Lógica Difusa - Introducción y Conceptos PDF

Departamento de Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Lógica Difusa Ing. Mauricio Loachamín Introducción  Introducción 3 La lógica difusa proporciona un enfoque sencillo y...

Departamento de Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Lógica Difusa Ing. Mauricio Loachamín Introducción  Introducción 3 La lógica difusa proporciona un enfoque sencillo y elegante para procesar la información subjetiva (imprecisa), posibilitando el desarrollo de aplicaciones tecnológicas de vanguardia, en contextos donde el formalismo matemático tradicional se vuelve muy complejo o inaplicable Lógica Difusa 3  Incertidumbre 4 Pueden ser: Objetivas Usualmente tratadas con probabilidades (redes bayesianas) Subjetivas Tratadas con funciones de pertenencia (lógica difusa) Lógica Difusa 4 Técnicas de la Inteligencia Artificial 5 Redes Neuronales Artificiales Sistemas Lógica Difusa Basados en Reglas Redes Sistemas Bayesianas Expertos Procesamiento Ingeniería del del Lenguaje Conocimiento Natural Aprendizaje Inteligencia Minería de Automático Artificial Datos 9 Lógica Difusa 6 Es una de las disciplinas matemáticas es llamada lógica difusa o lógica borrosa, que es la lógica que utiliza expresiones que no son ni totalmente ciertas ni completamente falsas, es decir, es la lógica aplicada a conceptos que pueden tomar un valor cualquiera de veracidad dentro de un conjunto de valores que oscilan entre dos extremos, la verdad absoluta y la falsedad total. 6 Algo de Historia sobre lógica difusa 7 ❑ En el 380 A.C., Aristóteles propone la existencia de grados de verdad o falsedad. ❑ En el siglo XVIII, en Inglaterra el filósofo David Hume habla de la lógica del sentido común. El filósofo norteamericano Charles Sander Pierce, fue el primero en considerar la vaguedad en vez de la dicotomía cierto-falso. ❑ El matemático alemán Georg Kantor inventa la teoría original de conjuntos clásicos de unos y ceros. ❑ En 1920 el filósofo polaco Jan Lukasiewicz propone la primera lógica de vaguedad. 7 Algo de Historia sobre lógica difusa 8 ❑ En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primer controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. ❑ La implantación real de un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F.L. Smidth&Co. en una planta cementera en Dinamarca. 8 Lofti Zadeh 9 Lotfi Asker Zadeh fue un matemático, ingeniero eléctrico, informático y profesor Iraní- estadounidense de la Universidad de Berkeley. Es famoso por introducir en 1965 la teoría de conjuntos difusos o lógica difusa. Se le considera asimismo el padre de la teoría de la posibilidad 9 Historia sobre lógica difusa 10 La Teoría difusa fue introducida por Lofti A. Zadeh en su trabajo de tesis “Conjuntos Difusos”. Antes de trabajar en la teoría difusa, Zadeh se dedicó a la teoría de Control. A principios de los 60s Zadeh pensó que la teoría de control clásico tenía demasiado énfasis en la precisión y por tanto no podía manejar los sistemas complejos. 10 Conjuntos difusos 11 11 Conjuntos difusos 12 El primer ejemplo utilizado por Lofti Zadeh, para ilustrar el concepto difuso, fue el conjunto de “hombres altos”. Según la teoría de la lógica clásica el conjunto “hombres altos” es un conjunto al que pertenecerían los hombres con una estatura mayor a un cierto valor. El enfoque de la lógica difusa considera que el conjunto “hombres altos” es un conjunto sin una frontera clara para pertenecer o no. 12 Conjuntos difusos 13 Mediante una función que define la transición de “alto” a “no alto” se asigna a cada valor de altura un grado de pertenencia al conjunto, entre 0 y 1. 1.79cm grado de pertenencia 0.90 1.81cm grado de pertenencia 0.95 1.30cm grado de pertenencia 0.30 13 Algo de Historia sobre lógica difusa 14 En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control automático sin conductor del tren de Sendai. Sendai Subway - Japan 14 Algo de Historia sobre lógica difusa 15 En 1993, Fuji aplica la Lógica Borrosa para el control de inyección química en plantas depuradoras de agua por primera vez en Japón. Ha sido precisamente aquí, en donde más apogeo ha tenido la Lógica Difusa. De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la lógica difusa, Takagi y Sugeno desarrollan la primera aproximación para construir reglas difusas a partir de datos de entrenamiento (observación). 15 ¿Para que sirve la Lógica Difusa? 16 La lógica difusa se utiliza para representar la información imprecisa, ambigua, o vaga. Se utiliza para realizar operaciones en los conceptos que están fuera de las definiciones de la lógica booleana. Un tipo de lógica que reconoce valores verdaderos y falsos más que simples. 16  17 Conjuntos Difusos Introducción 18 El ser humano posee habilidades para comunicar su experiencia empleando reglas lingüísticas vagas. Por ejemplo, un famoso cocinero de televisión podría dar instrucciones para tostar pan como: 1. Cortar dos rebanadas de pan medianas. 2. Poner el horno a temperatura alta. 3. Tostar el pan hasta que quede de color ligeramente marrón. 18 Introducción 19 1. Cortar dos rebanadas de pan medianas. 2. Poner el horno a temperatura alta. 3. Tostar el pan hasta que quede de color ligeramente marrón. 19 Cocido de huevos 20 ❑crudo ❑medio_crudo ❑tibio ❑medio_tibio ❑termino_medio ❑medio_duro ❑casi_duro ❑duro Valoración del desayuno 21 ❑Muy_pobre ❑Pobre ❑Medio ❑Bueno ❑Excelente  Uso de términos lingüísticos 22 La lógica convencional no es adecuada para procesar este tipo de reglas. Por ejemplo, si pasáramos un día con Tiger Woods para aprender a jugar al golf, al final de la jornada podríamos tener un montón de reglas del tipo: ❑ Si la bola está lejos del hoyo y el green está ligeramente inclinado hacia la derecha, entonces golpear la bola firmemente empleando un ángulo ligeramente inclinado hacia la izquierda de la bandera. ❑ Si la bola está muy cerca del hoyo y el green entre la bola y el hoyo está plano, entonces golpear la bola directamente hacia el hoyo. Conocimiento del Experto en golf, Tiger Woods. 22 Uso de términos lingüísticos 23 Estas reglas son muy descriptivas y pueden ser fácilmente entendibles por un humano, pero difícilmente representables para ser entendido por un computador. Palabras como “lejos”, “muy cerca” no tienen fronteras bien definidas, y cuando se quieren trasladar a código pueden resultar complicado. Por ejemplo, el término Distancia se podría codificar con este conjunto de intervalos: Cerca: La bola está entre 0 y 2 metros del hoyo. Medio: La bola está entre 2 y 5 metros del hoyo. Lejos: La bola está más allá de 5 metros del hoyo. 23 Uso de términos lingüísticos 24 Queda claro que el conocimiento experto presenta a menudo, características de vaguedad e imprecisión. Esta incertidumbre en el modelado de conocimiento experto existe en multitud de disciplinas (médicas, ciencias, ingeniería, derecho, educación...). En Inteligencia Artificial se aplica en multitud de áreas de trabajo, como visión por computador, procesamiento del lenguaje natural, procesamiento de la información, aprendizaje automático, juegos... 24 Diferencias con Probabilidad 25 Los conceptos empleados en Lógica Difusa y Probabilidad están relacionados en cierto modo, pero son totalmente diferentes. De forma resumida, la probabilidad representa información sobre frecuencia de ocurrencias relativas de un evento bien definido sobre el total de eventos posible. Por su parte, el grado de pertenencia difuso representa las similitudes de un evento con respecto a otro evento, donde las propiedades de esos eventos no están definidas de forma precisa. 25 Diferencias con Probabilidad 26 Ejemplo Un superviviente de un accidente de avión se encuentra en medio del desierto. Hace dos días que está caminando sin agua en busca de algún poblado cercano donde puedan socorrerle. De repente encuentra dos botellas de líquido, etiquetadas como se muestra en la figura 1.2. La botella A difusa está etiquetada como que contiene líquido potable con un grado de pertenencia 0.8, mientras que la botella B probabilista está etiquetada como que contiene con probabilidad 0.8 un líquido potable. ¿Cuál debería elegir el superviviente? 26 Diferencias con Probabilidad 27 La botella A indica que el líquido que contiene es bastante similar a otros que son potables. Naturalmente este valor numérico depende de la función de pertenencia asociada al concepto de “líquido potable”. Supongamos que la función de pertenencia asocia 1 al agua pura, por lo que un valor de 0.8 indicaría que la botella A contiene agua no totalmente pura, pero todavía potable (o al menos no es un veneno, o algún líquido perjudicial para el organismo). La probabilidad asociada a la botella B indica que, tras realizar un alto número de experimentos, el contenido de la botella B es potable el 80% de las veces. Pero, ¿qué ocurre el otro 20% de las veces?. En estas ocasiones, el líquido no era potable y, por tanto, hay un 20% de probabilidad de que mueras bebiendo el líquido de esa botella porque contenga amoniaco en lugar de agua. 27 Grado de pertenencia 28 De este modo una proposición no es totalmente (sino parcialmente) cierta o falsa. Este grado se expresa mediante un entero en el intervalo [0; 1]. Un ejemplo claro es la representación de la altura de una población de individuos. Descripción de conjuntos crisp (arriba) y fuzzy (abajo) de “persona alta” 28 Grado de pertenencia a) 29 b) Descripción de conjuntos crisp (arriba) y fuzzy (abajo) de “persona alta” En la representación crisp, a) se dibuja una línea que separa claramente en 1.8m los individuos que son altos de los que no lo son, asociando un valor de pertenencia estricto al conjunto de los altos a aquellos que superan esa altura. Sin embargo, el conjunto difuso b) permite expresar que Carlos tiene un grado de pertenencia al conjunto de los altos en A(Altura) = 0;82. Así, un conjunto difuso proporciona una transición suave entre los límites de lo que sería un conjunto crisp. El Universo del discurso se define como todos los posibles valores que puede tomar una determinada variable (en el caso de la imagen anterior se correspondería con el eje horizontal de las gráficas, desde 150 a 210cm). 29 Operaciones de conjuntos difusos A(x), B(x) son conjuntos difusos en el universo X Unión: (A U B)(x) = A(x) Ú B(x) = máx {A(x), B(x)} Intersección: (A I B)(x) = A(x) Ù B(x) = mín {A(x), B(x)} Negación: (complemento a uno) Ā (x) = ¬A(x) = 1 – A(x) 30 30 Operaciones de conjuntos difusos 31 Unión: (A U B)(x) = A(x) Ú B(x) = máx {A(x), B(x)} Intersección: (A I B)(x) = A(x) Ú B(x) = mín {A(x), B(x)} 31 Propiedades básicas 32 32 Tipos de funciones de pertenencia 33 ❑ Triangular 33 Tipos de funciones de pertenencia 34 ❑ Trapezoidal 34 Tipos de funciones de pertenencia 35 ❑Gaussiana 35 Tipos de funciones de pertenencia 36 ❑Exponencial 36 Tipos de funciones de pertenencia 37 ❑Gamma, tipo 1 37 t-norma / s-norma del mínimo / máximo 38 t-norma del mínimo: La función mín(˄) es una t-norma, que corresponde a la operación de intersección en conjuntos clásicos cuyos grados de pertenencia están en {0,1}. Por eso, esta función es la extensión natural de la intersección en conjuntos difusos. 38 t-norma / s-norma del mínimo / máximo 39 t-conorma o s-norma del máximo: La función máx (˅) es una s- norma, que corresponde a la operación de unión en conjuntos clásicos cuyos grados de pertenencia están en {0,1}. Por eso, función es la extensión natural de la unión en conjuntos difusos. 39 Operaciones básicas con conjuntos difusos Intersección (min - intersección) La intersección de dos conjuntos difusos A y B viene dada por: mA  B(x) = min {mA(x), mB(x)} Unión (max - intersección) La unión de dos conjuntos difusos A y B viene dada por: mA  B(x) = max {mA(x), mB(x)} Operaciones básicas con conjuntos difusos Complemento El complemento (Ac) de un conjunto difuso A viene dado por: mA c(x) = 1 - mA(x)  42 Instalación de XFuzzy Software Xfuzzy 43 Bibliografía ❑Bibliografía básica Barnabas Bede, (2013), Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Springer. ISBN 978-3-642-35220-1 ❑Bibliografía complementaria Kwang Lee. (2005). First Course on Fuzzy Theory and Applications. Springer ISBN 3-540-22988-4