Conjuntos Numéricos (Parte 2) - Matemáticas 1 - PDF

Unidad 1 / Escenario 2 Lectura fundamental Conjuntos numéricos (parte 2) Contenido 1 Números racionales 1 2 Números irracionales...

Unidad 1 / Escenario 2 Lectura fundamental Conjuntos numéricos (parte 2) Contenido 1 Números racionales 1 2 Números irracionales 8 3 El conjunto de los números reales 10 4 Resolviendo problemas 13 5 Ejercicios de refuerzo 14 Palabras Claves: número, números reales, números racionales, números irracionales, resolución de problemas. 1. Números racionales 1.1. ¿Qué son los números racionales? En situaciones cotidianas se recurren a frases como: “son las cinco y cuarto”, ‘‘dos libras y media de carne”, “duración del recorrido: 1.5 horas”, “cupón con el 31 % de descuento”; estas y otras frases comúnmente utilizadas implican tácitamente el uso de fracciones y decimales, las cuales son representaciones de los números racionales. a Los números racionales son inventados para expresar una parte de un todo, son todos los números de la forma , donde b a y b son enteros y b ≠ 0, a se denomina numerador y b denominador. Estas fracciones dividen a los números enteros en partes arbitrariamente pequeñas, de modo que las mediciones (por ejemplo, de distancias) se puede aproximar mediante una fracción, es decir, se puede aproximar a un número racional. El conjunto de los números racionales se representa con la letra ‘ y es de esperar que todo número entero sea a su vez un 2 racional, pero no al contrario: por ejemplo, 2 es un número entero, el cual se puede expresar con la fracción , siendo ası́ a 1 1 su vez racional, pero la fracción es un número racional que no es entero (ni natural, por supuesto). Aunque se esperarı́a 2 que las fracciones completaran la recta numérica (dividir tanto como se quiera un todo), no es ası́, aún queda otro conjunto numérico de números que no se pueden expresar como fracciones. Figura 1. Recta de los números racionales Fuente: elaboración propia 1.2. Uso de los números racionales 1.2.1. Números decimales y fracciones Las aplicaciones de las fracciones tienen un papel fundamental en nuestro diario vivir, sin ir más lejos, un año se divide en 365 dı́as, un dı́a en 24 horas, y cada hora en 60 minutos, que a su vez se subdivide en 60 segundos, este sistema de medición de tiempo lo debemos a los babilónicos, quienes desarrollaron un sistema de numeración sexagesimal, permitiendo ası́ un gran número de divisiones y cálculos precisos. Ejemplo 1 ¿A cuánto equivale en dı́as, horas y minutos 134.321 horas? 1 Solución: Primero se establecerá cuántos dı́as hay en 134.321 horas, como un dı́a tiene 24 horas, se realiza la división: 134.321 ≈ 5.596708333 dı́as 24 Lo cual indica que hay 5 dı́as y algunas horas (0.596708333 dı́as), ahora, para saber cuántas horas hay se multiplica los dı́as por el número de horas en un dı́a: (0.596708333)(24) = 14.321 horas Por lo tanto, van 5 dı́as, 14 horas y algunos minutos (0.321 horas), ahora se realiza la multiplicación por la cantidad de minutos en una hora: (0.321)(60) = 19.26 minutos van 5 dı́as, 14 horas, 19 minutos y algunos segundos (0.26 minutos), este proceso puede seguir para hacer cada vez más exacta la medición. ∎ 1.2.2. Razón y proporción Otra aplicación de los números racionales es las relaciones de figuras semejantes, comúnmente llamadas ?razón y propor- ción?, una razón es el cociente de dos cantidades y cuando dos pares de números tienen la misma razón, se consideran proporcionales, por ejemplo, la expresión 3/4=9/12, establece que las parejas 3, 4 y 9, 12 son proporcionales: ?3 es a 4 como 9 es a 12?. Este hecho permite establecen planos a escala (como los mapas de los Atlas) o modelos a escala. Figura 2. Ejemplos de proporciones, un modelo a escala En esta foto se muestra a escultor Gutzon Burglum midiendo un modelo a escala de los bustos de los presidentes tallados en el Monte Rushmore. El modelo fue creado a escala de 1 a 12, es decir, 1 pulgada del modelo equivale a 12 pulgadas en la montaña. Fuente: Bello (2008) Ejemplo 2 “Las dimensiones de la bandera colombiana no habı́an sido definidas desde su adopción en 1861. La resolución número 04235 de 1965 del Ministerio de Defensa finalmente estableció que el tamaño de la bandera nacional sea de dos (2) metros de ancho por tres (3) metros de largo en caso de ser izada, o sus dimensiones equivalentes guardando siempre las propor- ciones 2:3? (Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Bandera_de_colombia). 2 Dada la información anterior, si se quiere construir una bandera que tenga de largo 24.5 metros de largo, ¿cuál debe ser el ancho de esta? Solución: Como la proporción de las dimensiones es 2:3 (dos a tres), quiere decir que por cada 2 metros de ancho se tienen 3 de largo, la bandera que se quiere construir tiene 24.5 metros de largo, por lo tanto, la proporción es: 2 x = 3 24.5 Donde x es la longitud del ancho de la bandera: (2)(24.5) 49 x= = ≈ 16.33metros 3 3 Es decir, el ancho de la bandera debe ser de aproximadamente 16.33 metros. ∎ 49 La fracción tiene como representación decimal al número 16.333333?, el cual tiene una notación decimal infinita (se 3 repite siempre el 3). En estos casos se dice que es un decimal periódico y el periodo se escribe con una lı́nea horizontal encima, lo cual indica que se repite infinitamente. 49 = 16.3 3 1.2.3. Porcentaje Figura 3. Porcentaje Fuente: elaboración propia Un porcentaje es la forma de expresar proporciones en términos de números, por ejemplo 75 % significa “75 partes de 100”, 75 3 en notación de fracción equivale a = , o en notación decimal equivale a 0.75. Por ejemplo, si un un electrodoméstico 100 4 de valor $ 1,230,000 pesos tiene un descuento de 25 % al pagar con tarjeta de crédito, quiere decir que la compra tendrá descuento de 1, 230, 000(0.25) = $307, 500 pesos, por tanto, se debe pagar 1, 230, 000 − 307, 500 = $922500 pesos. Un porcentaje define la razón entre un número y 100, es decir, el número se subdivide en 100 partes y se toman las indicadas en el porcentaje. 3 1.3. Operaciones y propiedades de los números racionales 1.3.1. Adición (y sustracción) Para sumar dos números racionales estos se pueden expresar como fracciones homogéneas ( con el mismo denominador), en a c este caso se suman los numeradores de las fracciones y se deja el mismo denominador. Sea y dos fracciones homogéneas, b b entonces la suma se expresa como a c a+c + = b b b Ejemplo 3 3 2 Operar: − 4 3 Solución: Primero se expresa la resta como una suma del elemento opuesto, luego amplifican las fracciones de tal manera que tengan el mismo denominador para poder realizar la suma, por último, se simplifica en caso de poderse: 3 2 3 2 − = + (− ) La resta se expresa como una adición 4 3 4 3 3⋅3 2⋅4 = + (− ) Se amplifican las fracciones 4⋅3 3⋅4 9 8 = + (− ) Se operan términos 12 12 9 + (−8) = Se suman las fracciones homogéneas 12 1 = Se operan términos 12 ∎ 4 Las propiedades de la adición en los números racionales son la generalización de las propiedades de los números enteros: Tabla 1. Propiedades de la adición en los números racionales Fuente: elaboración propia 1.3.2. Multiplicación (y división) La multiplicación de números racionales se realiza operando los numeradores con los numeradores y denominadores con los a c denominadores respectivamente. Sea y dos fracciones, entonces la el producto se expresa como: b b a c a⋅c = , b, d ≠ 0 b d b⋅d Ejemplo 4 2 Operar: 5 (− ) 3 5 Solución: Primero se expresa el primer factor como un número racional, esto es: 5 = , luego se realiza la multiplicación y 1 5 se simplifica en caso que se pueda 2 5 2 5 (− ) = (− ) Se expresa 5 como una fracción 3 1 3 5 ⋅ (−2) = Se operan las fracciones 1⋅3 10 = − Se operan los factores 3 ∎ En los conjuntos anteriores no todas las divisiones se podı́an realizar, por ejemplo, dividir 5 en 3 partes iguales. En números racionales todas las divisiones son posibles y tienen solución, la división es una multiplicación escrita de forma diferente: 1 5 5÷3=5⋅ = 3 3 Las propiedades de la multiplicación en los números racionales son (tenga en cuenta que aparecen otras relacionadas con el elemento recı́proco): 6  Tabla 2. Propiedades de la multiplicación en los números racionales Fuente: elaboración propia 7 2. Números irracionales 2.1. ¿Qué son los números irracionales? Al abordar el conjunto de los números racionales se dio la idea de que cualquier medida se puede aproximar mediante una fracción; se puede pensar que al hacer las suficientes subdivisiones se puede expresar la medida deseada, es decir, se puede pensar que todas las medidas son racionales. Desafortunadamente, esto no es ası́, (si ası́ lo fuera, la teorı́a de medidas y figuras semejantes serı́a mucho más sencilla); cuenta la leyenda que Hipaso de Metaponto, de la escuela de Pitágoras, descubrió una medida que no se podı́a expresar como un número racional: la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud 1 unidad no es un número irracional. La leyenda termina en que los seguidores de la escuela Pitagórica lo ahogaron por su descubrimiento, quizás esto no sea del todo cierto, pero definitivamente Hipaso demostró que hay otro tipo de números: aquellos que no se pueden expresar como una fracción de dos números enteros, llamados números irracionales. √ Hipaso de Metaponto encontró el número irracional 2, y dedujo que este no era racional, inmediatamente este hecho no tuvo ninguna repercusión, pero muchos años después se formalizó el conjunto de los números irracionales y números de importancia y trascendencia como π (pi), e (número de Euler), ? (número áureo), entre otros. Lo números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de dos números enteros, este con- junto se representa con la letra ‰. Otra caracterı́stica de los números irracionales es que no pueden ser expresados como decimales con notación decimal periódica, es decir, todo número irracional tiene notación decimal infinita y no periódica, en la siguiente tabla se relacionan algunos de los números racionales más importantes junto con sus aproximaciones, recuerde: estos números tienen infinitos decimales 8  Tabla 3. Propiedades de la adición en los números racionales Fuente: elaboración propia 9 3. El conjunto de los números reales 3.1. ¿Qué son los números reales? El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales (‘) y los irracionales (‰), a partir de este momento se trabajará en el resto del módulo con este conjunto, el cual se denomina con la letra R. Por fin se llenaron todos los espacios de la recta real. Figura 4. Recta real La unión de los números racionales e irracionales hace que esté completa. Fuente: elaboración propia 3.2. Propiedades de los números reales Las siguientes tablas muestran las propiedades de los números reales, estas son las formas generales de las propiedades que se han trabajado en los conjuntos anteriores. 10 3.2.1. Adición Tabla 4. Propiedades de la adición en los números reales Fuente: elaboración propia 11 3.2.2. Multiplicación Tabla 5. Propiedades de la multiplicación en los números reales Fuente: elaboración propia 12 4. Resolviendo problemas A continuación, se muestran algunos problemas que involucran operaciones con números reales, se espera que evidencie los pasos necesarios para plantear una posible desarrollo y comprobar si la solución tiene sentido. Ejemplo 1 En una población de 7,000 habitantes, el 72 % tiene 18 años o más. ¿Cuántas personas son mayores de edad? Si 2,700 son mujeres, ¿a qué porcentaje de la población corresponde este grupo? Solución: El 72 % de 7,000 es: (0.72)7000 = 5040, por tanto, hay 5,040 habitantes mayores de edad. 2700 Para averiguar el porcentaje de mujeres se debe hacer la división del grupo sobre el total: ≈ 0.385, es decir, aproxima- 7000 damente hay 38.5 % de mujeres. ∎ Ejemplo 2 Dado el conjunto de números √ 2 3 √ V = {1.75, , − , 5π, 32.14, 24, −2 3} 3 5 a. Determinar qué elementos del conjunto pertenecen a los números naturales, enteros, racionales e irracionales. b. Ordenar y ubicar los elementos en la recta numérica. Solución: ∎ Ejemplo 3 3. Las notas acumuladas de un estudiante en su curso de matemáticas son: primer parcial: 4.2, segundo parcial: 3.8, nota de talleres y quices: 3.1. Cada una de ellas tiene un peso del 25 % en la nota final y solo falta el tercer parcial, que también tiene 13 un peso de 25 %. ¿Qué calificación es necesaria en el tercer parcial para que la nota definitiva sea de 4.3? Solución: Primero, se saca el 75 % de nota que ya conoce: 4.1(0.25) + 3.8(0.25) + 3.1(0.25) = 2.75. Ahora, suponiendo que saca 5.0 en el parcial final, se tiene que 5.0(0.25) = 1.25, es decir, la mejor nota que puede obtener es 2.75 + 1.25 = 4.0. Por tanto, no es posible obtener una calificación final de 4.3. ∎ Ejemplo 4 Un tanque de forma cilı́ndrica tiene 1.2 metros de altura y 28 centı́metros de radio. ¿A qué altura llega el nivel de agua cuando tiene un volumen de 0.2 m3 de agua? Solución: El volumen de un cilindro es V = πr2 h, reemplazando los valores se tiene que (28 cm = 0.28 m, y π ≈ 3.1415): 0.2 ≈ (3.1415)(0.282 )h 0.2 ≈ 0.2462h 0.2 h ≈ 0.2462 h ≈ 0.812 m Por tanto, cuando el volumen es de 0.2 m3 , el nivel de agua es de 81.2 cm. ∎ 5. Ejercicios de refuerzo 5.1. Ejercicios procedimentales 9 1. Sobre una recta numérica localice los opuestos de −2π, 5.2, , −3, 1 2 2. Simplifique las siguientes expresiones 3 4 3 a. (− ) + 8 ( ) (−2) 2 9 16 b. −3 − 5.2(1 − 3.2 + 2) + 1(−2(−1) + 2.5) 3. Encuentre y ordene de menor a mayor 3 números reales entre 0.2 y 0.21. 4. Responda: a. Qué porcentaje es 8 de 32? b. ¿cuál es el 250 % de 55? c. ¿5 es el 15 % de cuál número? 5. Para las siguientes situaciones, muestre un ejemplo, si existe, de números que cumplan la condición dada: a. Un racional en forma decimal no periódica. 14  b. Un racional en forma decimal periódica. √ c. Un entero mayor que 2 pero menor que cero. d. Un natural mayor que 3 pero menor que π. 3 2 e. Un real entre y. 2 5 5.2. Problemas de aplicación 1. Sandra obtuvo una ganancia del 7 % de una inversión que tomó a dos años. Si la ganancia fue de $384, 500 pesos, ¿cuál fue el monto de la inversión? 2. En un examen de final de carrera, un estudiante respondió correctamente 58 de 70 preguntas, ¿Cuál fue el porcentaje que no respondió correctamente? 3. Si el precio neto de un colchón, el protector, una base cama y las almohadas es de $945, 999 pesos y se está cobrando un IVA del 19 %, ¿cuánto se pagó por el impuesto? 4. ¿Cuál es el área de la siguiente figura si el radio es de 2.1 metros? 5. Carlos compró un terreno cuyo plano se encuentra en la imagen de abajo y todas las medidas están en metros. Al averiguar el cercado encontró de 3 metros de largo por 1 metro de ancho por un valor de $18, 523 pesos. ¿cuánto dinero le vale cercar todo el terreno? 6. Encuentre la dimensión de la diagonal de un cuadrado cuyo lado tiene una longitud de 12 centı́metros. 15 Referencias Bello, I. (2008). Matemáticas básicas universitarias. 1a. ed. McGraw-Hill Interamericana. Tomado de http://www.ebooks7- 24.com. Chappe, A., Zambrano, M., y Arévalo D. (2012). Introducción a las Matemáticas. 1a. ed. Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. Jaimes, N. (2013). Sistema de los números reales - Cartilla. Bogotá, Colombia: Politécnico Gran Colombiano - Educación Virtual. Stewart. I. (2012). Historia de las Matemáticas en los últimos 10.000 años. Crı́tica, España. 16 INFORMACIÓN TÉCNICA Módulo: Matemáticas Unidad 1: Conjuntos numéricos Escenario 2: Conjuntos numéricos (parte 2) Autor: Camilo Andrés Ramı́rez Asesor Pedagógico: Judy Fernanda Villanueva. Diseñador Gráfico: Yinet Rodriguez y Camilo Andrés Ramı́rez. Corrector de estilo: Sonia Truque. Asistente: Ginna Quiroga. Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano. Por ende, es de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial. 17