H1,2 Functies en Veeltermfuncties - Slides PDF

Hoofdstukken 1 en 2: Kenmerken van functies en veeltermfuncties (HB p. 13–116) 5e jaar DO — 6 + 1 uur wiskunde B. Bories...

Hoofdstukken 1 en 2: Kenmerken van functies en veeltermfuncties (HB p. 13–116) 5e jaar DO — 6 + 1 uur wiskunde B. Bories Heilig Hartinstituut Heverlee Schooljaar 2024–2025 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 1 / 128 Overzicht 1.1 Functies (HB p. 14–17) 1.2 Kenmerken van functies (HB p. 18–38) 2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) 2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) 2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) 1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 2 / 128  1.1 Functies (HB p. 14–17) Functies Definitie functie — functiewaarde — origineel Een functie f is een verband tussen een onafhankelijke variabele (invoervariabele) x en een afhankelijke variabele (uitvoervariabele) y zodat er bij elke x-waarde ten hoogste één y -waarde hoort. Als er bij een x-waarde effectief een y -waarde hoort, is deze dus uniek en wordt ze de functiewaarde van x genoemd. We noteren: y = f (x). Indien f (x) = y , noemen we x een origineel van y. Een y -waarde kan nul, één of meerdere originelen hebben. Je kan een functie bekijken als een machine of een programma: INVOER VERWERKING UITVOER functie f invoerwaarde x functiewaarde y = f (x) Onthoud: bij elke invoerwaarde x hoort hoogstens één functiewaarde f (x). B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 4 / 128 1.1 Functies (HB p. 14–17) Functienotatie en grafieken Functies kunnen we op verschillende manieren noteren, bv. √ y = x +2+1 (verband tussen twee variabelen x en y ) √ f (x) = x + 2 + 1 (functievoorschrift) √ f : x 7→ x + 2 + 1 (functie als invoer-uitvoerproces). Definitie grafiek De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten (x, y ) in het vlak waarvoor geldt dat f (x) = y. Voorbeeld Hiernaast zie je de grafiek van de functie √ f (x) = x + 2 + 1. Onthoud: elke verticale rechte snijdt een functiegrafiek hoogstens één keer. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 5 / 128  1.2 Kenmerken van functies (HB p. 18–38) Domein en bereik (Paragraaf 1.2.1) Definitie domein Het domein van een functie f is de verzameling van alle invoerwaarden (x-waarden) waarvoor een functiewaarde bestaat. Intuı̈tief: ‘alle invoer’ die de functie aanvaardt. Notatie: dom f. Grafisch: loodrechte projectie van de grafiek op de x-as. Definitie bereik Het bereik van een functie f is de verzameling van alle functiewaarden van f. Intuı̈tief: ‘alle uitvoer’ die de functie kan produceren. Notatie: ber f. Grafisch: loodrechte projectie van de grafiek op de y -as. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 7 / 128 1.2 Kenmerken van functies (HB p. 18–38) Domein en bereik Voorbeeld De functie √ f (x) = x + 2 + 1 heeft als domein dom f = [−2, +∞[ en als bereik ber f = [1, +∞[. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 8 / 128  1.2 Kenmerken van functies (HB p. 18–38) Wat met Paragrafen 1.2.2–1.2.6? 1.2.2 Nulwaarden, nulpunten en tekentabel → Theoriekader p. 21 is te kennen. → Wordt verder opgenomen in Paragrafen 2.2 en 2.3. 1.2.3 Extrema en verloopschema → Zie verderop in deze slides. 1.2.4 Symmetrie → Zie verderop in deze slides. 1.2.5 Gedrag op oneindig en asymptoten → Theoriekaders p. 29–31 zijn te kennen. → Wordt verder opgenomen in Hoofdstukken 3 en 7. 1.2.6 Periodiciteit → Theoriekader p. 34–35 is te kennen. → Wordt verder opgenomen in Hoofdstuk 6: Goniometrische functies. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 15 / 128  2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) Veeltermen en veeltermfuncties Definitie veelterm(functie) Een niet-nul veelterm(functie) is een uitdrukking (functie) van de vorm f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 met n ∈ N, an ∈ R0 en an−1 ,... , a0 ∈ R. We noemen n de graad van de an ,... , a0 de coëfficiënten veelterm(functie). an de hoogstegraadscoëfficiënt an x n de hoogstegraadsterm a0 de constante term De uitdrukking (functie) f (x) = 0 heet de nulveelterm(functie) en heeft per afspraak graad −∞ (‘min oneindig’) (zie verder). B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 18 / 128 2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) Voorbeelden van veeltermen en veeltermfuncties 1 f (x) = −17 is een veelterm(functie) van de nulde graad. 2 f (x) = 3x − 5 is een veelterm(functie) van de eerste graad. 3 f (x) = 2π 6 − 8x 2 − 3x 5 is een veelterm(functie) van de vijfde graad. 4 f (x) = (4x 3 + x − 1)(7 − 15x − 3x 2 ) is een veelterm(functie) van de vijfde graad. p 5 f (x) = x 2 + 2x + 1 is geen veelterm(functie). 2x 2 + 3x 6 f (x) = is geen veelterm(functie). √ 2 x √ 5x − x + 3 π 7 f (x) = is een veelterm(functie) van de tweede graad. 7 √ 8 f (x) = (x 3 − 7x − 8)2 (x 4 + 2) + 2x 3 − x 2 + 1 is een veelterm(functie) van de tiende graad. 9 f (x) = (1 − x 2 )(5x 2 + 2) + 5x 4 − x + 3 is een veelterm(functie) van de tweede graad. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 19 / 128  2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) Rekenregels voor de graad van een veelterm Notatie We noteren de graad van een veelterm f (x) met gr[f (x)]. Rekenregels Zij f (x) en g (x) veeltermen, r ∈ R0 en n ∈ N0. Dan geldt gr[f (x) ± g (x)] ⩽ max(gr[f (x)], gr[g (x)]) (som- en verschilregel) gr[r · f (x)] = gr[f (x)] (veelvoudregel) gr[f (x) · g (x)] = gr[f (x)] + gr[g (x)] (productregel) gr[(f (x))n ] = n · gr[f (x)] (machtregel) Opmerking De reden dat we de nulveelterm graad −∞ toekennen, is dat bovenstaande rekenregels ook zouden gelden voor de nulveelterm. Hierbij hanteren we volgende logische afspraken. Voor m eender welke graad en n ∈ N0 geldt max(m, −∞) = m, m + (−∞) = −∞ en n · (−∞) = −∞. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 20 / 128 Hoogste- en laagstegraadsterm van een veelterm Voorbeelden (−3x 2 + 7x − 2)(4x 2 − x + 8) = −12x 4 + (tussenliggende termen) − 16 (5x 2 + 12x − 3)3 = 125x 6 + (tussenliggende termen) − 27 Eigenschap De hoogstegraadsterm (HGT) van een product van veeltermen is gelijk aan het product van de HGT’en van die veeltermen. De HGT van een natuurlijke macht van een veelterm is gelijk aan die macht van de HGT van die veelterm. Hetzelfde geldt voor laagstegraadstermen. Let op: bovenstaande eigenschap geldt absoluut niet voor de tussen- liggende termen. Tussenliggende termen berekenen vergt meer rekenwerk.  2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) Extra oefening 1 Bepaal van onderstaande veeltermen telkens de graad en de hoogste- en de laagstegraadsterm. f (x) = (2x − 3)(5x 2 − 15x + 10) g (x) = (1 − 2x)6 (−x 2 − 5x − 6)3 h(x) = −5x 7 (x 2 − 7x + 10)(x 2 − 11x + 3)4 i(x) = 4x 42 − 1000x 2 − 8x 253 + x 97 − 3x 839 + 900x 730 + 2x 3 j(x) = −2x(−x 2 + 5x − 6)(1 − x)5 (4x − 3)2 k(x) = 4(x 2 − 3x + 5)(2x 2 − 2x + 1) − x 2 (7x 2 + 6x + 5) − 3x + 1 l(x) = (2 − 3x + 4x 2 )(3x 2 − 2x + 1) + (2x 2 − 3)(5 − 6x 2 ) 5 m(x) = x 2 − x 2 + 3x − 1 De oplossingen van deze en alle andere extra oefeningen vind je terug in de originele slides (schermversie) op Teams. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 22 / 128 2.1 Basisbegrippen veeltermfuncties (HB p. 74–76) Eigenschappen van veeltermfuncties en veeltermgrafieken Het domein van een veeltermfunctie is altijd R. Een veeltermfunctie is continu en afleidbaar in heel R (2e semester). Dit wil zeggen dat de grafiek van een veeltermfunctie een gladde, doorlopende kromme is (zonder ‘gaten’ of ‘sprongen’ of ‘knikpunten’), waarvan de loodrechte projectie op de x-as de hele x-as beslaat. De grafiek van een veeltermfunctie van graad n snijdt een horizontale rechte hoogstens n keer. De grafiek van een veeltermfunctie van graad n heeft hoogstens n − 1 toppen. Een top is een overgang van stijgen naar dalen of omgekeerd. Overzicht veeltermgrafieken volgens graad en hoogstegraadscoëfficiënt: zie les. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 24 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Nulwaarden en nulpunten van functies Definitie nulwaarde Een nulwaarde van een functie f is een origineel van 0. een invoerwaarde (x-waarde) waarvoor de functiewaarde nul is. een oplossing van de vergelijking f (x) = 0. de x-coördinaat van een snijpunt van de grafiek van f met de x-as. Definitie nulpunt Een nulpunt v/e functie f is een snijpunt van de grafiek van f met de x-as. Verband tussen nulwaarde en nulpunt Zij f een functie. Dan geldt: Een nulwaarde van f is de x-coördinaat van een nulpunt van f. Een nulpunt van f is een punt in het vlak van de vorm (a, 0) met a een nulwaarde van f. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 26 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Grafisch bepalen van nulwaarden (via grafiek of tabel) Soms kan je nulwaarden van een functie aflezen van een grafiek of tabel. Je RT of computersoftware zoals Geogebra kan hierbij een hulp zijn. Deze methode heeft echter heel wat beperkingen... B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 27 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Algebraı̈sch bepalen van nulwaarden (via een berekening) 1 Eerstegraadsfuncties f (x) = ax + b, bv. f (x) = 11x + 7 2 Tweedegraadsfuncties f (x) = ax 2 + bx + c Onvolledige tweedegraadsfuncties (b = 0 of c = 0), bv. f (x) = −4x 2 , g (x) = 3x 2 − 8, h(x) = 14x 2 − 6x √ −b ± D Discriminantformule: x1,2 = als D = b 2 − 4ac ⩾ 0, bv. 2a f (x) = 6x 2 − x − 12 b c Som- en productformule: S = x1 + x2 = − en P = x1 · x2 = , bv. a a f (x) = −x 2 − 5x − 6 Deze methode is vooral handig als a = ±1. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 28 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Algebraı̈sch bepalen van nulwaarden (via een berekening) 3 Derde- of vierdegraadsfuncties: algemeen geldende formules bestaan, maar ze zijn vrij ingewikkeld, bv. f (x) = −2x 3 − 5x 2 + 9x + 7, g (x) = 2x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 5x − 2 4 Hogeregraadsfuncties: er bestaan géén algemeen geldende formules voor de nulwaarden, bv. f (x) = 3x 5 − 5x 4 − 3x 3 − x 2 + 7x + 5 5 Multikwadratische functies: substitueer x k door t, bv. f (x) = x 4 − 2x 2 − 15, g (x) = 2x 6 + 15x 3 − 8 6 Algemene aanpak: ontbinden in factoren, bv. f (x) = 3x 4 − 15x 3 − 18x 2 + 42x − 12 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 29 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Wat is ontbinden in factoren? Definitie ontbinden in factoren Ontbinden in factoren wil zeggen een uitdrukking schrijven als een product van zoveel mogelijk factoren. Het is in zekere zin het omgekeerde van ‘uitwerken’. Voorbeeld f (x) = −3x 4 + 6x 3 − 3x 2 (uitgewerkte vorm) = −3x 2 (x 2 − 2x + 1) = −3x 2 (x − 1)2 (ontbonden vorm) Hoe helpt ontbinden ons om nulwaarden te vinden? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 30 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Waarom ontbinden in factoren? Veronderstel dat we een veelterm f (x) kunnen ontbinden in twee factoren g (x) en h(x) van een lagere graad: f (x) = g (x) · h(x). Dan volgt: f (x) = 0 ⇕ g (x) · h(x) = 0 ⇕ g (x) = 0 of h(x) = 0. Het probleem van het vinden van nulwaarden van f is dus gereduceerd tot het vinden van nulwaarden van twee veeltermfuncties van een lagere graad. Hoofdstelling van de algebra Elke veelterm kan ontbonden worden in factoren van de eerste graad en/of onontbindbare factoren van de tweede graad (discriminant D < 0). Een dergelijke ontbinding vinden is echter niet altijd vanzelfsprekend. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 31 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Oefening Bepaal de nulwaarden van volgende veeltermfuncties. 1 f (x) = 5(x + 4)(3x − 2) 2 g (x) = 5(x + 4)(3x − 2) + 1 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 32 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Ontbonden vorm versus uitgewerkte vorm In het algemeen is een veeltermfunctie in ontbonden vorm veel handiger om mee te werken dan in uitgewerkte vorm. Van een veeltermfunctie in ontbonden vorm kunnen namelijk de nulwaarden onmiddellijk worden afgelezen! Voorbeeld Vergelijk: f (x) = 4x 3 (x − 5)2 (3x + 11)(2x 2 + 1) (ontbonden vorm) = 24x 8 − 152x 7 − 268x 6 + 2124x 5 − 140x 4 + 1100x 3 (uitgewerkte vorm) Een gouden raad doorheen de hele cursus is dan ook: Werk een veeltermfunctie in ontbonden vorm nooit uit, tenzij je daar een zéér goede reden voor hebt! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 33 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Hoe ontbinden in factoren? Enkele technieken opgelijst... 1 Gemeenschappelijke factoren afzonderen (buiten de haakjes brengen) 2 Merkwaardige producten/identiteiten (zie volgende slide) 3 Termen groeperen 4 Indien alle exponenten van x een veelvoud zijn van eenzelfde natuurlijk getal k ⩾ 2, kan je de substitutie t = x k doorvoeren om zo de graad van de veelterm te verlagen (bv. bikwadratische functies). 5 D.m.v. Euclidische deling (m.b.v. het rekenschema van Horner) en steunend op de Reststelling (zie verder) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 34 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Merkwaardige producten/identiteiten 1 a2 − b 2 = (a − b)(a + b) (verschil van twee kwadraten) 2 a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 ) (verschil van twee derdemachten) 3 a3 + b 3 = (a + b)(a2 − ab + b 2 ) (som van twee derdemachten) 4 a2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 (volkomen kwadraat) 5 a2 − 2ab + b 2 = (a − b)2 (volkomen kwadraat) 6 ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )als D > 0 en x1,2 zijn de nulwaarden 7 ax 2 + bx + c = a(x − x1 )2 als D = 0 en x1 is de (dubbele) nulwaarde 8 ax 2 + bx + c kan niet ontbonden worden als D < 0 9 a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b)3 (volkomen derdemacht) 10 a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b)3 (volkomen derdemacht) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 35 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Euclidische deling of staartdeling van natuurlijke getallen Voorbeelden Voer de Euclidische deling (ED) of staartdeling uit 1 van 9 765 door 7. 2 van 68 688 door 13. Stelling (Euclidische deling van natuurlijke getallen) + terminologie Zij D en d natuurlijke getallen met d ̸= 0. Dan bestaan er unieke natuurlijke getallen q en r zodat volgende twee voorwaarden voldaan zijn: 1 D =d ·q+r én 2 r < d. We noemen q het quotiënt en r de rest van de Euclidische deling van deeltal D door deler d. Terminologie Zij D en d zoals hierboven. Als de rest van de ED van D door d gelijk is aan nul, resulteert de ED in een ontbinding van het deeltal: D = d · q. We spreken dan van een opgaande deling en noemen d een deler van D. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 36 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Euclidische deling of staartdeling van veeltermen Op heel analoge wijze als bij de ons vertrouwde natuurlijke getallen kunnen we ook veeltermen Euclidisch delen door elkaar. Voorbeelden Voer de Euclidische deling of staartdeling uit 1 van 4x 5 − 13x 4 + 5x 3 + 10x 2 − 17x + 5 door x 2 − 3x + 1. 2 van 6x 4 + 14x 3 − 11x 2 − 30x + 20 door 2x 3 − 5x + 2. 3 van 2x 5 + x 4 − 5x 2 − 11 door −4x 3 + 1. 4 van −8x 4 + 4x 3 − 7x + 12 door 2x − 3. Werk deze voorbeelden thuis eens uit bij wijze van opfrissing! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 38 / 128 Euclidische deling of staartdeling van veeltermen Stelling (Euclidische deling van veeltermen) + terminologie Zij D(x) en d(x) veeltermen met d(x) niet de nulveelterm. Dan bestaan er unieke veeltermen q(x) en r (x) zodat aan elk van de volgende twee voorwaarden voldaan is: 1 D(x) = d(x) · q(x) + r (x) én 2 gr[r (x)] < gr[d(x)]. We noemen q(x) het quotiënt en r (x) de rest van de Euclidische deling van deeltal D(x) door deler d(x). Terminologie Zij D(x) en d(x) zoals hierboven. Als de rest van de ED van D(x) door d(x) gelijk is aan nul, resulteert de ED in een ontbinding van het deeltal: D(x) = d(x) · q(x). We spreken van een opgaande deling en noemen d(x) een deler van D(x). Euclidische deling kan dus aanleiding geven tot de ontbinding van een veelterm in factoren. We weten al dat dit een zeer zinvolle betrachting is.  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Euclidische deling door delers van de vorm x − a (a ∈ R) en het rekenschema van Horner We verleggen nu onze focus naar een specifieke soort van eenvoudige delers, namelijk delers van de vorm x − a met a ∈ R. Deze delers van de eerste graad spelen een bijzondere rol bij het ontbinden van veeltermen. Voorbeelden Voer de Euclidische deling uit 1 van 7x 5 − 23x 4 + x 3 + 26x 2 − 56x + 78 door x − 3. 2 van −2x 4 − 10x 3 + 17x 2 + 77x − 40 door x + 5. 3 van 7x 6 − 2x 5 − 128x 2 + 4x door x + 2. 4 van 125x 3 − 27 door x − 53. Euclidische deling door delers van de vorm x − a kan natuurlijk op de klassieke manier worden uitgevoerd a.d.h.v. een staartdeling. Het gaat echter een heel stuk sneller m.b.v. het speciaal voor deze vorm ontwikkelde rekenschema van Horner. Werk deze vb’en thuis eens uit als herhaling! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 40 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Euclidische deling door delers van de vorm x − a (a ∈ R) Bij ED door delers van de vorm x − a moet de graad van de rest strikt kleiner zijn dan gr[x − a] = 1, d.w.z. dat de rest slechts een reëel getal is. Stelling (Euclidische deling door x − a met a ∈ R) Zij f (x) een veelterm en a ∈ R. Dan bestaat er een unieke veelterm q(x) en een uniek getal r ∈ R zodat f (x) = (x − a) · q(x) + r. We noemen zoals voorheen q(x) het quotiënt en r de rest van de Euclidische deling van f (x) door x − a. Als de rest van bovengenoemde ED gelijk is aan nul (en de deling dus opgaat), leidt dit tot een ontbinding in factoren: f (x) = (x − a) · q(x). Met het oog op het ontbinden van f (x) is het dus zeer interessant om te weten welke waarden voor a ∈ R aanleiding geven tot rest r = 0. De beroemde Reststelling op de volgende slide vertelt ons precies waar we die waarden van a moeten gaan zoeken. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 41 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) De Reststelling en ontbinden in factoren Reststelling Zij f een veeltermfunctie en a ∈ R. De rest van de Euclidische deling van f (x) door x − a is gelijk aan de functiewaarde f (a) van a. Bijgevolg geldt: f (x) = (x − a) · q(x) + f (a) met q(x) het quotiënt van bovengenoemde deling. Zeer belangrijk gevolg van de Reststelling Als a een nulwaarde is van f , dan is f (x) deelbaar door x − a zonder rest. In symbolen: f (a) = 0 =⇒ f (x) = (x − a) · q(x). Als we dus een nulwaarde a van f kennen, kunnen we m.b.v. een Euclidische deling de veelterm f (x) ontbinden in factoren: f (x) = (x − a) · q(x). Het quotiënt q(x) in deze ontbinding is bovendien eenvoudig te bepalen B.m.b.v. hetHartinstituut Bories (Heilig rekenschema Heverlee) van Hfdst. Horner. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 42 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Gehele nulwaarden zoeken i.f.v. ontbinden in factoren Als we een veelterm f (x) willen ontbinden m.b.v. het rekenschema van Horner, hebben we dus een nulwaarde a van f nodig. We gaan daarom op zoek naar eenvoudige nulwaarden, doorgaans zijn dat gehele nulwaarden. Nodige voorwaarde voor gehele nulwaarden Zij f (x) een veelterm met gehele coëfficiënten en a een geheel nulwaarde van f. Dan is a een gehele deler van de constante term a0 van f (x). We kunnen dus alle gehele delers v/d constante term testen op nulwaarde zijn in de hoop zo een nulwaarde te vinden. Dit testen kan met de hand, met je RT of met Geogebra gebeuren. Eventuele nulwaarden ±1 kan je best snel leren ‘spotten’. Dit kan a.d.h.v. volgend eenvoudig principe. Criterium voor nulwaarden ±1 f (1) = 0 ⇐⇒ de som der coëfficiënten van f (x) is nul f (−1) = 0 ⇐⇒ de som der coëfficiënten der evengraadstermen = de som der coëfficiënten der onevengraadstermen B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 43 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Oefening Ontbind onderstaande veelterm op drie verschillende manieren. f (x) = 15x 2 − 9x − 6 1 Door de nulwaarden te zoeken m.b.v. de discriminantformule. 2 Eén nulwaarde op zicht (of via tabel) + Horner. 3 Eén nulwaarde op zicht + resterende factor op zicht. Tip: als je twijfelt of je ontbinding klopt, werk ze dan opnieuw uit ter controle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 44 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 2 Ontbind (indien mogelijk) onderstaande veeltermen op de 3e manier (nulwaarde gegeven of op zicht + resterende factor op zicht). f (x) = 7x 2 − 5x − 2 g (x) = x 2 + 5x − 14 (We geven mee dat x = 2 een nulwaarde is.) h(x) = 2x 2 − x − 3 i(x) = 6x 2 + x − 2 (We geven mee dat x = 1 2 een nulwaarde is.) j(x) = x 3 − 2x 2 + 1 k(x) = 122 − 87x − 35x 2 l(x) = x 4 + 4x 2 + 3 De oplossingen van deze en alle andere extra oefeningen vind je terug in de originele slides (schermversie) op Teams. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 45 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Multipliciteit van een nulwaarde Het ‘Zeer belangrijk gevolg van de Reststelling’ dat we formuleerden op Slide 42, geldt in feite in de twee richtingen. Zeer belangrijk gevolg van de Reststelling (bis) Zij f een veeltermfunctie en a ∈ R. Het getal a is een nulwaarde van f als en slechts als f (x) deelbaar is door x − a zonder rest. In symbolen: f (a) = 0 ⇐⇒ f (x) = (x − a) · q(x) met q(x) het quotiënt van de Euclidische deling van f (x) door x − a. Dit wil zeggen: met elk nulwaarde a van f komt een factor x − a van f (x) overeen, en omgekeerd, met elke factor x − a van f (x) komt een nulwaarde a van f overeen. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 47 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Multipliciteit van een nulwaarde De multipliciteit m van een nulwaarde a van f is (intuı̈tief) het aantal keer dat a een nulwaarde is van f. (preciezer) het aantal keer dat de factor x − a (maximaal) voorkomt in de volledige ontbinding van f (x). (of nog) het aantal keer dat we f (x) achtereenvolgens kunnen delen door x − a zonder rest (bv. met een Hornerschema). Helemaal exact hebben we volgende definitie. Definitie multipliciteit Zij f een veeltermfunctie, a ∈ R en m ∈ N. Het getal a is een m-voudig nulwaarde van f als en slechts als we f (x) kunnen schrijven als f (x) = (x − a)m · g (x) met g (x) een veelterm en g (a) ̸= 0. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 48 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Multipliciteit van een nulwaarde: oefening Bepaal de multipliciteit van 2 als nulwaarde van de veeltermfunctie f (x) = x 2 (x + 2)(2 − x)(3x − 6)3 (x − 2)5 (x 2 − 4)(x 2 − 4x + 4). B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 49 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Aantal nulwaarden van een veeltermfunctie Stelling Een veeltermfunctie van graad n heeft hoogstens n nulwaarden, zelfs als je de multipliciteiten van de nulwaarden in rekening brengt.1 Anders gezegd: de som van de multipliciteiten van de verschillende nulwaarden v/e veeltermfunctie f is hoogstens gelijk aan de graad van f. 1 Dit wil zeggen dat je een m-voudig nulwaarde mag tellen als m nulwaarden. Verklarend voorbeeld Zij f een veeltermfunctie met nulwaarden 0 (4v), −5 (2v) en 7 (1v). Volgens de reststelling en de definitie van multipliciteit is f (x) dan van de vorm f (x) = x 4 (x + 5)2 (x − 7) · g (x) met g een zekere veeltermfunctie. Hieruit volgt onmiddellijk dat f minstens van graad 7 is. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 50 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Oefeningen op 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties Oefeningen die we maken in de les: Extra oefeningen 3, 4, 6 en 7 op de volgende slides. Oefeningen voor thuis: Extra oefening 5 op Slide 56 (ontbinden in factoren en nulwaarden). Oefeningen op Euclidische deling van veeltermen: Oef. 13, 15 p. 83. Oef. 47, 56 p. 105–106. Oefeningen op de Reststelling: Oef. 19 p. 84. Oef. 48, 49, 50, 54 p. 105–106. Oefeningen op het rekenschema van Horner: Oef. 20, 21, 22 p. 87. Oef. 52, 53 p. 106. Oefeningen op ontbinden in factoren en nulwaarden: Oef. 9, 10, 14, 24, 25, 26, 27, 28 p. 80–90. Oef. 45, 51, 57, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 66 p. 105–107. Eventueel Oef. 67, 68, 69, 70, 71 p. 108 (reeks 3). Meer oefeningen op Teams en Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 51 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 3 Ontbind onderstaande veeltermfuncties zo ver mogelijk in factoren. Bepaal vervolgens de nulwaarden en hun multipliciteiten. 1 f (x) = 2x 3 − 2x 2 f (x) = −3x 3 − 12x 2 + 33x + 90 3 f (x) = x 3 − 3x 2 + 2x − 6 (2 mogelijkheden!) 4 f (x) = 4x 3 + 4x 2 − 7x + 2 5 f (x) = 2x 4 − 10x 2 + 12 6 f (x) = x 4 − 9 7 f (x) = x 4 − x 3 − 5x 2 + 4x + 4 8 f (x) = 6x 4 + 25x 3 + 27x 2 + 3x − 5 9 f (x) = x 4 + 1 (uitdaging!) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 52 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 4 Ontbind onderstaande veeltermfuncties zo ver mogelijk in factoren. Bepaal vervolgens de nulwaarden en hun multipliciteiten. 1 f (x) = x 6 − 1 2 f (x) = 4x 6 − x 4 + 4x 2 − 1 3 f (x) = 2x 2 + x − 6 4 f (x) = 27x 3 + 8 5 f (x) = 6x 3 − 4x 2 + 3x − 2 6 f (x) = 27x 3 + 27x 2 + 9x + 1 3 √ 2 √ 7 f (x) = 8x − 12 2 · x + 12x − 2 2 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 54 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 5 Ontbind onderstaande veeltermfuncties zo ver mogelijk in factoren. Bepaal vervolgens de nulwaarden en hun multipliciteiten. 1 f (x) = 12x 4 − 51x 2 + 45 2 f (x) = 9x 4 − 2x 3 − 72x + 16 3 f (x) = 10x 3 − x 2 − 11x + 2 4 f (x) = 5x 3 − 2x 2 + 3x + 10 5 f (x) = (7x + 2)(9x 2 + x) − (7x + 2)(x + 4) 6 f (x) = 2x 3 − x 2 − 8x + 4 7 f (x) = 8x 3 − 18x 2 + 3x + 2 8 f (x) = x 4 + 2x 3 + 6x − 9 9 f (x) = −2x 4 − 7x 3 − 4x 2 + 4x B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 56 / 128  2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 6 a Geef het functievoorschrift van een functie f die voldoet aan elk van de volgende voorwaarden: 1 f is een veeltermfunctie van graad 3; 2 f heeft nulwaarden 3 (1v) en −2 (2v); 3 de grafiek van f gaat door het punt P(−3, 3). Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de functie f ? b Bepaal het functievoorschrift van de functie f die voldoet aan elk van de volgende voorwaarden: 1 f is een veeltermfunctie van graad 4; 2 f heeft nulwaarden −1 (2v) en 1 (2v); 3 de grafiek van f gaat door het punt P(2, 3). B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 58 / 128 2.2 Nulwaarden van veeltermfuncties (HB p. 77–90) Extra oefening 7 Geef telkens (indien mogelijk) een voorbeeld van een vierdegraadsfunctie met precies de nulwaarden 1 geen 2 5 (1v) 3 0 (2v) 4 −2 (3v) 5 1 (4v) 2 6 −1 (1v), 3 (1v) 7 0 (1v), 1 (2v) √ 8 − 2 (1v), π (3v) 9 2 (2v), 3 (3v) 10 1 (1v), 2 (1v), 3 (1v) 11 0 (1v), 2 (1v), −7 (2v) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 59 / 128  2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) Tekenschema v/e veeltermfunctie: ‘lange’ methode (vb.) We stellen bij wijze van voorbeeld het tekenschema op van de functie √ f (x) = −5x 3 (x − 2)4 (x + 1)2 (x + 2)(x 2 + x + 1). √ Nulwaarden f : 0 (3v), 2 (4v), −1 (2v), − 2 (1v) Tekenschema f : √ x − 2 −1 0 2 −5 − − − − − − − − − x3 − − − − − 0 + + + (x − 2)4 + + + + + + + 0 + (x + 1)2 + + + 0 + + + + + √ (x + 2) − 0 + + + + + + + (x 2 + x + 1) + + + + + + + + + f (x) − 0 + 0 + 0 − 0 − B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 61 / 128 2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) Tekenschema v/e veeltermfunctie: ‘korte’ methode (alg.) Hoe kunnen we dit tekenschema veel sneller vinden? Actieplan tekenschema van een veeltermfunctie opstellen Zij f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 een veeltermfunctie. 1 Ontbind f (x) in factoren van de eerste en/of tweede graad. 2 Bepaal alle nulwaarden van f en hun multipliciteiten. 3 Orden de verschillende nulwaarden van f van klein naar groot in een tekenschema. Volledig rechts in het tekenschema komt het teken van de hoogste- 4 graadscoëfficiënt an. Vul het schema verder aan van rechts naar links. ‘Spring’ je over een nulwaarde van oneven multipliciteit, dan verandert het teken van f (x). ‘Spring’ je over een nulwaarde van even multipliciteit, dan verandert het teken niet. √ x − 2 −1 0 2 Tekenschema f : f (x) − 0 + 0 + 0 − 0 − B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 62 / 128  2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) Gedrag van een veeltermgrafiek in de buurt van een nulwaarde in functie van de multipliciteit van die nulwaarde Hoe de grafiek van een veeltermfunctie zich gedraagt in de buurt van een nulwaarde, hangt af van de multipliciteit van die nulwaarde. De voorbeelden op de volgende slide maken dit duidelijk. Ze laten ook zien hoe de multipliciteit van een nulwaarde verband houdt met het zich al dan niet voordoen van een tekenwissel van de functiewaarden. Besluiten Zij f een veeltermfunctie en a een nulwaarde van f met multipliciteit m. Hoe hoger de multipliciteit m van nulwaarde a, hoe ‘sterker’ de grafiek van f de x-as raakt in het nulpunt (a, 0). Bij een oneven multipliciteit verandert f (x) van teken in x = a; bij een even multipliciteit doet zich geen tekenwissel voor in x = a. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 63 / 128 Gedrag grafiek van f bij nulwaarde a met multipliciteit m y m=1 y m=3 y m=5 a x a x a x y m=2 y m=4 y m=6 a x a x a x  2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) Hoe een veeltermongelijkheid oplossen? Eens je het tekenschema van een veeltermfunctie kan opstellen, is het nog slechts een kleine stap naar het oplossen van een veeltermongelijkheid... Actieplan veeltermongelijkheid oplossen 1 Herleid de ongelijkheid naar een ongelijkheid van de vorm f (x) > 0 of f (x) ⩾ 0 of f (x) < 0 of f (x) ⩽ 0 met f een veeltermfunctie. Vergeet je functie f ook niet te definiëren. 2 Stel het tekenschema op van de functie f. 3 Lees de oplossingsverzameling (OV) van de ongelijkheid af van je tekenschema en formuleer je antwoord. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 65 / 128 2.3 Tekentabel en ongelijkheden (HB p. 91–94) Oefeningen op 2.3 Tekentabel en ongelijkheden Extra oefening 8. Maak tekenschema’s van onderstaande functies. 1 f (x) = −3x 4 − x 3 + 2x 2 2 g (x) = −5x 3 (x + 1)2 (x + 3 − 2x 2 )(−x 2 + 2x − 1) Extra oefening 9. Los onderstaande ongelijkheden op. 1 6x − x 5 + x 4 ⩽ x 2 (13 − 7x) 2 (x − 1)(8x 4 + 4x 3 ) > (x − 1)(6x 2 + 5x + 1) 3 6 4 8 6 √ 3 2x (x + 6x ) < (6x + 4x ) 2 Oefeningen voor thuis: Oef. 31, 32, 33 p. 93. Meer oefeningen op Teams en Oef. 80, 81, 82, 83 p. 112. Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 66 / 128  2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) “Beeld op oneindig” van een veeltermgrafiek Wat zien we als we de grafiek van een veeltermfunctie sterk uitzoomen? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 70 / 128 2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) “Beeld op oneindig” van een veeltermgrafiek Het “beeld op oneindig” van (de grafiek van) een veeltermfunctie ≈ het “beeld op oneindig” van (de grafiek van) de hoogstegraadsterm. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 71 / 128  2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) “Beeld op oneindig” van een veeltermgrafiek Het “beeld op oneindig” van (de grafiek van) een veeltermfunctie ≈ het “beeld op oneindig” van (de grafiek van) de hoogstegraadsterm. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 72 / 128 2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) Algemeen beeld van een machtsfunctie f (x) = ax n B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 73 / 128 Algemeen beeld van een machtsfunctie f (x) = ax n 2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) Beeld “op oneindig” van een veeltermfunctie f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 75 / 128  2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) (HB p. 95–99) Oefeningen op 2.4 Gedrag op oneindig (van veeltermfuncties) Oefeningen voor thuis: Oef. 90, 91, 93, 94, 95 p. 114–115. Meer oefeningen op Teams en Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 76 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   Sx  y 1 y = −f (x) 1 x “Spiegeling om de x-as” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 78 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   VU  y factor 2  1 y = 2 · f (x) 1 x “Verticale uitrekking met factor 2” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 79 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   VU  1 y factor  2 1 1 y= · f (x) 2 1 x 1 “Verticale uitrekking met factor ” 2 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 80 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   VU  Sx +  y factor 2 1 y = −2 · f (x) 1 x “Spiegeling om de x-as + verticale uitrekking met factor 2” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 81 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   ⃗v (0, 1)  y 1 y = f (x) + 1 1 x “Verticale verschuiving naar boven over een afstand 1” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 82 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   ⃗v (0, −2)  y 1 y = f (x) − 2 1 x “Verticale verschuiving naar beneden over een afstand 2” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 83 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   Sy  y 1 y = f (−x) 1 x “Spiegeling om de y -as” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 84 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   HU  1 y factor  2 1 y = f (2x) 1 x 1 “Horizontale uitrekking met factor ” 2 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 85 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   HU  y factor 2  1   1 y= f x 2 1 x “Horizontale uitrekking met factor 2” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 86 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   HU  Sy +  1 y factor 2 1 y = f (−2x) 1 x “Spiegeling om de y -as + 1 horizontale uitrekking met factor ” 2 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 87 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   ⃗v (−1, 0)  y 1 y = f (x + 1) 1 x “Horizontale verschuiving naar links over een afstand 1” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 88 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   ⃗v (2, 0)  y 1 y = f (x − 2) 1 x “Horizontale verschuiving naar rechts over een afstand 2” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 89 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Transformaties van grafieken: voorbeelden y y = f (x)   ⃗v (1, −2)  y 1 y = f (x − 1) − 2 1 x “Verschuiving over de vector ⃗v (1, −2)” B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 90 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Verticale transformaties “Je verandert iets aan f (x) (in zijn geheel!)” (= zeer intuı̈tief) y = f (x)  y Spiegeling om de x-as (Sx ) y = −f (x) y = f (x)  y Verticale uitrekking (VU) met factor k y = k · f (x) (met k > 0) y = f (x)  y Verticale verschuiving over de vector ⃗v (0, q) y = f (x) + q B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 91 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Horizontale transformaties “Je verandert iets aan (elke!) x” (= ietwat contra-intuı̈tief) y = f (x)  y Spiegeling om de y -as (Sy ) y = f (−x) y = f (x)  y 1 Horizontale uitrekking (HU) met factor y = f (kx) k (met k > 0) y = f (x)  y Horizontale verschuiving over de vector ⃗v (p, 0) y = f (x − p) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 92 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Best eerst de vorm vastleggen... 1 Spiegelingen y = f (x) y = f (x)     Sx Sy y y y = −f (x) y = f (−x) 2 Uitrekkingen y = f (x) y = f (x)    VU  HU   1 y factor k y factor   k y = k · f (x) y = f (kx) (met k > 0) (met k > 0) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 93 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72)... en dan pas de positie 3 Verschuiving y = f (x)   ⃗v (p, q)  y y = f (x − p) + q Opmerkingen De volgorde waarin je verschillende transformaties uitvoert, is wel degelijk van belang! In de oefeningen is het veel gemakkelijker om je eerst over de vorm van de grafiek te ontfermen en dan pas over de positie ervan. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 94 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Oefeningen op 1.3 Transformaties van grafieken Oefeningen die we maken in de les: Oef. 32, 33 p. 42. Extra oefeningen 10 en 11 op Slides 97 en 98. Oefeningen voor thuis: Oef. 31, 34 p. 39–43. Oef. 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109 p. 67–70. Meer oefeningen op Teams en Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 95 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Oef. 32 p. 42 B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 96 / 128  1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Extra oefening 10 Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = −18x 3 + 4x 2 + x + 7. Op de grafiek van f voeren we achtereenvolgens deze transformaties uit: 1 eerst spiegelen we de grafiek t.o.v. de x-as, 2 dan spiegelen we de grafiek t.o.v. de y -as, 3 daarna rekken we de grafiek verticaal uit met factor 6, 4 vervolgens rekken we de grafiek horizontaal uit met factor 3, 5 ten slotte verschuiven we de grafiek over de vector ⃗v (2, −5). Het resultaat is de grafiek van de functie g. Bepaal het functievoorschrift van de functie g en werk alle haakjes weg. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 97 / 128 1.3 Transformaties van grafieken (HB p. 39–72) Oef. 33 p. 42 Extra oefening 11 Hiernaast zie je de grafiek van een functie g. y 1, 32
Deze grafiek is het resultaat van een reeks x transformaties vertrekkende van de grafiek √ (0, 0) van de functie f (x) = x. Bepaal het functievoorschrift van de functie g. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 98 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Even functie Definitie even functie Een functie f is even als en slechts als (in woorden) tegengestelde x-waarden gelijke functiewaarden hebben. (in symbolen) f (−x) = f (x) voor elke x ∈ dom f. (grafisch) haar grafiek symmetrisch is t.o.v. de y -as. Criterium voor even veeltermfuncties Een veeltermfunctie f is even als en slechts als alle termen van f (x) van even graad zijn. Voorbeelden van even functies f (x) = 3x 8 − 2x 4 + 5x 2 − 7 f (x) = cos x B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 106 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Oneven functie Definitie oneven functie Een functie f is oneven als en slechts als (in woorden) tegengestelde x-waarden tegengestelde functiewaarden hebben. (in symbolen) f (−x) = −f (x) voor elke x ∈ dom f. (grafisch) haar grafiek symmetrisch is t.o.v. de oorsprong. Criterium voor oneven veeltermfuncties Een veeltermfunctie f is oneven als en slechts als alle termen van f (x) van oneven graad zijn. Voorbeelden van oneven functies f (x) = −x 7 + 12x 5 − 83 x 3 − 4x f (x) = sin x B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 107 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Andere/meerdere symmetrieassen/-middelpunten Een grafiek kan ook een symmetrieas hebben verschillend van de y -as of een symmetriemiddelpunt verschillend van de oorsprong. Een grafiek kan ook meerdere symmetrieassen of symmetriemiddelpunten hebben. Bv.: B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 108 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Geen symmetrie Symmetrie is natuurlijk geen must. Onderstaande functiegrafieken bijvoorbeeld zijn noch as-, noch puntsymmetrisch. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 109 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Een beetje reflecteren... (1) 1 Is een functie steeds even of oneven? 2 Kan een functie even én oneven tegelijk zijn? 3 Is een even veeltermfunctie altijd van even graad? Is een oneven veeltermfunctie altijd van oneven graad? 4 Is een evengraadsveeltermfunctie altijd even? Is een onevengraadsveeltermfunctie altijd oneven? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 110 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Een beetje reflecteren... (2) 5 Gaat de grafiek van een oneven functie steeds door de oorsprong? 6 Kan de grafiek van een oneven functie de y -as snijden buiten (0, 0)? 7 Gaat de grafiek van een oneven veeltermfunctie steeds door (0, 0)? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 111 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Een beetje reflecteren... (3) 8 Bestaan er even veeltermfuncties met precies drie verschillende nulwaarden? 9 Bestaan er oneven veeltermfuncties met precies twee verschillende nulwaarden? 10 Bestaan er oneven functies met precies twee verschillende nulwaarden? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 112 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Een beetje reflecteren... (4) 11 Kan de grafiek van een evengraadsveeltermfunctie een SMP1 hebben? 12 Kan de grafiek van een onevengraadsveeltermfunctie een VSA1 hebben? 13 Heeft elke veeltermgrafiek een VSA of een SMP? 14 Kan de grafiek van een veeltermfunctie een VSA én een SMP hebben? 15 Kan de grafiek van een niet-constante functie een VSA én een SMP hebben? 1 SMP = symmetriemiddelpunt; VSA = verticale symmetrieas B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 113 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Een beetje reflecteren... (5) 16 Ken je functies waarvan de grafiek symmetrisch is t.o.v. de x-as? 17 Ken je functies waarvan de grafiek symmetrisch is t.o.v. de eerste bissectrice y = x? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 114 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Oefeningen op 1.2.4 Symmetrie Oefeningen die we maken in de les: Extra oefening 12 op Slides 116 en 117 hierna. Extra oefening 13 op Slide 118. Extra oefening 14 op Slide 119. Oefeningen voor thuis: Oef. 14, 16, 17, 18 p. 25–28. Oef. 78, 79, 80, 81 p. 62. Oef. 18 p. 84. Oef. 55, 65 p. 106–107. Meer oefeningen op Teams en Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 115 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Extra oefening 12: even, oneven of geen van beide? 1 f (x) = 0 2 f (x) = −17 3 f (x) = 8x 12 4 √ 2 4 f (x) = 13x − 21x + 8x − 5 2 5 f (x) = −5x 9 + 11x 7 − 3x 5 − x 3 + 13x + 1 6 f (x) = 16x 5 + 2πx 3 − 128x 7 f (x) = (3x − 4)(3x + 4) 8 f (x) = (3x + 4)2 9 f (x) = x 3 (2x − 1)(2x + 1)(x − 5)(x + 5) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 116 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Extra oefening 12: even, oneven of geen van beide? x 5 − 2x 10 f (x) = 7 3x + x 3 2x 11 − 5x 11 f (x) = 4 x + 2x 2 + 1 12x 4 + 8 12 f (x) = 7x − 3 13 f (x) = tan x √ 14 f (x) = x √ 15 f (x) = 3 x p 16 f (x) = |x| 17 f (x) = |x − 1| B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 117 / 128  1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Extra oefening 13 1 Geef een voorbeeld van een veeltermfunctie f zodat de grafiek van f de rechte x = −7 als symmetrieas heeft. 2 Geef een voorbeeld van een veeltermfunctie f zodat de grafiek van f het punt (−2, 8) als symmetriemiddelpunt heeft. 3 Toon aan dat de rechte met vergelijking x = −1 een symmetrieas is van de grafiek van de functie f (x) = x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x. 4 Toon aan dat M(1, −3) een symmetriemiddelpunt is van de grafiek van de functie f (x) = −x 3 + 3x 2 − 5. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 118 / 128 1.2.4 Symmetrie (HB p. 25–28) Extra oefening 14 1 Onderzoek of het punt A(1, 1) een symmetriemiddelpunt is van de grafiek van de functie f (x) = 1 − 2x + 3x 2 − x 3. 2 Onderzoek of het punt B(−3, 0) een symmetriemiddelpunt is van de grafiek van de functie f (x) = x 3 + 9x 2 + 28x + 30. 3 Onderzoek of de rechte a met als vergelijking x = 3 een symmetrieas is van de grafiek van de functie 105 2 f (x) = x 4 − 12x 3 + x − 99x + 68. 2 4 Onderzoek of de rechte b met als vergelijking x = −2 een symmetrieas is van de grafiek van de functie f (x) = 12x 4 + 97x 3 + 245x 2 + 196x + 94. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 119 / 128  1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Extrema en verloopschema Kader “Extrema en verloopschema” p. 23–24 is te kennen. Een extremumprobleem is een vraagstuk waar gezocht wordt naar een of andere extreme waarde (een minimum of een maximum), en waar of wanneer of in welk geval die zich voordoet. B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 121 / 128 1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Oefeningen op 1.2.3 Extrema en verloopschema Extremumproblemen waarvan we er enkele maken in de les: Extra oefeningen 15, 16, 17 en 18 op Slides 125–128. Extremumproblemen voor thuis: De extra oefeningen die we niet gemaakt hebben in de les. Oef. 94 p. 66. Oef. 4 p. 18 (ook maximaal volume bepalen). Oef. 6 p. 20 (ook maximale oppervlakte bepalen). Oef. 74 p. 60–61 (ook extrema bepalen). Andere oefeningen voor thuis: Oef. 12 p. 24. Oef. 59 p. 56. Oef. 69 p. 59. Meer oefeningen op Teams en Scoodle! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 122 / 128  1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Stappenplan voor het oplossen van extremumproblemen Actieplan extremumprobleem oplossen 1 Ga eerst na welke grootheid moet worden geoptimaliseerd (noem deze bv. y ). Moet y worden geminimaliseerd of gemaximaliseerd? Zoek vervolgens een formule voor y in functie van de variabelen uit het vraagstuk. 2 We willen y schrijven als een functie van slechts één variabele. Kies daarom strategisch één hoofdvariabele x en gebruik de gegevens om eventuele andere relevante variabelen ook uit te drukken in functie van x. Zo kom je tot een functievoorschrift y = f (x). 3 Bepaal het praktische (of zinvolle) domein van de functie f. Dit is de verzameling van x-waarden die relevant zijn voor het vraagstuk. 4... (vervolg zie volgende slide) B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 123 / 128 1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Stappenplan voor het oplossen van extremumproblemen Actieplan extremumprobleem oplossen 4 We zoeken nu de minima of maxima van de functie f binnen haar praktische domein. Dit mag je voorlopig nog doen m.b.v. het computeralgebrasysteem GeoGebra (volgend semester zien we een methode zonder IT-hulpmiddelen). Plot de grafiek van f binnen haar praktische domein en bereken de eventuele extrema met het commando Extrema in GeoGebra. Je kan je bevindingen samenvatten in een verloopschema van f (stijgen – dalen – extrema). In dit schema houden we ook rekening met het praktische domein van de functie f. 5 Formuleer een antwoord op het vraagstuk. Wat is het gezochte minimum of maximum? Voor welke waarden van x en de andere variabelen wordt dit extremum bereikt? Let ook op de eenheden! B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 124 / 128  1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Extra oefening 15 (extremumprobleem) Uit een rechthoekig stuk karton van 40 cm lang en 20 cm breed snijden we zes gelijke vierkanten weg zoals aangegeven op de figuur. Met het overblijvend stuk vouwen we een balkvormige doos met deksel. Hoe groot moeten we de zijden x van de weg te snijden vierkanten nemen als de doos een zo groot mogelijk volume moet hebben? Wat zijn de afmetingen l, b en h en het volume V van deze optimale doos? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 125 / 128 1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Extra oefening 16 (extremumprobleem) Op de parabool met vergelijking y = 4 − x 2 beschouwen we een variabel punt P in het eerste kwadrant. Dit punt vormt samen met zijn spiegelbeeld t.o.v. de y -as en hun loodrechte projecties op de x-as een convexe rechthoek (zie figuur). Als we deze rechthoek laten wentelen om de y -as, ontstaat een cilinder. Bepaal het punt P zodat deze cilinder een zo groot mogelijk volume heeft. Wat zijn de straal r , de hoogte h en het volume V van deze optimale cilinder? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 126 / 128  1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Extra oefening 17 (extremumprobleem) Een nog aan te leggen sportveld moet bestaan uit een rechthoekig middenplein, begrensd door twee halve cirkelschijven zoals aangegeven op de figuur. De omtrek C van het volledige sportveld moet 400 m bedragen. Hoe moeten we de lengte l en de breedte b van het rechthoekig middenplein nemen als we de oppervlakte A van dit middenplein zo groot mogelijk willen hebben? Hoeveel bedraagt deze maximale oppervlakte? B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 127 / 128 1.2.3 Extrema en verloopschema (HB p. 22–24) Extra oefening 18 (extremumprobleem) Bepaal de afmetingen r en h en de totale manteloppervlakte A van het cilindrisch drankblikje met een volume V van 33 cl en de kleinst mogelijke totale manteloppervlakte (inclusief bodem en deksel). B. Bories (Heilig Hartinstituut Heverlee) Hfdst. 1 en 2: Functies en veeltermfuncties Schooljaar 2024–2025 128 / 128