M2 - Kap. 3 - TB - PDF

# Funktionale Zusammenhänge: 3a Zuordnungen und Abhängigkeiten ## Zuordnen: Wenn die eine Grösse von der anderen abhängt Je länger du telefonierst, desto mehr musst du bezahlen. Je weniger Zeit dir noch bleibt, um den Zug zu erreichen, umso schneller musst du rennen. Bei solchen Sachverhalten, be...

# Funktionale Zusammenhänge: 3a Zuordnungen und Abhängigkeiten ## Zuordnen: Wenn die eine Grösse von der anderen abhängt Je länger du telefonierst, desto mehr musst du bezahlen. Je weniger Zeit dir noch bleibt, um den Zug zu erreichen, umso schneller musst du rennen. Bei solchen Sachverhalten, bei denen eine Grösse von einer anderen abhängig ist, geht es immer um eine Zuordnung: Die Gesprächsdauer wird dem Preis, die Zeitspanne wird der Geschwindigkeit zugeordnet usw. ## 1 Wasserkochen Nimmt man eine Pfanne mit siedendem Wasser vom Herd, so kühlt das Wasser langsam ab. Die aktuelle Temperatur des Wassers hängt von der verflossenen Zeit ab. **Wie verändert sich die Temperatur im Laufe der Zeit?** **a Macht den folgenden Versuch:** - Bringt das Wasser in der Pfanne zum Kochen. - Messt alle 5 Minuten, später alle 10 oder 15 Minuten die Wassertemperatur und protokolliert sie auf dem Arbeitsblatt. **Kochendes Wasser** **Material:** - Pfanne mit ungefähr 1.5 l Wasser - Thermometer (100 °C tauglich) - Uhr oder Stoppuhr - Arbeitsblatt zum Protokollieren **b Übertragt die gemessenen Werte aus der Tabelle ins Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt.** **c Diskutiert folgende Fragen. Im Lexikon oder Internet könnt ihr euch zusätzliche Informationen beschaffen:** - Oft sagt man, Wasser siede bei 100 °C. Warum hat bei euch das siedende Wasser diese Temperatur nicht erreicht? - Bis zu welcher Temperatur würde das Wasser ungefähr abkühlen, wenn ihr genügend lang warten würdet? - Warum dürft ihr die eingetragenen Messpunkte verbinden? - Begründet, warum es nicht sinnvoll ist, diese Verbindungen gradlinig zu zeichnen. - Beschreibt den Verlauf des Graphen. # 2 Wasserstand (frei) Giesst man Wasser in ein Gefäss, so hängt der Wasserstand (die Füllhöhe des Wassers) von der Form des Gefässes und von der eingefüllten Menge ab. **a Macht zu zweit den folgenden Versuch:** - Wählt ein Gefäss. **Hinweis:** Bei gewissen Gefässen ist es sinnvoll, jeweils weniger oder mehr als 50 ml pro Schritt einzugiessen. Für das Protokollieren steht dazu das Arbeitsblatt <<2 Wasserstand (frei)>> zur Verfügung. Entscheidet aufgrund der Gefässgrösse, ob ihr 50 ml oder eine andere Wassermenge pro Schritt einfüllen wollt. - A Giesst die gewählte Wassermenge hinein. - B Messt den Wasserstand, also die Füllhöhe im Gefäss. - C Protokolliert eure Messung auf dem entsprechenden Arbeitsblatt. Wiederholt die Schritte A bis C, bis das Gefäss voll ist. **b Übertragt die gemessenen Werte aus der Tabelle ins Koordinatensystem auf dem jeweiligen Arbeitsblatt. Beschreibt den Verlauf des Graphen.** **c Diskutiert folgende Fragen:** - Ist es sinnvoll, die eingetragenen Messpunkte mit einer Linie zu verbinden? - Wie sollen die Messpunkte verbunden werden - gradlinig oder anders? - Wie könnt ihr aus dem Verlauf des Graphen Rückschlüsse auf die Form des Gefässes ziehen? # 3 Wasserstand (Krug) Mit dem Glaskrug rechts wurde ein Wasserstand-Versuch wie bei Aufgabe 2 durchgeführt. **a Wie oft wurde eingegossen und gemessen?** Es wurde mit unterschiedlich grossen Wasserportionen gearbeitet. **Suche Gründe dafür.** **b Wie in der Abbildung eingezeichnet, kann man bei der Form des Kruges vier verschiedene <<<Zonen>>> unterscheiden.** - Welche beiden Zonen sind von der Form her ungefähr gleich? - Mit welchem geometrischen Körper könnten diese beiden Zonen verglichen werden? - Beschreibe, wie im Graphen die Linie verläuft, die diesen beiden Zonen entspricht. **c Erkläre den Verlauf des Graphen in der Zone 3 anhand der Form des Kruges.** # <ins>4 Wasser fliesst gleichmässig in ein Gefäss: Der Inhalt und die zugeordnete Füllhöhe verändern sich laufend. Je nach Längsschnitt des Gefässes sieht der Graph anders aus.</ins> <ins>Mit dem Computer kannst du diesen Zusammenhang untersuchen.</ins> # Funktionale Zusammenhänge: 3b Proportionalität ## Abhängigkeiten der speziellen Art Wenn du fünf CDs kaufst, musst du in der Regel dafür auch fünfmal so viel bezahlen wie für eine einzige CD. Beim Plattenlegen braucht man in der Regel für einen dreimal so grossen Boden auch dreimal so viele Platten. Um diese <<gleichlaufende>> Abhängigkeit von zwei Grössen geht es in diesem Kapitel. ## 1 Fernrohr Schaut man von einem fixen Standort aus durch gleich lange Röhren an eine Wand, so sieht man je nach Durchmesser der Röhre unterschiedlich viel. Wie hängen der Durchmesser d und die Streckenlänge s zusammen? **a Führt den folgenden Versuch durch. Beachtet, dass sich Röhren und Auge immer in der gleichen Position befinden müssen.** - Blickt durch eine Röhre und lest die auf dem Metermass maximal sichtbare Strecke s ab. - Notiert den Durchmesser d der Röhre und die Streckenlänge s auf dem Arbeitsblatt. - Macht das Gleiche mit den anderen Röhren. **b Übertragt auf dem Arbeitsblatt die Werte aus der Tabelle ins Koordinatensystem.** **c Diskutiert folgende Fragen:** - Wie hängen die Strecke s und der Durchmesser d zusammen? - Wie verändert sich s, wenn d immer kleiner wird? - Wie schätzt ihr die Genauigkeit eurer Messungen ein? - Betrachtet die Lage der eingetragenen Punkte im Koordinatensystem. Was für eine Vermutung habt ihr? - Zeichnet einen möglichen Graphen entsprechend eurer Vermutung über die Abhängigkeit von s und d. - Beschreibt den Verlauf des Graphen. **d Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Welche Argumente gibt es dafür oder dagegen?** - Wenn man den Durchmesser d verdoppelt, dann wird auch die Strecke s doppelt so gross. - Je kleiner der Durchmesser d, desto grösser die Strecke s. - Will man eine halb so grosse Strecke s sehen, dann muss man eine Röhre mit halb so grossem Durchmesser d nehmen. - Wenn man den Durchmesser d mit einer bestimmten Zahl z multipliziert, so sieht man mit der neuen Röhre eine neue Strecke, die ebenfalls z-mal länger ist als s. - Bei einer festen Distanz zur Wand und einer festen Röhrenlänge ist die Strecke s immer eine feste Zahl mal länger als der Durchmesser d. # 2 Marroni Du hast vielleicht auch schon bei einem Marroni-Stand eine ähnliche Preistabelle gesehen. **a Zwei Preise fehlen. Bestimme die Preise auf verschiedene Arten. Erkläre, wie du das machst.** **b Übertrage die Grössenpaare der Preistabelle auf das Arbeitsblatt und zeichne einen Graphen.** **c Kontrolliere deine zwei berechneten Preise von Aufgabe a mit Hilfe des Graphen.** **Bestimme mit Hilfe des Graphen die Preise für** - 600 g, - 950 g, - 725 g, - 1 kg 200 g und für - 2 kg 400 g Marroni. **Welche Menge Marroni erhältst du für** - Fr. 24.-, - Fr. 27.-, - Fr. 9.75, - Fr. 34.50 und für - Fr. 42.-? **d Du kannst nicht nur ablesen, sondern auch berechnen:** - Was würdest du in einem ersten Schritt ausrechnen, wenn du den exakten Preis für ein beliebiges Gewicht (in g) berechnen möchtest? - Du möchtest berechnen, welche Menge Marroni du für einen beliebigen Geldbetrag (in Rappen) erhältst. Was würdest du in diesem Fall in einem ersten Schritt ausrechnen? **e Wende an, was du bei Aufgabe d herausgefunden hast.** - Eine Marroni-Verkäuferin verlangt für ein Viertel Kilo Marroni Fr. 8.-. Welcher Preis steht vermutlich auf ihrer Tafel für 350 g Marroni? - Bei einem anderen Marroni-Stand kosten 450 g Marroni Fr. 12.60. Welche Menge Marroni kriegst du ungefähr für Fr. 10.-? # 3 Lebensmittel **a Was meinst du:** - Verhalten sich Preis und Gewicht bei Produkten wie Äpfeln, Kartoffeln, Fleischwaren usw. proportional? **bA 3 Lebensmittel** Nimm an, dass bei den beiden Produkten unten die Preise proportional zum Gewicht berechnet werden. **Verwende das Arbeitsblatt zur Beantwortung der folgenden Fragen.** - Was kosten 1.245 kg dieser Äpfel? - Wie viele Kilogramm Äpfel erhältst du für Fr. 10.50? - Was kosten 340 g Rohschinken? - Wie viele Gramm Rohschinken erhältst du für Fr. 4.60? **c Bei beiden Etiketten wurde der Einheitspreis Fr./kg abgedeckt.** Aus deinen Rechnungen bei Aufgabe b kannst du sagen, was auf den Etiketten theoretisch stehen müsste. Was aber steht vermutlich in Wirklichkeit dort? # Funktionale Zusammenhänge: 3c Umgekehrte Proportionalität/Was für ein Problem liegt vor? ## Andersrum Es gibt auch <<gegenläufige>> Abhängigkeiten. Je schneller du rennst, desto weniger Zeit wirst du für eine bestimmte Strecke benötigen. Je länger deine Telefongespräche sind, desto weniger Gespräche kannst du für einen vorausbezahlten Betrag führen. Diese «gegenläufige>> Abhängigkeit von zwei Grössen untersuchst du mit den folgenden Aufgaben. ## 1 Rechtecke Rechtecke, die den gleichen Flächeninhalt haben, können ganz unterschiedliche Formen aufweisen. Auf dem Arbeitsblatt untersuchst du, wie Länge und Breite bei flächengleichen Rechtecken zusammenhängen. **a Trage in der Tabelle auf dem Arbeitsblatt die Seiten aller Rechtecke ein, deren Flächeninhalt 60 Häuschen beträgt. Notiere dabei nur ganzzahlige Seitenlängen.** **b Übertrage die Rechtecke aus deiner Tabelle wie oben angedeutet ins Koordinatensystem auf dem Arbeitsblatt.** - Im Koordinatensystem oben wurden zwei Ecken mit blauen Punkten markiert. Verbinde auf dem Arbeitsblatt von Hand die entsprechenden Eckpunkte deiner Rechtecke mit einer Kurve. - Beschreibe den Verlauf dieses Graphen. - Warum ist es sinnvoll, die einzelnen Punkte zu verbinden? - Warum ist es nicht sinnvoll, sie gradlinig zu verbinden? **c Lies aus deiner Grafik ab:** - Wie lang ist ungefähr die Seite a eines Rechtecks, dessen Seite b 25 Häuschen misst? - Wie lang ist ungefähr die Seite b eines Rechtecks, dessen Seite a 9 Häuschen misst? **d Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Welche Argumente gibt es dafür oder dagegen?** - Wenn man die Seitenlänge a verdoppelt, dann wird auch die Seitenlänge b doppelt so gross. - Je kürzer die Seitenlänge b ist, desto länger ist die Seite a. - Möchte man eine halb so grosse Seite a, dann muss man eine doppelt so lange Seite b wählen. - Das Produkt der Seitenlängen a und b verändert sich nicht. - Wenn man eine Seitenlänge mit einer bestimmten Zahl z multipliziert, so wird die andere Seitenlänge durch z dividiert. ## 2 Pflanzen im Park Ein Park soll neu gestaltet werden. Für die Umrandungen eines Blumenbeetes werden 420 Pflanzen benötigt, wenn sie in einem Abstand von 15 cm gesetzt werden. **a Wie viele Pflanzen werden benötigt, wenn sie in einem Abstand von 25 cm gepflanzt werden?** **b Das Geld reicht nur für 180 Pflanzen. In welchem Abstand müssen sie gepflanzt werden?** ## 3 Fotos **a Möchtest du deine digitalen Fotos auf Papier ausdrucken lassen, so kannst du sie per Internet dem Fotolabor zustellen. Für 30 Fotos bezahlte jemand Fr. 18.-. Wie viel kosten 55 Ferienfotos im gleichen Format?** **bA 3 Fotos** Um welche Art von Zuordnung zwischen der «Anzahl Fotos>> und dem <<Preis>>> handelt es sich bei Aufgabe a? Zeichne den Graphen 1 und kontrolliere deine Lösung von Aufgabe a. **c Den Preis für y Fotos kannst du auch so berechnen:** <<<Preis für ein Foto mal Anzahl Fotos>> oder kurz: y = ?x Wo kannst du den Preis für ein Foto in der Grafik des Arbeitsblattes ablesen? Wie kannst du ihn berechnen? **d Betrachte die Werbung des Anbieters oben und überlege, wie der Graph verläuft, wenn der Aktionspreis zur Anwendung kommt (Graph 2), wenn der Normalpreis gilt (Graph 3).** **e Wenn du deine Fotos auf einer CD ins Labor schickst, wird dir zusätzlich die «Datenübernahme-Grundgebühr von Fr. 4.90 pro Datenträger>> verrechnet. Die Rechnung wird also um diesen Betrag höher sein.** - Wie viel kosten nun die 30 und die 55 Fotos von Aufgabe a? - Welche Auswirkungen hat diese Grundgebühr auf den Verlauf des Graphen 1? - Zeichne den neuen Graphen ④ **f A 3 Fotos (mit Versandkosten)** Im sogenannten «Kleingedruckten>>> bei Verträgen und Offerten findet man oft Angaben darüber, wie viel die Firma für die Versandkosten verlangt. Auf dem Arbeitsblatt stehen die Angaben für die Versandkosten. ## 4 Winkel an der Uhr Wie gross ist der Winkel zwischen den Zeigern einer Uhr? Das hängt von der Uhrzeit ab und verändert sich laufend. Aber wie sind hier die Abhängigkeiten? **a Berechnet, wie viele Grad sich** - der Minutenzeiger, - der Stundenzeiger - in einer Minute bewegen. Tragt die Resultate auf dem Arbeitsblatt ein. **b Beginnt bei 12.00 Uhr und bestimmt alle 10 Minuten den Winkel zwischen den Zeigern.** Tragt eure Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt in der Tabelle und im Koordinatensystem ein. **c Diskutiert folgende Fragen:** - Warum ist es sinnvoll, die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte zu verbinden? - Welche Form sollten diese «Verbindungsstücke» zwischen den Punkten haben? - Begründet eure Antwort. - Welche Form hat der Graph? - Wie ändert sich der Graph, wenn ihr mit einer anderen Startzeit als 12.00 Uhr beginnt?