Estatística - Livro Texto PDF

# ESTATÍSTICA - Para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - Volume 1 ## Conteúdo - Apresenta os conceitos básicos iniciais de um curso de Estatística. - Enfoca a Estatística Descritiva, as medidas sobre uma distribuição e os principais estimadores necessários ao desenvolviment...

# ESTATÍSTICA - Para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - Volume 1 ## Conteúdo - Apresenta os conceitos básicos iniciais de um curso de Estatística. - Enfoca a Estatística Descritiva, as medidas sobre uma distribuição e os principais estimadores necessários ao desenvolvimento posterior da inferência estatística. - Encerra o volume o estudo do cálculo de probabilidades. - O conteúdo está adequado ao novo currículo dos cursos de Administração de Empresas. - Procura desenvolver os conceitos dando ênfase à interpretação das medidas sobre o fenômeno estatístico. - Desse modo, a apresentação de cada conceito é seguida de sua interpretação específica, completada por questões teóricas e práticas que fixam esse conhecimento. - O fundamental é assinalar o que o conceito significa do ponto de vista estatístico e quais são as possiveis utilidades que ele pode ter, principalmente no campo da administração. - Foi elaborado ainda grande número de exercícios que enfocam a aplicação da estatistica a diversas áreas da administração de empresas. ### Nota sobre os autores - **Ermes Medeiros da Silva** é licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro-SP. - **Elio Medeiros da Silva** é bacharel e licenciado em Matemática pela PUC-SP e pós-graduado em Matemática Aplicada pela USP e em Administração de Empresas pela EAESP-FGV. - **Valter Gonçalves** é economista, administrador de empresas e mestrando em Administração de Empresas. - **Afrânio Carlos Murolo** é graduado em Matemática, com especialização em Estatística pela UNICAMP, pós-graduado em Didática do Ensino Superior e mestrando em Administração de Empresas. - Os autores acumulam larga experiência no ensino de Matemática, Estatística e Pesquisa Operacional em cursos superiores de Economia, Administração e Ciências Contábeis. ### Aplicação: - Livro-texto para a disciplina ESTATÍSTICA/ESTATÍSTICA I dos cursos de Economia, Administração de Empresas e Ciências Contábeis. # Sumário - Prefácio, 9 - CONCEITOS BÁSICOS, 11 - Introdução, 11 - Conceitos Fundamentais, 12 - Objetivo, 12 - População e Amostra, 12 - Processos Estatísticos de Abordagem, 12 - Dados Estatísticos, 14 - Estatística Descritiva, 14 - Dados Brutos, 15 - Rol, 16 - Exercícios Propostos, 17 - SÉRIES ESTATÍSTICAS, 18 - Distribuição de Frequência - Variável Discreta, 18 - Distribuição de Frequência - Variável Contínua, 19 - Construção da Variável Discreta, 20 - Construção da Variável Continua, 21 - Representação Gráfica de Séries Estatísticas, 38 - MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, 46 - Introdução, 46 - Somatório - Notação Sigma (∑), 46 - Exercícios Propostos, 51 - Médias, 54 - Média Aritmética Simples, 54 - Média Aritmética Ponderada, 54 - Média Geométrica Simples, 55 - Média Geométrica Ponderada, 55 - Média Harmônica Simples, 55 - Média Harmônica Ponderada, 56 - Cálculo da Média Aritmética, 57 - Exercícios Propostos, 60 - Mediana, 66 - Cálculo da Mediana, 66 - Exercícios Propostos, 71 - Moda, 74 - Cálculo da Moda, 74 - Exercícios Propostos, 85 - MEDIDAS SEPARATRIZES, 89 - Conceitos, 89 - Cálculo das Medidas Separatrizes, 90 - Exercícios Propostos, 95 - MEDIDAS DE DISPERSÃO, 100 - Introdução, 100 - Medidas de Dispersão Absoluta, 101 - Amplitude Total, 101 - Exercícios Propostos, 108 - Variância e Desvio Padrão, 109 - Cálculo da Variância e Desvio Padrão, 110 - Interpretação do Desvio Padrão, 117 - Exercícios Propostos, 118 - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 124 - Introdução, 124 - Medidas de Assimetria, 125 - Medida de Curtose, 126 - Exercícios Propostos, 132 - PROBABILIDADES, 143 - Introdução, 143 - Fenômenos Aleatórios, 143 - Teoria das Probabilidades - Espaço Amostral, 145 - Eventos, 147 - Operações com Eventos, 148 - Exercícios Propostos, 149 - Probabilidade de um Evento, 158 - Exercícios Propostos, 162 - Teorema da Probabilidade Total, 172 - Teorema de Bayes, 176 - Exercícios Propostos, 178 - Exercícios Gerais, 182 # Prefácio - Estamos colocando à disposição dos colegas professores e aos interessados em estatística de modo geral uma coleção de livros da qual este é o primeiro volume. - O conteúdo deste volume apresenta os conceitos básicos iniciais de um curso de estatística, isto é, enfoca a estatística descritiva, as medidas sobre uma distribuição, e coloca os principais estimadores necessários ao desenvolvimento posterior de inferência estatística. - Encerra o volume o estudo do cálculo de probabilidades. - Este conteúdo foi escolhido por alguns motivos. - A nossa experiência ao desenvolver cursos nesta área nos convenceu de que este conteúdo pode ser desenvolvido com bom aproveitamento num curso anual de 72 horas ou em curso semestral equivalente. - Além disso, o conteúdo está adequado ao novo currículo dos cursos de administração de empresa que estão sendo implantados nas diversas faculdades. - Entretanto, o que nos parece mais importante é a maneira como o assunto foi desenvolvido. - Uma crítica frequente de professores e alunos com respeito aos textos de estatística é que eles apresentam os conceitos estatísticos do ponto de vista matemático, com ênfase nos cálculos das medidas. - A consequência deste enfoque é que os estudantes, embora possam desenvolver os cálculos necessários à solução de problemas não são capazes de realizar o que nos parece fundamental em estatística, que é o conhecimento e as possíveis interpretações do fenômeno estatístico envolvido. - Para atingir este objetivo procuramos desenvolver os conceitos dando ênfase a interpretação das medidas sobre o fenômeno estatístico. - Desta forma, a apresentação de cada conceito é seguida de sua interpretação específica, completada por questões teóricas e práticas que fixem esse conhecimento. - A idéia é que fique claro o que o conceito significa do ponto de vista estatístico e quais são as possíveis utilidades que ele pode ter, principalmente no campo da Administração. - Tendo em vista este objetivo, muitas vezes restringimos a abrangência do conceito com a finalidade de torná-lo acessível ao estudante. - Desta forma, os professores da área certamente notarão alguns conceitos particularizados ou pouco abrangentes. - Achamos necessária esta restrição para não desviar o enfoque do significado do conceito e sua interpretação. - Acreditamos que à medida que o estudante for adquirindo experiência nesta área, a generalização dos conceitos ocorrerá de maneira natural. - Com a finalidade de fixar os conceitos elaboramos grande quantidade de exercícios. - O leitor deverá notar que tivemos o cuidado de apresentar problemas enfocando a aplicação da estatística a diversas áreas da administração de empresas; cumprindo desta forma uma de suas finalidades que é de disciplina de apoio às áreas profissionais deste campo. - Esperamos que este texto e os demais que o seguirão sejam de utilidade para professores e estudantes que necessitam de estatística em sua vida profissional. - Gostaríamos de receber sugestões e críticas dos colegas. Essa atenção para com nosso trabalho nos farão agradecidos e certamente colaborarão para a correção de rumo, aumentando a adequação, utilidade e competência desta obra. # Conceitos Básicos - O termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões. - Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valor dos impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de uma nova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas. - (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas, cavalos etc. dispunham após a última batalha.) - Atualmente, a estatística é definida da seguinte forma: - Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. - A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, com os estudos de BERNOUILLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON. PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas características atuais. - Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na razão direta do desejo de investigação dos fenômenos coletivos. - A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentido do estudo de uma população. É considerada como método quando utilizada como instrumento por outra Ciência. - A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência, solicitando-lhe auxilio, sem o qual não poderia desenvolver-se. - Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quando utilizada como instrumento de pesquisa. ## Conceitos Fundamentais - **Objetivo**: Estatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos. - **População e Amostra**: - Conceituaremos População como sendo o conjunto de todos os itens (pessoas, coisas, objetos) que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo segundo alguma característica. - Entenderemos por Amostra, qualquer subconjunto não vazio de uma população. - Uma característica numérica estabelecida para toda uma população é denominada parâmetro. - Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é denominada estimador. - **Processos Estatísticos de Abordagem**: - **Censo**: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população. - **Estimação**: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador através do cálculo de probabilidades. - **Dados Estatísticos** - Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um Censo ou de uma estimação. - Estes valores numéricos são chamados dados estatísticos. - No sentido de disciplina, a Estatistica ensina métodos racionais para a obtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de dados estatísticos observados. - Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: - Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por objeto descrever os dados observados. - Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. - O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência estatística. - **Estatística Descritiva**: a disciplina ESTATÍSTICA/ESTATÍSTICA I dos cursos de Economia, Administração de Empresas e Ciências Contábeis. - obtenção dos dados estatísticos. - amenização dos dados. - tabulação dos dados. - representação dos dados. - A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno observado. - A obtenção ou coleta de dados é normalmente feita através de um questionário ou de observação direta de uma população ou amostra. - A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos valores observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos etc. - Redução dos dados - A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a redução do número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variável discreta e variável contínua. - A representação dos dados - Os dados estatísticos podem ser mais facilmente compreendidos quando apresentados através de uma representação gráfica, o que permite uma visualização instantânea de todos os dados. - Os gráficos, quando bem representativos, tornam-se importantes instrumentos de trabalho. - É ainda atributo da Estatística Descritiva a obtenção de algumas informações como médias, proporções, dispersões, tendências, Indices, taxas, poeficientes, que facilitam a descrição dos fenômenos observados. Isto encerra as atribuições da Estatística Descritiva. - Completando o processamento estatístico, no caso de uma Estimação, Estatística Indutiva estabelece parâmetros a partir de estimadores usando o cálculo de probabilidade. Esta última etapa será desenvolvida posteriormente. # Série Estatísticas - **Dados Brutos**: Quando fazemos a observações diretas em um fenômeno coletivo ou servamos as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questionários, obtemos uma seqüência de n valores numéricos. - **Rol**: Tal seqüência é denominada dados brutos. Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os Dados Brutos passam a se chamar Rol. # Medidas de Tendência Central - **Introdução**: No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumas medidas que a caracterizam. - **Somatório - Notação Sigma (∑)** - Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x₁ + X2 + X, podemos codificá-la através da expressão: ∑x i-1 - onde: - Σ é utilizada para representar as operações de adição entre as parcelas. - x; é a parcela genérica - A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em todas as parcelas. - A expressão ∑x; deve ser lida "soma dos valores xi, para i variando de 1 até n." i=1 - **Médias** - Do ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculados para uma massa de dados. - Focalizaremos neste estudo as médias aritméticas geométricas e harmônicas. - **Média Aritmética Simples**: Para uma seqüência numérica X: X1, X2, ......, Xp, a média aritmética simples, que designaremos por X é definida por: - X = ΣX / n - **Média Aritmética Ponderada**: Para uma seqüência numérica X: X1, X2, ......, X, afetados de pesos p₁, P21 ....... Pr respectivamente, a média aritmética ponderada, que designare-mos por X, é definida por: - X = ΣXPi / ΣPi - **Média Geométrica Simples**: Para uma seqüência numérica X: X1, X2, ....... Xp, a média geométrica simples, que designaremos por X, é definida por: - X = √(X1 . X2 . X3... X) - **Média Geométrica Ponderada**: Para uma seqüência numérica X: X1, X2,..., X, afetados de pesos P₁, P2 Pn respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremos por X Xé definida por: - X = √(x1P1.X2P2... XPn) - **Média Harmônica Simples**: Para uma seqüência numérica de elementos não nulos X: X1, X2..... Χ a média harmônica simples, que designaremos por X₁, é definida por: - Xh = n / (1/X1 + 1/X2 + ... + 1/Xn) - **Média Harmônica Ponderada**: Para uma seqüência numérica de elementos não nulos X: X1, X2,... X afetados de pesos P1, P2... Pr , respectivamente, a média harmônica ponderada que designaremos por X, é definida por: - Xh = ΣPi / (P1/X1 + P2/X2 + ... + Pn/Xn) - **Cálculo da Média Aritmética** - **1º Caso - DADOS BRUTOS OU ROL**: Neste caso, devemos utilizar uma média aritmética simples: - X = ΣX / n - **2º Caso - VARIÁVEL DISCRETA**: Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples fi como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes. - X = Σxf / Σf - **3º Caso - VARIÁVEL CONTÍNUA**: Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas classes. - X = Σxf / Σf # Medidas Separatrizes - **Conceitos**: - São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série. - Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz. - Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são os quartis, quintis, decis e percentis - **Cálculo das Medidas Separatrizes** - **1º Caso - DADOS BRUTOS OU ROL**: Devemos ordenar os elementos, caso sejam Dados Brutos obtendo o rol. - **2º Caso - VARIÁVEL DISCRETA**: Se os dados são apresentados na forma de uma variável discreta, eles já estão naturalmente ordenados. - **3º Caso - VARIÁVEL CONTÍNUA**: Se os dados são apresentados na forma de uma variável contínua, eles já estão naturalmente ordenados e o número de elementos da série é n = Σfi. # Medidas de Dispersão - **Introdução**: Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para caracterizar totalmente uma seqüência numérica. - **Amplitude Total**: É a diferença entre o maior e o menor valor da seqüência. - **Desvio Médio Simples**: O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância. - A dispersão dos dados em relação à média de uma seqüência pode ser avaliada através dos desvios de cada elemento da seqüência em relação à média da seqüência. - O desvio médio simples que indicaremos por DMS é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da série. - **Variância e Desvio Padrão**: - Outra forma de se conseguir que as diferenças x₁ - x se tornem sempre positivas ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças, isto é: (x-x)². # Medidas de Assimetria e Curtose - **Introdução**: Para conceituar assimetria, obviamente precisamos conceituar simetria. - Diremos que uma distribuição é simétrica quando X = M₁ = Mo - Se isto de fato ocorrer, a curva de freqüência tem a seguinte característica gráfica: - Se uma distribuição não for simétrica, será classificada como assimétrica. - **Medidas de Assimetria**: - **Coeficiente de Pearson**: A = (X-M₁) / σ(X) - **Coeficiente de Bowley**: As = (Q3+Q1-2Md)/(Q3- Q1) - **Medida de Curtose**: Observando a concentração dos valores de uma série em torno de sua moda, podemos observar três situações especiais. - **1º caso**: Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda, o que faria a curva de freqüência ser bastante afilada, como na figura: - Esta curva é classificada como leptocúrtica. - **2º caso**: Os dados estão razoavelmente concentrados em torno da moda, o que faria a curva de freqüência ser razoavelmente afilada. - Este tipo de curva é classificada como mesocúrtica. - **3º caso**: Os dados estão fracamente concentrados em torno da moda, o que faria a curva de freqüência ser fracamente afilada. - Esta curva é denominada platicúrtica. # Cálculo de Probabilidades - **Introdução**: Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever tal fenômeno por um modelo matemático que permita explicar da melhor forma possível este fenômeno. - **Fenômenos Aleatórios**: Entendemos por fenômeno qualquer acontecimento natural. Se observarmos os fenômenos com respeito a seus possíveis resultados, podemos classificá-los em dois tipos: - **Determinísticos**: são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado. As condições iniciais determinam o único resultado possível do fenômeno. - **Aleatórios**: são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais podem conduzir a mais que um resultado. As condições iniciais não determinam o resultado do fenômeno. - **Teoria das Probabilidades - Espaço Amostral**: Como o objeto de nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. Este conjunto será denotado por Se denominado espaço amostral do experimento. - **Eventos**: Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. - **Operações com Eventos**: Como eventos são conjuntos, podemos usar as operações de conjuntos para os eventos. - **Exercícios Propostos**: - **Teorema da Probabilidade Total**: Suponha que o espaço amostral S de um experimento seja dividido em três eventos R1, R2, R3 de modo que: - R1 ∩ R2 = Ø - R2 ∩ R3 = Ø - R1 ∩ R3 = Ø - R₁ ∪ R2 ∪ R3 = S - e considere um evento B qualquer. O evento B pode ser escrito como: B = B ∩ S. - **Teorema de Bayes**: Note que no caso da determinação de P(B) através da utilização do teorema da probabilidade total P(B) = P(B/R1).P(R1) + P(B/R2).P(R2) +...+ P(B/A).P(R), precisamos obviamente conhecer as probabilidades condicionais P(B/R1), P(B/R2),..., P(BR), que representaremos de modo genérico por P(B/R), para i = 1, 2,..., п. - **Exercícios Propostos**: - Se P(A) ≠ 0: P(B/A) = P(A∩B) / P(A) - Se P(B) ≠ 0: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) - P(A∩B) = P(B/A). P(A) - **Probabilidade Condicional**: Introdução: Considere o lançamento de um dado e a observação da face superior. - A probabilidade condicional de B em relação a A, indicada por P(B/A), vale: - P(B/A) = P(B ∩ A) / P(A) - **Eventos Independentes**: Sejam A e B eventos não vazios. - A e B são eventos independentes se: - P(A) = P(B) e P(A/B) = P(A) - **Exercícios Propostos**: - **Exercícios Gerais**: