Általános Járműgéptan jegyzet PDF

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR Mérnöki alapismeretek - ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN - SZERZŐK: Prof.Dr. ZOBORY ISTVÁN Apáczai Csere János díjas egyetemi tanár Dr. SZABÓ ANDRÁS...

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR Mérnöki alapismeretek - ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN - SZERZŐK: Prof.Dr. ZOBORY ISTVÁN Apáczai Csere János díjas egyetemi tanár Dr. SZABÓ ANDRÁS c. egyetemi tanár 2021.  Jelen jegyzet a II. Nemzeti Fejlesztési Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0018 azonosító számú programja keretében 2010-ben készült Prof.Dr. Zobory István által írt Általános járműgéptan jegyzet, mint forrásjegyzet Dr. Szabó András által történő kiegészítésével jött létre. A forrásjegyzetben: az ábrákat rajzolta: Kiss Csaba a mintafeladatokat kidolgozta: Császár László  Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék..............................................................................................................0 Előszó................................................................................................................................1 0 Bevezetés.................................................................................................2 1 Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek.............................4 1.1 A járműgéptanban használt fizikai mennyiségek......................................4 1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma................7 1.3 Prefixumok.............................................................................................12 1.4 Mértékrendszerek...................................................................................13 2 Méréstechnikai alapok.........................................................................15 2.1 Bevezető megjegyzések...........................................................................15 2.2 A mérőrendszer felépítése......................................................................15 2.3 A mérési hibák két fő csoportja..............................................................17 2.3.1 A rendszeres hibák.................................................................................18 2.3.2 A véletlen hibák.....................................................................................19 2.4 Abszolút és relatív hiba..........................................................................21 2.5 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése..........................................22 2.5.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete....................................................22 2.5.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete..................................................25 2.6 A mérési eredmény szóródásának jellemzése.........................................30 2.7 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok....................................33 2.7.1 A gyakorisághisztogram.........................................................................33 2.7.2 A relatív gyakoriság hisztogram.............................................................34 2.7.3 A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram.................................................35 2.7.4 A valószínűségi sűrűségfüggvény bevezetése........................................36 2.8 A véletlen hibával terhelt mérési eredmények gyakorlati kezelése.........39 2.9 A jelleggörbe kimérése...........................................................................39 3 Járművek mechanikai folyamatai.......................................................43 3.1 Erőrendszerek egyensúlyi viszonyai – Statika........................................43 3.1.1 Az erő, mint vektormennyiség, közös támadáspontú erők összege........44 3.1.2 Az erővektor skalár koordinátái.............................................................46 3.1.3 Az erő forgató-nyomatéka......................................................................48 3.1.4 Párhuzamos erők eredője........................................................................49 3.1.5 Az erőpár................................................................................................50 3.1.6 Erők és forgató-nyomaték eredője..........................................................51 3.1.7 Egyensúlyi erőrendszer..........................................................................52 3.1.8 Egyszerű tartószerkezetek reakció-erőinek meghatározása....................55 3.1.9 Megoszló erőrendszer.............................................................................58 3.1.10 A tartó igénybevételei............................................................................59 3.1.11 Igénybevételi ábrák................................................................................61 3.2 A szilárd testben fellépő belső erők – szilárdságtan...............................65 3.2.1 Rugalmas alakváltozás – Hooke-törvény...............................................67 3.2.2 A szerkezeti anyagok terhelhetősége......................................................69  3.2.3 Egyszerű igénybevételek........................................................................ 70 3.2.4 Összetett igénybevételek........................................................................ 76 3.3 Az anyagi pont mozgásjellemzői............................................................ 76 3.3.1 A helyvektor, mint az idő függvénye..................................................... 76 3.3.2 Az elmozdulásvektor, mint kétváltozós függvény................................. 77 3.3.3 A sebességvektor, mint az idő függvénye.............................................. 78 3.3.4 A gyorsulásvektor, mint az idő függvénye............................................. 79 3.4 Speciális síkbeli mozgások..................................................................... 81 3.4.1 A körmozgás.......................................................................................... 81 3.4.2 A szögsebesség, mint az idő függvénye................................................. 82 3.4.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye................................................ 82 3.4.4 Az egyenletes körmozgás....................................................................... 83 3.4.5 A határozatlan integrálról....................................................................... 85 3.4.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás........................................................ 86 3.4.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás................................................... 91 3.5 Járművek mozgásciklusa – menetábra................................................... 93 3.6 Járművek működési ciklusának erőhatás viszonyai............................... 94 3.7 Járművek ideális működési ciklusának energetikai viszonyai................ 97 3.8 Összetett mechanikai rendszerek változó sebességű üzeme................. 100 3.8.1 Több tömegből álló rendszer gyorsulása.............................................. 101 3.9 Gépek periodikus mozgásai.................................................................. 104 3.9.1 A rugó, mint energiatároló................................................................... 104 3.9.2 Harmonikus lengőmozgás.................................................................... 106 3.9.3 A kulisszás hajtómű............................................................................. 112 3.9.4 A forgattyús hajtómű........................................................................... 116 3.9.5 A gépek forgásának egyenlőtlensége – lendítőkerék........................... 117 3.10 Egyszerű hajtásrendszerek................................................................... 122 3.10.1 A fogaskerékhajtás............................................................................... 123 3.10.2 A szíjhajtás........................................................................................... 128 3.10.3 A dörzskerekes hajtás........................................................................... 130 3.11 Gépek energiahasznosítása változó veszteségek esetén....................... 131 4 Járművek áramlástani folyamatai.................................................... 136 4.1 A nyugvó folyadék egyensúlya............................................................. 136 4.1.1 A folyadék nyomása............................................................................. 136 4.1.2 A súlyos folyadék egyensúlya – a hidrosztatika alaptétele.................. 138 4.1.3 A tartály falára ható erő........................................................................ 139 4.1.4 Nyugvó folyadék energiatartalma és munkaképességei....................... 140 4.1.5 Nyugvó folyadék és szilárd test egyensúlya, hajók úszása és stabilitása.............................................................................................. 142 4.2 Folyadékáramlások.............................................................................. 145 4.2.1 Alapfogalmak....................................................................................... 145 4.2.2 Áramvonal, áramcső kontinuitás.......................................................... 147 4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet............................ 149 4.2.4 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása, veszteséges Bernoulli-egyenlet................................................................................ 153 4.2.5 A csősúrlódási tényező, lamináris és turbulens áramlás esetén............ 155 4.2.6 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval............................................. 160 4.3 Az impulzus tétel és alkalmazásai........................................................ 164 4.3.1 Impulzustétel áramcsőre....................................................................... 164  4.3.2 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák..............................166 5 Járművek hőtani folyamatai..............................................................170 5.1 Hőmennyiség, fajlagos hőkapacitás.....................................................170 5.2 A hőtranszport......................................................................................173 5.2.1 Hővezetés.............................................................................................173 5.2.2 Hőátadás...............................................................................................174 5.2.3 Hőátbocsátás.........................................................................................175 5.2.4 Szilárd testek hőtágulása......................................................................176 5.3 Az ideális gáz állapotegyenlete............................................................177 5.4 A hőtan első főtétele.............................................................................178 5.5 Elemi állapotváltozások.......................................................................180 5.5.1 Az izochor állapotváltozás...................................................................182 5.5.2 Az izobár állapotváltozás.....................................................................182 5.5.3 Az izotermikus állapotváltozás.............................................................183 5.5.4 Az adiabatikus állapotváltozás.............................................................184 5.5.5 A politropikus állapotváltozás..............................................................185 5.6 Hőerőgép létrehozhatósága..................................................................186 5.7 Motorikus körfolyamatok.....................................................................188 6 Gépek együttműködése és irányítása................................................193 6.1 A gépek jelleggörbéinek alaptípusai....................................................193 6.2 Gépek együttműködése, munkapont, stabilitás.....................................196 6.3 Vezérlés és szabályozás........................................................................198 7 Mintafeladatok...................................................................................201 7.1 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása.........................201 7.2 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra......204 7.3 3. Gyakorló feladat: tartó igénybevételének meghatározása...............210 7.4 4. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata.................212 7.5 5. Gyakorló feladat: Több merev testből álló rendszer vizsgálata.......216 7.6 6. Gyakorló feladat: lendítőkerék méretezése......................................220 7.7 7. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata....................................225 7.8 8. Gyakorló feladat: tartály oldalfalán elhelyezett tisztítónyílás fedelének vizsgálata..............................................................................234 7.9 9. Gyakorló feladat: Síklapátozású vízikerék vizsgálata......................238 7.10 10. Gyakorló feladat: Dízelmotorban lezajló termodinamikai folyamatok vizsgálata...........................................................................251 Ábrajegyzék.................................................................................................................259 Irodalomjegyzék..........................................................................................................264  Előszó Az „Mérnöki alapismeretek” c. tárgy a 2021/2022. tanévtől heti két órás előadással és heti egy órás laborfoglalkozással szerepel a BME Közleke- désmérnöki Karán a közlekedésmérnöki BSc szak, a logisztikai mérnöki BSc szak és a járműmérnöki BSc szak tantervében. A tantárgy bevezető ismereteket ad a további mérnöki tanulmányokhoz. Célja a középiskolá- ban tanult fizikai és matematikai ismereteket újragondolva megismertetni a hallgatóságot a közlekedést és a logisztikai folyamatokat megvalósító járművek és mobil gépek egyszerű műszaki folyamataival, bevezetést ad- ni a méréstechnika elemeibe, fejleszteni a járművek működésével kapcso- latos elemi fizikai folyamatok felismerését, és számítási feladatok megol- dásával való gyakorlati kezelését. Gyakorlati célja még a tárgynak az elté- rő középiskolai fizikai ismeretek egyetemi szintű homogenizálása és a matematikai tárgyalásmód – bár visszafogott – továbbfejlesztése. Alapve- tő célkitűzés, hogy a tantárgyban elsajátított ismeretek és készségek alap- ján a hallgatók képesek legyenek a járművek és mobilgépek működésével kapcsolatos egyes egyszerű feladatok számszerű megoldására. A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar BSc tanterveiben 2021-ig szereplő Általános járműgéptan c. tantárgy azonos című jegyzetének kiegészítésével jött létre. Budapest, 2021. június 25. A szerzők 1 0 Bevezetés A járművek az összes gépek G sokaságának egy J részsokaságát képezik. Minden jármű gép, de nem minden gép jármű. A viszonyokat az 0.1. ábra síkbeli ponthalmazok J  G relációjával szemlélteti. A gép fogalmának megadása a következőképp történhet: „A gép tervezett fizikai folyama- toknak ad keretet valamilyen közvetlen vagy közvetett emberi szükséglet kielégítésére”. Ilyen értelemben kell az előzőek szerint a gépnek bizonyu- ló járművek kérdéskörét is megközelíteni. Azon emberi szükséglet, ame- lyet a járművek kielégítenek a közlekedési szükséglet. Idézzük fel ezért, hogy mi is a közlekedés? A közlekedéstudomány meghatározása szerint a közlekedés „személyek és dolgok rendszeres ismétlődő helyváltoztatá- sa”. Egyrészről fizikai szempontból tehát itt bizonyos tömegek nem egy- beeső pontok közötti térbeli áthelyezéséről van szó. Másrészről a megha- tározásban lényeges dolog a rendszeres ismétlődő jelleg szerepeltetése, ugyanis az egyedi mozgásfolyamat – legyen az járművel történő akár személy vagy áru áthelyezés – a gyakorító jelleg hiánya miatt nem minő- sül közlekedésnek! A fentiekből következően azt mondjuk, hogy a közle- kedés tömegjelenség. G a gépek sokasága J a járművek sokasága 0.1. ábra. Gépek és járművek Ilyen meggondolások után visszatérve a közlekedés fizikai jelentéséhez világosan kirajzolódik, hogy tömegek rendszeres mozgással megvalósuló térbeli áthelyezése egy adott közlekedési pályán tömegáram értékkel jel- lemezhető, melynek jele m  (ejtsd: m-pont) és mértékegysége [ m ] = kg/s vagy a nagyságrendeket célszerű mérőszám elérése érdekében figyelembe véve t/h lehet. A jármű, mint gép jellemzője, hogy minden esetben ren- delkezik egy, az utasokat vagy dolgokat befogadó szerkezeti egységgel, nevezzük ezt képletesen „tartálynak”, és ennek a tartálynak a közel víz- szintes helyzetét, és a közlekedési pálya menti vezérelt mozgását további, 2 a „tartály” körül elhelyezett alkalmas gépi egységek biztosítják: a hord- mű, a hajtómű és a fékmű. A fentiek alapján közelebbről behatárolható a tantárgy célja: a járművek üzeme során megvalósuló egyszerű fizikai folyamatok megismerését célul kitűző ismeretanyag elsajátíttatása, és a kapcsolódó feladatok egyszerű eszközökkel történő megoldási készségének kialakítása. Mint az a fentiekből következik, feltételezve a hallgatóság járműtechnikai ér- deklődését a tárgy épít a középiskolában megszerzett fizikai és matemati- kai alapismeretekre. A tantárgy a következő fejezetekből épül fel: 1. Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek 2. Méréstechnikai alapok 3. Járművek mechanikai folyamatai 4. Járművek áramlástani folyamatai 5. Járművek hőtani folyamatai 6. Gépek együttműködése és irányítása 3 1 Fizikai mennyiségek megadása, mértékrendszerek 1.1 A járműgéptanban használt fizikai mennyiségek Valamely fizikai mennyiség tulajdonságot vagy állapotot határoz meg. A tulajdonságot meghatározó mennyiségek legtöbbje anyagjellemző (pl. hő- tágulási együttható, viszkozitás stb.). Az állapotot meghatározó mennyi- ségek (az állapotjellemzők) kétfélék lehetnek:  extenzív jellemzők: kiterjedéssel kapcsolatosak, valamely térrész disz- junkt felbontásán additivitás érvényesül. Pl.: energia, tömeg stb. Az extenzív mennyiségekre megmaradási törvények érvényesülnek (pl. energia-megmaradás, tömegmegmaradás stb.). Az additivitási tulaj- donság szemléltetésére az 1.1. ábra egy téglalap alakú tartományt, egy V térfogatot jellemez. A V térfogatú tartományt elemidegen (diszjunkt) részekre bontjuk, de úgy, hogy a Vi résztérfogatok egyesítése kiadja a teljes V térfogatot. Adva tehát a V1 ,V2 ,...,Vn térfogat sorozat, amelyre n Vi  V j  , ha i  j és V i V i 1 teljesül. Legyen a V térfogatba foglalt össz-tömeg m(V), az egyes Vi résztérfogatokba foglalt tömeg pedig mi(Vi), i=1,2,…,n, akkor az addi- n tivitás azt jelenti, hogy m(V) =  m (V ) i 1 i i teljesül, azaz a teljes térfo- gatba foglalt tömeg a résztérfogatokba foglalt tömegek összege. A V térfogatba foglalt m össz-tömeg helyett a V térfogatba foglalt E össz- n energiára hasonlóképpen az m(E) =  m ( E ) összefüggést kapjuk. i 1 i i V1 V2 V3 V4 V V5 V6... … … Vn 1.1. ábra. A vizsgált térrész felbontása 4  intenzív jellemzők: hatás erősségére jellemzők, a kiterjedéstől függet- len mennyiségek. (Pl.: hőmérséklet, nyomás, tömegsűrűség stb.) Valamely adott V térrészben (térfogatban) jelen lévő extenzív és intenzív jellemzők között sajátos viszony áll fenn, amelyet a következő tétel fo- galmaz meg: Tétel: A jelenlévő extenzív mennyiség áramlásának szükséges fel- tétele a vele kapcsolatban álló valamely intenzív mennyiség térbeli inhomogenitása. A tétel tehát azt állítja, hogy ha valamely térrészben áramlik egy extenzív jellemző, akkor a vele kapcsolatban lévő valamely intenzív jellemző el- oszlása nem lehet egyenletes (azaz homogén) a vizsgált térrészben. A tétel érvényesülésére két egyszerű, szemléletes példát mutatunk be. Az első példa – amely egy hidrosztatikai rendszerre vonatkozik – azt szemlél- teti, amikor az intenzív jellemző adott térbeli inhomogenitása nem biztosít egyben elégséges feltételt is a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. p0 p 0 gz p0 z  1.2. ábra. Inhomogén intenzív jellemző I. Az 1.2. ábrán felrajzolt nyitott tartályban a folyadék nyugalomban van. A folyadék V térfogatú térrészt tölt ki. A hidrosztatikus nyomás (lásd ké- sőbb) – mint intenzív jellemző – eloszlása inhomogén a V térrészben, hi- szen a folyadékfelszín alatti mélységgel lineárisan növekszik. Folyadék- áramlás – tömegáram – mégsem alakul ki, mert a tartályban lévő folya- dékrészek egyensúlyának feltételei az inhomogén nyomásviszonyok elle- nére biztosítottak Tehát a vizsgált példában az intenzív jellemző inhomo- genitása nem vezetett az extenzív jellemző áramlásához! 5  T3 T2 T1 1.3. ábra. Inhomogén intenzív jellemző II. A második példa – amely egy termikus rendszerre vonatkozik – azt mu- tatja be, hogy egyes esetekben a térrészben jelenlévő intenzív jellemző inhomogenitása esetén beáll a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző áramlása, tehát esetenként az intenzív jellemző inhomogenitása elégséges feltételt ad a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. Az 1.3. ábrán felrajzoltunk egy téglalap alakú szilárd testet, melynek kezdeti hőmérséklet eloszlását a környezeti hőmérséklet értékével azonos homo- gén (a térrészben egyenletes) eloszlásúnak tekinthetjük. Egy meghatáro- zott időpontban kezdjük el hegesztőpisztoly lángjával melegíteni a test jobb alsó sarkát. A lánggal bevitt hőenergia a testben vezetéssel terjed to- va, és eközben megvalósul a test felmelegedési folyamata (belső energia növekedés), mely folyamat előbb időfüggő, majd állandósult hőmérséklet eloszláshoz vezet a test belsejében. Az állandósult – de nem egyenletes (nem homogén) – hőmérséklet eloszlás akkor áll be a test belsejében, amikor a test felszínén a konvekcióval ugyanannyi hő áramlik ki a kör- nyező légtérbe, mint amennyit a láng bevezet a testbe. A példában az áramlásba jövő extenzív jellemző a hőenergia, amely az inhomogén hő- mérsékletmező  mint intenzív jellemző  eloszlása hatására jön áramlás- ba. Hőmérsékletkülönbség ugyanis vezetésképes szilárd testben szükség- szerűen hőenergia áramlást okoz, amely a hőmérséklet kiegyenlítődés irá- nyába indul meg, mindig a melegebb helytől a hidegebb hely felé. Az 1.3. ábrán feltüntettük az állandósult hőáramlás esetén jelentkező állandó hő- mérsékletű (izoterm) vonalakat, és ezekre merőlegesen feltüntettük az adott helyen érvényesülő hőáram vektorokat is. Összefoglalva: a most vizsgált termikus rendszerben az intenzív jellemző (a hőmérséklet elosz- lás) inhomogenitása maga után vonta a vele kapcsolatban álló extenzív jellemző (a hőenergia) áramlását. Most tehát az intenzív jellemző inho- mogenitása nem csupán szükségesnek, de egyidejűleg elégségesnek is bi- zonyult a vele kapcsolatban lévő extenzív jellemző áramlásához. 6 1.2 A fizikai mennyiség dimenziója, mértékegysége és mérőszáma A fizikai mennyiségek jellemzésének egyik fontos módját adja a mennyi- ségek dimenziójának értelmezése. Definíció: Valamely fizikai mennyiség dimenzióján annak mérő- számtól és mértékegységtől független tartalmát – a minőségének azonosítását – megadó információt értjük. A dimenzió mennyiségi- leg határozatlan. Az x-szel jelölt fizikai mennyiség dimenziójának jele: Dim(x). A fizikai mennyiségek közül ésszerűen kiválasztott alapmennyiségekre származtatott mennyiségek rendszere építhető. Az alapmennyiségekhez alapdimenziókat, a származtatott mennyiségekhez pedig az alapdimenzi- ók függvényeként kiadódó származtatott dimenziókat lehet rendelni. Tekintsük a következő tárgyalásunk szempontjából alapvető három ha- gyományos alapmennyiséget, a távolságot, a tömeget és az időt. A jelölé- seket a következők szerint vesszük fel: 1. távolság, jele: s , dimenziója: Dim(s) = L , 2. tömeg, jele: m , dimenziója: Dim(m) = M , 3. idő, jele: t , dimenziója: Dim(t) = T. Tekintsünk ezek után példákat az alapmennyiségekből képzett származta- tott mennyiségek, és azok származtatott dimenzióinak képzésére. Előre bocsátjuk, hogy ha egy fizikai mennyiség betűjele elé a Δ jelet írjuk, az azt jelenti, hogy a szóban forgó mennyiség kis növekményét tekintjük. Pl. Δs egy kis távolságnövekményt, Δt pedig egy kis időnövekményt jelent. s 1. sebesség, értelmezése: v = , dimenziója: t Dim( s ) L Dim(v) =   L T -1 , Dim( t ) T v 2. gyorsulás, értelmezése: a = , dimenziója: t Dim( v) L T -1 Dim(a) =   L T -2 , Dim( t ) T 7 3. erő, értelmezése: F = m a, dimenziója: Dim(F) = Dim(m) Dim(a) = M L T -2 , F 4. nyomás, értelmezése: p = , dimenziója: A Dim( F ) M L T -2 Dim(p) =   M L-1 T -2. Dim( A) L2 Rögzítsük azt az eredményt, hogy a vizsgált példák esetében a származta- tott dimenziók mindenkor az alapdimenziók hatványszorzataként voltak felírhatók. Általános esetben is ugyanez a helyzet, valamely x fizikai mennyiség dimenziója mindig felírható az alapdimenziók hat- ványszorzataként a következő alakban: Dim(x) = L i M j T k , ahol i, j, k kitevők egész számok. A tárgyalásunknak ezen a pontján fontos hangsúlyozni, hogy valamely fi- zikai mennyiség dimenziója nem egyenlő a tekintett mennyiség mérték- egységével. Az x fizikai mennyiség dimenziója ugyanis a megadott definíció szerint mennyiségileg határozatlan minőség-azonosító szimbólum (amelyre szimbolikus algebrai műveletek vannak értelmezve). Az x fizikai mennyi- ség mértékegysége ezzel szemben a tekintett fizikai mennyiség megálla- podás szerűen egységnyinek tekintett részét határozza meg. Az x mérték- egységébe foglalt mennyiséget [x] jelöli. Ezzel a mértékegység fogalom- mal lehetővé válik a fizikai mennyiségek numerikus értékekkel történő jellemzése. Egy x mennyiség numerikus jellemzése úgy történik, hogy megadjuk azt az {x} valós számértéket – az x mennyiség mérőszámát –, amellyel meg kell szorozni a mértékegységbe foglalt mennyiséget, hogy a tekintett x-ben jelen lévő mennyiséget kapjuk. Képletben: x = {x} [x] = mérőszám  mértékegység. A mérőszámnak tehát csak a tekintett adott mértékegység megválasztásra nézve van értelme. Természetszerűen adott fizikai mennyiség esetén a mértékegység elvileg sokféleképp megválasztható. Legyen adva pl. [x]1 és [x]2 az x mennyiség két különbözőnek választott mértékegysége. Ezek fi- 8 gyelembe vételével az x mennyiség a következő alakban írható fel: x = {x}1 [x]1 = {x}2 [x]2. A most felírt összefüggés adja meg az alapját a x fizikai vizsgált mennyi- ség különböző mértékegységekhez tartozó mérőszámai átszámításának. Amennyiben a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányát ismerjük, és adott az [x]1 -hez tartozó {x}1 mérőszám is ismert, akkor az [x]2-höz tartozó keresett {x}2 mérőszámot a nyilvánvaló [ x]1 {x}2 = {x}1 = {x}1 k [ x ]2 kifejezés szolgáltatja. A bevezetett k szorzó neve: átszámítási szorzó, és a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányszámaként van ér- telmezve. Az elmondottakat egy, az erő mérőszámának meghatározásával kapcsola- tos példával szemléltetjük. A régebben általánosan használt „műszaki mértékrendszerben” az erő mértékegység az 1 kp (kilopond) erő volt. Az 1 kp erőegység meghatározását az adta, hogy ekkora erő egy 1 kg tömegű testet 9.80665 m/s2 gyorsulással mozgat. Az erő mértékegysége a jelenleg szabványos mértékrendszerben az 1 N (newton). Az 1 N erőegység meg- határozását – mint ismeretes – az adja, hogy az 1 N nagyságú erő 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással mozgat. Ha tehát [F]1= kp és [F]2 = N, akkor feltehető a kérdés, hogy 10 kp erő hány N? Az eddigi jelöléseink szerint tehát ismert az erő kp-ban mért mérőszáma: {F}1 = 10 és keresett az {F}2 számértéke. Tekintetbe véve, hogy most a korábban bevezetett át- számítási szorzó értékére a k = [F]1/[F]2 = 9,80665/1 = 9,80665 szám adódik, a keresett {F}2 számérték felírható: {F}2 = {F}1 k = 10 9.80665 = 98.0665. Tehát 10 kp az 98.0665 N. A mértékegység és a mérőszám kérdéskörét még egy analógia bemutatá- sával szemléltetjük. Ismeretes, hogy a fizikában vektormennyiségeket és skalármennyiségeket különböztetünk meg. A vektormennyiségek meg- adásához nagyságuk, irányuk és értelmük megadása szükséges. A skalár mennyiségeket mérőszámuk (skálán leolvasható előjeles nagyságuk) egy- értelműen jellemzi. A szokásos 3-dimenziós geometriai tér vektorait irá- 9 nyított egyenesdarabokként foghatjuk fel. Ebben az esetben a vektor nagysága az irányított egyenesdarab (nem negatív) hossza, abszolút értéke jellemzi. A vektor iránya azon tartóegyenessel van megadva, amelyre az irányított egyenesdarab illeszkedik. A vektor értelme azzal van megadva, hogy az irányított egyenesdarab nyílhegye az irány-egyenesen merre mu- tat. Attól függően, hogy a hosszegységet miképp választjuk meg, beszél- hetünk különböző egységvektorokról. A legegyszerűbb esetet tekintve vizsgáljuk az 1.4. ábra szerinti vízszintes egyenesre illeszkedő x vektort. Az ábrán feltüntettünk két különbözőnek választott, ugyancsak vízszintes egységvektort, az e1 és e2 vektorokat. A bevezetett két egységvektor vál- tozat mindegyike vektorjelleg hordozó, és ezekre támaszkodva alkalmas előjeles x1 és x2 skalár szorzószámok segítségével kétfélképp is előállítha- tó a tekintett x vektor: x = x1 e1, x = x2 e2. x 0 x e1 e2 x  x1  e1 x  x2  e 2 1.4. ábra. Vektormennyiség Mivel azonban a két előállítás ugyanazon vektort adja, a két kifejezés jobb oldalai egymás között is egyenlők kell, hogy legyenek, azaz x1 e1 = x2 e2. A kapott egyenlőség alkalmas arra, hogy ismerve az egységvektorok hosszainak arányát az előjeles skalár szorzószámok (az adott egységvek- torra vonatkozó koordináták) összefüggését is megadhassuk. Ha pl. x1-et ismerjük, akkor x2 kifejezhető a következő alakban: e1 x2 = x1 = x1 k. e2 A kapott kifejezés tökéletes analógiát mutat a fizikai mennyiségek külön- böző mértékegységhez tartozó mérőszámai összefüggésének levezetése- kor kapott képlettel. A szereplő k = e1 / e 2 hányados itt is átszámítási szorzóként értelmezhető. Ezek szerint az egységvektorok, mint vektorjel- leg hordozó objektumok analógiában állnak a mértékegységekkel, amely utóbbiak szintén a vizsgált fizikai mennyiség jellegét hordozzák. A vekto- 10 rok különböző egységvektorokra vonatkozó skalárkoordinátái pedig tö- kéletes analógiában vannak a vizsgált fizikai mennyiség különböző mér- tékegység választáshoz tartozó mérőszámaival. Az eddigiekben a mértékegység és a mérőszám összefüggését általános vonatkozások előtérbe helyezésével tárgyaltuk, és megismertük a fizikai mennyiség különböző mértékegység választások esetén adódó mérőszá- mai közötti átszámítás képletét. A következőkben a mértékegységek kér- déskörét abban az összefüggésben vizsgáljuk, hogy a már tárgyalt alap- mennyiségekhez alapmértékegységeket rendelve, a származtatott mennyi- ségek mértékegységeit visszavezetjük az alapmértékegységektől függő ki- fejezésekre. Nézzük tehát rendre a már korábban is tekintett alapmennyi- ségeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó alapmértékegységeket: 1. távolság, jele: s , [s] = m , 2. tömeg, jele: m , [m] = kg , 3. idő, jele: t , [t] = s. A példánkban korábban is vizsgált származtatott mennyiségek mérték- egységei mármost a következők lesznek: s [s] m 1. sebesség, v = , [v] =   m s -1 , t [t ] s v [v] m /s m 2. gyorsulás, a = , [a] =   2  m s -2 , t [t ] s s 3. erő, F = m a, [F] = kg m/s2 = kg m s -2 = N , F [F ] kg m s -2 4. nyomás, p = , [p] =   kg m -1 s - 2 = Pa. A [A] m 2 A bemutatott származtatási példák meggyőzően mutatják, hogy a szár- maztatott mennyiségek dimenzióinál tárgyaltakhoz hasonlóan a származ- tatott mennyiségek mértékegységei is kifejezhetők az alapmértékegységek hatványszorzataiként. Figyeljünk fel arra, hogy a hatványszorzatos kifeje- zéseket az erő és a nyomás esetében egyszerűbb, egy betűs jelöléssel el- látva bevezettük a jól ismert N mértékegységet, amelybe foglalt erő az 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorsulással mozgatja, és a Pa (pascal) mértékegysé- 11 get, amelybe foglalt nyomást az 1 m2-re ható 1 N nyomóerő okozza. 1.3 Prefixumok A fizikai mennyiségekkel való gyakorlati munka esetében célszerű olyan mértékegységeket választani, amelyek egyrészről jól meghatározott és szabványos kapcsolatban vannak a választott kiindulási mértékegységek- kel vagy egyenesen az alapmértékegységekkel, és biztosítják annak lehe- tőségét, hogy alkalmazásuk mellett szemlélettel átfogható (nem csillagá- szati nagyságú, vagy elképzelhetetlenül kicsi) nagyságú mérőszámok lép- jenek be. A fenti követelményt teljesíti a mértékegységhez kapcsolt prefixumokkal képzett mértékegység-választék bevezetése a mértékegységeket növelő és csökkentő új mértékegységek alkalmazásával. Az új mértékegységeket a mértékegységbe foglalt mennyiségnek tíz bizonyos hatványai szerinti szorzóval változtatott értékei eredményezik. A prefixumok szabványos betűjelölését mindig – mint azt neve is mutatja – a mértékegység elé írjuk. Egyes prefixumok a mértékegységbe foglalt mennyiséget növelik. Ezek a következők: Exa 1018 jele: E 15 Peta 10 jele: P Tera 1012 jele: T 9 Giga 10 jele: G Mega 106 jele: M 3 kilo 10 jele: k ---------------------------------- hekto 102 jele: h 1 deka 10 jele: da A prefixumok másik csoportjának elemei a mértékegységbe foglalt men-- nyiséget csökkentik. Ezek a következők: atto 10-18 jele: a femto 10-15 jele: f piko 10-12 jele: p -9 nano 10 jele: n mikro 10 -6 jele:  milli 10-3 jele: m ---------------------------------- centi 10-2 jele: c -1 deci 10 jele: d 12 A prefixumok mindkét megadott táblázatában szaggatott vonal választja el a tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixu- mokat, a tíz- és százszoros illetve egy tized- és egy századszoros mérték- egység értékeket indikáló prefixumoktól. Az utóbbi prefixumok csak a szokásos összetételekben alkalmazhatók, (pl. cm, hl, dag stb.). A daN mértékegység alkalmazását a Magyar Mérésügyi Törvény egyenesen megtiltja. A tíz harmadik illetve mínusz harmadik hatványával változó prefixumok viszont korlátozás nélkül használhatók. Felhívjuk azonban a figyelmet a prefixumok alkalmazásával kapcsolatban egy fontos korláto- zásra: kettős prefixum nem használható! 1.4 Mértékrendszerek A fizikai mennyiségek átfogó kezelését mértékrendszer alkalmazása kere- tében lehet megvalósítani. Előző tárgyalásunkban bemutattuk, hogy az alapmennyiségekből hogyan lehet származtatott mennyiségeket képezni. Az alapmennyiségekhez tartozó alapmértékegységek megválasztása után a származtatott mennyiségek mértékegységeinek – a származtatott mér- tékegységeknek – az alapmértékegységre történő visszavezetését is meg- mutattuk. A jelzett származtatási eljárással a mértékegységeknek az ösz- szes szóba jöhető fizikai mennyiségre kiterjedő összefüggő rendszerét kapjuk, amelyet mértékrendszernek nevezünk. A fizika és a műszaki tu- domány fejlődése során több mértékrendszer is kidolgozásra és alkalma- zásra került. A különböző metrikus alapú mértékrendszereken kívül az angolszász mértékrendszer elterjedtsége volt jelentős a XX.-században. Nem célja a jelen tárgynak a különböző mértékrendszerek ismertetése. A következőkben a koherens (összehangolt) mértékrendszer definícióját adjuk meg annak fontossága miatt. Definíció: Egy mértékrendszert akkor nevezünk koherensnek, ha a származtatott mennyiségek mértékegységei előállíthatók az alap- mértékegységek konstans együtthatók nélküli hatványszorzatai- ként. A Magyarországon törvénnyel bevezetett SI (System International) mér- tékrendszer koherens. Alapmennyiségei és alapmértékegységei:  hosszúság m (méter)  hőmérséklet K (kelvin)  szög rad (radián)  áramerősség A (amper)  tömeg kg (kilogramm)  anyagmenny. mol (mól)  idő s (másodperc)  fényerősség cd (kandela) 13 Néhány fontos származtatott mennyiség:  sebesség m/s m s-1  szögsebesség rad/s rad s-1  gyorsulás m/s2 m s-2  szöggyorsulás rad/s2 rad s-2  erő N=kgm/s2 kg m s-2  nyomaték Nm kg m2 s-2  nyomás Pa=N/m2 kg m-1 s-2  munka J=N m kg m2 s-2  teljesítmény W=J/s kg m2 s-3 14 2 Méréstechnikai alapok 2.1 Bevezető megjegyzések A mérnöki munkának igen fontos része a mérésekkel történő információ- szerzés a műszaki objektumok – esetünkben a járművek – sajátosságainak széles spektrumáról. A mérések célját tekintve két lényegi osztály külö- níthető el: 1. Adatgyűjtés; 2. Ellenőrzés. Az adatgyűjtés a műszaki objektum működését meghatározó adatok mé- réses felvételét jelenti, mintegy ténymegállapító numerikus adatsokaság generálását valósítja meg. Az ellenőrzés funkciója a tudatosan létrehozott, tervezett műszaki objektumok és az azokban végbemenő tervezett folya- matok megvalósítása (gyártás, kivitelezés) közben és a megvalósult üzem során ténylegesen kialakult jellemzőinek felvételével, a tervezett értékek- kel való megegyezés mértékét hivatott értékelni. A méréssel vizsgált műszaki fizikai jelenségek köre két lényegi osztályba sorolható: 1. Determinisztikus jelenségek; 2. Sztochasztikus jelenségek. Determinisztikus jelenségek esetén a tekintetbe vett körülmények a jelen- ség kimenetelét elvileg egyértelműen meghatározzák. Sztochasztikus je- lenségek esetében a tekintetbe vett körülmények rendszere nem határozza meg egyértelműen a jelenség kimenetelét, a kimenet véletlenszerű, a va- lószínűség mértékével meghatározott határok között változik. A szto- chasztikus jelenség kimenetele tehát véletlen esemény, melynek elemzé- séhez valószínűségszámítási fogalmak és statisztikai eljárások szüksége- sek. Tárgyalásunk során ki fog derülni, hogy a determinisztikus jelensé- gek méréses vizsgálatakor a mindenkor felmerülő véletlen hibák miatt vé- gül is a sztochasztikus jelenség kategóriájára találunk. Végül is érvénye- sül a mérnököt tudatos óvatosságra intő sajátos elv: „minden csupán va- lószínű, semmi sem teljesen bizonyos”. 2.2 A mérőrendszer felépítése A mérési tevékenység megvalósításához célszerűen összeállított mérő- rendszer szükséges. A vizsgálandó fizikai mennyiséget a mérőrendszer 15 bemenetére kapcsolva a kimeneten megjelenik a mérési eredmény. A mé- rőrendszer legfontosabb része a mérő-átalakító, amely a bevezetett fizikai mennyiség hatására kiadja a mérési jelet. Bár sok esetben az átalakítás egyszerű geometriai vagy mechanikai transzformációt jelent, mégis a ki- menő mérési jel nagyon sokszor villamos mennyiség (feszültség, áram- erősség stb.) formájában jelenik meg. Maga az átalakítás tehát ebben az esetben azt jelenti, hogy a bemenetre kapcsolt, nem szükségképp villamos mennyiséget a bemeneti jellemzővel lehetőleg arányosan változó villamos jellé alakítjuk. vizsgált mennyiség mérőátalakító mérési eredmény  környezeti zavarás "zaj" 2.1. ábra. Mérőrendszer vázlata A 2.1. ábrán vázolt módon a mérő-átalakító tehát az a mérőrendszer elem, amely a mérendő mennyiséggel közvetlenül kapcsolatba kerül, és amely- nek bemenő jele (gerjesztése) a mérendő mennyiség, kimenő jele a mérési eredmény pedig a mérendő mennyiséggel ismert – kívánatos módon line- áris – függvénykapcsolatban álló (leggyakrabban villamos) mennyiség. Ha a mérőrendszer ideálisan pontos jelátalakítást végezne és a mérési eredmény információtorzulás nélkül kerülne leolvasásra, még akkor is számolni kell a mérési funkció megvalósulása közben a mérőrendszert érő külső, zavaró hatásokkal (szaknyelven: „zajjal”), és ezért a mérési ered- mény még akkor is bizonyos hibával terhelt lesz, még a fentebb említett két ideális feltétel fennállása esetén is. A gyakorlati mérőrendszerek azonban nem ideálisan pontosak, és a méré- si eredmények leolvasása során is keletkeznek bizonyos hibák. Így mérési a hibák három fő forrását az alábbiak adják:  a mérőrendszer tökéletlensége,  leolvasási pontatlanság,  környezeti zavarás. A mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosan utalunk arra, hogy szá- mos műszer esetében számítani kell a csapágyak vagy más vezetőelemek súrlódás okozta határozatlan beállására, az egyes szerkezeti elemek mé- 16 rettűréseivel behatárolt geometriai hibákra, a beépített villamos alrendsze- rek nemlinearitásaival, stb. A leolvasási pontatlanság szemléletes magyarázatát adja a 2.2. ábrán vá- zolt elrendezés, ahol is a függőlegesen mozgó mutató helyzetének a mel- lette elhelyezkedő skála jelzővonalaitól való távolságát kellene leolvasni. Ha a leolvasó személy nem merőlegesen, hanem ezen merőlegestől β szöggel eltérő ferde irányból néz a skálára, akkor a helyes értéktől δ tá- volsággal eltérő skálapontot azonosítana. 2.2. ábra. Leolvasási hiba Ha a mutatónak a skálától vett vízszintes távolsága h, és leolvasó szem skálától vett ugyancsak vízszintes távolsága H, továbbá a leolvasó szem a merőleges rátekintés helyétől függőlegesen y távolságban végzi a leolva- sást, akkor a δ leolvasási hiba és az y elhelyezkedési hiba között egyszerű függvénykapcsolat adódik a tg β = y/(H-h) = δ /h összefüggés alapján: h δ = h tg  = y. H h Mivel a leolvasó személy helyzetét megadó y távolság a szándékolt merő- leges rátekintéshez tartozó y = 0 érték körül leolvasásról leolvasásra vé- letlenszerűen oszlik el, ezért a származtatott δ hiba is véletlen hiba lesz. A környezeti zavarás vonatkozásában a mérőrendszer mechanikai és vil- lamos elemeinek működésviszonyait befolyásolja például a mindig válto- zó környezeti hőmérséklet és páratartalom, valamint a műszereket alátá- masztó rendszer pillanatnyi rezgésállapota. A mondott változások nagy- részt véletlenszerű zavaróhatásként azonosíthatók, és hozzájárulnak a mé- rési eredményt terhelő bizonytalan nagyságú véletlen hibákhoz. 2.3 A mérési hibák két fő csoportja A fentiekben áttekintettük a mérési hibák létrejöttének három fő forrását. Most más szempontból vizsgálva a kérdést, mérési hibákat a rendszeres 17 (szisztematikus) hibák és a véletlen hibák osztályának megkülönbözteté- sével két lényegi osztályba soroljuk. 2.3.1 A rendszeres hibák A rendszeres hibák a mérőrendszer tökéletlenségével kapcsolatosak és a mérés megismétlésekor a mérési eredményt szisztematikusan, minden esetben ugyanúgy torzítják. A rendszeres hibát elvileg korrigálni lehet ka- librálási diagram alkalmazásával, amely diagram úgy készül, hogy ugyanazon mennyiséget egy szisztematikus hibával terhelt mérőrendszer- rel és egy nagyon pontos (igen kis szisztematikus hibájú) mérőrendszerrel egyidejűleg mérjük és a két mérőrendszer által mutatott kimenő értékeket egy diagram két tengelyére feltéve kalibrálási görbét határozunk meg. A 2.3. ábrán felrajzolt diagram koordináta rendszerének vízszintes tengelyé- re a kalibrálandó (gyengébb minőségű, nagy szisztematikus hibájú) mű- szer által kiadott x1 mérési eredményt tesszük fel. A koordinátarendszer függőleges tengelyére pedig a pontosabb, kalibráló műszerrel nyert x2 mé- rési eredményt tesszük fel. Elegendően sok különböző bemenő érték mel- let mérve, a két összetartozó koordinátaérték felrajzolt pontsorozata alap- ján megrajzolható a g kalibrálási görbe, amelyik lényegét tekintve a két műszer szolgáltatta mérési eredmények összefüggését megragadó, az x2 = g(x1) függvénykapcsolat megjelenítője. x2 pontos kalibráló x2=g(x1) műszerrel hitelesítő vagy mért kalibráló görbe eredmény 45° x1 a skála már a pontos értékeket gyengébb, mutatja kalibrálandó műszerrel mért eredmény 2.3. ábra. Kalibrálási görbe A diagram konstrukciója alapján nyilvánvaló, hogy abban az esetben, amikor a két műszer azonos kialakítású – pl. mind a kettő igen pontos – akkor a kiadódó x2 = g(x1) függvény képe a 45-os egyenes lesz. A tény- legesen vizsgált műszerek esetében adódó kalibrálási görbék is a 45-os egyenes környezetében szigorúan monoton növekedést és folytonos lefu- 18 tást mutatnak, ami biztosítja a gyakorlati kalibrálási függvény inverzének létezését. Mármost a pontatlan műszer skálázását a kalibráló műszeren mért y2i skálaponti értékeinek a kalibrálási függvény g-1 inverz függvé- nyének alkalmazásával y1i = g-1(y2i) alakban tudjuk meghatározni, ahol te- hát y2i befutja pontos kalibráló műszer skálaosztásait. A pontatlan (kalib- rálandó) műszer javított (kalibrált) skáláján ezek után az y1i skálaponthoz az y2i skálaérték írandó. A vázolt eljárás lényege abban foglalható össze, hogy a pontos műszer sa- játosságait mintegy „átvetíthetjük” a gyengébb műszerre, és így mindig meg lehet mondani, hogy a tökéletlen műszerrel (a szisztematikus hibával dolgozó műszerrel) mért érték nagyon jó közelítéssel milyen tényleges ér- téknek felel meg. 2.3.2 A véletlen hibák A véletlen hibák oka a bizonytalansággal jelentkező környezeti zavarás- ban és leolvasási pontatlanságban van. A véletlen hibák jelenléte az egye- di mérési eredmények megbízhatatlanságát okozza. A véletlen hibák min- denkori jelenléte miatt érvényes a mérnökök között közismert mondás: „egy mérés nem mérés!”. A véletlen hiba nem küszöbölhető ki, azonban azonos körülmények kö- zött megismételt mérések eredményének kiértékelésével a véletlen hibát statisztikailag jellemezni lehet. Tekintettel arra, hogy a méréssel kapcsolatos rendszeres (szisztematikus) hibákról feltételezhetjük, hogy azokat a kalibrálással elhanyagolhatóan kicsire csökkentettük, a további tárgyalásunkban csak a véletlen hibákkal terhelt mérési eredmények jellemzésére, azaz a véletlen hibák kezelésére szorítkozunk. A matematikai jellemezhetőség érdekében a véletlen hibával terelt bi- zonytalan alakulást mutató mérési eredményt valószínűségi változónak tekintjük. Az alábbiakban megadjuk a valószínűségi változó definícióját. Definíció: az olyan változókat, amelyek nagyságát pontosan megadni nem lehet, de amelyek megadott [a,b] intervallumba esésének valószínűségét  függetlenül megismételt kimenetelek szolgáltatta adatsorozat alapján  statisztikailag becsülni lehet, valószínűségi változóknak nevezzük. 19 A megismételt mérések szolgáltatta adatsorozatban lévő információ ad alapot a véletlen hibák alakulásával kapcsolatos bizonytalanság elhárítá- sára. Legyen az azonos körülmények között egymástól függetlenül n-szer meg- ismételt mérés véletlen hibával terhelt eredmény sorozata az x1, x2,…, xn számsorozat. Azt mondjuk, hogy ez az adatsorozat az x mérési eredmény valószínűségi változóra vonatkozó n-elemű realizációs sorozat. A kiadó- dó realizációs sorozat véletlen hibával terhelt elemei a vizsgált fizikai mennyiség ismeretlen és általunk meghatározni kívánt xP pontos értéke körül jobbra és balra körülbelül egyenlő arányban fognak szóródni. pontos érték xp 0 x1 xn … 2.4. ábra. Szóródó mérési eredmények A 2.4. ábrán a felvett félegyenesre kis függőleges vonalakkal bejelöltük a szóban forgó szóródó mérési eredmények értékeit. Rátekintve az ábrán látható függőleges vonalakra, érzékelhető a vonalak sűrűsödési helyénél az x valószínűségi változó ingadozási középpontja, amelyhez tartozó vé- letlentől már nem függő konstans értéket az x valószínűségi változó vár- ható értékének nevezzük és M(x)-szel jelöljük. Ezen megállapítás után a méréssel vizsgált mennyiség ismeretlen xP pontos értékét megalapozottan azonosíthatjuk az x mérési eredmény valószínűségi változó M(x) várható értékével, azaz érvényesnek vehetjük az xP = M(x) egyenlőséget. A további vizsgálatok egzakt keretekben történő folytatása most már azt a kérdést veti fel, hogy miképpen lehet az x1, x2,…, xn reali- zációs sorozatból (az x valószínűségi változóra vett n-elemű mintából) matematikailag megalapozott becslést adni az M(x) várható értékre nézve, és ezzel együtt az M(x)-szel egyenlő, számunkra lényeges és meghatá- rozni kívánt xP pontos értékre. Jelen tárgyalásunkban nem bocsátkozunk a matematikai statisztikai becs- lések elméleti taglalásába, azonban megadjuk az M(x) várható érték köze- lítő meghatározására a mért n-elemű x1, x2,…, xn realizáció sorozat eleme- inek számtani középértékével definiált becslést: x1  x2 ...  xn 1 n M(x)  x n = =  xi. n n i 1 20 Az így bevezetett x n maga is egy valószínűségi változó realizációs érté- keként tekintendő, hiszen a véletlen ingadozásnak alávetett realizációs ér- tékek függvényeként (számtani átlagaként) van értelmezve. Ennek fényé- ben rögzítsük azt a tényt, hogy egy adott n-elemű minta esetén kiszámolt ( x n )1 számtani középértékkel egy másik  ugyancsak x-re nézve az előző méréssorozattól függetlenül vett – ugyancsak n-elemű realizációs soro- zatból számolt újabb ( x n )2 számtani középérték általában nem lesz egyen- lő! Így tehát a különböző n-elemű mintasorozatokból számított számtani átlagok is véletlen ingadozást mutatnak. A szokásos méréstechnikai ese- tekben ezen utóbbi ingadozás középpontja az eredeti x mérési eredmény M(x) várható értékkel azonosnak adódik, ezért az M(x) várható érték x n számtani átlaggal való becslését torzatatlan becslésnek nevezzük. Azon- ban mint később látni fogjuk a mondott számtani átlagok M(x) körüli szó- ródása a jóval kisebb, mint az x-re vett eredeti mintasorozat elemek ugyancsak M(x) körüli szóródása. Az x n  M(x) közelítés a mérések n számának növelésekor egyre javul, mi- vel érvényesül a nagy számok gyenge törvénye, miszerint annak valószínűsé- ge, hogy a minta számtani átlaga a várható értéktől abszolút értékben tetsző- legesen kicsi -nál nagyobb mértékben tér el n ∞ esetén zérushoz tart. 2.4 Abszolút és relatív hiba A további tárgyalásunkban az x mérési eredmény abszolút hibáját – amely egyébként mindig előjeles mennyiség – az alábbi definícióval értelmezzük: def H x  x  xp. A gyakorlati munkában sokszor a Hx = x rövidebb jelölés is szokásos. Mindenesetre rögzítjük, hogy az abszolút hiba akkor pozitív, ha a hibával terhelt mért érték nagyobb, mint a pontos érték. Az x mérési eredmény relatív hibáját az abszolút hibának a pontos érték egységére történő vonatkoztatásával definiáljuk: def x  xp x hx    1. xp xp A gyakorlati munkában sokszor a hx = x / xp rövidebb jelölés is szoká- sos. Itt is emeljük ki, hogy a relatív hiba is előjeles mennyiség. A fent megadott definíciók feltételezik, hogy a pontos érték ismert, azon- ban, mint az a korábbi tárgyalásunkból ismeretes, a pontos érték nem is- 21 mert, azt a mérési eredményekből becsülnünk kell, legtöbbször a mérési 1 n adatok x n   xi számtani középértékével. Az elmondottakból követ- n i 1 kezik, hogy a gyakorlati alkalmazásokban mind az abszolút hibát, mind a relatív hibát az egyes xi mérési eredmények vonatkozásában csak közelí- tőleg tudjuk számítani, éspedig az xp  x n közelítés alkalmazásával. Ezért az abszolút hiba helyett látszólagos (virtuális) abszolút hibáról és relatív hiba helyett látszólagos (virtuális) relatív hibáról beszélünk a következő kifejezésekkel összhangban: def def xi  x n xi H l x i  xi  x n , és hl x i   1. xn xn Az így számított látszólagos abszolút és relatív hiba nyilvánvalóan való- színűségi változóként azonosítható. 2.5 A közvetett mérés, a hibaterjedés jellemzése 2.5.1 Egyváltozós függvénykapcsolat esete A mérnöki gyakorlatban nagyon sokszor adódik olyan mérési feladat, hogy a vizsgálandó y mennyiség közvetlen mérése igen körülményes, vagy egyáltalán nem lehetséges, mérhető azonban egy másik x mennyi- ség, amely a vizsgálandó mennyiséggel ismert y = f(x) függvénykapcso- latban van. Ez a helyzet fogalmazza meg a közvetett mérés szükségessé- gének esetét. Mivel az említett helyzetben az yp = f(xp) összefüggés fenn- áll, és az x mennyiség kis mérési hibával mérhető, a vizsgálatokat nagy- ban egyszerűsíti az f(x) függvény xp helyi linearizálása. f, e e y=f(x) α f(xp) f(xp+Δx) Δx 0 xp xp+Δx x 2.5. ábra. Egyváltozós függvény linearizálása: e érintő egyenes 22 A 2.5. ábrán felrajzoltuk a vizsgált helyzetnek megfelelő f(x) függvényt. Az xp abszcisszájú pontnál az f(x) függvény görbéjéhez húzott e(x) érintő egyenest is ábrázoltuk. Mivel az xp abszcisszájú pontnál az érintő egyenes tg  iránytangense az f(x) függvény differenciálhányadosának2-1 az xp he- df ( x) lyen felvett értékével azonos, felírható az xp abszcisszájú pont- dx x  x p ban az érintő egyenes egyenlete: df ( x) e( x)  f ( x p )  tg ( x  x p )  f ( x p )  (x  x p ). dx x x p 2-1 Megjegyzés _________________________________________________________ d f(x) f ( x  x)  f ( x) A f’(x) = = lim határérték meghatározását (amennyiben létezik) dx x 0 x deriválásnak, a határérték függvényt az f(x) függvény differenciál-hányadosának, deri- vált-függvényének nevezzük. Pl.: f(x) = x2 függvény derivált-függvénye: f’(x) = (x2)’ = lim ( x  x)  x  lim x  2 xx  x  x  2 x 2 2 2 2 2 x0 x x0 x Általánosítva: a hatványfüggvény deriváltja n≠0 esetén: (xn)’ = n xn-1. A deriválás tulajdonságai: Összegtartás: (f(x)+g(x))’ = f’(x) + g’(x), Aránytartás c=konst.: (c f(x))’ = c f’(x). Szorzatfüggvény deriváltja: (f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x). Hányados függvény deriváltja: (f(x) / g(x))’ = { f’(x) g(x)  f(x) g’(x) } / g 2(x). d f(g(x)) d f(g(x)) d g(x) Láncszabály (összetett függvény deriválása): =. dx dg dx ______________________________________________________________________________________ Mivel a mérés Δx = x - xp abszolút hibája kicsi, az xp pont kis környezeté- ben az f(x) függvényt jó közelítéssel helyettesíteni lehet az e(x) érintő egyenes egyenletével, azaz elfogadható az f(x)  e(x) közelítés. Ezt az el- járást nevezik linearizálásnak. A származtatott y mennyiség közelítő érté- két ennek alapján a lineáris e(x) függvénnyel kapjuk a mérhető, de hibával terhelten mért x értékből: df ( x) y  e( x )  f ( x p )  (x  xp ). dx x  x p Vegyük figyelembe, hogy most yp = f(xp), és jelöljük az y mennyiség ab- szolút hibáját Δy -nal, ahol Δy = y - yp, akkor az x abszolút hibáját hason- lóan a Δx = x - xp jelöléssel felírva a linearizálás alapján a következő ösz- szefüggés írható fel: df ( x) df ( x) Δy = y - yp = y - f(xp) = ( x - xp) = Δx. dx x  x p dx x  x p 23 Röviden: df ( x) Δy = Δx, dx x x p azaz linearizált összefüggés esetén az abszolút hiba terjedésében az erede- ti f(x) függvény xp-helyi deriváltja arányossági tényezőként kulcsszerepet játszik. Az y mennyiség relatív hibáját a fentiekre támaszkodva egyszerűen vissza lehet vezetni az x abszolút hibája ismeretére a következő összefüggés sze- rint: y 1 1 df ( x) 1 df ( x) hy   y  x  x yp yp y p dx x  x p f ( x p ) dx x  x p A származtatott mennyiség relatív hibájának meghatározására nézve három speciális, de gyakran előforduló esetre nézve adunk meg összefüggést: 1. y = állandó függvény esetén hy = 0 , 2. y = c x függvény esetén hy = hcx = hx , 3. y  x n hatvány függvény esetén hy = hx n = n hx. A megadott összefüggések bizonyítását az olvasóra bízzuk, és a megadott összefüggések alkalmazására két konkrét példát mutatunk be. 1. Adott egy tengely. A tengely d átmérőjét hd relatív hibával terhelve mérjük. A keresett mennyiség a tengely A keresztmetszeti felületének közvetett mérésekor elkövetett hA relatív hiba. d 2 Mivel a keresett A keresztmetszeti felület A = , itt a konstans- 4 szoros és a hatványfüggvény szerinti (2. és 3. eset szerinti) relatív hiba- terjedési törvényszerűség érvényesül. Ezek szerint hA  hd 2  2hd. 2. Egy víztartályból kilépő folyadéksugár sebességét kívánjuk méréses úton vizsgálni. Az áramlás veszteségmentesnek tekinthető. Amint azt a későbbiekben, a 4.2.3. fejezetben látni fogjuk, a kifolyási sebesség a kifolyócső és a szabad tartálybeli vízfelszín L magasságkülönbségétől valamint a g nehézségi gyorsulástól függ, a v  2 gL képlet szerint. Itt is a hatványfüggvényre és a konstans-szorosra vonatkozó (2. és 3. eset szerinti) relatív hibaterjedési törvény érvényesül, ezért: hv  h L  (1 / 2)hL. 24 2.5.2 Többváltozós függvénykapcsolat esete Sok járműtechnikában fellépő fizikai problémánál előtérbe lép az a hely- zet, hogy valamely z mennyiségre vagyunk kíváncsiak, de az közvetlenül nem mérhető, azonban létezik egy z = f(x,y) kétváltozós függvény, amely- nek x és y független változója azonban már mérhető. Itt is felmerül a ko- rábban már vizsgált kérdés, nevezetesen ha az x és y értékét hibával ter- helten mérjük, mit lehet mondani a jelzett hibáknak a z mennyiség hibájá- ba történő átszármazásáról. Tekintettel arra, hogy az x és y mérésekor elkövetett hibáról feltehetjük, hogy azok kicsik, itt is alkalmazható a linearizálás technikája. Most a két- változós f(x,y) függvény esetén a két független változó pontos értékét je- lölje xp és yp. A függő változó zp pontos értékét xp és yp f függvénybe való behelyettesítésével adódik: zp = f(xp,yp). A linearizálás most azt jelenti, hogy a kétváltozós f(x,y) függvény jellegfelületének az xp, yp koordinátájú pontjánál érvényes érintősíkját tekintjük. z z=f(x,y) S f(x,yp) ex x = xp ey P=(xp,yp,zp) y = yp y x xp yp f(xp,y) 2.6. ábra. Kétváltozós függvény linearizálása: S érintősík A 2.6. ábrán térbeli, x-y-z koordináta rendszerben felvázoltuk a z=f(x,y) 25 kétváltozós függvény jellegfelületét, feltüntetve a kiválasztott P=(xp,yp,zp) pontot. Az y tengelyen lévő yp ponton áthaladó, (x,z) síkkal párhuzamos sík metszi az f(x,y) felületet, és a metszésvonal egy, most már csak az x- től függő, tehát egyváltozós z=f(x,yp) függvénygörbe lesz. Ennek a függ- vénynek az xp pontbeli érintő egyenese az ábra szerinti ex egyenes. Hasonlóképpen eljárva az x tengelyen lévő xp ponton áthaladó, (y,z) síkkal párhuzamos sík is metszi az f(x,y) felületet, és a metszésvonal egy, most már csak az y-tól függő, tehát egyváltozós z=f(xp,y) függvénygörbe lesz. Ennek a függvénynek az yp pontbeli érintő egyenese az ábra szerinti ey egyenes. Ezek után a z=f(x,y) függvény x=xp és y=yp pontjához tartozó S érintősíkot a kapott ex és ey egymást metsző két egyenes meghatározza. Az ex és ey egyenesek x illetve y tengelyekkel bezárt szögeinek iránytan- gense – az egyváltozós függvény linearizálásánál megismertek szerint – rendre az adott síkokban metszésvonalként kapott, egyváltozós z=f(x,yp), illetve z=f(xp,y) függvények deriválásával, és a derivált x=xp és y=yp ponthoz tartozó értékével határozható meg. Így az ex egyenes x tengellyel bezárt szögének iránytangense tehát d f(x,yp)  f(x,y) dx | x=xp és y=yp = x | x=xp és y=yp. Hasonlóképpen az ey egyenes y tengellyel bezárt szögének iránytangense d f(xp,y)  f(x,y) dy | x=xp és y=yp = y | x=xp és y=yp. A fenti összefüggésekben a  szimbólum a kétváltozós függvényünk par- ciális (részleges) deriválásának2-2 jele. 2-2 Megjegyzés _________________________________________________________ A parciális (részleges) deriválás többváltozós függvények deriválásánál azt jelenti, hogy a változók közül csak azt a változót tekintjük változónak, amelyik szerint a parciális de- riválás történik, a többi változót a derivált meghatározásakor úgy kezeljük, mintha kons- tans lenne. Ily módon a többváltozós függvény egyváltozós függvénnyé válik, és a meg- ismert deriválási eljárás alkalmazható lesz. ______________________________________________________________________________________ Az érintősík egyenlete az f(x,y) függvény x-szerinti és y-szerinti parciális deriváltjainak az xp, yp koordinátájú pontban felvett értékei (az ex és ey egyenesek iránytangense)) segítségével – az egyváltozós függvénynél megismert felírást mind x, mind y irányban alkalmazva – felírható a kö- vetkező alakban: 26  f ( x, y ) f ( x, y ) s(x,y) = f(xp, yp) + (x  xp) + (y  yp). x x  x p , y  y p y x  x p , y  y p Ezek után a z = z – zp = f(x,y) - f(xp,yp) abszolút hiba az f(x,y)  s(x,y) közelítő egyenlőség alapján s(x,y) - f(xp, yp) alakban származtatható, és ezért s(x,y) fenti kifejezését figyelembe véve adódik a z abszolút hiba számítások végzésére alkalmas közelítő kifejezése: f ( x, y ) f ( x, y ) z  (x  xp) + (y  yp). x x  x p , y  y p y x  x p , y  y p Áttérünk a relatív hiba tárgyalására. Először az általános összefüggést te- kintjük, természetesen a közelítő linearizálást a továbbiakban is elfogad- va. A fentiekben levezetett abszolút hibát a zp = f(xp, yp) pontos érték egy- ségére vonatkoztatva a következő számításokra alkalmas képlet adódik: z f ( x, y )  1 z p f (x p , yp ) [ f (xx, y) (xxp) + y x  x p , y  y p ] (yyp). x x p , y y p A nyert képlet konkrét alkalmazását a teljesítménynek a nyomaték és a szögsebesség mérésre való visszavezetése példáján mutatjuk be. Tehát a példabeli esetben P = f(M,) = M . Meghatározzuk a parciális deriváltak számértékét az Mp és p helyen: f ( M , ) f ( M , ) 2-3  p ,  Mp. M M  M p , p  M  M p , p 2-3 Megjegyzés _________________________________________________________ A teljesítmény: P=M. Ha M szerint történik a parciális deriválás, akkor  konstansnak  P  ( M) dM tekintendő a deriválás során. Tehát: P=M =M 1. Tehát = = = . M M dM  = p behelyettesítésével adódik a kapott eredmény. Az  szerinti parciális deriválásnál hasonlóképpen járunk el, akkor M tekintendő konstansnak. ______________________________________________________________________________________ Ezek alapján a keresett abszolút hiba: P  p (M - Mp) + Mp ( -p) = p M + Mp . A relatív hibát a Pp=Mp p pontos értékkel való osztás után kapjuk: P/Pp  {p M + Mp }/ Mp p = M / Mp +  / p. 27 Alkalmazzuk a relatív hibára fentebb kapott képletet a z = f(x,y) = x y szorzatfüggvény esetére. Ebben az esetben az zp = f(xp, yp) = xp yp össze- függés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei pedig: f ( x, y ) f ( x, y )  yp ,  xp. x x  x p , y  y p y x  x p , y  y p Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos Δx=(xxp) és Δy = (yyp) jelölésekkel: z 1 x y  z p xp yp [ y p Δx + x p Δy =  xp yp ]. A nyert eredmény így olvasható ki: „szorzat relatív hibája egyenlő a té- nyezők relatív hibáinak összegével”. Alkalmazzuk a kapott képletet a z = f(x,y) = x/y hányados-függvény eseté- re is. Ebben az esetben az zp = f(xp,yp) = xp / yp összefüggés érvényes. A szereplő parciális deriváltak értékei: f ( x, y ) 1 f ( x, y )  1 2-4  ,  xp. x x  x p , y  y p y p y x  x p , y  y p y 2p Ezen értékek alkalmazása mellett, és a szokásos Δx = (xxp) és Δy = (yyp) jelölésekkel: z 1 1 x x y  z p xp yp [ Δx  p2 Δy = yp  xp yp. ] yp 2-4 Megjegyzés _________________________________________________________ Az y szerinti parciális deriválásnál x=konstans, és z = x y-1 szerint az y függvénynek az n=-1 hatványfüggvényéről van szó. A korábbiakban a hatványfüggvényre megismert de- riváltat alkalmazva d(yn)/dy = n yn-1 , d(y-1)/dy = (-1) y -2 = -1/y2. _____________________________________________________________________ A nyert eredmény így olvasható ki: „hányados relatív hibája egyenlő a számláló relatív hibája mínusz a nevező relatív hibája”. Ha hx jelöli az x x mennyiség relatív hibáját, akkor ezen jelölés szellemiségében az xp utóbbi két szabály a következőképp is írható: hxy  hx  hy és hx/y  hx  hy. 28 Végül egy példa keretében mutatjuk meg, hogy a relatív hibával kapcsola- tos eddigi szabályok milyen egyszerűen alkalmazhatók egy általánosabb kétváltozós probléma megoldására. Tegyük fel, hogy egy jármű konstans a gyorsulással zéró sebességről indulva t ideig mozog miközben egy kije- lölt, a kísérlet során befutását tekintve megfigyelhető, de ismeretlen s hosszúságú utat fut be. A gyorsulást ha , az időt pedig ht relatív hibával mérjük, keressük a befutott út relatív hs hibáját. Ismeretes, hogy a zérus sebességről induló, állandó a gyorsulással mozgó a pont által t idő alatt befutott út az s = t 2 képlettel meghatározott. Mivel 2 1 1 a képlet s = at 2 alakban is felírható, látható, hogy itt a konstans 2 2 szorzóval szorzott at mennyiség relatív hibáját kell számítani. Mivel va- 2 lamely mennyiség konstans-szorosának relatív hibája megegyezik magá- nak a szorzandó mennyiségnek a relatív hibájával, ezért írható, hogy: hs  hat 2. Az at 2 kifejezés az a és a t2 szorzata, így ezen szorzat relatív hi- bája a tényezők relatív hibáinak összege: hat 2  ha  ht 2. Marad hátra még a t2 hatványkifejezés relatív hibájának felírása, azonban erre a tárgyalá- sunkban bemutatott módon érvényes, hogy ht 2  2ht. Mindent egybevet- ve ezért a befutott út relatív hibája tehát a következő képlettel számítható: hs  ha  2ht. Foglalkozzunk végül a befutott út ismeretlen sp hossza közelítő értékének meghatározásával. A kísérlet során mérjük n-szer függetlenül megismé- telve az a gyorsulást és a t időt, a kapott a1,a2,…,an és t1,t2,…,tn adatok alapján kiszámítjuk az ap és tp pontos értékek becsléseit a mérési eredmé- _ _ nyek számtani átlagaként, azaz meghatározzuk az ap  an és tp  t n számtani közepeket, majd ezekkel megadjuk a befutott út pontos értéké- nek becslését: ap an 2 sp  t 2p  tn. 2 2 Az egyes ai, ti mérési adatpárokból kiszámítható és a pontos sp úthossz kö- rül szóródó si = (1/2) aiti2 úthossz becslések relatív hibáit a hsi  hai  2hti , i=1,2,…,n értékek szolgáltatják. 29 2.6 A mérési eredmény szóródásának jellemzése A mérési eredmények várható érték körüli elhelyezkedésének jellemzésé- re – a szóródás jellemzésére – elvileg öt különböző mennyiség jöhet szó- ba. 1. A terjedelem (range: „rendzs”) Az n számú x1, x2,…, xn mérési eredmény az x valószínűségi változó n elemű realizációs sorozata. Kiválasztva a mérési sorozat legkisebb és leg- nagyobb elemét, értelmezhetjük a minta terjedelmét az r = max{ xi } – min{ xi } számértékkel. 2. Az átlagtól vett előjeles eltérések számtani közepe Mivel a mintaelemek átlagtól vett eltérései előjeles mennyiségek, köny- nyen kimutatható, hogy ez a dn –nel jelölt középérték mindig zérust ad, és ezért ez nem alkalmas a szóródás jellemzésére. A számtani közép definí- ciója szerint ugyanis: 1 n 1 n 1 dn   n i 1 ( x i  x n )   n i 1 xi  n x n  x n  x n  0. n 3. Átlagos abszolút eltérés A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles voltából fakadó fenti ne- hézséget pl. azáltal lehet kiküszöbölni, hogy az eltérések abszolút értékét vesszük. Az így adódó n mindig nemnegatív szóródási jellemző alakja: 1 n n   xi  x n  0. n i 1 4. Az átlagos négyzetes eltérés – a tapasztalati szórás A mintaelemek átlagtól vett eltéréseinek előjeles értékeiből négyzetre emeléssel is kaphatunk nemnegatív értékeket. A négyzetre emelést meg- valósító függvény folytonos differenciálhatósága miatt több szempontból előnyösebb tulajdonságokat biztosít, ezért a következő módon járhatunk el. Először képezzük a mintaelemek átlagtól vett eltérései négyzeteinek számtani átlagát. Ez a mennyiség az n számú mérési eredmény tapaszta- 30 lati (idegen szóval empirikus) szórásnégyzete, amely szintén mindig nem- negatív: n 1 n2 = n  ( x x ). i n 2 i=1 A most meghatározott empirikus szórásnégyzetből négyzetgyököt vonva kapjuk az n számú mérési eredmény tapasztalati szórását, amelyet méltán nevezhetünk a mérési eredmények számtani átlagtól vett átlagos négyze- tes eltérésének: 2 n n = 1 n  ( x x ). i n 2 i=1 Természetszerű, hogy a szereplő négyzetgyök pozitív értékét kell tekinte- nünk. Tárgyalásunk ezen pontján kell rámutatni arra nyilvánvaló összefüggésre, hogy maga az x valószínűségi változóként tekintett mérési eredményt és ennek az M(x) várható értékét elvileg is vizsgálhatjuk, és képezhetjük az x-M(x) kifejezést. Ebben a különbségben az x egy valószínűségi változó, míg M(x) ennek konstans (véletlentől már nem függő, „kiközepelt”) vár- ható értéke, azonban az x-M(x) különbség nyilvánvalóan örökli első tag- jának, az x-nek a véletlentől való függését, és ezért maga is valószínűségi változóként azonosítható. Az így kapott x-M(x) valószínűségi változót négyzetre emelve a kiadódó mennyiség egy újabb, most már nemnegatív valószínűségi változót ad. Ezen utóbbi nemnegatív valószínűségi változó várható értéke definálja az eredeti x valószínűségi változó mindig nemne- gatív elméleti szórásnégyzetét (varianciáját) a következő kifejezés szerint: def D2 ( x)  M [ x  M( x)]2  0. Figyelembe véve az elméleti szórásnégyzet jelentését, azonnal adódik, hogy ez az x valószínűségi változó saját várható értékétől vett eltérése négyzetének várható értéke, és így jelentésében közel áll a σ 2n tapasztalati szórásnégyzethez, és az utóbbinak mintegy az elméleti értékét definiálja. Gyakorlatban tehát azt várnánk, hogy az n-elemű mintából számított σ 2n tapasztalati szórásnégyzet közel lesz az elméleti szórásnégyzethez. Mivel a tapasztalati szórásnégyzet a véletlen mintaelemektől függ, így maga is valószínűségi változó, felmerül az a kérdés, hogy a kiadódó  2n valószí- 31 nűségi változó ingadozási középpontja, azaz a várható értéke megegye- 2 zik-e a D ( x) elméleti szórásnégyzettel? A válasz sajnos nemleges, azaz mint az itt nem tárgyalt módon kimutatható, az: M( 2n )  D 2 ( x) összefüggés érvényes. Ezt a matematikai statisztikában úgy fogalmazzuk, 2 hogy σ 2n nem torzítatlan becslése a D ( x) elméleti szórásnégyzetnek, és ez a torzítottság főként kis n megfigyelési számnál, kevés mérési eredmény esetén lényeges. Ezen torzítás azonban könnyen kiküszöbölhető a követ- kezőkben bevezetésre kerülő korrekcióval. 5. A korrigált tapasztalati szórás Először a korrigált tapasztalati szórásnégyzet értelmezését adjuk meg, amely nagyon hasonlít a tapasztalati szórás képletéhez, azonban most a nevezőben n helyett n-1 szerepel: n = 1 n1  ( x x ). i n 2 i=1 Mint könnyen látható, az új korrigált tapasztalati szórásnégyzet a fentiek- ben definiált tapasztalati szórásnégyzettel az alábbi képlet szerint függ össze: 2 n sn  σ 2n. n 1 A képletre tekintve látható, hogy a tapasztalati szórásnégyzet – különösen kis n mintaszám esetén – alábecsüli a szórásnégyzet értékét, ami a tapasz- talati szórásnégyzet megbízhatóságát nyilvánvalóan csökkenti. A most bevezetett korrigált tapasztalati (empirikus) szórásnégyzet már torzítatlan becslése az elméleti szórásnégyzetnek, és érvényes az 2 M( s  n ) = D ( x) 2 összefüggés. Ez azt jelenti, hogy az n-elemű mintákból számított korrigált tapasztalati szórás értékek ingadozási középpontja – várható értéke – 2 megegyezik az elméleti szórásnégyzettel, tehát s  n kiszámításával való- 2 ban torzítatlan becslést kapunk D ( x) -re. 32 A fent írtak alapján szabályként rögzítjük, hogy a mérnöki gyakorlatban, ha n  30, akkor mindig a korrigált empirikus szórásnégyzetet, illetve a belőle gyökvonással adódó korrigált empirikus szórást használjuk, mely- nek képletét az alábbiakban adjuk meg: 2 n sn * = 1 n1  ( x x ). i n 2 i=1 A szóródási viszonyok tárgyalásának befejezéseképp még egy fontos ösz- szefüggést mutatunk meg. Mivel alapjában véve a méréssel vizsgált isme- retlen xp pontos értéket a véletlen hibával terhelt mérési eredmény M(x) várható értékével azonosítottuk, továbbá az M(x) becslésére bevezettük a mérési adatsorozatból számítható x n számtani középértékkel definiált tor- zítatlan becslést, vizsgálható az a kérdés is, hogy az x n számértéknek mekkora a D( x n ) szórása. Bizonyítás nélkül közöljük az erre vonatkozó nevezetes eredményt: D( x) D( x n ) . n A gyakorlati számításokhoz a középérték szórását az n-elemű mintából számított korrigált empirikus szórással helyettesítjük, azaz a sn D( x n )  n képletet alkalmazhatjuk. 2.7 A mérési adatok csoportosítása – hisztogramok 2.7.1 A gyakorisághisztogram Tekintsük ismét az n-elemű x1, x2,…, xn mérési adatsorozatot, és vigyük fel a számértékeket a 2.7. ábra szerinti vízszintes valós félegyenesre. Ké- szítsünk még egymásba nem nyúló (diszjunkt) x1, x2,…, xm balról zárt és jobbról nyitott intervallumokból felépített m-elemű felosztást az ábra félegyenesén oly módon, hogy az intervallumok érintsék egymást, és ösz- szességük fedje le az összes mérési adatsorozatot. A vázolt helyzetben minden egyes xj intervallumra nézve megállapítható a benne tartalmazott mintaelemek Nj száma, azaz a mintaelemeknek az in- 33 tervallumba esésnek gyakorisága. Táblázatosan: intervallum x1 x2... xm gyakoriság N1 N2... Nm 1. Táblázat. Gyakoriság értékek az egyes intervallumokban A 2.7. ábrán az egyes osztásintervallumok felett függő változóként felrak- tuk az ott érvényes gyakoriság értékeket. A jelzett eljárás a gyakoriságok eloszlását bemutató nemnegatív egészértékű lépcsős függvényhez (osz- lopdiagramhoz) vezetett, melynek neve: gyakoriság hisztogram. A gyako- riságok kiértékelésekor alkalmazott eljárás nyilvánvaló következménye, m hogy érvényes a Nj  n összefüggés, hiszen a gyakoriságok összegé- j 1 nek ki kell adnia az összes mérési adat számát. m Nj Nj  n j 1 n 2 1 0 x Δx1, Δx2,... , Δxj,..., Δxm 2.7. ábra. A mérési tartomány felosztása és a gyakoriság hisztogram 2.7.2 A relatív gyakoriság hisztogram A gyakoriság hisztogramhoz a fentiekben kiértékelt gyakoriságokat az n mintaszámmal normálva jutunk a relatív gyakoriságok eloszlásához. A táblázat most a következőképp egészíthető ki: intervallum x1 x2... xm relatív N1 N2 Nm gyakoriság r1  r2 ... rm  n n n 2. Táblázat. Relatív gyakoriság értékek az egyes intervallumokban A relatív gyakoriságok értelmezéséből adódik, hogy egyrészt 0  ri  1 minden i=1,2,…,m -re teljesül, másrészt pedig érvényes, hogy 34  m m Nj 1 m 1  rj   n   n j 1 N j  n  1, n j 1 j 1 azaz a relatív gyakoriságok összege egyet ad. A 2.8. ábrán felrajzoltuk a re- latív gyakoriságok lépcsős függvényét a relatív gyakoriság hisztogramot. rj 1 Nj rj = j=1,2,…,m n m m Nj 1 m 1  rj   n   N j  n n 1 n j 1 j 1 j 1 0 x Δx1, Δx2,... , Δxj,..., Δxm 2.8. ábra. Relatív gyakoriság hisztogram 2.7.3 A relatív gyakoriság sűrűséghisztogram További fontos jellemző diagram származtatható a relatív gyakoriság hisztogramból, ha a tekintett intervallum-felosztáshoz tartozó relatív gya- koriságokat leosztjuk az intervallumok xj szélességével. A táblázat most így alakul: intervallum x1 x2... xm relatív gyako- N1 N2 Nm riság sűrűség f s1  fs2 ... fsm  n x1 n x2 n xm 3. Táblázat Relatív gyakoriság sűrűség értékek A relatív gyakoriság sűrűségek értelmezéséből adódik, hogy 0  f s i min- den i=1,2,…,m -re teljesül, továbbá érvényes, hogy m m Nj 1 m 1  f s j x j   nx j x j   n j 1 N j  n 1 , n j 1 j 1 ami igazolja, hogy a 2.9. ábrán felrajzolt relatív gyakoriság sűr?