Mathematik Lernen PDF

 03 SUG GRUNDANFORDERUNGEN AN DIE MATHEMATIKDIDAKTIK Die Mathematikdidaktik ist im hohen Maße interdisziplinär, und sie muss diese Interdisziplinarität wahren. Die Mathematikdidaktik muss sich immer...

 03 SUG GRUNDANFORDERUNGEN AN DIE MATHEMATIKDIDAKTIK Die Mathematikdidaktik ist im hohen Maße interdisziplinär, und sie muss diese Interdisziplinarität wahren. Die Mathematikdidaktik muss sich immer wieder auf ihre spezifischen Forschungsgegenstände besinnen und ihre Eigenständigkeit wahren. Die Mathematikdidaktik hat schulpraktische und schulpolitische Relevanz. Die Mathematikdidaktik trägt große Verantwortung für die Verbreitung eines adäquaten Bildes ihrer Wissenschaft und der Fachwissenschaft Mathematik. AUPTFUNKTIONEN DES UNTERRICHTS. Beitrag zur Entwicklung der kindlichen Gesamtpersönlichkeit 2. Schaffung wesentlicher mathematischer Grundlagen einschließlich , des Erwerbs typischer Denk und Arbeitsweisen = RNZIELE INTER FFEKTIVE ZIELE IMATHEMATICAL ASSOCIATION F A C H S P E Z I F I S C H E - Kompetenzen Kompetenzen sind „… die bei Individuen verfügbaren oder von ihnen erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können Fähigkeit: „die Gesamtheit der zur Ausführung einer bestimmten Leistung erforderlichen Bedingungen“ Fertigkeiten: Eigenschaft eines Menschen bestimmte Tätigkeiten oder Handlungen weitgehend automatisch und Bewusst ausführen zu können Wissen: im Gedächtnis gespeicherten und verfügbaren Fakten, Vorgänge, Erscheinungen, Zusammenhänge, Begriffe, Gesetze, Regeln.. zu bestimmten Sachgebieten Können: Gesamtheit aller Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sich auf das Ausführen einer Tätigkeit. Oder eines komplexes bezieht. K O M P E T E N Z E N - Bildungsstandarts 2 OP SUNG Anlage der Pisa-Studie (2000): Vergleichsuntersuchung von SuS in 32 Staaten, wo 15 Jährige bzgl. Ihrer Lesekompetenzen, der mathematischen und naturwissenschaftlichen Grundlagen dran teilnahmen Schwerpunkt der Leistungserfassung: nicht Kenntnis mathematischer Sätze und Regeln und Beherrschung mathematischer Verfahren, sondern verständnisvoller Umgang mit Mathematik und die Fähigkeit, mathematische Begriffe als „Werkzeuge“ in einer Vielfalt von Kontexten einzusetzen  Stufen der mathematischen Grundbildung (5 Kompetenzstufen) 1. Stufe: Rechnen auf Grundschulniveau 2. Stufe: Elementare Modellierungen 3. Stufe: Modellieren und begriffliches Verknüpfen auf dem Niveau der Sek. I 4. Stufe: Umfangreiche Modellierungen auf der Basis anspruchsvoller Begriffe 5. Stufe: Komplexe Modellierung und innermathematisches Argumentieren 1.Stufe: Beispielaufgabe - dient zu Diagnostischen Zwecken, die auf die Fehlervorstellungen der Kinder hindeuten Vergleichsuntersuchung in der Grundschule: IGLU-E-Studie zunächst internationale Lesestudie IGU 2001 Erweiterung: Untersuchung der math., naturwiss. Kompetenzen, Rechtschreibung Es beteiligten sich 12 Länder, die Kinder Ende der 4 Klasse untersuchten Ergebnisse der IGLU-E-Studie Deutsche Grundschüler:innen lagen deutlich oberhalb des internationalen Mittelwerts Dennoch: Knapp 20 % der Kinder beendete die 4. Klasse mit z.T. erheblichen Defiziten im mathematischen Wissen, bei Fertigkeiten v.a. des Rechnens und beim Sachrechnen... Mehr als 40 % der Kinder konnten z.B. die Aufgabe „810 – 790“ nicht im Kopfrechnen. & !! KONSEQUENZEN !! : aus den schlechten Ergebnissen in den Vergleichsstudien Von der Input- zur Outputorientierung Formulierung von zu erreichenden Kompetenzen in den Bildungsstandards Verschiedene weitere Schulleistungsstudien Vergleichsarbeiten Schulinspektion zur externen Evaluation 1. PROBLEMLÖSEN mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden, Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisch probieren), Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen.  2. KOMMUNIZIEREN eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren, mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden, Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten. 3. ARGUMENTIERE mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen, mathematische Zusammenhänge erkennen undVermutungen entwickeln, Begründungen suchen und nachvollziehen 4. MODELLIEREN Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationenentnehmen, Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen, zu Termen, Gleichungen und bildlichenDarstellungen Sachaufgaben formulieren. 5. DARSTELLEN VON MATHEMATIK für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen, eine Darstellung in eine andere übertragen, Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten. - NFORDERUNGEN 31LDUNGSSTANDAR TS BEREICH 1: REPRODUZIEREN Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungsweg ist in der Regel einschrittig. BEREICH 2: ZUSAMMENHÄNGE HERSTELLEN Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen. Der Lösungsweg umfasst in der Regel mehrere Schritte. BEREICH 3: VERALLGEMEINERN & REFELEKTIEREN Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern Die Kinder sollen die Aufgaben nicht nur lösen, sondern besondere Rechenbeziehungen entdecken, diese verallgemeinernd beschreiben und begründen.  3 OP SUNG Vorteile: Bildungsstandartstandarts können wichtige Orientierungshilfen für Lehrer:innen und Schüler:innen (sowie Eltern) sein behandelt die für wesentlich erachteten mathematischen Grundkompetenzen Kann zur Verbesserung der Lernkultur, einer höheren Eigenmotivation der Kinder dienen Test zu Leistungsstandarts erlauben eine fundierte Einschätzung des Entwicklungsstandes eines Kindes im Vergleich zum vorgegebenen normierten Standard Gefahren: Bildungsstandarts Bildungsstandarts entsprechen Durchschnittsnormen, die nicht auf individuellen Besonderheiten eines Kindes abgestimmt sein können Allgemeine mathematische Kompetenzen lassen sich prinzipiell kaum bzw. Nicht Eindeutigkeit Punkten bewertet werden (siehe Vorlesung 3: zwei Einstiegsbeispiele mit den Hauptziele den Autoren) RADTIONALE RECHENDIDAKTIK In Stofforientiertheit VORZÜGE: relativ leicht erlernbar Stoffdidaktisch und kleinschrittig strukturierter Aufbau „Kalkuliertes Risiko“ für Lehranfänger:innen Lehrer:innenzentriertheit Erlaubt kurzfristig nachweisbare Erfolge PROBLEME: Gefahr rein mechanischen Einüben und Gefahr der Erziehung zu Unselbstständigkeit und nachlassenden Motivation zum Lerne Gefahr der Vernachlässigung prozessbezogene Lernziele - KTIVE ENTDECKENDE LERNEN Witmann & Müller Theoretische Basis: konstruktivistischer Ansatz (lernen als subjektiver/aktiv-konstruktiver Prozess Förderung der Eigenaktivität jedes Kindes ganzheitliche Erschließung größerer Stoffeinheiten Ausgangspunkt des Lernens ist das jeweils vorhandene Vorwissen der Kinder Eigendynamik von Lernprozessen und natürliche Differenzierung Veränderte Roller der Lehrkraft (z.B. initiieren, begleiten, helfen) gründlich erprobte und vielseitig einsetzbare Lernmittel Kritik: schwer durchsetzbar nach Meinung vieler Lehrkräfte Probleme objektiver Leistungskontrollen und Leistungsbewertungen Gefahr unsystematischer stoffstrukturierung bei Kindern Eher für Leistungsstarke Kinder Zweifel an der Förderung sozialer Kompetenzen aller Kinder  G RUNDPOSITIONEN-WIN I ER S C H R I F L I C H - R E F L E K T I E R E N D E N - M A T H E M A T I. L E R N E N S käpnick & benlölken Spezifische Ausprägung und Weiterentwicklung des Konzepts vom aktiv-entdeckenden Lernen Besonders geprägt durch Gallin und Ruf; sehr starke Kindorientierung Aufbau mathematisch korrekter Kenntnisse und Fähigkeiten bei Zulassen und Fördern subjektiv einzigartiger Zugänge zur Mathematik Angebot offener und komplexer Situationen, die zentrale Themen des Mathematikunterrichts beinhalten („Kernideen“); das Kind entwickelt hierzu individuelle Sinnkonstruktionen Jedes Kind schreibt sein individuell geprägtes Lernjournal/„Reisetagebuch“ durch feinfühlige Rückmeldungen neue Denkprozesse bei den Kindern anregen VORZÜGE: KRITIK Berücksichtigung individueller Zugänge zur Mathematik es fraglich ist, ob alle inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen auf diese Lernen in Sinnzusammenhängen Weise angemessen gelernt werden können, hoher Grad an Eigenverantwortung für das Lernen der Zeitaufwand für die Anfertigung der Sinnkonstruktionen ist häufig hoch konstruktiver Umgang mit Fehlern von Kindern Interaktionen zwischen verschiedenen Kindern kommen zu kurz. Fächerübergreifendes bzw. fächerverbindendes Lernen Machbarkeit von Klasse 1 an muss angezweifelt werden, da z.B. die Schreibfähigkeiten, aber auch andere Fähigkeiten wie selbstständiges Anordnen von Lerninhalten erst entwickelt werden müssen. INTERAKTIV-ARGUMENTIERENDES-LERNEN enthält viele „Elemente“ des aktiv-entdeckenden Lernens Organisationsstruktur in vier Lernsequenzen Darstellung des Lernthemas in einer detaillierten Aufgabensequenz Gemeinsame Bearbeitung der vorgegebenen Aufgabensequenzen in Kleingruppen (dabei freie Wahl der Lösungswege, der Lösungsdarstellung und der Lernmittel) Einführung geeigneter Hilfsmittel in Kleingruppen Auswertung der Lösungen in einem lehrkraftgelenkten Klassengespräch VORZÜGE: KRITIK: Überwindung kleinschrittigen Vorgehens Wechsel zwischen den verschiedenen Sozialformen können abrupt wirken Offenheit und Komplexität der Aufgaben Die Abstimmung zwischen den verschiedenen Sozialformen scheint noch Förderung kooperativen Lernens und zugleich individueller gründlicher durchdacht werden zu müssen. Lösungswege Betonung der sozialen argumentativen Dimension konstruktiver Umgang mit Fehlern von Kindern  INDIVIDUALISIERENDEN-UNTERRICHTS knüpft vor allem an Erfahrungen zum jahrgangsübergreifenden Unterricht, zum individualisierten Unterricht und zum reformpädagogisch orientierten Unterrichts an Hauptfokus: individuelle Förderung jeden Kindes Selbstständiges Erarbeiten, Üben und Anwenden mathematischer Lernthemen (häufig alleine, aber auch phasenweise Partner- oder Gruppenarbeit) Jedes Kind entscheidet selbst über den Gebrauch von Lernmitteln, über das Lerntempo, über die Reihenfolge der Aufgabenbearbeitung, über Lösungswege und über Lösungendarstellungen. Häufig gibt es Selbstkontrollmöglichkeiten Lehrkraft analysiert gemeinsam mit dem Kind die Lernergebnisse und steht unterstützend zur Seite VORZÜGE: KRITIK: MATHEMATISCHE-PRINZIPIEN Was sind Didaktische Prinzipien?: Vorlesung 4 theoretische Grundsätzte/positionen einer Theorie Prinzipielle durchgängige Leitvorstellungen des Lernens ne Lehrens sind entweder aus umfassenderen Lehr-Lern-Theorien abgeleitet worden oder aus langer schulischer Unterrichtserfahrung bzw. methodischer Tradition entstanden. versuchen, die in lern- und entwicklungspsychologischen Theorien gewonnenen Erkenntnisse für das (Mathematik-)Lernen im Unterricht fruchtbar zu machen und dadurch eine Orientierung für das Unterrichtshandeln anzubieten  …. als ORIENTIERUNG bei…. der Stoffauswahl und -gliederung, der Planung und Durchführung von Mathematikunterricht, der Auswahl und Gestaltung von Übungs-, Aufgaben- und Beispielmaterialien THEORIE-VON-PIAGET NPASSEN das Kind entwickelt im Wechselspiel von eigenen Aktivitäten und Umweltveränderungen ständig - kognitive Schemata, mit denen es immer wieder ein Gleichgewicht zwischen der Umwelt und sich selbst zu erreichen versucht. Akkommodation: Veränderung eines System Streben eines Kindes nach einem Lernverhalten zu verändern Gleichgewichtszustand = kognitive Äquilibration Lern und Anpassungsprozess in Folge einer Veränderung S T U F E N T H E O R I E: der kognitiven Entwicklung I. Sensomotorische Phase (bis 2 Jahre): Erwerb zahlreicher Handlungsschemata II. Präoperationale Phase (bis 7 Jahre): zunächst vorbegriffliches, dann anschauliches Denken; Denken ist an Handlungen gebunden III. Konkret-operationale Phase (bis 11 Jahre): Denken an Vorstellungen gebunden IV. Formal-operationale Phase (ab 11 Jahre): Denken wird hypothetisch, deduktiv K R I T I K: Altersangaben umstritten, aber Anhaltspunkte Empirische Absicherung umstritten Laborgeruch Fragestellungen erscheinen gelegentlich lebensfern Verbale Komponente der Versuchsfragestellungen Dennoch werden seine Ergebnisse auch heute noch im Groben größtenteils akzeptiert Mathematischen-Prinzipien PRINZIP DES AKTIVEN LERNENS: Die Kinder sollen sich den Lernstoff im Unterricht aktiv erarbeiten. Hierzu muss der Unterricht an der vorliegenden kognitiven Struktur der Lernenden ansetzen und die Lernthemen müssen für die Kinder verständlich aufbereitet sein. es muss passgenau an ihre vorerfahrungen anknüpfen INTEGRTIONSPRINZIP: Die Themen des Mathematikunterrichts sollen in inhaltliche Beziehungsnetze integriert werden, d.h. das Lernen erfolgt in Zusammenhängen. PRINZIP DER REDUNDANZ: Kinder sollen neue Lerninhalte in Situationen kennen lernen, bei denen nur einzelne Aspekte bzw. Elemente wirklich neu sind, sodass eine Einbindung des neuen Wissens in bereits vorhandenes Wissen erfolgen kann. Chance: es werden Inhalte immer wiederholt PRINZIP DER ISOLIERUNG DER SCHWIERIGKEIT: Komplexe Handlungsfelder sollen so reduziert werden, dass Schüler:innen nur einzelne, für sie überschaubare und von ihnen zu leistende Teilhandlungen zu bewältigen haben. Auf diese Weise soll allen Kindern Erfolgserlebnisse beim Lernen ermöglicht werden Chance: eine Differenzierung ist möglich Schwierigkeit: großen zeitlichen Aufwand aufgrund der Differenzierung PRINZIP DER STABILISIERUNG: Wissen und Fähigkeiten müssen von Zeit zu Zeit in neuen, anregenden Kontexten wieder geübt und angewendet werden, damit sie sich stabilisieren. OPERATIVE PRINZIP: Mathematische Begriffe, Techniken u.a. sollten v. a. im Grundschulalter mithilfe von Handlungen erarbeitet werden. „Operative“ Begriffe müssen daher im MU auf die sie begründenden Handlungen zurückgeführt und zu Operationen verinnerlicht werden. Beim so genannten operativen Durcharbeiten eines Themas kommt es darauf an, vielfältige Zusammenhänge und Beziehungen herzustellen (operatives Üben). T H E O R I E - D E R - D A R S T E L L U N G S E B E N E- B R U N ER Enaktive Ebene: Erkenntnisgewinn durch eigene Handlungen mit konkretem Material Ikonische Ebene: Erkenntnisgewinn durch angeschaute oder vorgestellte Bilder bzw. Grafiken) symbolische Ebene: Erkenntnisgewinn durch Verwendung von Sprache oder mathematischen Zeichen Die Denkentwicklung vollzieht sich nicht in zeitlich aufeinander folgenden Denkstadien, sondern parallel auf den verschiedenen Darstellungsebenen. Das Denken eines Kindes ist dann besonders fortgeschritten, wenn es in neuen Erkenntnisprozessen in der Lage ist, flexibel eine Darstellungsebene auszuwählen und das Erkannte dann ebenso flexibel auf andere Darstellungsebenen übertragen kann. Denkentwicklung ist nach Bruner eine immer bessere Koordination zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen (unter wesentlicher Beteiligung der Sprache) intermodaler Transfer Voraussetzungen für die flexible Wahl der Darstellungsebene Kinder müssen die für einen bestimmten Gegenstandsbereich charakteristischen Lernaktivitäten auf jeder der Darstellungsebenen kennen gelernt haben Kinder müssen zu aktiven Wechseln der Darstellungsebene angeleitet werden; speziell formulierte Arbeitsanweisungen können dabei helfen. S p i r a l p r i n z i p: Grundlegende Begriffe u.a. sollten im MU in mehreren Durchgängen auf jeweils verschieden hohem Niveau bearbeitet werden, wobei jeweils Darstellungsmittel, Sprache und didaktische Modelle verwendet werden, die dem Entwicklungsstand der Schüler:innen angemessen sind. Das Wissen zu einem Lernthema wird schrittweise (spiralförmig) entwickelt. schrittweise wird es komplexer  Variation bezüglich der Veranschaulichungen Va r i a t i o n s p r i n z i p i e n Prinzip der Variation der Veranschaulichung auf der Ebene der Begriffsrepräsentation durch intermodalen Transfer (Wechsel zwischen enaktiv – ikonisch – symbolisch) oder intramodalen Transfer (Wechsel innerhalb einer Darstellungsebene). Prinzip der Variation des didaktischen Modells (so genannte Mehrwegmethode): Erarbeitung eines mathematischen Begriffs u.a. nicht nur über ein didaktisches Modell, sondern über verschiedene. Prinzip der mathematischen Variation, wobei das für einen mathematischen Begriff Wesentliche erhalten bleibt, die unwesentlichen Variablen aber variiert werden können. Mehrere darstellungsebene damit die Kinder mit verschiedenen Materialien arbeiten können und diese vergleichen können (Intermodall) Gestaltung des mathematischen Anfangsunterrichts 5-Vorlesung „Die Kinder kommen mit sehr unterschiedlichen Vorerfahrungen, Vorkenntnissen und Erwartungen in die Schule; bei den meisten ist die Motivation groß, und sie wollen zeigen, was sie schon können. Diese Motivation zu erhalten, gehört sicher zu den wichtigsten und reizvollsten Aufgaben der Lehrerin.“ Il Ü B E R G A N G - von der Kita in die Grundschule nicht nur das Kind selbst ist verantwortlich für den Übergang sondern auch Eltern, Mitarbeiter, Freunde usw. Transition=Übergang „Transitionen sind Lebensereignisse, die die Bewältigung von Diskontinuitäten auf mehreren Ebenen erfordern, Prozesse beschleunigen und intensiviertes Lernen anregen und als bedeutsame biografische Erfahrungen von Wandel in der Identitätsentwicklung wahrgenommen werden“ … aus mathematischer Perspektive: die in der Kita erworbenen Vorkenntnisse im Anfangsunterricht werden nicht gewürdigt und aufgegriffen, weil sie nicht erwartete werden, was im Hinblick auf kontinuierliche Bildungsprozesse, die Anschlussfähigkeit spezielle für Leistungsstärke Kinder kritisch zu sehen ist (wittmann) wo Mathematische Vorkenntnisse von Erstklässler:innen Arithmetische Vorkenntnisse: Resultatives Zählen Vorkenntnisse in Bezug auf Größen/Sachrechnen Geometrische Vorkenntnisse Arithmetische Vorkenntnisse Ziffernkenntnisse: das Schreiben der Ziffern fällt den Kindern schwer vergleichen: bei mehr als 7 Gegenständen ist es schwierig + und -: vor eintritt in die Schule in der Lage einfach Aufgaben zu lösen insbesondere bei Handlungskontext Größen/Messen: lückenlosen Abtragens eines Repräsentanten am zu messenden Gegenstand vorhanden - größenbereichen wie Zeit, zeigen sich deutliche Schwierigkeiten Geometrische Vorkenntnisse: verschiedene Aspekte der visuellen Wahrnehmen und der Räumlichen Dartstellungsvermögen werden schon besessen DIADAKTISCH-METHODISCHE-ORIENTIERUNG Rekonstruktion mathematischer Begriffe in einem sozialen Prozess Allmähliche Entwicklung von anfänglichen, einfachen und ineffizienten kognitiven Strukturen Anfangs kognitive Strukturen oft mit Fehlvorstellungen durchsetzt Entwicklung hin zu differenzierteren, klaren und verknüpften Strukturen Ziel: Strukturen, die effektiver im Problemlösen sind * An Vorkenntnisse und Lernerfahrungen anknüpfen gründliches Erfassen und Analysieren der Vorkenntnisse aller Schulanfänger in den ersten Schulwochen Neue Lerninhalte sollen in inhaltliche Beziehungsnetze integriert werden (Integrationsprinzip) Große Bedeutung von Handlungen, bildlichen Darstellungen und kommunikativen Prozessen Prozess der Verinnerlichung, Flexibler Wechsel zwischen den Darstellungsebenen Verschiedene Materialien/Anschauungsmittel haben wichtige Funktion im math. Anfangsunterricht differenzierendes Lernen vom ersten Schultag an eine ganzheitliche Erarbeitung des Zahlenraums bis 10 bzw. bis 20 in einem ersten Stoffkomplex ein behutsames, aber konsequentes Auseinandersetzen mit fehlerhaften bzw. scheinbar fehlerhaften Vorkenntnissen, Strategien, Automatismen von Schulanfänger:innen. Anknüpfung an die Vorkenntnisse Weißblatt-Test, Klinische Interviews, Klassenarbeit, Diagnostische Aufgabensätze; Eigene Erwartungsmethoden Schlussfolgerung: Den Kindern sollte im MU Möglichkeiten eingeräumt werden, sich mit den verschiedenartigen subjektiven Zahlauffassungen konstruktiv auseinander zu setzen. Zahlauffassungen der Kinder im Mathematikunterricht thematisiert werden, mit dem Ziel dass die Kinder ihre eigene subjektive Auffassungen erkennen und sich damit auseinandersetzen. F I N G E R N R R E C H N E N: Probleme einseitige Betonung des Ordinalzahlaspektes umständliches und fehleranfälliges Rechnen beim Addieren über 10, beim Subtrahieren (Rückwärtszählen) und beim Analogierechnen (z. B. 8 + 7 → 18 + 7) Fingerrechnen als „verführerische Bequemlichkeit“ verzögert evtl. die Entwicklung abstrakten und strukturellen Denkens Fingerrechnen verzögert bzw. verhindert z.T. die Entwicklung von Kreativität, das Erkennen von Zusammenhängen beim Rechnen. In höheren Zahlenräumen beeinträchtigt das Fingerrechnen die Schnelligkeit, Ökonomie und Effizienz beim Rechnen. PROBLEMLÖSEPROZESS 6-Vorlesung Was ist eine PROBLEMLÖSEAUFGABE? ….man versteht im Allgemeinen das selbstständige Bearbeiten Eier Aufgabe, bei der dem Bearbeitenden nicht sofort ein Weg zur Lösung der Aufgabe klar ist durch 3 Komponenten gekennzeichnet: 1. einen Anfangszustand 2. Einen erwünschten Endzustand 3. Eine Brriere, die die Transformation vom Ausgangszustand in den Endzustand verhindert Routine -vs-Problemlösen P r o b l e m a u f g a b e (aus mathematischer Sicht) …eine Aufgabenart, der mehr oder weniger anspruchsvolle mathematische Strukturen zugrunde kehrt, die auch im Sachinhalt und Zusammenhang eingebettet werden können, sodass der Aufgabenbearbeitende keine vertraute Lösungsmuster anwenden kann ist für alle Atersklassen unterschiedlich vom Niveau A Typen mathematischer Problemaufgaben Problemaufgaben mit klarer Zielstellung und (dem Bearbeitenden) grundsätzlich bekannten Mitteln, aber fehlender Kenntnis eines geeigneten Lösungsweges Problemaufgaben mit klarer Zielstellung, aber z. T. fehlenden Mitteln (Sach-, Verfahren-, Methodenwissen), um die Aufgabe lösen zu können Komplexe Problemaufgaben bzw. Problemfelder mit einer nur vagen Zielstellung und mit einer ungeklärten Nutzung von bekannten, weniger oder noch nicht bekannten Mitteln  Lernpoteniale des Problemlösens im Unterricht Warum nutzt man Problemlöseaufgaben? P h a s e n - d e s - P r o b l e m l ö s e n s (POLYA) Normatives lineares Modell: Phase 1: Verstehen der Aufgabe: der Lernende soll geeignete Fragen stellen und überlegen, ob das Problem überhaupt lösbar ist: erste Visualisierung kann dabei helfen Phase 2: Ausdenken eines Plans: Bekannte Strategien werden betrachtet und auf Nutzbarkeit untersucht. Phase 3: Ausführung des Plans: Jeder Schritt der Problemlösung soll auf mathematische Richtung kontrolliert werden Phase 4: Rückschau: Die Lernenden sollen ihre Problemlösung reflektieren und die verwendete Methode für kommende Probleme nutzen Phasen des Problemlösens auf der Basis der emotionalen Intelligenzforschung 1. Vorbereitung 2. Inubationszeit 3. Zufallsgelenkte Tagträume 4. Eiingebung H e u r i s t i s c h e - S t r a t e g i e n: Ein komplexes Problem in Teilprobleme zerlegen, verdeutlichende Skizze, Tabellen erstellen, Sachen von der anderen Seite sehen, an ähnliche bekannte Aufgaben erinnern….. Kinder gehen meist unbekümmert, spontan und fantasiereich an das Lösen von Problemaufgaben heran und entwickeln auf (für Erwachsene) originelle, mitunter auch eigenwillige Weise Lösungswege. P r o b l e m l ö s e s t i l e - bei Grundschulkinder Intuitives Erahnen einer Problemlösung bzw. intuitives Herantasten an eine Lösung Hartnäckiges Probieren Abwechselndes Probieren und Überlegen Systemhaftes Vorgehen (Herleiten, Erklären,...) der Problemlösung auf der Basis erkannter Strukturen „Mischtyp  Ü B E N - I M - M U. ÜBEN ! 8-Sitzung Einprägen von und flexiblen Umgehen mit grundlegenden Wissenselementen, der Befähigung zum souveränen Ausführen und vielfältigen Anwenden von Arbeitstechniken, Methoden, Verfahren usw. bis hin zum Herausbilden von Fertigkeiten, also automatisierten Handlungsabläufen einiger fundamentaler Tätigkeiten Beitrag zur Förderung allgemeiner kognitiver bzw. prozessbezogener Kompetenzen sowie zur Stärkung der Persönlichkeitsbildung Aufgrund der vielschichtigen Verwobenheit der meisten mathematischen Lernthemen und der zum Teil hierarchischen Struktur der Inhalte im Mathematikunterricht (insbesondere in der Arithmetik) kommt dem Üben sogar ein besonders hoher Stellenwert zu. Ziel: Festigung des Wissens durch Training von Fertigkeiten Große Zahl gleichförmiger Übungsaufgaben Fremdkontrolle der Lösung (meistens durch die Lehrkraft) erst nach einer expliziten Phase der Einführung schließtsich die Phase der Übung an, die auf die geläufige und fehlerlose Verfügbarkeit abzielte Zur Motivationssteigerung teilweise sachfremde Einkleidungen der Aufgaben Reproduktion und Quantität st fraglich ob es immer funktioniert Alte Prinzip der Isolierung der Schwierigkeit: Mathematik als Fertigprodukt, das von der Lehrkraft in kleinen Schritten zubereitet wird und den Kindern verabreicht wird Kritik: Gefahr auf nur gedankenlosen einübend von nur oberflächlich gelerntem Passive lerneinstellung (es wird nichts entdeckt) Prozessbezogene Kompetenzen fallen hierbei weg (Vernachlässigung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen) kleinschrittiges Üben bietet wenig Möglichkeiten zum Erkennen, Beschreiben und Begründenvon Mustern und Strukturen und zur Pflege der mündlichen und schriftlichen Ausdrucksfähigkeit der Kinder Klassische Übungsformen nach Radatz/Schipper: (KLAUSUR!!!) ABER: verständnisvolles Erarbeiten muss vorangehen; automatisierend üben kann man nur sinnvoll und effektiv, was man vorher verstanden hat a Automatisierendes-Üben Vorzüge und Ziele: Entlastung des Gedächtnisses Ermöglichung der Konzentration auf die Erarbeitung neuer Lernthemen Gefahren: Langeweile, Falsche Reihenbildung Vernachlässigung der Bedeutung von Zusammenhängen zu anderen Lernthemen Herausbildung starrer Lösungsschemata Gestuftes-Üben Vorzüge: relativ leicht plan- und organisierbar gutes Analyseinstrument Gefahren: Vortäuschens von Leistungen und Leistungsfortschritten Gefahr, dass Kindern inhaltliche Zusammenhänge verloren gehen Problem der eindeutigen Schwierigkeitsstufung Differenziertes Lernen nur eingeschränkt möglich operatives-Üben ·5  Üben-durch-anwenden Vorzüge: verbindet mathematische Inhalte mit Anwendungsthemen und kann deshalb, motivations- und sinnfördernd sein fördert Fähigkeiten zum Lernen in Zusammenhängen (komplexes Denken) Allgemeine didaktische Hinweise: „Üben durch Anwenden“ sollte bei der Behandlung aller Unterrichtsthemen realisiert werden. Es sollten stets ein angemessener Schwierigkeitsgrad und Möglichkeiten differenzierenden Lernens beachtet werden. Kapitäns-, Scherzaufgaben u. ä. sollten einbezogen werden. 10-Minuten-Rechnen Allgemeine Hauptfunktionen: Vorbereitung auf Neueinführungen durch Aktualisierung notwendiger Vorkenntnisse Festigung von gerade Gelerntem Langfristige Wiederholung von grundlegenden Lerninhalten „Auflockerung“ des Unterrichts, Ermöglichung eines konzentrierten Unterrichtsbeginns Allgemeine didaktische Hinweise: Einsatz bekannter, leicht verständlicher Aufgaben möglichst selbstständiges Lösen der Aufgaben Möglichkeiten differenzierenden Lernens nutzen (Produktives) Üben im Sinne des aktiv-entdeckenden Lernen geht zurück auf Winter, Müller & Wittmann Übung als integraler Bestandteil eines aktiven Lernprozesses scharfe Trennung zwischen den Phasen der Einführung, Übung und Anwendung entfällt Üben durchdringt somit den gesamten Prozess des aktiv-entdeckenden Lernens es wird »entdeckend geübt und übend entdeckt« (Winter 1984, S. 6 f.) Üben hat umfassendere Funktion als beim Üben im Sinne der traditionellen Rechendidaktik Produktivität und Qualität auf eine gemeinsame Förderung inhaltlicher und prozessbezogener Kompetenzen gerichtet mit dem operativen Üben in der Klassifikation der traditionellen Übungsformen vergleichbar, aber Wittmann und Müller betonen die Förderung prozessbezogener Kompetenzen bzw. die Lernpotenziale für das Entdecken, Nutzen und Üben mathematisch substanzieller Zusammenhänge stärker. Das aktiv-entdeckende Lernen fordert ein breites Spektrum von „produktiven“ Übungstypen, das von einführenden Übungen über strukturierte Übungen bis hin zu Automatisierungsübungen reicht. Prinzipiell sollten dabei Inhalte als „beziehungsreiche Ganzheiten“ geübt werden. Unterscheidung von 3 Übungsformen: grundlegendes, produktives und automatisierendes Üben  Automatisierendes Üben (im Sinne des aktiv-entdeckenden Lernen) hat die Funktion, grundlegende Kompetenzen zu allen Inhaltsbereichen zu sichern in der Reihe „Zahlenbuch“ zum Beispiel der „Blitzrechenkurs“ (wird aber einführend auch als grundlegendes Üben genutzt) Lern-und-Anschauungsmittel 8-Vorlesung Substanzielle Lernumgebung: Eine natürliche Erweiterung dessen, was man im Mathematikunterricht traditionell als „gute bzw. substanzielle Aufgabe“ nennt Eine flexibel große Aufgabe, die in der Regel aus mehreren Teilaufgaben und Arbeitsanweisungen besteht, die durch bestimmte Leitgedanken verbunden sind Beschreibt im Wesentlichen eine Unterrichtssituation mit Zielen, Inhalten und Vorgehensweisen bzw. Tätigkeiten der Lehrperson wie auch der Lernenden ombination aus Aufgaben Der Umgang mit Lern- und Anschauungsmitteln „Anschauung ist nicht eine Konzession an angeblich theoretisch schwache Schüler, sondern fundamental für Erkenntnisprozesse überhaupt“ (Winter 1996, S. 9) „Versuch mal, ob du es auch schon ohne Plättchen kannst...“, kann eine implizite Wertung suggerieren Lehrkraft sollte den Gebrauch von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen als Modell vorleben. Eine wünschenswerte Einstellung der Kinder gegenüber Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen kann sich nur dann entwickeln, wenn die eingesetzten Materialien das Ausnutzen effektiver Strategien auch wirklich nahelegen Mentale Bilder und mentales Operieren Der Wahrnehmende, also der Lernende, muss sich das Wahrnehmungsobjekt in Form eines aktiven kognitiven Vorgangs aneignen. Es besteht keine direkte, zwingende Verbindung zwischen Wahrnehmungsobjekten oder Veranschaulichungen und dem Denken des Lernenden. Ziel des Einsatzes von Arbeitsmitteln und Veranschaulichungen ist nicht eine schlichte „Vereinfachung“ der Zugänge zu mathematischen Sachverhalten, sondern die Konstruktion und der Ausbau klarer, tragfähiger mentaler Vorstellungsbilder. Selbst wenn die Struktur des mathematischen Sachverhaltes adäquat in einem Arbeitsmittel repräsentiert ist, dann gibt es keinen direkten und zwingenden Weg vom Anschauen des Arbeitsmittels zur gewünschten Verinnerlichung des mathematischen Begriffs. Die Verinnerlichung ist also unabhängig von der Qualität der Arbeitsmittel i. S. der Repräsentanz dieser Strukturen in dem Material. Es ist auch keine Frage der Sehfähigkeit von Kindern oder ihres motorischen Geschicks bei der Handhabung der Arbeitsmittel, denn die relevanten Eigenschaften können nicht einfach abgelesen und dann verstanden werden.  Verschiedene Postulate zum Einsatz von Lern- und Anschauungsmitteln ausreichend zeit einplanen die wesentlichen mentalen Vorstellungsbilder und Operationen werden im 1. Schuljahr ausgebildet Arbeitsmittel und Veranschaulichungen sind dann für Lernende hilfreich, wenn man sie als relationale Strukturen nutzt, d. h. die enthaltenen strukturellen Beziehungen bewusst in den Blick nimmt. Lern- und Anschauungsmittel sollten sich durch potenzielle Offenheit auszeichnen: es sollten mehrdeutige Interpretationen möglich und zugelassen sein und verschiedene Beziehungen erkundet und genutzt werden bei der Einführung eines neuen Arbeitsmittels sollte den Kindern zunächst eine Phase der freien Exploration eingeräumt wird ein bewusstes Auswählen einiger weniger, didaktisch wohlüberlegter und sinnvoller Arbeitsmittel und Veranschaulichungen Funktionen von Lern- und Anschauungsmitteln 1. Mittel zur Zahldarstellung 2. Mittel zum Rechnen 3. Argumentations- und Beweismittel Gütekriterien Beurteilung von Lern- und Anschauungsmitteln: 1. Wird die jeweilige mathematische Grundidee angemessen verkörpert? 2. Wird die Simultanerfassung von Anzahlen bis fünf bzw. die strukturierte (Quasi-Simultan-)Erfassung von größeren Anzahlen unterstützt? 3. Ist eine Übersetzung in grafische (auch von Kindern leicht zu zeichnende) Bilder möglich (Ikonisierung)? 4. Werden die Ausbildung von Vorstellungsbildern und das mentale Operieren unterstützt? 5. Wird die Verfestigung des zählenden Rechnens vermieden bzw. die Ablösung vom zählenden und der Übergang zum denkenden Rechnen unterstützt? 6. Werden verschiedene individuelle Bearbeitungs- und Lösungswege zu ein und derselben Aufgabe ermöglicht? 7. Wird die Ausbildung heuristischer Rechenstrategien unterstützt? 8. Wird der kommunikative und argumentative Austausch über verschiedene Lösungswege unterstützt? 9. Ist eine strukturgleiche Fortsetzbarkeit gewährleistet? 10. Ist ein Einsatz in unterschiedlichen Inhaltsbereichen (anstatt nur für sehr begrenzte Unterrichtsinhalte) möglich? 11. Ist ein Einsatz im Rahmen unterschiedlicher Arbeits- und Sozialformen möglich? 12. Ist eine ästhetische Qualität gegeben? 2. 13. Gibt es neben der Variante für Kinderhände auch eine größere Demonstrationsversion? 14. Ist die Handhabbarkeit auch für Kinderhände und ihre Motorik angemessen? 15. Ist eine angemessene Haltbarkeit auch unter Alltagsbedingungen gegeben? 16. Ist die organisatorische Handhabung alltagstauglich (schnell bereitzustellen bzw. geordnet wegzuräumen)? 17. Sind ökologische Aspekte angemessen berücksichtigt? 18. Stimmt das Preis-Leistungs-Verhältnis? Man muss man nicht alle können  Differenzierendes-und-individuelles-Lernen Heterogene Lerngruppen bereits bei der Einschulung weisen viele Studien große Leistungsunterschiede auf, auch im weiteren Verlauf inklusive Unterricht= zunehmende Heterogenität Neben der Heterogenität eines Jahrgangs seit geraumer Zeit auch gezielte Zusammensetzung heterogener Lerngruppen: Flexibilisierung der Schuleingangsphase, die Klassen 1 und 2 werden jahrgangsgemischt zusammengefasst und gemeinsam unterrichtet (Heterogenität als besondere Chance zum selbsttätigen und individuellen Lernen und nicht als Problem) um trotz Heterogenität möglichst günstige Lebensbedingungen schaffen, sollte differenzierendes und individuelles Lernen konsequent und selbstverständlich umgesetzt Kinder sind unterschiedlich bezüglich verschiedener Aspekte: Lerntempo, Voraussetzungen, Begabungen usw. Homogen gleichartig = Heterogen-ungleich Dimension-von-Heterogenität Vertikale Heterogenität: Unterscheidung von Leistungen Kinder eines Jahrgangs unterscheiden sich hinsichtlich ihres Leistungsniveaus – angesiedelt innerhalb eines Spektrums von sehr leistungsschwach bis sehr leistungsstark bzw. hochbegabt. Horizontale Heterogenität: Vorgehensweise= Arbeit- und Sozialverhalten Kinder unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Vorgehensweisen beim Bearbeiten von Aufgaben. Addieren: es kommt immer das Ergebnis 9 heraus Subtrahieren: 7,5,3,1 = immer 2 weniger Frage: was entdeckst du? Dimensionen von Differenzierung: Verschiedene Formen der Differenzierung: Ä u ß e r e - D i f f e r e n z i e r u n g: durch das Schulsystem: nach vier Jahren selektiert wird Separierende Lerngruppen: Die Kinder lernen zeitlich begrenzt oder auf Dauer je nach Eignung in vermeintlich leistungshomogenen Lerngruppen (z.B. in A-, B- und C-Kursen; Knobel-AGs, Förderstunden für leistungsschwächere Kinder). Die Differenzierung kann unter fächerübergreifenden wie auch unter fächerspezifischen Aspekten erfolgen Mögliche Probleme: Es ist eine Differenzierung von der Lehrkraft aus. Die Zuordnung der Kinder in die jeweiligen Leistungsgruppen ist problematisch. Ein flexibler Wechsel von Kindern in andere „Leistungsgruppen“ ist kaum oder gar nicht möglich, sodass „Entwicklungssprüngen“ nicht entsprochen werden kann. Zum Abschluss der Differenzierungsmaßnahme sind die Leistungsunterschiede oft so groß, dass eine generelle „Weichenstellung“ geschaffen wurde. I n n e r e - D i f f e r e n z i e r u n g / B i n n en d i f f e r e n z i e r u n g für eine bestimmte Zeit werden Lerngruppen eingerichtet (in der Regel von der Lehrkraft), die Lerngruppen erhalten unterschiedliche Aufgaben, die auf die individuellen Leistungsfähigkeiten und Motivationen der Lernenden abgestimmt sind. Die leistungsstarken oder mathematisch begabten Kinder lösen in dieser Phase z.B. sehr anspruchsvolle bzw. komplexe Problemaufgaben, während demgegenüber rechenschwache Kinder z.B. Aufgaben auf niedrigerem Abstraktionsniveau, mit geringerer Komplexität,... lösen. Mögliche Probleme beim Einsatz von Sternchenaufaufgaben: wollen nicht extra mehr aufgaben bearbeiten  Q u a n t i t a t i v e - D i f f e r e n z i e r u n g Hauptkriterium der Differenzierung: die Schnelligkeit, in der Regel verknüpft mit der Korrektheit der Kinder beim Lösen mathematischer Aufgaben. Kinder, die schneller (gleiche) Aufgaben als andere und diese zugleich richtig lösen, erhalten ein Zusatzangebot. leistungsstarke Kind sollen 150 Wörter schreiben und leistungsschwache nur 80 Die Zusatzaufgaben können… thematisch den vorhergehenden entsprechen, aber ebenso andere Themen enthalten, vom Anspruchsniveau vergleichbar mit den vorhergehenden „Pflichtaufgaben für alle“ oder bedeutend schwieriger sein, von der Lehrkraft oder von den Kindern selbst (z. B. Wahl aus einer Knobelbox) bestimmt werden. Vorzüge: Leicht organisierter und deshalb häufig Nutzung im MU Grenzen: Beschränkung auf vor alle ein Differnzierungskriterium (Schnelligkeit) Nur zum Teil Möglichkeiten für en selbstbestimmtes Lernen der Kinder Nur zum Teil motivierend für Kinder https://av.tib.eu/media/64352 C o m p a c t i n g : Differnzierungsmöglichkeit besondere Form der Differenzierung für leistungsstarke oder begabte Kinder im Mathematikunterricht Die Lehrkraft erlaubt einem leistungsstarken oder begabten Kind bei der Behandlung von Lernthemen, die es schon gut kennt bzw. beherrscht, sich mit alternativen Inhalten, insbesondere mit solchen, für die sich das betreffende Kind interessiert, zu beschäftigen. Voraussetzung hierfür sollte sein, dass ein Kind vorher den Nachweis über schon vorhandene Kompetenzen zum jeweiligen „Pflichtinhalt“ des Unterrichts erbringt. Zwei alternative Möglichkeiten für ein Compacting: Aufgaben zum Vertiefen oder Erweitern des Pflichtstoffes (im Sinne einer Enrichmentförderung), die Arbeit an einem speziellen Projekt, für das sich ein Kind sehr interessiert (als Enrichment- oder Accelerationsförderung). Grenzen der „traditionellen“ Differnernzierungsformen: Prinzip der Passung, z. B. durch die Zuweisung (oder die Selbstauswahl) unterschiedlich schwieriger Arbeitsblätter erreichen zu wollen, ist nicht möglich, da Aufgabenschwierigkeit in hohem Maß subjektiv ist Differenzierung bis hin zur konsequenten Individualisierung führt durch immer spezifischere, auf individuelle Bedarfe abgestellte zerlegte Lernangebote zur Vereinzelung der Lernenden. Gemeinsame Erfahrungen am gemeinsam geteilten Lerngegenstand und soziales Lernen werden vernachlässigt. Zum Teil Materialflut und sehr großer organisatorischer Aufwand Wenn Lernenden selbst über zu bearbeitende Inhalte, Aufgaben und dafür investierte Zeitpunkte und dauern entscheiden, birgt das die Gefahr der Beliebigkeit und der ungenutzten inhaltlichen Substanz. Differenzierung und Öffnung vom Fach aus oft zu wenig beachtet N a t ü r l i c h e - D i f f e r e n z i e r u n g Die gesamte Lerngruppe erhält das gleiche, komplexe Lernangebot, das naturgemäß Bearbeitungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades umfasst. Jedes Kind wirkt entsprechend seinen Voraussetzungen an der Lösungsfindung mit, hat Chancen die Aufgabe erfolgreich zu bearbeiten. Charakter der Aufgabe: offene Problemaufgabe mit Möglichkeiten zum Mathematiktreiben Die Differenzierung erfolgt vom Kind (und nicht von der Lehrkraft) aus. Jedes Kind kann selbst bestimmen, wie tief es in ein Aufgabenfeld eindringt, welche Lernmittel es nutzt, welche Lösungswege es anwendet und wie es seine Lösung darstellt. Die Differenzierung wird also v. a. durch Aufgabenfeld ausgelöst. unterschiedliche Zugangsweisen, Bearbeitungen, Lösungen und auch Hürden werden in einen interaktiven Austausch gebracht. Vorzüge: individuelle Bedürfnisse, Potenziale und Vorerfahrungen der Kinder werden ernst genommen und aufgegriffen es ist eine Differenzierung, die von den Kindern (und nicht von der Lehrkraft) ausgeht es besteht keine Gefahr einer Stigmatisierung. selbstbestimmtes bzw. eigenverantwortliches Lernen von Kindern wird explizit gefördert diese Art des Lernens entspricht zeitgemäßen fachdidaktischen Konzepten die offenen substanziellen Aufgaben eignen sich sehr gut für die Förderung prozessbezogener Kompetenzen der Bildungsstandards und sie entsprechen sehr gut dem Wesen von Mathematik für die Lehrkraft ökonomische Organisation der Lernprozesse Zusätzliche Förderstunden für rechenschwache und mathematisch begabte Kinder vorzeitige Einschulung; „Überspringen einer Klassenstufe“ Drehtür-Modell Mathematische Wettbewerbe Einzelförderung 11-Vorlesung D i a g n o s e & F ö r d e r u n. g - am Beispiel mathematisch begabter Kinder Definition von Hochbegabung: In der wissenschaftlichen Literatur findet man sehr viele verschiedene Definitionen für den Begriff „Begabung“ Oft werden die Begriffe „Begabung“ und „Intelligenz“ synonym verwendet oder miteinander vermischt. In Deutschland werden aufgrund unterschiedlicher Grundpositionen verschiedene Begriffe für den Begriffsinhalt „Begabung“ gebraucht, z.B. „Begabung“, „Hochbegabung“, „Höchstbegabung“, „Besondere Begabung“, „Potentielle Begabung“, oder „Hohe Leistungsfähigkeit“ Grundposition: Begabung als komplexes interdisziplinäres Themenfeld Begabung als ein sich dynamisch entwickelndes Potenzial (Interaktion von Anlage und Umwelt) Begabung ist bereichsspezifisch (auf einen bestimmten Tätigkeitsbereich bezogen) Ganzheitliche Sicht auf die Persönlichkeit (Co-kognitive Faktoren) Möglichkeit und Notwendigkeit einer frühen Diagnostik und sinnvollen Förderung begabter Kinder Existenz unterschiedlicher/individueller Begabungsausprägungen Merkmalssystem für Dritt- und Viertklässler mit einer Begabung Hauptaspekte der Weiterentwicklung des Merkmalssystems: Stärkere Berücksichtigung des Ansatzes von Gagné Einrahmung des Modells durch fördernde und typprägende intrapersonale und interpersonale zwischenmenschlich Katalysatoren innerhalb einer Person = Faktoren Größere Beachtung der individuellen Entwicklung eines mathematisch begabten Kindes Neuere Erkenntnisse der Hirnforschung Erkenntnisse der emotionalen Intelligenzforschung Das „Modell mathematischer Begabungsentwicklung im GSA“ D i a g n o s e: mathematischer Begabung eine Diagnose ist allgemein ein theoriebasiertes oder theoriegeleitetes Verfahren zum Feststellen von Merkmalen und deren Niveaus oder ein feinfühliger theoriebasierter Prozess des Entdeckens und Herausfindens von Personen, die den jeweiligen Merkmalen, die in einem theoretischen Konstrukt modelliert worden sind, möglichst weitgehend entsprechen. » Es kann sehr verschiedene Diagnosen zu ein und demselben Merkmal (Theoriekonstrukt) geben. » Es gibt keine absolut sichere Diagnostik. Förderung mathematischer begabter Kinder Förderung im regulären Mathematikunterricht (binnendifferenzierender Unterricht, quantitative Differenzierung Compacting, Stationenlernen, natürliche Differenzierung, offene substanzielle Problemfelder) Außerunterrichtliche bzw. –schulische Fördermaßnahmen (Projekte wie „MatheChecker“, Arbeitsgemeinschaften, Wettbewerbe, Internetprojekte) Offene, substanzielle Problemfelder geeigneten Einstiegsaufgabe Einsatz einer oder mehrerer offener Problemaufgaben zum Forschen und Entdecken Präsentation der Ergebnisse und Lösungsdiskussion Anforderungen an offene Problemfelder Vorgabe eines motivierenden, leicht verständlichen Ausgangsproblems Realistische Chancen für alle Kinder, erfolgreich zu Lernen (natürliche Differenzierung vom Kind aus) reichhaltige mathematische Substanz Offenheit bzgl. der Kreativität und der Vielfalt möglicher Entdeckungen, bzgl. der Wahl von Lösungswegen, von Hilfsmitteln und der Ergebnisdarstellung Möglichkeiten zum Mathematiktreiben (Finden von Anschlussproblemen)