerlichung ist also unabhängig von der Qualität der Arbeitsmittel i. S. der Repräsentanz dieser Strukturen in dem Material. Es ist auch keine Frage der Sehfähigkeit von Kindern oder ihres motorischen Geschicks bei der Handhabung der Arbeitsmittel, denn die relevanten Eigenschaften können nicht einfach abgelesen und dann verstanden werden. Verschiedene Postulate zum Einsatz von Lern- und Anschauungsmitteln ausreichend Zeit einplanen die wesentlichen mentalen Vorstellungsbilder und Operationen werden im 1. Schuljahr ausgebildet (vor allem während der Arbeit im Zahlenraum bis 20) Arbeitsmittel und Veranschaulichungen sind dann für Lernende hilfreich, wenn man sie als relationale Strukturen nutzt, d.h. die enthaltenen strukturellen Beziehungen bewusst in den Blick nimmt. Lern- und Anschauungsmittel sollten sich durch potenzielle Offenheit auszeichnen: es sollten mehrdeutige Interpretationen möglich und zugelassen sein und verschiedene Beziehungen erkundet und genutzt werden bei der Einführung eines neuen Arbeitsmittels sollte den Kindern zunächst eine Phase der freien Exploration eingeräumt wird bewusstes Auswählen einiger weniger, didaktisch wohlüberlegter und sinnvoller Arbeitsmittel und Veranschaulichungen fl Visuelle Strukturierungsfähigkeit Die aktive Wahrnehmung und Deutung erfordert (u. a.) visuelle Strukturierungsfähigkeit (Söbbeke 2005), die weit über das bloße Anschauen oder Hantieren mit Material, Arbeitsmitteln oder Darstellungen hinausgeht. Ebene I: Konkret empirische Deutungen; es dominiert eine Sicht auf Einzelelemente und konkrete Objekte, die weitgehend isoliert nebeneinanderstehen. Ebene II: Zusammenspiel von partiell empirischen Deutungen mit ersten strukturorientierten Deutungen oder mehrteilig relationalen Nutzungsweisen. Ebene III: Strukturorientierte Deutungen mit zunehmender exibler Nutzung von Beziehungen und Umdeutungen. Ebene IV: Strukturorientierte, relationale Deutungen mit umfassender Nutzung von Beziehungen und exiblen Umdeutungen, indem komplexe und umfassende Beziehungen aufgebaut und exible, umfassende Umdeutungen vorgenommen werden. Funktionen von Lern- und Anschauungsmitteln 1. Mittel zur Zahldarstellung 2. Mittel zum Rechnen 3. Argumentations- und Beweismittel Gütekriterien Beurteilung von Lern- und Anschauungsmitteln 1. Wird die jeweilige mathematische Grundidee angemessen verkörpert? 2. Wird die Simultanerfassung von Anzahlen bis fünf bzw. die strukturierte (Quasi-Simultan-)Erfassung von größeren Anzahlen unterstützt? 3. Ist eine Übersetzung in gra sche (auch von Kindern leicht zu zeichnende) Bilder möglich (Ikonisierung)? 4. Werden die Ausbildung von Vorstellungsbildern und das mentale Operieren unterstützt? 5. Wird die Verfestigung des zählenden Rechnens vermieden bzw. die Ablösung vom zählenden und der Übergang zum denkenden Rechnen unterstützt? 6. Werden verschiedene individuelle Bearbeitungs- und Lösungswege zu ein und derselben Aufgabe ermöglicht? 7. Wird die Ausbildung heuristischer Rechenstrategien unterstützt? 8. Wird der kommunikative und argumentative Austausch über verschiedene Lösungswege unterstützt? 9. Ist eine strukturgleiche Fortsetzbarkeit gewährleistet? 10. Ist ein Einsatz in unterschiedlichen Inhaltsbereichen (anstatt nur für sehr begrenzte Unterrichtsinhalte) möglich? 11. Ist ein Einsatz im Rahmen unterschiedlicher Arbeits- und Sozialformen möglich? 12. Ist eine ästhetische Qualität gegeben? 13. Gibt es neben der Variante für Kinderhände auch eine größere Demonstrationsversion? 14. Ist die Handhabbarkeit auch für Kinderhände und ihre Motorik angemessen? 15. Ist eine angemessene Haltbarkeit auch unter Alltagsbedingungen gegeben? 16. Ist die organisatorische Handhabung alltagstauglich (schnell bereitzustellen bzw. geordnet wegzuräumen)? 17. Sind ökologische Aspekte angemessen berücksichtigt? 18. Stimmt das Preis-Leistungs-Verhältnis? fi fl Situationsbilder Darstellungen unstrukturierter Mengen Darstellungen strukturierter Mengen Zehner- und Zwanzigerfeld Hundertertafel, Hunderterfeld Stellenwerttafel Zahlenstrahl Zahlenstrich Mehrsystemblöcke/ Dienesblöcke  Differenzierendes und individuelles Lernen im Mathematikunterricht der Grundschule Heterogene Lerngruppen Studien: große Leistungsunterschiede zeigen sich im Mathematikunterricht bereits bei der Einschulung aber auch im weiteren Verlauf der Grundschule Häu g wird von zunehmender Heterogenität der Lernenden in den letzten Jahren gesprochen; auch zum Beispiel durch inklusiven Unterricht Häu g auch eine gezielte Zusammensetzung heterogener Lerngruppen: Flexibilisierung der Schuleingangsphase, die Klassen 1 und 2 werden jahrgangsgemischt zusammengefasst und gemeinsam unterrichtet(Heterogenität als besondere Chance zum selbsttätigen und individuellen Lernen und nicht als Problem) Um trotz der Heterogenität für jedes einzelne Kind möglichst günstige Lernbedingungen zu schaffen, sollte differenzierendes und individuelles Lernen konsequent und selbstverständlich umgesetzt werden Kinder sind unterschiedlich bzgl. der Lernvoraussetzungen, des Lernstils, der Lerneinstellungen, des Problemlösestils, der Lerninteressen, des Konzentrationsvermögens, der Begabungen, der Ausdauer, des Lerntempos, … des Sozialverhaltens, Dimensionen von Heterogenität Vertikale Heterogenität: Kinder eines Jahrgangs unterscheiden sich hinsichtlich ihres Leistungsniveaus – angesiedelt innerhalb eines Spektrums von sehr leistungsschwach bis sehr leistungsstark bzw. hochbegabt. Horizontale Heterogenität: Kinder unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Vorgehensweisen beim Bearbeiten von Aufgaben. Differenzieren – aber wie? Variante 1: drei verschiedene Aufgabenblätter (angenähert an die Anforderungsbereichen der Bildungsstandards) Variante 2: Alle Kinder erhalten die gleiche offene und zugleich substanzielle Aufgabe -> Kinder entscheiden selbst, was sie rechnen ○ Die Lehrkraft bietet den Kindern für das Erforschen des Aufgabenfeldes und das -> entdecken lassen Rechnen mit den Zahlen an, dass die Kinder Legeplättchen nutzen können. ○ Zudem haben die Kinder freie Wahl bzgl. des Aufschreibens von Aufgaben, Aufgabenfolgen, des Kennzeichnens von Rechenbeziehungen wie auch hinsichtlich der sozialen Lernform. Dimensionen von Differenzierung Verschiedene Formen der Differenzierung fi fi Äußere Differenzierung Separierende Lerngruppen: Die Kinder lernen zeitlich begrenzt oder auf Dauer je nach Eignung in vermeintlich leistungshomogenen Lerngruppen (z.B. in A-, B- und C-Kursen; Knobel-AGs, Förderstunden für leistungsschwächere Kinder). Die Differenzierung kann unter fächerübergreifenden wie auch unter fächerspezi schen Aspekten erfolgen. Mögliche Probleme der äußeren Differenzierung Es ist eine Differenzierung von der Lehrkraft aus. Die Zuordnung der Kinder in die jeweiligen Leistungsgruppen ist problematisch. Ein exibler Wechsel von Kindern in andere „Leistungsgruppen“ ist kaum oder gar nicht möglich, sodass „Entwicklungssprüngen“ nicht entsprochen werden kann. Zum Abschluss der Differenzierungsmaßnahme sind die Leistungsunterschiede oft so groß, dass eine generelle „Weichenstellung“ geschaffen wurde. Innere Differenzierung/ Binnendifferenzierung -> Quantitativ, medial und sozial möglich für eine bestimmte Zeit werden Lerngruppen eingerichtet (in der Regel von der Lehrkraft), die Lerngruppen erhalten unterschiedliche Aufgaben, die auf die individuellen Leistungsfähigkeiten und Motivationen der Lernenden abgestimmt sind. Die leistungsstarken oder mathematisch begabten Kinder lösen in dieser Phase z.B. sehr anspruchsvolle bzw. komplexe Problemaufgaben, während demgegenüber rechenschwache Kinder z.B. Aufgaben auf niedrigerem Abstraktionsniveau, mit geringerer Komplexität,... lösen. demotivierend: Warum mehr Aufgaben als andere machen, nur weil man schnell fertig war? Quantitative Differenzierung Lernziele und Lernangebote unterscheiden sich Hauptkriterium der Differenzierung: die Schnelligkeit, in der Regel verknüpft mit der Korrektheit der Kinder beim Lösen mathematischer Aufgaben. Kinder, die schneller (gleiche) Aufgaben als andere und diese zugleich richtig lösen, erhalten ein Zusatzangebot. Die Zusatzaufgaben können ○ thematisch den vorhergehenden entsprechen, aber ebenso andere Themen enthalten, ○ vom Anspruchsniveau vergleichbar mit den vorhergehenden „P ichtaufgaben für alle“ oder bedeutend schwieriger sein, ○ von der Lehrkraft oder von den Kindern selbst (z. B. Wahl aus einer Knobelbox) bestimmt werden. Probleme und Grenzen: Beschränkung auf vor allem ein Differenzierungskriterium (Schnelligkeit) nur z. T. Möglichkeiten für ein selbstbestimmtes Lernen der Kinder nur z. T. motivierend für Kinder Vorzug: leicht organisierbar und deshalb häu ge Nutzung im Mathematikunterricht fl fi fl  Klausur! Compacting besondere Form der Differenzierung für leistungsstarke oder begabte Kinder im Mathematikunterricht Die Lehrkraft erlaubt einem leistungsstarken oder begabten Kind bei der Behandlung von Lernthemen, die es schon gut kennt bzw. beherrscht, sich mit alternativen Inhalten, insbesondere mit solchen, für die sich das betreffende Kind interessiert, zu beschäftigen. Voraussetzung hierfür sollte sein, dass ein Kind vorher den Nachweis über schon vorhandene Kompetenzen zum jeweiligen „P ichtinhalt“ des Unterrichts erbringt. Zwei alternative Möglichkeiten für ein Compacting: ○ Aufgaben zum Vertiefen oder Erweitern des P ichtstoffes (im Sinne einer Enrichmentförderung), ○ die Arbeit an einem speziellen Projekt, für das sich ein Kind sehr interessiert (als Enrichment- oder Accelerationsförderung). Grenzen der „traditionellen“ Differenzierungsformen Prinzip der Passung, z. B. durch die Zuweisung (oder die Selbstauswahl) unterschiedlich schwieriger Arbeitsblätter erreichen zu wollen, ist nicht möglich, da Aufgabenschwierigkeit in hohem Maß subjektiv ist Differenzierung bis hin zur konsequenten Individualisierung führt durch immer spezi schere, auf individuelle Bedarfe abgestellte zerlegte Lernangebote (häu g eine Vielzahl von Arbeitsblättern) zur Vereinzelung der Lernenden. Gemeinsame Erfahrungen am gemeinsam geteilten Lerngegenstand und soziales Lernen werden vernachlässigt. Zum Teil Material ut und sehr großer organisatorischer Aufwand Wenn Lernenden selbst über zu bearbeitende Inhalte, Aufgaben und dafür investierte Zeitpunkte und -dauern entscheiden, birgt das die Gefahr der Beliebigkeit und der ungenutzten inhaltlichen Substanz. Differenzierung und Öffnung vom Fach aus oft zu wenig beachtet Natürliche Differenzierung Die gesamte Lerngruppe erhält das gleiche, komplexe Lernangebot, das naturgemäß Bearbeitungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades umfasst. Jedes Kind wirkt entsprechend seinen Voraussetzungen an der Lösungs ndung mit, hat Chancen die Aufgabe erfolgreich zu bearbeiten. Charakter der Aufgabe: offene Problemaufgabe mit Möglichkeiten zum Mathematiktreiben (Finden und Lösen von Anschlussproblemen) Die Differenzierung erfolgt vom Kind (und nicht von der Lehrkraft) aus. Jedes Kind kann selbst bestimmen, wie tief es in ein Aufgabenfeld eindringt, welche Lernmittel es nutzt, welche Lösungswege es anwendet und wie es seine Lösung darstellt. Die Differenzierung wird also v. a. durch Aufgabenfeld ausgelöst. unterschiedliche Zugangsweisen, Bearbeitungen, Lösungen und auch Hürden werden in einen interaktiven Austausch gebracht. Vorteile der natürlichen Differenzierung individuelle Bedürfnisse, Potenziale und Vorerfahrungen der Kinder werden ernst genommen und aufgegriffen es ist eine Differenzierung, die von den Kindern (und nicht von der Lehrkraft) ausgeht es besteht keine Gefahr einer Stigmatisierung. selbstbestimmtes bzw. eigenverantwortliches Lernen von Kindern wird explizit gefördert diese Art des Lernens entspricht zeitgemäßen fachdidaktischen Konzepten die offenen substanziellen Aufgaben eignen sich sehr gut für die Förderung prozessbezogener Kompetenzen der Bildungsstandards und sie entsprechen sehr gut dem Wesen von Mathematik für die Lehrkraft ökonomische Organisation der Lernprozesse Weitere spezielle Differenzierungsformen Zusätzliche Förderstunden für rechenschwache und mathematisch begabte Kinder, vorzeitige Einschulung; „Überspringen einer Klassenstufe“ , Drehtür-Modell, Mathematische Wettbewerbe, Einzelförderung fl fl fi fl Diagnose und Förderung am Beispiel mathematisch begabter Kinder De nitionen von Hochbegabung In der wissenschaftlichen Literatur ndet man sehr viele verschiedene De nitionen für den Begriff „Begabung“ Oft werden die Begriffe „Begabung“ und „Intelligenz“ synonym verwendet oder miteinander vermischt. In Deutschland werden aufgrund unterschiedlicher Grundpositionen verschiedene Begriffe für den Begriffsinhalt „Begabung“ gebraucht, z.B. „Begabung“, „Hochbegabung“, „Höchstbegabung“, „Besondere Begabung“, „Potentielle Begabung“, oder „Hohe Leistungsfähigkeit“ Grundpositionen Begabung als komplexes interdisziplinäres Themenfeld Begabung als ein sich dynamisch entwickelndes Potenzial (Interaktion von Anlage und Umwelt) Begabung ist bereichsspezi sch (auf einen bestimmten Tätigkeitsbereich bezogen) Ganzheitliche Sicht auf die Persönlichkeit (Co-kognitive Faktoren) Möglichkeit und Notwendigkeit einer frühen Diagnostik und sinnvollen Förderung begabter Kinder Existenz unterschiedlicher/individueller Begabungsausprägungen Merkmalssystem für Dritt-und Viertklässler mit einer mathematischen Begabung (Käpnick 1998) Hauptaspekte der Weiterentwicklung des Merkmalsystems Stärkere Berücksichtigung des Ansatzes von Gagné Einrahmung des Modells durch fördernde und typprägende intrapersonale und interpersonale Katalysatoren Größere Beachtung der individuellen Entwicklung eines mathematisch begabten Kindes Neuere Erkenntnisse der Hirnforschung Erkenntnisse der emotionalen Intelligenzforschung Das „Modell mathematischer Begabungsentwicklung im Grundschulalter“ nach Fuchs & Käpnick (2009) fi fi fi Diagnose einer mathematischen Begabung Eine Diagnose ist allgemein… ein theoriebasiertes oder theoriegeleitetes Verfahren zum Feststellen von Merkmalen und deren Niveaus oder ein feinfühliger theoriebasierter Prozess des Entdeckens und Heraus ndens von Personen, die den jeweiligen Merkmalen, die in einem theoretischen Konstrukt modelliert worden sind, möglichst weitgehend entsprechen. —> Es kann sehr verschiedene Diagnosen zu ein und demselben Merkmal (Theoriekonstrukt) geben. —> Es gibt keine absolut sichere Diagnostik. Wichtige Informationsquellen für eine prozessbezogene Diagnostik Das Kind und die Eltern Lehrkräfte, ggf. MitschülerInnen, LeiterInnen von speziellen Förderprojekten, …, Testergebnisse, Eigenproduktionen, Beobachtungsprotokolle, … Intelligenztest CFT 20-R... zur Testung des mathematischen Begabungspotentials? - Hochbegabt Indikatoraufgabentest Achtung: kein statistisch erprobter Test zum Erkennen der mathematikspezi schen Begabungsmerkmale (nach Käpnick 1998) mündliche Instruktionen, Vorgaben für die Bearbeitungszeit, Auswertungsbogen Förderung mathematisch begabter Kinder Förderung im regulären Mathematikunterricht (binnendifferenzierender Unterricht, quantitative Differenzierung Compacting, Stationenlernen, natürliche Differenzierung, offene substanzielle Problemfelder) Außerunterrichtliche bzw. –schulische Fördermaßnahmen (Projekte wie „MatheChecker“, Arbeitsgemeinschaften, Wettbewerbe, Internetprojekte) Offene, substanzielle Problemfelder (Aufgaben) geeigneten Einstiegsaufgabe Einsatz einer oder mehrerer offener Problemaufgaben zum Forschen und Entdecken Präsentation der Ergebnisse und Lösungsdiskussion fi fi Anforderungen an offene Problemfelder Vorgabe eines motivierenden, leicht verständlichen Ausgangsproblems Realistische Chancen für alle Kinder, erfolgreich zu Lernen (natürliche Differenzierung vom Kind aus) reichhaltige mathematische Substanz Offenheit bzgl. der Kreativität und der Vielfalt möglicher Entdeckungen, bzgl. der Wahl von Lösungswegen, von Hilfsmitteln und der Ergebnisdarstellung Möglichkeiten zum Mathematiktreiben (Finden von Anschlussproblemen)